Membantu siswa. Salah satu yang paling penting tugas guru adalah untuk membantu murid-muridnya. Tugas ini adalah nor'quite mudah; menuntut waktu, praktek, pengabdian, dan prinsip-prinsip yang sehat. Siswa harus memperoleh banyak pengalaman karya mandiri mungkin. Tetapi jika ia ditinggal sendirian dengan masalah tanpa heIp apapun atau dengan bantuan insugcient, ia dapat membuat tidak ada perkembangan sama sekali. Jika guru membantu terlalu banyak, tidak ada yang tersisa untuk siswa. Guru harus Bantuan, tetapi tidak terlalu banyak dan tidak terlalu sedikit, sehingga mahasiswa akan memiliki reasonabk saham dari pekerjaan. Jika mahasiswa tidak mampu berbuat banyak, guru harus meninggalkannya setidaknya beberapa ilusi independen bekerja. Untuk melakukannya, guru shouId bantuan mahasiswa diam-diam, diam-diam. Yang terbaik adalah, bagaimanapun, untuk membantu siswa secara alami. Guru harus menempatkan dirinya di tempat siswa, ia harus melihat kasus siswa, ia harus mencoba untuk memahami apa yang terjadi di pikiran siswa, dan mengajukan pertanyaan atau menunjukkan langkah yang bisa h w terpikir mahasiswa sendiri. 2. Pertanyaan, rekomendasi, operasi mental. Mencoba untuk membantu siswa secara efektif tetapi unobtrusiveIy dan tentu saja, guru dipimpin untuk menanyakan pertanyaan yang sama dan untuk menunjukkan langkah yang sama lagi dan lagi. Dengan demikian, pada masalah yang tak terhitung jumlahnya, kita harus mengajukan pertanyaan: apa 1 in Clnssroom j.Teacher dan mahasiswa. Imitasi dan praktek Apakah yang tidak diketahui? Kita mungkin Variasikan kata-kata, dan meminta t h e hal yang sama dalam banyak cara yang berbeda: apa saja diperlukan? Apa yang Anda ingin menemukan? Whnt Apakah Anda seharusnya mencari? Tujuan dari pertanyaan ini adalah untuk fokus siswa perhatian pada unk ~ surat hutang ~ n. Kadang-kadang, kita memperoleh effectmore sama alami rz.ith saran: Lihatlah tidak diketahui! Saran dan pertanyaan bertujuan t yang sama Efek; mereka cenderung memprovokasi operasi mental yang sama. Tampaknya penulis yang mungkin bernilai sementara untuk Kumpulkan dan untuk grcup pertanyaan dan saran yang biasanya membantu dalam mendiskusikan masalah dengan siswa. Daftar kita mempelajari berisi pertanyaan dan saran seperti ini, dengan hati-hati dipilih dan diatur; mereka adalah sama berguna untuk pemecah masalah yang bekerja sendiri. Jika pembaca cukup berkenalan dengan daftar dan lihat, di belakang saran, tindakan yang disarankan, dia mungkin menyadari tlla t daftar membilang, tidak langsung, mentol operasi biasanya usefui untuk tllc solusi p?-obiews. Ini operasi tercantum dalam urutan di mana mereka paling mungkin terjadi. 3. keumuman saya s penting karakteristik pertanyaan dan saran yang terkandung dalam daftar kami. Mengambil pertanyaan: Ifhat rs yang tidak diketahui? Whnt Apakah data? TT'hut adalah kondisi? Qucstions ini adalah umumnya appliiable, kita dapat meminta mereka dengan efek baik berurusan dengan segala macam masalah. Penggunaan mereka bukanlah dibatasi LO setiap subjek-marter. Masalah kita mungkin aljabar atau geumetric, matematika atau nonmashematical, teoritis atau praktis, masalah yang serius atau hanya puzile: itu membuat tidak ada perbedaan, pertanyaan yang masuk akal dan mungkin membantu Kami memecahkan masalah. Ada pembatasan, pada kenyataannya, tetapi itu tidak ada hubungannya dengan subjek-bergumam. Pertanyaan dan saran dari daftar tertentu tersedia untuk "problems untuk find", bukan untuk "problems untuk membuktikan. " jika kita memiliki masalah kedua jenis, kita harus menggunakan pertanyaan yang berbeda; Lihat masalah UNTUK MENEMUKAN, PROBIXMS UNTUK MEMBUKTIKAN. 4. akal sehat. Pertanyaan dan saran Daftar kami umum, tapi, kecuali untuk keumuman mereka, mereka alami, sederhana dan jelas, dan melanjutkan dari plain akal sehat. Mengambil saran: Lihatlah diketahui! Dan goreng untuk memikirkan masalah akrab o memiliki yang sama atau serupa diketahui. Saran ini menyarankan Anda melakukan apa yang Anda akan lakukan, tanpa nasihat, jika Anda prihatin dengan prcbIem Anda. Apakah kalian merasa lapar? Anda ingin mendapatkan fwd dan Anda memikirkan cara-cara yang akrab untuk mendapatkan makanan. Apakah Anda masalah konstruksi geometris? Anda ingin membangun sebuah segitiga dan Anda memikirkan cara-cara yang akrab membangun sebuah segitiga. Punya masalah apapun? Anda ingin menemukan diketahui tertentu, dan Anda memikirkan akrab cara menemukan tak dikenal, atau tidak dikenal beberapa serupa. Jika Anda melakukannya Anda mengikuti persis saran kami dikutip dari daftar kami. Dan Anda di sebelah kanan melacak, juga; saran adalah satu yang baik, ia menyarankan kepada Anda prosedur yang sangat sering sukses Semua pertanyaan dan saran dari daftar kami adalah alami, sederhana, jelas, hanya polos akal; tapi mereka menyatakan polos akal sehat secara umum syarat. Mereka menyarankan perilaku tertentu yang datang naturaily untuk setiap orang yang serius prihatin dengan masalah dan memiliki beberapa akal sehat. Tetapi orang yang berperilaku dengan cara yang benar biasanya tidak peduli untuk mengekspresikan perilakunya jelas kata-kata dan, mungkin, ia tidak bisa diungkapkan begitu; Daftar kami mencoba untuk mengekspresikan itu begitu. 5. guru dan siswa. Imitasi dan praktek. Ada adalah dua tujuan yang guru mungkin telah di lihat ketika berbicara kepada murid-muridnya pertanyaan atau saran Daftar: pertama, untuk membantu siswa untuk memecahkan masalah di tangan. Kedua, untuk mengembangkan kemampuan siswa sehingga nlay ia memecahkan masalah masa depan sendiri. Pengalaman menunjukkan bahwa pertanyaan dan saran Daftar kami, tepat digunakan, sangat sering membantu mahasiswa. Mereka memiliki dua karakteristik umum, Umum rasa dan keumuman, mereka melanjutkan dari plain Umum rasa mereka sangat sering datang secara alami; mereka bisa memiliki terjadi kepada siswa sendiri. Secara umum, mereka membantu diam-diam: mereka hanya menunjukkan arah umum dan meninggalkan banyak bagi siswa untuk melakukan. Tetapi dua tujuan yang disebutkan sebelum berhubungan erat; Jika mahasiswa berhasil dalam memecahkan masalah tangan. ia menambahkan sedikit kemampuannya untuk memecahkan masalah. Kemudian, kita tidak boleh lupa bahwa pertanyaan kami umum, berlaku dalam banyak kasus. Jika pertanyaan yang sama berulang kali berguna, siswa akan hampir gagal untuk menyadari itu dan dia akan didorong untuk mengajukan pertanyaan sendiri dalam situasi yang sama. Mengajukan pertanyaan berulang kali, ia mungkin berhasil sekali memunculkan ide yang tepat. Oleh seperti sukses, ia menemukan cara yang benar menggunakan pertanyaan, dan kemudian ia benar-benar telah berasimilasi itu. Siswa dapat menyerap beberapa pertanyaan dari daftar kami jadi Yah bahwa ia akhirnya mampu menempatkan dirinya hak pertanyaan di saat yang tepat dan untuk melakukan operasi mental sesuai secara alami dan penuh semangat. Seorang mahasiswa pasti berasal kemungkinan terbesar keuntungan dari lisr kami. Apa yang bisa lakukan guru agar memperoleh hasil mungkin terbaik ini? Memecahkan masalah adalah keterampilan praktis seperti, mari kita berkata, renang. Kami memperoleh keterampilan praktis apapun oleh imitasi dan praktek. Anda mencoba untuk berenang, meniru apa lain yang dilakukan orang dengan tangan dan kaki untuk menjaga kepala mereka mereka di atas air, dan, akhirnya, Anda belajar berenang dengan berlatih renang. Ttying untuk memecahkan masalah, Anda harus mengamati dan untuk meniru apa yang orang lain lakukan ketika pemecahan masalah dan, akhirnya, yau belajar untuk melakukan masalah dengan melakukannya. Guru yang ingin mengembangkan hi$ siswa kemampuan untuk melakukan masalah harus menanamkan beberapa intawt untuk masalah ke dalam pikiran mereka dan memberikan banyak kesempatan untuk h itation dan praktek. Aku f wishm guru untuk mengembangkan pada murid-muridnya operasi mental yang sesuai untuk pertanyaan dan saran dari daftar kami, ia menempatkan ini pertanyaan dan saran kepada siswa sesering dia dapat melakukannya secara alami. Selain itu, ketika guru memecahkan probIem sebelum kelas, ia harus mendramatisasi ide-ide sedikit dan ia harus meletakkan dirinya sendiri pertanyaan yang sama yang ia gunakan ketika membantu siswa. Berkat seperti bimbingan, siswa akan akhirnya menemukan yang tepat menggunakan pertanyaan-pertanyaan dan saran, dan melakukannya ia akan mendapatkan sesuatu yang lebih penting daripada pengetahuan tentang fakta matematika tertentu. M A I N DIVISI, M A I N PERTANYAAN 6. empat tahap. Mencoba untuk menemukan solusi, kami dapat berulang kali mengubah pandangan mata kita, cara kita melihat masalah. Kita harus bergeser posisi kami lagi dan lagi. Konsepsi kita tentang masalah mungkin agak tidak lengkap ketika kita mulai pekerjaan; pandangan kita berbeda ketika kami telah membuat beberapa kemajuan; itu sekali lagi diEerent ketika kami hampir telah memperoleh solusi. Untuk kelompok ataupun pertanyaan dan saran dari kami lisr, kami _ahall membedakan empat tahapan karya. Pertama, kita harus memahami masalah; kami harus melihat dengan jelas apa saja diperlukan. Kedua, kita harus Lihat bagaimana berbagai item yang terhubung, bagaimana yang tidak diketahui terkait dengan data, untuk mendapatkan ide solusi, untuk membuat rencana. Ketiga, kita melaksanakan kami rencana. Keempat, kita melihat kembali pada solusi selesai, Kami meninjau dan membahasnya. Setiap fase-fase ini mempunyai kepentingannya. Itu mungkin terjadi pena yang seorang mahasiswa hits saat sangat cerah ide dan melompat semua persiapan blurts dengan solusi. Seperti ide-ide yang beruntung, tentu saja, adalah rnmt yang diinginkan, tetapi sesuatu yang sangat tidak diinginkan dan Malang hasil jika siswa meninggalkan keluar dari empat tahap tanpa ide yang baik. Yang terburuk yang dapat terjadi jika siswa embarks pada perhitungan atau csnstructions tanpa setelah mengerti masalahnya. Itu umumnya tidak berguna untuk di rincian tanpa melihat t h e koneksi utama, atau memiliki membuat semacam rencana. Banyak kesalahan dapat dihindari, menjalankan rencanaNya. siswa akan memeriksa setiap langkah. Beberapa efek terbaik yang mungkin akan hilang jika siswa gagal untuk menilai dan untuk mempertimbangkan kembali con ~ pletedsolution. -, 7. Masalah Understandingthe. Itu bodoh untuk menjawab memahami pertanyaan bahwa Anda melakukan nat. Memang sedih untuk bekerja untuk mengakhiri yang Anda tidak inginkan. Seperti bodoh dan sedih hal-hal yang sering terjadi, dalam dan memotong sekolah, tetapi guru harus mencoba untuk mencegah mereka terjadi di kelasnya. Siswa harus memahami masalah. Tapi dia seharusnya tidak hanya mengerti, dia juga harus keinginan yang solusi. Jika siswa kurang dalam pemahaman atau di bunga, hal ini tidak selalu kesalahannya sendiri; masalah harus dipilih dengan baik, tidak terlalu sulit dan tidak terlalu mudah, alam dan menarik, dan beberapa waktu harus diperbolehkan untuk presentasi alami dan menarik. Pertama-tama verbal pernyataan masalah harus dipahami. Guru dapat memeriksa ini, sampai batas tertentu; Dia meminta siswa untuk mengulangi pernyataan, dan shouid siswa mampu menatap masalah lancar. Siswa juga harus mampu menunjukkan Bagian utama dari masalah, yang tidak diketahui, data, kondisi. Oleh karena itu, tearl ~ ercan jarang mampu untuk melewatkan pertanyaan: t$ ' lzat adalah tltc, tidak diketahui? Whtri adalah d t adalah rondita'on? Siswa harus mempertimbangkan bagian kepala masalah dengan penuh perhatian, berulang kali, dan dari sisi rarious. Jika ada tokoh conr-tected dengan masalah ia sIrili11d Buatlah gambar dan menunjukkan di atasnya yang tidak diketahui dan data. Jika perlu untuk memberikan nama ini objek dia harus introdz ~ notasi cesuitnble; mencurahkan perhatian untuk pilihan yang tepat dari tandatanda, dia saya s wajib mempertimbangkan objek yang tanda-tanda harus dipilih. Ada pertanyaan lain yang mungkin u s e h l ini tahap persiapan disediakan bahwa kami tidak mengharapkan Jawaban definitif tetapi hanya jawaban yang sementara, menebak: Itu mungkin untuk memenuhi kondisi? (Dalam eksposisi dari bagian 11 [p. gg] "Understanding problem "terbagi menjadi dua tahap: "Getting acquainted "dan "Working untuk lebih memahami. ") 8. contoh. Mari kita menggambarkan beberapa poin yang dijelaskan di bagian atas. Kami mengambil berikut . masalah sederhana: menemukan diagonal dimensi persegi panjang yang panjang, lebar dan tinggi yang knou ~ n. Dalam rangka untuk membahas masalah ini menguntungkan, siswa harus akrab dengan teorema Pythagoras, dan dengan beberapa penerapannya dalam bidang geometri, tetapi mereka mungkin memiliki sedikit pengetahuan yang sistematik dalam geometri solid. Guru dapat mengandalkan di sini siswa unsophistica.ted keakraban dengan hubungan spasial. Guru dapat membuat masalah menarik oleh membuat beton. Kelas adalah dimensi persegi panjang dimensi yang dapat diukur, dan dapat diperkirakan; siswa harus menemukan, untuk "measure tidak langsung, "diagonal kelas. Guru poin keluar t h e panjang, lebar dan tinggi th lassroom, menunjukkan diagonal dengan sikap, dan pertanyaan menjadi Hotel sosok Nya, diambil di papan tulis, dengan merujuk ramai di peta karena berulang kali untuk kelas. Dialog - antara guru dan siswa mungkin mulai sebagai fdlows: "What adalah yang tidak diketahui? " "The panjang diagonal dimensi. " "What adalah data? " "The panjang, lebar dan tinggi dari dimensi. " "lniroducc cocok notasi. Surat yang harus menunjukkan t h e tidak diketahui? " RF J F X. "Which Ietters akan Anda memilih untuk panjang, lebar, dan tinggi? " 4( a, b, c. " "What adalah kondisi, menghubungkan, b, c, dan x? " "x adalah diagonal dimensi yang b, dan c yang panjang, lebar dan tinggi. " "Is itu masalah masuk akal? Maksudku, adalah kondisi sufzcient untuk menentukan unknownr "Yes, memang. Jika kita tahu, b, c, kita tahu dimensi. Jika ditentukan dimensi, diagonal ditentukan. " 9. merancangkan rencana. Kami memiliki rencana ketika kita tahu, atau tahu setidaknya dalam garis besar, perhitungan, camputations, atau konstruksi yang kita harus melakukan dalam rangka untuk mendapatkan yang tidak diketahui. Jalan dari pemahaman masalah untuk hamil rencana mungkin Iang dan berliku-liku. Pada kenyataannya, pencapaian utama dalam larutan prob lem adalah untuk memahami gagasan tentang rencana. Ide ini mungkin muncul secara bertahap. Atau, setelah rupanya gagal ujian dan periode ragu-ragu, hal ini dapat terjadi tiba-tiba, di Flash, sebagai ide "bright. " yang terbaik yang dapat dilakukan oleh teacha untuk siswa adalah untuk mendapatkan untuknya, oleh mencolok Bantuan, ide cemerlang. Pertanyaan dan saran kami akan membahas cenderung t ~ memprovokasi seperti ide. Untuk dapat melihat posisi siswa, guru harus memikirkan pengalamannya sendiri, kesulitan dan keberhasilan dalam memecahkan masalah. Kita tahu, ofcourse, sulit untuk memiliki gagasan yang baik Jika kita memiliki sedikit pengetahuan tentang subjek, dan tidak berubah untuk memilikinya jika kami tidak memiliki pengetahuan. Ide-ide yang baik berdasarkan pada pengalaman masa lalu dan pengetahuan yang diperoleh sebelumnya. Hanya mengingat bukanlah ide yang baik, tapi kami cukup lor tidak memiliki ide yang baik tanpa recollecting beberapa fakta-fakta yang terkait; bahan saja tidak cukup untuk membina sebuah rumah tetapi kita tidak bisa membangun rumah tanpa mengumpulkan bahan yang diperlukan. Bahan-bahan diperlukan untuk memecahkan masalah praktik mathema tertentu item yang relevan dari kami sebelumnya diperoleh matematika seperti sebelumnya diselesaikan masalah, atau sebelumnya terbukti teorema. Dengan demikian, hal ini sering sesuai untuk memulai bekerja dengan pertanyaan: Apakah Anda tahu terkait masalah? Difficultyis yang biasanya ada terlalu banyak masalah yang agak berkaitan dengan masalah kita sekarang, yang memiliki beberapa titik dengan itu. Bagaimana kita bisa memilih satu, atau sedikit, yang benar-benar berguna? Ada ini adalah saran yang menempatkan jari kita pada titik penting cornmon; Lihat u.nknown! Dan mencoba untuk berpikir tentang akrab prob Eem memiliki yang sama atau serupa diketahui. Jika kita berhasil mengingat masalah sebelumnya diselesaikan yang berhubungan erat dengan masalah kami hadir, kami beruntung. Kita harus mencoba untuk layak beruntung; kita mungkin layak mendapatkannya dengan memanfaatkan itu. Berikut adalah masalah yang berkaitan dengan Anda dan diselesaikan sebelum. Dapat Anda menggunakannya? Foregoingquestions, wcIl dipahami dan serius dianggap, sangat sering membantu untuk memulai kereta tepat ide-ide; tapi mereka tidak bisa selalu, mereka tidak bekerja sihir. Jika mereka tidak bekerja, kita harus melihat di sekitar untuk beberapa titik ofcontact lain sesuai, dan mengeksplorasi berbagai aspek dari masalah kita; kita harus berbeda-beda, untuk mengubah, untuk mengubah masalah. Anda bisa menyatakan kembali probtem? Beberapa pertanyaan dari daftar kami petunjuk spesifik berarti Masalahnya, sebagai generalisasi, spesialisasi, penggunaan bervariasi analogi, menjatuhkan bagian dari kondisi, dan seterusnya; The rincian penting tetapi kita tidak bisa pergi ke mereka sekarang. Variasi dari masalah yang dapat menyebabkan beberapa sesuai Bantu masalah: jika Anda tidak dapat menyelesaikan usulan masalah mencoba untuk soiue pertama beberapa masalah terkait. Mencoba menerapkan berbagai masalah yang dikenal atau teorema, mengingat berbagai modifikasi., bereksperimen dengan berbagai masalah tambahan, kita mungkin menyimpang begitu jauh dari kami asli masalah yang kita berada dalam bahaya kehilangan itu sama sekali. Namun ada pertanyaan yang bagus yang dapat membawa kita kembali: Apakah Anda menggunakan semua data? Apakah Anda menggunakan seluruh camdition? 10. contoh. Kita kembali ke contoh dipertimbangkan dalam Bagian 8. Ketika kami meninggalkan itu, siswa hanya berhasil memahami masalah dan menunjukkan beberapa bunga ringan di dalamnya. Mereka sekarang bisa memiliki beberapa ide-ide mereka sendiri, beberapa inisiatif. Jika guru, setelah menyaksikan tajam, tidak dapat mendeteksi tanda-tanda inisiatif tersebut ia harus melanjutkan hati-hati dalam dialognya dengan siswa. Dia harus siap untuk mengulangi dengan beberapa modifikasi pertanyaan yang siswa tidak menjawab. Dia harus siap sering bertemu dengan keheningan membingungkan siswa (yang akan ditunjukkan oleh titik.....). "Doyou tahu masalah terkait?'' ..... "Look di diketahui! Apakah Anda tahu probtem hawing yang tidak diketahui sama?' m *... "Well, apa yang saya s u ~ aknown? " "The diagonal dari dimensi. " "Do Anda tahu masalah dengan tidak diketahui sama? " "No. Kami tidak punya masalah belum tentang Diagonal dari dimensi. " "Do Anda tahu setiap firobiem dengan diketahui serupa? " . . Saya. . "You Lihat, diagonal adalah segmen, segmen garis lurus. Apakah Anda pernah memecahkan masalah yang diketahui adalah panjang garis? " "Of tentu saja, kami memiliki soIved masalah seperti itu. Misalnya, untuk menemukan sisi segitiga siku. " "Good! Inilah masalah yang berhubungan dengan Anda dan dipecahkan sebelum. Anda dapat menggunakan itu" . . *. "You sangat beruntung untuk mengingat prcblem yang adalah reIated untuk satu hadir Anda dan yang Anda memecahkan b GAMBAR 1 sebelum. Apakah Anda ingin menggunakannya? Bisa Anda memperkenalkan beberapa elemen bantu untuk membuat yang menggunakan possib let" ..... "LMK hwe, masalah yang Anda ingat adalah tentang segitiga. Apakah Anda segitiga apapun pada gambar Anda? " Mari kita berharap bahwa petunjuk terakhir adalah cukup jelas untuk memprovokasi ide dari solusi yang memperkenalkan kanan segitiga, (ditekankan dalam Fig. 1) yang diperlukan diagonal adalah sisi miring. Namun guru harus siap untuk t h e kasus yang bahkan petunjuk ini cukup eksplisit tidak mencukupi untuk mengguncang kelambanan siswa; dan jadi dia harus siap untuk menggunakan secara keseluruhan mulai dari petunjuk lebih eksplisit. "Would Anda ingin memiliki sebuah segitiga pada gambar? " "What semacam segitiga Anda ingin memiliki dalam gambar? " "You tidak dapat menemukan namun diagonal; Tapi Anda mengatakan bahwa Anda bisa menemukan sisi triangie. Sekarang, apa yang akan Anda lakukan? " "Could Anda menemukan diagonal, jika itu adalah sisi segitiga? " Ketika, akhirnya, dengan lebih atau kurang bantuan, siswa berhasil dalam irltroducing elemen bantu menentukan, kanan segitiga ditekankan dalam gambar 1, guru harus meyakinkan diri bahwa siswa melihat cukup jauh ke depan sebelum mendorong mereka untuk masuk ke dalam perhitungan aktual. "I berpikir bahwa itu adalah ide yang baik untuk menarik segitiga itu. Anda sekarang memiliki sebuah segitiga; Tapi apakah Anda diketahui? " "The tidak diketahui adalah sisi miring segitiga; kami dapat menghitung dengan ofPythagoras teorema. " "You bisa, jika kedua kakinya diketahui. tetapi mereka? " "One kaki diberikan, c. Dan yang lain, saya pikir, tidak sulit untuk menemukan. Ya, kaki lainnya adalah sisi miring dari lain segitiga siku. " "Very goodl sekarang saya melihat bahwa Anda memiliki rencana. " 11. melaksanakan rencana. Untuk menyusun rencana, untuk memahami gagasan tentang solusi ini tidak mudah. Dibutuhkan banyak untuk berhasil; sebelumnya mendapatkan pengetahuan, baik mental kebiasaan, konsentrasi pada tujuan, dan satu lagi hal: keberuntungan. Keluar di rencana jauh lebih mudah; apa yang kita butuhkan adalah terutama kesabaran. Rencana memberikan garis besar Umum; kita harus meyakinkan diri sendiri bahwa rincian masuk ke dalam garis besar, dan begitu kami harus memeriksa rincian satu demi satu, dengan sabar, sampai semuanya sangat jelas, dan tidak jelas sudut tetap di mana kesalahan boleh disembunyikan. Jika mahasiswa benar-benar telah disusun suatu rencana, guru memiliki sekarang waktu yang relatif tenang. Bahaya utama bahwa siswa lupa rencananya. Hal ini dapat dengan mudah terjadi Jika siswa menerima rencana-Nya dari luar, dan diterima pada otoritas guru; tetapi jika ia bekerja untuk itu sendiri, bahkan dengan beberapa membantu, dan dikandung akhir ide dengan kepuasan, ia tidak akan kehilangan ide ini dengan mudah. Namun guru harus insise bahwa siswa harus Periksa setiap langkah. Kita mungkin meyakinkan diri kita tentang kebenaran langkah dalam kami penalaran "intuitively baik" atau "formaIly." kami dapat berkonsentrasi pada titik dalam pertanyaan sampai kita melihat itu jelas dan jelas sehingga kita memiliki tidak diragukan lagi bahwa langkah benar; atau kita mungkin berasal berkenaan menurut formal xles. (Perbedaan antara "insight" dan "f?rm:,I proof" cukup jelas dalam banyak kasus-kasus yang penting; kita dapat meninggalkan lebih lanjut diskusi filsuf.) Titik utama adalah bahwa siswa harus jujur yakin akan kebenaran dari setiap langkah. Dalam kasus tertentu, guru dapat menekankan perbedaan antara "seeing"dan "proving": Con Anda melihat dengan jelas langkah yang benar? Tapi Anda juga dapat proue bahwa langkah adalah comect? 12. contoh. Mari kita melanjutkan pekerjaan kami di p saya n t mana kita meninggalkannya pada akhir bagian 10. Mahasiswa, di terakhir, telah mendapat ide dari solusi. Dia melihat hak segitiga yang tidak diketahui x adalah sisi miring dan c tinggi diberikan adalah salah satu kaki; kaki lainnya adalah Diagonal dari wajah. Siswa harus, mungkin, mendesak untuk memperkenalkan notasi cocok. Dia harus memilih y untuk menunjukkan kaki yang lain, diagonal wajah yang sisi berada dan b. Dengan demikian, dia mungkin akan melihat lebih jelas ide solusi yang adalah untuk memperkenalkan masalah bantu yang diketahui adalah y. Akhirnya, ruorking t segitiga kanan satu demi satu, ia dapat memperoleh (Lihat gambar 1) dan oleh karena itu, menghilangkan bantu y tidak diketahui, Guru tidak memiliki alasan untuk mengganggu mahasiswa jika ia membawa keluar rincian tersebut dengan benar kecuali, mungkin, untuk memperingatkan dia bahwa ia harus memeriksa setiap langkah. Dengan demikian, guru dapat meminta: "Can Anda melihat dengan jelas bahwa segitiga dengan sisi x, y, c kanan segitiga? " Pertanyaan ini siswa dapat menjawab benar-benar "Yes" tapi dia bisa menjadi banyak malu jika guru, tidak puas dengan keyakinan intuitif dari mahasiswa, harus pergi di bertanya: "But dapat Anda membuktikan bahwa segitiga ini adalah uiangle benar? " Dengan demikian, guru harus agak menekan pertanyaan ini kecuali kelas telah inisiasi baik di geome padat mencoba. Bahkan dalam kasus terakhir, ada beberapa bahaya yang jawaban untuk pertanyaan yang tak terduga dapat menjadi utama kesulitan untuk sebagian besar siswa. 13. melihat kembali. Siswa bahkan cukup baik, ketika mereka telah memperoleh solusi dari masalah dan ditulis rapi argumen, menutup buku-buku mereka dan melihat untuk sesuatu dse. Demikian, mereka kehilangan penting dan instruktif tahap pekerjaan. Dengan melihat kembali selesai solusi, dengan mempertimbangkan kembali dan reexi ~ pertambangan hasil dan jalan yang menuju ke sana, mereka bisa conaoli13. melihat kembali saya 5 tanggal pengetahuan dan mengembangkan kemampuan mereka untuk memecahkan masalah. Guru yang baik harus memahami dan mengesankan pada murid-muridnya pandangan bahwa tidak ada masalah apa pun benar-benar habis. Masih 2lways sesuatu untuk dilakukan; dengan cukup studi dan penetrasi, kita bisa meningkatkan solusi apapun, dan, dalam hal apapun, kita selalu dapat meningkatkan kami pemahaman solusi. Siswa memiliki sekarang dilakukan melalui rencana-Nya. Dia memiliki ditulis fajar solusi, memeriksa setiap langkah. Dengan demikian, ia harus memiliki alasan untuk percaya bahwa solusi nya benar. NevertheIess, kesalahan selalu mungkin, terutama Jika argumen saya s panjang dan terlibat. Oleh karena itu, verifikasi diinginkan. Terutama, jika ada beberapa prosedur cepat dan intuitif untuk menguji hasil atau argumen, tidak boleh overIooked. Anda dapat memeriksa hasil? Anda dapat memeriksa argumen? Untuk meyakinkan diri kita dari Hadirat atau kualitas dari sebuah objek, kita suka untuk melihat dan menyentuh. Dan seperti yang kita inginkan persepsi melalui dua berbeda Indra, jadi kami lebih suka convieion oleh dua bukti yang berbeda: dapat Anda memperoleh hasil diflerently? Kami memilih, tentu saja, pendek dan intuitif argumen yang panjang dan berat satu: Anda dapat melihatnya sekilas? Salah satu tugas pertama dan terpenting dalam£ guru bukan untuk murid-muridnya memberikan kesan bahwa matematika masalah memiliki sedikit hubungan dengan satu sama lain, dan tidak koneksi di semua w-engan apa pun. Kami memiliki alami kesempatan untuk menyelidiki hubungan masalah ketika melihat kembali solusi. Siswa akan menemukan melihat kembali pada solusi reaIly menarik jika mereka telah membuat usaha yang jujur, dan telah ctansciousness ofhaving dilakukan weH. Kemudian mereka sangat bersemangat untuk melihat apa lagi mereka yang bisa dicapai dengan upaya itu, dan bagaimana mereka bisa melakukan sama-sama baik lain waktu. Guru harus mendorong siswa untuk membayangkan kasus-kasus di mana mereka Ould memanfaatkan lagi dengan prosedur yang digunakan, atau menerapkan hasil yang diperoleh. Anda bisa menggunakan hasil, w metode, untuk beberapa masalah lain? 14. contoh. Dalam bagian 12, siswa akhirnya memperoleh solusi: jika tepi tiga persegi panjang genjang, dikeluarkan dari sudut yang sama, adalah, b, c, diagonal adalah Anda dapat memeriksa hasil? Guru tidak bisa mengharapkan baik jawaban untuk pertanyaan ini dari siswa yang berpengalaman. Siswa, bagaimanapun, harus memperoleh cukup awal pengalaman itu masalah "in letters" memiliki besar keuntungan atas masalah murni numerik; Jika masalah diberikan "in letters" hasil yang dicapai untuk beberapa tes yang "in numbers masalah" bukanlah rentan Sama sekali. Contoh kita, meskipun cukup sederhana, cukup untuk menunjukkan ini. Guru dapat mengajukan beberapa pertanyaan tentang hasil yang siswa dapat readiIy jawaban dengan "Yes"; tetapi jawaban "No" akan shaw kelemahan serius dalam hasil. "Did Anda menggunakan semua data? Apakah semua data a7b, c muncul dalam rumus untuk diagonal? " "Length, lebar, dan tinggi memainkan peran yang sama dalam kami pertanyaan; masalah kita simetris terhadap, b, c. Apakah ekspresi yang Anda peroleh untuk diagonal simetris, b, c? Apakah tetap tidak berubah ketika, b, c yang dipertukarkan? " "Our masalah adalah masalah geometri solid: untuk menemukan diagonal dimensi dengan diberikan dimensi a, b, c. Masalah kita analog dengan masalah pesawat geometri: untuk menemukan diagonal dari persegi panjang dengan diberikan dimensi a, b. Adalah hasil dari masalah kita 'padat' dengan hasil oE 'pesawat' masalah? " "If c tinggi berkurang, dan akhirnya menghilang, dimensi menjadi genjang. Jika Anda menempatkan c = o dalam rumus Anda, Anda mendapatkan forrnuia benar untuk diagonal dari persegi panjang genjang? " "If c tinggi meningkat, t h e diagonal meningkat. Apakah shaw rumus Anda ini? " "If semua tiga langkah a, b, c peningkatan proporsi yang sama, dimensi diagonal juga meningkatkan dalam proporsi yang sama. Jika, dalam rumus Anda, Anda pengganti saya pa, 12b, saya PC untuk 4 b, c masing-masing, ekspresi diagonal, karena substitusi ini, juga harus dikalikan dengan saya 2, adalah bahwa begitu? " "If a, b, c diukur dalam kaki, memberikan rumus Diagonal diukur dalam kaki juga; tetapi jika Anda mengubah semua measwes ke inci, formula harus tetap benar. Adalah sehingga? " (Dua pertanyaan terakhir pada dasarnya setara; Lihat UJI DENGAN DIMENSI.) Pertanyaan ini memiliki beberapa efek yang baik. Pertama, murid yang cerdas tidak dapat membantu menjadi terkesan oleh kenyataan bahwa formum melewati tes begitu banyak. Dia adalah yakin sebelum itu formula benar karena ia berasal itu hati-hati. Tapi kini dia lebih yakin, dan dia mendapatkan keyakinan berasal dari sumber diEerent; Hal ini karena semacam "experimental bukti. " kemudian, terima kasih kepada pertanyaan-pertanyaan tersebut di atas, rincian formula acquire makna baru, dan yang terkait dengan berbagai fakta. Formula karena itu memiliki kesempatan yang lebih baik yang diingat, pengetahuan siswa konsolidasi. Akhirnya, pertanyaan-pertanyaan ini dapat dengan mudah ditransfer ke masalah yang sama. Afar beberapa pengalaman dengan masalah yang sama, murid yang cerdas mungkin menganggap yang mendasari ide-ide umum: penggunaan semua data yang relevan, variasi data, simetri, analogi. IE ia masuk ke dalam kebiasaan mengarahkan perhatiannya untuk poin tersebut, kemampuannya untuk memecahkan masalah mungkin pasti keuntungan. Anda memeriksa argumen? T o lagi argumen langkah demi langkah mungkin diperlukan dalam sulit dan penting kasus. Biasanya, itu sudah cukup untuk memilih "touchy" poin untuk mengecek kembali. Dalam kasus kami, mungkin dianjurkan untuk membahas retrospektif pertanyaan yang kurang dianjurkan untuk membahas sebagai solusi yang belum mencapai: dapat Anda groue yang segitiga dengan sisi x, y, c adalah segitiga siku? (Lihat akhir bagian 12.) Anda bisa menggunakan hasil atau metode untuk beberapa lainnya prob l e d dengan sedikit dorongan, dan setelah satu atau dua contoh, siswa dengan mudah menemukan aplikasi yang pada dasarnya terdiri dalam memberikan beberapa interpretatton coflcrete abstrak elemen matematika masalah. Guru sendiri digunakan seperti concete interpretasi ketika ia mengambil tempat di mana diskusi berlangsung untuk dimensi dari masalah. Mungkin seorang mahasiswa yang membosankan mengusulkan, sebagai aplikasi, untuk menghitung diagonal kantin bukan diagonal kelas. Jika siswa tidak sukarela lebih imajinatif komentar, guru sendiri dapat menempatkan masalah yang sedikit berbeda, untuk Contoh: "Being diberikan panjang, lebar, dan tinggi ofa dimensi persegi panjang, mencari jarak Pusat dari salah satu pendatang. " T h e siswa dapat menggunakan hasil dari masalah mereka hanya dipecahkan, mengamati bahwa jarak yang diperlukan adalah salah satu setengah dari mereka hanya menghitung diagonal. Atau mungkin mereka menggunakan metode, memperkenalkan cocok kanan segitiga ( kedua alternatif kurang jelas dan agak lebih Clumsy.in t h e menyajikan kasus). Setelah aplikasi ini, guru dapat didiskusikan konfigurasi semua penjuru empat dimensi, dan t h e enam piramida yang wajah enam adalah pangkalan, Pusat vertex umum, dan semidiagonals tepi lateral. Ketika imajinasi geometris siswa adalah sufficientlyenlivened, guru harus datang 15. berbagai pendekatan 19 kembali ke pertanyaan: Anda bisa menggunakan hasil, atau wethod, untuk beberapa masalah lain? Sekarang di sini adalah yang lebih baik kemungkinan bahwa siswa dapat menemukan beberapa lebih menarik conuete interpretasi, misalnya, berikut: "In pusat atas datar persegi bangunan yang merupakan zz yards panjang dan 16 yards lebar, tiang bendera adalah untuk akan didirikan, 8 yards tinggi T o dukungan tiang, kita perlu empat kabel yang sama. Kabel harus mulai dari yang sama p saya n t, 4 yards di bawah bagian atas tiang, dan berakhir pada empat sudut bagian atas bangunan. Berapa lama Apakah setiap cabIe? " Siswa dapat menggunakan metode masalah mereka dipecahkan secara rinci memperkenalkan segitiga kanan vertikal pesawat, dan satu lagi di bidang horisontal. Atau mereka dapat menggunakan hasil, membayangkan dimensi persegi panjang yang diagonal, x, adalah salah satu dari empat kabel dan tepi Q = 10.5 b-8 c - 6. , Saya Oleh aplikasi sederhana dari formula, x = 14.5. Untuk contoh, lihat UN Anda menggunakan THE hasil? 15. Vaxious pendekatan. Mari kita masih retak, untuk sementara, masalah kita dianggap di bagian atas 8, 10, 12, 14. Karya utama, penemuan rencana, dijelaskan dalam bagian 10. Mari kita mengamati bahwa guru bisa telah melanjutkan differentIy. Mulai dari yang sama titik pada bagian 10, mulda ia memiliki folIowed yang agak baris yang berbeda, mengajukan pertanyaan-pertanyaan berikut: "Doyou tahu probkm apapun terkait? " "Do Anda tahu masalah analogow? " "You Lihat, masalahnya diusulkan adalah masalah padat geometri. Bisa Anda memikirkan sebuah prob analog sederhana krnofplane geometri? " "You Lihat, masalahnya diusulkan adalah tentang sosok di Ruang, hal yang bersangkutan dengan diagonal dari persegi panjang arallekpiped. Apa yang mungkin menjadi masalah serupa tentang sosok di pesawat? Itu seharusnya peduli dan terlibat -diagonal-dari-a rectangular- " "Parallelogram." Siswa, bahkan jika mereka sangat lambat dan acuh tak acuh, dan tidak dapat menebak apaapa sebelumnya, yang wajib akhirnya berkontribusi setidaknya menit bagian dari ide. Selain itu, jika siswa begitu dbw, guru tidak boleh mengambil u p masalahnya hadir tentang dimensi tanpa memiliki dibahas sebelumnya, dalam rangka mempersiapkan siswa, masalah serupa tentang paraIleIogram. Kemudian, ia bisa pergi sekarang sebagai folIows: "Here adalah masalah yang terkait dengan Anda cnd solued sebelum. Dapat Anda menggunakannya? " "'Shouldyou memperkenalkan beberapa unsur pembantu dalam rangka untuk membuat possibEe menggunakan nya? " Akhirnya, guru mungkin berhasil menyarankan untuk siswa ide diinginkan. Itu terdiri di hamil diagonal dimensi tertentu sebagai diagonal genjang cocok yang harus diperkenalkan ke angka (sebagai persimpangan parallelepipedwith pesawat melewati dua sisi yang berlawanan). Idenya adalah pada dasarnya sama seperti sebelumnya (Bagian 10) tetapi pendekatan berbeda. Dalam bagian 10, kontak dengan tersedia pengetahuan siswa didirikan melalui diketahui; masalah sebelumnya diselesaikan adalah -menjelaskan karena diketahui yang sama dengan yang masalah diusulkan. Di dalam analogi bagian hadir menyediakan kontak dengan gagasan solusi. 16 guru. metode mempertanyakan ditampilkan dalam sebelumnya bagian 8, 10, 12, 14, 15 pada dasarnya adalah ini: Dimulai dengan pertanyaan umum atau saran dari daftar kami, dan, jika perlu, turun padually 50 lebih spesifik dan beton pertanyaan atau saran sampai yau mencapai satu yang elicit3 a respon dalam pikiran siswa. Jika Anda harus membantu expbit siswa idenya, mulai lagi, jika mungkin, dari umum pertanyaan atau saran terkandung dalam t h e daftar, dan kembali lagi ke beberapa lebih khusus jika satu diperlukan; dan sebagainya. Tentu saja, daftar kami adalah hanya Iist pertama semacam ini; itu tampaknya s c saya e n t untuk d mayoritas kasus-kasus sederhana, tetapi tidak ada keraguan bahwa hal itu dapat disempurnakan sangat penting, namun, yang suggestions'from yang kami s t r t harus sederhana, alami, dan umum, dan bahwa daftar mereka shouldbe pendek. Saran harus sederhana dan alami karena Jika mereka tidak bisa unobtruse sudah. Saran harus umum, appIicable tidak hanya Masalahnya sekarang tetapi masalah dari segala macam, jika mereka akan membantu mengembangkan kemampuan studentand tidak hanya teknik khusus. Daftar harus pendek agar pertanyaan mungkin IX sering diulang, unartificially, dan dalam keadaan berbeda-beda; rhw, ada kemungkinan bahwa mereka akan wentualLy._assimilatedby rhe mahasiswa dan wiIl berkontribusi untuk developmentof kebiasaan mental. Hal ini diperlukan untuk turun saran secara bertahap untuk spesifik, agar mahasiswa dapat memiliki sebagai p e t berbagi pekerjaan mungkin. Metode ini mempertanyakan bukanlah satu kaku; Untungnya demikian, karena, dalam hal ini prosedur kaku, mekanik, pedantical selalu buruk. Metode kami mengakui elastisitas dan variasi, diakuinya berbagai pendekatan (bagian 151, itu dapat dan harus jadi diterapkan bahwa pertanyaan yang diajukan oleh guru bisa memiliki terjadi kepada siswa sendiri. Jika pembaca ingin mencoba metode di sini diusulkan dalam kelasnya dia harus, tentu saja, lanjutkan dengan hati-hati. Ia harus mempelajari dengan seksama contoh diperkenalkan di bagian 8, dan contoh-contoh berikut di bagian 18, 19, 20. Ia harus mempersiapkan hati-hati contoh yang berniat untuk mendiskusikan, mengingat juga berbagai pendekatan. Dia shouId s t t dengan beberapa percobaan dan menemukan keluar secara bertahap bagaimana ia dapat mengelola metode, bagaimana siswa mengambil itu, dan bagaimana banyak waktu itu kue. 17. G d pertanyaan dan pertanyaan-pertanyaan yang buruk. Jika metode mempertanyakan diformulasikan di bagian atas adalah baik memahami hal ini membantu untuk menilai, dengan perbandingan, kualitas saran tertentu yang mungkin ditawarkan dengan tujuan membantu mahasiswa. Mari kita kembali ke situasi seperti itu muncul dengan sendirinya di ofsection awal 10 ketika pertanyaan ini ditanya: Apakah Anda tahu masalah terkait? Dengan terbaik niat untuk membantu siswa, pertanyaan mungkin ditawarkan: bisa Anda afiply teorema Py thagoras? T h e niat mungkin yang terbaik, tapi pertanyaan tentang yang terburuk. Kita harus menyadari dalam situasi apa itu ditawarkan; kemudian kita akan melihat bahwa ada rentang yang panjang keberatan terhadap semacam "help." (1) i f siswa ini dekat dengan solusi, dia bisa mengerti saran tersirat oleh pertanyaan; tetapi jika. Dia tidak, dia sangat mungkin tidak akan melihat di semua titik di yang pertanyaan yang mendorong. Jadi pertanyaannya gagal membantu mana bantuan yang paling dibutuhkan. (2) jika saran dipahami, hal itu memberikan seluruh rahasia jauhnya, sangat sedikit tetap bagi siswa untuk melakukan. (8 saran) adalah terlalu Spesial alam. Bahkan jika siswa dapat menggunakannya dalam memecahkan sekarang masalah, tidak dipelajari untuk masalah masa depan. The pertanyaan ini tidak instruktif. (4) bahkan jika dia mengerti saran, siswa hampir tidak dapat memahami bagaimana guru datang dengan ide menempatkan pertanyaan seperti itu. Dan bagaimana dia, mahasiswa, bisa menemukan pertanyaan seperti itu oleh himselff muncul sebagai kejutan yang tidak wajar, sebagai kelinci ditarik keluar dari topi; itu benar-benar tidak instruktif. Tidak ada keberatan tersebut dapat mengangkat terhadap prosedur yang dijelaskan dalam bagian 10, atau terhadap yang di bagian 15. M O R E CONTOH ADALAH. Masalah consuuction. Insnibe a square di diberikan segitiga. Dua simpul dari alun-alun harus pada dasar segitiga, dua simpul lain dari persegi di kedua sisi lain segitiga, om pada masing-masing. "What adalah unknownf" "Asquare." "What Apakah data? "A segitiga diberikan, tidak ada yang lain. " "What saya ~ condition" "The empat sudut alun-alun harus pada perimeter segitiga, dua sudut pada dasar, salah satu sudut pada masing-masing dari dua sisi. " "Is mungkin untuk memenuhi kondisi ' "I pikir sp. Aku tidak begitu yakin d. " "You do liot tampaknya menemukan masalah terlalu mudah. Jika Anda ' tidak bisa memecahkan masalah diusulkan, mencoba memecahkan pertama beberapa masalah terkait. Dapat Anda memenuhi bagian dari condiiion? " "What Apakah Anda berarti oleh bagian dari kondisi? " "You Lihat, kondisi yang bersangkutan dengan a11 simpul dari alun-alun. Berapa banyak simpul ada? " "Four." "A bagian dari kondisi memperhatikan dengan kurang daripada empat simpul. Menjaga hanya bagian dari kondisi, drop bagian lain. Apa bagian dari kondisi ini mudah untuk memenuhi? " "It mudah untuk menggambar persegi dengan dua simpul di perimeter segitiga--atau bahkan satu dengan tiga simpul pada perimeterf" "Draw sosok! " Siswa menarik Fig. 2. "You terus hanya n bagian dari kondisi, dan Anda menjatuhkan p lain ~ b. Seberapa jauh adalah diketahui sekarang determ.ined9' GAMBAR 2 "The square tidak ditentukan jika aku t memiliki hanya tiga simpul pada perimeter uiangle. " "Good! Menggambar ara ~ ~ re. " Siswa menarik Fig. 3. "The square, seperti yang Anda katakan, adalah tidak detmined oleh bagian kondisi Anda disimpan. Bagaimana itu dapat bervariasi? " d... "Three sudut persegi Anda berada di sekeliling segitiga tetapi keempat sudut yang belum ada mana seharusnya. Persegi Anda, seperti yang Anda katakan, belum ditentukan, itu bisa bervariasi; yang sama benar dari sudut keempat, bagaimana dapat jika voryf " .. Saya saya. r 4Try itu eksperimental, jika Anda inginkan. Menarik lebih kotak dengan tiga con ~ erron perimeter dengan cara yang sama sebagai dua kotak sudah di angka. Menggambar kotak kecil dan kotak besar. Apa yang tampaknya menjadi lokus keempat sudut? Bagaimana itu dapat bervariasi? " Sang guru membawa siswa sangat dekat untuk ide dari solusi. Jika mahasiswa dapat menebak bahwa lacus keempat sudut garis lurus, ia memiliki Mengerti 19. masalah untuk membuktikan. T w o sudut di diflerent pesawat tetapi setiap sisi satu adalah paralel ke ihe sesuai sisi yang lain, rand memiliki juga da'reztion sama. Membuktikan bahwa sudut tersebut sama. Apa yang harus kita membuktikan adalah sebuah Teorema dasar geometri solid. Masalah dapat diajukan kepada siswa yang. £amiIiar dengan pesawat geometri berkenalan dengan orang-orang beberapa fakta solid geometri yang mempersiapkan teorema hadir dalam elemen Euklides. (The Teorema thar kami telah menyatakan dan akan membuktikan adalah pqoposiiion lo Rook XI dari Euc1id.j tidak hanya pertanyaan dan saran yang dikutip dari daftar kami dicetak dalam huruf miring, tetapi juga orang lain yang sesuai dengan mereka sebagai "problems untuk prove" sesuai dengan "problems menemukan. " (Korespondensi bekerja keluar systematicalIy di MASALAH UNTUK MENEMUKAN, MASALAH UNTUK MEMBUKTIKAN 5, 6.) "What adalah hyfiotlzesifl Sudut "Two berada di pesawat digerent. Setiap sisi satu paralel ke sisi yang sesuai yang lain, dan memiliki juga arah yang sama, "What adalah cunclusion? " "The sudut sama. " "Draw angka. Memperkenalkan cocok notasi. " Di dalam kelas Siswa menarik garis gambar 4 dan memilih, heIped lebih atau kurang oleh guru, huruf-huruf dalam gambar 4. "What adalah hipotesis? Mengatakan hal itu, silahkan menggunakan notasi Anda. " "A, 3, C tidak berada di pesawat yang sama sebagai A', B', C'. Dan AB II A'B', AC II DI '. Juga A 3 memiliki t h e arah sama seperti A'B', dan AC yang sama sebagai A'C'. " Masalah 19.A Proue 27 segitiga, tentang sepasang segitiga kongruen. Apakah Anda setiap segitiga dalam sosok Anda? " "No.but saya cauId memperkenalkan beberapa. Biarkan aku bergabung B ke C, dan B' C'. Kemudian ada dua segitiga, ABC, A, ','. " "Well dilakukan. Tapi apa segitiga ini baik untuk? " "To membuktikan kesimpulan, tas L = L B'A 'C'. " "God! Jika Anda ingin untuk membuktikan ini, apa jenis segitiga Anda butuh? " GAMBAR 4 "What adalah kesimpulan? " "L B C = LB'A 'C'. " "Look di akhir! Dan coba lo memikirkan akrab Teorema hatring yang sama atau serupa kesimpulan. " "If dua segitiga kongruen, yang sesuai sudut sama. " "Very baik! Sekarang di sini adalah Q teorema berhubungan dengan Anda d @ w e d befwe. Bisa saya itu? " "I berpikir begitu, tetapi saya tidak melihat belum cukup bagaimana. " "Should Anda memperkenalkan beberapa unsur auxiliaq dalam rangka untuk membuat penggunaannya mungkin? " ..... "Well, teorema yang Anda kutip begitu baik adalah tentang GAMBAR 5 Segitiga "Congruent. Ya, tentu saja, aku dapat memilih 3, C, B' C' sehingga AB - A'B', AC = A'C'. " "Very baik! Sekarang, apa yang Anda inginkan untuk membuktikan?'' "I ingin membuktikan bahwa segitiga kongruen, ABC = A'B 'C'. Jika saya bisa membuktikan hal ini, kesimpulan LBAC - LB'A 'C' akan mengikuti segera. " "Finel Anda memiliki tujuan yang baru, Anda bertujuan conchsion baru. Lihat conclzasion! Dan tr) l untuk memikirkan Teorema akrab hauing yang sama atau serupa kesimpulan. " "TWOtriangles sama dan sebangun jika-jika tiga sisi salah satu sama masing-masing tiga sisi lain. " "Well dilakukan, Anda dapat memilih salah satu yang lebih buruk, sekarang Berikut adalah teorema yang berhubungan dengan Anda und terbukti sebelumnya. Anda bisa menggunakannya? " "I bisa menggunakannya jika saya tahu bahwa BC = B'C'. " "That adalah right1 dengan demikian, apa Apakah tujuan Anda? " "Toprove SM = B'C'. " "Try berpikir teorema akrab yang memiliki sama atau conclw'on serupa. " "Yes, aku tahu teorema finishing: '... kemudian dua baris sama,' tetapi tidak cocok. " "Should Anda memperkenalkan beberapa unsur pembantu dalam rangka untuk membuat yang menggunakan passibid" . ... . "You Lihat, bagaimana Anda bisa membuktikan BC = B'C' ketika ada ada sambungan pada gambar antara BC dan B'C'? " a *... "Did Anda saya hipotesis? Apakah hyfiothesir? " "We kira I1 AB bahwa '&', AC I1A 'C'. Ya tentu saja 1must menggunakannya. " "Did Anda menggunakan hipotesis seluruh? Anda mengatakan bahwa AB I1 A'B'. Adalah bahwa semua yang Anda tahu tentang garis-garis ini? " "No; AB ini juga sama dengan A'B', oleh konstruksi. Mereka paralel dan sama dengan satu sama lain. Dan begitu juga AC dan A'Cf. " "Two paralel baris sama panjang-itu adalah menarik konfigurasi. f saya v e Anda melihatnya befores " Kursus "of! Genjang Yesl! Biarkan aku Gabung A ke A', B ke B', dan C untuk Ct. " "The ide ini tidak begitu buruk. Berapa banyak genjang Apakah Anda sekarang di sosok Anda?'. "Two. Tidak, tiga. Tidak, dua. Maksudku, ada dua yang Anda dapat membuktikan segera bahwa mereka adalah genjang. Ada ketiga yang tampaknya genjang; Saya berharap saya bisa membuktikan bahwa itu adalah salah satu. Dan kemudian proofwill selesai! " Kami telah mengumpulkan dari jawaban terdahulu siswa cerdas. Tapi setelah pernyataan terakhir ini nya, tidak ada keraguan. Mahasiswa ini dapat menebak hasil matematika dan untuk membedakan mahal bukti dan menebak. Dia tahu juga dugaan bahwa dapat lebih atau kurang masuk akal. Sungguh, ia Apakah keuntungan sesuatu dari kelas matematika; Ia memiliki pengalaman nyata dalam memecahkan masalah, dia bisa hamil dan expIoit ide yang baik. 20. masalah tingkat. Air mengalir ke kerucut vessei di tingkat r. Kapal memiliki bentuk yang tepat circzclrrr kerucut, dengan dasar horisontal, menunjuk verfex ke bawah; jari-jari dasar adalah ketinggian, b. kerucut menemukan ratc ai yang ir permukaan meningkat ketika kedalaman air adalah y. Akhirnya, mendapatkan numerik nilai yang tidak diketahui yang seandainya yang = 4 ft, b = 3 fi., r = 2 ft. CU. per menit, dan y-1 kaki. Siswa diharapkan untuk tahu aturan sederhana dilferentiation dan pengertian tentang ' Pate perubahan. " "What adalah data? " Jari-jari dasar kerucut - 4 ft, ketinggian kerucut b = 3 ft, tingkat di mana air adalah mengalir ke kapal r-2 cu, itu. per menit, dan kedalaman air pada saat tertentu, y = 1 ft. " "Correct. Pernyataan masalah tampaknya menunjukkan bahwa Anda harus mengabaikan, sementara, nilai numerik, bekerja dengan Ictters, Check unknorvn di istilah, b, r, y dan hanya akhirnya, setelah setelah mendapat ekspresi yang tidak diketahui dalam Surat-surat, pengganti nilai-nilai numerik. J akan mengikuti saran ini. Sekarang, Apakah unknownY' "The tingkat di mana permukaan meningkat ketika kedalaman air adalah y. " "What adalah bahwa? Anda bisa mengatakan itu di istilah lain? " "The tingkat di mana kedalaman air meningkat. " "What adalah bahwa? Bisa yo % menyatakan kembali itu sba'lJ difierentlyf" "The laju perubahan kedalaman t h e air. " "That benar, laju perubahan y. Tapi apa Laju perubahan? Kembali ke definisi!' "Thederivative adalah laju perubahan fungsi. " "Correct. Sekarang, adalah y fungsi? Seperti yang kita katakan sebelumnya, kita mengabaikan nilai numerik y. Dapat Anda membayangkannya perubahan y? " "Yes, y, kedalaman air, meningkatkan waktu berlalu, " "Thus,y adalah functionof apa? " "Ofthe waktu t!' "Good. Memperkenalkan mitable notasi. Bagaimana Apakah Anda menulis 'tingkat ofchange y' dalam simbol matematika? " 66 d y,, DT "Good. Jadi, ini adalah diketahui Anda. Anda harus check it dalam hal, b, r, y. Omongomong, salah satu data ini adalah 'tingkat.' Yang satu? " "r adalah tingkat air yang mengalir ke dalam vessel. " "What adalah bahwa? Anda bisa mengatakan itu di istilah lain? " "Y adalah laju perubahan volume air di kapal. " "What adalah bahwa? Bisa Anda tulis ulang itu masih diflerently? Bagaimana Anda akan menulis itu dalam notasi mitable? " "What adalah Y? " "The volume air di t h e kapal di d waktu. " "Good. Dengan demikian, Anda memiliki untuk Check dv - dalam hal b, DL dV -, y. Howwillyoudoit? " DT "LF Anda tidak bisa memecahkan masalah diusulkan mencoba untuk soEue pertama beberapa terkait masalah. Jika Anda tidak melihat namun hubungan antara 4 - dan data, cobalah untuk membawa dalam beberapa DT connectibn sederhana yang dapat berfungsi sebagai batu loncatan. " . m. . "Do Anda tidak melihat bahwa ada conneciion9 lain untuk Misalnya, y dan V independen satu sama lain? " "No.when y meningkat, V harus meningkatkan terlalu. " "Thus, ada hubungan. Apakah sambungan? " "Well, V adalah volume kerucut yang ketinggian adalah y. Tapi saya tidak tahu namun jari-jari dasar. " "You dapat mempertimbangkan itu, Namun demikian. Menyebutnya sesuatu, Katakanlah x. " ' < v - r x 2 y,, 3 "Correct. Sekarang, apa tentang x? Itu independen y? " "No. Ketika kedalaman air, y, meningkat radius permukaan gratis, x, meningkat terlalu. " "Thus, ada hubungan. Apakah sambungan? " 112 kelas "Of tentu saja, segitiga serupa. x: y =: B. " "One koneksi yang lain, Anda melihat. Tidak akan melewatkan mengambil keuntungan dari itu. Jangan lupa, Anda wthed untuk mengetahui hubungan antara V dan y. " "I memiliki ' Sangat gmd. Ini tampak seperti batu loncatan, apakah itu tidak? Tetapi Anda tidak boleh melupakan tujuan Anda. Apa tidak diketahui? " "gwe & 2. " DT dan "You harus menemukan hubungan antara -dl 'dt' jumlah lain. Dan di sini Anda memiliki satu antara y, V, dan quantirin lainnya. Apa yang harus dilakukan? " "Differentiate! Tentu saja! Inilah. " "Fine! Dan bagaimana dengan vdues numerik? " dV "l f p = 41 b = 3,-= '. = 2, ~ = saya, kemudian DL
