DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 Deformasi Elastis Struktur. Didalam analisa struktur,tidak hanya memperhitungkan tegangan-tegangan yang timbul akibat muatan luar saja,tetapi juga harus diperhatikan jenis deformasi yang terjadi,yaitu dengan batasan bahwa deformasi yang terjadi tidak malampaui beberapa bagian dari panjang bentang. Selain itu persamaan deformasi adalah merupakan bagian dari perhitungan struktur statis tak tentu.untuk perhitungan deformasi elastic ini dikenal bermaca-macam metode,antara lain : 1. 2. 3. 4. 1. VIRTUIL WORK METHOD ( UNIT LOAD METHOD ) DOUBLE INTEGRATION METHOD CONJUGATE BEAM METHOD MOMEN AREA Metode Virtuil Work Method Deformasi dari setiap titik pada struktur statis tertentu, pada dasarnya dengan mudah dapat dihitung dengan metode ini. Metode ini diadakan dengan anggapan dasar bahwa deformasi axial akibat gaya normal di abaikan karena kecil. Defleksi atau Rotasi pada suatu titik dari struktur statis tak tentu dapat dihitung dengan cara memberikan 1 unit load pada titik yang akan dihitung tersebut.yaitu, 1 unut load gaya terpusat bila/ dan untuk menghitung rotasi (putaran sudut). Perlu diperhatikan bahwa arah komponen deformasi ini, tergantung dari hasil yang di peroleh yaitu, positif (+) bila searah dengan jarum jam dan negative (-) bola berlawanan dengan jarum jam. Formula/ rumus umum dariunit load adalah sebagai berikut : DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 RUMUS : E I ∆ =Ʃ ʃ Mx.mx. dx L 0 Ket : E = Modulus elastisit. I = Inersia. ( menyangkut masalah bahan ) 1/12 bh 3 Mx = Momen pada potongan sejauh x akibat beban asli. mx = Momen pada potongan sejauh x akibat unit load. DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 Contoh Ditanya : ϴ A dan Δ B Penyelesaian : I. Beban Unit Load a) . Untuk menghitung ϴ A digunakan MA= 1 Unit Load Interval 0 ≤ X ≤ L mx1 = MA – RA. X = 1 – 1/2L . X = 1- X/2L Interval 0 ≤ X ≤ L Mx2 = RC. X =1/2.L .X = X/2.L DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 b) . Untuk menghitung Δ B digunakan RB= 1 Unit Load Interval 0 ≤ X ≤ L mx1 = RA. X = 1/2 . X= X/2 Interval 0 ≤ X ≤ L Mx2 = RC. X =1/2 . X= X/2 II. Beban Asli a). Deformasi akibat gaya MB = P.L Interval 0 ≤ X ≤ L Mx1 = -RA. X = -P/2 . X= -PX/2 Interval 0 ≤ X ≤ L DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 Mx2 = -RC. X = -P/2 . X= -PX/2 ϴ A = 1/EI ʃ ̥ ᶫ - PX/2 (1-X/2L) dx + 1/EI ʃ ̥ ᶫ PX/2 (1-X/2L) dx = - PL²/12EI Δ B = 1/EI ʃ ̥ ᶫ - PX/2 (X/2) dx + 1/EI ʃ ̥ ᶫ PX/2 (X/2) dx =0 b). Deformasi akibat gaya MA Interval 0 ≤ X ≤ L Mx1 = MA –RA.X=MA- MA/2L . X = MA- MA X/2L Interval 0 ≤ X ≤ L Mx2 = -RC. X = MA/2L . X = MA X /2L ϴ A = 1/EI ʃ ̥ ᶫ MA-MA X/2L ( 1-X/2L ) dx + 1/EI ʃ ̥ ᶫ MA X/2L (X/2) dx = 2 MA L/3 EI DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS Δ B = 1/EI 16-012-085 ʃ ̥ ᶫ MA-MA X/2L ( X/2) dx + 1/EI ʃ ̥ ᶫ MA X/2L (X/2) dx = MA L²/4EI c). Deformasi akibat gaya RB Interval 0 ≤ X ≤ L Mx1 = -RA.X = -RB/2 . X = -RB X/2 Interval 0 ≤ X ≤ L Mx2 = -RC. X = -RB/2 . X = -RB X/2 ϴ A = 1/EI ʃ ̥ ᶫ -RB X/2 ( 1-X/2L ) dx + 1/EI ʃ ̥ ᶫ -RB X/2 (X/2) dx = -RB L²/4EI Δ B = 1/EI ʃ ̥ ᶫ -RB X/2 ( X/2) dx + 1/EI ʃ ̥ ᶫ -RB X/2 (X/2) dx = -RB L³/6EI TOTAL DEFORMASI DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 ϴ A = (- PL²/12EI ) + (2 MA L/3 EI ) + (-RB L²/4EI) Δ B = (0)+( MA L²/4EI) + (-RB L³/6EI) Contoh Soal NIM: 16012085 Keterangan : P= 2,xx( dua digit akhir NIM) tDitanya : ϴ A dan Δ B Penyelesaian : I. Beban Unit Load a) . Untuk menghitung ϴ A digunakan MA= 1 Unit Load DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 Interval 0 ≤ X ≤ 4 mx1 = MA – RA. X = 1 – 1/10 . X = 1- X/10 Interval 0 ≤ X ≤ 6 mx2 = RC. X =1/10 .X = X/10 b) . Untuk menghitung Δ B digunakan RB= 1 Unit Load Interval 0 ≤ X ≤ 4 mx1 = RA. X = 3/5 . X=3 X/5 DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 Interval 0 ≤ X ≤ 6 mx2 = RC. X =2/5 . X= 2X/5 II. Beban Asli a). Deformasi akibat gaya MB = 3,58 tm Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx1 = -RA. X = -1,152 . X Interval 0 ≤ X ≤ 6 Mx2 = -RC. X = -1,152 . X ϴ A = 1/EI ʃ ̥ ⁴ -1,152 . X (1- X/10) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁶ -1,152 . X (X/10) dx = -15,0528/EI Δ B = 1/EI ʃ ̥ ⁴ -1,152 . X (3/5.X) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁶ -1,152 . X (2/5.X) dx = -47,9232/EI b). Deformasi akibat gaya MA DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx1 = MA –RA.X=17,28 – 1,728.X Interval 0 ≤ X ≤ 6 Mx2 = -RC. X = -1,728.X ϴ A = 1/EI ʃ ̥ ⁴ 17,28 – 1,728.X (1- X/10) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁶ -1,728.X (X/10) dx = 46,5408/EI Δ B = 1/EI ʃ̥ ⁴ 17,28 – 1,728.X ( 3/5.X) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁶ -1,728.X (2/5.X) dx = -2,7648/EI c). Deformasi akibat gaya RB Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx1 = -RA.X = -1,728 . X = -1,728X DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 Interval 0 ≤ X ≤ 6 Mx2 = -RC. X = -1,152 . X = -1,152 X ϴ A = 1/EI ʃ ̥ ⁴ -1,728X (1- X/10) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁶ -1,152 X (X/10) dx = -18,432/EI Δ B = 1/EI ʃ ̥ ⁴ -1,728X (3/5.X) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁶ -1,152 X (2/5.X) dx = -55,236/EI Jadi Deformasi total adalah ( Jumlah total deformasi) ϴ A = 13,056/EI Δ B = -105,924/EI TUGAS II ` I. Beban Unit Load DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 a) . Untuk menghitung ϴ A digunakan MA= 1 Unit Load Untuk Bagian AC Interval 0 ≤ X ≤ 4 mx1 = MA – RA. X = 1 – 1/12 . X = 1- X/12 Untuk Bagian CD Interval 0 ≤ X ≤ 4 mx2 = MA-RA ( X +4)=1-1/12 (X+4) Untuk Bagian BD Interval 0 ≤ X ≤ 4 mx3 = RB.X = 1/12.X = X/12 b) . Untuk menghitung ΔC digunakan P1= 1 Unit Load DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 Untuk Bagian AC Interval 0 ≤ X ≤ 4 mx1 = RA. X = 2/3 . X = 2X/3 Untuk Bagian CD Interval 0 ≤ X ≤ 4 mx2 = RA (X+4)-P1.X=2/3 (X+4)-X Untuk Bagian BD Interval 0 ≤ X ≤ 4 mx3 = RB.X = 1/3.X = X/3 c) . Untuk menghitung ΔD digunakan P2= 1 Unit Load Untuk Bagian AC DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 Interval 0 ≤ X ≤ 4 mx1 = RA. X = 1/3 . X = X/3 Untuk Bagian CD Interval 0 ≤ X ≤ 4 mx2 = RA (X+4) =1/3 (X+4) Untuk Bagian BD Interval 0 ≤ X ≤ 4 mx3 = RB.X = 2/3.X = 2X/3 II. Beban Asli a). Deformasi akibat gaya P1 = 3 ton DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 Untuk Bagian AC Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx1 = RA. X = 2 . X= 2X Untuk Bagian CD Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx2 = RA (X+4)-P1.X = 2.(X+4)-3.X= -X+8 Untuk Bagian BD Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx3 = RB.X = 1.X= X ϴ A = 1/EI ʃ⁴̥ 2X (1- X/12) dx + 1/EI ʃ⁴̥ -X+8 (1-1/12 (X+4) dx + 1/EI Δ C = 1/EI ʃ⁴̥ 2X (2X/3) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁴ -X+8 (2/3(X+4)-X) dx +1/EI Δ D = 1/EI ʃ⁴̥ X (X/12) dx = ʃ ̥ ⁴ X (X/3) dx = ʃ ̥ ⁴2X (X/3) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁴ -X+8 (1/3(X+4)) dx +1/EI ʃ ̥ ⁴ X (2X/3) dx = b). Deformasi akibat gaya P2 = 2 ton DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 Untuk Bagian AC Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx1 = RA. X = 2 /3. X= 2X/3 Untuk Bagian CD Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx2 = RA (X+4) = 2/3 (X+4) Untuk Bagian BD Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx3 = RB.X = 4/3.X= 4X/3 ϴ A = 1/EI ʃ ̥ ⁴2X/3 (1- X/12) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁴ 2/3 (X+4) (1-1/12 (X+4) dx + 1/EI Δ C = 1/EI ʃ ̥ ⁴2X/3 (2X/3) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁴ 2/3 (X+4) (2/3(X+4)-X) dx +1/EI Δ D = 1/EI ʃ ̥ ⁴ 4X/3 (X/12) dx = ……………….. ʃ ̥ ⁴ 4X/3 (X/3) dx =………………….. ʃ ̥ ⁴2X/3 (X/3) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁴ 2/3 (X+4) (1/3(X+4)) dx +1/EI ʃ ̥ ⁴ 4X/3 (2X/3) dx =………………….. DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG DEFORMASI ELASTIS 16-012-085 c). Deformasi akibat MA = 12 tm Untuk Bagian AC Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx1 = MA-RA. X = 12. 1.X= 12 X Untuk Bagian CD Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx2 = MA-RA (X+4) = 12-1 (X+4) = 8-X Untuk Bagian BD Interval 0 ≤ X ≤ 4 Mx3 = RB.X = 1.X= X ϴ A = 1/EI ʃ ̥ ⁴12 X (1- X/12) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁴ 8-X (1-1/12 (X+4) dx + 1/EI Δ C = 1/EI ʃ ̥ ⁴ X (X/12) dx = ……………….. ʃ ̥ ⁴12 X (2X/3) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁴ 8-X (2/3(X+4)-X) dx DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 DEFORMASI ELASTIS +1/EI Δ D = 1/EI ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085 ʃ ̥ ⁴ X (X/3) dx =………………….. ʃ ̥ ⁴12 X (X/3) dx + 1/EI ʃ ̥ ⁴ 8-X (1/3(X+4)) dx +1/EI ʃ ̥ ⁴ X (2X/3) dx =………………….. Jadi Deformasi total adalah ( Jumlah total deformasi) ϴ A =………………………….. Δ C =…………………………… Δ D =…………………………… DEFORMASI ELASTIS ANTONIUS FIDELIS SITANGGANG 16-012-085
