Uploaded by User57092

29969119

advertisement
BAB 7
GEOMETRI NETRAL
Ilmuwan besar matematika ini
lahir pada bulan April 1777, di
Brunswick,
Daerah
duke
Brunswick (sekarang Negara
Jerman).
Gauss
tumbuh
didalam keluarga yang agak
sederhana, bukan kaya maupun
terdidik. Gauss mulai sekolah
dasar saat usia tujuh tahun,
saat itulah kecerdasannya
ditemukan hampir dengan
seketika.
Dia menjadi sangat terkenal ketika dia diminta untuk
menjumlahkan angka-angka 1 sampai 100, dia juga
memberitahukan pola bilangan dan dijawab dengan
menjumlahkannya. Gauss bisa mengkalkulasi angka-angka
pada umur yang sangat muda bahkan dia dapat membantu
ayahnya untuk menghitung gajinya.
Gauss telah berbuat banyak hal-hal mengagumkan di
Matematika.
Saat
di
Brunswick
itulah
Gauss
memformulasikan prinsip kuadrat terkecil dan hasil
perkiraan yang dianggap benar jika geometri Euclid tidak
benar, dan berbagai temuan kecil lainnya, seperti halnya
Euler, Gauss berfikir aljabar secara numerik.
Ketika Gauss berumur duapuluh tahun, ia mengalami suatu
perkembangan yang sangat cepat, kecepatan yang tidak
masuk akal, di bidang penyelidikan matematika dan teori
konstruksi. Meskipun keluarganya miskin, Gauss dibiayai
oleh adipati Brunswick untuk masuk perguruan tinggi
Caroline. Di perguruan tinggi itu gauss melanjutkan
studinya di bidang geometri, aljabar dan analisis. Setelah
belajar selama 3 tahun, Gauss datang ke universitas
gottingen, disini gauss mendapatkan keberhasilan
Geometri Netral /
161
terbesarnya. Setelah hanya satu tahun di universitas
Gottigen, Gauss bekerja di sambil membuat penemuan yang
besar.
Di tahun 1799, Gauss berprofesi sebagai doctor di
Universitas Helmstedt. Gauss benar-benar hidup sukses
walaupun tumbuh dewasa dalam keluarga yang tak sehat
dan miskin, menakjubkan!!!!!!
A.
Pengertian Pangkal, Postulat, Dfinisi pada
Geometri Netral
Dalam geometri netral tidak diperhatikan pastulat
kesejajaran dari Euclides, maka geometri ini disebut
geometri absolut atau gemoetri netral. Geometri
absolut ini termuat dalam geometri terurut, jadi
pengertian pangkal geometri terurut juga menjadi
pengertian pangkal geometri absolut. Selain itu
diperkenalkan pengertian pangkal ketiga yaitu
kongruensi, suatu relasi untuk pasangan titik, segmen
dan interval. Jika segmen AB kongruen dengan
segmen CD, maka untuk menyatakan ini digunakan
notasi AB  CD. Pengertian ini tidak didefenisikan.
Pengertian pangkal geometri absolut, menurut
Pasch ialah
a. Titik-titik A, B, C, D, …
b. Keantaraan
c. Kongruensi.
Titik dipandang sebagai unsur yang tidak
didefinisikan dan keantaraan dan kongruensi sebagai
relasi-relasi yang tidak didefinisikan.
Adapun aksioma-aksioma kongruensi adalah sebagai
berikut :
Aksioma 6.1
162 / Geometri Netral
Jika A dan B titik berlainan, maka pada sebarang sinar
yang berpangkal di C dan tepat satu titik D
sedemikian, hingga AB  CD.
Aksioma 6.2
Jika AB  CD dan CD  EF, maka AB  EA.
Aksioma 6.3
AB  BA
Aksioma 6.4
Jika [ABC] dan [A’B’C’] dan AB  A’B’ dan BC  B’C’,
maka AC  A’C’.
Aksioma 6.5
Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan BC 
B’C’, CA  C’A’. AB  A’B’, sedang D dan D’ adalah
dua titik berikutnya sedemikian, hingga [BCD] dan
[B’C’D’] dan BD  B’D’, maka AD  A’D’.
Dari aksioma-aksioma ini dapat diturunkan,
bahwa kongruensi suatu relasi ekuivalensi. Aksioma
5.2 menunjukkan dipenuhinya sifat transitif. Dari
aksioma 5.1 dan 5.3 dapat diturunkan, bahwa sifat
refleksif dan simetrik juga dipenuhi.
Jika kita perhatikan aksioma 5.4, tampak adanya
penjumlahan segmen garis yang menjadi dasar untuk
teori panjang.
D1
D
C1
C
A
B
A1
Geometri Netral /
B1
163
Menurut Aksioma 5.5 kongruensi segmen dapat
diperluas menjadi kongruensi sudut.
Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan
BC  B’C’, CA  C’A’, AB  A’B’, maka biasa
dikatakan kedua segitiga itu sisi-sisinya sama (S, S, S)
yang secara diam-diam mengakibatkan sudut ABC
sama dengan sudut A’B’C’ atau susut ABD sama
dengan sudut A’B’D’.
Bagian kedua dari Aksioma 5.5 dapat
disimpulkan, bahwa jika AB  A’B’, sudut ABD sama
dengan A’B’D’ dan BD  B’D’, maka AD  A’D’ (S,
Sdt, S). Kongruensi dua segitiga tidak didefinisikan
dengan jelas.
Kongruensi dua segmen AB  CD ekivalen
dengan AB = CD untuk panjang. Jadi symbol untuk
segmen sama dengan symbol untuk panjang.
Diskusi
Buktikan: Jika AB  CD maka CD  AB
Definisi 6.1
Suatu sudut siku-siku ialah suatu sudut yang
kongruen dengan pelurusnya (suplemennya); besarnya
suatu sudut siku-siku sama dengan ½ .
Definisi 6.2
Lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r ialah tempat
kedudukan titik P sedemikian hingga OP = r.
Suatu titik Q yang memenuhi Q > r dikatakan ada
di luar lingkaran. Suatu titik yang tidak pada dan tidak
di luar lingkaran, dikatakan ada di dalam lingkaran.
Kegagalan dalam usaha membuktikan postulat
kesejajaran Euclides telah memberikan suatu isyarat
164 / Geometri Netral
adanya perkembangan teori-teori geometri yang
kontradiksi dengan postulat kesejajaran ini. Pada bab
ini akan dipelajari konsekuensi postulat Euclides selain
postulat kesejajaran Euclides. Bab ini bertujuan untuk
menjelaskan peran postulat kesejajaran dalam geometri
Euclides, membukakan jalan untuk mempelajari
geometri non-Euclides pada bab berikutnya, dan
menghasilkan teorema yang cocok untuk geometri
non-Euclides.
B. Teori Saccheri dalam Geometri Netral
Teorema
geometri
netral
ini
tepatnya
disimpulkan dari empat postulat pertama Euclides
kecuali postulat kesejajaran. Dalam mempelajari
geometri netral kita bertolak dari sebagian teori
Saccheri, tetapi tidak menggunakan apa yang
ditetapkan Saccheri, yakni postulat kesejajaran
Euclides harus dianggap valid. Sebaliknya, kita periksa
kemungkinan penyatuan postulat lain sehingga
pengetahuan geometri kita menjadi lebih dalam.
Kita pelajari geometri netral dengan cara
mengamati teorema-teorema. Karena
teorema
akibatnya dibuktikan sebelum pengenalan postulat
kesejajaran, demikian juga pada proposisi-proposisi
geometri netral. Istilah yang digunakan dalam
pengukuran segmen garis dan sudut, misalnya sudut
siku-siku dan ukuran derajat sudut juga merupakan
bagian dari geometri netral.
1. Jumlah sudut-sudut suatu segitiga
Lemma 6.1
Geometri Netral /
165
Jika diberikan  ABC dan  A. Maka ada segitiga
A1B1C1 sedemikian hingga  A1B1C1 mempunyai
jumlah sudut yang sama dengan  ABC, dan  A1 <
1
2  A.
Bukti :
Misalkan E titik tengah BC, dan F dipilih pada AE
sedemikian hingga AE = EF dan E terletak antara A
dan F. Maka BEA  CEF dan sudut-sudut yang
bersesuaian sama.
Kita tunjukan AFC adalah A1B1C1 yang kita cari.
Dengan memberikan nama sudut-sudutnya seperti
pada gambar, kita tahu bahwa :
 2 =  2’ ,  3 =  3’ dan
A+B+C=1+2+3+4
=  1 +  2’ +  3’ +  4
=  CAF + AFC +  FCA
Untuk melengkapi bukti, perhatikan  A =  1 + 
2 yang berakibat  A =
 1 +  2’
Pada persamaan tersebut, salah satu dari ruas
kanan,  1 atau  2’ harus kurang atau sama
dengan setengah dari suku di ruas kiri yaitu  A.
Jika  1 < 12  A namakan A sebagai A1 ; jika tidak,
namakan F sebagai A1 kemudian namakan dua titik
166 / Geometri Netral
yang lain dari AFC dengan B1 dan C1, maka
lemma terbukti.
Secara sederhana lemma di atas menyatakan
bahwa “kita dapat mengganti sebuah segitiga baru
dengan merampingkan segitiga awal tanpa mengubah
jumlah sudut-sudutnya”. Hal ini bisa dilakukan
dengan memotong ABE dari ABC dengan
meletakkan di belakang FCE.
Sepintas, lemma ini tidak ada artinya, pada hal
tidak, sebab dalam geometri netral kita tidak dapat
mengasumsikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga
selalu konstan, yang hal ini merupakan teorema
Euclides yang buktinya tergantung pada postulat
kesejajaran. Oleh karena itu, lemma ini penting sebab
lemma itu menunjukkan bahwa jika diberikan suatu
segitiga tertentu, kita dapat membuat segitiga yang
nonkongruen, tetapi mempunyai jumlah sudut yang
sama. Dengan demikian berarti ada tak berhingga
segitiga yang tidak kongruen, tetapi semuanya
mempunyai jumlah sudut yang sama dengan segitiga
yang diberikan.
Sekarang kita dapat membuktikan banyak sekali
teorema yang merupakan konsekuensi dari usaha
Saccheri yang menyalahkan hipotesis sudut tumpul.
Bukti bebasnya diberikan oleh A.M. Legendre (1752 –
183).
Teorema 6.1 (SACCHERI – LEGENDRE).
Jumlah sudut sebarang segitiga kurang atau sama
dengan 1800.
Bukti (tak langsung)
Geometri Netral /
167
Andaikan ada ABC dengan jumlah sudut = 180o +
o,  bilangan positif. Menurut lemma, ada A1B1C1
dengan jumlah sudut = 180o + o sedemikian
hingga  A1 < 12  A. dengan menggunakan
lemma lagi, berarti ada A2B2C2 dengan jumlah
sudut = 180o + o sedemikian hingga  A2 < 12  A1
< ( 12 )2  A. Dan seterusnya dengan cara yang sama,
kita dapat membuat barisan segitiga-segitiga
A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3,….., yang masingmasing jumlah sudutnya 180o + o, sedemikian
hingga
1
 An < n  A, untuk sebarang bilangan bulat
2
positif n.
Jelaslah kita dapat memilih n yang cukup besar
sedemikian hingga  An sekecil mungkin, misalnya
 An < o.
Karena  An +  Bn +  Cn = 180o + o, yang berarti
bahwa :
 Bn +  Cn > 180o
Berarti, kontradiksi dengan Teorema 5.3 dari Bab 5.
Jadi pengandaian salah, dan teorema 6.1 di atas
benar.
Contoh 6.1
Misalkan  = 1 dan  A = 250 maka dalam  ABC
didapatkan  A +  B +  C = 180o dan  A = 25o.
Menurut lemma ada  A1B1C1 sedemikian hingga 
A1 +  B1 +  C1 = 181o dan  A1 < 25o / 2. Dengan
cara yang sama :
Ada  A2B2C2 sedemikian hingga  A2 +  B2 + 
C2 = 181o dan  A2 < 25o / 4. Untuk menunjukkan
168 / Geometri Netral
terjadinya kontradiksi, gunakan lemma tiga kali
lagi untuk mendapatkan  A5B5C5 dengan  A5 + 
B5 +  C5 = 180o dan  A5 < 25o / 32  1.
Akibatnya  B5 +  C5 > 180 (tidak mungkin
terjadi).
Teorema Akibat (corollary).
Jumlah sudut sebarang segiempat kurang atau sama
dengan 360.
Teorema akibat ini sejalan dengan kesimpulan
Saccheri bahwa hipotesis sudut tumpul adalah salah.
Demikian juga, teorema ini menyangkal bahwa jumlah
sudut suatu segitiga dapat melebihi 180. Tetapi
kemungkinan bahwa jumlah sudut dalam segitiga
kurang dari 180, yang bersesuaian dengan hipotesis
Saccheri tentang sudut lancip menarik perhatian kita
sendiri.
2. Adakah persegipanjang itu ?
Adanya
persegipanjang
dalam
geometri
merupakan yang penting. Bayangkan, bagaimana
bentuk geometri Euclides jika kita tidak punya atau
tidak dapat menggunakan persegipanjang. Tentu saja
sulit sekali akan membuat suatu persegipanjang tanpa
mengasumsikan kebenaran postulat kesejajaran
Euclides, atau salah satu dari teorema akibatnya,
misalnya jumlah sudut segitiga adalah 180.
Akibatnya, seluruh teorema dalam pembahasan ini
dapat dianggap bahwa persegipanjang itu ada. Untuk
menghindari kesalahpahaman, secara formal kita
definisikan istilah persegipanjang sebagai berikut.
Definisi 6.3
Geometri Netral /
169
Suatu segiempat disebut persegipanjang jika semua
sudutnya adalah siku-siku.
Ingat, karena kita mempelajari geometri netral,
tidak otomatis kita dapat menggunakan proposisi
Euclides yang terkenal, seperti :
(a) sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegipanjang
adalah sejajar, atau
(b) sisi-sisi tersebut sama panjang, atau
(c) diagonal persegipanjang membagi persegipanjang
menjadi dua segitiga yang kongruen.
Jika kita ingin menyatakan sebarang akibat, kita
harus membuktikannya dengan berdasarkan definisi di
atas tanpa menggunakan postulat kesejajaran.
Teorema 6.2.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka akan ada juga
sebuah persegipanjang dengan salah satu sisinya lebih
panjang dari pada ruas garis tertentu.
Dengan kata lain, jika ada persegipanjang ABCD
dan ruas garis XY. Maka ada persegipanjang yang satu
sisinya lebih panjang dari pada XY.
B
C
C2
C3
A
D
D2
D3
X
Cn
Dn
Y
Bukti :
Kita gunakan ABCD sebagai “kotak pembangun”
(building block), untuk melukis persegipanjang
yang kita inginkan. Lukis segi empat D 2C2CD yang
170 / Geometri Netral
kongruen dengan ABCD sedemikian hingga C2D2
dan BA berlainan pihak terhadap CD. (Caranya
dengan memperpanjang BC ke arah C sehingga
panjang CC2 sama dengan BC dan memperpanjang
AD ke arah D sehingga panjang DD2 sama dengan
AD). Maka D2C2CD adalah persegipanjang. Lebih
dari itu, B, C, C2 terletak pada satu garis, karena
hanya ada satu garis yang tegak lurus pada CD di
C. demikian juga A, D, D2 terletak dalam satu garis.
Jadi ABCC2D2D merupakan segiempat ABC2D2, dan
merupakan persegipanjang. Ingat bahwa ABC2D2
mempunyai sifat :
AD2 = 2 AD
Dengan cara yang sama, lukis D3C3C2D2 kongruen
dengan DCC2D2 sehingga C3D3 dan CD bersesuaian
letaknya dan berlainan pihak terhadap C2D2.
Akibatnya ABC3D3 adalah persegipanjang, dan
AD3 = 3 AD
Selanjutnya dengan cara yang sama, kita dapatkan
bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif n ada
persegipanjang ABCnDn sedemikian hingga :
ADn = n AD
Pilih n cukup besar sehingga n AD > XY. Dengan
demikian, persegipanjang ABCnDn merupakan
persegipanjang yang kita inginkan.
Teorema akibat.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada sebuah
persegipanjang yang dua sisinya yang berdekatan
panjangnya masing-masing lebih panjang dari dua
segmen tertentu. G
H
W
Geometri Netral /
171
Dengan kata lain. Jika ada persegipanjang
ABCD dan segmen garis XY dan ZW diberikan. Maka
ada persegipanjang PQRS sedemikian hingga PQ > XY
dan PS > ZW.
Bukti :
Sesuai dengan Teorema 6.2. Ada persegipanjang
ABEF dengan AF > XY. Dengan melukis
persegipanjang
yang
kongruen
dengan
persegipanjang
ABEF
berulang-ulang
dan
menempatkan di atasnya, kita dapat melukis AFHG
dengan AG > ZW. Karena AF > XY, maka AFHG
merupakan
persegipanjang
PQRS
yang
dimaksudkan pada teorema akibat di atas.
Teorema 6.3.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada
persegipanjang dengan panjang dua sisi yang
berdekatan masing-masing sama dengan XY dan ZW.
S
R’
R
W
R*
S’
Z
P
X
Q’
Q
Y
Bukti :
Cara kita membuktikan seperti apa yang dilakukan
penjahit. Dengan menggunakan teorema akibat
terdahulu, maka kita memiliki persegipanjang
172 / Geometri Netral
PQRS dengan PQ > XY dan PS > ZW; kemudian
kita potongnya sedemikian hingga panjang PQ =
XY dan PS = ZW.
Jadi ada titk Q pada PQ sedemikian hingga
PQ = XY. Dari titik Q ditarik garis yang tegak
lurus RS dengan kaki R. kita tunjukkan bahwa
PQRS adalah persegipanjang.
Sudut P, R dan S adalah siku-siku. Kita tunjukkan
pula bahwa  PQR juga siku-siku. Andaikan 
PQRS > 360, kontradiksi dengan akibat dari
teorema 6.1. Andaikan  PQR < 90, maka  QQR
> 90 dan jumlah sudut segi empat PQRS > 360,
kontradiksi dengan akibat
dari teorema 6.1.
Andaikan  PQR < 90, maka  QQR > 90
jumlah sudut segiempat
QQRR > 360
(kontradiksi). Jadi satu-satunya kemungkinan
adalah  PQR = 90, dan PQRS adalah
persegipanjang.
Dengan cara yang sama, ada titik S pada PS
sedemikian hingga PS = ZW. Tarik garis S tegak
lurus QR dengan kaki R*. maka, sebagaiman di
atas, PQR*S adalah persegipanjang. Sisi-sisinya
yang berdekatan PQ dan PS masing-masing sama
dengan XY dan ZW, dan teorema terbukti.
Teorema 6.4.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitiga
siku-siku mempunyai jumlah sudut 180.
A
A’
D’
Bukti :
q
p
Geometri Netral /
B
C
B’
173
C’
Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara
menunjukkan bahwa :
1) Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari
sebuah segitiga yang dibentuk dengan cara
membelah persegipanjang pada diagonalnya.
2) Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 180.
Misalkan  ABC siku-siku di B. menurut Teorema
5.3, ada persegipanjang ABCD dengan AB = AB
dan BC = BC. Hubungkan A dan C.
Maka  ABC   ABC, dengan demikian  ABC
dan  ABC mempunyai jumlah sudut yang sama.
Misalkan : p adalah jumlah sudut  ABC dan
q adalah jumlah sudut  ADC
Maka :
p + q = 4.90 = 360, ………………………...
(1)
Kita tunjukkan bahwa p = 180.
Menurut Teorema 5.1, p = 180 atau p < 180.
Andaikan p < 180. Dari persamaan (1) diperoleh q
> 180 (bertentangan dengan teorema 1). Jadi p =
180.
Teorema 6.5.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitiga
memiliki jumlah sudut 180.
B
Bukti :
1
2
2
1
174 / Geometri Netral
A
D
C
Sekarang  ABC dapat dipotong menjadi dua
segitiga siku-siku dengan menarik salah satu garis
tinggi. Masing-masing segitiga ini mempunyai
jumlah sudut 180 (Teorema 4). Oleh karena itu,
sifat tersebut berlaku juga untuk sebarang  ABC.
Ini merupakan hasil yang agak menyolok.
Adanya satu persegipanjang yang kecil dengan satu
sisi yang sangat kecil sekali yang menempati bagian
daerah terpencil menjamin bahwa setiap segitiga
yang mungkin (yang dapat dipikirkan) mempunyai
jumlah sudut 180. Karena hal ini merupaka ciri
khusus
geometri
Euclides,
kita
berusaha
mengatakan bahwa jika dalam geometri itu menjadi
geometri Euclides. Pernyataan ini benar, tetapi
masih belum sepenuhnya ditunjukkan alasannya.
Karena, untuk menggolongkan suatu geometri
sebagai geometri Euclides, kita harus menunjukkan
bahwa geometri tersebut memenuhi postulat
kesejajaran Euclides. Hal ini akan dibahas pada bab
berikutnya.
3. Jumlah sudut suatu segitiga
Adanya persegipanjang dapat digunakan untuk
mempertajam teorema I, teorema Saccheri – Legendre
tentang jumlah sudut segitiga. Hal ini mudah sekali
dilakukan, seperti pada Teoerma 6.5, adanya segitiga
dengan jumlah sudut 180 adalah ekivalen dengan
adanya persegipanjang.
Teorema 6.5
Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180,
maka akan ada sebuah persegipanjang.
Geometri Netral /
175
B
p
q
D
A
C
Bukti :
Misalkan  ABC mempunyai jumlah sudut 180,
pertama kita tunjukkan bahwa ada segitiga siku-siku
dengan jumlah sudut 180. Potong  ABC menjadi dua
segitiga siku-siku yang masing-masing mempunyai
jumlah sudut p dan q, dengan menarik garis tinggi
tertentu, misalnya AD, maka : p + q = 2.90 + 180 =
360.
Kita tunjukkan p = 180. Menurut teorema 6.1, p  180.
Jika p < 180 , q > 180 bertentangan dengan Teorema
6.1. Jadi ada segitiga siku-siku, misalnya  ABD
dengan sudut siku-siku di D, yang mempunyai jumlah
sudut 180.
Sekarang kita mengambil dua segitiga siku-siku,
kedua segitiga tersebut kita tempelkan bersama untuk
membentuk persegipanjang.
A
E
1’
2
2’
1
B
176 / Geometri Netral
D
Lukis  BAE   ABD dengan E berlainan pihak
dengan D dari sisi AB, dan BE bersesuaian dengan AD.
Karena jumlah sudut  ABD adalah 180, maka :
 1 +  2 = 90
karena
 1 =  1,  2 =  2
maka kita peroleh :
 1 +  2 = 90 , dan  1 +  2 = 90
Tetapi
 1 +  2 =  EBD, dan
 1 +  2 =  EAD.
Jadi
 EAD =  EBD = 90
Berarti ADBE persegipanjang.
Akibat 1 Teorema 6.6
Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800,
maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 180o.
Bukti :
Gunakan Teorema 6.6 dan 6.5
Akibat 2 Teorema 6.6
Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut kurang
dari 180o, maka setiap segitiga mempunyai jumlah
sudut kurang dari 180o.
Bukti :
Misalkan  ABC mempunyai jumlah sudut kurang
dari 180o. Perhatikan sebarang  PQR. Menurut
Teorema 6.1, jumlah sudutnya , dan  < 180o.
Misalkan  = 180o. Maka menurut akibat Teorema
6.6 di atas,  ABC mempunyai jumlah sudut 180o,
Geometri Netral /
177
bertentangan dengan permisalan di atas. Jadi  <
180o.
Dengan membandingkan teorema akibat 1 dan 2
dari Teorema 6.6, kita amati suatu fakta penting yang
tidak termuat dalam Teorema Saccheri Legendre.
Geometri netral adalah “homogen”, dalam arti bahwa
semua segitiga mempunyai jumlah sudut 180o, atau
semua segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari
180o. Jenis geometri netral yang pertama tersebut
merupakan geometri Euclides. Sedangkan yang kedua
secara historis muncul sebagai geometri non-Euclides.
Keduanya akan dipelajari pada bab yang akan datang.
Kita simpulkan daftar referensi Proposisi
Geometri Netral Bidang yang boleh digunakan dalam
menyelesaikan Latiahan 6 di bawah.
Contoh 6.1
Buktikan Dua Segitiga adalah kongruen jika dua sudut
dan sisi di hadapan salah satu sudut dari dua segitiga
yang bersesuaian adalah sama.
C
R
A
B P
C= R1
P11 A=P111 P1
Diketahui: Lihat gambar
di samping I.
Buktikan: ∆ ABC 
∆
PQR
Bukti:
Teorema
kongruensi
yang
ada
ádalah proposisi 8 (s,sd,s),
Q
(sd,s,sd),
(s,s,s)
.tidak ada yang cocok.
Terpaksa menggunakan
B= Q1
Postulat V sebagai berikut:
178 / Geometri Netral
Bentuk geometri dapat dipindah tanpa mengubah ukuran
dan bentuknya.
Langkahnya ∆PQR diimpitkan ke ∆ABC
Alternatif yang mungkin P terletak di:
a) antara A dan B,
b) pada perpanjangan BA dan
c) berimpit dengan A. (mengapa ?)
∆PQR  ∆P1Q1 R1 (postulat V).
Lihat ∆ ACP1 berarti  A
<
 ACP1
(mengapa?)...... 1)
Padahal  CP1B adalah sudut luar ∆ACP1 berarti 
A < CP1B (teorema sudut luar) ........ 2)
Dari 1) dan 2) terjadi kontradiksi.
Analog jika terjadi:
b) kontradiksi juga
c) A = P111 maka AB = P111 G1 sehingga
∆ABC  ∆PQR
Proposisi-proposisi Geometri Netral Bidang
1. Dua garis yang tidak berimpit mempunyai paling
banyak satu titik potong.
2. Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik
tengah.
3. Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi.
4. Komplemen dari sudut-sudut yang sama adalah
sama.
5. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama.
6. Kongruensi dua segitiga adalah ss-sd-ss, sd-ss-sd,
ss-ss-ss.
7. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, sudutsudut di hadapannya sama.
Geometri Netral /
179
8. Jika dua sudut suatu segitiga sama, dua sisi di
hadapannya sama.
9. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis
tertentu melalui satu titik pada garis tertentu
tersebut.
10. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis
tertentu melalui satu titik di luar garis tertentu
tersebut.
11. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika
dan hanya jika TA = TB.
12. Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama, maka sudutsudut di hadapannya juga tidak sama, dan sudut
yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih
panjang.
13. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama, maka sisisisi di hadapannya juga tidak sama, dan sisi yang
lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih
besar.
14. Segmen garis terpendek yang menghubungkan
sebuah titik dan sebuah garis adalah segmen yang
tegak lurus.
15. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi yang
ketiga.
16. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masingmasing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua,
dan sudut apit segitiga pertama lebih besar dari
sudut apit segitiga kedua, maka sisi ketiga dari
segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari
segitiga kedua.
17. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masingmasing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua,
dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang
dari sisi ketiga dari segitiga kedua, maka sudut apit
180 / Geometri Netral
dari segitiga pertama lebih besar dari sudut apit
dari segitiga kedua.
18. Besar sudut luar suatu segitiga adalah lebih besar
dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian
dengan sudut luar tersebut.
19. Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah kurang
dari 180o.
20. Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan
membentuk sepasang sudut dalam berseberangan
yang sama dua garis tersebut sejajar.
21. Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama
adalah sejajar.
22. Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar
dengan suatu garis tertentu yang melalui titik di
luar garis tertentu tersebut.
23. Misalkan garis 1 melalui titik C yang jaraknya ke
pusat lingkaran kurang dari panjang jari-jarinya.
Maka garis 1 memotong lingkaran di dua titik.
24. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran
jika dan hanya jika garis tersrebut tegak lurus pada
jari-jari lingkaran.
25. Jika diketahui  ABC dan segmen garis PQ
sedemikian hingga PQ = AB, maka ada titik R di
luar PQ sedemikian hingga  PQR   ABC.
26. Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui
sebarang segitiga.
LATIHAN 6
Bagian A
1. Buktikan : Dua segitiga adalah kongruen jika dua
sudut dan sisi di hadapan salah satu sudut dari dua
segitiga yang bersesuaian adalah sama.
Geometri Netral /
181
2. Buktikan : Dua segitiga siku-siku adalah konguren
jika sisi miring dan salah satu kaki segitiga yang
satu sama dengan sisi miring dan salah satu kaki
segitiga yang lain.
3. Buktikan : Jika dua garis dipotong oleh garis lain
dan membentuk sudut dalam berseberangan yang
sama, maka kedua garis tersebut mempunyai satu
garis tegak lurus persekutuan.
Definisi : Segiempat ABCD disebut segiempat Saccheri
jika
 B =  C = 90o, dan AB = DC.
BC disebut sisi alas segiempat Sachheri, AB
dan DC disebut sisi (kaki)nya dan AD
adalah sisi atas (summit)nya,  D adalah
sudut puncaknya.
Buktikan : Sudut-sudut puncak dari segiempat
Saccheri adalah sama dan tidak tumpul.
4. Buktikan : Garis yang menghubungkan titik tengah
sisi atas dan titik tengah sisi alas segiempat Saccheri
adalah tegak lurus pada sisi atas dan sisi alasnya.
Simpulkan bahwa sisi atas dan sisi alas segiempat
Saccheri adalah sejajar.
5. Buktikan : Sumbu sisi alas segiempat Saccheri juga
merupakan sumbu sisi atasnya.
6. Buktikan : Dua garis mempunyai satu garis tegak
lurus persekutuan jika dan hanya jika pada salah
satu garis tersebut terdapat dua titik yang jaraknya
sama ke garis yang lain.
7. Pada segiempat ABCD, diketahui  B =  C = 900.
Buktikan bahwa AB > DC jika dan hanya jika  D
>  A.
182 / Geometri Netral
8. Pada segiempat ABCD, diketahui  B =  C = 900,
buktikan : jika  A =  D maka AB = DC.
9. Buktikan : sisi atas segiempat Saccheri lebih besar
atau sama dengan sisi alasnya.
10. Buktikan : Segmen garis yang menghubungkan titik
tengah sisi atas dan titik tengah sisi alas segiempat
Saccheri adalah lebih kecil atau sama dengan kaki
segiempat Saccheri.
11. Buktikan : Jika segiempat mempunyai tiga sudut
siku-siku, maka sisi yang berdekatan dengan sudut
keempat lebih besar atau sama dengan sisi
dihadapannya (disebut segi-4 Lambert).
12. Buktikan : Jika dua garis mempunyai satu garis
tegak lurus persekutuan, maka segmen garis
terpendek menghubungkan kedua garis tersebut
adalah garis tegak lurus persekutuan tersebut.
13. Jika diketahui sebuah segitiga siku-siku. Lukislah
segitiga siku-siku yang baru yang mempunyai
sudut lancip yang sama yang baru yang
mempunyai sudut lancip yang sama dengan
segitiga siku-siku yang pertama, dan panjang garis
miringnya dua kali sisi miring segitiga siku-siku
yang pertama. Buktikan bahwa sisi yang
berhadapan dengan sudut lancip tersebut paling
tidak dua kali dari sisi yang bersesuaian dari
segitiga yang pertama. Pikirlah bagaimana dengan
sisi yang berdekatan dengan sisi tersebut. Coba
jelaskan jawaban anda.
14. Diketahui dua garis l dan m berpotongan di O. Titik
P terletak di antara O dan Q di l. PP’  m di P’ : QQ’
 m di Q’. Buktikan QQ’ > PP’, (Berarti jika sebuah
Geometri Netral /
183
titik di l menjauhi O maka jaraknya ke m
bertambah panjang).
15. Pada soal 15 tunjukkan bahwa jika OP bertambah
panjang terus maka PP’ juga bertambah panjang.
Hal ini memantapkan sifat (A) dari Bab 2 bagian 5,
bahwa jika sebuah titik pada L menjauhi O terus
menerus, maka jaraknya ke m juga bertambah
terus.
Kunci Soal No 8
Pada segiempat ABCD diketahui  B = C = 900,
buktikan bahwa AB>DC jika hanya jika D >  A.
Diketahui: Lihat gambar
Buktikan :
a) AB > DC  D >  A
E
D
b) D >  A  AB > DC
Bukti:
B
Ca) Pilih titik E pada AB sedemikian hingga
BE = CD, maka EBCD
segiempat
Saccheri (definisi)
berarti E2 =  D2 = <= 900 (Soal no 4)
... 1)
Pada ∆ ADE,  A < E2 (teorema sudut luar) ......
2)
 D2 <  D12 ....... 3)
Dari 1), 2), 3) didapat  A < D2 <  D12   A
< D (sifat transitif)
A
Alternatif yang mungkin
b)  D < A 
i) AB < DC
ii) AB = DC
184 / Geometri Netral
iii) AB > DC
i) AB < DC   D< A (bukti A) kon indikasi
dengan  D > A
ii) AB = DC maka  D = A (mengapa dengan 
D > A yang mungkin AB < DC.
Dari a) dan b) terbukti soal no 8
AB > DC   D > A
A
B
Soal ini mirip dengan proposisi 12 dan 13
pada ∆
  C < B
C AB > AC
Soal 8 sering dipakai pada penyelesasian soal
berikutnya bersama-sama dengan soal 4
Bagian B
1. Buktikan : garis yang tegak lurus ke garis yang
menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga
dari ujung-ujung sisi ketiga membentuk segiempat
Saccheri. Lebih jelasnya, jika M, N adalah titik-titik
tengah sisi AB dan AC dari segitiga ABC dan BP 
MN di P, CQ  MN di Q maka BPQC adalah
segiempat Saccheri. B
P
M
A
C
N
Q
Geometri Netral /
185
Definisi :
Suatu segitiga dan segiempat Saccheri
yang berhubungan seperti pada soal no. 1
dikatakan berasosiasi. Sebuah segitiga
mempunyai tiga segiempat Saccheri yang
berasosiasi dengan segitiga tersebut.
2. Buktikan bahwa (sesuai gambar pada soal no. 1 di
atas) : MN < 12 BC dan MN / / BC.
Dua poligon , q adalah ekivalen jika 
dapat dipecah-pecah atas segitiga 1, 2,
……., n’ dan q dapat dipecah-pecah atas
segitiga q1, q2, ….., qn sedemikian hingga i
 qI, untuk i = 1, 2, ….., n.
Definisi : Dua poligon , q adalah ekivalen jika :
a) Keduanya ekivalen dengan cara
dipecah-pecah;
atau
b) Ada poligon ’, q’ yang keduanya
ekivalen
dengan
dipecah-pecah
sedemikian hingga ’ dapat dipecah
menjadi  dan sejumlah segitiga 1, 2,
……., n, dan q’ dapat dipecah menjadi
q dan sejumlah segitiga q1, q2, ….., qn,
dengan i  qI, i = 1, 2, …., n.
Asumsikan bahwa relasi ekivalen dari poligon-poligon
adalah transitif, yakni :
Jika  ekiv. q dan q ekiv. r maka  ekiv. r
3. Buktikan : Sebuah segitiga adalah ekivalen dengan
setiap segiempat Saccheri yang berasosiasi dengan
segitiga tersebut, dan jumlah sduut segitiga tersebut
sama dengan jumlah sudut puncak segiempat
Saccheri yang berasosiasi.
Definisi :
186 / Geometri Netral
4. Buktikan : Jika dua segitiga memiliki bersama suatu
segiempat Saccheri berasosiasi, maka dua segitiga
tersebut ekivalen dan mempunyai jumlah sudut
yang sama.
5. Buktikan : Jika sisi atas segiempat Saccheri adalah
satu sisi segitiga, dan sisi alas segiempat Saccheri
tersebut membagi dua sama sisi kedua segitiga
tersebut tentu (sisi alas tersebut) juga akan
membagi dua sama sisi ketiga, maka segiempat
Saccheri tersebut berasosiasi dengan segitiga
tersebut.
6. Diketahui sebuah segiempat Saccheri. Buktikan ada
sebuah segitiga yang berasosiasi, dengan panjang
salah satu sisinya adalah x, dan x paling sedikit dua
kali panjang kaki segiempat Saccheri tersebut.
7. Diketahui segitiga ABC. Buktikan bahwa ada
segitiga lain yang ekivalen dengan segitiga ABC
dan jumlah sudutnya sama dengan segitiga ABC,
serta punya sisi yang panjangnya x, dengan x >
panjang salah satu sisi segitiga ABC.
8. Buktikan : Setiap segiempat Saccheri punya segitiga
samakaki yang berasosiasi. Simpulkan bahwa
sebarang segitiga ABC punya jumlah sudut yang
sama dengan alas AB dan keduanya ekivalen.
Bagian C
1. Buktikan : Jika dalam geometri netral ada
segiempat Saccheri yang sisi atasnya sama dengan
sisi alasnya, maka geometri tersebut adalah
geometri Euclides.
2. Buktikan : Jika dalam geometri netral segmen garis
yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga
Geometri Netral /
187
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
selalu sama dengan separoh sisi yang ketiga, maka
geometri tersebut adalah geometri Euclides.
Buktikan : Jika dalam geometri netral setiap segitiga
dapat dilalui oleh sebuah lingkaran, maka geometri
tersebut adalah geometri Euclides.
Buktikan : Jika dalam geometri netral sebarang
garis yang melalui titik di dalam daerah sudut pasti
memotong sudut tersebut, maka geometri tersebut
adalah geometri Euclides.
Buktikan : Jika dalam geometri netral jumlah sudut
segitiga adalah konstan, maka geometri tersebut
adalah geometri Euclides.
Buktikan : Geometri netral merupakan geometri
Euclides jika memuat dua segitiga sebangun yang
tidak kongruen.
Buktikan : Jika dalam geometri netral ada segitiga
sedemikian
hingga
segmen
garis
yang
menghubungkan titik tengah dari sepasang sisi
tertentu dan panjangnya separuh sisi ketiga, maka
geometri tersebut adalah geometri Euclides.
Buktikan : Jika teorema Pythagoras berlaku pada
geometri netral, maka geometri tersebut adalah
geometri Euclides.
Dalam geometri netral, misalkan segiempat ABCD
mempunyai sudut siku-siku di A dan B, AD = BC
dan sumbu AAB membagi dua CD.
Buktikan : geometri tersebut adalah geometri
Euclides.
Bagian D
1. Buktikan : Jika sisi-sisi yang berhadapan suatu
segiempat sama, maka sudut-sudut yang
berhadapan juga sama.
188 / Geometri Netral
2. Dalam segiempat ABCD, misalkan sudut A dan B
adalah siku-siku.
Buktikan : bahwa ABCD adalah segiempat Saccheri
jika memenuhi salah satu syarat berikut :
(i)
sumbu AB  CD,
(ii)
sumbu CD  AB.
(iii) Sumbu CD membagi dua AB.
3. Buktikan : sisi-sisi yang berhadapan suatu persegi
panjang sama.
4. Buktikan : diagonal persegipanjang saling membagi
dua.
5. Buktikan : jika diagonal segiempat Saccheri saling
membagi dua, maka gambar segiempat tersebut
adalah persegipanjang.
6. Buktikan : Pada segiempat Saccheri, garis yang
menghubungkan titik tengah sisi alas dengan titik
tengah sisi atas melalui perpotongan kedua
diagonal.
7. Dalam segiempat Saccheri, buktikan bahwa garis
yang menghubungkan titik tengah kaki-kakinya
dibagi dua oleh sumbu dari garis yang
menghubungkan titik-titik tengah sisi alas dan sisi
atas.
8. Buktikan : Garis yang menghubungkan titik-titik
tengah dua sisi segitiga adalah tegak lurus terhadap
sumbu sisi ketiga.
9. Buktikan : Sumbu dari sisi-sisi segitiga berpotongan
di suatu titik, dengan menetapkan dua diantaranya
berpotongan.
Simpulkan :
(i)
tiga sumbu dari sisi segitiga adalah melalui 1
titik atau sejajar.
Geometri Netral /
189
(ii)
Sebuah lingkaran bisa melalui sebuah
segitiga atau sumbu sisi-sisinya sejajar.
10. Buktikan : Sumbu sisi-sisi segitiga merupakan garis
tinggi
segitiga
yang
dibentuk
dengan
menghubungkan titik tengah sisi-sisinya.
11. Buktikan : Sebarang segitiga siku-siku ekivalen
dengan segiempat dengan tiga sudut siku-siku dan
sebaliknya.
Definisi : Jajargenjang adalah segiempat yang
mempunyai dua sisi yang berhadapan sama dan
dua sudut yang berdekatan saling bersuplemen dan
berdekatan pada sisi yang sama. Alasnya adalah
sisi yang menghubungkan titik sudut yang saling
bersuplemen. Ingat bahwa sebarang segiempat
Saccheri adalah jajargenjang.
12. Buktikan : Sisi-sisi yang berhadapan jajargenjang
adalah sejajar.
13. Buktikan : Sebarang segitiga adalah ekivalen
dengan jajargenjang ; jumlah sudutnya sama
dengan jumlah sudut jajargenjang dikurangi 180 0.
14. Diketahui segitiga siku-siku, lukislah segitiga sikusiku yang mempunyai sebuah sudut lancip yang
sama dengan salah satu sudut dari segitiga
pertama, dan sisi yang berdekatan panjangnya dua
kali sisi yang berdekatan dari sisi segitiga pertama.
Buktikan bahwa luas segitiga tersebut > dua kali
sisi luas segitiga pertama.
15. Pada segiempat Saccheri, buktikan bahwa garis
yang menghubungkan titik tengah kaki-kakinya
membagi dua masing-masing diagonalnya.
190 / Geometri Netral
Download
Random flashcards
hardi

0 Cards oauth2_google_0810629b-edb6-401f-b28c-674c45d34d87

Rekening Agen Resmi De Nature Indonesia

9 Cards denaturerumahsehat

Rekening Agen Resmi De Nature Indonesia

9 Cards denaturerumahsehat

Tarbiyah

2 Cards oauth2_google_3524bbcd-25bd-4334-b775-0f11ad568091

Create flashcards