Pohon
Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit
Program Studi Teknik Informatika ITB
Rinaldi M/IF2120 Matdis
1
Definisi
Pohon adalah graf tak-berarah terhubung
yang tidak mengandung sirkuit
a
b
a
b
a
b
a
b
c
d
c
d
c
d
c
d
e
pohon
f
e
f
pohon
e
f
bukan pohon
Rinaldi M/IF2120 Matdis
e
f
bukan pohon
2
Hutan (forest) adalah
- kumpulan pohon yang saling lepas, atau
- graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap
komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon.
Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon
Rinaldi M/IF2120 Matdis
3
Hutan
Rinaldi M/IF2120 Matdis
4
Sifat-sifat (properti) pohon
Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah
sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan
di bawah ini adalah ekivalen:
1. G adalah pohon.
2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan
lintasan tunggal.
3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi.
4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah
sisi.
5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi
pada graf akan membuat hanya satu sirkuit.
6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.
Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari
pohon.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
5
Pohon Merentang (spanning tree)
Pohon merentang dari graf terhubung adalah upagraf
merentang yang berupa pohon.
Pohon merentang diperoleh dengan memutus
dalam graf.
G
T1
T2
Rinaldi M/IF2120 Matdis
T3
sirkuit di
T4
6
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah
pohon merentang.
Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah
hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning
forest).
Rinaldi M/IF2120 Matdis
7
Aplikasi Pohon Merentang
1. Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang
menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap
terhubung satu sama lain.
2. Perutean (routing) pesan pada jaringan komputer.
(a)
(b)
Router
Subnetwork
(a) Jaringan komputer, (b) Pohon merentang multicast
Rinaldi M/IF2120 Matdis
8
Pohon Merentang Minimum
Graf terhubung-berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1
pohon merentang.
Pohon merentang yang berbobot minimum –dinamakan pohon
merentang minimum (minimum spanning tree ).
a
55
d
25
c
b
a
45
30
h
b
40
20
5
40
50
15
g
e
35
d
25
c
30
h
20
5
15
g
e
10
10
f
f
Rinaldi M/IF2120 Matdis
9
Algoritma Prim
Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum,
masukkan ke dalam T.
Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan
bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak
membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
10
procedure Prim(input G : graf, output T : pohon)
{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubungberbobot G.
Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V= n
Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’)
}
Deklarasi
i, p, q, u, v : integer
Algoritma
Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil
T {(p,q)}
for i1 to n-2 do
Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun
bersisian dengan simpul di T
T T {(u,v)}
endfor
Rinaldi M/IF2120 Matdis
11
Contoh:
1
10
30
45
4
2
50
40
35
3
25
55
20
5
15
6
Rinaldi M/IF2120 Matdis
12
Langkah
1
Sisi
(1, 2)
(2, 6)
2
Bobot
Pohon rentang
1
10
2
1
10
2
10
25
25
3
(3, 6)
6
1
15
10
3
25
15
6
4
(4, 6)
1
20
10
2
3
4
25
20
15
6
5
(3, 5)
1
35
10
2
45
4
35
3
25
55
20
5
15
6
Rinaldi M/IF2120 Matdis
13
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
1
10
2
45
4
35
3
25
55
20
5
15
6
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
Rinaldi M/IF2120 Matdis
14
Pohon merentang yang dihasilkan tidak
selalu unik meskipun bobotnya tetap sama.
Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang
akan dipilih berbobot sama.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
15
Contoh:
a
3
b
4
5
e
5
i
4
2
3
f
4 g
3
5
j
6
c
4
2
d
6
4
h
4
k
l
2
Tiga buah pohon merentang minimumnya:
a
4
b
3
2
f
e
c
5
3
i
j
3
g
d
2
4
h
4
k
2
l
b
3
c
2
f
e
4
4
a
d
2
3
a
4
h
3
i
j
4
4
k
2
l
c
4
2
f
e
4
5
b
3
3
g
d
2
h
4
5
3
i
j
4
k
2
l
Bobotnya sama yaitu = 36
Rinaldi M/IF2120 Matdis
16
Algoritma Kruskal
( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan
bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar)
Langkah 1: T masih kosong
Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak
membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam
T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 1 kali.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
17
procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon)
{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung –
berbobot G.
Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V= n
Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’)
}
Deklarasi
i, p, q, u, v : integer
Algoritma
( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik
berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot
besar)
T {}
while jumlah sisi T < n-1 do
Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil
if (u,v) tidak membentuk siklus di T then
T T {(u,v)}
endif
endfor
Rinaldi M/IF2120 Matdis
18
Contoh:
1
10
30
45
4
2
50
40
35
3
25
55
20
5
15
6
Rinaldi M/IF2120 Matdis
19
Sisi-sisi diurut menaik:
Sisi
Bobot
(1,2)
10
Langkah
(3,6)
15
(4,6)
20
Sisi
(2,6)
25
(1,4)
30
(3,5)
35
Bobot
0
1
(1, 2)
10
2
(3, 6)
15
(2,5)
40
(1,5)
45
(2,3)
50
(5,6)
55
Hutan merentang
1
2
1
2
1
2
3
3
4
5
4
5
6
6
3
(4, 6)
20
1
2
3
5
4
6
4
(2, 6)
25
1
2
3
5
4
Rinaldi M/IF2120 Matdis
20
5
(1, 4)
30
6
(3, 5)
35
ditolak
1
2
5
3
4
6
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
1
10
2
45
4
35
3
25
55
20
5
15
6
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
Rinaldi M/IF2120 Matdis
21
Pohon berakar (rooted tree)
Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan
sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah
dinamakan pohon berakar (rooted tree).
a
a
b
c
e
h
f
i
b
d
e
g
j
(a) Pohon berakar
d
c
h
f
i
g
j
(b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat
dibuang
Rinaldi M/IF2120 Matdis
22
b
e
a
b
e
f
d
g
a
d
c
d
f
c
h
e
g
h
b
g
h
f
b sebagai akar
a
c
e sebagai akar
Pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan
dua simpul berbeda sebagai akar
Rinaldi M/IF2120 Matdis
23
Terminologi pada Pohon Berakar
Anak (child atau children) dan Orangtua (parent)
b, c, dan d adalah anak-anak simpul a,
a adalah orangtua dari anak-anak itu
a
b
c
e
h
d
f
i
g
k
j
l
m
Rinaldi M/IF2120 Matdis
24
2. Lintasan (path)
Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j.
a
Panjang lintasan dari a ke j adalah 3.
b
3. Saudara kandung (sibling)
f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan
c
e
f
saudara kandung e, karena orangtua mereka
berbeda.
h
d
i
g
k
j
l
Rinaldi M/IF2120 Matdis
m
25
4. Upapohon (subtree)
a
b
c
e
h
d
f
i
g
k
j
l
m
Rinaldi M/IF2120 Matdis
26
5. Derajat (degree)
Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah
anak) pada simpul tersebut.
Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2,
Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0.
Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar.
Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu
sendiri. Pohon di atas berderajat 3
a
b
c
e
h
d
f
i
g
k
j
l
m
Rinaldi M/IF2120 Matdis
27
6. Daun (leaf)
Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut
daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun.
7. Simpul Dalam (internal nodes)
Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d,
e, g, dan k adalah simpul dalam.
a
b
c
e
h
d
f
i
g
k
j
l
Rinaldi M/IF2120 Matdis
m
28
8. Aras (level) atau Tingkat
Aras
a
b
c
e
h
0
d
f
i
2
g
k
j
l
1
3
m
4
9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth)
Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman
pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
29
Pohon Terurut (ordered tree)
Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon
terurut (ordered tree).
1
2
5
1
4
3
6
7
8
3
9
8
4
2
9 6
5 7
10
10
(a)
(b)
(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda
Rinaldi M/IF2120 Matdis
30
Pohon n-ary
Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai
paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary.
< sentence>
<subject>
<article>
A
<verb>
<noun phrase>
<adjective> <noun>
tall
boy
wears
<object>
<article>
a
<noun>
<adjective>
red
<noun>
hat
Gambar Pohon parsing dari kalimat A tall boy wears a red hat
Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap
simpul cabangnya mempunyai tepat n anak.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
31
Pohon Biner (binary tree)
Adalah pohon n-ary dengan n = 2.
Pohon yang paling penting karena banyak
aplikasinya.
Setiap simpul di adlam pohon biner mempunyai
paling banyak 2 buah anak.
Dibedakan antara anak kiri (left child) dan anak
kanan (right child)
Karena ada perbedaan urutan anak, maka pohon
biner adalah pohon terurut.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
32
a
b
d
a
c
b
c
d
Gambar Dua buah pohon biner yang berbeda
Rinaldi M/IF2120 Matdis
33
a
b
a
b
d
c
c
d
Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan
Rinaldi M/IF2120 Matdis
34
Gambar Pohon biner penuh
Rinaldi M/IF2120 Matdis
35
Pohon Biner Seimbang
Pada beberapa aplikasi, diinginkan tinggi upapohon kiri dan tinggi
upapohon kanan yang seimbang, yaitu berbeda maksimal 1.
T1
T2
T3
Gambar T1 dan T2 adalah pohon seimbang, sedangkan T3 bukan pohon
seimbang.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
36
Terapan Pohon Biner
1. Pohon Ekspresi
*
+
/
+
a
b
c
d
e
Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e))
daun operand
simpul dalam operator
Rinaldi M/IF2120 Matdis
37
2. Pohon Keputusan
a:b
a>b
b>a
a:c
a >c
c>a
b:c
b>c
a>b>c
b:c
b>c
c>a>b
c>b
a>c>b
a >c
b>a>c
c>b
a:c
c>b>a
c>a
b>c>a
Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen
Rinaldi M/IF2120 Matdis
38
3. Kode Awalan
0
0
1
1
01
0
1
000
001
0
10
1
11
Gambar Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}
Rinaldi M/IF2120 Matdis
39
4. Kode Huffman
Tabel Kode ASCII
Simbol
A
B
C
D
Kode ASCII
01000001
01000010
01000011
01000100
rangkaian bit untuk string ‘ABACCDA’:
01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001
atau 7 8 = 56 bit (7 byte).
Rinaldi M/IF2120 Matdis
40
Tabel Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman
untuk string ABACCDA
Simbol
A
B
C
D
Kekerapan
3
1
2
1
Peluang
3/7
1/7
2/7
1/7
Kode Huffman
0
110
10
111
Dengan kode Hufman, rangkaian bit untuk ’ABACCDA’:
0110010101110
hanya 13 bit!
Rinaldi M/IF2120 Matdis
41
Algoritma pembentukan pohon Huffman
1.
Pilih dua simbol dengan peluang (probability) paling
kecil (pada contoh di atas simbol B dan D). Kedua
simbol tadi dikombinasikan sebagai simpul orangtua dari
simbol B dan D sehingga menjadi simbol BD dengan
peluang 1/7 + 1/7 = 2/7, yaitu jumlah peluang kedua
anaknya.
2.
Selanjutnya, pilih dua simbol berikutnya, termasuk
simbol baru, yang mempunyai peluang terkecil.
3.
Ulangi langkah 1 dan 2 sampai seluruh simbol habis.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
42
ABCD, 7/7
0
1
A, 3/7
CBD, 4/7
0
1
BD, 3/7
C, 2/7
0
B, 3/7
1
D, 3/7
A = 0, C = 10, B = 110, D = 111
Rinaldi M/IF2120 Matdis
43
5. Pohon Pencarian Biner
R
Kunci(T1) < Kunci(R)
Kunci(T2) > Kunci(R)
T1
T2
Rinaldi M/IF2120 Matdis
44
Data:
50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70
50
50
32
18
5
40
52
70
25
Rinaldi M/IF2120 Matdis
45
Penelusuran (traversal) Pohon Biner
1. Preorder : R, T1, T2
- kunjungi R
- kunjungi T1 secara preorder
- kunjungi T2 secara preorder
2. Inorder : T1 , R, T2
- kunjungi T1 secara inorder
- kunjungi R
- kunjungi T2 secara inorder
3. Postorder : T1, T2 , R
- kunjungi T1 secara postorder
- kunjungi T2 secara postorder
- kunjungi R
Rinaldi M/IF2120 Matdis
46
R
T1
Langkah 2: kunjungi
T1
secara preorder
R
Langkah 1: kunjungi R
T1
T2
Langkah 1: kunjungiT1
secara inorder
Langkah 3: kunjungi
T2
secara preorder
(a) preorder
Langkah 2: kunjungi R
T2
Langkah 3: kunjungiT2
secara inorder
(b) inorder
Langkah 3: kunjungi R
R
T1
T2
Langkah 1: kunjungi T1
secara postorder
Langkah 2: kunjungi T2
secara postorder
(c) postorder
Rinaldi M/IF2120 Matdis
47
preorder
inorder
postorder
: *+a/b c-d*ef
: a+b/c*d-e*f
: abc/+def*-*
(prefix)
(infix)
(postfix)
*
+
-
a
d
/
b
c
*
e
f
Rinaldi M/IF2120 Matdis
48
Soal latihan
1.
Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari
delapan koin itu ternyata palsu. Koin yang palsu
mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada
koin yang asli. Misalkan tersedia sebuah
timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah
pohon keputusan untuk mencari uang palsu
dengan cara menimbang paling banyak hanya 3
kali saja.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
49
2. Tentukan hasil kunjungan preorder, inorder, dan postorder pada pohon 4ary berikut ini:
a
b
e
n
f
o
c
g
h
d
i
j
l
k
p
m
q
Rinaldi M/IF2120 Matdis
50
3.
Gunakan pohon berakar untuk menggambarkan
semua kemungkinan hasil dari pertandingan
tenis antara dua orang pemain, Anton dan Budi,
yang dalam hal ini pemenangnya adalah pemain
yang pertama memenangkan dua set berturutturut atau pemain yang pertama memenangkan
total tiga set.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
51
4. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah
ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).
a
2
d
6
g
5
3
b
c
4
5
6
7 e 1
3
8
4
4
3
h
f
4
2
i
Rinaldi M/IF2120 Matdis
52
6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan
sebagai berikut:
P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O
(a) Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk.
(b) Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder, dan postorder,
dari pohon jawaban (a) di atas.
Rinaldi M/IF2120 Matdis
53
