5.3 Selisih Terbagi Newton
101
10. Buatlah interpolasi polinomial kuadratik untuk data {(−2, −15), (−1, −8), (0, −3)}.
Tentukan nilai nol P2 (x) untuk x = 0. Apakah P2 (x) mempunyai nilai maksimum?
11. Untuk n = 3, jelaskan mengapa
L0 (x) + L1 (x) + L2 (x) + L3 (x) = 1
untuk semua nilai x
12. Sebuah permasalahan yang diperumum, tentukan polinomial kuadratik Q(x) yang
mana
Q(0) = −1,
5.3
Q(1) = −1,
Q (1) = 4
Selisih Terbagi Newton
Iterasi interpolasi digunakan untuk mengeneralkan pendekatan polinomial der-
ajat yang lebih tinggi untuk titik-titik tertentu. Metode selisih terbagi akan diperkenalkan pada sub-bab ini secara ringkas.
Misalkan bahwa Pn (x) adalah polinomial Lagrange ke-n yang dekat dengan
fungsi f pada bilangan-bilangan berbeda x0 , x1 , x2 , . . . , xn , maka selisih terbagi f yang
berkaitan dengan x0 , x1 , x2 , . . . , xn ,
Pn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · ·
an (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn−1 )
(5.16)
untuk konstanta a0 , a1 , a2 , . . . , an .
Untuk menghitung konstanta a0 , maka kita akan mengevaluasi persamaan (5.16)
pada x0 dan hanya meninggalkan konstanta a0 ,
Pn (x0 = f (x0 ) = a0 + a1 (0) + a2 (0) + · · · + an (0)
f (x0 ) = a0
(5.17)
Dengan cara yang sama, kita akan mengevaluasi Pn (x) pada x = x1 ,
Pn (x1 ) = f (x1 ) = a0 + a1 (x1 − x0 ) + a2 (0) + a3 (0) + · · · + an (0)
f (x1 ) = a0 + a1 (x1 − x0 )
(5.18)
102
Bab 5 Interpolasi
dengan mensubstitusikan a0 = f (x0 ), maka persamaan di atas, maka
f (x1 ) = f (x0 ) + a1 (x1 − x0 )
atau
a1 =
f (x1 ) − f (x0 )
(x1 − x0 )
Bentuk di atas dapat ditulis,
f [x0 , x1 ] =
f [x1 ] − f [x0 ]
x1 − x0
(5.19)
Bentuk ungkapan pada persamaan (5.19) disebut selisih terbagi orde pertama. Jika
selisih terbagi ke-0 dari fungsi f yang berkaitan dengan xi adalah f [xi ], atau lebih
sederhana
f [xi ] = f (xi )
maka selisih terbagi pertama dari fungsi f terhadap xi dan xi+1 dilambangkan dengan
f [xi , xi+1 ], dan didefinisikan
f [xi , xi+1 ] =
f [xi+1 ] − f [xi ]
xi+1 − xi
Dengan cara yang sama, polinom kuadratik dapat dinyatakan dalam bentuk,
P2 (x2 ) = f (x2 ) = a0 + a1 (x2 − x0 ) + a2 (x2 − x0 )(x2 − x1 )
f (x2 ) − a0 − a1 (x2 − x0 )
a2 =
(x2 − x0 )(x2 − x1 )
f (x1 ) − f (x0 )
f (x2 ) − f (x0 ) −
(x2 − x0 )
(x1 − x0 )
=
(x2 − x0 )(x2 − x1 )
f (x2 ) − f (x0 ) f (x1 ) − f (x0 )
−
x2 − x0
x1 − x0
=
x2 − x1
(5.20)
Dengan melakukan manipulasi aljabar diperoleh,
f (x2 ) − f (x0 ) f (x1 ) − f (x0 )
−
f [x2 , x1 ] − f [x1 , x0 ]
x2 − x1
x1 − x0
=
a2 =
x2 − x0
x2 − x0
atau
f [x0 , x1 , x2 ] =
f [x2 , x1 ] − f [x1 , x0 ]
x2 − x0
(5.21)
(5.22)
5.3 Selisih Terbagi Newton
103
Secara umum selisih terbagi kedua dari fungsi f terhadap xi , xi+1 dan xi+2 , ditulis
f [xi , xi+1 , xi+2 ] =
f [xi+1 , xi+2 ] − f [xi+1 , xi ]
xi+2 − xi
Untuk selanjutnya, terdapat n + 1 bilangan real yang berbeda, x0 , x1 , x2 , · · · , xn , maka
dapat didefinsikan
f [x0 , x1 , x2 , · · · , xn ] =
f [x1 , x2 , · · · , xn ] − f [x0 , x1 , · · · , xn−1 ]
xn − x0
(5.23)
Bentuk seperti ini disebut selisih terbagi orde-n, dan kadang-kadang disebut
juga selisih terbagi Newton. Hubungan beda terbadi orde tinggi dengan derivatif
yang brekorespondensi dengan orde diberikan pada teorema berikut.
Teorema 5.3
Misalkan n ≥ 1 dan diasumsikan f (x) adalah n kali terdiferensiabel pada interval a ≤
x ≤ b dan x0 , x1 , x2 , . . . adalah n + 1 bilangan real yang berbeda pada [a, b], maka
f [x0 , x1 , . . . , xn ] =
untuk titik c yang
x0 , x1 , x2 , . . . , xn
terbentang
diantara
1 (n)
f (c)
n!
maksimum
dan
minimum
bilangan
Setelah diperoleh nilai-nilai
f [x0 ], f [x0 , x1 ], f [x0 , x1 , x2 ], . . . , f [x0 , x1 , x2 , . . . , xn ],
maka polinomial pada persamaan (5.17) dapat diubah kembali menjadi,
Pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 ) + · · · +
f [x0 , x1 , x2 , . . . , xn ](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 )
(5.24)
atau
Pn (x) = f [x0 ] +
n
f [x0 , x1 , . . . , xk ](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )
(5.25)
k=1
Bentuk persamaan terakhir biasa disebut interpolasi selisi terbagi Newton. Perhitungan selisih terbagi dapat diperoleh dari tabulasi data pada Tabel 5.5.
104
Bab 5 Interpolasi
Tabel 5.5 Selisih terbagi Newton
x
f (x)
x0
f [x0 ]
x1
f [x1 ]
ST1
ST2
ST3
ST4
f [x0 , x1 ]
f [x0 , x1 , x2 ]
f [x1 , x2 ]
x2
f [x2 ]
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
f [x1 , x2 , x3 ]
f [x2 , x3 ]
x3
f [x3 ]
x4
f [x4 ]
x5
f [x5 ]
f [x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]
f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
f [x2 , x3 , x4 ]
f [x3 , x4 ]
f [x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ]
f [x2 , x3 , x4 , x5 ]
f [x3 , x4 , x5 ]
f [x4 , x5 ]
Contoh 5.9
Misalkan f (x) = cos(x), x0 = 0, 2, dan x1 = 0, 3
f [x0 , x1 ] =
cos(0, 3) − cos(0, 2)
≈ 0, 2473009
0, 3 − 0, 2
dengan
f (c) ≈ − sin(0, 2498936)
dan untuk
f
x0 + x1
2
= − sin(0, 25) ≈ 0, 2474040
Contoh 5.10
Misalkan f (x) = cos(x), x0 = 0, 2, x1 = 0, 3, x2 = 0, 4 Tentukan selisih terbagi orde 2.
Penyelesaian:
f (x2 ) − f (x1 )
x2 − x1
cos(0, 4) − cos(0, 3)
=
0, 4 − 0, 3
≈ −0, 3427550
f [x1 , x2 ] =
5.3 Selisih Terbagi Newton
105
dan
f (x1 ) − f (x0 )
x1 − x0
cos(0, 3) − cos(0, 2)
=
0, 3 − 0, 2
≈ −0, 34273009
f [x0 , x1 ] =
Selisih terbagi orde ke-2,
f [x1 , x2 ] − f [x0 , x1 ]
x2 − x0
0, 3427550 − (−0, 2473009)
≈
0, 4 − 0, 2
= −0, 4772705
f [x0 , x1 , x2 ] =
Contoh 5.11
Gunakan semua titik-titik yang diberikan pada Tabel 5.6 untuk mengiterpolasi f (1, 5)
dengan menggunakan selisih terbagi Newton.
Penyelesaian:
Tabel 5.6 Nilai-nilai f (x) = ex
x
ex
1,0
1,3
1,6
1,9
2,2
0,7651977
0,6200860
0,4554022
0,2818186
0,1103623
Dengan menggunakan metode selisih terbagi Newton, diperoleh tabel sebagai berikut.
Bilangan-bilangan tebal pada tabel diatas merupakan koefisien dari polinom P4 (x).
Oleh karena itu, persamaan polinomnya adalah,
P4 (x) = 0, 7651977 − 0, 4837057(x − 1, 0) − 0, 1087339(x − 1, 0)(x − 1, 3)
+0, 0658784(x − 1, 0)(x − 1, 3)(x − 1, 6)
+0, 001825(x − 1, 0)(x − 1, 3)(x − 1, 6)(x − 1, 9)
106
Bab 5 Interpolasi
Tabel 5.7 Tabel Selisih Terbagi Newton orde 4
i
x
f [xi ]
ST1
0
1,0
0,7651977
1
1,3
0,6200860
2
1,6
0,4554022
3
1,9
0,2818186
ST2
ST3
ST4
-0,4837057
-0,1087339
-0,5489460
0,0658784
-0,0494433
-0,5786120
0,0018251
0,0680685
0,0118183
-0,5715210
4
2,2
0,1103623
Untuk x = 1, 5, maka
P4 (1, 5) = 0, 5118200
Latihan
5.2
1. Misalkan x0 = 0, 85, x1 = 0, 87, x2 = 0, 89 Dengan menggunakan Tabel 5.3 hitunglah
a. f [x0 , x1 ],
b. f [x1 , x2 ],
c. f [x0 , x1 , x2 ]
2. Hampiri fungsi f (x) = cos(x) dengan polinom interpolasi derajat tiga di dalam
selang[0, 0; 1, 2]. Gunakan empat titik x0 = 0, 0; x1 = 0, 4; x2 = 0, 8 dan x3 = 1, 2.
Perkirakan nilai P (0, 5) dan bandingkan nilai sejatinya.
3. Diberikan data di bawah ini, tentukan f [x0 , x1 ] dan f [x0 , x1 , x2 ]. Kemudian hitung
P1 (0, 15) dan P2 (0, 15)
n
0
1
2
xn
0,1
0,2
0,3
f (xn )
0,2
0,24
0,30
5.4 Galat Interpolasi Polinom
107
4. Diberikan data sebagai berikut. Tentukan f [x0 , x1 ] dan f [x0 , x1 , x2 ] dan kemudian
hitunglah P2 (0, 8) dan P2 (0, 9).
n
0
1
2
xn
0,5
1,0
2,0
f (xn )
0,479
0,841
0,909
5. Hitunglah P2 (7, 4) dan P3 (6, 5) dengan menggunakan data berikut.
n
0
1
2
3
5.4
xn
6,0
7,0
7,5
7,7
f (xn )
0,1506
0,3001
0,2663
0,2346
Galat Interpolasi Polinom
Polinom interpolasi Pn (x) merupakan hampiran terhadap fungsi yang asli f (x).
Pn (x) dan f (x) tidak sama, walaupun di titik-titik tertentu Pn (xi ) dan f (xi ) sama
untuk n = 0, 1, 2, . . . , n Oleh karena itu, muncul adanya galat diantara keduanya,yaitu
E(x) = f (x) − Pn (x)
(5.26)
Mengingat f (xi ) = Pn (xi ) untuk i = 0, 1, 2, . . . , n, maka harus berlaku juga,
E(xi ) = f (xi ) − Pn (xi ) = 0
(5.27)
E(x) dapat juga ditulis dalam bentuk,
E(x) = f (x) − Pn (x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )R(x)
atau
f (x) − Pn (x) − (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )R(x) = 0
Dan galat dari interpolasi diberikan oleh,
E(x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )
atau
E(x) = Qn+1 (x)
f (n+1) (c)
(n + 1)!
f (n+1) (c)
(n + 1)!
(5.28)
(5.29)
108
Bab 4 Interpolasi
Rumus galat ini berlaku untuk semua metode interpolasi, baik interpolasi linear,
kuadratik, atau interpolasi dengan derajat lebih tinggi. Misalkan kita akan menginterpolasi dua titik dengan polinom Lagrange, maka galat interpolasinya adalah
E(x) =
5.5
(x − x0 )(x − x1 )
f ”(c)
2
(5.30)
Polinom Newton-Gregory
Pada pembahasan terdahulu telah kita pelajari tentang selisih terbagi Newton,
yang melibatkan selisih dua nila fungsi pada jarak yang sama. Polinom Newton-Gregory
merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titik-titik yang berjarak sama dan
dilakukan pada selang waktu yang teratur.
Untuk titik-titik yang berjarak yang sama, rumus polinom Newton menjadi lebih
sederhana dan lebih mudah dibentuk dan tidak melibatkan pembagian pada proses
pembentukanya.
5.5.1
Polinom Newton-Gregory Maju
Misalkan terdapat x0 , x1 , x2 , . . . , xn yang merupakan nilai yang berjarak sama, maka
interpolasi Newton dapat dibentuk kembali menjadi ungkapan yang lebih sederhana.
Jika h = xi+1 − xi untuk i = 0, 1, 2, . . . , n − 1 dan x = x0 + sh, maka selisih x − xi dapat
ditulis kembali −xi = (s − i)h sehingga bentuk polinomial dapat juga ditulis,
P( x) = Pn (x0 + sh) = f [x0 ] + shf [x0 , x1 ] + s(s − 1)h2 f [x0 , x1 , x2 ]
= + · · · + s(s − 1) · · · (s − n + 1)hn f [x0 , x1 , . . . , xn ]
n
=
s(s − 1) · · · (s − k + 1)hk f [x0 , x1 , . . . , xk ]
k=0
Dengan menggunakan simbol binomial,
s
k
=
s(s − 1) · · · (s − k + 1)
k!
maka persamaan (5.31) dapat ditulis kembali menjadi,
Pn x = pn (x0 + sh) =
n
k=0
s
k
k!hk f [x0 , x1 , . . . , xk ]
(5.31)
4.5 Polinom Newton-Gregory
109
Dengan menggunakan simbol ∆ yang dikenalkan ole metode ∆2 Aitken,
f [x0 , x1 ] =
f [x0 , x1 , x2 ] =
f (x1 ) − f (x0 )
1
= ∆f (x0 )
x1 − x0
h
1 ∆f (x1 ) − ∆f (x0 )
1
= 2 ∆2 f (x0 )
2h
h
2h
secara umum ditulis,
f [x0 , x1 , . . . , xk ] =
1
∆2 f (x0 )
k!h2
(5.32)
Rumus Selisih maju Newton
Pn (x) =
n
k=0
s
k
∆k f (x0 )
(5.33)
Jika titik-titik di atur kembali dalam urutan mundur, xn , xn−1 , . . . , x0 , dengan menggunakan rumus polinomial Taylor memberikan,
Pn (x) = f [xn ] = f [xn−1 , xn ](x − xn ) + f [nn−2 , xn−1 , xn ](x − xn )(x−n−1 )
+ · · · + f [x0 , x1 , . . . , xn ](x − xn )(x − xn−1 ) · · · (x − x1 )
(5.34)
Dengan menggunakan jarak yang sama x = xn + sh dan x = xi + (s − n − i)h yang
menghasilkan
Pn (x) = Pn (xn + sh)
= f [xn ] + shf [xn−1 , xn ] + s(s + 1)h2 f [xn−2 , xn−1 , xn ] + · · ·
+s(s + 1) · · · (s + n − 1)hn f [x0 , x1 , . . . , xn ]
Bentuk ungkapan terakhir disebut rumus selisih terbagi mundur Newton.
Definisi 5.1
Diberikan barisan pn ∞
n=0 , mendefinisikan selisih mundur ∇pn oleh,
∇pn ≡ pn − pn−1 ,
n≥1
Untuk pangkat tinggi didefinisikan secara rekursif oleh,
∇k pn = ∇(∇k−1 pn ).
(5.35)
110
Bab 4 Interpolasi
Dari definisi di atas mengakibatkan
f [xn−1 , xn ] =
f [xn−2 , xn−1 , xn ] =
1
∇f (xn )
h
1 2
∇ f (xn )
2h2
dan secara umum ditulis,
f [xn−k , xn−k−1 , . . . , xn−2 , xn−1 , xn ] =
1
∇k f (xn )
k!hk
Jika bentuk di atas di masukan dalam bentuk polinomial Pn (x), maka akan memberikan
s(s + 1) 2
∇ f (xn ) + · · ·
2
s(s + 1)(s + 2) · · · (s + n − 1) n
∇ f (xn )
n!
Pn (x) = f [xn ] + s∇f (xn ) +
=
(5.36)
Jika kita misalkan,
−s
k
=
−s(−s − 1)(−s − 2) · · · (−s − k + 1)
k!
= (−1)k
s(s + 1) · · · (s + k − 1)
k!
(5.37)
dan
−s
1
Pn (x) = f (xn ) + (−1)1
n
+(−1)
−s
2
∇f (xn ) + (−1)2
∇2 f (xn )
−s
2
∇2 f (xn ) + · · ·
(5.38)
dan diperoleh rumus baku
Pn (x)
n
k=0
(−1)k
−s
k
∇k f (xn )
(5.39)
Contoh 5.12
Pertimbangkan tabel data berikut.
Jika kita akan menghampiri f (x) di x = 1, 1, sangat berasalan apabila kita
menggunakan x0 = 1, 0; x1 = 1, 3; x2 = 1, 6; x3 = 1, 9; x4 = 2, 2, paling tidak kita akan
gunakan data-data yang paling dekat dengan x = 1, 1, hal ini akan mengakibatkan
4.5 Polinom Newton-Gregory
111
Tabel 5.8 Tabel Selisih Terbagi Newton orde 4
x
f [xi ]
1,0
0, 7651977
1,3
0,6200860
ST1
ST2
−0, 4837057
0,4554022
0, 0658784
0,2818186
2,2
0, 1103623
0, 0018251
-0,0494433
-0,5786120
1,9
ST4
−0, 1087339
-0,5489460
1,6
ST3
0, 0680685
0, 0118183
−0, 5715210
h = 0, 3 dan s = 13 . Oleh karena itu, rumusan yang digunakan adalah selisih terbagi
Newton maju untuk data-data yang bergaris atas,
1
P4 (1, 1) = P4 1, 0) + (0, 3)
3
1
1
2
= 0, 7651997 + (0, 3)(−0, 4837057) +
−
(0, 3)2 (−0, 1087339)
3
3
3
2
5
1
−
−
(0, 3)3 (0, 0658784)
+
3
3
3
2
5
8
1
−
−
−
(0, 3)4 (0, 0018251)
+
3
3
3
3
= 0, 7196480
Ketika kita akan menghampiri f (2, 0), maka kita akan menggunakan data-data yang
paling dekat dengan x = 2, 0. Hal ini mengakibatkan h = 0, 3 dan s = − 23 . Oleh karena
itu, rumusan yang digunakan adalah selisih terbagi Newton mundur untuk data-data
yang bergaris bawah,
2
P4 (2, 0) = P4 (2, 2 − (0, 3))
3
2
2
= 0, 1103623 − (0, 3) (−0, 5715210) −
3
3
2 1
(0, 3)3 (0, 0680685)
−
3 4
4
7
2 1
(0, 3)4 (0, 0018251)
−
3 3
3
3
1
(0, 3)2 (0, 0118183)
3
112
Bab 4 Interpolasi
= 0, 2238754
Rumus Newton selisih terbagi, baik selisih terbagi maju maupun selisih terbagi
mundur tidak memperhatikan pendekatan nilai x.
Sebuah rumus selisih terbagi pusat, dengan memilih x0 yang dekat dengan titik
yang dihampiri dan kemudian tentukan secara langsung titik-titik dibawah x0 sebagai
x1 , x2 , x3 , . . . dan titik-titik di atas titik x − 0 sebagai x−1 , x−2 , . . .. Gunakan bentuk
tersebut, maka rumus Stirling diberikan oleh,
sh f [x−1 , x0 ] + f [x0 , x1 ]
2
s(s2 − 1)h3 +s2 h2 f [x−1 , x0 , x1 ] +
f [x−1 , x0 , x1 , x2 ] + f [x−2 , x−1 x0 , x1 ] + · · ·
2
+s2 (s2 − 1)(s2 − 4) · · · (s2 − (m − 1)2 )h2m f [x−m , x−m−1 , . . . , x0 , x1 , . . . , xm ]
s(s2 − 1) · · · (s2 − m2 )h2m+1 f [x−m , x−m−1 , . . . , x0 , . . . , xm+1 ]
2
(5.40)
+f [x−m−1 , . . . , x0 , . . . , xm ]
Pn (x) = P2m+1 (x) = f [x0 ] +
Jika n = 2m + 1 adalah ganjil, dan n = 2m adalah genap, maka hapus suku-suku
terakhir yang ditunjukkan pada Tabel 5.9.
Tabel 5.9 Selisih Terbagi Pusat Newton
x
f (x)
x−2
f [x0 ]
ST1
ST2
ST3
ST4
f [x0 , x1 ]
x−1
f [x1 ]
f [x0 , x1 , x2 ]
f [x1 , x2 ]
x0
f [x2 ]
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
f [x1 , x2 , x3 ]
f [x2 , x3 ]
x1
f [x3 ]
f [x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]
f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
f [x2 , x3 , x4 ]
f [x3 , x4 ]
x2
f [x4 ]
Contoh 5.13
Gunakan rumusan selisih terbagi pusat orde ke-4 untuk menghampiri f (1, 5) dari datadata yang diberikan pada Tabel 5.10 berikut.
4.5 Polinom Newton-Gregory
113
Penyelesaian:
Untuk menghampiri f (x) di x = 1, 5, maka akan kita gunakan data-data yang lebih
Tabel 5.10 Tabel Selisih Terbagi Newton orde 4
x
f [xi ]
1,0
0,7651977
1,3
0,6200860
1,6
0,4554022
1,9
0,2818186
ST1
ST2
ST3
ST4
-0,4837057
-0,1087339
0,0658784
-0,5489460
-0,0494433
-0,5786120
0,0018251
0,0680685
0,0118183
-0,5715210
2,2
0,1103623
dekat ke x = 1, 5. Dari tabel jelas terlihat bahwa x = 1, 6 lebih dekat ke x = 1, 5.
Untuk itu x = 1, 6 di jadikan sebagai x0 , selanjutnya x−2 = 1, 0, x−1 = 1, 3, x1 = 1, 9
dan x2 = 2, 2. Dengan menggunakan rumusan Stirling, diperoleh h = 0, 3, x0 = 1, 6
dan s = − 13 , menjadi
1
(0, 3))
3
1
0, 3
(−0, 5489460) − 0, 5786120)
= 0, 4554022 + −
3
2
1
1 2
1
−
−
− 1 (0, 3)3 (0, 0658784 + 0, 0680685)
+
2
3
3
f (1, 5) ≈ P4 (1, 6 + −
1 2
+ −
3
= 0, 5118200
1
−
3
− 1 (0, 3)4 (0, 0018251)
114
Bab 4 Interpolasi
Latihan
5.3
1. Gunakan rumusan selisi terpusat untuk mengkontruksi interpolasi polinomial berderajat satu, dua, tiga dan empat dari data-data berikut.
a. f (8, 4), jika f (8) = 16, 63553, f (8, 1) = 17, 61549, f (8, 3) = 17, 56492,
f (8, 6) = 18, 50515, f (8, 7) = 18, 82091
b. f (0, 9) jika f (0, 5) = −0, 34409873, f (0, 6) = −0, 17694460, f (0, 7) = 0, 01375227,
f (0, 8) = 0, 22363362, f (1, 0) = 0, 65809197
2. Gunakan rumus selisih maju Newton untuk membuat interpolasi polinom derajat
satu, dua, tiga, dan tiga dari data-data berikut.
a. f (0, 25) jika f (0) = −1, f (0, 1) = −0, 62049958, f (0, 2) = 0, 28398668,
f (0, 3) = 0, 00660095, f (0, 4) = 0, 24842440
b. f (1, 15), jika f (1) = 1, 684370, f (1, 1) = 1, 949477, f (1, 2) = 2, 199796,
f (1, 3) = 2, 439189, f (1, 4) = 2, 670324
3. Gunakan rumus selisih mundur Newton untuk membuat interpolasi polinom derajat satu, dua, tiga, dan tiga dari data-data berikut.
a. f (0, 25) jika f (0) = −1, f (0, 1) = −0, 62049958, f (02) = −0, 28398668,
f (0, 3) = 0, 00660095, f (0, 4) = 0, 24842440
b. f (π/2) jika f (1, 1) = 1, 964760, f (1, 2) = 2, 572152, f (1, 3) = 3, 602102,
f (1, 4) = 5, 797884, f (1, 5) = 14, 10142
4. Gunakan selisih terbagi Newton untuk mengiterpolasi polinom dereajat empat
dari data pada tabel berikut.
xn
0,0
0,1
0,3
0,6
1,0
f (xn )
-6,00000
-5,89483
-5,65014
-5,17788
-4,28172
5.5 Interpolasi Splin
115
5. Hampiri f (0, 05) dengan menggunakan selisih terbagi maju Newton untuk data
yang diberikan pada tabel berikut.
x
f (x)
0,0
1,00000
0,2
1,22140
0,4
1,49182
0,6
1,82212
0,8
2,22554
a. Gunakan rumus selisih terbagi mundur Newton untuk f (0, 65)
b. Gunakan rumus Stirling untuk menghampiri f (0, 43)
6. Polinomial derajat empat P (x) memenuhi ∆4 P (0) = 24, ∆3 P (0) = 6, dan
∆2 P (0) = 0 di mana ∆P (x) = P (x + 1) − P (x). Hitunglah ∆2 P (10).
7. Diberikan data-data untuk polinomial P sebagai berikut .
x
P (x)
0
2
1
-1
2
4
jika semua selisih terbagi orde tiga adalah 1, hitunglah koefisien dari x2 pada P (x)
8. Diberikan data-data untuk polinomial P sebagai berikut.
x
P (x)
0
4
1
9
2
15
3
18
Jika semua selisih terbagi maju orde-4 adalah 1, hitunglah koefisien x3 pada polinomial P (x).
9. Diberikan
Pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 )
+a3 (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) + · · ·
an (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn−1 ).
Gunakan Pn (x2 ) untuk menunjukkan bahwa a2 = f [x0 , x1 , x2 ].
