MAKALAH
INVESTIGASI, PEMECAHAN MASALAH DAN PEDAGOGIK
Mata Kuliah : Filsafat Pendidikan Matematika
Dosen Pengampu:
Prof. Dr. Cholis Sa’dijah, M.Pd, MA
Dr. Abdul Qohar, M.T
Disusun Oleh:
Indriarti Nurul Hidayah
190311966825
Christi Matitaputty
190311966813
Mira Amelia Amri
190311966816
Reno Warni Pratiwi
190311966821
PROGRAM STUDI S3 PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
2019
BAB 13
INVESTIGASI, PEMECAHAN MASALAH DAN PEDAGOGIK
1. Matematika Sebagai Hasil Dari Pengajuan dan Pemecahan Masalah Manusia
Konstruktivisme sosial mengidentifikasi matematika sebagai lembaga sosial, yang
dihasilkan dari pengajuan dan pemecahan masalah manusia. Matematika mungkin unik di
tempat pusatnya memberikan masalah, yang tetap tidak dapat terpecahkan tetapi sangat
menarik selama ribuan tahun. Tetapi masalah matematika lebih penting daripada tantangan
seumur hidup. Seringkali teknik yang dirancang untuk menyelesaikannya mewakili
kemajuan besar dalam matematika. Dengan demikian masalah juga berfungsi sebagai titik
perkembangan untuk matematika.
Sejumlah ahli filsafat telah mengidentifikasi masalah dan pemecahan masalah
sebagai jantung dari ilmu pengetahuan. Laudan (1977) secara eksplisit mengusulkan
kemajuan Model Pemecahan Masalah pada ilmu pengetahuan. Dia berpendapat bahwa
asalkan masalah yang terjadi berada dalam konteksnya (atau budayanya) memungkinkan
terjadinya diskusi kritis, pemecahan masalah adalah karakteristik penting pada rasionalitas
ilmu pengetahuan dan metodologinya. Dalam filsafat matematika, Hallett (1979)
mengusulkan bahwa masalah harus memainkan perannya dalam teori evaluasi
matematika. Hallett mengadopsi “Kriteria Hilbert”, bahwa teori dan program penelitian
dalam matematika harus dinilai sejauh mana teori dan program tersebut membantu
pemecahan masalah. Kedua pendekatan tersebut mengakui pentingnya masalah dalam
kemajuan ilmu pengetahuan, tetapi kedua pendekatan tersebut masih berfokus pada
pembenaran daripada penciptaan teori. Kontras dengan Popper (1959) dalam teorinya
“konteks penemuan”.
Sejak zaman Euclid, atau sebelumnya, penekanan dalam presentasi matematika telah
pada logika deduktif dan perannya dalam pembenaran pengetahuan matematika. Hal ini
adalah salah satu prestasi besar matematika. Tetapi penekanannya pada teorema dan
pembuktiannya, serta pembenaran secara umum yang telah membantu untuk menopang
pandangan absolut matematika. Pengakuan dari pusat masalah dan pemecahan masalah
dalam matematika mengingatkan kita pada tradisi sejarah matematika, yang menekankan
pada konteks penemuan atau penciptaan.
Dari zaman Yunani kuno, sedikitnya telah diakui bahwa pendekatan sistematis dapat
memfasilitasi penemuan dalam matematika. Misalnya Pappus menulis sebuah risalah yang
membedakan antara analitik dan sintetik metode pemecahan masalah. Yang pertama,
analitik melibatkan pemisahan logis atau komponen semantik dari premis atau
kesimpulan, sedangkan yang kedua, sintetik melibatkan elemen cerita ke dalamnya dan
mencoba untuk menggabungkannya. Perbedaan ini telah terulang sepanjang sejarah, dalam
beberapa kali telah digunakan oleh psikolog untuk membedakan berbagai tingkat proses
kognitif (Bloom, 1956).
Sejak Renaissance, sejumlah para ahli methodologi ilmu pengetahuan berusaha
untuk menciptakan cara-cara sistematis pada heuristik matematika. Bacon (1960)
mengusulkan metode induksi untuk sampai pada hipotesis, yang kemudian menjadi
sasaran pengujian. Dalam rangka memfasilitasi usul hipotesis induktif, ia mengusulkan
kontruksi tabel sistematis hasil atau fakta untuk menunjukkan persamaan dan perbedaan.
Seperti proposal yang diterbitkan pada tahun 1620, mengantisipasi penelitian heuristik
modern pada pemecahan masalah matematika, seperti Kantowski, orang spesialis “proses
heuristik yang terkait dengan perencanaan...Pencarian untuk pola...Tabel Set up atau
matrix” (Bell et al., 1983, halaman 208).
Pada tahun 1628 Descartes (1931) menerbitkan sebuah karya “Rules for the
direction of the mind (Aturan untuk arah pikiran)”. Karya ini adalah heuristik lanjut,
banyak penjelasan eksplisit yang diarahkan pada inovasi matematika, termasuk
penyederhanaan, penggunaan diagram, simbolisasi relasi, representasi relasi persamaan
aljabar, dan penyederhanaan persamaan. Heuristik ini mengantisipasi banyak heuristik
yang diterbitkan 350 tahun kemudian sebagai alat bantu untuk mengajarkan pemecahan
masalah, seperti di Mason et al. (1982) dan Burton (1984).
Pada tahun 1830an Whewell menerbitkan “On the philosophy of Discovery”, yang
memberikan subtansi pada penemuan ilmu pengetahuan (Blake et al., 1960). Dia
mengusulkan model penemuan dengan tiga tahap: (1) klarifikasi, (2) colligation (induksi),
dan (3) verifikasi, yang masing-masing memiliki sejumlah komponen dan metode.
Sebagian besar karya Whewell fokus pada ilmu empiris, meskipun ia percaya, mengikuti
Kant, bahwa kebenaran diperlukan pada matematika dan ilmu pengetahuan. Namun
demikian, ada analogi yang mencolok antara model penemuan yang diusulkan oleh Polya
(1945) untuk matematika, satu abad kemudian. Jika dua tahap model Polya
dikombinasikan maka hasilnya adalah (1) memahami masalah, (2) menyusun rencana dan
melaksanakannya, dan (3) melihat ke belakang. Sekarang ada paralel yang tepat antara
fungsi tahap ini dan orang-orang dalam model Whewell.
Pada contoh sebelumnya yang menampilkan berupa pemikiran-pemikiran baru
tentang penemuan matematika dan pemecahan masalah dalam psikologi dan pendidikan
telah diantisipasi dalam sejarah serta filsafat matematika dan ilmu pengetahuan. Teori
penemuan matematika memiliki sejarah sebanding dengan teori pembenaran. Namun,
tidak dikenal sebagian besar dalam sejarah matematika. Sebaliknya, pada abad ini, sampai
Polya (1945), terlihat bahwa tulisan pada penemuan matematika cenderung proses
membingungkan. Misalnya, Poincaré (1956) dan Hadamard (1945) yang keduanya
menekankan peran intuisi dan ketidaksadaran dalam penciptaan matematika, secara
implisit menunjukkan bahwa sebagian besar matematikawan berasal dari jurusan
matematika yang memungkinkan mereka untuk menembus tabir misterius sekitar
“realitas” matematika dan kebenaran.
Aktifitas matematika dan wacananya berlangsung pada tiga tingkat yaitu formal,
informal dan wacana sosial matematika. Dalam masyarakat barat, dan khususnya, dalam
budaya profesional matematika, pada tingkat formal wacana matematika disediakan untuk
presentasi pembenaran matematika. Wacana matematika informal berlangsung pada
tingkat rendah, sedangkan kegiatan matematika dan penciptaan matematika secara alami
terjadi pada tingkat informal, (Hersh, 1988).
Dalam bab-bab sebelumnya, konstruktivisme sosial yang diberikan berhubungan
antar-relasi penciptaan pengetahuan subyektif dan obyektif dalam matematika. Hal ini
menunjukkan bahwa konteks “penemuan” (penciptaan) dan justifikasi tidak dapat
sepenuhnya dipisahkan, untuk pembenaran, seperti bukti, sebagian besar merupakan
produk kreativitas manusia sebagai konsep, dugaan dan teori. Konstruktivisme sosial
mengidentifikasikan semua pelajar matematika sebagai pencipta matematika, tetapi
mereka hanya mendapatkan persetujuan kritis dari masyarakat matematika yang
menghasilkan pengetahuan matematika baru yang terpercaya, (Dowling, 1988). Aktivitas
matematika dari semua pelajar matematika yang produktif, melibatkan pengajuan masalah
dan pemecahannya, secara kualitatif tidak ada yang berbeda dari kegiatan profesional
matematika. Matematika non-produktif tidak menawarkan hal yang sama, karena pada
dasarnya reproduktif sebagai lawan kreatif, (Gerdes, 1985).
2. Masalah dan Investigasi dalam Pendidikan
Mengingat bahwa sebagian besar matematika adalah pengajuan dan pemecahan
masalah, dan suatu kegiatan yang dapat diakses oleh semua, maka menjadi konsekuensi
penting bagi pendidikan. Konsekuensi ini juga tergantung pada nilai-nilai dan prinsipprinsip yang ditetapkan dalam bab terakhir, meliputi:
1.
Matematika sekolah harus terpusat pada pengajuan dan pemecahan masalah.
2.
Permintaan dan investigasi harus menempati tempat sentral dalam kurikulun
matematika sekolah.
3.
Fakta bahwa matematika adalah sesuatu yang dapat keliru dan perubahan konstruksi
manusia secara eksplisit yang diakui dan diwujudkan dalam kurikulum matematika
sekolah.
4.
Pedagogik yang digunakan merupakan proses dan fokus investigasi, atau implikasi
sebelumnya bertentangan.
Salah satu hasil dari prinsip-prinsip ini bahwa matematika untuk semua menjadi
matematika dari semua (Volmink, 1990).
A. Masalah dan Investigasi: Beberapa Perbedaan
Pemecahan masalah dan investigasi yang diteliti telah menjadi bagian luas dari
retorika pendidikan matematika Inggris sejak Cockcroft (1982). Di seluruh dunia,
pemecahan masalah dapat ditelusuri lebih jauh ke belakang, setidaknya pada saat
Brownell (1942) dan Polya (1945), dan mungkin sebelumnya. Pada tahun 1980, dalam
tinjauan selektif penelitian pemecahan masalah matematika, Lester (1980) mengutip 106
referensi penelitian, yang mewakili hanya sebagian kecil dari apa yang telah diterbitkan
pada saat itu. Pendidikan matematika di Inggris, pemecahan masalah dan investigasi
mungkin pertama muncul di tahun 1960-an, dalam Asosiasi Guru Matematika (1966) dan
Asosiasi Guru di Sekolah Tinggi dan Departemen Pendidikan (1967).
Salah satu kesulitan dalam membahas masalah dan investigasi adalah
konsep yang tidak jelas dan tidak dipahami oleh penulis yang lain. Dengan demikian, ada
sejumlah perbedaan yang dapat berguna dalam penerapannya. untuk membedakan obyek
atau fokus inquiry, proses inquiry, dan inquiry berbasis pedagogik.
1.Obyek Inquiry
Obyek inquiry berfokus pada masalah baik masalah itu sendiri atau titik awal dari
investigasi. Salah satu definisi dari masalah adalah “situasi di mana seorang individu atau
kelompok diminta untuk mengerjakan tugas yang tidak ada algoritma/prosedur yang
didapat untuk menentukan penyelesaian sepenuhnya. Perlu ditambahkan bahwa definisi
ini mengasumsikan keinginan sebagian individu atau kelompok untuk mengerjakan tugas”
(Lester, 1980, halaman 287). Definisi ini menunjukkan sifat non-rutin masalah sebagai
tugas yang membutuhkan kreativitas untuk menyelesaikannya. Definisi ini harus
direlatifkan ke pemasalah, satu orang mungkin memerlukan sebuah pendekatan dari orang
lain. Definisi ini juga relatif berlaku terhadap kurikulum matematika, yang menentukan
seperangkat rutinitas dan algoritma. Definisi ini juga melibatkan pengenaan tugas pada
seorang individu atau kelompok, dan kemauan atau kepatuhan dalam menjalankan tugas.
Hubungan antara seorang individu (atau kelompok), konteks sosial, tujuan mereka, dan
tugas adalah kompleks dan subjek dari teori aktivitas (Leont'ev, 1978; Cristiansen dan
Walther, 1986). Secara khusus, menjelaskan hubungan antara tujuan guru dan peserta
didik adalah kompleks, dan tidak mungkin tujuan guru hanya mentransfer suatu perintah
ke peserta didik.
Konsep investigasi merupakan sebuah permasalahan karena dua alasan. Pertama,
meskipun “investigasi” adalah kata benda, ia menjelaskan proses penyelidikan. Jadi kamus
definisi investigasi adalah “Tindakan penyelidikan, pencarian, inquiry, sistematis
pemeriksaan, penelitian yang cermat” (Onions, 1944, halaman 1040). Namun, dalam
pendidikan
matematika
telah
terjadi
pergeseran
makna,
Facon
de
Parler
mengidentifikasikan sebuah investigasi matematika dengan pertanyaan matematika atau
situasi yang berfungsi sebagai titik awal. Hal ini merupakan pergeseran dalam arti kiasan
yang menggantikan seluruh aktivitas oleh salah satu komponen (Jakobsen, 1956).
Pergeseran ini juga berpusat pada guru yang berfokus pada kontrol guru melalui “setting
investigation” sebagai tugas, analog dengan pengaturan masalah, dalam pandangan
berbeda pembelajaran berpusat pada investigasi diarahkan kepada aktivitas pelajar.
Masalah kedua adalah bahwa dugaan sementara investigasi dapat dimulai dengan
situasi atau pertanyaan matematika, fokus pergeseran ini sebagai pertanyaan baru yang
diajukan, dan situasi baru yang dihasilkan serta dieksplorasi. Jadi obyek pergeseran
investigasi dan didefinisikan ulang adalah nilai terbatas untuk mengidentifikasi investigasi
dengan situasi aslinya.
2.Proses Inquiry
Berbeda dengan obyek inquiry, proses inquiry itu sendiri tidak dapat dipisahkan
seluruhnya, sebagaimana telah kita lihat dalam kasus investigasi. Jika masalah
diidentifikasi dengan pertanyaan, maka proses pemecahan masalah matematika
didefinisikan sebagai aktivitas mencari sebuah jalan untuk mendapatkan jawabannya.
Namun proses ini tidak bisa mengandaikan jawaban, untuk sebuah pertanyaan mungkin
memiliki beberapa solusi atau tidak sama sekali, dan menunjukkan kenyataan bahwa
pemecahan tingkat tinggi adalah solusi untuk masalah ini.
Perumusan proses pemecahan masalah dalam hal mencari sebuah jalan untuk
mendapatkan solusi, menggunakan metafora geografis jejak-nyala. Polya menguraikan
metafora ini. "Tujuan memecahkan suatu masalah yaitu menemukan sebuah cara dimana
tidak ada cara yang diketahui, untuk mencari jalan keluar dari kesulitan tersebut, untuk
menemukan jalan di sekitar halangan, untuk mencapai akhir yang diinginkan yang tidak
segera dicapai, dengan cara yang tepat“ (Krulik dan. Reys, 1980, halaman 1). Metafora ini
telah diwakili secara spasial (Ernest, 1988a, Gambar. 8). Sejak Nilsson (1971) telah
memberikan dasar bagi beberapa penelitian tentang pemecahan masalah matematika, yang
memanfaatkan gagasan tentang “ruang solusi” atau “statespace yang merepresentasikan
masalah sebagai ilustrasi diagram kumpulan semua state yang dicapai dari state awal.
State adalah kumpulan semua ekspresi yang telah diperoleh dari pernyataan awal masalah
sampai saat tertentu” (Lester., 1980, halaman 293). Kekuatan dari metafora ini adalah
bahwa tahapan dalam proses dapat direpresentasikan, dan alternatif “route” merupakan
bagian representasi yang utuh. Namun kelemahan metafora adalah realisme matematika
implisit. Dengan demikian metafora ini mengisyaratkan suatu absolut, bahkan pandangan
Platonis tentang pengetahuan matematika.
Metafora geografis juga diterapkan pada proses investigasi matematika.
"Penekanannya adalah mengeksplorasi bagian matematika ke segala arah (Pirie, 1987,
halaman 2). Di sini penekanannya adalah pada eksplorasi bidang yang diketahui, daripada
proses ke tujuan tertentu. Jadi proses pemecahan masalah matematika digambarkan
sebagai konvergen, sedangkan investigasi matematika digambarkan divergen (HMI,
1985).
Bell et al. (1983) mengusulkan suatu model dari proses investigasi, dengan empat
fase: Merumuskan masalah, pemecahan masalah, verifikasi, integrasi. "Di sini istilah
"Investigasi" digunakan dalam upaya untuk merangkul seluruh berbagai sarana untuk
memperoleh pengetahuan” (Bell dkk., 1983, halaman 207). Mereka menyarankan bahwa
investigasi matematika adalah bentuk khusus, dengan karakteristik komponen yang
abstrak, representatif, pemodelan, generalisasi, pembuktian, dan pelambangan. Pendekatan
ini memiliki keutamaan dalam menentukan sejumlah proses mental yang terlibat dalam
investigasi matematika (dan pemecahan masalah). Sementara penulis lain, seperti Polya
(1945) mencakup banyak komponen model sebagai proses pemecahan masalah. Perbedaan
utama adalah rumusan masalah atau problem posing, yang mendahului pemecahan
masalah. Namun, sementara model yang diusulkan memiliki beberapa empiris dasar.
3. Inquiry berbasis pedagogik
Ketiga pemecahan masalah dan investigasi diatas sebagai pendekatan pedagogis
untuk matematika. Cockcroft (1982) mendukung pendekatan ini di bawah judul
“teaching style”, meskipun terminologi yang dipakai tidak ada perbedaan antara model
belajar dan mengajar. Salah satu cara pendekatan penyelidikan kontras adalah untuk
membedakan peran guru dan pelajar, seperti pada Tabel 13.1.
Tabel 13.1 Perbandingan Metode Inquiry untuk Pembelajaran Matematika
Tabel 13.1 menggambarkan bahwa pergeseran dari penemuan terbimbing, melalui
pemecahan masalah, untuk pendekatan investigasi melibatkan proses matematika. Hal ini
juga melibatkan kekuatan guru dalam mengontrol jawaban siswa, atas metode yang
diterapkan pada peserta didik, dan atas pilihan isi pelajaran. Peserta didik mendapatkan
kontrol atas aplikasi metode tersebut dan atas dirinya sendiri.
Pemecahan masalah dan investigasi matematika sebagai pendekatan pengajaran
memerlukan pertimbangan konteks sosial kelas dan hubungannya. Pemecahan masalah
memungkinkan pelajar untuk menerapkan pembelajaran yang kreatif, namun guru masih
mempertahankan banyak kendalinya atas konten dan bentuk instruksi. Jika pendekatan
investigasi diterapkan mampu memungkinkan pelajar untuk memunculkan masalah dan
pertanyaan investigasi yang relatif bebas, maka pembelajaran tersebut menjadi
pemberdayaan dan emansipatoris. Namun, karakteristik yang diperlukan adalah
komunikasi pandangan progresif atau fallibilist matematika melalui pengalaman di kelas.
B. Perbedaan Persepsi Masalah dan Investigasi
Salah satu hasil dari perbedaan di atas yaitu interpretasi yang berbeda atas
masalah dan investigasi serta peran mereka dalam pengajaran matematika.
a. Penolakan Pemecahan Masalah dan Investigasi
Reaksi negatif atas masalah dan investigasi adalah penolakan masalah dan
investigasi sebagai materi yang pantas untuk matematika sekolah. Hal ini didasarkan pada
persepsi bahwa matematika sekolah adalah berorientasi pada isi dan fungsi utamanya
adalah untuk menanamkan keterampilan dasar matematika.
Penolakan ini merupakan respon dari kelompok trainer industri. Kelompok ini
memiliki pandangan yang sempit terhadap isi matematika karena epistemology
dualistiknya. Selain itu, teori trainer industri mengajarkan model transmisi otoriter, dan
setiap pindah ke otonomi pelajar tingkat tinggi mendapatkan tentangan (Lawlor, 1988).
b. Penggabungan masalah dan investigasi sebagai isi
Kelompok kedua memberikan respon terhadap masalah dan investigasi dengan
memperlakukan masalah dan investigasi sebagai isi tambahan yang akan digabungkan ke
isi kurikulum matematika. Dengan demikian masalah dan investigasi dianggap sebagai
objek inquiry yang digunakan untuk memperkaya pengajaran, dan tidak sebagai
peserta didik, dimana proses atau pendekatan pedagogis diadopsi pada matematika. Dalam
hal tertentu, investigasi tidak dipahami sebagai problem posing.
Dalam cara yang berbeda baik humanis kuno dan pragmatis teknologi masingmasing berbagi pandangan ideologi mereka. Keduanya didasarkan pada filosofi
absolutism matematika. Keduanya sebagian besar melihat masalah sebagai cara untuk
memperkaya isi dari kurikulum matematika, untuk mengidentifikasi investigasi dengan
masalah.
Nilai-nilai masalah perspektif humanis kuno sebagai aplikasi non-rutin dari
pengetahuan dan sebagai sarana penting untuk mendemonstrasikan pembelajaran,
pemahaman dan bakat. Namun, perspektif ini bersangkutan pada pengetahuan matematika
murni untuk pelajar, sehingga investigasi tidak dipahami dalam hal problem posing oleh
peserta didik.
Nilai perspektif pragmatis teknologi adalah aplikasi pemecahan masalah serta
pemodelan matematika. Jadi pemecahan masalah dipahami dalam hal masalah praktis
(“masalah nyata”), yang mengarah ke hasil yang nyata. Investigasi matematika termasuk
ke dalam konsepsi masalah, atau dipahami sebagai teka-teki. Burghes (1984)
merepresentasikan perspektif ini dengan mengkategorikan investigasi menjadi (1)
investigasi eureka (seperti teka-teki), (2) investigasi eskalator ('proses' atau masalah
kombinatorial), (3) keputusan masalah dan (4) masalah nyata. Representatif Ini merupakan
identifikasi investigasi dengan masalah, untuk dimensi problem posing diabaikan atau
ditolak. Secara keseluruhan, masalah dan investigasi diidentifikasi dengan objek inquiry,
dan diperlakukan sebagai tambahan isi kurikulum, kecuali pemodelan matematika
termasuk dalam hal proses.
c. Pemecahan masalah dan investigasi sebagai pedagogik
Kelompok perspektif ketiga melihat pemecahan masalah dan investigasi sebagai
pendekatan pedagogis kurikulum secara keseluruhan. Pandangan tersebut berasal dari
filsafat matematika yang setidaknya melihatnya sebagai bidang pengembangan ilmu
pengetahuan, bukan sebagai konstruksi sosial. Pandangan ini prihatin dengan peran
manusia dalam pertumbuhan pengetahuan, dan karenanya mencerminkan proses
pemecahan masalah dan investigasi dalam kurikulum matematika. Penggabungan dari
proses ke dalam kurikulum, termasuk problem posing, mengarah pada pemecahan masalah
dan investigasi pedagogik.
Perspektif pendidik progresif terfokus untuk memfasilitasi kreativitas individu dalam
matematika serta pemecahan masalah dan investigasi yang dianggap sebagai pusat dalam
perspektif. Jadi pemecahan masalah dan investigasi dipahami baik dalam hal proses
pembelajaran dan pendekatan pedagogis yang diadopsi di dalam kelas. Peran guru
dipahami untuk mendukung pedagogik, sebagai manajer lingkungan belajar dan sumber
belajar, dan fasilitator pembelajaran. Berbagai investigasi matapelajaran memungkinkan
akan dibatasi pada situasi matematika murni, atau topik tematik mengenai “aman” sebagai
lawan dari isu-isu politik. Sesuai dengan ideologi keseluruhan, penekanannya adalah pada
individual dan minat siswa mereka, dan bukan konteks sosial struktural dimana mereka
hidup, belajar dan akan mencari nafkah.
Para pendidik publik menerima banyak pandangan perspektif sebelumnya dari
pemecahan masalah dan investigasi pedagogik, tetapi penambahannya pada dimensi
sosial-politik. Dengan demikian pedagogik diadopsi oleh pendekatan ini yang melibatkan
sejumlah fitur yang memfasilitasi pendekatan yang diteliti, termasuk tugas kelompok
kooperatif dan diskusi serta otonomi diri siswa dalam arah problem posing dan investigasi.
Semua ini dapat dipergunakan bersama dengan perspektif pendidik progresif.
Namun dimana pendidik publik melampauinya melalui dorongan dari pemikiran kritis
dengan cara pertanyaan pembelajaran isi materi, pedagogik dan penilaian, penggunaan
dari situasi masalah sosial yang relevan, proyek dan topik, untuk keterlibatan sosial dan
pemberdayaan peserta didik. Jadi pemecahan masalah dan investigasi akan sebagian
didasarkan pada bahan otentik, seperti koran, statistik resmi, dan masalah sosial. Untuk
pendidik masyarakat, pedagogik ini merupakan sarana untuk mengembangkan
keterampilan kewarganegaraan dan keterlibatan sosial.
C. Hubungan antara Epistemologi dan Pedagogik
Dalam beberapa tahun terakhir, sejumlah laporan resmi dan otoritatif telah
diterbitkan mengenai perekomendasian penggabungan pemecahan masalah ke dalam
pengajaran matematika sekolah. Di Inggris laporan tersebut telah menyertakan Cockcroft
(1982) dan Inspektorat Majestinya (1985), dan di Amerika Serikat mereka termasuk
Dewan Nasional Guru Matematika (1980, 1989).
Namun, salah satu hambatan bagi reformasi kurikulum tersebut adalah penafsiran
yang diberikan seperti rekomendasi. Untuk konsep pemecahan masalah dan investigasi
yang berasimilasi ke dalam perspektif penafsir, dan dipahami seperti yang telah kita lihat
di atas. Kinerja para guru pada pemecahan masalah dan pendekatan pengajaran,
tergantung pada kebenaran matematika (Schoenfeld, 1985). Bukti empiris menunjukkan
bahwa guru dapat menafsirkan masalah dan investigasi secara sempit. Sebagai contoh
Lerman (1998a) menggambarkan bagaimana pekerjaan investgasi dalam matematika
sekolah digulingkan oleh pandangan bahwa ada hasil yang benar dan unik, mengkhianati
filosofi absolut yang mendasari matematika.
Kendala yang kedua yaitu implementasi. Implementasi ini melibatkan hubungan
antara teori-teori pengajaran dan pembelajaran, yang mewujudkan pedagogik dari
perspektif partikular dan praktek kelas. Pada skala besar perbedaan ini antara yang
direncanakan dan kurikulum yang diajarkan. Sedangkan perbedaan antara teori-teori yang
dianut para guru tentang belajar dan mengajar, dan teori versi ini pada skala kecil.
Beberapa studi telah mengungkapkan guru yang dianut pada pendekatan suatu pemecahan
masalah pengajaran matematika (biasanya, konsonan dengan para pendidik progresif) tapi
yang ada di praktek berkisaran ekspositoris, transmisi model pengajaran yang diperkaya
dengan penambahan masalah (Cooney, 1983; 1985, Thompson, 1984; Brown, 1986).
Penjelasan utama pada perbedaan yang diajukan dalam studi ini adalah kendala dan
peluang yang diberikan oleh konteks sosial penyebab pengajaran guru untuk menggeser
niat pedagogis dan praktek jauh dari teori yang dianut mereka (Ernest, 1989b, 1989c).
Efek sosialisasi konteksnya cukup kuat walaupun memiliki perbedaan keyakinan tentang
matematika dan pengajarannya, guru di sekolah yang sama diamati untuk mengadopsi
praktik kelas yang sama (Lerman, 1986). Gambar 13.1 menyajikan model dari beberapa
relasi yang terlibat.
Gambar 13.1. Relasi antara keyakinan yang berlaku dan yang dianut guru
matematika
Hal ini menunjukkan bagaimana komponen primer ideologi guru, pribadi filsafat
matematika, yang mendasari dua komponen sekunder yaitu teori mengajar dan belajar
matematika. Hal ini berdampak pada praktik berlakunya model pembelajaran dan
pengajaran matematika, termasuk salah satu penggunaan sumber daya yang dipilih, yaitu
penggunaan teks matematika. Hal ini cukup penting untuk membedakan teks yang
mewujudkan sebuah epistemologi, dan sejauh mana mereka mempresentasikan serta
mengurutkan matematika sekolah dari sifat kurikulum yang diimplementasikan (Cooney,
1988; Goffree, 1985). Panah ke bawah pada gambar 1 menunjukkan arah pengaruh utama.
Isi komponen kepercayaan yang lebih tinggi tercermin dalam sifat komponen yang lebih
rendah. Karena model yang berlaku saling terkait, seperti teori yang dianut pengajaran dan
pembelajaran, hal ini direpresentasikan pada gambar 1 sebagai hubungan horisontal yang
ditarik diantaranya.
Dampak dari teori yang dianut pada praktek yang dimediasi oleh kendala dan
peluang yang diberikan adalah konteks sosial pengajaran (Clark dan Peterson, 1986).
Konteks sosial memiliki pengaruh yang kuat, sebagai hasil dari sejumlah faktor termasuk
harapan orang lain, seperti mahasiswa, orang tua, sesama guru dan atasan. Hal ini juga
merupakan hasil dari kurikulum institusional: yang mengadopsi teks atau skema kurikuler,
sistem penilaian, dan sistem pendidikan nasional secara keseluruhan. Konteks sosial
memimpin guru untuk menginternalisasikan kumpulan kendala yang mempengaruhi
diberlakukannya model pengajaran dan pembelajaran matematika.
Model tersebut diilustrasikan dalam Gambar 1 secara sederhana. Dengan demikian,
misalnya, meskipun keyakinan yang berlaku ditampilkan terpisah dari konteks sosial, akan
tetapi tertanam di dalamnya. Selain itu, semua keyakinan dan praktik merupakan bagian
dari sistem interaktif, dan tekanan pada setiap titik, seperti praktek di kelas, yang
memberikan umpan balik dan dapat mempengaruhi semua komponen yang lain.
3. Kekuatan Problem Posing Pedagogik
Sebuah problem posing pedagogik, seperti dalam teori pendidik publik pengajaran
matematika, dan pada tingkat lebih rendah, teori pendidik progresif, merepresentasikan
pendekatan pengajaran emansipatoris dan ketika berhasil dilaksanakan, memberdayakan
epistemologis peserta didik. Artinya, hal ini mengetahui pendorong aktif dan kreasi
pengetahuan peserta didik, dan melegitimasi pengetahuan itu sebagai matematika,
setidaknya dalam konteks sekolah.
Telah dikatakan bahwa bukan bentuk dan isi dari pendidikan yang memiliki
dampak terbesar, secara umum (Bowles dan Gintis, 1976), dan untuk matematika (Noss,
1989). Pandangan ini ditantang dalam Bab 11, di mana ia berpendapat bahwa hirarkis
pandangan pengetahuan serta bentuk hirarki organisasi berkontribusi pada kreasi, jika
tidak reproduktif, kesenjangan sosial akan terjadi melalui pendidikan. Implikasi hal ini
adalah baik isi dan bentuk materi pengajaran, meskipun mungkin ilusi berpikir mereka
dapat dipisahkan. Untuk mencerminkan konstruktivis sosial, atau pandangan absolut
progresif matematika, problem posing pedagogik harus mencakup perlakuan khusus
konten serta pendekatan pengajaran.
A. Mengatasi Kekuatan Reproduktif dalam Kurikulum Matematika
Empat dari lima ideologi pendidikan matematika yang disajikan di atas memiliki
tujuan reproduktif sosial, baik secara kasar atau halus. Korespondesi secara kasar untuk
definisi keterbatasan kelas yang kaku, sementara korespodensi secara halus untuk definisi
keterbatasan kelas yang semi-permeabel, memungkinkan peningkatan sosial yang terbatas
di dalam masyarakat yang dipandang sebagai progresif dan meritokrasi. Dari lima
ideologi,
hanya
pendidik
progresif
ideologi
perubahan
sosial
yang
berusaha
memberdayakan peserta didik menjadi sadar dan kemudian mengambil kendali tantangan
reproduktif kekuatan di sekolah dan masyarakat. Cara utama untuk mencapai hal itu
adalah melalui problem posing pedagogik. Hal ini tercermin dalam kelas pemberdayaan
peserta didik, pada awalnya epistemologis, dan akhirnya, sosial dan politik, melalui
kesadaran kritis tentang peran matematika dalam masyarakat. Pendekatan ini mencoba
untuk meminimalkan atau membuat secara eksplisit hierarki kekuatan yang tersembunyi
yang dicontohkan dalam kelas, yang memainkan peran penting dalam memperkuat
penerimaan hirarki sosial. Perspektif pendidik publik juga menantang hirarki kaku tersebut
dalam sifat pengetahuan matematika, dalam kurikulum matematika, dan atribusi dari
kemampuan matematika untuk peserta didik. Semua hirarki dapat berfungsi untuk
mendukung dan mengkonsolidasikan reproduksi hirarki sosial.
Melanjutkan kesempatan yang sama dalam matematika
Ada masalah-masalah khusus dari reproduktif sosial yang menyangkut penolakan
kesempatan yang sama dalam matematika untuk etnis minoritas, terutama kulit hitam, dan
wanita (Bab 12). Solusi yang diusulkan untuk masalah ini adalah pelaksanaan problem
posing pedagogi, berdasarkan ideologi pendidik publik. Untuk memajukan kesempatan
yang sama terhadap kulit hitam dalam matematika, sekolah dan masyarakat memerlukan
anti-ras pengajaran matematika. Demikian juga, untuk peluang lebih terhadap perempuan
memerlukan anti-seksis mengajar matematika. Kedua pendekatan pada problem solving
pedagogik, yang diusulkan karena memberdayakan semua peserta didik, bukan
kekurangan minoritas.
B. Menumbangkan Tujuan Persempit dari Kurikulum Nasional di Matematika
Dalam bab 11 mendasari ideologi pengembangan Kurikulum Nasional dalam
matematika. Dalam istilah sederhana, menyatakan bahwai deologi utilitarian yang paling
penting bagi perkembangan ini, sementara dorongan menyeluruh pada reformasi
pendidikan, termasuk reorganisasi sekolah dan kurikulum serta kerangka penilaian, yang
didorong oleh salah satu darinya yaitu pelatih industri.
Dalam bagian I ini, menyatakan bahwa perkembangan yang di dalamnya ambiguitas
dan kontradiksi dengan kesempatan yang diberikan melalui tujuan khusus ideologiideologi yang dapat diatasi atau dirusak. Selain itu, sarana utama melakukan hal ini adalah
dengan cara problem posing pedagogik dari masyarakat pendidik.
Meskipun kemungkinan-kemungkinan ini ada, terdapat hambatan yang tidak boleh
diabaikan dalam penyelesaiannya. Salah satu masalahnya yaitu melalui spesifikasi ketat
dari isi danmodel penilaian dalam matematika, Kurikulum Nasional merupakan bagian
dari langkah untuk “Deskill and de-profesionalisme teachers” (Giroux, 1983; Brown,
1988). Penggabungan dan pelembagaan pemecahan masalah dan penilaian ke dalam
Kurikulum matematika (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1988; Kurikulum
Nasional Council, 1989) berfungsi untuk rutinitas strategi pemikiran matematika,yang
merampas kekuasaan emansipatorisnya. Mengingat adanya hambatan tersebut, oleh karena
itu perlu mempertimbangkan perubahan peluang tersebut.
Konsep pemecahan masalah dan investigasi memiliki arti perspektif berbeda yang
berasimilasi dan ditafsirkan.Makna berbeda dariaplikasi reproduktif matematika, untuk
kreatif dan pemberdayaan pendekatan epistemologis. Jadi adaambiguitas penting yang
mendasari berbagai makna. Sejumlah istilah lain yang digunakan dalam wacana
pendidikanyang ambigu, dan terbuka untuk berbagai interpretasi sebanding. Dua
ambiguitas tersebut akan dipertimbangkan
lagi tentang konsep relevansi dan
kewarganegaraan.
Relevansi adalah nilai syarat yang digunakan untuk menunjukkan apa yang dianggap
tepat olehspeaker. Jadi perspektif utilitarian seperti pelatih industri dan pragmatis
teknologi melihat “relevansi” matematika dalam hal keterampilan dasar (seperti berhitung)
atau keterkaitan kerja. Relevansi sama artinya, dengan kutukan bagi ideologi murni dari
humanis kuno. Pendidik progresif, sebaliknya, memahami relevansi dalam hal
kepentingan yang dirasakan dan kebutuhan peserta didik. Pendidik publik, relevansinya
berlaku dalam konteks matematika dimana melibatkan peserta didik secara pribadi dan
sosial. Perspektif ini mengacu pada teori aktivitas untuk memahami dan saling mengaitkan
tujuan pribadi dan sosial, (Mellin-Olsen, 1987). Kurikulum yang“relevan”, menurut
perspektif ini, adalah memungkinkan peserta didik untuk terlibat matematis dengan
konteks sosial mereka, dengan cara memberdayakan melalui problem posing pedagogik
pada setiap pelajaran.
Dengan demikian konsep relevansi adalah ambigu, (Keitel, 1987). Terbukti
“relevansi” adalah hubungan ternary yang memegang antara situasi atau objek S,
seseorang atau kelompok P, dan tujuan G ketika objek S dianggap relevan dengan P ke
tujuan G.
Saat ini, ada kepentingan dalam “pendidikan kewarganegaraan”, yang meluas
dispektrum politik (Morrell, 1990). Kurikulum Dewan Nasional telah mendirikan
Kelompok
Tugas
Kewarganegaraan
untuk
melaporkan
tentang
bagaimana
kewarganegaraan harus ditangani dalam kurikulum. Yang menarik, dalam konteks
sekarang ini, adalah ambiguitas dalam jangka kewarganegaraan. Sebuah interpretasi
disukai oleh hak politik warga aktif yang berpartisipasi dalam skema lingkungan yang
monoton, membantu ketertiban masyarakat, dan melakukan kegiatan lain yang berguna
dalam sosial. Pelaksanaan utama tentang istilah pemahaman kewarganegaraan yang lebih
luas, meliputi:
Sipil, politik dan hak sosial dan sesuaitanggung jawab individu dalam masyarakat
atau negara ... nilai yang terkait dengan hak-hak dan lembaga ... yang memberi
mereka efek.Pemberian hak ... yang diatur dalam Konvensi Eropa tentang Hak
Asasi Manusiadan ... karakter dan konvensi lainnya... Kewarganegaraan juga
mencakupkelanjutan dari kebajikan publik baik, sipil dan kewajiban sosial sukarela.
(Morrell, 1990, halaman 38)
Pandangan yang lebih radikal adalah bahwa dari pendidik publik yang melihat
penting kekritisan kewarganegaraan sebagai tujuan mereka (Giroux, 1983). Gagasan ini
memerlukan pandangan kritis statistik sosial dan struktur sosial, serta tindakan positif
untuk memperbaiki ketidaksetaraan dan memerangi ketidakadilan dan rasisme serta
seksisme(Frankenstein, 1990).
Hal ini adalah tiga arti yang berbeda untuk istilah yang sama. Seperti masing-masing
ambiguitas diatas memungkinkan tujuan dari pendidik publik untuk dijelaskan dandibahas
dalam bahasa yang dapat diterima berbagai orang. Faktor penting dalam mengatasi
masing-masing ambiguitas tujuan pendidik publik adalah peran problem posing
pedagogik, memberdayakan peserta didik untuk mengembangkan keterampilan yang luas,
terlibat denganisu-isu sosial dan menjadi warga negara yang sadar akan kekritisan.
Selain itu, sejumlah istilah pendidikan lainnya ambigu, dan dapat dimanfaatkan oleh
problem posing pedagogik. Sebagai contoh, masing-masing istilah kesadaran ekonomi,
perusahaan, pendidikan teknologi, keterampilan matematika, diskusi dan proyek kerja,
dapat ditafsirkan dalam cara sempit, atau dengan cara, emansipatoris yang lebih luas,
sebagai bagian dari problem posing pedagogik, yang menantang niat utilitarian dari
Kurikulum Nasional.
Kontradiksi
Kurikulum Nasional merupakan langkah paling tajam yang dibuat oleh Pemerintah
Inggris modern untuk mengambil alih sistem pendidikan dan untuk mendikte tujuantujuannya serta hasilnya. Meskipun aspek terisolasi dari proposal mungkin memiliki
manfaat, pada pandangan sempit dalam tujuan dan ideologi para politisi yang secara
langsung memegang kekuasaan tersebut, hasil keseluruhan setidaknya berpotensi,
mendalami anti-pendidikan (Noss, 1989). Namun, sistem pendidikan Inggris, dari politisi
kepada siswa, melalui guru, tidak sekedar prasasti. Pada tiap tingkat, ada kontradiksi dan
pertentangan dengan kekuatan di tempat kerja, yang dapat dimanfaatkan untuk
menumbangkan niat anti pendidikan Kurikulum Nasional.
Pertama-tama, ada yang menentang ideologi dari kelompok-kelompok yang berbeda
di belakang Kurikulum Nasional. Termasuk kedua pelatih industri dan pragmatis
teknologi, dengan pandangan sempit dan luas dari utilitas pendidikan.Hal ini berarti bahwa
spesifikasi Kurikulum Nasional mencakup sejumlah istilah ambigu, seperti yang dibahas
di atas, yang dapat ditafsirkan pemberdayaan pedagogik.
Kedua, beberapa makna diadopsi untuk memajukan tujuan utilitarian, seperti
aplikasi matematika dan teknologi dan pemrograman komputer, yang sama-sama dapat
melayani tujuan-tujuan emansipatoris. Untuk arti aplikasi matematika yang cukup luas
meliputipemecahan masalah dan problem posing, dan contoh-contoh yang diberikan
(dalamTarget pencapaian 1 dan 9) mendukung daripada pengecualian penafsiran ini.
Pemrograman komputer bahasa Logo digunakan untuk contoh kebutuhan dalam
matematika. Tetapi bahasa ini dipromosikan sebagai yang paling cocok untuk problem
posing dan investigasi, untuk pelajar sekolah dari segala usia (Papert, 1980).
Akhirnya,
meskipun
Kurikulum
Nasional
dalam
matematika
memberikan
keterangan yang ketat tentang isi dan cara penilaian matematika sekolah, hal ini tetap
meninggalkan pedagogik yang tidak ditentukan. Tidak ada kontrol hukum atas pendekatan
pengajaran yang diadopsi. Untuk problem posing pedagogik, berdasarkan pada filosofi
matematika, pemenuhan kewajibannya dalam hal isi dan penilaian, namun masih
emansipatoris. Penyediaan isi kurikulum dipahami dalam hal konstruktivis sosial, atau
progesif epistemologi absolut, filosofi ini dapat tercermin dalam pendekatan pedagogis.
Jadi, misalnya, bekerja dengan anak-anak di Amerika Serikat (Cobb, 1987; Yackel, 1987)
dan di Inggris (Perdana, 1987; Rowland, 1989) menegaskan bahwaspesifikasi
konvensional konten matematika dapat digunakan sebagai dasar untuk problem posing
pedagogik. Bahkan, saran-saran pedagogis yang mendampingi Kurikulum Nasional dalam
matematika (Kurikulum NasionalDewan, 1989) mempromosikan pendekatan pemecahan
masalah. Jadi ajakan untuk menggunakan pendekatan pengajaran berorientasi inquiry,
yang memungkinkan penyebaran problem posing pedagogik, dibangun ke dalam sistem
tersebut.
Sejumlah penulis telah mengatakan bagaimana kontradiksi dalam sebuah sistem
pendidikan dapat digunakan untuk menumbangkan kekuatan reproduksi yang melekat di
tempat kerja pada umumnya, dan untuk matematika pada khususnya (Gintis dan Bowles,
1980; Noss, 1989). Sebuah argumen terkait bahwa kekuatan-kekuatan menyebabkan
resistensi di kalangan peserta didik (Giroux, 1983;Mellin-Olsen, 1987). Apa yang
dikatakan di atas adalah kontradiksi dengan kemungkinan guruuntuk menantang kekuatan
tersebut melalui problem posing pedagogik. Namun, untuk menjadiemansipatoris harus
berhasil dalam melibatkan peserta didik. Sebagaimana telah kita lihat, hal ini jugaharus
didasarkan pada pandangan matematika, dan ilmu pengetahuan pada umumnya, yang
mengakui peserta didik dan karenanya juga guru sebagai agen epistemologis.
Hal ini menimbulkan masalah guru sebagai 'praktisi reflektif' (Schon, 1983), dan
seorang peneliti (Stenhouse, 1975; Meighan, 1986). Sebuah pedagogik
yang
memberdayakan peserta didik sebagai agen epistemologis tergantung pada guru yang
melakukannya pada tingkat ini juga. Dengan demikian guru dapat menciptakan
matematika dalam bukunya atau kelasnya, tetapi sebagai seorangprofesional, juga
menciptakan pengetahuan pendidikan. Meskipun hal ini tidak akan diuraikan lebih lanjut
di sini, dapat dikatakan bahwa tujuan utama dari buku ini, dengan menjelajahi landasan
filosofis pendidikan matematika, adalah untuk menyediakan alat untuk berpikirguru
sebagai praktisi reflektif dan peneliti.
4. Kesimpulan
Tema bab ini adalah bahwa dengan merenungkan sifat matematika sebagai
pemecahan problem posing dan kegiatan penyelesaian, problem posing pedagogik menjadi
emansipatoris. Sebagai bagian dari pendekatan publik untuk pengajaran matematika, maka
memungkinkan tujuan sosial tertinggi pendidikan matematika harus diatasi. Tujuan ini
termasuk pemenuhan potensi individu sebagai manusia, berpindah kesadaran sosial ke
yang lebih tinggi dan kebutuhan untuk perubahan sosial, dan melawan ketidakadilan,
khususnya rasisme dan seksisme. Namun, tujuan-tujuan sosial adalah bagian dari ini, dan
tidak bertentangan dengan pengembangan keterampilan individu dan kreativitas dalam
matematika. Tentu saja, apa yang terletak di jantung ideologi pendidik publik adalah
konstruktivis sosial filsafat matematika. Kelebihan atau kekurangan masing-masing dari
lima ideologi pendidikan matematika didukung oleh filsafat matematika. Dalam
pendapatnya, seluruh filsafat matematika, atau mendukung semua kurikulum matematika
dan pengajaran.Hal ini adalah tema dari buku ini. Yaitu bahwa:
apakah satu keinginan atau tidak, semua pedagogik matematika, bahkan jika hampir
koheren, berpijak pada filosofi matematika.
(Thom, 1971, hal. 204)
Danuntuk mengambil argumen kembali ke awal dari buku ini:
Masalahnya, kemudian, Apa cara terbaik untuk mengajar? namun, Apa matematika
benar-benar tentang semua Kontroversi tentang mengajar? tidak bisa diselesaikan
tanpa menghadapi masalah tentang sifat matematika.
(Hersh, 1979, hal.34)
