Kegiatan Belajar 1 Sistem Bilangan Sistem bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran suatu item fisik. Sistem bilangan yang banyak dipergunakan manusia adalah sistem bilangan desimal, yaitu sistem bilangan yang menggunakan 10 macam simbol untuk mewakili suatu besaran. Sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai untuk mewakili suatu besaran nilai. Selain sistem bilangan biner, komputer juga menngunakan sistem bilangan oktal dan sistem bilangan heksadesimal. 1.1 Bilangan Desimal dan Bilangan Biner Sistem bilangan desimal menggunakan 10 macam simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sistem ini menggunakan basis 10. Bentuk nilai ini dapat berupa integer desimal atau pecaha. Integer desimal adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598. Pecahan desimal adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang koma, misalnya 183,75. Sistem bilangan biner menggunakan 2 macam simbol bilangan berbasis 2 digit, yaitu 0 dan 1. Sistem ini biasanya digunakan dalam rangkaian (circuit) komputer, kalkulator, dan peralatan digit yang lain, yaitu on-off, high-low, ya-tidak, dan seterusnya. Untuk membedakan bilangan pada sistem yang berbeda digunakan subskrip. Sebagai contoh 910 menyatakan bilangan sembilan ini pada sistem bilangan desimal, dan 011012 menunjukkan bilangan biner 01101. Subskrip tersebut sering diabaikan jika sistem bilangan yang dipakai sudah jelas. a. Konversi Desimal ke Biner Cara untuk mengubah bilangan desimal ke biner adalah dengan pembagian. Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi 2 sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi Least Significant Bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi Most Significant Bit (MSB). Contoh konversi 17910 ke biner : 179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB) 89 / 2 = 44 sisa 1 44 / 2 = 22 sisa 0 22 / 2 = 11 sisa 0 11 / 2 = 5 sisa 1 5/ 2 = 2 sisa 1 2/ 2 = 1 sisa 0 1 / 2 = 0 sisa 1 (MSB) Jadi, 17910 = 101100112 b. Konversi Biner Ke Desimal Cara untuk mengubah bilangan biner ke desimal adalah dengan menggunakan konversi radiks-r ke desimal : = Contoh : 11012 = 1x23 + 1x22 + 1x20 =8+4+1 = 1310 Jadi, 11012 = 1310 1.2 Bilangan Oktal Bilangan oktal adalah sistem bilangan yang berbasis 8 dan mempunyai delapan simbol bilangan yang berbeda, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Contoh subskrip untuk bilangan oktal misalnya 5628 yang menunjukkan bilangan oktal 562. a. Konversi bilangan oktal ke biner Untuk mengkonversi bilangan oktal ke biner yang harus dilakukan adalah terjemahkan setiap bilangan oktal ke 3 digit bilangan biner. Contoh : konversikan 2638 ke bilangan biner. Jawab : 2 010 6 3 110 011 Jadi 2638 = 0101100112 Karena 0 di depan tidak ada artinya, maka kita bisa menuliskan 101100112 b. Konversi bilangan biner ke oktal Untuk mengkonversi bialangan biner ke bilangan oktal, lakukan pengelompokan 3 digit bilangan biner dari posisi LSB sampai ke MSB. Contoh : konversikan 101100112 ke bilangan oktal Jawab : 10 2 110 011 6 3 Jadi, 101100112 = 2638 c. Konversi bilangan desimal ke oktal Untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal, bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi dengan 8 dan sisa pembagiannya harus selalu dicatat. Contoh : konversikan 581910 ke bilangan oktal 5819/8 = 727, sisa 3, LSB 727/8 = 90, sisa 7 90/8 = 11, sisa 2 11/8 = 1, sisa 3 1/8 = 0, sisa 1, MSB Jadi, 581910 = 132738 d. Konversi bilangan oktal ke desimal Untuk mengubah bilangan oktal ke desimal dengan menggunakan eksponen dengan basis 8, yaitu 80=1, 81=8, 82=16, dan seterusnya namun dimulai dari eksponen yang lebih besar. Contoh : konversikan 2578 ke bilangan desimal Jawab : 2578 = 2x82 + 5x81 + 7x80 = 128 + 40 + 7 = 17510 1.3 Bilangan Heksadesimal Sistem bilangan heksadesimal menggunakan 16 macam simbol bilangan berbasis 8 digit angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Dimana A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, dan F=15. Bilangan heksadesimal sering disingkat dengan hex. Bilangan yang lebih besar dari 1510 memerlukan lebih dari satu hex. Kolom heksadesimal menunjukkan eksponen dengan basis 16, yaitu 160=1, 161=16, 162=256 dan seterusnya. Sebagai contoh : 152B16 = 1x163 + 5x162 + 2x161 + 11x160 = 1x4096 + 5x256 + 2x16 + 11x1 = 4096 + 1280 + 32 + 11 = 541910 Sebaliknya untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan heksadesimal dapat dilakukan dengan cara membagi bilangan desimal tersebut dengan 16. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 340910 menjadi bilangan heksadesimal dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : 3409/16 = 213 sisa 110 = 116 LSB 213/16 = 13 sisa 510 =516 13/16 = 0 sisa 1310 =D16 MSB Sehingga, 340910 = D5116 a. Konversi Bilangan Biner ke Heksadesimal Untuk mengkonversi bilangan biner ke bilangan heksadesimal dengan cara mengelompokan 4 digit bilangan biner dari posisi LSB sampai ke MSB. Contoh : konversikan 101100112 ke bilangan heksadesimal Jawab : 1011 B 0011 3 Jadi, 101100112 = B316 b. Konversi Bilangan Heksidesimal ke Biner Sebaliknya untuk mengkonversi bilangan heksadesimal ke biner yang harus dilakukan adalah terjemahkan setiap digit bilangan heksadesimal ke 4 digit bilangan biner. Contoh : konversikan B316 ke bilangan biner Jawab : B 3 1011 0011 Jadi, B316 = 101100112 1.4 Bilangan Biner Pecahan Dalam sistem bilangan desimal, bilangan pecahan disajikan dengan menggunakan titik desimal. Digit-digit yang berada di sebelah kiri titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin besar, dan digit-digit yang berada di sebelah kanan titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin kecil. Sehingga, 0.12 = 2-1 = 1/2 dan 0.012 = 2-2 =1/4 Sebagai contoh : 0.1112 = ½ + ¼ + 1/8 = 0.5 + 0.25 + 0.125 = 0.87510 Jadi, 0.1112 = 0.87510 101.1012 = 4 + 0 + 1 + ½ + 0 + 1/8 = 5 + 0.625 = 5.62510 Jadi, 101.1012 = 5.62510 Pengubahan bilangan pecahan dari desimal ke biner dapat dilakukan dengan cara mengalikan bagian pecahan dari bilangan desimal tersebut dengan 2, bagian bulat dari hasil perkalian merupakan pecahan dalam bit biner. Proses perkalian diteruskan pada sisa sebelumnya sampai hasil perkalian sama dengan 1 atau sampai ketelitian yang diinginkan. Bit biner pertama yang diperoleh merupakan MSB dari bilangan pecahan. Sebagai contoh, untuk mengubah 0.62510 menjadi bilangan biner dapat dilaksanakan dengan : 0.625 x 2 = 1.25 bagian bulat = 1 (MSB), sisa 0.25 0.25 x 2 = 0.5 bagian bulat = 0, sisa 0.5 0.5 x 2 = 1.0 bagian bulat = 1 (LSB), tanpa sisa Sehingga, 0.62510 = 0.1012 1.5 Sandi BCD (Binary Coded Decimal) Mengubah bilangan biner yang panjang-panjang ke dalam bilangan desimal akan menyita waktu. Dengan menerapkan sandi BCD pekerjaan akan sangat mudah. BCD adalah desimal yang disandikan ke dalam biner. Setiap angka desimal dari 0 s/d 9 disandikan dalam satu aksara yang terdiri dari 4 bit. Bobotnya tempat bit adalah 8, 4, 2, 1, maka sandi ini dinamai BCD 8421. Lihat tabel berikut : Tabel 1.1 Sandi BCD Desimal BCD Desimal BCD 0 0000 5 0101 1 0001 6 0110 2 0010 7 0111 3 0011 8 1000 4 0100 9 1001 a. Konversi BCD ke Biner Contoh : 100000011BCD = ......2 Ada tiga langkah : 1) Dibagi ke dalam kelompok empat bit : 0001 0000 0011 2) Ubah ke dalam desimal : 0001 0000 0011 1 0 3 3) Ubah ke biner : 10310 = 11001112 Sehingga bilangan 100000011BCD = 11001112 b. Konversi Biner ke BCD Contoh : 100010102 = ..........BCD Ada 2 langkah pengerjaan : 1) 1x27 + 1x23 + 1x21 = 138 2) 1 3 8 0001 0011 1000 Sehingga 100010102 = 0001 0011 1000 BCD 1.6 Sandi Excess-3 (XS-3) Lihat tabel di bawah ini. Bila dari tabel ini dibuang tiga bilangan biner teratas dan juga bilangan biner paling bawah, maka kita peroleh 10 bilangan yang nilai binernya selalu tiga lebih tinggi dari nilai desimal. Sandi tersebut dinamakan sandi excess-3 (3lebih). Tabel 1.2 Sandi Excess-3 Desimal Express-3 Desimal Express-3 0 0011 5 1000 1 0100 6 1001 2 0101 7 1010 3 0110 8 1011 4 0111 9 1100 a. Konversi Desimal ke Excess-3 Contoh : ubahlah 6410 ke dalam excess-3 Jawab : 6 4 3+ 3 + 9 7 1001 0111 diubah ke biner Maka 6410 = 1001 0111xs-3 b. Konversi Excess-3 ke Desimal Contoh : ubahlah 10001100xs-3 =...........10 Jawab : 1000 1100 0011 - 0011 - dikurangi dengan 0011 = 3 0101 1001 bilangan BCD 5 9 Maka 10001100xs-3 = 5910 1.7 Sandi Gray Sandi Gray adalah sandi tak berbobot dan sangat berguna bagi piranti masukan/keluaran, pengubah analog ke digital serta peralatan-peralatan bantu lainnya. a. Konversi Biner ke Gray Contoh : 11002 = ............gray 1) 1 1 0 0 angka gray pertama = angka biner yang pertama 1 2) 1 1 0 0 kemudian tambahkan 2 bit pertama bilangan biner dengan mengabaikan bawaan, hasinya merupakan angka yang berikutnya 1 0 3) 1 1 0 0 kemudian tambahkan 2 bit berikutnya. 1 0 1 0 maka bilangan 11002 = 1010gray Tabel 1.3 Sandi Gray Desimal Biner Gray Desimal Biner Gray 0 0000 0000 8 1000 1100 1 0001 0001 9 1001 1101 2 0010 0011 10 1010 1111 3 0011 0010 11 1011 1110 4 0100 0110 12 1100 1010 5 0101 0111 13 1101 1011 6 0110 0101 14 1110 1001 7 0111 0100 15 1111 1000 b. Konversi Gray ke Biner Contoh : 101110101gray = .........2 1 ------ angka pertama tetap sama Kemudian tambahkan secara diagonal sebagai berikut : 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 Maka, 101110101gray = 1101001102 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silahkan Anda mengerjakan latihan berikut ini ! 1) Coba anda jelaskan konsep dasar sistem bilangan binary ! 2) Sebutkan macam-macam sistem bilangan dan jelaskan ! 3) Ubahlah bilangan biner berikut ini menjadi bilangan desimal ! (a) 110(2) (b) 101101(2) 4) Ubahlah bilangan oktal berikut ini menjadi bilangan heksadesimal ! (a) 70026(8) (b) 324(8) 5) Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bilangan BCD8421 ! (a) 59(10) (b) 843(10) Petunjuk Jawaban Latihan Jika Anda menemui kesulitan dalam menjawab soal latihan tersebut di atas, gunakanlah petunjuk berikut ini ! 1) Anda ceritakan definisi dari sistem bilangan itu sendiri, kemudian jelaskan konsep sistem bilangan binary. 2) Anda harus menyebutkan terlebih dahulu macam-macam sistem bilangan, setelah itu jelaskan sistem bilangan tersebut satu persatu. 3) Untuk mengubah bilangan biner ke bilangan desimal dengan menngunakan konversi radiks-r ke desimal. 4) Untuk megubah bilangan oktal ke heksadesimal terlebih dahulu konversikan ke bilangan biner, setelah itu konversikan kembali ke bilangan heksadesimal. 5) Untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan BCD8421 setiap bilangan desimal diubah dengan sandi BCD8421 dimulai dari MSB. RANGKUMAN Sistem bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran suatu item fisik. Logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai untuk mewakili suatu besaran nilai. Sistem bilangan terdiri dari beberapa jenis, antara lain : a. Sistem bilangan desimal b. Sistem bilangan biner c. Sistem bilangan oktal d. Sistem bilangan heksadesimal e. Sandi Binary Coded Decimal (BCD 8421) f. Sandi Excess-3 (XS-3) g. Sandi Gray TES FORMATIF 1 Pilih salah satu jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang disediakan ! 1. Sistem bilangan yang memiliki radix/basis enam belas (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...,F) adalah … A. Biner B. Oktal C. Desimal D. Heksadesimal 2. Anggota bilangan oktal adalah ... A. 0,1 B. 0,1,2,3,4,5,6,7 C. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 D. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 3. Hasil konversi bilangan (118)10 = ( ... )2 adalah ... A. (01110110)2 C. (11100110)2 B. (00110110)2 D. (10100110)2 4. Hasil konversi bilangan (1110010)2 = ( ... )8 adalah ... A. (724)8 C. (356)8 B. (162)8 D. (443)8 5. Bilangan oktal yang berharga sama dengan bilangan heksadesimal 91A adalah ... A. (4432)8 C. (4321)8 B. (1234)8 D. (4444)8 6. Bilangan heksadesimal yang berharga sama dengan bilangan oktal 62750 adalah ... A. (65E8)16 C. (658E)16 B. (56E8)16 D. (568E)16 7. Bilangan biner 100,01 dikonversi ke bilangan desimal adalah ... A. (4,75)10 C. (4,25)10 B. (4,50)10 D. (5,25)10 8. Bilangan desimal 3,375 dikonversi ke bilangan biner adalah ... A. (11,011)2 C. (11,110)2 B. (11,101)2 D. (11,100)2 9. Hasil konversi bilangan (1001 0101 0011) BCD8421 = ( ... )10 adalah ... A. (359)10 C. (953)10 B. (935)10 D. (593)10 10. Hasil konversi bilangan (1001 0111)xs-3 = ( ... )10 adalah ... A. (46)10 C. (97)10 B. (64)10 D. (79)10 Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. = Arti tingkat penguasaan yang Anda capai 90 – 100 % = baik sekali 80 – 89 % = baik 70 – 79 % = cukup < 70 % 100 %. : = kurang Bila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar selanjutnya. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih dibawah 80% , Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai. Kegiatan Belajar 2 Aritmatika Biner 1.8 Penjumlahan Biner Penjumlahan biner serupa dengan penjumlahan pada bilangan desimal. Dua bilangan yang akan dijumlahkan disusun secara vertikal dan digi-digit yang mempunyai signifikasi sama ditempatkan pada kolom yang sama. Digit-digit ini kemudian dijumlahkan dan jika dijumlahkan lebih besar dari bilangan basisnya ( 10 untuk desimal dan 2 untuk biner ), maka akan ada bilangan yang disimpan. Bilangan yang disimpan ini kemudian dijumlahkan dengan digit di sebelah kirinya, dan seterusnya. Dalam penjumlahan biner, penyimpanan akan terjadi jika jumlah dari dua digit yang dijumlahkan adalah 2. Operasi ilmu hitung dengan bilangan biner juga mengikuti aturan yang berlaku untuk bilangan desimal, bahkan lebih sederhana karena angka-angkanya yang terlibat hanyalah 0 dan 1. Untuk mendapatkan aturan penambahan dalam bilangan biner perlu dibahas empat kasus sederhana berikut : 1. Bila kosong ditambah kosong, hasilnya adalah kosong. Perwakilan biner dalam hal ini adalah 0 + 0 = 0. 2. Bila kosong ditambah dengan 1 maka hasilnya adalah 1. Dengan bilangan biner dapat dituliskan sebagai 0 + 1 =1. 3. Bila 1 ditambahkan dengan kosong, hasilnya 1. Setara biner untuk ini adalah 1 + 0 = 1. 4. Bila 1 ditambahkan dengan 1, hasilnya adalah 2. Dengan menggunakan bilangan biner, hal itu diwakili oleh 1 + 1 = 10. Jadi keempat kasus di atas dapat disimpulkan sebagai berikut : 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 10 ( 0 dengan simpanan 1 ) Untuk menjumlahkan bilangan yang lebih besar, simpanan untuk kolom dengan urutan yang lebih tinggi dilakukan seperti hanya dengan bilangan desimal biasa. Contoh : Jumlahkan bilangan biner 101 dengan 110. Jawab : 101 110 + 1011 Kolom pertama :1+0=1 Kolom kedua : 0 + 1 = 1 Kolom ketiga : 1 + 1 = 10 ( 0 dengan simpanan 1 ) Tabel 1.4 menunjukkan perbandingan antara penjumlahan pada sistem bilangan desinal dan sistem bilangan biner, yaitu 82310 + 33810 dan 110012 + 110112. Tabel 1.4 Penjumlahan a. Penjumlahan Desimal 103 (1000) Simpan (carry) Jumlah 102 (100) 8 3 1 1 101 (10) 2 3 1 6 1 100 (1) 3 8 1 b. Penjumlahan Biner 25 32 Simpan (carry) Jumlah 23 8 1 1 22 4 0 0 1 21 2 0 1 1 20 1 1 1 1 24 16 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1.9 Pengurangan Biner Pada bagian ini hanya akan ditinjau pengurangan bilangan biner yang memberikan nilai positif. Dalam hal ini, metode yang digunakan adalah sama dengan metode yang digunakan untuk pengurangan pada bilangan desimal. Dalam pengurangan bilangan biner jika perlu dipinjam 1 dari kolom di sebelah kirinya, yaitu kolom yang menpunyai derajat lebih tinggi. Untuk mengurangkan bilangan biner, ditinjau terlebih dahulu empat kasus berikut : 0–0=0 1–0=1 1–1=0 10 – 1 = 1 Hasil terakhir itu mewakili 2 – 1 = 1. Dalam operasi pengurangan tersebut, seperti halnya dengan pengurangan desimal, dilakukan kolom demi kolom. Bila perlu dilakukan peminjaman dari kolom dengan urutan yang lebih tinggi. Contoh : Hitunglah 110 dikurangi dengan 101. Jawab : 110 101 – 001 Kolom pertama : 10 – 1 = 1 (setelah meminjam) Kolom kedua : 0 – 0 = 0 (setelah dipinjamkan) Kolom ketiga :1–1=0 1.10 Perkalian Biner Perkalian pada bilangan biner mempunyai aturan sebagai berikut : 0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1 Perkalian bilangan biner dapat dilakukan seperti pada perkalian bilangan desimal. Sebagai contoh, untuk mengalikan 11102 = 1410 dengan 11012 = 1310 langkah-langkah yang harus ditempuh adalah : Biner Desimal 1110 14 1101 13 --------x ----x 1110 42 0000 14 1110 1110 ---------------+ -------+ 10110110 182 Perkalian juga bisa dilakukan dengan menambahkan bilangan yang dikalikan ke bilangan itu sendiri sebanyak bilangan pengali. Contoh di atas, hasilnya akan sama dengan jika kita menambahkan 1112 ke bilangan itu sendiri sebanyak 1101 atau 13 kali. 1.11 Pembagian Biner Pembagian pada sistem bilangan biner dapat dilakukan sama seperti contoh pembagian sistem bilangan desimal. Ada 2 contoh pembagian biner. Contoh 1: 11 10 110 10 10 10 00 Contoh 2 : Hasil 101 ---------------- 1001 / 110011 / 1001 ------------------ 001111 1001 -----------sisa 110 Sehingga hasilnya adalah 1012 dan sisa pembagian adalah 1102 Pembagian bisa juga dilakukan dengan cara menjumlahkan secara berulang kali dengan bilangan pembagi dengan bilangan itu sendiri sampai jumlahnya sama dengan bilangan yang dibagi atau setelah sisa pembagian yang diperoleh lebih kecil dari bilangan pembagi. 1.12 Bilangan Biner Bertanda Sejauh ini kita hanya melihat bilangan biner positif atau bilangan biner tak bertanda. Sebagai contoh bilangan biner 8-bit dapat mempunyai nilai antara 0000 00002 = 0010 dan 1111 11112 = 25510 yang semuanya bermilai positif, tanda ‘-‘ diletakkan di sebelah kiri bilangan desimal, misalnya –2510. Dalam sistem bilangan biner, tanda bilangan (yaitu negatif) juga disandikan dengan cara tertentu yang mudah dikenal dengan sistem digital. Untuk menyatakan bilangan negatif pada bilangan biner, bit yang dikenal dengan bit tanda bilangan (sign bit) ditambah di sebelah kiri MSB. Bilangan biner yang ditulis dengan cara di atas menunjukkan tanda dan besarnya bilangan. Jika bit tanda ditulis 0, maka bilangan tersebut positif, dan jika ditulis 1, bilangan tersebut adalah bilangan negatif. Pada bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8-bit, bit yang paling kiri menunjukkkan besarnya. Perhatikan contoh berikut : No Bit 7 6 5 4 3 2 1 Bit 26 25 24 23 22 21 20 (64) (32) (16) tanda (8) Maka, 0110 0111 = +(64+32+4+2+1) = +10310 1101 0101 = -(64+16+4+2) = - 8510 (4) (2) 0 1 1001 0001 = -(16 + 1) = -1910 0111 1111 = +(64+32+16+8+4+2+1) = +12710 1111 1111 = -(64+32+16+8+4+2+1) = - 12710 1000 0000 = -0 = 0 0000 0000 = +0 = 0 Dari contoh diatas dapat dilihat, bahwa hanya karena tujuh bit yang menunjukkan besarnya , maka bilangan terkecil dan terbesar yang ditunjukan bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8-bit adalah : [1]111 11112 = - 12710 dan [0]111 11112 = + 12710 dengan bit dalam kurung menunjukkan bit tanda bilangan. Secara umum, bilangan biner tak bertanda yang terdiri dari n-bit mempunyai nilai maksimum M = 2n – 1. Sementara itu, untuk bilangan bertanda yang terdiri dari n-bit mempunyai nilai maksimum M = 2n-1 – 1. Sehingga, untuk register 8-bit di dalam mikroprosesor yang menggunakan sistem bilangan bertanda, nilai terbesar yang bisa disimpan dalam register tersebut adalah : M = 2(n-1) – 1 = 2(8-1) – 1 = 27 – 1 = 12810 – 1 = 12710 sehingga mempunyai jangkauan – 12710 sampai +12710. 1.13 Komplemen R Dalam sistem digital, komplemen digunakan untuk memudahkan operasi pengurangan dan untuk manipulasi logika. Ada dua macam komplemen untuk setiap sistem bilangan dengan radiks R yaitu komplemen–R dan komplemen–(R-1). Bila nilai radiks itu diberikan, kedua jenis komplemen itu mempunyai nama yang sesuai dengan nilai hasilnya yaitu komplemen-10 dan komplemen-9 untuk bilangan desimal, komplemen-2 dan komplemen-1 untuk sistem biner. Komplemen-R untuk suatu bilangan nyata positif-N dengan radiks R dan bagian bulatnya terdiri atas n angka, didefinisikan sebagai : Rn – N untuk N ≠ 1 0 untuk N = 0 Komplemen-10 untuk 4321010 adalah 105 – 43210 = 56790 Karena banyaknya angka tersebut adalah n = 5. Komplemen-10 untuk 0.09810 adalah 100 – 0.098 = 0.092. Dalam hal ini bilangan itu tidak mempunyai bilangat bulat sehingga n = 0. Komplemen-10 untuk 765.4310 adalah 103 – 765.43 = 234.57 Komplemen-2 untuk 11001102 adalah 2107 – 11001102 = 100000002 – 11001102 = 00110102. Komplemen-2 untuk 0.10102 adalah 1 - 0.10102 = 0.01102 Dari definisi dan uraian di atas, jelas bahwa komplemen-10 untuk bilangan desimal dapat dibentuk dengan membiarkan semua 0 pada kedudukan yang terendah tidak berubah, mengurangkan semau angka pada kedudukan yang lebih tinggi lainnya dari 9. Komplemen-2 dapat dibentuk dengan membiarkan semua nol pada LSB dan 1 yang pertama dari kanan tidak berubah dan kemudian mengubah semua 1yang lain menjadi 0 dan semua 0 yang lain menjadi 1. Cara pengurangan langsung yang diajarkan di sekolah dasar adalah dengan menggunakan konsep pinjaman. Dalam cara itu, bila pada salah satu kolom nilai yang dikurangi lebih besar daripada yang mengurangi, dipinjam sevuah 1 dari kolom dengan kedudukan yang lebih tinggi. Hal yang demikian itu sangat mudah bila dikerjakan di atas kertas. Bila cara pengurangan itu dilakukan dengan pertolongan rangkaian logika, cara itu ternyata kurang efisien. Metode pengurangan dengan memanfaatkan komplemen dan penjumlahan lebih sesuai untuk dikerjakan dengan rangkaian logika. Pengurangan dua bilangan positif (M - N), dan keduanya mempunyai radiks R yang sama, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut : 1. Tambahkan bilangan yang dikurangi, M, ke komplemen-R dari bilangan yang mengurangi, N. 2. Periksa hasil penjumlahan yang diperoleh dalam langkah 1 itu. a. Jika hasilnya mempunyai simpanan akhir, abaikan simpanan akhir itu. b. Jika hasilnya tidak mempunyai simpanan akhir, cari komplemen-R untuk bilangan yang diperoleh dalam langkah 1 dan berikan tanda negatif depannya. 1.14 Komplemen R – 1 Untuk suatu bilangan positif N dengan radiks R dan bagian bulatnya terdiri dari n angka serta bagian pecahannya m angka, komplemen–(R – 1) untuk N didefinisikan sebagai Rn – Rm – N Komplemen-9 untuk 4321010 adalah 105 – 100 – 43210 = 99999 – 43210 = 56789. dalam hal ini bilangan tersebut tidak mempunyai bagian pecah sehingga m = 0. Komplemen-9 untuk 0.987610 adalah 100 – 10-4 – 0.9876 = 0.9999 – 0.9876 = 0.0123. Di sini bilangan itu tidak mempunyai bagian bulat sehingga n = 0. Komplemen-9 untuk 23.45610 adalah 102 – 10-3 – 23.456 = 99.999 – 23.456 = 76.543. Komplemen-1 untuk 1011002 adalah 2106 – 2100 – 1011002 = 1111112 – 1011002 = 0100112 Komplemen-1 untuk 0.01102 adalah 2100 – 210-3 – 0.01102 = 0.11112 – 0.01102 = 0.10012 Dari urutan di atas tampak bahwa komplemen-9 suatu bilangan desimal dapat diperoleh dengan mengurangkan semua angkanya dari 9. komplemen-1 suatu bilangan biner bahkan lebih sederhana; semua angka 1 diubah menjadi 0 dan semua 0 menjadi 1. Karena komplemen-(R – 1) itu lebih mudah untuk didapatkan, komplemen inilah yang umum dipakai. Dari definisi dan pembandingan hasil yang diperoleh dari contoh tersebut, tampak bahwa komplemen-R dapat diperoleh dari komplemen-(R – 1) setelah penambahan R-m ke angka yang paling kurang berarti. Misalnya komplemen-2 untuk 10110100 didapatkan dari komplemen-1 sebagai 01001100. Perlu diperhatikan bahwa komplemen dari suatu komplemen akan mengembalikan bilangan itu ke nilai aslinya. Komplemen-R untuk N adalah Rn – N dan komplemen-R untuk (Rn – N) adalah Rn – (Rn – N) yang sama dengan N. Hal yang sama dapat diperoleh untuk komplemen-(R – 1). Adapun cara menunjukkan komplemen R sebagai berikut : Salah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen satu atau komplemen radiks. Pertama-tama kita bahas komplemen di dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan disebut dengan komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen di dalam system biner disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua). Sekarang yang paling penting adalah menanamkan prinsip ini: "Komplemen sembilan dari bilangan desimal diperoleh dengan mengurangkan masingmasing digit desimal tersebut ke bilangan 9, sedangkan komplemen sepuluh adalah komplemen sembilan ditambah 1" Lihat contoh nyatanya! Bilangan Desimal 123 651 914 Komplemen Sembilan 876 348 085 Komplemen Sepuluh 877 349 086 --> ditambah dengan 1! Perhatikan hubungan diantara bilangan dan komplemennya adalah simetris. Jadi, dengan memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari 123 adalah 876 dengan simple menjadikan jumlahnya = 9 ( 1+8=9, 2+7=9 , 3+6=9 )! Sementara komplemen 10 didapat dengan menambahkan 1 pada komplemen 9, berarti 876+1=877! Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh! 893 893 321 678 (komp. 9) ---- - ---- + 572 1571 893 679 (komp. 10) ---- + 1572 1 ---- + 572 --> angka 1 dihilangkan! Analogi yang bisa diambil dari perhitungan komplemen di atas adalah, komplemen satu dari bilangan biner diperoleh dengan jalan mengurangkan masingmasing digit biner tersebut ke bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah masing-masing 0 menjadi 1 atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0. Sedangkan komplemen dua adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh .! Bilangan Biner 110011 101010 011100 Komplemen Satu 001100 010101 100011 Komplemen Dua 001101 010110 100100 Pengurangan biner 110001 - 1010 akan kita telaah pada contoh di bawah ini! 110001 110001 110001 001010 110101 110110 --------- - --------- + --------- + 100111 100111 1100111 ---------> dihilangkan! Alasan teoritis mengapa cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan memperhatikan sebuah speedometer mobil/motor dengan empat digit sedang membaca nol! LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silahkan Anda mengerjakan latihan berikut ini ! 1) Lakukanlah penjumlahan bilangan biner berikut ini : (a) 101 + 110 (b) 1010 + 1101 2) Lakukanlah pengurangan bilangan biner berikut ini : (a) 11011 – 01101 (b) 1111 – 0101 3) Kalikanlah 11102 dengan 11012 ! 4) Bagilah 1100112 dengan 10012 5) Berapakah komplemen-2 dari 1010112 dan 0.10112 ? Petunjuk Jawaban Latihan Jika Anda menemui kesulitan dalam menjawab soal latihan tersebut gunakanlah petunjuk berikut ini ! 1) Jumlahkan kolom pertama atau paling belakang lalu lanjutkan ke kolom berikutnya dan perhatikan apakah hasilnya memiliki simpanan atau tidak. 2) Untuk operasi pengurangan sama saja dengan pengurangan desimal biasa. Apabila diperlukan peminjaman 1 maka diambil dari kolom sebelah kiri atau yang mempunyai derajat lebih tinggi. 3) Perkalian bilangan biner sama saja dengan perkalian bilangan desimal biasa namun menggunakan 2 digit angka yaitu 0 dan 1. 4) Untuk operasi pembagian bilangan biner sama saja dengan pembagian desimal biasa. 5) Pergunakanlah persamaan Rn – N untuk N ≠ 1. RANGKUMAN Operasi-operasi aritmatika pada bilangan biner meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada prinsipnya, operasi aritmatika pada bilangan biner sama saja dengan operasi aritmatika pada bilangan desimal namun pada bilangan biner menggunakan 2 digit angka yaitu 1 dan 0. Dalam sistem digital, komplemen digunakan untuk memudahkan operasi pengurangan dan untuk manipulasi logika. Ada dua macam komplemen untuk setiap sistem bilangan dengan radiks R yaitu komplemen–R dan komplemen–(R-1). Bila nilai radiks itu diberikan, kedua jenis komplemen itu mempunyai nama yang sesuai dengan nilai hasilnya yaitu komplemen-10 dan komplemen-9 untuk bilangan desimal, komplemen-1 dan komplemen-0 untuk sistem biner. TES FORMATIF 2 Pilih salah satu jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang disediakan ! 1) Hasil dari 10112 + 10102 adalah ... A. 101012 C. 100112 B. 101112 D. 101102 2) Hasil dari 11112 – 01012 adalah ... A. 10012 C. 10112 B. 10102 D. 11002 3) Hasil dari 11012 x 10112 adalah ... A. 101011112 C. 100011112 B. 110001112 D. 110101112 4) Hasil dari 1100112 : 10012 adalah ... A. 1102 sisa 1012 C. 1102 sisa 1002 B. 1012 sisa 1002 D. 1012 sisa 1102 5) Nilai jangkauan terkecil dari 11001102 adalah ... A. – 3810 C. – 10210 B. + 3810 D. + 10210 6) Komplemen-2 untuk 101012 adalah ... A. 001112 C. 010112 B. 010012 D. 010102 7) Komplemen-1 untuk 0.01102 adalah ... A. 0.11002 C. 0.10102 B. 0.10012 D. 0.11102 8) Komplemen-9 untuk 267810 adalah ... A. 1237 C. 7123 B. 2237 D. 7322 9) Hasil dari 100100112 – 010010112 adalah ... A. 100010002 C. 101010102 B. 110011002 D. 111000112 10) Nilai jangkauan terbesar dari 01011102 adalah ... A. + 10210 C. + 6410 B. – 6410 D. – 4610 Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. = Arti tingkat penguasaan yang Anda capai 90 – 100 % = baik sekali 80 – 89 % = baik 70 – 79 % = cukup < 70 % 100 %. : = kurang Bila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar selanjutnya. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih dibawah 80% , Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum Anda kuasai. KUNCI JAWABAN TES FORMATIF TES FORMATIF 1 1) D Heksadesimal 2) B 0,1,2,3,4,5,6,7 3) A (01110110)2 4) B (162)8 5) A (4432)8 6) A (65E8)16 7) C (4,25)10 8) A (11,011)2 9) C (953)10 10) B (64)10 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 2 1) A 101012 2) B 10102 3) C 100011112 4) D 1012 sisa 1102 5) A - 3810 6) C 010112 7) B 0.10012 8) D 7321 9) A 100010002 10) D + 4610 27 DAFTAR PUSTAKA Ibrahim, KF, Teknik Digital, Andi Offset, Yogyakarta, 1996 Malvino dkk., Prinsip prinsip dan Penerapan Digital,Erlangga, Jakarta,, 1994 Purnomo, Sigit. 2001. Dasar Digital. Yogyakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Tim Fakultas Teknik Universitas Negeri Yogyakarta. 2001. Dasar Digital. Direktorat Pendidikan Menengah Kejuruan Departemen Pendidikan Nasional 28
