ii. himpunan - Simponi MDP

Pertemuan ke 4
II. HIMPUNAN
1. Definisi
Kumpulan objek-objek yang berbeda dan
mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama.
Setiap objek yang terdapat dalam
himpunan disebut anggota atau unsur atau
elemen.
Anggota-anggota himpunan ditulis dalam
tanda kurung kurawal.
2. Penyajian Himpunan
4 cara menyajikan himpunan :
Tabulasi atau enumerisasi
Simbol-simbol baku
Notasi pembentuk himpunan
(set builder)
Diagram Venn
Tabulasi atau Enumerasi
Metode tabulasi adalah cara menulis
atau menyatakan himpunan dengan
jalan menuliskan semua anggotanya.
Jika A adalah himpunan bilangan
1,2,3,4 maka himpunan tersebut
ditulis dalam bentuk A = { 1, 2, 3, 4}
Contoh 2.3 :
Sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak
mempunyai hubungan satu sama lain, asalkan berbeda.
Sebagai contoh, {kucing, a, Amir, 10, paku} adalah
himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu
kucing, a, Amir, 10, paku
Contoh 2.4 :
R  a, b, a, b, c, a, c
C  a, a, a
K   
Contoh 2.6 :
Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai
1,2,3,   
Sedangkan himpunan bilangan bulat sebagai
 ,2,1,0,1,2,  
Untuk menyatakan keanggotaan tersebut digunakan notasi :
x A
Untuk menyatakan x merupakan anggota himpunan A
x A
Untuk menyatakan x bukan merupakan anggota himpunan A
Contoh 2.7 :
A  1,2,3,4, R  a, b, a, b, c, a, c, dan K   
3 A
5 A
Maka 
a, b, c R
a R
aR
  K
Simbol-simbol Baku
Simbol baku yang biasa digunakan untuk
mendefinisikan himpunan yang sering
digunakan antara lain :
 P = himpunan bilangan bulat positif
 Z = himpunan bilangan bulat.
 Q = himpunan bilangan rasional.
 R = himpunan bilangan riil.
Kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan
yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan
yang universal.
Himpunan yang universal ini disebut semesta dan
disimbolkan dengan U
Misalnya :
U  1, 2, 3, 4, 5
A adalah himpunan bagian dari U, dengan A  1, 3, 5
Notasi Pembentuk Himpunan
 Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat
yang harus dipenuhi oleh anggotanya.
 Notasi:{x | syarat yang harus dipenuhi x }
Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan :
a. Bagian di kiri tanda ‘ | ’ melambangkan elemen himpunan
b. Tanda ‘ | ’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga
c. Bagian di kanan tanda ‘ | ’ menunjukkan syarat keanggotaan
himpunan
d. Setiap tanda ‘ , ’ di dalam syarat keanggotaan dibaca
sebagai dan
Contoh 2.9 :
A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5,
dinyatakan sebagai
A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih
kecil dari 5}
Atau dalam notasi yang lebih ringkas :
A = { x | x  P, x < 5 }
Yang sama dengan
A = { 1, 2, 3, 4 }
Diagram Venn
Diagram Venn menyajikan himpunan
secara grafis.
Diagram Venn terdiri dari himpunan
atau himpunan-himpunan yang
dilambangkan dengan lingkaran dan
himpunan semesta dilambangkan
dengan persegi panjang.
Contoh 2.10:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = {1, 2, 3, 5 }
B = {2, 5, 6, 8 }
U atau S mempunyai anggota bilangan asli < 10
U
A
B
7
1
3
2
5
8
4
6
3. Kardinalitas
Kardinalitas menunjukan jumlah anggota
suatu himpunan.
Jika terdapat himpunan A, maka kardinal A
ditulis dengan lambang n (A) atau |A|
Contoh : A={x | x bilangan prima, x  10}
A={2, 3, 5, 7 }
maka |A| = 4
4. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak
memiliki satupun elemen atau himpunan dengan
kardinal = 0.
Himpunan kosong dilambangkan dengan  atau { }.
Contoh :
P= {orang Indonesia yang pernah ke bulan},
maka |P| = 0
5. Himpunan Bagian (subset)
Sebuah himpunan dapat merupakan bagian
dari himpunan lain.
Anggota yang terkandung pada himpunan
tersebut juga terkandung pada himpunan
yang lain.
Himpunan A dikatakan himpunan bagian
dari himpunan B jika dan hanya jika setiap
elemen A merupakan elemen dari B.
Notasi : A  B
Diagram Venn Himpunan Bagian
1
2
3
4
1,2,3  1,2,3,4,5
5
 Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari
himpunan itu sendiri.
Jika terdapat suatu himpunan A, maka berlaku A  A.
 Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari
suatu himpunan.
Jika terdapat himpunan kosong dan himpunan A, maka
berlaku   A.
Jika A  B dan B  C, maka A  C
6. Himpunan yang Sama
Himpunan A dikatakan sama dengan
himpunan B jika dan hanya jika A adalah
himpunan bagian B dan B merupakan
himpunan bagian A.
Dengan menggunakan lambang
matematika.
A = B  A  B dan B  A
6. Himpunan yang Sama
Contoh 2.17 :
Jika
A  1,2,3
Dan B 
3,2,1
Maka A = B
Karena urutan elemen di dalam himpunan tidak penting
7. Himpunan yang Ekivalen
 Himpunan A dikatakan ekivalen dengan
himpunan B jika dan hanya jika kardinal A =
kardinal B.
 Dengan menggunakan lambang matematika,
A  B  A = B
Contoh 2.18 :
Jika A  1,3,5,7 dan B  a, b, c, d , maka A ~ B sebab A  B  4
8. Himpunan Saling Lepas
Himpunan A dan B dikatakan saling
lepas jika keduanya tidak mempunyai
anggota yang sama.
Dalam bentuk lambang dapat ditulis :
A // B.
Diagram Venn Himpunan Saling Lepas
9. Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (power set) adalah suatu
himpunan A yang anggota-anggotanya
merupakan suatu himpunan bagian A,
termasuk himpunan kosong dan himpunan A
itu sendiri.
Himpunan kuasa dari himpunan A
dilambangkan dengan :
P (A) atau 2A

Contoh 2.20 :
Jika A  1, 2
Maka
 A  , 
1 , 2, 1,2
10. Operasi Thdp Himpunan
Irisan (intersection)
Irisan dari himpunan A dan B adalah
himpunan semua unsur yang termasuk
di dalam A dan di dalam B.
Irisan dari himpunan A dan himpunan
B dilambangkan A  B.
Diagram Venn Operasi Irisan
Gabungan (union)
Gabungan himpunan A dan himpunan
B adalah semua unsur yang termasuk
di dalam A atau di dalam B.
Gabungan dari himpunan A dan
himpunan B dilambangkan A  B.
A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }
Diagram Venn Operasi Gabungan
Komplemen (complement)
Himpunan komplemen adalah
himpunan semua unsur yang tidak
termasuk dalam himpunan yang
diberikan.
Jika himpunannya A maka himpunan
komplemennya dilambangkan A’ atau
Ā
Diagram Venn Komplemen
U
A
A
Selisih (difference)
Selisih himpunan A dan B adalah
semua unsur A yang tidak termasuk di
dalam B.
Selisih himpunan A dan himpunan B
dilambangkan A – B atau A  B’
Diagram Venn Operasi Selisih
Beda Setangkup (symmetric difference)
Beda setangkup himpunan A dan
himpunan B adalah himpunan yang
anggota-anggotanya hanya
merupakan anggota himpunan A saja
atau B saja.
A  B   A  B   A  B   A  B  B  A
Diagram Venn Beda Setangkup
Perkalian Kartesian
Jika terdapat himpunan A dan himpunan B
maka perkalian kartesian A x B adalah
himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan pasangan terurut dengan
komponen pertama berasal dari himpunan
A dan komponen kedua berasal dari
himpunan B.
A x B ={(a,b) | a  A dan b  B }
Contoh 2.29 : Perkalian Kartesian
Misal :
Maka :
C = { 1, 2, 3 }
D = { a, b }
C x D = {(1,a) ,(1,b) ,(2,a) ,(2,b),
(3,a) , (3,b)}
Pasangan berurut (a,b) berbeda dengan
(b,a), dengan kata lain (a,b)  (b,a)
Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A
x B  B x A, dengan syarat A atau B tidak
kosong
Jika A = Ø atau B = Ø,
maka A x B = B x A = Ø
Jika A dan B merupakan himpunan
berhingga, maka : |A x B | = | A | . | B |
11. Perampatan Operasi Himpunan
Operasi himpunan dapat dilakukan thdp 2 atau
lebih himpunan.
n
A1  A2      An   Ai
i 1
n
A1  A2      An   Ai
i 1
n
A1  A2      An   Ai
i 1
n
A1  A2      An   Ai
i 1
Contoh 2.32 :
Misalkan :
A1  0,2,3
A2  1,2,3,6
A3   1,0,3,9
Maka,
 Ai  3 dan
3
i 1
 Ai   1,0,1,2,3,6,9
3
i 1
12. Hukum-hukum Aljabar Himpunan
No
1
2
Hukum
Identitas
Dominasi
(i)
(ii)
(i)
(ii)
AØ  A
A U  A
AØ  Ø
A U U
3
Komplemen
(i) A  A  U
(ii) A  A  Ø
4
Idempoten
(i) A  A  A
(ii) A  A  A
5
Involusi
A  A
6
Penyerapan
A  A  B  A
7
Komutatif
A B  B  A
A  A  B  A
A B  B  A
8
Asosiatif
A  B  C    A  B   C
A  B  C    A  B   C
9
Distributif
A  B  C    A  B    A  C 
10
De Morgen
A B  A B
A  B  C    A  B    A  C 
A B  A B
11
Hukum 0/1
Kompl. 2
Ø U
U Ø
13. Prinsip Dualitas
1
Identitas :
AØ  A
2
Dominasi :
AØ  Ø
3
Komplemen :
A A U
4
Idempoten :
A A  A
Dualnya :
A U  A
Dualnya :
A U  U
Dualnya :
A A  Ø
Dualnya :
A A  A
5
Penyerapan :
6
Komutatif :
A  A  B  A
A B  B  A
Dualnya :
A  A  B  A
Dualnya :
A B  B  A
7
Asosiatif :
8
Distributif :
Dualnya :
A  B  C    A  B   A  C 
A  B  C    A  B   A  C 
9
De Morgan :
A  B  C    A  B  C
A B  A B
10
Hukum 0/1
Ø U
Dualnya :
A  B  C    A  B  C
Dualnya :
A B  A B
Dualnya :
U Ø
14. Prinsip Inklusi - Eksklusi
AB = A + B - A  B
Menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup
A B  A  B  2 A B
Contoh 2.35 :
Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100
yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian :
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3.
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5.
A  B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5
(yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh
KPK-Kelipatan Persekutuan Terkecil-dari 3 dan 5,
yaitu 15)
Yang ditanyakan adalah AB.
Terlebih dahulu kita harus menghitung
A  100 / 3  33
B  100 / 5  20
A  B  100 / 15  6
Untuk mendapatkan
AB = A + B - A  B
= 33 + 20 – 6
= 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5
Prinsip inklusi-eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi
lebih dari dua buah himpunan
ABC
= A + B + C - A  B - A  C - B  C +  ABC 
Contoh 2.36 :
I = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Inggris.
P= himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Perancis.
J = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Jerman.
maka
I = 1232,
dan
P = 879,
I  P = 103, I  J = 23,
IPJ = 2092
J = 114
P  J = 14,
Penyulihan nilai-nilai di atas pada persamaan
IPJ
= I + P + J - I  P - I  J - P  J +  IPJ 
Memberikan
2092 = 1232 + 879 +114 – 103 -23 -14 +  IPJ 
Sehingga
 IPJ  = 7
Jadi, ada 7 orang mhs yang mengambil ketiga buah kuliah
Bahasa Inggris, Perancis dan Jerman.
Sifat-sifat Operasi Himpunan dan
prinsip dualitas
15. Partisi
Partisi dari sebuah himpunan A adalah
sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2,…dari A
sedemikian sehingga :
a. A1  A2      A dan
b. Himpunan bagian Ai saling lepas, yaitu Ai  A j  Ø untuk i  j
Contoh 2.37 :
Misalkan
A  1,2,3,4,5,6,7,8
maka 1, 2,3,4, 7,8, 5,6 Adalah partisi dari A
16. Pembuktian Proposisi Himpunan
Pernyataan himpunan dapat dibuktikan
dengan menggunakan :
Diagram Venn
Tabel keanggotaan
Sifat aljabar/operasi himpunan
Definisi
Pembuktian dengan menggunakan
Diagram Venn
Untuk membuktikan kebenaran dari
pernyataan himpunan dengan
menggunakan diagram Venn :
Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri
dan ruas kanan kesamaan.
Jika ternyata kedua gambar dari diagram
Venn tersebut sama maka kesamaan
tersebut terbukti benar.
Contoh 2.38 :
Keduanya memberikan area arsiran yang sama
B
A
C
A  B  C 
B
A
C
 A  B   A  C 
B
A
C
A  B  C 
B
A
C
 A  B   A  C 
Pembuktian dengan menggunakan tabel
keanggotaan.
Contoh 2.39 :
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C BC A(BC) AB AC (AB)(A C)
0 0
0
0
0
0
1 1
0
0
0
0
0 1
0
0
0
0
1 1
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
1 1
1
0
1
1
0 1
1
1
0
1
1 1
1
1
1
1
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
pq
T
F
F
F
Konjungsi
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
pq
T
T
T
F
Disjungsi
Pembuktian dengan menggunakan sifat
aljabar/operasi himpunan.
Contoh 2.40 :
Misalkan A dan B himpunan.
Buktikan bahwa
 A  B   A  B   A
Penyelesaian :
 A  B   A  B   A  B  B   Distributif
 A U
A
 Komplemen
 Identitas
Pembuktian dengan menggunakan definisi.
Membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk
kesamaan, tetapi proposisi yang berbentuk implikasi.
Biasanya terdapat notasi himpunan bagian  atau 
Contoh 2.47 :
Misalkan A dan B himpunan.
Jika A  B  Ø
maka A  C
dan A  B  C 
Buktikan !
17. Himpunan Ganda & Operasinya
Pada himpunan ganda, terdapat satu
anggota yang muncul lebih dari satu kali.
Jumlah kemunculan anggota dari suatu
himpunan ganda disebut multiplisitas.
Contoh :
Q = { 1,1,2,2,2,4,7,8,8,9}
Multiplisitas 2 adalah 3
Multiplisitas 8 adalah 2
Operasi Gabungan
Operasi gabungan pada multiset akan
menghasilkan multiplisitas anggotaanggotanya sama dengan multiplisitas
maksimum anggota-anggota pada
himpunan ganda.
Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3}
T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}
ST = { 1,1,1,2,2,2,3,3,4}
Operasi Irisan
Operasi irisan pada multiset akan
menghasilkan multiset yang multiplisitas
anggota-anggotanya sama dengan
multiplisitas minimum anggota-anggota
pada himpunan ganda.
Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3}
T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}
ST = { 1,1,2,2,3}
Operasi Selisih
Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S – T akan
menghasilkan multiset yang multiplisitas anggotaanggotanya ditentukan dengan cara :
 Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih
besar pada S maka S – T multiplisitas anggota yang ada
pada S dikurangi multiplisitas pada T, jika selisihnya
positif
 Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih
besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama
tersebut sama dengan 0 ( jika selisihnya nol atau negatif )
Contoh :
S = { 1,1,2,2,2,3}
T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}
S-T = { 2 }
T-S = { 1,3,4}
Operasi Jumlah
Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T
akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggotaanggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masingmasing anggota yang sama.
Contoh :
S = { 1,1,2,2,2,3}
T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}
S+T = { 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,4}