MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI

MAKALAH
MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI
Disusun sebagai salah satu tugas mata kuliah Pendahuluan Fisika Zat Padat
Dosen Pengampu : Wahyu Aji Eko Prabowo, S.Si, M.T
Disusun Oleh :
Muntaha
09620023
Puri Arya Puspita
13620005
Muhammad Agung S.
13620015
Fitroh Merkuri W.
13620023
Sismiranda Putri A.
13620033
Maksi C. Malessi
13620045
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
2015
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Secara umum setiap jenis bahan padat yang disusun oleh atom-atom selalu
mengandung elektron-elektron. Namun demikian, elektron-elektron tersebut ada yang
terikat erat pada ikatan atom-atom dan ada juga yang bebas. Elektron dikatakan bebas
bilamana elektron tersebut dapat bergerak secara bebas dari satu titik ke titik lain di
seluruh kristal. Dengan kata lain elektron bebas didefinisikan sebagai elektron yang
dapat bergerak bebas tanpa adanya gaya luar yang mempengaruhi, dan memiliki energi
potensial nol V (r)  0. Elektron yang bersifat demikian disebut elektron bebas.
Sedangkan elektron yang tidak dapat bergerak bebas, yaitu elektron yang terikat
dalam atom maupun ikatan antar atom, disebut elektron terikat. Struktur ikatan pada
bahan loham memungkinkan zat padat jenis ini mengandung elektron bebas. Sedangkan
bahan bukan logam lainnya, yaitu bahan-bahan yang mempunyai ikatan ionik atau
kovalen, tidak memiliki elektron bebas. Dengan adanya elektron bebas ini logam
mempunyai sifat-sifat yang khas, antara lain merupakan penghantar listrik dan
penghantar panas yang baik serta permukaannya mengkilat (sifat pantulnya baik).1
B. Rumusan Masalah
1. Apakah yang dimaksud dengan model elektron bebas terkuantisasi?
2. Bagaimana rumus untuk rapat keadaan elektron?
3. Bagaimana perbedaan model elektron bebas terkuantisasi dengan model elektron
bebas yang lain?
C. Tujuan
1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan model elektron bebas terkuantisasi.
2. Menentukan rapat keadaan elektron.
3. Mengetahui perbedaan model elektron bebas terkuantisasi dengan model elektron
bebas yang lain
1
http://elhanif.staff.fkip.uns.ac.id/files/2012/11/6B.BabVI-Mdl_e_bbs-2.pdf
tanggal 17 Mei 2015 pukul 13.54 WIB)
(Diakses pada hari Minggu
2
BAB II
PEMBAHASAN
Untuk memperbaiki kegagalan model elektron bebas klasik dalam menelaah sifat
listrik dan magnet bahan, ditawarkan model elektron bebas yang terkuantisasi. Model ini
mempunyai struktur sama dengan model elektron bebas klasik namun ditambah
menggunakan prinsip kuantisasi energi elektron bebas dan prinsip eksklusi Pauli untuk
elektron yang melibatkan distribusi Fermi-Dirac (dalam suatu sistem tidak ada dua elektron
atau lebih yang sama energinya (statistik Fermi-Dirac))2.
A. Kuantisasi Energi Elektron Bebas
Pengaruh dari semua elektron bebas yang lain dan semua ion positif
direpresentasikan V(r) = 0 sehingga potensialnya dianggap nol. Hal ini dapat
mengakibatkan gaya yang bekerja pada elektron juga sama dengan nol. Secara kuantum
mengambil persamaan Schrodinger:
ℏ2
− 2𝑚 ∇2 𝜓(𝒓) = 𝐸𝜓(𝒓)
(1.1)
0
Dengan solusi fungsi elektron:
ψ(r) = A0 . ei(k . r)
(1.2)
dengan k : vektor propagasi elektron. Dan energi elektron:
ℏ2 𝒌2
𝐸𝑘 = ( 2𝑚 )
(1.3)
0
Ketika elektron bebas tersebut bergerak dalam suatu kubus dengan rusuk L, maka
haruslah dipenuhi:
2𝜋 2
𝑘 2 = (𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 ) = ( ) (𝑛𝑥2 + 𝑛𝑦2 + 𝑛𝑧2 )
𝐿
(1.4)
𝑛𝑥 = 𝑛𝑦 = 𝑛𝑧 = 0, ±1, ±2, …
2
Parno, Fisika Zat Padat, 2006, Departemen Pendidika Nasional, Universitas Negeri Malang, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan Fisika, hlm.78
3
Ketika elektron bebas bergerak dalam suatu kulit bola, dalam setiap ruang k
direpresentasikan memiliki volume (2π/L)3. Semua elektron yang energinya sama
dengan E tertentu, terletak pada permukaan bola dengan jari-jari bola k yang memenuhi:
𝑘 2 = (𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 )
Menurut persamaan (1.3) didapatkan:
𝑘2 =
2𝑚0 𝐸
(1.5)
ℏ2
Semua elektron yg memiliki energi antara E dan E + dE terletak dlm kulit bola
yang memiliki jari-jari k, dan tebal kulit bola dk. Memiliki volume sebesar:
4
𝑉 = 3 𝜋𝑘 3
𝑑𝑉
𝑑𝑘
4
= 3. 3 𝜋𝑘 2
𝑉 = 4𝜋𝑘 2 . 𝑑𝑘
(1.6)
Sehingga akan didapatkan jumlah “electron state” (keadaan elektron/tempat elektron)
dengan energi antara E dan E + ΔE pada kulit bola adalah:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝐾𝑢𝑙𝑖𝑡 𝐵𝑜𝑙𝑎
𝑔(𝐸)𝑑𝐸 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑡𝑜𝑚
K
4𝜋.𝑘 2 𝑑𝑘
3
(2𝜋⁄𝐿 )
=
K
1
= 2𝜋2 𝐿3 𝑘 2 𝑑𝑘
k
(1.7)
Penurunan tersebut belum memperhatikan spin elektron (↑ dan ↓). Apabila
diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlah “electron state” menjadi:
1
𝑔(𝐸)𝑑𝐸 = 𝜋2 𝐿3 𝑘 2 𝑑𝑘
(1.8)
Untuk jumlah “electron state” per satuan volume :
1
𝑔(𝐸)𝑑𝐸 = 𝜋2 𝑘 2 𝑑𝑘
(1.9)
Nilai ∆𝑘 didapatkan dari:
𝑘2 =
2𝑚0 𝐸
ℏ2
2𝑘. 𝑑𝑘 =
2𝑚0
ℏ2
. 𝑑𝐸
4
𝑑𝑘 =
𝑑𝑘 =
2𝑚0
.𝑑𝐸
ℏ2
2𝑘
2𝑚0
2ℏ2
1
. 𝑑𝐸. 𝑘
(1.10)
Sehingga jumlah “electron state” per satuan volume dengan energi antara E dan E + dE
menjadi :
1
𝑔(𝐸)𝑑𝐸 = 𝜋2 𝑘 2 𝑑𝑘
1
2𝑚
1
= 𝜋2 𝑘 2 . 2ℏ20 . 𝑑𝐸. 𝑘
1 2𝑚0 𝐸 2𝑚0 .𝑑𝐸
= 𝜋2
.
1
ℏ2
2𝑚0
𝑔(𝐸)𝑑𝐸 = 2𝜋2 . (
ℏ2
2ℏ2
3⁄
2
)
𝐸
.(
1
2𝑚0 𝐸 − ⁄2
ℏ2
)
1⁄
2 . 𝑑𝐸
g(ω)
(1.11)
g(ω)
g(ω) ≃ E
½
E
Kurva dispersi pd elektron bebas terkuantisasi
E
Kurva dispersi pada Fonon
Dari persamaan (1.11) didapatkan rapat keadaan elektron (“electron state”) yaitu suatu
keadaan / tempat yang boleh ditempati elektron tetapi tidak selalu ada elektron di tempat
itu sebesar:
1
2𝑚0
𝑔(𝐸)𝑑𝐸 = 2𝜋2 . (
1
ℏ2
2𝑚0
𝑔(𝐸) = 2𝜋2 . (
1
3⁄
2
)
ℏ2
2𝑚0
𝑔(𝐸) = 2𝜋2 . (
ℏ2
)
)
𝐸
3⁄
2
3⁄
2
1⁄
2 . 𝑑𝐸
𝐸
1⁄ 𝑑𝐸
2.
𝑑𝐸
𝐸
1⁄
2
(1.12)
5
B. Eksklusi Pauli
Prinsip Pauli menyatakan bahwa dalam satu sistem fisis tidak boleh terdapat dua
elektron atau lebih yang mempunyai perangkat bilangan kuantum yang tepat sama.
Prinsip larangan ini dipenuhi oleh elektron yang mengikuti fungsi distribusi FermiDirac.
𝑓(𝐸) =
1
1+𝑒
(2.1)
(𝐸−𝐸𝑓 )/𝑘𝑇
Pada suhu T=0 K, energi Fermi diungkapkan dalam bentuk Ef(0); dan fungsi distribusi
Fermi-Dirac:
1
Untuk 𝐸 < 𝐸𝑓 (0) → 𝑓(𝐸) = 1+𝑒 −∞ = 1
1
Untuk 𝐸 > 𝐸𝑓 (0) → 𝑓(𝐸) = 1+𝑒 ∞ = 0
Dengan kata lain, pada suhu T=0 K semua tingkat energi 𝐸 < 𝐸𝑓 (0) terisi penuh
elektron dan 𝐸 > 𝐸𝑓 (0) kosong. Sedangkan pada suhu T>0 K berlaku:
Untuk 𝐸 < 𝐸𝑓 (0) → 𝑓(𝐸) < 1
1
Untuk 𝐸 = 𝐸𝑓 (0) → 𝑓(𝐸) = 2
Untuk 𝐸 > 𝐸𝑓 (0) → 𝑓(𝐸) > 0
Hal ini berarti pada T>0 K tingkat energi di atas Ef sudah terisi sebagian dan di bawah
Ef menjadi kosong sebagian.
Model elektron bebas terkuantisasi mengambil andaian sebagai berikut:
a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif (yang
membentuk kisi kristal) dan elektron bebas yang bergerak dalam volume kristal.
b. Elektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum, yaitu mempunyai energi
terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli, yang secara menyatu dirangkum dalam
ungkapan rapat elektron
dn = n(E) dE = f(E) g(E) dE
(2.2)
Dengan mensubstitusikan (1.11) dan (2.1) diperoleh ungkapan rapat elektron
sebagai fungsi dari energi elektron dan suhu sistem:
1
2𝑚0
𝑑𝑛 = 2𝜋2 . (
ℏ2
3⁄
2
)
1
𝐸 ⁄2 .
1+𝑒
(𝐸−𝐸𝑓 )/𝑘𝑇
𝑑𝐸
(2.3)
6
c. Pengaruh medan ion positif dapat diabaikan karena energi kinetik elektron bebas
sangat besar.
d. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya terdapat
suatu potensial penghalang 𝜙 yang harus diloncati oleh elektron bebas paling
energetik pada suhu T=0 K (energi Ef) untuk dapat meninggalkan permukaan batas
logam.3
C. Perbedaan Model Elektron Bebas Terkuantisasi Dengan Model Elektron Bebas
Yang Lain
1. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif (yang
membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volum kristal.
2. Kumpulan elektron bebas itu mengikuti kaedah-kaedah dasar fisika kuantum, yaitu
mengenai kuantisasi energi elektron bebas dan larangan Pauli, yang secara menyatu
dirangkum dalam ungkapan untuk rapat elektron persatuan volum sebagai fungsi
dari energi elektron.
3. Pengaruh medan yang berasal dari jajaran ion positif diabaikan, energi kinetik
elektron bebas sangat besar apabila dibandingkan dengan energi potensial yang
diperoleh dari jajaran ion positif.
4. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya, terdapat
suatu potensial penghalang yang harus diloncati elektron bebas pada T=0 K (energi
= Ef) untuk dapat meninggalkan permukaan batas logam. 4
3
Parno, Ibid. , hlm. 79
4
Santika Gede Dana, Model Elektron Bebas Dalam Logam Teori Drude, Model Elektron Bebas Klasik, Dan
Model Elektron Bebas Terkuantisasi, 2014, hlm. 1
7
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Model elektron bebas terkuantisasi mempunyai struktur sama dengan model
elektron bebas klasik namun ditambah menggunakan prinsip kuantisasi energi
elektron bebas dan prinsip eksklusi Pauli untuk elektron yang melibatkan distribusi
Fermi-Dirac. Pada model ini potensial dari gugus ion diabaikan (V=0).
2. Rapat keadaan elektron per satuan volume dengan energi antara E dan E + dE
adalah:
1
𝑔(𝐸)𝑑𝐸 = 2𝜋2 . (
2𝑚0
ℏ2
3⁄
2
)
𝐸
1⁄
2 . 𝑑𝐸
Sedangkan rapat elektron sebagai fungsi dari energi elektron dan suhu sistem:
1
2𝑚0
𝑑𝑛 = 2𝜋2 . (
ℏ2
)
3⁄
2
1
𝐸 ⁄2 .
1+𝑒
(𝐸−𝐸𝑓 )/𝑘𝑇
𝑑𝐸
3. Perbedaan model elektron bebas terkuantisasi dengan model elektron bebas yang
lain adalah:
a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif
dan elektron yang bebas bergerak dalam volum kristal.
b. Kumpulan elektron bebas itu mengikuti kaedah-kaedah dasar fisika kuantum.
c. Pengaruh medan yang berasal dari jajaran ion positif diabaikan.
d. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya, terdapat
suatu potensial penghalang yang harus diloncati elektron bebas pada T=0 K
(energi = Ef) untuk dapat meninggalkan permukaan batas logam.
8
DAFTAR PUSTAKA
http://elhanif.staff.fkip.uns.ac.id/files/2012/11/6B.BabVI-Mdl_e_bbs-2.pdf (Diakses pada
hari Minggu tanggal 17 Mei 2015 pukul 13.54 WIB)
http://fisika.fkip.unej.ac.id/wp-content/uploads/sites/11/2015/04/ZAT_PADAT_11Elektron-Dalam-Logam1.ppt (Diakses pada hari Kamis tanggal 14 Mei 2015 pukul
11.43 WIB)
Parno. 2006. Fisika Zat Padat. Departemen Pendidika Nasional, Universitas Negeri Malang,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan Fisika
Dana, Santika Gede. 2014. Model Elektron Bebas Dalam Logam Teori Drude, Model
Elektron Bebas Klasik, Dan Model Elektron Bebas Terkuantisasi.
9