Determinan

FUNGSI DETERMINAN
Definisi
Jika A adalah Matriks n x n , maka sub-matriks berukuran (n-1)
x (n-1) yang diperoleh dari A dengan menghapus baris ke-I dan
kolom ke-j dinamakan minor entri (ij) dari matriks A dan
dilambangkan dengan Mij atau Mij(A).
Contoh
 a11
a
A   21
 a31

 a41
M 11
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
a22
  a32
a42
a23
a33
a43
a14 
a24 
a34 

a44 
a24 
a34 
a44 
M 34
 a11
 a21
a41
a12
a22
a42
a22
M 22 ( M11 ( A))  
a42
a13 
a23 
a43 
a24 
a44 
Definisi
Jika matriks A berukuran n x n , fungsi
determinan dinyatakan oleh det dan det(A)
didefinisikan sebagai
n
det( A)   aij (1) det( M ij )
1 j
j 1
 a11
det 
a21
a12 
 a11a22  a12a21

a22 
Contoh matriks 3x 3
 a11 a12
det( A)  a21 a22
 a31 a32
a13 
a23 
a33 
 a11 (1)11 det M 11   a12 (1)1 2 det M 12   a13 (1)13 det( M 13 )
a
 a11 det  22
a32
a23 
a21

a
det
12
a
a33 
 31
a22 
a32 
 a11 (a22a33  a23a32 )  a12 (a21a33  a23a31 )  a13 (a21a32  a22a31 )
 a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a11a23a33  a12a21a33  a13a22a31 )
Teorema 2.1 Putaran matriks mempunyai
sifat0sifat berikut untuk semua matriks A dan B
yang memungkinkan dilakukan pengelolaan yang
ditujukan
1. (AT)T=A
2. (A+B)T=AT+BT
3. (kA)T =kAT
4. (AB)T=BTAT
. (A-1)T=(AT)-1
1. (AT)T=A

2. (A+B)T=AT+BT
3. (kA)T =kAT
.
4. (AB)T=BTAT
.
.
Perhitungan det (a): suatu cara
yang lebih baik
TEOREMA 1
Jika A adalah
sembarang
matriks
kuadrat yang
mengandung
sebaris
bilangan
nol,maka
det (A) = 0
contoh
TEOREMA 2
Jika A adalah matriks segitiga n x n,maka det (A)
adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama:
yakni
C
O
N
T
O
H
TEOREMA 3
Misalkan A adalah sembarang matriks n x n
Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris
tunggal A dikalikan oleh konstan k maka det (A)’
= K det (A)
Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua
baris A dipertukarkan,maka det (A’) = - det (A)
Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu
baris A ditambahkan pada baris lain,maka det (A’) = det
(A).
CONTOH
Karena operasi
perkalian maka
kebalikannya
dikali
Karena
pertukaran antar
baris maka
dikali -
Karena
pertambahan antar
baris maka tidak
berpengaruh
Teorema 4
Jika B diperoleh dari A dengan cara membagi setiap
unsur baris ke – i dengan k (memfaktorkan k dari
baris ke i)
TEOREMA 5
Jika B diperoleh dari A melalui pengolahan dasar
baris jenis III
SIFAT – SIFAT
LAIN
DETERMINAN
=
Sifat 2.8
Misalkan A, A’, dan A” adalah matriks n x n yang hanya
berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke r, dan
anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh
dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian
dalam baris r dari A dan dalam baris ke r dari A’. Maka :
det(A”) = det(A) + det (A’)
Hasil yang serupa berlaku untuk kolom-kolom itu.
Contoh :
Diberikan matriks A =
. Maka,
Teorema 2.3
Sebuah A berodo n x n dapat dibalik jika
dan hanya jika A ≠ 0 .
Bukti : Jika A dapat dibalik, maka I = A.A-1
sehingga 1 = det(I) = det(A). det(A-1). Jadi
det(A) ≠ 0
Akibat
Jika A dapat dibalik, maka
Bukti Karena A.A-1 = I, maka det(A.A-1) =
det(I) yaitu det(A.A-1) = 1. Karena det(A)≠0,
bukti tersebut dapat dilengkapi dengan
membaginya dengan det(A).
Contoh 1
Contoh 2
Manakah dari matriks di atas yang
dapat dibalik ?
• det(B) = 0, sehingga B tidak
dapat dibalik
• det(A) = -5, sehingga B dapat
dibalik dan det(A-1) = -1/5
Sifat 2.9
Untuk sebarang matriks A dan B yang
berukuran n x n, det(AB) = det(A) . det(B)
Bukti : Jika A adalah matriks dasar dan jika A dapat dibalik,
maka A dapat diucapkan sebagai satuan hasilkali beberapa
matriks dasar, A = E1 E2 ... Ek . Dengan demikian, dengan
menerapkan secara berulang-ulang kenyataan bahwa teorema
ini
det(AB)
= det( A = E1 E2 ... Ek B )
= det( E1 ) det( E2 ) ... det( Ek ) det(B)
= det (E1 E2 ... Ek) det(B)
= det(A) det(B)
Jika A singular maka begitu juga dengan AB sehingga dalam
hal ini memperoleh det(AB) = 0 = 0 . det(B) = det(A) . det(B)
Contoh
Hitunglah det(AB) jika dan
Maka,
det(A) = ( 1 x 3 ) – ( 4 x 2 ) = -5
det(B) = ( 4 x 2 ) – ( 1 x 3 ) = 5
det(AB) = det(A) x det(B) = -25
Definisi 2.5
Untuk sembarang matriks A berukuran n x n, ajoin
matriks A didefenisikan sebagai matriks n x n yang
unsur pada posisi (i,j)-nya adalah kofij(A). Matriks
ajoin ini akan kita lambangkan dengan Aj(A)
Teorema 2.4
Untuk sembarang matriks A
berukuran n x n
A . Aj(A) = Aj(A) . A = det(A) .
I , dan jika det(A) ≠ 0
Bukti
Mula-mula diperlihatkan bahwa
A . adj(A) = det(A) . I
Tinjaulah hasil kali
Entri dalam baris ke i dan kolom ke j dari A adj(A) adalah
ai1Cj1 + ai2Cj2 + ... + ainCjn
Jika i = j, maka persamaan di atas adalah ekspansi dari det(A)
sepanjang baris ke i dari A. sebaliknya jika i ≠ j, maka koefisienkoefisien a dan kofaktor-kofaktor berasal dari baris-baris A yang
berbeda, sehingga nilai dari persamaan tersebut sama
dengan nol.
Karena A dapat dibalik, maka det(A) ≠ 0. Selanjutnya,
persamaan di atas dapat dituliskan kembali sebagai
Atau
Dengan mengalikan kedua ruas dari kiri dengan
menghasilkan
akan
Contoh
Gunakan rumus ajoin untuk membalik matriks
A=
Adj(A) =
det(A) = 19
. Matriks ajoin A adalah
Teorema 2.5
Kaidah Cramer. Jika A adalah
sebuah matriks tidak singular
berukuran n x n, maka solusi
tunggal bagi sistem linier AX
= K adalah
Dalam hal ini Ai, adalah
matriks A yang kolom ke-inya
diganti dengan K.
Contoh :
Gunakan kaidah Cramer untuk memecahkan sistem
AX = K jika