Tugas; PENGANTAR TEORI RELATIVITAS “GEOMETRI GRAVITASI, PERSAMAAN GEODESIK, DAN KURVA RUANG WAKTU” Oleh; Mirad F1B1 17 031 JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2020 Gravitasi Geometri Relativitas umum (Inggris: General Relativity) adalah sebuah teorigeometri mengenai gravitasi yang diperkenalkan oleh Albert Einstein pada 1916. Teori ini merupakan penjelasan gravitasi termutakhir dalam fisika modern. Ia menyatukan teori Einstein sebelumnya, relativitas khusus, dengan hukum gravitasiNewton. Hal ini dilakukan dengan melihat gravitasi bukan sebagai gaya, tetapi lebih sebagai manifestasi qdari kelengkunganruang dan waktu. Utamanya, kelengkungan ruang waktu berhubungan langsung dengan momentum empat (energi massa dan momentum linear) dari materi atau radiasi apa saja yang ada. Hubungan ini digambarkan oleh persamaan medan Einstein. Relativitas umum dapat dipahami dengan baik dengan mengevaluasi kemiripannya beserta perbedaannya dari fisika klasik. Langkah pertama adalah realisasi bahwa mekanika klasik dan hukum gravitasi Newton mengizinkan adanya deskripsi geometri. Kombinasi deskripsi ini dengan hukum-hukum relativitas khusus akan membawa kita kepada penurunan heuristik relativitas umum. 1.1. Geometri Gravitasi Newton Dasar dari mekanika klasik adalah gagasan bahwa gerak benda dapat dideskripsikan sebagai kombinasi gerak bebas (atau gerak inersia) dengan penyimpangan dari gerak bebas ini. Penyimpangan ini disebabkan oleh gayagaya luar yang bekerja pada benda sesuai dengan hukum kedua Newton, yang menyatakan bahwa total keseluruhan gaya yang bekerja pada sebuah benda adalah sama dengan massa (inersia) benda tersebut dikalikan dengan percepatannya. Gerak inersia yang dihasilkan berhubungan dengan geometri ruang dan waktu, yakni dalam standar kerangka acuan mekanika klasik, benda yang berada dalam keadaan jatuh bebas bergerak searah garis lurus dengan kecepatan konstan. Dalam bahasa fisika modern, lintasan benda bersifat geodesik, yaitu garis dunia yang lurus dalam ruang waktu. Sebaliknya, seseorang dapat mengharapkan bahwa seketika berhasil diidentifikasi dengan memantau gerak benda sebenarnya dan mempertimbangkan gaya-gaya luar (seperti gaya elektromagnetik dan gesekan), gerak inersia dapat digunakan untuk menentukan geometri ruang dan juga waktu. Namun, akan terdapat ambiguitas ketika gravitasi diperhitungkan ke dalamnya. Menurut hukum gravitasi Newton, terdapat apa yang disebut sebagai universalitas jatuh bebas, yaitu bahwa lintasan suatu benda yang jatuh bebas bergantung hanya pada posisi dan kecepatan awalnya, dan bukannya bergantung pada sifat-sifat bahan penyusunnya. Versi yang lebih sederhana dapat dilihat pada percobaan elevator Einstein, yang digambarkan pada gambar di samping. Untuk seorang pengamat dalam ruang tertutup yang kecil, adalah tidak mungkin untuk menentukan apakah ruang itu berada dalam keadaan diam dalam suatu medan gravitasi ataukah ia berada di dalam roket yang dipercepat hanya dengan memetakan lintasan bola jatuh tersebut. Disebabkan oleh universalitas jatuh bebas, tiada perbedaan terpantau yang dapat dipantau antara gerak inersial dengan gerak yang berada di bawah pengaruh gaya gravitasi. Ini kemudian mengarahkan kita pada suatu definisi gerak inersia yang baru, yaitu gerak inersia objek jatuh bebas yang berada di bawah pengaruh gaya gravitasi. Jenis gerak ini juga menentukan geometri ruang dan waktu. Gerak ini adalah gerak geodesik yang diasosiasikan dengan koneksi tertentu yang bergantung pada gradienpotensial gravitasi. Ruang, dalam konstruksi ini, masih memiliki geometri Euklides yang seperti biasanya, namun ruang waktu secara keseluruhan menjadi lebih rumit. Seperti yang dapat ditunjukkan dengan menggunakan eksperimen pemikiran sederhana yang menelusuri lintasan partikel-partikel pengujian yang sedang jatuh bebas, hasil dari pemasukan vektor-vektor ruang waktu yang menandakan kecepatan suatu partikel akan bervariasi sesuai dengan lintasan partikel. Secara matematis, kita katakan bahwa koneksi Newton tidaklah terintegralkan. Dari hal ini, seseorang dapat mendeduksi bahwa ruang waktu adalah melengkung. Akibatnya adalah perumusan geometri gravitasi Newton yang hanya menggunakan konsep kovarian.Dalam deskripsi geometri ini, efek pasang surut - yaitu percepatan relatif benda yang jatuh bebas - berhubungan dengan turunan koneksi, menunjukkan bagaiman geometri yang dimodifikasikan ini diakibatkan oleh keberadaan massa. 1.2. Generalisasi Relativistik Geometri gravitasi Newton pada dasarnya didasarkan pada mekanika klasik. Ia hanyalah kasus khusus dari mekanika relativitas khusus. Dalam bahasa simetri: ketika gravitasi dapat diabaikan, fisika yang berlaku bersifat invarian Lorentz pada relativitas khusus daripada invarian Galileo pada mekanika klasik. Perbedaan antara keduanya menjadi signifikan apabila kecepatan terlibat di dalamnya mendekati kecepatan cahaya dan berenergi tinggi. Menggunakan simetri Lorentz, struktur-struktur tambahan mulai berperan penting. Struktur-struktur tambahan ini dijelaskan menggunakan sekumpulan kerucut cahaya. Kerucut cahaya mendefinisikan struktur sebabakibat: untuk setiap peristiwa A, terdapat sekumpulan peristiwa yang menurut prinsipnya dapat memengaruhi ataupun dipengaruhi oleh A melalui sinyal maupun interaksi yang tidak seperlunya merambat lebih cepat daripada cahaya (misalnya pada peristiwa B pada gambar) beserta sekumpulan peristiwa yang tidak memungkinkan memperngaruhi atau dipengaruhi oleh A (seperti pada peristiwa C pada gambar). Sekumpulan peristiwa ini tak bergantung pada pengamat.Bersamaan dengan garis dunia partikel jatuh bebas, kerucut cahaya dapat digunakan untuk merekonstruksi metrik semi-Riemann ruang waktu Gambar 2 Kerucut Cahaya Relativitas khusus dideskripsikan tanpa keberadaan percepatan, sehingganya ia hanya cocok dijadikan sebagai model fisika di mana percepatan dapat di abaikan, dalam hal ini percepatan gravitasi. Ketika gravitasi terlibat di dalamnya, dengan berasumsi pada universalitas jatuh bebas, maka tiada kerangka inersia global apapun. Yang ada adalah kerangka inersia hampiran yang bergerak sepanjang partikel yang jatuh bebas. Menggunakan bahasa ruang waktu: garis lurus bak-waktu yang menentukan kerangka inersial tanpa gravitasi dideformasi menjadi garis yang melengkung relatif terhadap satu sama lainnya, mensugestikan bahwa pemasukan gravitasi memerlukan perubahan pada geometri ruang waktu. Secara a apriori, tidaklah jelas apakah kerangka lokal baru dalam peristiwa jatuh bebas bertepatan dengan kerangka acuan di mana hukum-hukum relativitas khusus berlaku. Teori relativitas khusus didasarkan pada perambatan cahaya (sehingganya berkaitan dengan elektromagnetisme) dan dapat memiliki sekumpulan kerangka acuan yang berbeda. Namun menggunakan bermacam-macam asumsi mengenai kerangka relativitas khusus (misalnya dalam keadaan jatuh bebas), kita dapat menurunkan prediksi yang berbeda mengenai geseran merah gravitasional, yakni bagaimana frekuensi cahaya dapat bergeser seiring dengan merambatnya cahaya melalui medan gravitasi. Berdasarkan hasil pengukuran aktual, kerangka acuan jatuh bebas tersebut adalah kerangka yang mana cahaya merambat sebagaimana yang ada dalam teori relativitas khusus.Generalisasi pernyataan bahwa hukum-hukum relativitas khusus berlaku sebagai pendekatan yang cukup baik dalam kerangka acuan yang sedang jatuh bebas (dan tidak berotasi), dikenal sebagai Prinsip kesetaraan Einstein. Prinsip ini sangat krusial dalam pengeneralisasian hukum-hukum fisika relativitas khusus agar gravitasi dapat dilibatkan. Hasil data percobaan yang sama juga menunjukkan bahwa waktu yang diukur oleh jam yang berada dalam medan gravitasi (waktu wajar) tidak mengikuti hukum-hukum relativitas khusus. Dalam bahasa geometri ruangwaktu, waktu wajar tidak terukur oleh metrik Minkowski. Dalam skala kecil, semua kerangka acuan yang berada dalam keadaan jatuh bebas adalah setara dan mendekati metrik Minkowski. Tensor metrik yang menentukan geometri, yakni bagaimana panjang dan sudut ukur, bukanlah metrik Minkowski relativitas khusus, melainkan generalisasi yang dikenal sebagai metrik semiatau pseudo-Riemann. Lebih jauh lagi, tiap-tiap metrik Riemann secara alaminya memiliki satu jenis koneksi khusus, yaitu koneksi Levi-Civita. Koneksi inilah yang memenuhi prinsip kesetaraan dan membuat ruang secara lokal bermetrik Minkowski. 1.3. Gravitasi Sebagai Geometri Gravitasi itu istimewa. Dalam konteks relativitas umum, kami menganggap kekhasan ini dengan fakta bahwa medan dinamik yang memunculkan gravitasi adalah medan metrik yang menggambarkan lengkungan ruangwaktu itu sendiri, alih-alih beberapa medan tambahan yang merambat melalui ruangwaktu; ini adalah wawasan Einstein yang mendalam. Prinsip fisik yang membawanya ke ide ini adalah universalitas interaksi gravitasi, sebagaimana diformalkan oleh Prinsip Kesetaraan. Mari kita lihat bagaimana prinsip fisik ini mengarahkan kita pada strategi matematika untuk menggambarkan gravitasi sebagai geometri lipatan berlipat. Prinsip Kesetaraan hadir dalam berbagai bentuk, yang pertama adalah Prinsip Kesetaraan Lemah atau WEP. WEP menyatakan bahwa massa inersia dan massa gravitasi benda apa pun adalah sama. Untuk melihat apa artinya ini, pikirkan tentang mekanika Newton. Hukum Kedua mengaitkan gaya yang diberikan pada suatu objek dengan akselerasi yang dialaminya, mengaturnya proporsional satu sama lain dengan konstanta proporsionalitas sebagai massa inersia mi : 𝐹 = 𝑚𝑖 𝑎 Massa inersia jelas memiliki karakter universal, terkait dengan perlawanan yang Anda rasakan ketika Anda mencoba untuk mendorong objek; dibutuhkan nilai yang sama tidak peduli apa pun jenis kekuatan yang diberikan. Kita juga memiliki hukum gravitasi Newton, yang dapat dianggap menyatakan bahwa gaya gravitasi yang diberikan pada suatu benda sebanding dengan gradien medan skalar, yang dikenal sebagai potensi gravitasi. Konstanta proporsionalitas dalam kasus ini disebut massa gravitasi mg: 𝐹𝑔 = −𝑚𝑔 ∇𝜑 mg, memiliki karakter yang sangat berbeda dari mi; ini adalah kuantitas yang spesifik untuk gaya gravitasi. Jika Anda suka, mg/mi dapat dianggap sebagai "muatan gravitasi" dalam tubuh. Namun demikian, Galileo lama menunjukkan (apocryphally dengan menjatuhkan bobot dari Menara Miring Pisa, sebenarnya dengan menggelindingkan bola ke bawah pesawat miring) bahwa respons materi terhadap gravitasi adalah universal setiap benda jatuh pada tingkat yang sama dalam medan gravitasi, terlepas dari komposisi objek. Dalam mekanika Newton ini diterjemahkan ke dalam WEP, yang sederhana 𝑚𝑖 = 𝑚𝑔 untuk objek apa pun. Konsekuensi langsungnya adalah bahwa perilaku partikel uji yang jatuh bebas bersifat universal, terlepas dari massanya (atau kualitas lain yang mungkin mereka miliki); sebenarnya, sudah 𝑎 = −∇𝜑 Secara eksperimental, kemandirian akselerasi karena gravitasi pada posisi benda yang jatuh telah diverifikasi dengan presisi yang sangat tinggi oleh eksperimen Eötvös dan penerusnya yang modern. Ini menunjukkan formulasi WEP yang setara: terdapat kelas lintasan yang disukai melalui ruangwaktu, yang dikenal sebagai lintasan lintasan inertial (atau "jatuh secara bebas"), tempat partikel-partikel yang tidak bercelerasi bergerak - di mana cara yang tidak terkecerasi berarti "tunduk hanya pada gravitasi. " Jelas ini tidak berlaku untuk kekuatan lain, seperti elektromagnetisme. Di hadapan medan listrik, partikel dengan muatan berlawanan akan bergerak pada lintasan yang sangat berbeda. Setiap partikel, di sisi lain, memiliki muatan gravitasi yang identik. Universalitas gravitasi, sebagaimana dinyatakan oleh WEP, dapat dinyatakan dalam bentuk lain yang lebih populer. Bayangkan kita menganggap seorang fisikawan dalam kotak yang tertutup rapat, tidak dapat mengamati dunia luar, yang sedang melakukan percobaan yang melibatkan gerakan partikel uji, misalnya untuk mengukur medan gravitasi lokal. Tentu saja dia akan mendapatkan jawaban berbeda jika kotak itu berada di bulan atau di Jupiter daripada di bumi. Tetapi jawabannya juga akan berbeda jika kotak berakselerasi pada tingkat yang konstan; ini akan mengubah akselerasi partikel yang jatuh bebas sehubungan dengan kotak. WEP menyiratkan bahwa tidak ada cara untuk mengurai efek medan gravitasi dari mereka yang berada dalam bingkai percepatan yang seragam, hanya dengan mengamati perilaku partikel yang jatuh bebas. Ini mengikuti dari universalitas gravitasi; dalam elektrodinamika, sebaliknya, akan mungkin untuk membedakan antara percepatan seragam dan medan elektromagnetik, dengan mengamati perilaku partikel dengan muatan yang berbeda. Tetapi dengan gravitasi tidak mungkin, karena "muatan" harus proporsional dengan massa (inersia). Untuk berhati-hati, kita harus membatasi klaim kita tentang ketidakmungkinan memisahkan gravitasi dari percepatan seragam dengan membatasi perhatian kita pada "wilayah ruangwaktu yang cukup kecil." Jika kotak yang disegel cukup besar, bidang gravitasi akan berubah dari satu tempat ke tempat lain dengan cara yang dapat diamati, sementara efek akselerasi akan selalu berada pada arah yang sama. Di kapal roket atau lift, partikel akan selalu jatuh lurus ke bawah. Namun, dalam sebuah kotak yang sangat besar dalam medan gravitasi, partikel-partikel akan bergerak menuju pusat Bumi, misalnya, yang akan menjadi arah berbeda untuk eksperimen yang terpisah jauh. Oleh karena itu WEP dapat dinyatakan sebagai berikut: Gerakan partikel yang jatuh bebas adalah sama dalam medan gravitasi dan kerangka yang dipercepat secara seragam, di daerah ruangwaktu yang cukup kecil. Di wilayah ruangwaktu yang lebih besar akan ada ketidakhomogenan dalam medan gravitasi, yang akan mengarah pada gaya pasang surut, yang dapat dideteksi. Setelah munculnya relativitas khusus, konsep massa kehilangan sebagian keunikannya, karena menjadi jelas bahwa massa hanyalah manifestasi energi dan momentum. Karena itu wajar bagi Einstein untuk memikirkan generalisasi WEP menjadi sesuatu yang lebih inklusif. Idenya adalah sederhana bahwa seharusnya tidak ada cara apa pun bagi fisikawan di dalam kotak untuk membedakan antara percepatan seragam dan medan gravitasi eksternal, tidak peduli eksperimen apa yang dia lakukan (tidak hanya dengan menjatuhkan partikel uji). Ekstrapolasi yang masuk akal ini menjadi apa yang sekarang dikenal sebagai Prinsip Kesetaraan Einstein, atau EEP: Di wilayah ruangwaktu yang cukup kecil, hukum fisika berkurang ke hukum relativitas khusus; tidak mungkin mendeteksi keberadaan medan gravitasi melalui eksperimen lokal. Bahkan, sulit membayangkan teori yang menghormati WEP tetapi melanggar EEP. Pertimbangkan atom hidrogen, keadaan terikat proton dan elektron. Massanya sebenarnya kurang dari jumlah massa proton dan elektron yang dipertimbangkan secara individual, karena ada energi pengikat negatif Anda harus memasukkan energi ke dalam atom untuk memisahkan proton dan elektron. Menurut WEP, massa gravitasi atom hidrogen karenanya kurang dari jumlah massa konstituennya; medan gravitasi berpasangan dengan elektromagnetisme (yang menyatukan atom) dengan cara yang tepat untuk membuat massa gravitasi keluar dengan benar. Ini berarti bahwa pasangan gravitasi tidak hanya harus mengistirahatkan massa secara universal, tetapi juga untuk semua bentuk energi dan momentum - yang secara praktis merupakan klaim EEP. Namun dimungkinkan untuk memberikan contoh tandingan; misalnya, kita dapat membayangkan teori gravitasi di mana partikel yang jatuh bebas mulai berputar ketika mereka bergerak melalui medan gravitasi. Kemudian mereka bisa jatuh di jalan yang sama seperti yang mereka lakukan dalam bingkai dipercepat (dengan demikian memuaskan WEP), tetapi Anda tetap bisa mendeteksi keberadaan medan gravitasi (dalam pelanggaran EEP). Teori-teori semacam itu tampaknya dibuat-buat, tetapi tidak ada hukum alam yang melarangnya. Kadang-kadang dibedakan antara "hukum gravitasi fisika" dan "hukum fisika non-gravitasi," dan EEP didefinisikan hanya berlaku untuk yang terakhir. Kemudian Prinsip Kesetaraan Kuat (SEP) didefinisikan untuk mencakup semua hukum fisika, gravitasi, dan lainnya. Sebuah teori yang melanggar SEP tetapi bukan EEP akan menjadi teori di mana energi pengikat gravitasi tidak berkontribusi secara merata pada massa inersia dan gravitasi tubuh; dengan demikian, misalnya, menguji partikel dengan gravitasi diri yang cukup besar (sejauh konsep tersebut masuk akal) dapat jatuh di sepanjang lintasan yang berbeda dari partikel yang lebih ringan. EEP adalah yang menyiratkan (atau setidaknya menyarankan) bahwa kita harus menghubungkan aksi gravitasi dengan kelengkungan ruangwaktu. Ingatlah bahwa dalam relativitas khusus, peran yang menonjol dimainkan oleh bingkai inersia - sementara tidak mungkin untuk memilih beberapa kerangka referensi sebagai "saat istirahat" yang unik, adalah mungkin untuk memilih satu keluarga bingkai yang "tidak terjual" (inertial). Akselerasi partikel bermuatan dalam medan elektromagnetik karenanya secara unik didefinisikan sehubungan dengan frame ini. EEP, di sisi lain, menyiratkan bahwa gravitasi tidak dapat dihindari - tidak ada yang namanya "objek netral gravitasi" sehubungan dengan mana kita dapat mengukur percepatan akibat gravitasi. Oleh karena itu percepatan karena gravitasi bukanlah sesuatu yang dapat didefinisikan dengan andal, dan karena itu tidak banyak digunakan. Sebaliknya, lebih masuk akal untuk mendefinisikan "tidak terkalahkan" sebagai "jatuh bebas," dan itulah yang akan kita lakukan. Dari sini kita dituntun pada gagasan bahwa gravitasi bukanlah "gaya" - gaya adalah sesuatu yang mengarah ke akselerasi, dan definisi kita tentang akselerasi nol adalah "bergerak bebas di hadapan medan gravitasi apa pun yang kebetulan ada." Langkah yang tampaknya tidak berbahaya ini memiliki implikasi mendalam bagi sifat ruangwaktu. Di SR, kami memiliki prosedur untuk memulai di beberapa titik dan membangun kerangka inersia yang membentang sepanjang ruangwaktu, dengan menyatukan batang-batang yang kaku dan menempelkan jam pada mereka. Tetapi, lagi-lagi karena ketidakhomogenan di bidang gravitasi, ini tidak mungkin lagi. Jika kita mulai dalam keadaan jatuh bebas dan membangun struktur besar dari batang kaku, pada jarak jauh benda yang jatuh bebas akan terlihat seperti mereka berakselerasi sehubungan dengan kerangka referensi ini, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.1. Solusinya adalah mempertahankan gagasan tentang kerangka inersia, tetapi membuang harapan bahwa mereka dapat diperluas secara unik di seluruh ruang dan waktu. Alih-alih, kita dapat mendefinisikan kerangka inersia lokal, yang mengikuti gerakan partikel yang jatuh bebas secara terpisah di wilayah ruangwaktu yang cukup kecil. (Setiap kali kita mengatakan "daerah yang cukup kecil," para puritan harus membayangkan prosedur pembatas di mana kita mengambil volume ruangwaktu yang tepat menjadi nol.) Ini adalah yang terbaik yang bisa kita lakukan, tetapi memaksa kita untuk menyerah banyak. Sebagai contoh, kita tidak bisa lagi berbicara dengan percaya diri tentang kecepatan relatif dari objek yang jauh, karena kerangka referensi inersia yang sesuai untuk objekobjek tersebut sama sekali berbeda dari yang sesuai dengan kita. PERSAMAAN GEODESI DARI RELATIVITAS UMUM 2.1. Pengertian geodesic Geodesik dapat didefinisikan sebagai world-line/garis dunia yang mempertahankan tangensi di bawah transport paralel, Gambar b.1. Hal ini pada dasarnya adalah cara matematis untuk menggambarkan yang sebelumnya telah kami nyatakan secara lebih informal dalam hal "tetap di jalur" atau bergerak "secara bawaan". Ditinjau dalam ruang dua titik 𝑥 𝜇 dan 𝑥 𝜇 + 𝑑𝑥 𝜇 . Jarak antara kedua titik tersebut adalah 𝑡2 s12 𝑡2 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝑣 1/2 = ∫ (g 𝜇𝑣 ) 𝑑𝑡 = ∫ √𝐹 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡1 𝑡1 Syarat stasioner bagi jarak kedua titik itu agar s12 bernilai ekstrem akan dipenuhi jika t2 δs12 = δ ∫ √F dt = 0 t1 Dengan δs12adalah variasi dari s12 . Bentuk (1.2) merupakan integral aksi fungsi lagrange √F dan persamaan lintasan t. Dengan menggunakan persamaan Euler-Lagrange berikut. d ∂√F ∂√F ( μ) − μ = 0 dt ∂x ∂x Maka d 1 ∂√F 1 ∂√F 1 d ∂F ∂F 1 ∂F dF ( )− = [ ( μ) − μ − ]=0 μ μ dt 2√F ∂x ∂x 2F ∂x μ dt 2√F ∂x 2√F dt ∂x Disini t dapat diambil sama dengan jarak s12 sepanjang kurva lintasan. Untuk kasus ini karena s parameter sembarang maka dF dx μ dx μ dx v = 0, x μ = , F = g μv ds ds ds ds sehingga diperoleh ∂F = 2g μv ẋ v ∂x μ Dan ∂g αβ ∂F α β = ẋ ẋ ∂x μ ∂x μ Persamaan (1.4) menjadi ∂g μv dx η dx v ∂g αβ dx α dx β d ∂F ∂√F d2 x v ( ) − μ = 2g μv 2 + 2 η − =0 ds ∂x μ ∂x ds ∂x ds ds ∂x μ ds ds Dengan menggunakan lambang Christoffel jenis pertama serta mengalikannya dengan g μη , persamaan di atas pada akhirya dapat dituliskan menjadi Persamaan diatas dikenal sebagai persamaan geodesik. Persamaan ini digunakan untuk menelaah gerakan jatuh bebas partikel dalam ruang bermetrik tertentu. Lintasan partikel dalam ruang lengkung dari titik A ke B diilustrasikan pada gambar berikut Gambar Lintasan Lekung dalam Ruang Lekung Metode Variasi Prinsip variasi berikut untuk mengkarakterisasi gerakan dalam relativitas umum: World-line/Garis dunia dari partikel uji bebas antara dua titik yang terpisah seperti waktu yang sama memperlebar waktu yang tepat di antara mereka. di mana partikel uji bukan merupakan sumber kelengkungan ruang-waktu, dan partikel bebas adalah partikel yang dipengaruh ruang-waktu kelengkungan. Hal ini Mirip dengan mekanika Llagrange klasik, yang dapat menggunakan untuk menemukan persamaan gerak metrik. Waktu yang tepat sepanjang world-line/garis waktu antara titik A dan titik B untuk metrik gµν dituliskan oleh menggunakan notasi penjumlahan Einstein, dan μ, ν = 0,1,2,3. Kita dapat mengukur empat koordinat dengan parameter σ di mana σ = 0 pada A dan σ = 1 pada B. Ini memberi kita persamaan berikut untuk waktu yang tepat: Kita bisa memperlakukan integrand sebagai Lagrangian, dan jelas bahwa garis-garis dunia yang mengekstraksi waktu yang tepat adalah yang memenuhi persamaan Euler-Lagrange: Keempat persamaan ini bersama-sama memberikan persamaan untuk garis dunia yang mengekstraksi waktu yang tepat. Garis dunia ini disebut geodesik. Hukum simetris dan konservasi Secara umum, agak sulit dilakukan. Memecahkan serangkaian empat persamaan diferensial biasa orde dua orde dua dapat mudah untuk metrik sederhana, tetapi dengan cepat menjadi sangat sulit untuk kasus yang lebih menarik. Untuk menyederhanakan tugas kita, kita perlu menemukan hukum konservasi, persamaan yang memberi kita integral pertama dari persamaan gerak secara gratis. Salah satu yang berlaku untuk semua metrik adalah besarnya empat kecepatan: Sayangnya, ini adalah satu-satunya hukum konservasi yang benar secara universal. Namun, semuanya tidak hilang! Menurut teorema pertama Noether, setiap simetri yang berbeda dari tindakan suatu sistem memiliki hukum konservasi yang sesuai. Dalam kasus ini, tindakannya adalah waktu yang tepat, dan karenanya kami mencari simetri dalam metrik. Ini tidak selalu mudah ditemukan, tetapi simetri paling sederhana dapat ditemukan dengan mengamati apakah metrik independen dari salah satu koordinatnya. Kemudian transformasi koordinat yang tidak terbatas, xµ → xµ + δxµ, membuat metrik tidak berubah. Kita dapat mendefinisikan bidang vektor untuk setiap simetri sehingga, pada setiap titik, titik vektor sepanjang arah di mana metrik tidak berubah karena simetri itu. Ini disebut bidang vektor Pembunuhan, setelah ahli matematika Jerman, Wilhelm Killing. Misalnya, jika kita memiliki metrik independen x1, bidang Pembunuhan yang terkait dengan simetri itu adalah Kita dapat menggunakan istilah Bidang Pembunuhan dan Pembunuhan vektor secara bergantian. Simetri menyiratkan bahwa ada kuantitas yang dilestarikan di sepanjang geodesik. Ini dapat dilihat dengan melihat persamaan Euler-Lagrange, dari mana persamaan geodesik diturunkan. Jika metrik independen dari koordinat, yang tanpa kehilangan keumuman kami akan katakan adalah x1, maka ∂L / ∂x1 = 0. Jadi, persamaan Euler-Lagrange menjadi Ini berarti bahwa kuantitas di dalam turunannya konstan di sepanjang geodesik. Sekarang di mana ξα adalah vektor Pembunuh dan uβ adalah empat kecepatan. Jadi, ξ. u adalah kuantitas yang dilestarikan. Kita bisa menjelaskan ini untuk menyelesaikan persamaan geodesik. 2.2. Contoh : Didang dua dimensi Prosedur untuk menyelesaikan persamaan geodesik paling baik diilustrasikan dengan contoh yang cukup sederhana: menemukan geodesik pada bidang, menggunakan koordinat polar untuk memberikan sedikit kompleksitas. Pertama, metrik untuk pesawat dalam koordinat kutub adalah Kemudian jarak sepanjang kurva antara A dan B diberikan oleh Seperti di atas, kita akan memilih parameter σ ∈ [0,1]. Kemudian, Mengambil Lagrangian sebagai integrand dan memasukkannya ke dalam persamaan Euler-Lagrange untuk r dan φ, kami memiliki Sekarang, menggunakan fakta bahwa L = ds / dσ, kita miliki Jelas, satu-satunya simbol Christo-non-nol adalah Untuk memulai, kita dapat membagi (22) dengan ds untuk mendapatkan integral pertama, sesuai dengan u · u = 1: Karena metrik independen dari φ, kami memiliki vektor Pembunuhan ξ = (0,1). Jadi kami memiliki jumlah yang dilestarikan Menggunakan ini dalam (31), kita dapatkan Membagi (32) dengan (33), kita dapatkan Kita dapat mengintegrasikan ini sehubungan dengan r untuk mendapatkan di mana φ ∗ adalah konstanta integrasi. Menggunakan identitas trigonometri untuk memperluas cosinus dan fakta bahwa x ≡ rcos (φ) dan y ≡ rsin (φ), kami memiliki Ini hanya persamaan untuk garis lurus! Dengan demikian, solusi untuk persamaan geodesik keluar untuk apa yang kita harapkan. KURVA RUANG WAKTU 2.1 Penger tian Ruang Waktu Dalam fisika, ruang-waktu adalah model matematis yang menggabungkan tiga dimensi ruang dan satu dimensi waktu ke dalam rangkaian tunggal 4 dimensi. Dalam teori Einstein, ruang dan waktu bukan konsep yang terpisah, melainkan entitas tunggal yang disebut ruang waktu. Kita dapat menganalogikan ruang waktu sebagai kain halus yang terdistorsi oleh adanya energi. Dari sini lahir istilah kain ruang dan waktu. Istilah kain digunakan untuk membantu kita memvisualisasikan bagaimana ruang-waktu diterapkan dalam teori general relativity. Konsep ruang-waktu tidak bisa dipisahkan dengan konsep garis dunia (atau worldline). Konsep garis dunia adalah jalur unik yang dimiliki objek saat melintasi ruang dan waktu, yang disebut ruangwaktu. Wordline adalah konsep penting dalam fisika modern, dan khususnya teori fisika. Konsep ''garis dunia'' dalam hal ini dibedakan dari konsep ''orbit'' atau ''lintasan''. Misalnya, orbit Bumi di angkasa kira-kira menyerupai lingkaran. Bumi kembali setiap tahun ke titik yang sama di luar angkasa, Namun tiba di sana pada waktu yang berbeda. Adapun garis dunia Bumi berbentuk heliks (spiral) di ruangwaktu berupa kurva dalam ruang empat dimensi dan tidak kembali ke titik yang sama. 2.2 Kurva Ruang Waktu Dalam Teori Relativitas Teori relativitas umum Einstein pada intinya adalah perspektif geometri dalam memandang ruang-waktu. Bayangkan kita hidup di alam semesta dengan dua dimensi ruang, yang hanya terdiri atas panjang dan lebar. Bayangkan pula permukaan dua dimensi ini lentur, seperti matras karet atau trampolin. Apabila ada benda berat, misalnya bola bowling, diletakkan di atas permukaan lentur ini, sebagai pengandaian keberadaan massa, maka permukaan ini akan melengkung. Apabila kita letakkan objek yang massanya lebih kecil, misalnya kelereng, di dekat bola bowling ini, maka kelereng akan bergerak dalam orbit mengitari bola bowling. Gaya gravitasi dan orbit, dengan demikian, adalah konsekuensi dari kelengkungan ruang-waktu. Secara matematis, ada tiga kemungkinan kelengkungan alam semesta. Pertama, alam semesta tidak memiliki kelengkungan atau disebut juga kurva nol atau alam semesta datar. Andai alam semesta ini hanya punya dua dimensi ruang, maka alam semesta ini seperti hamparan permadani dan kerapatannya sama dengan kerapatan kritis. Kerapatan kritis adalah kerapatan alam semesta yang membuat alam semesta memiliki kurva nol. Kedua, alam semesta ini memiliki kurvatur positif dan melengkung seperti permukaan bola. Kerapatan alam semesta seperti ini lebih besar daripada kerapatan kritis. Hal yang unik dari alam semesta dengan kurvatur positif adalah sifatnya yang tertutup. Ini artinya, seperti permukaan bola, alam semesta tidak memiliki batas dan memiliki ukuran yang terbatas. Kemungkinan ketiga adalah alam semesta memiliki kerapatan yang lebih kecil daripada kerapatan kritis dan dengan demikian memiliki kurva negatif. Alam semesta seperti ini berbentuk pelana dan disebut juga dengan alam semesta terbuka. Gambar 2.1 Kurva Ruang Wakru Dalam kosa kata ahli kosmologi, alam semesta dengan kurvatur positif ini dinamakan ruang de Sitter, sementara alam semesta dengan kurvatur negatif dinamakan ruang anti-de Sitter atau biasa disingkat AdS. Keduanya dinamakan menurut ahli kosmologi Willem de Sitter (gambar kanan), direktur Observatorium Leiden di Negeri Belanda, dan salah satu kolaborator Einstein. Energi gelap terkait erat dengan kurvatur alam semesta. Sebagaimana didiskusikan dalam artikel pada taut tersebut, salah satu penafsiran akan wujud energi gelap adalah konstanta kosmologi ?. Konstanta kosmologi dapat ditafsirkan sebagai salah satu besaran dasar yang harus dimiliki alam semesta, seperti halnya konstanta Gravitasi dan kecepatan cahaya. Dalam teori relativitas umum yang ditemukan Einstein, konsekuensi dari teori ini adalah alam semesta yang dinamis: dapat memuai atau mengerut. Einstein dan fisikawan-fisikawan pada jamannya meyakini bahwa alam semesta ini statis, oleh karena itu ia menambahkan konstanta kosmologi sebagai gaya untuk menyeimbangkan gravitasi, agar alam semesta menjadi statis. Di kemudian hari, ketika astronom Edwin Hubble mengamati pergerakan galaksi-galaksi yang jauh dan menunjukkan bahwa alam semesta memuai, Einstein menarik konstanta kosmologi tersebut dari persamaannya Alam semesta de Sitter (kurvatur positif) adalah solusi bagi persamaan teori relativitas umum Einstein dengan mengasumsikan bahwa alam semesta ini hanya berisi energi gelap dan memiliki konstanta kosmologi yang negatif. Ini artinya di dalam alam semesta ini ada gaya tambahan yang tolak-menolak. Sebaliknya, alam semesta anti-de Sitter (kurva negatif) memiliki konstanta kosmologi positif (gaya tambahan yang tarik-menarik). Realitasnya, yang diamati di alam semesta kita justru kebalikannya: Energi gelap memiliki harga konstanta kosmologi yang negatif. Artinya adalah adanya gaya tambahan yang sifatnya tolak-menolak, yang menyebabkan dipercepatnya pemuaian alam semesta.
