1-Sistem Bilangan dan Kesalahan

1
Sistem Bilangan dan
K
Kesalahan
l h
Metode Numerik
Penyajian Bilangan Bulat
2
Bilangan bulat yang sering digunakan adalah
bilangan bulat dalam sistem bilangan
desimal yang didefinisikan sbb:
N = (an an −1an − 2 ...a0 )
= an10 n + an −110 n −1 + an − 210 n − 2 + ... + a010 0
Metode Numerik
Contoh :
267310 = 2*103 + 6*102 +7*101 + 3*100
Bilangan bulat dengan bilangan dasar c
didefinisikan sebagai :
N = (an an −1an − 2 ...a0 )c
= an c n + an −1c n −1 + an − 2 c c − 2 + ... + a0 c 0
Metode Numerik
3
ALGORITMA KONVERSI BILANGAN
4
Bila diketahui koefisien-koefisien a1, a2, a3, …,, an dari
polinomial
p( x) = a n x + a n−1 x
n
n −1
+ a n−2 x
n−2
+ ... + a0
dan suatu bilangan β
Maka dapat dihitung bn,b
bn-1,..,b
b0 dari β sebagai berikut :
bn = an
bn −1 = an −1 + bn β
bn − 2 = an − 2 + bn −1β
...............................
b0 = a0 + b1β
Metode Numerik
Algoritma 1.1
Contoh:
5
Bilangan biner (1101)2 dapat dihitung sebagai :
b3 = a3 = 1
b2 = a2 + b3 β = 1 + 1.2 = 3
b1 = a1 + b2 β = 0 + 3.2 = 6
b0 = a0 + b1β = 1 + 6.2 = 13
sehingga (1101)2 = 13
Metode Numerik
Penyajian Bilangan Pecahan
6
y Bilangan
x antara 0 s/d
g pecahan
p
/ 1 dalam sistem
bilangan desimal didefinisikan :
x = (a1a2a3...an ) = a110−1 + a210−2 + a310−3 +...+ an10−n
y Bilangan pecahan x secara umum dalam sistem
bilangan
g dengan
g bilangan
g dasar k didefinisikan :
n
(a1a 2 a3 ...a n )k = ∑ ai k −i
i =1
Metode Numerik
Contoh:
a) 0,62510 = 6*10-1+2*10-2+5*10-3
b) (0,101)2 = 1*2-1+0*2-2+1*2-3
= 0,5
0 5 + 0,125
0 125
= 0,625
Metode Numerik
7
Algoritma 1.2
Jika diketahui x di antara 0 dan 1 sebuah bilangan β yang
lebih besar dari 1. Carilah b1, b2, b3,…
c0 = x
b1 = (β c0 )I
c1 = (βc0 )F
b2 = (βc1 )I
c2 = (β c1 )F
………………………..
Maka :
∞
x = (b1b2b3 ...)β = ∑ bk β − k
k =1
Metode Numerik
8
Contoh:
Jika x = (0,101)2, dengan β = 10 (atau 10102), carilah b1,b2,b3
c0 = x = 0,1012
βc0 = (1010)(0,101) 2 = (110,010) 2 sehingga b1 = (110)2 c1 = (0,01)2
β c1 = (1010 )( 0,01) 2 = (10,10 ) 2
sehingga b2 = (10 )2
c2 = (0,1)2
βc2 = (1010)(0,1) 2 = (101,0) 2
sehingga b3 = (101)2
c1 = (0,01)2
Karena bk dst sama dengan nol, dan b1 = 6, b2 = 2, b3 = 5
Maka :
x = (an an −1...a0 , b1b2b3 ...) 2
=
x = (an an −1...a0 , b1b2b3 ...)10
x = (0,101)2 = (0,625)10
Metode Numerik
9
Nilai Signifikan / Angka Penting
10
Nilai signifikan
suatu nilai dimana jumlah
angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut
diterima atau tidak.
Terdiri dari digit 1,2 3,4,5,6,7,8,9 dan 0
untuk 0 tidak termasuk angka signifikan jika
digunakan untuk menentukan titik desimal
atau untuk mengisi tempat-tempat dari digit
yang tidak diketahui/dibuang.
Metode Numerik
Perhatikan nilai pada penggaris
40 50 60 70
40
50
60
70
Dengan nilai signifikan = 1, maka nilai adalah 53 atau 54
Dengan nilai signifikan = 0
0,1,
1 maka nilai adalah 53 atau 53
53,5
5
Metode Numerik
11
Akurasi dan Presisi
12
(a)
(b)
( )
(c)
(d)
a))
b))
c)
d)
menunjukkan hasil yang akurat dan presisi.
menunjukkan hasil yang presisi tetapi tidak akurat.
menunjukkan
j kk hhasilil yang sebenarnya
b
akurat
k t ttetapi
t i tid
tidakk presisi.
i i
menunjukkan hasil yang tidak akurat dan tidak presisi.
Metode Numerik
Akurasi dan Presisi
13
Nilai presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang digunakan
d sebaran
dan
b
b
bacaan
b l
berulang
pada
d alat
l t ukur.
k
Pemakaian alat ukur penggaris dan jangka sorong akan mempunyai
perbedaan nilai presisi.Pemakaian jangka sorong mempunyai
presisi yang lebih tinggi.
Nilai akurat atau akurasi mengacu pada dekatnya nilai pendekatan
yang dihasilkan dengan nilai acuan atau nilai eksak.
Misalkan nilai eksak diketahui ½, sedangkan hasil pendekatan
adalah 0.500001 maka hasil ini dikatakan akurat bila torelansinya
=10-4.
Metode Numerik
Aturan Pembulatan
14
1. Jika bilangan yang dibuang kurang dari ½ satuan dari tempat
yang ke –n, maka angka yang ke-n tetap tidak dirubah
2. Jika bilangan yang dibuang lebih dari ½ satuan dari tempat
yyang
g ke –n,, maka angka
g y
yang
g ke-n ditambah dengan
g 1
3. Jika bilangan yang dibuang tepat ½ satuan dalam tempat yang
ke-n, maka angka yang ke-n tidak dirubah, jika angka yang ken adalah genap atau angka yang ke
ke-n
n ditambah dengan 1
(satu) jika angka yang ke-n gasal, dengan kata lain perkataan
membulatkan sedemikian hingga angka yang ke-n adalah
genap.
genap
Jika suatu bilangan sudah dibulatkan menurut aturan di atas
bilangan itu dikatakan betul (correct) sampai n angka yang
b
berarti
ti
Pendekatan dan Kesalahan
15
Kesalahan dalam Metode Numerik :
¾
Kesalahan pembulatan ( round of error)
Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh
pembulatan.
Contoh :
0,4 Æ 0
0,5 Æ 1
¾
Kesalahan pemotongan ( truncation error )
Kesalahan yang ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan
jjumlah angka
g signifikan.
g
Contoh :
0,4123568
Æ 0,41236
(7 angka signifikan) (5 angka signifikan)
Metode Numerik
¾ Kesalahan
K
l h d
darii perhitungan
hit
N
Numerik
ik
kesalahan yang timbul karena adanya proses
p
pendekatan.
Hubungan kesalahan dan penyelesaian adalah :
xˆ = x + e
dimana:
xˆ = nilai
il i yang sebenarnya
b
( nilai
il i eksak
k k)
x = nilai pendekatan yang dihasilkan dari
metode numerik
e = kesalahan numerik.
Metode Numerik
16
17
Kesalahan fraksional adalah p
prosentase antara kesalahan dan nilai
sebenarnya.
⎛e⎞
∈= ⎜ ⎟ x100%
⎝ xˆ ⎠
Kesalahan fraksional berdasarkan nilai pendekatan yang diperoleh:
dimana e pada waktu ke n adalah selisih nilai pendekatan
ke n dan ke n
n-1
1 ⎛x −x ⎞
∈= ⎜⎜
⎝
n −1
n
xn
⎟⎟ × 100%
⎠
Perhitungan kesalahan semacam ini dilakukan untuk mencapai
keadaan konvergensi pada suatu proses iterasi.
Metode Numerik
Konvergensi
18
Definisi Konvergensi.
Suatu barisan a1 , a 2 ,... dikatakan konvergen ke α jika dan hanya jika
untuk semua e>0 terdapat bilangan bulat η ∈ .
0
Sedemikian hingga untuk semua n≥ η 0
( )
terdapat | α
− α n | <∈
Sehingga penyelesaian dalam metode numerik dicari berdasarkan
selisih hasil saat ini dengan hasil sebelumnya.
Kriteria konvergensi
g
ini dapat
p dipakai
p
untuk mengurangi
g
g jjumlah
iterasi yang besar tetapi terkadang tidak akurat
Metode Numerik
Latihan soal :
1. Konversikan pecahan biner berikut ini menjadi pecahan desimal :
(0,110101)2
(0,111111)2
2. Konversikan pecahan desimal berikut ini menjadi pecahan oktal
(0,1)10
(0,86)10
3. Carilah angka biner yang mendekati
Metode Numerik
19
π sampai 10-3