masalah pencanpuran bahan kimia

MASALAH PENCANPURAN BAHAN
Banyak permasalahan biosistem dan biokimia menghadapi permasalahan masalah pencampuran.
Dalam pengolahan limbah misalnya untuk mencampuran bahan kimia dalam suatu tangki
pencampuran untuk menetranisir kandungan tertentu, seperti halnya juga dalam pengolahan air
bersih dan juga dalam proses pengolahan makanan atau hasil pertanian, atau juga untuk
pemupukan di sawah.
Sebagai contoh kita mulai dengan tangki berisi 20 galon larutan kimia dan yang mengandung 10 lb
kimia dalam larutan itu. Larutan kimia yang sama dengan konsentrasi 2 lb/gal, dialirkan dalam
tangki dengan laju 3 gal/min. Campuran di-drain keluar pada laju yang sama sehingga isi tangki itu
konstan. (Kita buat asumsi yang menyederhanakan bahwa konsentrasi larutan dalam tangki terjaga
uniform, mungkin dengan pengadukan). Berapa galon larutan itu harus dipompa dalam tangki untuk
meningkatkan bahan kimia terlarut menjadi 15 lb?
Adalah benar bahwa masing-masing galon larutan itu membawa 2 lb bahan kimia, tetapi campuran
itu pergi meninggalkan bahan kimia. Kita dapat pecahkan masalah ini jika kita dapat peroleh
persamaan /formula untuk banyaknya bahan kimia dalam tangki pada waktu t. Jika x(t) adalah
banyaknya bahan kimia dalam tangki pada waktu t, maka laju perubahan x, dx/dt, diberikan dengan
aturan berikut : dx/dt sama dengan laju bahan kimia masuk dikurangi dengan laju bahan kimia
keluar. Laju bahan kimia masuk adalah 2 x 3 = 6 lb/min, sejak 3 gal larutan mengalir per menit dan
tiap galon mengandung 2 lb bahan kimia. Pada waktu t konsenttrasi bahan kimia dari larutan itu
dalam tangki adalah x(t)/20, sejak volume larutan dalam tangki selalu 20 gal. Disini laju bahan kimia
yang meninggalkan tangki adalah 3 * x/20 gal/min. Sehingga kita dapatkan persamaan diferensial
𝑑𝑥
𝑑𝑡
3
= 6 − 20𝑥
Ini adalah persamaan linier yang juga terpisahkan. Persamaan umum nya adalah
𝑥 = 𝑐𝑒 −3𝑡/20 + 40
Dengan menggunakan fakta bahwa x= 10 ketika t = 0, kita punyai 10 = c + 40 atau c = -30. Ketika
𝑥 = 40 − 30𝑒 −3𝑡/20
Kita ingin dapatkan nilai t ketika x adalah 15. Setting x=15 dalam persamaan di atas, kita punyai
15 = 40 − 30𝑒 −3𝑡/20
𝑒 −3𝑡/20 =
25 5
=
30 6
Atau
𝑡=
20 6
𝑙𝑛
3
5
Dengan kalkulator kita dapatkan bahwa ln 6/5 = 1,8232 dan diperoleh t=12,15 menit. Bila 3 galon
larutan masuk tangki per menit, maka kita harus pompa 36,45 gal untuk mencapai nilai konsentrasi
yang diharapkan.
Latihan
1) Sebuah tangki mula-mula berisi 100 gal larutan yang mengandung 30 lb bahan kimia. Air
masuk dalam tangki dengan laju 2 gal/min dan larutan itu keluar meninggalkan tangki
dengan laju yang sama. Berapa banyak bahan kimia yang tertinggal dalam tangki setelah 20
menit?
2) Mula-mula tangki memuat 50 liter larutan yang mengandung 30 gram bahan kimia. Air
dimasukkan dalam tangki dengan laju 3 liter/menit dan campuran keluar dengan laju 2
liter/menit. Setelah berapa lama akan ada 25 gram bahan kimia dalam tangki?