PERTEMUAN KE MATERI :4 : KALKULUS VARIASI 4. Contoh Penerapan dalam Fisika Telah ketahui secara baik bahwa hukum kedua Newton merupakan suatu rumusan empirik yang diperoleh berdasarkan pengalaman sehari-hari. Pertanyaan yang kemudian timbul adalah apakah ada prinsip yang lebih fundamental, yang mampu menjelaskan asal dari hukum tersebut. Hingga saat ini, secara fisis memang belum diketahui prinsip apakah yang mendasarinya. Tetapi dipihak lain, secara matematis, cara mengenai bagaimana bentuk persamaan diferensial hukum kedua tersebut diperoleh telah diketahui dengan memanfaatkan kaidah kalkulus variasi dan dikenal sebagai prinsip Hamilton, sebagaimana telah disinggung sepintas pada bagian pendahuluan. Misalkan untuk sebuah partikel yang berada pada pengaruh gaya memiliki energi kinetik T ≡ T (q, q& , t ) , sedangkan gaya yang berpengaruh tersebut dapat diwakili oleh fungsi U ≡ U (q, q& , t ) , maka dapat dibentuk sebuah fungsi yang dinamakan fungsi Lagrange atau Lagrangian L yang didefinisikan sebagai L(q, q& , t ) = T (q, q& , t ) − U (q, q& , t ) (29) dimana q ≡ q(t ) dan q& = q& (t ) merupakan koordinat umum. Selanjutnya dapat pula dibangun sebuah fungsional yang terkait dengan fungsi Lagrange: t2 S = ∫ L dt t1 (30) yang dinamakan sebagai fungsional Aksi. Berdasarkan fungsional Aksi tersebut, prinsip Hamilton mengatakan bahwa lintasan yang ditempuh oleh partikel tersebut dari kedudukannya pada t1 sampai dengan t 2 memiliki fungsional Aksi yang stasioner atau dengan kata lain t2 δ S = ∫ δ L dt = 0 (31) t1 yang mengimplikasikan bahwa Lagrangian memenuhi persamaan: ∂L d ⎛ ∂L ⎞ − ⎜ ⎟=0 ∂q dt ⎜⎝ ∂q& ⎟⎠ (32) yang selanjutnya disebut sebagai persamaan Euler-Lagrange. Dengan mensubstitusikan persamaan (29) diperoleh: ∂T d ⎛ ∂T ⎞ ∂U d ⎛ ∂U ⎞ ⎟ ⎟= − ⎜ − ⎜ ∂q dt ⎜⎝ ∂q& ⎟⎠ ∂q dt ⎜⎝ ∂q& ⎟⎠ (33) Untuk melihat hubungan antara persamaan (33) dengan hukum kedua Newton, kita tinjau kasus khusus dimana T ≡ T (q& ) = 1 mq& 2 sedangkan U = V ≡ V (q ) . Jelas bahwa 2 untuk kasus tersebut persamaan (33) tereduksi menjadi: mq&& = − ∂V ∂q (34) ∂V ∂q (35) dengan menuliskan: F (q ) = − persamaan (34) segera terlihat sebagai persamaan diferensial untuk hukum kedua Newton: mq&& = F (q ) (36) Dalam kasus khusus ini, fungsi F (q ) mewakili gaya konservatif, sedangkan V (q ) dinamakan sebagai fungsi potensial. Kembali pada persamaan umum (33), untuk sistem yang melibatkan gaya yang bersifat konservatif, hukum kedua Newton dapat dituliskan sebagai: ∂T d ⎛ ∂T ⎞ ⎟ = Q(q, q& , t ) − ⎜ ∂q dt ⎜⎝ ∂q& ⎟⎠ dengan Q = (37) ∂U d ⎛ ∂U ⎞ ⎟ merupakan gaya umum non-konservatif yang terkait. − ⎜ ∂q dt ⎜⎝ ∂q& ⎟⎠ Misalkan jumlah koordinat umum yang terdefinisi dalam Lagrangian terkait lebih dari satu sehingga L ≡ L(q1 , q 2 ,K , q N , q&1 , q& 2 , K , q& N , t ) , maka serupa dengan persamaan (28) berlaku untuk masing-masing koordinat umum q j , q& j : ∂L d ⎛⎜ ∂L − ∂q j dt ⎜⎝ ∂q& j ⎞ ⎟=0 ⎟ ⎠ (38) Sebagai contoh pertama, tinjau sistem sederhana yang terdiri atas sebuah partikel bermassa m dengan energi kinetik T = 1 2 mx& , yang berada pada pengaruh gaya pegas 2 dengan fungsi potensial diberikan oleh V = 1 2 kx . Jelas bahwa Lagrangian terkait 2 diberikan oleh: L= 1 2 1 2 mx& − kx 2 2 (39) Substitusikan persamaan (39) ke dalam persamaan Euler-Lagrange (32) dengan koordinat umum q = x dan q& = x& , sehingga diperoleh − kx − m&x& = 0 atau m&x& = − kx (40) yang tidak lain merupakan persamaan gerak Newton bagi sistem partikel dengan pegas. r Gambar 5 Untuk contoh kedua, tinjau partikel bermassa m yang bergerak dalam lintasan melingkar, sebagaimana diilustrasikan oleh Gambar 5, dan berada pada pengaruh potensial V (r , θ ) . Energi kinetik yang terkait dengan partikel tersebut diberikan oleh T= 1 2 &2 mr θ dengan r adalah jari-jari lintasan dan θ adalah sudut dalam radian. 2 Lagrangian sistem tersebut adalah: L= 1 2 &2 mr θ − V (r ,θ ) 2 (41) yang memiliki dua koordinat umum q1 = r dan q 2 = θ . Dari persamaan Euler-Lagrange diperoleh: ∂V ∂L d ⎛ ∂L ⎞ − ⎜ ⎟ = mrθ& 2 − =0 ∂r dt ⎝ ∂r& ⎠ ∂r (42a) ∂L d ⎛ ∂L ⎞ ∂V − ⎜ ⎟=− − mr 2θ&& = 0 ∂θ dt ⎝ ∂θ& ⎠ ∂θ (42b) Sehingga diperoleh: ∂V mrθ& 2 = ∂r (43a) ∂V ∂θ (43b) mr 2θ&& = − Dengan mendefinisikan − ∂V ∂r = Fr dan − ∂V ∂θ = Fθ . Jelas terlihat disini bahwa percepatan dalam arah r diberikan oleh: a r = − rθ& 2 (44) yang tidak lain merupakan percepatan sentripetal. Sedangkan untuk percepatan dalam arah θ diberikan oleh aθ = r 2θ&& (45) Sebagai catatan akhir, perlu ditekankan bahwa prinsip Hamilton memiliki peranana yang cukup penting dalam Mekanika, Gelombang maupun dalam Teori Medan dan dibanayk cabang Fisika lainnya.
