Uploaded by User35751

materi lingkaran

advertisement
MAKALAH
TELAAH KURIKULUM MATEMATIKA SMP
DISUSUN OLEH:
KELOMPOK 1
OKTI ANGGUN PASESI (A1C013010)
NISA SETIAWATI (A1C013012)
MAISYAH RAHMA (A1C013030)
MELI DWI JAYANTI (A1C013040)
DESSY AGUSTINA (A1C013054)
ANDI MUTIARA WATI (A1C013068)
ADIKASUMA (A1C013070)
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS BENGKULU
TAHUN AJARAN
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT yang berkat rahmat-Nyalah sehingga
makalah “Lingkaran” ini dapat terselesaikan. Makalah ini ditulis dan disusun berdasarkan
kebutuhan perkuliah yaitu sebagai tugas matakuliah “Telaah Kurikulum Matematika SMP”.
Dalam pembuatan makalah ini tidak sedikit hambatan dan kesulitan yang kami alami,
namun berkat dukungan dan dorongan dari orang terdekat sehingga kami mampu
menyelesaikan makalah ini meskipun masih banyak sekali kekurangan, oleh karena itu kami
mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu terselesaikannya
makalah ini.
Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam makalah ini. Oleh karena itu
segala kritik dan saran yang membangun akan kami terima dengan baik. Akhir kata, semoga
makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Bengkulu, 29 Mei 2014
Penulis
ii
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...........................................................................................
Halaman
i
KATA PENGANTAR .........................................................................................
ii
DAFTAR ISI .......................................................................................................
iii
BAB I
BAB II
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ...............................................................................
1
B. Rumusan Masalah ..........................................................................
2
C. Tujuan .............................................................................................
2
ISI
A. Pengertian Lingkaran .....................................................................
3
B. Unsur-unsur Lingkaran ..................................................................
3
C. Keliling dan Luas Lingkaran ..........................................................
5
D. Sudut Pusat, Sudut Keliling, Panjang Busur, Luas Juring dan
Luas Tembereng .............................................................................
8
E. Garis Singgung Lingkaran .............................................................
12
F. Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar pada Segitiga ....................
19
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan .....................................................................................
24
B. Saran ...............................................................................................
24
LAMPIRAN-LAMPIRAN
DAFTAR PUSTAKA
iii
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Geometri merupakan salah satu cabang matematika yang sangat penting sebagai
ilmu dasar dan sudah dikenal anak-anak sejak kecil. Geometri telah dipelajari pada
jenjang pendidikan dasar, pendidikan sekolah menengah, sampai pendidikan tinggi.
Geometri berasal dari kata latin “ Geometria”, Geo yang berarti tanah dan metria berarti
pengukuran. Menurut sejarahnya geometri tumbuh pada zaman jauh sebelum Masehi
karena keperluan pengukuran tanah setiap kali sesudah sungai Nil banjir. Dalam bahasa
Indonesia Geometri dapat pula diterjemakan sebagai Ilmu Ukur. Banyak konsep geometri
yang lebih mudah dipahami jika pengenalannya disajikan melalui benda-benda di sekitar
lingkungannya yang memuat bentuk dan konsep geometri. Pada bagian lain geometri
masih dianggap momok bagi kebanyakan peserta didik untuk setiap jenjang pendidikan.
Sebagai ilmu dasar, maupun sebagai ilmu bantu dalam pelajaran lain dan begitu
banyak kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari, oleh sebab itu pengembangan
geometri sangat diperlukan. Untuk hal tersebut penguasaan terhadap aplikasi geometri
perlu diungkapkan. Selanjutnya agar dapat belajar geometri dengan baik dan benar,
peserta didik dituntut untuk menguasai kemampuan dasar geometri, ketrampilan dalam
pembuktian, ketrampilan membuat lukisan dasar geometri, dan mempunyai wawasan
pandang ruang yang memadai. Konsep awal peserta didik sangat berpengaruh terhadap
pembentukan konsep lainnya dan pemahaman terhadap materi yang menggunakan
konsep tersebut, seperti pemahaman konsep bangun-bangun datar seperti segiempat,
segitiga, dan lingkaran. Berdasarkan uraian tersebut di atas selanjutnya akan di
kemukakan tentang materi matematika (geometri) khususnya materi Lingkaran. Pada
jenjang pendidikan dasar (sekolah dasar) materi tentang lingkaran hanya sebatas
pengenalan bentuk dan unsur-unsurnya, contohnya mudah ditemukan dalam kehidupan
sehari-sehari. Selanjutnya meteri lingkaran di tingkat SMP sudah berada pada tingkatan
yang lebih tinggi misalnya definisi lingkaran, garis singgung, bagian-bagian lingkaran
dan sebagainya. Dengan demikian materi geometri tentang bangun datar yaitu lingkaran
terdapat disetiap jenjang pendidikan mulai dari pendidikan dasar, pendidikan menengah
sampai pada pendidikan tinggi dan merupakan dasar untuk setiap jenjang yang lebih
tinggi baik pemahaman konsep lingkaran maupun penggunaan lingkaran dalam
pemecahan masalah matematika.
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
1
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah pada makalah ini, yaitu:
1. Apa yang dimaksud dengan lingkaran?
2. Apa saja unsur-unsur lingkaran?
3. Bagaimana cara menghitung Luas lingkaran, keliling lingkaran, sudut pusat, sudut
keliling, luas juring, besar sudut dan luas tembereng pada lingkaran?
4. Apa yang dimaksud dengan garis singgung lingkaran dan bagaimana cara
menghitungnya?
5. Apa yang dimaksud dengan lingkaran dalam segitiga dan bagaimana cara
penghitungannya?
6. Apa yang dimaksud dengan lingkaran luar segitiga dan bagaimana cara
penghitungannya?
C. Tujuan
Adapun tujuan pembuatan makalah ini, yaitu:
1. Makalah ini dibuat agar kita lebih mengerti tentang materi Lingkaran
2. Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas matakuliah TELAAH KURIKULUM
MATEMATIKA SMP
2
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
BAB II
ISI
A. PENGERTIAN LINGKARAN
Perhatikan gambar di bawah ini.
Siapa yang tidak tahu ban mobil dan uang logam? Itu merupakan barang-barang
yang mudah Anda temui dalam kehidupan sehari-hari. Ban mobil dan uang logam
merupakan contoh benda-benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran. Secara geometris,
benda-benda tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar (a),
C
O
B
A
(a)
(b)
Perhatikan Gambar (b) dengan saksama. Misalkan A, B, C merupakan tiga titik
sebarang pada lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa ketiga titik tersebut
memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan demikian, lingkaran adalah kumpulan
titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, di mana titik-titik pada lengkungan
tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai titik
pusat lingkaran. Pada Gambar (b) , jarak OA, OB, dan OC disebut jari-jari lingkaran.
Jadi dapat disimpulkan bahwa lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang
merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik
tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat
lingkaran. Garis lengkung tersebut kedua ujungnya saling bertemu membentuk keliling
lingkaran dan daerah lingkaran (luas lingkaran).
B. UNSUR-UNSUR LINGKARAN
Setiap bangun datar memiliki unsur-unsur yang membangunnya, termasuk bangun
datar yang berbentuk lingkaran. Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam
unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur,
tembereng, juring, apotema, sudut pusat, dan sudut lingkaran. Perhatikan gambar berikut
ini.
3
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
Untuk lebih jelas, perhatikan uraian berikut ini.
a. Titik Pusat
Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak tepat di tengah-tengah
lingkaran. Pada Gambar di atas, titik O merupakan titik pusat
lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran
O.
b. Jari-Jari (r)
Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke
lengkungan lingkaran (keliling lingkaran). Pada Gambar di atas, jarijari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.
O
r
O
c. Diameter (d)
Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada
lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan melalui titik pusat.
Garis AB dan CD pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran A
tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai
diameter lingkaran merupakan dua kali nilai jari-jari lingkaran, dapat
ditulis secara matematis: d = 2r.
d. Busur
Busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada
lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan menghubungkan dua
titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar di atas, garis
lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung BD merupakan C
busur lingkaran O. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat
membayangkannya sebagai busur panah.
e. Tali Busur
Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang
menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan tidak
melalui pusat lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran
dinamakan dengan diameter lingkaran. Tali busur lingkaran tersebut
ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat seperti
pada gambar di atas. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat
membayangkan seperti pada tali busur panah.
O
B
A
O
B
A
O
B
f. Tembereng
Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh
busur dan tali busur. Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan
oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur
AD. Jadi tembereng terbentuk dari gabungan antara busur lingkaran
dengan tali busur lingkaran.
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
4
g. Juring
Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi
oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh
kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar di atas, juring
lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jarijari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.
h. Apotema
Apotema lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat
lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk
bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar di atas
A
secara seksama. Garis OF merupakan garis apotema pada lingkaran
O.
O
F
B
C. KELILING DAN LUAS LINGKARAN
Pernahkah kamu mengamati gerak sebuah roda sepeda? Untuk mengetahui
pengertian keliling lingkaran, coba kamu ambil roda sebuah sepeda. Tandai pada bagian
tepi lingkaran dengan huruf A. Kemudian, gelindingkan roda tersebut dimulai dari titik A
kembali ke titik A lagi. Lintasan yang dilalui roda dari A sampai kembali ke A lagi disebut
satu putaran penuh atau satu keliling lingkaran. Sebelum kita menghitung keliling
lingkaran, kita akan mencoba menemukan nilai π (pi).
1. Menemukan Pendekatan Nilai π (pi)
Untuk menemukan pendekatan nilai π (pi), kita bisa lakukan percobaan sederhana
berikut ini. Pertama, membuat lingkaran dengan jari- jari 1 cm, 1,5 cm, 2 cm, 2,5 cm,
dan 3 cm. Kemudian mengukur diameter masing-masing lingkaran dengan
menggunakan penggaris. Kedua, mengkur keliling masing-masing lingkaran
menggunakan bantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagian tepi
lingkaran, dan kemudian panjang benang diukur menggunakan penggaris. Terakhir
hitung nilai π (phi) dengan cara keliling lingkaran dibagi dengan diameter lingkaran,
kemudian catat hasilnya. Jika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan teliti
maka nilai keliling dibagi diameter akan memberikan nilai yang mendekati 3,14. Untuk
selanjutnya, nilai keliling per diameter disebut sebagai konstanta π (π dibaca: phi).
Coba tekan tombol π pada kalkulator. Apakah Anda dapatkan bilangan desimal
tak berhingga dan tak berulang? Bentuk desimal yang tak berhingga dan tak berulang
bukan bilangan pecahan. Oleh karena itu, π bukan bilangan pecahan, namun bilangan
irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa a/b.
Bilangan irasional berupa desimal tak berulang dan tak berhingga. Menurut penelitian
yang cermat ternyata nilai π= 3,14159265358979324836 ... Jadi, nilai π hanyalah suatu
pendekatan. Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitian sampai dua
tempat desimal, pendekatan untuk π adalah 3,14.
Coba bandingkan nilai π dengan pecahan 22/7. Bilangan pecahan 22/7 jika
dinyatakan dalam pecahan desimal adalah 3,142857143. Jadi, bilangan 22/7 dapat
dipakai sebagai pendekatan untuk nilai π.
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
5
2. Menghitung Keliling Lingkaran
Pada pembahasan di bagian depan diperoleh bahwa pada setiap lingkaran nilai
perbandingan keliling (K) per diameter (d) menunjukkan bilangan yang sama atau tetap
disebut π. Karena K/d=π, sehingga didapat K = π d. Karena panjang diameter adalah 2 x
jari-jari atau d = 2r, maka K = 2πr.
Jadi, didapat rumus keliling (K) lingkaran dengan diameter (d) atau jari-jari (r)
adalah:
Contoh soal
 Hitunglah keliling lingkaran jika diameter lingkaran 14 cm!
Penyelesaian:
d = 14 cm, sehingga:
K = πd
= 22/7 x 14 cm
= 44 cm
Jadi, keliling lingkaran adalah 44 cm.
 Hitunglah keliling lingkaran jika jari-jarinya 35cm!
Penyelesaian:
r = 35 cm, sehingga:
K = 2πr
= 2(22/7) 35 cm
= 220 cm
Jadi, keliling lingkaran = 220 cm.
3. Menghitung Luas Lingkaran
Untuk menemukan rumus luas lingkaran, lakukan kegiatan dengan langkahlangkah berikut.
1. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 10 cm.
2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama
besar dan arsir satu bagian
3. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 12 bagian sama besar
dengan cara membuat 12 juring sama besar dengan sudut
pusat 30° (Gambar (i)).
4. Bagilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi dua
sama besar.
5. Gunting lingkaran beserta 12 juring tersebut.
6. Atur potongan-potongan juring dan susun setiap juring
sehingga membentuk gambar mirip persegi panjang,
seperti pada Gambar (ii) di samping.
Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga banyaknya,
kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusun seperti Gambar (ii) maka
hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang. Perhatikan bahwa bangun yang
mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling
lingkaran (3,14 x 10 cm = 31,4 cm) dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (10
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
6
cm). Jadi, luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10 cm = luas persegi panjang dengan
p = 31,4 cm dan l = 10 cm.
Luas lingkaran = p x l
= 31,4 cm x 10 cm
= 314 cm
Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari r sama
dengan luas persegi panjang dengan panjang πr dan lebar r, sehingga diperoleh:
L = π rxr
= π r2
Karena r = ½d, maka
L = π(½d)2
= π (½d)2
= ¼ π d2
Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dengan jari-jari r atau
diameter d adalah:
Contoh soal:
 Hitunglah luas lingkaran yang memiliki jari-jari 7cm!
Penyelesaian:
Jari-jari = 7 cm, maka r = 7
L = πr2
= 22/7 x 72
= 154
Jadi, luas lingkaran = 154 cm2.
 Hitunglah luas lingkaran dengan diameter 20cm!
Penyelesaian:
Diameter = 20 cm, maka d = 20
L = ¼ π d2
= ¼ x 3,14 x 202
= 314
Jadi, luas lingkaran = 314 cm2.
4. Hubungan Antara Keliling Dan Luas Lingkaran
Untuk memahami hubungan antara keliling dengan luas lingkaran Anda harus
paham dengan konsep keliling lingkaran dan luas lingkaran. Hubungan antara keliling
dengan luas lingkaran cocok digunakan untuk menjawab soal-soal ulangan umum dan
ujian nasional yang bentuk soalnya berupa pilihan ganda karena membutuhkan waktu
yang singkat.
7
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
Jika Anda mampu menguasai materi tentang hubungan keliling lingkaran dengan
luasnya, Anda tidak perlu mencari jari-jari atau diameternya jika yang diketahui keliling
atau luasnya saja. Bagaimana caranya? Sekarang coba simak baik-baik pembahasan
berikut ini.
 Kita gunakan rumus keliling lingkaran dengan mencari jari-jarinya, misalkan keliling
lingkaran K dan luasnya L, maka:
K = 2πr atau r = K/2π
Sekarang substitusi persamaan jari-jari r ke rumus luas lingkaran, maka:
L = πr2
= π(K/2π)2
= π(K2/4π2)
= K2/4π
 Dari persamaan hubungan antara keliling lingkaran dengan luasnya juga bisa dicari
hubungan kebalikannya yaitu hubungan antara luas lingkaran dengan kelilingnya,
yakni:
L = K2/4π
K2 = 4πL
K = √(4πL)
D. SUDUT PUSAT, SUDUT KELILING, PANJANG BUSUR, LUAS JURING DAN LUAS
TEMBERENG
1. Sudut Pusat
Coba perhatikan gambar di bawah dengan seksama!
Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara
dua buah jari-jari lingkaran di titik pusat. Pada gambar di atas Garis
OA dan OB merupakan jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik
pusat O membentuk sudut pusat, yaitu ∠AOB.
2. Sudut Keliling
Coba perhatikan lagi gambar di bawah dengan seksama!
Sudut pusat merupakan sudut yang dibentuk oleh perpotongan
antara dua buah tali busur di suatu titik pada keliling lingkaran.
Pada gambar di atas garis AC dan BC merupakan tali busur yang
berpotongan di titik C membentuk sudut keliling ∠ACB.
3. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Jika Menghadap Busur yang Sama
Coba perhatikan lagi gambar di bawah dengan seksama!
8
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
∠AOB merupakan sudut pusat lingkaran dan ∠ACB merupakan sudut keliling
lingkaran. Sudut pusat ∠AOB dan sudut keliling ∠ACB menghadap busur yang sama,
yaitu AB.
Untuk mengetahui hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran yang
menghadap busur yang sama, perhatikan terlebih dahulu gambar di bawah.
Lingkaran di atas berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari OA= OB= OC= OD= r.
Misalkan ∠AOC = α dan ∠COB = β, maka ∠ AOB = α + β.
Perhatikan ΔBOD!
∠BOD pelurus bagi ∠BOC, sehingga ∠BOD = 180° – β .
ΔBOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga
∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - ∠BOD)
Karena ∠BOD = 180° – β , maka diperoleh
∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - (180° – β))
∠ODB = ½ β
Sekarang perhatikan ΔAOD!
∠AOD pelurus bagi ∠AOC, sehingga ∠AOD = 180° – α. ΔAOD adalah segitiga sama
kaki, karena OA = OD = r, sehingga
∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - ∠AOD)
∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - (180° – α))
∠ODA = ∠OAD = ½ α
Dengan demikian mengunakan persamaan ∠ODB = ½β dan ∠ODA = ½α, maka besar
∠ADB dapat di cari:
∠ADB = ∠ODA + ∠ODB
∠ADB = ½β + ½α
9
∠ADB = ½ (β + α)
∠ADB = ½ ∠AOB atau
besar ∠AOB = 2 x besar ∠ADB.
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
Karena ∠ AOB adalah sudut pusat dan ∠ADB adalah sudut keliling, di mana
keduanya menghadap ∠AB , maka dapat disimpulkan sebagai berikut.
Besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling
atau
Besar sudut keliling = ½ x besar sudut pusat
4. Panjang Busur
Busur adalah garis lengkung yang merupakan bagian dari keliling lingkaran, maka
untuk menentukan panjang busur lingkaran digunakan perbandingan dengan keliling
lingkarannya.
Perhatikan gambar. Jika sudut pusat busur AC adalah
AOC, dan sudut pusat
keliling lingkaran adalah 360o , maka akan terdapat perbandingan senilai, yaitu :
5. Luas Juring
Sekarang coba perhatikan gambar di bawah ini!
Pada gambar di atas terdapat juirng lingkaran AOB (luas yang diarsir) dengan sudut
pusat α (baca: alfa) dan jar-jari r. Apa yang akan terjadi jika sudut pusat α diperbesar
menjadi β (baca: betta) seperti gambar di bawah ini?
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
10
Ternyata setelah sudut pusat α diperbesar menjadi β maka luas
juring AOB juga semakin membesar. Ini sesuai dengan konsep
perbandingan senilai atau seharga, di mana jika sudut pusat
lingkaran diperbesar maka luas juring lingkaran tersebut juga
ikut menjadi tambah besar, begitu juga sebaliknya jika sudut
pusat lingkaran diperkecil maka luas juring lingkaran juga
akan mengecil. Sekarang bagaimana kalau sudut α tersebut
diubah menjadi satu lingkaran penuh (360°)?
Jika sudut pusat diubah menjadi satu lingkaran penuh maka luas juringnya menjadi luas
lingkaran. Dari pernyataan tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa hubungan antara
besar sudut pusat, luas juring, dan luas lingkaran yakni “luas juring per luas lingkaran
sama dengan sudut pusat per sudut satu lingkaran penuh (360°)” Secara matematis
pernyataan tersebut dapat dirumuskan:
=
°
Luas Juring AOB
=
Luas Juring AOB
=
°
°
∙
∙
6. Luas Tembereng
Pemahaman dasar yang harus anda kuasai untuk bisa menghitung luas tembereng
suatu lingkaran yakni pengertian tembereng dan juring lingkaran (merupakan unsur
atau bagian lingkaran), cara menghitung luas segitiga, cara menghitung luaslingkaran,
dan hubungan antara sudut pusat dengan luas juring lingkaran. Tanpa konsep dasar
tersebut Anda tidak akan mampu menghitung luas tembereng suatu lingkaran. Jadi
pastikan diri Anda sudah menguasai konsep dasar tersebut.
Tembereng merupakan luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan
tali busur, seperti contoh gambar di bawah ini.
11
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
Tembereng pada gambar di atas (yang diarsir) dibatasi oleh busur AB (garis
lengkung AB) dan tali busur AB (garis lurus AB), terlihat bahwa luas yang diarsir
(tembereng) sama dengan luas juring AOB dikurangi dengan luas segitiga AOB. Jadi
secara matematis mencari luas tembereng dapat ditulis:
Tembereng = Luas Juring – Luas Segitiga
E. GARIS SINGGUNG LINGKARAN
1) Pengertian Garis Singgung Lingkaran
Untuk memahami pengertian garis singgung lingkaran, perhatikan Gambar di
bawah ini.
Lingkaran pusat di O dengan diameter AB tegak lurus dengan diameter CD (garis
k). Jika garis k digeser ke kanan sedikit demi sedikit sejajar k maka:
pada posisi k1 memotong lingkaran di dua titik (titik E dan F) dengan k1 ⊥ OB.
 pada posisi k2 memotong lingkaran di dua titik (titik G dan H) dengan k2 ⊥ OB.
 pada posisi k3 memotong lingkaran di satu titik, yaitu titik B (menyinggung
lingkaran di B). Selanjutnya, garis k3 disebut garis singgung lingkaran.

Sekarang perhatikan Gambar di bawah ini!
Jika garis k diputar dengan pusat perputaran titik A ke arah busur AB’ yang lebih
kecil dari busur AB maka kita peroleh ΔOAB’ sama kaki, karena ∠OAB = ∠OB’A
= ½ x (∠180 – AOB’)
Jika kita terus memutar garis k ke arah busur yang lebih kecil dan lebih kecil lagi
maka ∠OAB’ = ∠OB’A akan makin besar dan ∠AOB’ makin kecil. Pada suatu saat
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
12
garis k akan menyinggung lingkaran di titik A dengan titik B’ berimpit dengan titik A
dan saat itu berlaku:
∠OAB’ =∠OB’A = ½ (180° - ∠AOB’)
∠OAB’ =∠OB’A = ½ (180° - 0°)
∠OAB’ =∠OB’A = 90°
Hal ini menunjukkan bahwa jari-jari OA tegak lurus dengan garis singgung K
dititik A.
“Jadi, garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran
di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik
singgungnya.”
Perhatikan gambar di bawah ini.
Pada Gambar di atas tampak bahwa garis k tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis
k adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung
lingkaran.
Karena garis k ⊥ OA, hal ini berarti sudut yang dibentuk kedua garis tersebut
besarnya 90°. Dengan demikian secara umum dapat dikatakan bahwa setiap sudut yang
dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung lingkaran besarnya 90°.
Gambar di atas merupakan lingkaran yang berpusat di O. Lingkaran tersebut
bersinggungan dengan garis g dan h. Garis g memotong lingkaran di satu titik, yaitu di
titik A. Sedangkan garis h memotong lingkaran di satu titik, yaitu di titik B. Garis g dan
h inilah yang dinamakan garis singgung. Sedangkan titik B dan titik A dinamakan titik
singgung. Jadi yang dimaksud dengan garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang
memotong lingkaran tepat di satu titik.
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
13
Perhatikan kembali gambar di atas. Garis g dan garis h tegak lurus OB dan OA,
sedangkan OB dan OA adalah jari-jari lingkaran. Jadi, garis singgung lingkaran akan
tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya. Namun
bagaimanapun caranya, kita tidak akan bisa membuat garis singgung yang lain di titik A
dan di titik B. Dengan demikian, kita hanya dapat membuat satu garis singgung
lingkaran dari satu titik pada sebuah lingkaran.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Garis c, e, dan f adalah garis singgung lingkaran karena memotong lingkaran di
satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari melalui titik singgungnya. Sedangkan garis a,
b, d, g, dan h bukan garis singgung lingkaran karena jika garisnya di perpanjang, akan
memotong lingkaran di dua titik.
2) Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran
Untuk dapat menentukan panjang garis singgung lingkaran, Anda harus
menguasai teorema Pythagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Pada gambar di atas, lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB ⊥
garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.
Perhatikan segitiga siku-siku ABO. Dengan teorema Pythagoras berlaku
OB2 = AB2 + OA2
AB2 = OB2 - OA2
14
AB2 = √(OB2 - OA2)
Jadi, panjang garis singgung lingkaran (AB) = √(OA2 - OB2)
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
3) Kedudukan Dua Lingkaran
Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan
jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka terdapat
beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut.
1. L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam
hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat).
2. L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam
L1 dan tidak konsentris.
3. L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = ½ R, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di
dalam.
4. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R.
15
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
5. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r.
6. L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar.
7. L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah.
Pada beberapa kedudukan lingkaran seperti tersebut di atas, dapat dibuat garis
singgung persekutuan dua lingkaran. Garis singgung persekutuan adalah garis yang
menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Apakah untuk setiap dua lingkaran selalu
dapat dibuat garis singgung persekutuan? Perhatikan kemungkinan berikut.
1.
Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung
persekutuan.
16
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
2.
Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung
persekutuan.
3.
Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung
persekutuan.
4.
Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung
persekutuan.
5.
Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung
persekutuan.
17
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
4) Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran,
Anda harus paham dengan teorema Pythagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah
ini.
Pada Gambar di atas, dua buah lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q, berjarijari R dan r. Dari gambar tersebut diperoleh:
1) jari-jari lingkaran P = R;
2) jari-jari lingkaran Q = r;
3) garis singgung persekutuan dalam = AB = d;
4) jarak titik pusat kedua lingkaran = PQ = p.
Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis
SQ sejajar AB, sehingga ∠PSQ = ∠PAB = 90° (sehadap).
Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90°.
Jadi, segi empat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar
BQ = r. Perhatikan bahwa ∠PQS siku-siku di titik S. Dengan menggunakan teorema
Pythagoras diperoleh:
QS2 = PQ2 - PS2
QS = √(PQ2 - PS2)
QS = √(PQ2 – (R + r)2)
Karena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam
dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jarijari lingkaran kecil r adalah
18
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
5) Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
Perhatikan Gambar di bawah ini.
Dari gambar tersebut diperoleh bahwa:
1) jari-jari lingkaran P = R;
2) jari-jari lingkaran Q = r;
3) garis singgung persekutuan luar = AB = d;
4) jarak titik pusat kedua lingkaran = PQ = p.
Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh garis SQ.
Garis AB sejajar SQ, sehingga ∠ PSQ = ∠ PAB = 90° (sehadap).
Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90°.
∠PQS siku-siku di S, sehingga berlaku
QS2 = PQ2 - PS2
QS = √(PQ2 - PS2)
QS = √(PQ2 – (R - r)2)
Karena QS = AB = d, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua
lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari
lingkaran kecil r adalah
F. LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR PADA SEGITIGA
1) Lingkaran Dalam Segitiga
Lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran yang memiliki titik pusat di
perpotongan garis bagi dari ketiga sisi suatu segitiga. Sifat dari lingkaran dalam segitiga
adalah bahwa lingkaran tersebut memotong masing-masing sisi segitiga tepat pada satu
titik potong.
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
19
 Melukiskan Lingkaran Dalam Segitiga
Untuk melukis lingkaran dalam segitiga, perhatikan gambar berikut ini.
Lingkaran O adalah lingkaran dalam dari segitiga ABC. Sekarang perhatikan bahwa
EO = DO dan OA = OA, sehingga segitiga AEO dan segitiga ADO merupakan
segitiga-segitiga yang kongruen. Sehingga sudut-sudut yang bersesuaian, yaitu sudut
OAE dan sudut OAD sama besar. Oleh karena itu, garis AO merupakan garis bagi
sudut DAE.
Dari uraian di atas, titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan perpotongan dari
garis-garis bagi dari semua sudut segitiga tersebut. Berikut ini langkah-langkah
dalam melukis lingkaran dalam segitiga.
1. Lukislah garis bagi dari dua sudut dalam segitiga. Titik perpotongan garis-garis
bagi tersebut merupakan titik pusat dari lingkaran dalam segitiga tersebut.
2. Dari titik pusat tersebut, buatlah garis yang tegak lurus dengan salah satu sisi
segitiga.
3. Dan selanjutnya, lukislah lingkaran yang berpusat di titik yang diperoleh pada
langkah 1 dan melalui titik perpotongan antara garis yang diperoleh pada poin 2
dan sisi segitiga yang tegak lurus dengan garis tersebut.
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
20
 Menemukan Rumus Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga
Diberikan suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c. Untuk
menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut, perhatikan gambar berikut.
Luas dari segitiga paling kanan dapat ditentukan dengan dua cara.
i. Cara pertama dengan menggunakan rumus L = √[s(s – a)(s – b)(s – c)] dengan
s adalah setengah keliling segitiga atau s = (a + b + c)/2.
ii. Cara kedua adalah dengan menjumlahkan daerah warna orange, hijau, dan biru.
Luas daerah warna orange adalah (a × r)/2,
Luas daerah warna hijau adalah (b × r)/2,
sedangkan luas daerah warna biru adalah (c × r)/2.
Sehingga,
Sehingga, untuk sembarang segitiga yang memiliki panjang sisi a, b, dan c,
serta s adalah setengah dari kelilingnya, maka jari-jari lingkaran dalamnya dapat
ditentukan sebagai berikut.
21
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
2) Lingkaran Luar segitiga
Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang melalui ketiga titik sudut
segitiga.
 Melukis Lingkaran Luar Segitiga
Untuk melukis lingkaran luar segitiga kita membutuhkan jangka. Langkahlangkahnya adalah sebagai berikut.
a. Lukislah garis sumbu dari salah satu sisi segitiga. Garis sumbu merupakan garis
yang tegak lurus dan membagi sisi segitiga menjadi dua bagian yang sama
panjang.
b. Lukis garis sumbu pada sisi lain segitiga. Garis sumbu kedua ini akan memotong
garis sumbu yang dihasilkan pada langkah 1.
c. Titik potong kedua garis sumbu merupakan titik pusat dari lingkaran luar
segitiga. Aturlah jangka sedemikian sehingga pusatnya ada di titik pusat
lingkaran luar dan bagian lainnya pada salah satu titik sudut segitiga. Kemudian
dengan pengaturan seperti itu buatlah lingkaran penuh.
Lingkaran yang dihasilkan pada langkah-langkah di atas merupakan lingkaran luar
dari segitiga yang diberikan.
 Menentukan Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga
Untuk menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga, kita harus mengetahui panjang
dari semua sisi segitiga tersebut. Misalkan a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga
ABC, dan t adalah tinggi dari segitiga tersebut.
22
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
Pertama, lukislah ruas garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga dan titik
pusat lingkaran. Misalkan ruas garis tersebut adalah ruas garis BD. Selanjutnya dari
ujung ruas garis tersebut yang bukan titik sudut segitiga, yaitu titik B, tariklah ruas
garis ke titik sudut segitiga yang lain. Misalkan kita tarik ruas garis dari titik B ke
titik sudut A, sehingga terbentuk ruas garis AD.
Sudut-sudut ADB dan ACB merupakan sudut keliling yang menghadap busur
yang sama, sehingga kedua sudut tersebut kongruen. Sedangkan sudut BAD
menghadap diameter, sehingga sudut tersebut memiliki besar 90° atau merupakan
sudut siku-siku. Dengan menggunakan prinsip sudut, sudut (sd, sd), kita dapat
memperoleh bahwa segitiga BAD sebangun dengan segitiga BEC. Sehingga dengan
menggunakan aturan kesebangunan,
Perhatikan bahwa luas segitiga ABC dapat ditentukan dengan menggunakan rumus
L = (b ∙ t)/2. Atau dengan kata lain, t = 2L/b. Sehingga,
Apabila segitiga diketahui panjang ketiga sisinya, maka kita dapat menentukan luas
segitiga tersebut dengan rumus, L = √[s ∙ (s – a)(s – b)(s – c)], dengan s adalah
setengah dari keliling segitiga, s = (a + b + c)/2. Sehingga,
23
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titiktitik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jarijari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Garis lengkung tersebut kedua
ujungnya saling bertemu membentuk keliling lingkaran dan daerah lingkaran (luas
lingkaran).
Lingkaran memiliki beberapa unsur, yaitu:
1. Titik Pusat Lingkaran
2. Jari-jari Lingkarang
3. Diameter Lingkaran
4. Busur Lingkaran
5. Tembereng
6. Juring Lingkaran
7. Apotema
Lingkaran memiliki garis singgung, yaitu garis yang memotong suatu lingkaran di
satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.
Jika dihubungkan dengan suatu segitiga, akan ada dua macam lingkaran, yaitu:
Lingkaran dalam segitiga dan Lingkaran Luar segitiga.
B. Saran
Inilah makalah yang telah kami susun, meskipun penulisan makalah ini jauh dari
sempurna. Masih banyak kesalahan dari penulisan makalah kelompok kami ini, karna kami
manusia yang adalah tempat salah dan dosa, sehingga kami juga butuh saran/ kritikan agar
bisa menjadi motivasi untuk masa depan yang lebih baik daripada masa sebelumnya. Kami
juga mengucapkan terima kasih atas dosen pembimbing mata kuliah TELAAH
KURIKULUM MATEMATIKA SMP, Ibu Effie Efrida Muchlis, S.Pd, M.Pd. yang telah
memberi kami tugas kelompok demi kebaikan kami sendiri dan pembaca makalah ini.
24
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
SILABUS PEMBELAJARAN
Sekolah
: SMP NEGERI 19 KOTA BENGKULU
Kelas
: VIII (Delapan)
Mata Pelajaran
: Matematika
Semester
: II (dua)
GEOMETRI DAN PENGUKURAN
Standar Kompetensi : 4. Menentukan unsur, bagian lingkaran serta ukurannya
Kompetensi
Materi
Kegiatan Pembelajaran
Dasar
Pembelajaran
4.1 Menentu
Lingkaran
kan unsur
dan bagianbagian
lingkaran
4.2 Menghitung Lingkaran
keliling dan
luas
lingkaran
Mendiskusikan unsurunsur dan bagian-bagian
lingkaran dengan
menggunakan model
Menyimpulkan nilai phi
dengan menggunakan
benda yang berbentuk
lingkaran.
Indikator Pencapaian
Kompetensi
Penilaian
Teknik
Bentuk
 Menyebutkan unsurunsur dan bagianbagian lingkaran :
pusat lingkaran, jarijari, diameter, busur,
talibusur, juring dan
tembereng.
Tes lisan
Daftar
pertanyaa
n
 Menemukan nilai phi
Unjuk
kerja
Contoh Instrumen
C
Alokasi
Sumber
Waktu
Belajar
2x40mnt Buku teks,
lingkaran,
dan
lingkungan
D
Disebut apakah ruas garis CD ?
Tes uji
Ukurlah keliling (K) sebuah benda
petik kerja berbentuk lingkaran dan juga
diameternya (d).
Berapakah nilai
2x40mnt
k
?
d
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
25
Kompetensi
Materi
Kegiatan Pembelajaran
Dasar
4.3 Menggunakan hubungan sudut pusat,
panjang
busur, luas
juring dalam pemecahan
masalah.
Pembelajaran
Lingkaran
Indikator Pencapaian
Kompetensi
Penilaian
Teknik
Bentuk
Contoh Instrumen
Daftar
Sebutkan rumus keliling lingkaran
Pertanyaa yang berjari-jari p.
n
Sebutkan rumus luas lingkaran
yang berjari-jari q.
Alokasi
Sumber
Waktu
Belajar
Menemukan rumus
keliling dan luas lingkaran
dengan menggunakan
alat peraga
 Menentukan rumus
keliling dan luas
lingkaran
Tes lisan
Menggunakan rumus
keliling dan luas lingkaran
dalam pemecahan
masalah.
 Menghitung keliling
dan luas lingkaran.
Tes
tertulis
Uraian
Hitunglah luas lingkaran jika
ukuran jari-jarinya 14 cm.
Mengamati hubungan
sudut pusat dan sudut
keliling yang menghadap
busur yang sama
 Menjelaskan hubungan
sudut pusat dan sudut
keliling jika menghadap
busur yang sama
Tes
tertulis
Isian
singkat
Jika sudut A adalah sudut pusat
2x40mnt
dan sudut B adalah sudut keliling,
sebutkan hubungan antara sudut
A dan sudut B jika kedua sudut itu
menghadap busur yang sama.
Menghitung besar sudut
keliling jika menghadap
diameter atau busur yang
sama.
 Menentukan besar
sudut keliling jika
menghadap diameter
dan busur yang sama.
Tes lisan
Menghitung panjang
busur, luas juring dan
 Menentukan panjang
busur, luas juring dan
luas tembereng.
Tes
tertulis
Daftar
Berapa besar sudut keliling jika
Pertanyaa menghadap diameter lingkaran?
n
Uraian
4x40mnt
4x40mnt
2x40mnt
Di dalam lingkaran dengan jari-jari 4x40mnt
12 cm, terdapat sudut pusat yang
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
26
Kompetensi
Materi
Kegiatan Pembelajaran
Dasar
Pembelajaran
Indikator Pencapaian
Kompetensi
Penilaian
Teknik
Bentuk
tembereng.
Contoh Instrumen
besarnya 90
Alokasi
Sumber
Waktu
Belajar
0
Hitunglah: a. Panjang busur kecil
b. luas juring kecil
Menemukan hubungan
sudut pusat, panjang
busur, luas juring dan
menggunakannya dalam
pemecahan masalah
4.4 Menghitung Lingkaran
panjang
garis
singgung
persekutuan
dua
lingkaran
Mengamati sifat sudut
yang dibentuk oleh garis
singgung dan garis yang
melalui titik pusat.
 Menggunakan
hubungan sudut pusat,
panjang busur, luas
juring dalam
pemecahan masalah
Tes
tertulis
Uraian
Seorang anak harus minum tablet
yang berbentuk lingkaran. Jika
anak tersebut harus minum 1/3
tablet itu dan ternyata jari-jari
tablet 0,7 cm. Berapakah luas
tablet yang diminum?
4x40mnt
 Menemukan sifat sudut
yang dibentuk oleh
garis singgung dan garis
yang melalui titik pusat.
Tes
tertulis
Uraian
Perhatikan gambar!
2x40mnt
O
P
Q
Berapakah besar sudut P?
Jelaskan!
27
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
Kompetensi
Materi
Kegiatan Pembelajaran
Dasar
Pembelajaran
Mencermati garis
singgung persekutuan
dalam dan persekutuan
luar dua lingkaran
Indikator Pencapaian
Kompetensi
 Menjelaskan garis
singgung persekutuan
dalam dan persekutuan
luar dua lingkaran.
Penilaian
Teknik
Bentuk
Tes
tertulis
Isian
singkat
Contoh Instrumen
Perhatikan gambar!
A
K
P
Alokasi
Sumber
Waktu
Belajar
2x40mnt
B
Q
L
Disebut apakah:a) garis AB?
b) garis KL?
Menghitung panjang
garis singgung
persekutuan dalam dan
persekutuan luar dua
lingkaran
4.5 Melukis
lingkaran
dalam dan
lingkaran
luar suatu
segitiga
Lingkaran
 Menentukan panjang
garis singgung
persekutuan dalam dan
persekutuan luar
Menggunakan jangka dan  Melukis lingkaran
dalam dan lingkaran
penggaris untuk melukis
luar segitiga
lingkaran dalam dan
lingkaran luar segitiga
Tes
tertulis
Uraian
Panjang jari-jari dua lingkaran
4x40mnt
masing-masing 7cm dan 1cm. Jika
jarak antara titik pusatnya 10cm,
berapakah panjang garis singgung:
a) persekutuan dalam
b) persekutuan luar
Tes
tertulis
Uraian
Dengan menggunakan jangka dan 4x40mnt
penggaris, lukislah lingkaran:
a) dalam suatu segitiga
b) luar suatu segitiga
 Karakter siswa yang diharapkan : Disiplin ( Discipline ); Rasa hormat dan perhatian ( respect ); Tekun ( diligence ); dan Tanggung jawab ( responsibility )
28
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
DAFTAR PUSTAKA
Hidayanti. (2012). Lingkaran. [Online]. Tersedia : http://mafia.mafiaol.com/2014/02/
pengertian-lingkaran.html. [29 Mei 2014]
Priyadi, P. Gendra, dkk. 2008. Matematika Program Keahlian Seni, Pariwisata, Sosial,
Administrasi Perkantoran dan Tekhnologi Kerumahtanggaan untuk SMK dan MAK
Kelas XII. Jakarta : Erlangga
Yosep. (2013). Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga. [Online]. Tersedia:
http://yos3prens.wordpress.com/2013/07/17/lingkaran-luar-segitiga/. [29 Mei 2014]
25
MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1
Download
Random flashcards
hardi

0 Cards oauth2_google_0810629b-edb6-401f-b28c-674c45d34d87

Rekening Agen Resmi De Nature Indonesia

9 Cards denaturerumahsehat

Rekening Agen Resmi De Nature Indonesia

9 Cards denaturerumahsehat

sport and healty

2 Cards Nova Aulia Rahman

Create flashcards