Karakteristik Larutan Kimia

Prosiding Seminar Nasional Metode Kuantitatif 2017
ISBN No. 978-602-98559-3-7
KARAKTERISTIK LARUTAN KIMIA DI DALAM AIR
DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Titik Suparwati
Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Cenderawasih, Jayapura
e-mail : [email protected]
At this writing is given by picture about system application equatioan of linear differensial. There are two system namely
open system and closed system. But in this articel will be discuss open system only. Open system the studied is system which
there are stream enter from outside into tank A and or tank B as well as stream go out system of tank B. Amount of chemicals
in both tank after time of t, can be counted by making pemodelan of mathematics.From research can be seen that system
equatian of formed by differensial is open system is system equation of linear differensial of nonhomogen . To the number of
chemicals at tank A and B at open system to be determined by including the problem of value early into common solution of
system equation of formed of differensial the system.
Keyword : condensation chemicals, System equation of linear differensial, and open system.
1. PENDAHULUAN
Setiap cabang ilmu Matematika mempunyai aplikasi atau penerapan di berbagai bidang ilmu pengetahuan, di
antaranya matematika terapan yang menjadikan kalkulus modern sebagai persamaan dan sistem persamaan
differensial yang merupakan bentuk atau model matematika yang cukup mendominasi dalam matematika
terapan.
Persamaan differensial merupakan persamaan yang memuat turunan satu buah fungsi yang tidak diketahui.
Meskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut persamaan turunan, namun istilah persamaan differensial
yang diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1676 sudah umum digunakan. Persamaan differensial hanya
memuat satu fungsi yang tak tak diketahui, sehingga penyelesaiannya sampai saat ini berupa satu persamaan
differensial yang menagndung satu fungsi yang tak diketahui. Dalam perkembangannya yang berhubungan
dengan penerapan persamaan differensial, akan dipelajari pula n buah persamaan differensial dengan n buah
fungsi yang tak diketahui, dimana n merupakan bilangan positif lebih dari sama dengan 2 (n  2). Inilah yang
disebut dengan sistem persamaan differensial [1].
Terdapat banyak aplikasi dari sistem persamaan differensial, diantaranya adalah di bidang ilmu kimia. Reaksi
kimia biasanya dapat berlangsung pada dua campuran zat. Salah satu contoh yang lazim dari campuran adalah
larutan . Di alam, kebanyakan reaksi berlangsung dalam air. Cairan tubuh, baik tumbuhan maupun hewan adalah
larutan yang terdiri dari berbagai zat. Jenis reaksi di samudera, danau dan sunagi juga melibatkan larutan.
Kuantitas relatif suatu zat tertentu dalam suatu larutan disebut konsentrasi, sehingga konsentrasi merupakan
faktor penting dalam menentukan cepat lambatnya suatu reaksi kimia berlangsung [2].
Dalam penulisan ini akan dikaji aplikasi persamaan differensial linear dalam menentukan jumlah bahan kimia di
dalam dua buah tangki setelah dilarutkan ke dalam zat pelarut air, yang mana larutan di dalam tangki A dapat
mengalir ke dalam tangki B, dan sebaliknya, dengan konsentrasi yang telah ditentukan.
389
Prosiding Seminar Nasional Metode Kuantitatif 2017
ISBN No. 978-602-98559-3-7
2. PERUMUSAN MASALAH
Rumusan masalahnya adalah bagaimana mengaplikasikan sistem persamaan differensial dalam menentukan
jumlah bahan kimia ke dalam air yang terdapat di dalam dua buah tangki, bagaimana cara menentukan model
matematikanya dan bagaimana rumus menghitung banyaknya bahan kimia dalam tangki A dan B pada sistem
terbuka setiap saat.
3. TINJAUAN PUSTAKA
Dalam penulisan ini, sistem persamaan differensial yang terbentuk akan diselesaikan dengan menggunakan
metode matriks.
3.1. Matriks dan Operasinya
Definisi 3.1 [3]
Bentuk yang paling umum dari sebuah matriks adalah bilangan-bilangan yang berbentuk persegi panjang yang
dapat disajikan sebagai berikut:
 A11
A
A   21
 ...

 Am1
Bilangan
A12
A22
...
A23
...
Am 2
...
...
A1n 
A2 n 
... 

Amn 
(3.1.1)
A11 , A12 , ... , Amn yang menyusun rangkaian tersebut disebut elemen dari matriks. Sedangkan indeks
pertama dari elemen menunjukkan baris dan indeks kedua menunjukkan kolom.
Ordo sebuah matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom dari suatu matriks. Matriks A pada Persamaan
(2.1.1) mempunyai ordo m x n.
Matriks bujur sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolomnya sama
m  n dan
dikatakan matriks bujur sangkar berordo n.
Jika dua buah matriks A dan B mempunyai ordo yang sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh
dengan menambahkan bersama-sama elemen yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Pengurangan
matriks mempunyai syarat yang sama dengan penjumlahan.
Misalkan A adalah matrik m x n dan B adalah matriks n x r, maka hasil kali AB adalah matriks m x r yang
elemen-elemennya ditentukan sebagai berikut: untuk mencari elemen dalam baris ke i dan kolom ke j dari AB,
pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris dan
kolom tersebut bersama-sama, kemudian tambahkan hasil kali yang dihasilkannya.
3.2. Persamaan differensial
390
Prosiding Seminar Nasional Metode Kuantitatif 2017
ISBN No. 978-602-98559-3-7
Definisi 3.2 [4]
Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat
terhadap satu atau lebih variabel bebas. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel
bebas disebut persamaan differensial biasa, dan jika tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut
persamaan differensial parsial.
Persamaan diferensial biasa orde n dikatakan linear bila dapat dinyatakan dalam bentuk
a0 ( x) y ( n)  a1 ( x) y ( n1)  ...  a n ( x) y  F ( x),
dimana
a 0 ( x)  0
Persamaan diferensial orde satu adalah persamaan yang berbentuk :
dy
 f ( x, y )
dx
(3.2.1)
(Persamaan di atas dikutip dari [1]).
Definisi 3.3 [4]
Sistem
persamaan
diferensial
linear
orde
satu
disajikan
sebagai
dx1
 a11 (t ) x1 (t )  a12 (t ) x2 (t )  ...  a1n (t ) xn (t )  b1 (t )
dt
dx2
 a 21 (t ) x1 (t )  a 22 (t ) x2 (t )  ...  a 2 n (t ) xn (t )  b2 (t )
dt

dxn
 a n1 (t ) x1 (t )  a n 2 (t ) x2 (t )  ...  a nn (t ) xn (t )  bn (t )
dt
dengan aij (t ) dan
Jika
berikut:
(3.2.3)
bi (t ) adalah fungsi khusus pada interval I.
b1  b2  ...  bn  0, untuk semua t pada interval I, maka sistem ini dinamakan homogen.
Jika satu atau lebih dari
bi (t ) tidak nol, maka sistem Persamaan di atas dinamakan nonhomogen.
3.3. Nilai eigen dan vektor eigen
Definisi 3.4 [5]
Misalkan A adalah matriks n x n, vektor tak nol x di dalam
R n dinamakan vektor Eigen (eigenvector) dari A jika
Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni
Ax =
x
391
Prosiding Seminar Nasional Metode Kuantitatif 2017
ISBN No. 978-602-98559-3-7
untuk suatu skalar
 . Skalar 
bersesuaian dengan
.
dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan vektor eigen yang
Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka Ax =  x dituliskan kembali sebagai
Ax =
 Ix
atau
(  I – A)x = 0
Supaya
 menjadi nilai Eigen, maka harus ada penyelesaian
tak nol dari persamaan ini, yaitu jika dan hanya
jika
det (  I – A) = 0
(3.3.1)
Inilah yang dinamakan persamaan karakteristik A dan skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai Eigen
dari A. Jika

adalah suatu parameter, maka det (  I – A) adalah suatu polinom

yang dinamakan polinom
karakteristik dari A.
Vektor Eigen A yang bersesuaian dengan nilai Eigen

adalah vektor taknol x yang memenuhi Ax =
x
3.4. Sifat Dasar Larutan
Suatu larutan adalah campuran homogen dari molekul, atom, ataupun ion dari dua zat atau lebih. Suatu larutan
disebut suatu campuran karena susunannya dapat berubah-ubah. Disebut homogen karena susunannya begitu
seragam sehingga tak dapat diamati adanya bagian-bagian yang berlainan, bahkan dengan mikroskop optis
sekalipun. Dalam campuran heterogen, permukaan-permukaan tertentu dapat dideteksi antara bagian-bagian atau
fase-fase yang terpisah.
Biasanya dengan larutan yang dimaksudkan adalah fase cair. Salah satu komponen penyusun larutan semacam
itu adalah suatu cairan sebelum campuran itu dibuat. Cairan ini disebut medium pelarut atau zat pelarut (solvent).
Zat yang terlarut disebut zat terlarut (solute). Air disebut sebagai pelarut karena air tetap mempertahankan
keadaan fisiknya. Sedangkan zat terlarut adalah zat yang berubah keadaan fisiknya setelah dicampurkan dengan
zat pelarut.
Komposisi zat terlarut dan pelarut dalam larutan dinyatakan dalam konsentrasi larutan. Konsentrasi umumnya
dinyatakan dalam perbandingan jumlah zat terlarut dengan jumlah total zat dalam larutan, atau dalam
perbandingan jumlah zat terlarut dengan jumlah pelarut. Sedangkan proses pencampuran zat terlarut dan pelarut
membentuk larutan disebut pelarutan atau solvasi. Contoh larutan yang umum dijumpai adalah padatan yang
dilarutkan dalam cairan. Seperti garam atau gula dilarutkan dalam air [2].
4. PEMBAHASAN
Aplikasi sistem persamaan diferensial linear dalam menentukan jumlah bahan kimia yang dilarutkan ke dalam
air yang terdapat di dalam dua buah tangki, yang mana dua buah tangki tersebut saling berhubungan dengan
392
Prosiding Seminar Nasional Metode Kuantitatif 2017
ISBN No. 978-602-98559-3-7
posisi horisontal sehingga membentuk dua sistem yaitu sistem terbuka dan sistem tertutup, tetapi pada makalah
ini hanya akan dijelaskan untuk sistem terbuka sebagai berikut :
Sistem Terbuka
Ada dua bentuk sistem terbuka yang akan dibahas. Salah satu bentuk sistem terbuka dapat dilihat pada Gambar
4.1.1.
Dua tangki berisi larutan yang mengandung garam. Larutan (lain) yang mengandung konsentrasi cin gram/liter
garam mengalir ke dalam tangki A dengan laju rin liter/menit dan larutan dengan konsentrasi cout gram/liter
mengalir keluar sistem melalui tangki B dengan laju rout liter/menit. Kemudian larutan dengan konsentrasi c12
gram/liter mengalir ke dalam tangki A dari tangki B dengan laju r12 liter/menit dan larutan dengan konsentrasi
c21 gram/liter mengalir ke dalam tangki B dari tangki A dengan laju r21 liter/menit. Yang akan dihitung adalah
A1 (t ) dan A2 (t ) , yakni jumlah garam di dalam tangki A dan tangki B setelah waktu t secara berturut-turut.
rin
r21
cin
C 21
A1
A2
r12
rout
C out
C 12
Tangki A
Tangki B
Gambar 4.1.1
Diketahui pada Gambar 4.1.1
rin  laju larutan masuk dari luar sistem ke dalam sistem
cin  konsentrasi larutan masuk dari luar sistem ke dalam sistem
r21  laju larutan yang masuk ke dalam tangki B dari tangki A
c21  konsentrasi larutan yang masuk ke dalam tangki B dari tangki A
r12  laju larutan yang masuk ke dalam tangki A dari tangki B
c12  konsentrasi larutan yang masuk ke dalam tangki A dari tangki B
rout  laju larutan keluar meninggalkan sistem
cout  konsentrasi larutan keluar meninggalkan sistem
A1 (t )  jumlah garam di dalam tangki A setelah waktu t
A2 (t )  jumlah garam di dalam tangki B setelah waktu t.
393
Prosiding Seminar Nasional Metode Kuantitatif 2017
ISBN No. 978-602-98559-3-7
Diasumsikan bahwa larutan pada setiap tangki bercampur sempurna sehingga berdasarkan definisi konsentrasi
diperoleh
dengan
c12 = cout =
A2
, dan
V2
c21 =
A1
,
V1
Vi merupakan volume larutan di dalam tangki i pada saat t.
t jumlah bahan kimia yang memasuki tangki A adalah
Pada interval waktu
(cin rin + c12 r12)
t gram
dan jumlah bahan kimia yang keluar dari tangki A pada interval waktu yang sama adalah
c21r21
t gram.
Perubahan jumlah bahan kimia di dalam tangki A pada interval waktu
t , ditunjukkan oleh A1 , yaitu

A
A 
A1   cin rin  r12 2  r21 1 t. (4.1.1)
V2
V1 

Jumlah total bahan kimia yang memasuki tangki B pada interval waktu
t adalah
c 21 r21 t gram
Jumlah total bahan kimia yang keluar dari tangki B pada interval waktu
r12
t adalah
c12  rout cout  t gram
Perubahan jumlah bahan kimia di dalam tangki B pada interval waktu
t , ditunjukkan oleh A2 yaitu
A2  r21c21  (r12c12  routcout )t ,
 A
A 
A2  r21 1  (r12  rout ) 2  t.
V2 
 V1
sehingga diperoleh :
dA1
A
A
 r21 1  r12 2  cin rin ,
dt
V1
V2
dA2
A
A
 r21 1  (r12  rout ) 2 .
dt
V1
V2
Selanjutnya Persamaan (4.1.2) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yaitu:
x’ = A x + b
sehingga diperoleh suatu penyelesaian sebagai berikut :
x1  e 1t v1 ,
dengan
394
x2  e2t v2
v1 dan v2 , sehingga diperoleh
(4.1.2)
Prosiding Seminar Nasional Metode Kuantitatif 2017
ISBN No. 978-602-98559-3-7
x  c1e1t v1  c2e2t v2  x p
Sedangkan untuk menghitung
c1 dan c2 digunakan syarat awal.
Contoh kasus:
Diketahui : dua buah tangki
V1  20 liter, V2  20 liter, A1 (0)  40 gram, A2 (0)  20 gram
cin  4 g/liter, rin  3 liter/menit,
r12  1 liter/menit, r21  4 liter/menit, rout  3 liter/menit.
c12 = cout =
c 21 =
A2 A2

V2 20
A1 A1

V1 20
Pada interval waktu
t , perubahan jumlah garam di dalam tangki A adalah
A 
1

A1  12  2  t  A1 t
20 
5

1
1 

 12 
A2  A1  t
20
5 

(4.2.1)
Dengan analisis yang sama, perubahan jumlah garam di dalam tangki B pada interval waktu t adalah
1 
1
A2   A1  A2  t
5 
5
(4.2.2)
Sehingga diperoleh
dA1
1
1
  A1 
A2  12
dt
5
20
dA2
1
1
 A1  A2
dt
5
5
(4.2.3)
Sistem di atas dapat ditulis sebagai persamaan matriks
x’ = A x + b
 A1 
 ,
 A2 
dengan x  
1  
1
,
10
 1
A   15
 5
2  

,
 
1
20
1
5
12
b    Nilai eigen dari A adalah
0
3
.
10
Sehingga diperoleh
395
Prosiding Seminar Nasional Metode Kuantitatif 2017
ISBN No. 978-602-98559-3-7
x1  e
t
10
1 
 3t  1 
10
x

e
,
dan
1
 2
  2
 
 
x '  A x adalah
Jadi, solusi umum
xc  c1e
t
10
1 
3  1 
10
 2  c 2 e   2
 
 
Setelah dicari nilai dari xp solusi umum untuk x’ = A x + b adalah
x  c1e
t
10
1 
80
3t  1 
10

c
e
 2 2
 2  80
 
   
Dengan menggunakan kondisi awal yaitu
A1 (0)  40, A2 (0)  20 .
40
x(0)   
20
diperoleh
2c1  70
dan
c1  35
c 2  5
Sehingga diperoleh solusi dari masalah nilai awalnya yaitu
x  35e
t
10
1 
80
3t  1 
10
2  5e
 2  80
 
   
Jadi jumlah garam di dalam tangki A dan B setiap saat yaitu
A1 (t )  (80  35e
t
A2 (t )  (80  70e
10
t
10
 5e
3t
 10e
10
3t
) gram
10
) gram
5. KESIMPULAN
Pada penulisan ini dapat disimpulkan bahwa
1. Sistem persamaan diferensial dapat digunakan untuk menghitung jumlah bahan kimia yang dilarutkan ke
dalam air yang terdapat di dalam dua buah tangki. Sistem persamaan diferensial yang terbentuk dari sistem
terbuka adalah sistem persamaan diferensial linier nonhomogen.
Sistem ini diselesaikan dengan
menggunakan metode matriks.
2. Banyaknya bahan kimia dalam tangki A dan B pada sistem terbuka
setiap saat dapat ditentukan dengan
menentukan nilai Eigen dan vektor Eigen, kemudian menentukan solusi dan memasukkan masalah nilai awal
ke dalam solusi tersebut.
396
Prosiding Seminar Nasional Metode Kuantitatif 2017
ISBN No. 978-602-98559-3-7
6. SARAN
Pada penulisan ini hanya membahas tentang sistem terbuka. Secara sama dapat diselesaikan juga untuk sistem
tertutup.
KEPUSTAKAAN
[1] Finizio, N & G. Ladas. 1998, Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern. Terjemahan oleh
Dra. Widiarti Santoso. Jakarta: Erlangga.
[2] Kleinfelter, Wood. 1991, Kimia Untuk Universitas. Terjemahan oleh Aloysius Hadyana Pudjaatmaka, Ph.D.
Jakarta: Erlangga.
[3] Gere, James, M & William Weaver Jr. 1987, Aljabar Matriks Untuk Para Insinyur. Terjemahan oleh Drs. G.
Tejosutikno, Jakarta: Erlangga.
[4] Goode, Stephen, W. 1991, An Introduction To Differential Equations And Linear Algebra. California:
Prentice Hall International Inc.
[5] Anton, Howard & Rorres Chris, 2004, Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi. Jakarta: Erlangga.
397