PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS BALIKPAPAN BAB I ANALISA NUMERIK 1.1 Pendahuluan Sebelum kita berbicara jauh tentang metode numerik dan analisis numerik, terlebih dahulu kita harus mengetahui arti dari analisis numerik. Pada Kamus Besar Bahasa Indonesia (KKBI), analisis berarti penelaahan dan penguraian data hingga menghasilkan simpulan sedangkan numerik itu sendiri berwujud angka. Sehingga dapat disimpulkan sebagai penelaahan dan penguraian data hingga menghasilkan kesimpulan. Sedangkan metode numerik adalah cara atau teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Dalam metode penyelesaian permasalahan di berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, matematika atau ekonomi, atau pada persoalan di bidang rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya, diantaranya pada umumnya harus diformulasikan dalam notasi matematika sebelum dianalisa secara kualitatif baik secara analitik (secara eksakta) ataupun secara numerik, walaupun ada beberapa pula yang menggunakan metode penyelesaian secara empiris (melalui percobaan). Bidang analisis numerik sudah dikembangkan berabad-abad sebelum penemuan komputer modern. Interpolasi linear sudah digunakan lebih dari 2000 tahun yang lalu. Banyak matematikawan besar dari masa lalu disibukkan oleh analisis numerik, seperti yang terlihat jelas dari nama algoritma penting seperti metode newton, interpolasi, elimeninasi gauss dan sebagainya. Tujuan keseluruhan bidang analisis numerik adalah perancangan dan analisis teknik untuk mendapatkan solusi hampiran yang akurat terhadap masalah masalah sukar. Misalnya : 1. Metode numerik lanjut sangat penting dalam prakiraan cuaca numerik yang layak 2. Perhitungan trajektori wahana antariksa maensyaratkan pemecahan masalah numerik yang akurat dari sistem persamaan differensial biasa. 3. Perusahaan otomotif dapat meningkatkan keamanan kendaraan dengan simulasi tabrakan kendaraan. Simulasi ini pada dasarnya terdiri dari pemecahan differensial parsial secara numerik. DIKTAT KULIAH : ANALISA NUMERIK S N S Sidabutar 1 PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS BALIKPAPAN 4. Maskapai penerbangan menggunakan algoritma optimisasi dalam menentukan harga tiket, penugasan awak, serta keperluan bahan bakar dan sebagainya. Bidang ini juga dinamakan riset operasi. 5. Dan sebagainya. 1.2 Manfaat mempelajari metode numerik Persoalan yang muncul dilapangan diformulasikan ke dalam model yang berbentuk persamaan matematika. Persamaan tersebut mungkin asangat kompleks atau jumlahnya mungkin lebih dari satu. Metode numerik memberikan cara penyelesaian matematika dengan cepat dan akurat. Terdapat beberapa alasan mengapa kita harus mempelajari metode numerik, yaitu : 1. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani system persamaan besar, kenirlanjaran, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik. 2. Peranan komputer dalam metode numerik menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode numerik agar kita dapat memahami cara paket tersebut dalam penyelesaian persoalan. 3. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika . karena metode numerik ditemukan dengan menyerderhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar. 4. Mampu merancang program sendiri sesuai permasalahan yang dihadapi pada masalah rekayasa. 5. Menangani galat (error) suatu nilai hampiran (aproksimasi) dari masalah rekayasa yang merupakan bagian dari paket program yang berskala besar 1.3 Perbedaan metode numerik dengan analisis numerik Untuk persoalan tertentu tidaklah cukup kita hanya menggunakan metode numerik untuk menghasilkan hasil yang diinginkan. Kita juga perlu mengetahui apakah metode tersebut memang memberikan solusi hampiran, dan seberapa bagus/akurat hampiran tersebut. Metode numerik dan analisis numerik adalah dua hal yang berbeda. Metode adalah algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik. Sedangkan analisis numerik adalah terapan matematika untuk menganalisis metode. Dalam analisis numerik, hal DIKTAT KULIAH : ANALISA NUMERIK S N S Sidabutar 2 PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS BALIKPAPAN utama yang ditekankan adalah analisis galat dan konvergensi sebuah metode. Tugas para analis numerik adalah mengembangkan dan menganalisa metode numerik. Termasuk didalamnya pembuktian apakah suatu metode konvergen, dan menganalisa batas-batas galat (error) solusi numerik. 1.4 Metode analitik versus metode numerik Metode analitik disebut juga metode sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memberikan galat (error) sama dengan nol. Metode analitik ini hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana serta bermatra rendah. Padahal yang muncul dalam dunia nyata seringkali nirlanjar serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan metode numerik. Metode numerik adalah cara atau teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, bagi). Perbedaan utama antara metode numerik dan metode analitik terletak pada dua hal. Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka, sedangkan pada metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan dalam bentuk angka. Kedua dengan metode numerik kita memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan gallat (error). Contoh : 1 Menggunakan rumus dan teorema yang sudah baku di dalam matematika metode analitik, carilah akar-akarnya dari persamaan berikut : 𝑥 2 − 6𝑥 + 12 = 0 Penyelesaian 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0 DIKTAT KULIAH : ANALISA NUMERIK S N S Sidabutar 3 PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS BALIKPAPAN (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0 (𝑥 − 3) = 0 → 𝑥1 = 3 (𝑥 − 4) = 0 → 𝑥2 = 4 Contoh : 2 Dengan menggunakan pendekatan aproksimasi untuk mencari solusihanya dengan operasi aritmetika biasa metode numerik carilah akar dari persamaan berikut : 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 Diketahui sebuah akar terletak di dalam selang (3,4) Dengan menggunakan rumus ABC 𝑥1 , 𝑥2 = −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑐 𝑥1 = 3 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 = 4 20 12 6 2 -1 0 1 2 3 4 5 -8 1.5 Pemecahan Persoalan Dengan Metode Numerik Ada enam tahapan yang dilakukan dalam pemecahanpersoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu: a. Pemodelan DIKTAT KULIAH : ANALISA NUMERIK S N S Sidabutar 4 PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS BALIKPAPAN Pemodelan merupakan tahap pertama, persoalandunia nyata dimodelkan kedalam persamaan matematika. b. Penyederhanaan model Model matematika yang dihasilkan pada tahap pertama, mungkin terlalu kompleks, yaitu memasukkan peubah (variable) atau parameter. Semakin komplek model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga parameter dapat diabaikan. Misalkan, factor gesekan udara diabaikan sehingga koefisien gesekan didalam model dapat dibuang. Model matematika yang diperoleh dari penyerderhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh. c. Formulasi numerik Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikan secara numerik, antara lain : 1. Menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah dan sebagainya). Pemilihan metode didasari pada pertimbangan berikut : a) Apakah metode tersebut teliti? b) Apakah metode tersebut mudah deprogram dan waktu pelaksanaannya cepat? c) Apakah metode tersebut tidak pekaterhadap perubahan yang cukup kecil? 2. Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih d. Pemrograman Tahap selanjutnya adalah menterjemahkan algoritma ke dalam program computer dengan menggunakan salah satu Bahasa pemrograman yang dikuasai. e. Operasional Pada tahapan ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum data sesungguhnya. f. Evaluasi Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi analysis hasil run dan DIKTAT KULIAH : ANALISA NUMERIK S N S Sidabutar 5 PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS BALIKPAPAN membandingkan dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik. DIKTAT KULIAH : ANALISA NUMERIK S N S Sidabutar 6
