bab ii teori dasar

BAB II
TEORI DASAR
2.1 UMUM
Gempa bumi merupakan salah satu bencana alam yang tidak dapat diprediksi
secara pasti kapan dan dimana datangnya serta berapa besar kekuatannya. Dampak
dari gempa bumi ini selain menimbulkan kerusakan pada bangunan, infrastruktur
jalan serta fasilitas umum lainnya, juga dapat menimbulkan jatuhnya korban jiwa.
Gempa bumi ini sendiri dapat diartikan sebagai getaran atau guncangan yang
bersifat alamiah yang terjadi di permukaan bumi. Gempa bumi disebabkan oleh
beberapa hal antara lain:
1. Aktivitas tektonik berupa pergerakan lempeng bumi
Gempa bumi ini biasa disebut gempa bumi tektonik. Gempa bumi tektonik
berhubungan dengan kegiatan gaya-gaya tektonik yang terus berlangsung dalam
proses pembentukan gunung-gunung, terjadinya patahan-patahan (faults) dan tarikan
atau tekanan dari pergerakan lempeng-lempeng batuan penyusun kerak bumi.
2. Aktivitas vulkanik gunung berapi
Gempa bumi akibat aktivitas vulkanik ini biasa disebut gempa bumi vulkanik.
Gempa bumi vulkanik terjadi baik sebelum, selama, ataupun sesudah letusan gunung
api. Penyebab gempa vulkanik ini adalah adanya persentuhan antara magma dengan
dinding gunung api dan tekanan gas pada letusan yang sangat kuat, atau perpindahan
magma secara tiba-tiba dari dapur magma. Kekuatan gempa bumi vulkanik
sebenarnya sangat lemah dan hanya terjadi di wilayah sekiar gunung api yang sedang
aktif. Dari seluruh gempa bumi yang terjadi hanya 7% yang termasuk ke dalam
Universitas Sumatera Utara
gempa bumi vulkanik, walaupun demikian kerusakannya cukup luas juga, karena
disertai dengan letusan gunung api.
3. Tabrakan
Tabrakan benda langit atau sering disebut meteor terhadap permukaan bumi
juga dapat menyebabkan getaran, hanya saja getaranya tidak sampai terekam oleh
alat pencatat getaran gempa bumi dan juga sangat jarang terjadi.
4. Runtuhan lubang-lubang interior bumi
Runtuhnya lubang-lubang interior bumi seperti gua atau tambang
batuan/mineral dalam bumi dapat menyebabkan getaran di atas permukaannya,
namun getaran ini tidak terlalu besar dan terjadi bersifat setempat saja atau terjadi
secara lokal.
Dari keempat penyebab gempa bumi yang disebutkan di atas gempa bumi
tektonik yang mempunyai kekuatan paling besar dan frekuensi terjadinya juga tinggi,
sehingga dampak yang ditimbulkan gempa bumi tektonik ini juga cukup besar.
Proses terjadinya gempa tektonik dapat dijelaskan dengan teori plat tektonik
(tectonic plate). Pada teori plat tektonik dijelaskan bahwa bumi terdiri dari dari
lempeng-lempeng bumi atau yang disebut lempeng tektonik (tectonic plate).
Lempeng-lempeng tektonik yang lebih kaku mengapung di atas lapisan mantel bumi
yang bersifat lebih cair dan bergerak secara tidak beraturan baik arah maupun
kecepatannya. Pergerakan ini disebabkan karena pada lapisan mantel terjadi aliran
arus panas konveksi yang berasal dari inti bumi. Pergerakan lempeng bumi dapat
berupa pergerakan yang saling menjauhi (berpisah), saling mendekati atau
berpapasan, dan saling bertumbukan atau bergesekan. Kecepatan pergerakan
lempeng-lempeng tektonik berkisar antara 2 cm/tahun sampai 15 cm/tahun.
Universitas Sumatera Utara
Proses tekan menekan dan desak mendesak diantara massa bumi pada lempenglempeng tektonik telah menciptakan pengumpulan dan penimbunan energi di dalam
bumi. Jangka waktu proses penimbunan dan pelepasan energi yang menimbulkan
gempa bumi itu berlangsung antara 30-600 tahun. Terdapat variasi siklus berulang
gempa antara satu kawasan dengan kawasan lain, ada siklus kejadian gempa bumi
30-50 tahunan, ada 100 tahun, 200 tahun dan 600 tahun. Energi yang terkumpul atau
tersimpan di dalam bumi / massa batuan pada suatu saat tidak mampu lagi ditahan
oleh massa bumi dan akhirnya bumi / batuan itu pecah / remuk / patah atau sobek
(rupture). Pada saat bumi itu remuk atau pecah disaat itulah energi dilepaskan dan
bergerak dalam wujud gelombang. Energi ini akan menyebabkan getaran yang akan
merambat dari sumber getaran ke permukaan bumi. Getaran inilah yang disebut
dengan gempa bumi.
Dalam bidang teknik sipil gempa bumi merupakan salah satu bagian dari jenis
beban yang dapat membebani struktur selain beban mati, beban hidup dan beban
angin. Beban gempa memang tidak selalu diperhitungkan dalam perencanaan atau
analisa struktur. Namun bagi struktur yang dibangun pada suatu lokasi yang rawan
akan terjadinya gempa bumi, maka analisa terhadap beban gempa harus dilakukan.
Gaya gempa yang bekerja pada struktur bangunan dapat digolongkan sebagai
beban dinamis, yaitu beban yang berubah-ubah menurut waktu, arah maupun
posisinya. Pembebanan gaya gempa ini berbeda dengan pembebanan- pembebanan
statis. Pada pembebanan statis, respon dan pembebanannya bersifat tetap atau statis.
Sementara pada pembebanan akibat gaya gempa, respon dan pembebanannya
berubah menurut waktu sehingga dalam perhitungannya gaya gempa tidak
mempunyai solusi tunggal seperti pada gaya statis.
Universitas Sumatera Utara
Gaya gempa yang bekerja pada struktur bangunan terjadi pada seluruh arah
pembebanan baik arah horizontal maupun arah vertikal. Gaya gempa arah vertikal
memiliki kekuatan lebih besar dari pada gaya gempa arah horizontal. Tetapi dalam
perencanaan, pada umumnya hanya gaya gempa arah horizontal saja yang digunakan
untuk mewakili pembebanan akibat gempa. Hal ini dikarenakan gaya gempa arah
horizontal lebih besar pengaruhnya terhadap kerusakan bangunan. Gaya gempa
horizontal dapat menimbulkan simpangan (drift) pada lantai-lantai bangunan
sehingga apabila simpangan yang terjadi cukup besar maka tingkat kerusakan
bangunan yang terjadi lebih signifikan dan resiko korban jiwa juga akan lebih besar.
Sementara untuk gaya gempa arah vertikal, pengaruhnya lebih kecil terhadap
kerusakan struktur bangunan dibandingkan gaya gempa arah horizontal. Gaya gempa
arah verikal yang bekerja pada bangunan akan menimbulkan gaya aksial pada
elemen kolom. Elemen kolom mempunyai kekakuan yang besar dalam menahan
gaya aksial sehingga gaya gempa arah vertikal ini tidak menimbulkan pengaruh
yang signifikan terhadap kerusakan bangunan. Gaya gempa arah vertikal harus
diperhitungkan pada struktur bangunan yang unsur-unsurnya memiliki kepekaan
yang tinggi terhadap beban gravitasi seperti yang tertera dalam SK SNI-1726-2002
Standar Perencanaan Ketahanan Gempa Untuk Struktur Bangunan Gedung pasal
4.8.1 bahwa unsur-unsur struktur gedung yang memiliki kepekaan yang tinggi
terhadap beban gravitasi seperti balkon, kanopi dan balok kantilever berbentang
panjang, balok transfer pada struktur gedung tinggi yang memikul beban gravitasi
dari dua atau lebih tingkat di atasnya serta balok beton pratekan berbentang panjang,
harus diperhitungkan terhadap komponen vertikal gerakan tanah akibat pengaruh
gempa rencana.
Universitas Sumatera Utara
Besarnya tingkat pembebanan gempa berbeda-beda dari satu wilayah ke
wilayah lain, yang tergantung pada keadaan seismetektonik, geografi dan geologi
setempat. Analisa gempa terutama pada bangunan tinggi perlu dilakukan karena
pertimbangan keamanan struktur dan kenyaman penghuni bangunan.
Struktur bangunan tahan gempa harus direncanakan selain mampu menahan
gaya gempa juga harus mampu memberikan tingkat keamanan dan pelayanan yang
memadai bagi penghuni di dalamnya saat terjadi gempa. Menurut T. Paulay (1988),
tingkat layanan dari struktur yang dibebani gaya gempa terdiri dari tiga, yaitu:
1. Serviceability.
Jika gempa dengan intensitas percepatan tanah yang kecil dalam waktu ulang
yang besar mengenai struktur, disyaratkan tidak mengganggu fungsi bangunan,
seperti aktivitas normal di dalam bangunan dan perlengkapan yang ada. Artinya tidak
dibenarkan ada terjadi kerusakan pada struktur baik pada komponen struktur maupun
dalam elemen non-struktur yang ada. Dalam perencanaan harus diperhatikan kontrol
dan batas simpangan (drift) yang dapat terjadi pada saat gempa, serta menjamin
kekuatan yang cukup bagi komponen struktur untuk menahan gaya gempa yang
terjadi dan diharapkan struktur masih berprilaku elastis.
2. Kontrol kerusakan.
Jika struktur dikenai gempa dengan waktu ulang sesuai dengan umur atau
masa rencana bangunan, maka struktur direncanakan untuk dapat menahan gempa
ringan atau gempa kecil tanpa terjadi kerusakan pada komponen struktur ataupun
maupun komponen non-struktur, dan diharapkan struktur dalam batas elastis.
Universitas Sumatera Utara
3. Survival
Jika gempa kuat yang mungkin terjadi pada umur/ masa bangunan yang
direncanakan membebani struktur, maka struktur direncankan untuk dapat bertahan
dengan tingkat kerusakan yang besar tanpa mengalami kerusakan dan keruntuhan
(collapse). Tujuan utama dari keadaan batas ini adalah untuk menyelamakan jiwa
manusia. Pengaruh gempa bumi yang sangat merusak struktur bangunan adalah load
pad dari komponen gaya atau getaran horizontal. Getaran horizontal tersebut
menimbulkan gaya reaksi yang besar, bahkan di lokasi puncak atau ujung bangunan
dapat mengalami pembesaran hingga dua kalinya. Bila aliran gaya pada bangunan itu
lebih besar daripada kekuatan struktur maka bangunan itu akan rusak parah. Untuk
daerah yang rawan gempa bumi dibutuhkan ekstra kewaspadaan dan solusi teknologi
tepat guna yang mampu meminimalkan korban jiwa dan harta benda. Untuk itu
betapa pentingnya penerapan teknologi yang tepat guna.
Kerusakan bangunan akibat gempa bumi dapat diantisipasi dengan beberapa
metode, baik secara konvensional maupun secara teknologi. Pada saat sekarang ini
para ahli telah menemukan sistem base isolation untuk memproteksi struktur dari
bahaya gempa, dengan cara mereduksi gaya gempa yang bekerja pada struktur
bangunan dan meresapkan energi gempa yang terjadi pada bangunan tersebut.
Penggunaan base isolator baik secara teoritis maupun eksperimental telah
terbukti efektif untuk mereduksi gaya gempa yang bekerja pada struktur bangunan.
Base isolator dengan kekakuan horizontal yang relatif kecil disisipkan di antara
bangunan atas dan pondasinya atau dengan kata lain base isolator ini akan
memisahkan bangunan atau struktur dari komponen horizontal pergerakan tanah.
Bangunan yang disisipkan base isolator mempunyai frekuensi yang jauh lebih kecil
Universitas Sumatera Utara
dari bangunan konvensional dan frekuensi dominan dari gerakan tanah. Akibatnya
percepatan gempa yang bekerja pada bangunan menjadi lebih kecil. Ragam getar
pertama bangunan hanya menimbulkan deformasi lateral pada sistem isolator,
sedangkan bagian atas akan berperilaku sebagai rigid body motion. Ragam-ragam
getar yang lebih tinggi yang menimbulkan deformasi pada struktur adalah orthogonal
terhadap ragam pertama dan gerakan tanah sehingga ragam-ragam getar ini tidak ikut
berpartisipasi didalam respons struktur, atau dengan kata lain energi gempa tidak
disalurkan ke struktur bangunan (Naeim and Kelly, 1999). Pada saat terjadi gempa
khususnya gempa kuat, base isolator dengan kekakuan horizontal yang relatif kecil
akan meningkatkan waktu getar alamiah bangunan (umumnya antara 2 s/d 3,5 detik).
Dengan meningkatnya waktu getar alamiah bangunan maka percepatan gempa yang
terjadi akan relatif kecil khususnya pada tanah keras sehingga gaya gempa yang
bekerja pada bangunan akan tereduksi.
Base Isolator yang pertama kali digunakan untuk memproteksi bangunan
terhadap gaya gempa ialah elastromeric-based system atau disebut laminated rubber
bearing. Isolator ini digunakan pertama kali pada bangunan Sekolah Pestalozzi di
Sopje, Macedonia. Pada mulanya isolator ini hanya berupa blok karet yang cukup
besar tanpa lempengan baja. Isolator ini mempunyai kekakuan vertikal yang hanya
beberapa kali kekakuan horizontal dan karet dari isolator ini relatif tidak mempunyai
redaman. Sejak bangunan tersebut selesai dibangun, banyak bangunan-bangunan
lainnya dibangun dengan isolator ini hanya saja diberi tambahan lempengen baja
pada lapisan karetnya, sehingga mampu meningkatkan kekakuan vertikalnya hingga
beberapa ratus kali kekakuan horizontalnya.
Universitas Sumatera Utara
Salah satu jenis dari base isolator yang telah dikembangkan dan banyak
digunakan sekarang ini ialah base isolator jenis lead rubber bearing (LRB). Lead
rubber bearing (LRB) ditemukan di Selandia Baru pada tahun 1975 dan sudah
digunakan secara luas di Selandia Baru, Jepang, dan Amerika Serikat. LRB
merupakan jenis laminated rubber bearing dan low-damping rubber bearing tetapi
terdiri dari satu atau lebih batangan bulat timah (lead) yang dimasukkan ke dalam
lubang di bagian tengah isolator ini. LRB ini terdiri dari beberapa lapisan karet alam
atau sintetik yang mempunyai nisbah redaman kritikal antara 2-5%. Dengan adanya
batangan bulat dari timah tersebut, nisbah redaman isolator ini dapat mencapai
hingga 30% . Untuk dapat menahan beban vertikal (agar tidak terjadi tekuk), maka
isolator diberi lempengan baja yang dilekatkan ke lapisan karet dengan sistem
vulkanisir.
Sejak gempa Kobe dan Northrigde yang menimbulkan kerusakan bangunan
dan kerugian yang besar serta korban jiwa yang cukup banyak, penggunaan base
isolator terus meningkat khususnya pada bangunan-bangunan penting seperti rumah
sakit, telekomunikasi, pusat komputer, apartemen, bangunan kantor, gedung
perkuliahan, bangunan komersial, bangunan berbahaya seperti instalasi nuklir, bahan
kimia, bangunan bersejarah dan bangunan penting lainnya. Untuk bangunan rumah
sakit, pembangkit listrik, telekomunikasi harus diberi perhatian lebih khusus,
berhubung bangunan ini harus tetap berfungsi bila terjadi gempa.
Universitas Sumatera Utara
2.2 KARAKTERISTIK DINAMIK STRUKTUR BANGUNAN
Persamaan diferensial pada analisa dinamika struktur melibatkan tiga properti
utama yaitu massa, kekakuan dan redaman. Ketiga properti struktur tersebut
umumnya disebut dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat
spesifik yang tidak semuanya digunakan pada problem statik. Kekakuan elemen /
struktur adalah salah satu-satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik,
sedangkan karakteristik yang lainnya yaitu massa dan redaman tidak dipakai.
2.2.1 Massa
Suatu struktur yang kontinu kemungkinan mempunyai banyak derajat
kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya
derajat kebebasan yang umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan
menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan diferensial yang
ada.
Terdapat dua permodelan pokok yang umumnya dilakukan untuk
mendeskripsikan massa struktur.
2.2.1.1 Model Lumped Mass
Model pertama adalah model diskretisasi massa yaitu massa diangggap
menggumpal pada tempat-tempat (lumped mass) join atau tempat-tempat tertentu.
Dalam hal ini gerakan / degree of freedom suatu join sudah ditentukan. Untuk titik
nodal yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan / satu translasi maka nantinya
elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang isinya hanya
bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa bagian offdiagonal akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya bekerja pada tiap-tiap
massa. Selanjutnya juga dikatakan bahwa apabila terdapat gerakan rotasi massa
Universitas Sumatera Utara
( rotation degree of freedom ), maka pada model lumped mass ini juga tidak akan
ada rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa dianggap
menggumpal pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass moment of inertia dapat
dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi tersebut
terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol.
Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat
pada tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat hanya
ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena hanya
terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa / tingkat, maka jumlah
derajat kebebasan pada suatu bangunan bertingkat banyak akan ditunjukkan oleh
banyaknya tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks
massa hanya akan berisi pada bagian diagonal saja.
2.2.1.2 Model Consistent Mass Matrix
Model ini adalah model yang kedua dari kemungkinan permodelan massa
struktur. Pada prinsip consistent mass matrix ini, elemen struktur akan berdeformasi
menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan massa seperti ini akan
sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi massanya kontinu. Apabila tiga
derajat kebebasan (horizontal, vertikal dan rotasi) diperhitungkan pada setiap node
maka standar consistent mass matrix akan menghasilkan full-populated consistent
matrix artinya suatu matriks yang off-diagonal matriksnya tidak sama dengan nol.
Pada lumped mass model tidak akan terjadi ketergantungan antar massa (mass
coupling) karena matriks massa adalah diagonal. Apabila tidak demikian maka mass
moment of inertia akibat translasi dan rotasi harus diperhitungkan. Pada bangunan
bertingkat banyak yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap tingkat bangunan,
Universitas Sumatera Utara
maka penggunaan model lumped mass masih cukup akurat. Untuk pembahasan
struktur MDOF seterusnya maka model inilah (lumped mass) yang akan dipakai.
2.2.2 Kekakuan
kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang
sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan
mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau
Eigenproblem. Hubungan tersebut akan menentukan nilai frekuensi sudut •, dan
periode getar struktur T. Kedua nilai ini merupakan parameter yang sangat penting
dan akan sangat mempengaruhi respon dinamik struktur.
Pada prinsip bangunan geser (shear building) balok pada lantai tingkat
dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan.
Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat
membantu kekakuan balok sehingga anggapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada
prinsip desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat
dibandingkan dengan balok, namun demikian rasio tersebut tidak selalu linear
dengan kekakuannya. Dengan prinsip shear building ini maka dimungkinkan
pemakaian lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat
dihitung berdasarkan rumus yang telah ada. Pada prinsipnya, semakin kaku balok
maka semakin besar kemampuannya dalam mengekang rotasi ujung kolom, sehingga
akan menambah kekuatan kolom. Perhitungan kekakuan kolom akan lebih teliti
apabila pengaruh plat lantai diperhatikan sehingga diperhitungkan sebagai balok T.
2.2.3 Redaman
Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi (energi dissipation) oleh
struktur akibat berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu antara lain adalah
Universitas Sumatera Utara
pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul di dalam material, pelepasan
energi oleh gesekan alat penyambung maupun sistem dukungan, pelepasan energi
oleh adanya gesekan dengan udara dan pada respon inelastic pelepasan energi juga
terjadi akibat adanya sendi plastis. Karena redaman berfungsi melepaskan energi
maka hal ini akan mengurangi respon struktur.
2.3 SIMPANGAN (DRIFT) AKIBAT GAYA GEMPA
Simpangan (drift) adalah sebagai perpindahan lateral relatif antara dua tingkat
bangunan yang berdekatan atau dapat dikatakan simpangan mendatar tiap-tiap
tingkat bangunan (horizontal story to story deflection).
Simpangan lateral dari suatu sistem struktur akibat beban gempa adalah
sangat penting yang dilihat dari tiga pandangan yang berbeda, menurut Farzat Naeim
(1989):
1. Kestabilan struktur (structural stability)
2. Kesempurnaan arsitektural (architectural integrity) dan potensi kerusakan
bermacam-macam komponen non-struktur
3. Kenyaman manusia (human comfort), sewaktu terjadi gempa bumi dan sesudah
bangunan mengalami gerakan gempa.
Sementara itu Richard N. White (1987) berpendapat bahwa dalam
perencanaan bangunan tinggi selalu dipengaruhi oleh pertimbangan lenturan
(deflection), bukannya oleh kekuatan (strength).
Simpangan antar tingkat dari suatu titik pada suatu lantai harus ditentukan
sebagai simpangan horizontal titik itu, relatif terhadap titik yang sesuai pada lantai
yang berada dibawahnya. Untuk menjamin agar kenyamanan para penghuni gedung
Universitas Sumatera Utara
tidak terganggu maka dilakukan pembatasan-pembatasan terhadap simpangan antar
tingkat pada bangunan. Pembatasan ini juga bertujuan untuk mengurangi momenmomen sekunder yang terjadi akibat penyimpangan garis kerja gaya aksial di dalam
kolom-kolom (yang lebih dikenal dengan P-delta). Menurut SK SNI-1726-2002
Standar Perencanaan Ketahanan Gempa Untuk Struktur Bangunan Gedung pasal
8.1.2 bahwa untuk memenuhi persyaratan kinerja batas layan struktur gedung, dalam
segala hal simpangan antar-tingkat yang dihitung dari simpangan struktur gedung
menurut Pasal 8.1.1 tidak boleh melampaui 0,03/R kali tinggi tingkat yang
bersangkutan atau 30 mm, bergantung yang mana yang nilainya terkecil. Sementara
Berdasarkan UBC 1997 bahwa batasan story drift atau simpangan antar tingkat
adalah sebagai berikut:
Untuk periode bangunan yang pendek T< 0,7 detik, maka simpangan antar tingkat
•m • 0,0025Ih atau 2,5% dari tinggi bangunan. Untuk periode bangunan yang
pendek T> 0,7 detik, maka simpangan antar tingkat •m • 0,002Ih atau 2,0% dari
tinggi bangunan.
2.4 DERAJAT KEBEBASAN (DEGREE OF FREEDOM, DOF)
Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang
diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada setiap waktu. Pada problem
dinamik, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah
tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan hanya terjadi
dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada setiap saat
hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda negatif ataupun bertanda
positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpangan suatu massa pada saat t dapat
Universitas Sumatera Utara
dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu u(t). Struktur seperti itu dinamakan struktur
dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF sistem).
Dalam model sistem SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, setiap massa
m, kekakuan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap
tertumpu pada elemen fisik tunggal. Struktur yang mempunyai n-derajat kebebasan
atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom
(MDOF). Maka dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah jumlah
koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.
2.4.1 Persamaan Diferensial Pada Struktur SDOF
Sistem derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu
koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang
ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah salah satu contoh bangunan derajat kebebasan
tunggal.
Pada gambar 2.1a tampak sistem SDOF pada portal satu tingkat. Portal
tersebut terdiri dari suatu massa m yang terkonsentasi pada lantai atap, frame yang
dianggap tidak bermassa yang memberikan kekakuan (stiffness) pada portal, dan
sebuah viscous damper (atau sering disebut dashpot) yang meredam energi getaran
dari sistem. Pada portal tersebut bekerja gaya P(t) yaitu beban yang intensitasnya
merupakan fungsi dari waktu dan akibat gaya P(t) terjadi displacement pada portal.
Gambar 2.1b menjelaskan keseimbangan dinamik yang bekerja pada portal. Gambargambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Sistem SDOF juga juga dapat
dimodelkan sebagai mass-spring-damper system yang dapat dilihat pada gambar 2.2.
Pada gambar 2.2a akibat beban dinamik P(t) yang bekerja ke arah kanan pada suatu
Universitas Sumatera Utara
massa m, maka akan terdapat perlawanan pegas dan gaya redaman (damper). Pada
gambar 2.2b dapat dilihat keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada sistem
tersebut dan gambar 2.2.c merupakan free body diagram dari sistem tersebut.
(a)
(b)
Gambar 2.1 Pemodelan struktur SDOF pada portal satu tingkat (Chopra,1995)
(a)
(b)
(c)
Gambar 2.2 Mass-Spring-Damper System
Secara visual Chopra (1995) menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik,
gaya pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3
Gambar 2.3 Keseimbangan gaya dinamik dengan fS, fD, dan f1 (Chopra, 1995)
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik free body diagram pada gambar
2.3, maka dapat diperoleh hubungan,
•(•) • •• • •• = ••••••• •••+ •• + •• = •(•)
(2-1)
dimana:
fD = c.••
(2-2)
fS = •. •
(2-3)
Apabila persamaan (2-2) dan (2-3) disubtitusikan ke persamaan (2-1), maka
akan diperoleh
•••+ •. • + •. ••= •(•)
(2-4)
Persamaan (2-4) adalah persamaan diferensial gerakan massa suatu struktur SDOF
yang memperoleh pembebanan dinamik P(t). Pada problem dinamika yang penting
untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaaan tersebut
adalah u(t).
2.4.2 Persamaan Diferensial Struktur SDOF Akibat Base Motion
Beban dinamik yang umum dipakai pada analisa struktur selain beban angin
adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi
bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk akselelogram. Tanah yang bergetar
akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar
termasuk struktur bangunan. Di dalam hal ini masih ada anggapan bahwa antara
fondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersama-sama atau fondasi
dianggap menyatu dengan tanah. Anggapan ini sebetulnya tidak sepenuhnya benar
karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan fondasi.
Kejadian yang sesungguhnya adalah bahwa antara tanah dan fondasi tidak akan
Universitas Sumatera Utara
bergerak secara bersamaan. Pondasi masih akan bergerak horizontal relatif terhadap
tanah yang mendukungnya. Kondisi seperti ini cukup rumit karena sudah
memperhitungkan pengaruh tanah terhadap analisis struktur yang umumnya disebut
soil-structure interaction analysis.
Untuk menyusun persamaan diferensial gerakan massa akibat gerakan tanah
maka anggapan di atas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom
atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung
bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan diferensial
gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat diturunkan
dengan mengambil model seperti pada gambar 2.4.
Gambar 2.4 Struktur SDOF akibat base motion (Chopra,1995)
Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar di atas maka deformasi total
yang terjadi adalah •• (•) = •(•) + •• (•)
(2-5)
Dari free body diagram pada gambar 2.1b, dengan adanya gaya inersia f1 maka
persamaan keseimbangannya menjadi
•• + •• + •• = 0
(2-6)
dimana gaya inersia adalah
•• = • •••
(2-7)
Universitas Sumatera Utara
Dengan mensubstisusikan persamaan (2- 2), (2-3) dan (2-7) ke persamaan (2-6) dan
menggunakan persamaan (2-5), maka diperoleh persamaan sebagai berikut,
•••+ •. • + •. ••= ••••• (•)
(2-8)
Persamaan ini disebut persamaan diferensial relatif karena gaya inersia, gaya redam
dan gaya pegas yang ketiga-tiganya timbul akibat adanya simpangan relatif. Ruas
kanan pada persamaan (2-8) disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan
tanah efektif. Ruas kanan tersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja
pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif
gempa •••• (•) = ••••• (•)
(2-9)
2.4.3 Persamaan Difrensial Struktur MDOF
2.4.3.1 Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks Redaman
Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan
derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada
struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti prinsip shear
building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF).
Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip
keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk
memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.
Struktur bangunan gedung bertingkat tiga, akan mempunyai tiga derajat
kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung
dengan jumlahnya tingkat. Persamaan diferensial gerakan tersebut umumnya disusun
berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti
yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan dibicarakan lebih lanjut
Universitas Sumatera Utara
pada pembahasan mendatang. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free
body diagram. maka akan diperoleh :
•• ••• + •• •• + •• ••• • •• (•• • •• ) • •• (••• • ••• ) • •• (•) = 0
(2-10)
•• ••• + •• (•• • •• ) + •• (••• • ••• ) • •• (•• • •• ) • •• (••• • ••• ) • •• (•) = 0
(2-11)
•• ••• + •• (•• • •• ) + •• (••• • ••• ) • •• (•) = 0
(2-12)
Pada persamaan-persamaan tersebut di atas tampak bahwa keseimbangan
dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan
simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu
umumnya disebut coupled equation karena persamaan-persamaan tersebut akan
tergantung satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harus dilakukan secara
simultan artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada. Pada struktur
dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakannya merupakan
persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain.
Selanjutnya dengan menyusun persamaan-persamaan di atas menurut
parameter yang sama (percepatan, kecepatan dan simpangan) maka akan diperoleh :
•• ••• + (•• + •• )••• • •• ••• + (•• + •• )•• • •• •• = •• (•)
(2-13)
•• ••• • •• ••• + (•• + •• )••• • •• ••• • •• •• + (•• + •• )•• • •• •• = •• (•)
(2-14)
•• ••• • •• ••• + •• ••• • •• •• • •• •• = •• (•)
(2-15)
Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut
Universitas Sumatera Utara
•• + ••
0 •••
0 • •••• • + • •••
0
•• •••
•• 0
• 0 ••
0
0
•• (•)
••• (•)•
•• (•)
•••
•• + ••
•••
•• + ••
•••
0
••• • •••• • + • •••
•• •••
0
•••
•• + ••
•••
••
0
••• • ••• • =
•• ••
(Pers. 2-15) dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompleks,
[•]{••} + [• ]{••} + [• ]{•} = {• (•)}
(2-16)
Yang mana [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks
dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
•1
[• ] = • 0
0
0
•2
0
•1 + •2
[• ] = • ••2
0
0
•1 + •2
0 •, [• ] = • ••2
•3
0
••2
•2 + •3
••3
••2
•2 + •3
••3
0
••3 • dan
•3
0
••3 •
•3
(2-17)
Sedangkan {••}, {••} dan {•} dan {• (•)} masing-masing adalah vektor percepatan,
vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban, atau
••1
••1
{••} = •••2 • , {••} = •••2 • , {•} =
••3
••3
•1
•1 (•)
•
• 2 • ••• {•(•)} = ••2 (•)•
•3
•3 (•)
(2-18)
2.4.3.2 Matriks Redaman
Pada persamaan diferensial di atas, maka tersusunlah berturut-turut matriks
massa, matriks redaman dan matriks kekakuan. Sebagaimana telah dibahas
sebelumnya bahwa kekakuan kolom sudah dapat dihitung secara lebih pasti.
Kekakuan kolom dapat dihitung berdasarkan model kekakuan balok yang dipakai.
Dengan demikian matriks kekakuan sudah dapat disusun dengan jelas. Pada bagian
lain yang sudah dibahas adalah massa struktur. Apabila model distribusi massa
struktur sudah dapat dikenali dengan baik, maka massa setiap derajat kebebasan juga
Universitas Sumatera Utara
dapat dihitung dengan mudah. Akhirnya matriks massa juga dapat disusun secara
jelas. Maka sesuatu yang perlu dibahas lebih lanjut adalah matriks redaman. Sebelum
menginjak matriks redaman maka akan dibahas terlebih dahulu jenis dan sistem
redaman.
2.4.3.3 Non Klasikal / Non Proporsional Damping
Apabila matriks massa dan matriks kekakuan telah dapat disusun, maka
selanjutnya menyusun matriks redaman. Pada struktur SDOF, koefisien redaman c
dapat dihitung. Koefisien redaman c ialah produk dari rasio antara redaman dengan
redaman kritik. Sistem redaman secara umum terbagi menjadi dua yaitu redaman
klasik (clasiccal damping) dan redaman non-klasik (non-clasiccal damping).
Damping non-klasik tergantung pada frekuensi (frequency dependent). Clough dan
Penzien (1993) memberikan contoh damping non-klasik.
Pada gambar 2.5a tampak kombinasi antara struktur beton di bagian bawah
misalnya dan struktur baja pada bagian atas. Jenis bahan akan mempengaruhi rasio
redaman. Antara struktur beton dan struktur baja akan mempunyai perbedaan rasio
redaman yang cukup signifikan. Oleh karena itu sistem struktur mempunyai rasio
redaman yang berbeda. Prinsip non-klasikal damping akan berlaku pada struktur
tersebut. Pada gambar 2.5b adalah sistem struktur yang memperhitungkan efek /
pengaruh tanah dalam analisis struktur. Analisis struktur seperti itu biasanya disebut
analisis interaksi antara tanah dengan bangunan (soil-structure interaction analysis).
Struktur tanah umumnya mempunyai kapasitas meredam energi atau mempunyai
rasio redaman yang jauh lebih besar daripada bangunan atas. Disamping itu interaksi
Universitas Sumatera Utara
antara tanah dan fondasi sebenarnya adalah interaksi frequency dependent, artinya
kualitas interaksi akan dipengaruhi oleh frekuensi beban yang bekerja.
Apabila interaksi antara tanah dengan struktur dipengaruhi frekuensi, maka
kekakuan dan redaman interaksi juga frequency dependent. Pada kondisi tersebut
sistem struktur tidak akan mempunyai standar mode shapes (akan dibahas
kemudian). Dengan memperhatikan kenyataan-kenyataan seperti itu maka ada empat
hal yang perlu diperhatikan. Pertama rasio redaman struktur atas yang dipengaruhi
oleh level respon, kedua rasio redaman pada stuktur atas dan bawah sangat berbeda,
ketiga rasio redaman struktur bawah tergantung pada frekuensi beban dan keempat
sistem struktur tidak akan mempunyai standar mode shapes. Apabila analisis struktur
memperhatikan hal itu semua, maka problemnya tidak hanya terletak pada redaman
tetapi penyelesaian yang komprehensif terhadap sistem struktur. Penyelesaian soilstructure interaction pada bangunan bertingkat banyak tidak sederhana dan cukup
sulit. Oleh karena itu memperhitungkan redaman non-klasik ini memerlukan
kemampuan yang sangat khusus.
(a)
(b)
Gambar 2.5 Struktur dengan damping non-klasik (Clough & Pensien, 1993)
Universitas Sumatera Utara
2.4.3.4 Klasikal / Proposional Damping
Damping dengan sistem ini relatif sederhana bila dibandingkan dengan nonklasikal damping. Namun demikian penggunaan sistem damping seperti ini juga
terbatas, yaitu hanya dipakai pada analisis struktur yang tidak memperhatikan
interaksi antara tanah dengan bangunan. Ada juga yang memakainya, namun hal itu
disertai dengan anggapan-anggapan. Analisis struktur yang menggunakan damping
jenis ini adalah analisis struktur elastik maupun inelastik yang mana struktur
bangunan dianggap dijepit pada dasarnya. Pada analisis dinamik yang menggunakan
superposisi atas persamaan independen (uncoupled modal superposition method)
maka masih dapat dipakai prinsip ekivalen damping rasio, yaitu yang dinyatakan
dalam bentuk,
Cj = 2 •j Mj •j
(2-19)
yang mana Cj, Mj adalah suatu simbol yang berasosiasi dengan mode j, • dan •j
berturut-turut adalah rasio redaman dan frekuensi sudut mode ke-j.
Untuk menyederhanakan persoalan, umumnya dipakai rasio redaman yang
konstan, artinya nilai rasio redaman diambil sama untuk semua mode. Apabila hal ini
telah disepakati maka analisis dinamik struktur dengan modal analisis tidak
memerlukan matriks redaman. Cara ini mempunyai kelemahan, karena pada mode
yang lebih tinggi umumnya frekuensi sudut • dan rasio redaman • akan lebih besar.
berturut-turut adalah rasio redaman dan frekuensi sudut mode ke-j.
Pada analisis dinamik yang melakukan integrasi secara langsung dan analisis
dinamik inelastik, maka konsep ekivalen damping ratio sebagaimana tercantum pada
persamaan (2-19) tersebut tidak dapat dipakai. Pada kedua analisis ini diperlukan
suatu matriks redaman, dan oleh karenanya matriks redaman perlu disusun. Di dalam
Universitas Sumatera Utara
analisis tersebut damping matriks disusun berdasarkan satu dan dua nilai
proporsional damping. Terdapat beberapa sistem redaman proporsional yang dapat
disusun yang secara skematis ditunjukkan oleh gambar 2.6
Gambar 2.6 Jenis-jenis proporsional damping (Chopra, 1995)
2.4.4 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF
2.4.4.1 Nilai Karakteristik (Eigenproblem)
Sebagaimana disebut di atas bahwa walaupun getaran bebas (free vibration
system) pada kenyataannya jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi membahas
jenis getaran ini akan diperoleh suatu besaran/karakteristik dari struktur yang
bersangkutan yang selanjutnya akan sangat berguna untuk pembahasan-pembahasan
respon struktur berikutnya. Besaran-besaran tersebut terutama adalah frekuensi sudut
•, periode getar T, frekuensi alami f dan normal modes. Pada getaran bebas pada
struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), maka matriks
persamaan diferensial gerakannya adalah seperti pada persamaan (2-16), dengan nilai
ruas kanan sama dengan nol atau,
[•]{••} + [• ]{••} + [• ]{•} = 0
(2-20)
Telah dibahas sebelumnya bahwa frekuensi sudut pada struktur dengan redaman
Universitas Sumatera Utara
(damped frequency) •d nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut pada struktur
yang dianggap tanpa redaman •. Hal ini akan diperoleh apabila nilai damping ratio •
relatif kecil. Apabila hal ini diadopsi untuk struktur dengan derajat kebebasan
banyak, maka untuk nilai C = 0, pers. (2-20) akan menjadi,
[•]{••} + [• ]{•} = 0
(2-21)
Karena pers. (2-21) adalah persamaan diferensial pada struktur MDOF yang
dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian persamaan
diferensial yang sejenis pada pembahasan-pembahasan di depan, maka penyelesaian
persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,
• = {•}i sin (•t)
(2-22)
••= - •{•}i cos (•t)
(2-23)
••= - •2{•}i sin (•t)
(2-24)
Yang mana {•}i adalah suatu koordinat massa pada mode yang ke-i. Substitusi pers.
(2-22) dan (2-24) ke dalam pers. (2-21) selanjutnya akan diperoleh,
- •2[M]{•}i sin (•t) + [K] sin (•t) = 0
{[K]- •2[M]}{•}i = 0
(2-25)
Pers.(2-25) adalah suatu persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan
eigenproblem atau karakteristik problem atau ada juga yang menyebut eigenvalue
problem. Pers. (2-25) tersebut adalah persamaan simultan yang harus dicari
penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan
simultan tersebut adalah dengan memakai dalil Cramer (1704-1752). Gabriel Cramer
adalah salah satu ahli matematika yang berasal dari Swiss. Dalil tersebut menyatakan
bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan ada nilainya apabila
Universitas Sumatera Utara
determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor {•}i adalah nol,
sehingga
|[K] - •2[M]| = 0
(2-26)
Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat
dihubungkan dengan jumlah massa. Mode itu sendiri adalah jenis / pola / ragam
getaran/ goyangan suatu struktur bangunan. Mode ini hanya merupakan fungsi dari
properti dinamik dari struktur yang bersangkutan (dalam hal ini adalah hanya massa
dan kekakuan tingkat) dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan
adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan
yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan
mempunyai 5 jenis ”mode” gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut
yang berhubungan langsung dengan jenis / nomor mode nya. Apabila jumlah derajat
kebebasan adalah n, maka persamaan (2-26) akan menghasilkan suatu polinomial
pangkat n yang selanjutnya akan menghasilkan •i2 untuk i = 1, 2,3 ...n. Selanjutnya,
substitusi masing-masing frekuensi •i ke dalam persamaan (2-25) sehingga akan
diperoleh nilai-nilai •1, •2,........ •n.
2.4.4.2 Frekuensi Sudut (•) dan Normal Modes
Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, di dalam menghitung frekuensi sudut
untuk struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), diambil suatu
anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0.
Untuk menghitung dan sekaligus menggambar normal modes maka diambil suatu
model struktur seperti pada gambar berikut.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.7 Bangunan 2-DOF dan model matematika
Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami
goyangan. Untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang
bersangkutan akan mempunyai banyak ragam / pola goyangan. Normal modes adalah
suatu istilah yang sering dipakai pada problem dinamika struktur, dan kata tersebut
diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan.
Kembali pada persoalan inti, suatu persamaan diferensial gerakan dapat
diperoleh dengan memperhatikan free body diagram seperti pada gambar 2.7c.
Notasi y dan ••pada gambar 2.7 sama dengan notasi • dan ••yang menyatakan nilai
displacement dan percepatan.
Berdasarkan free body diagram pada gambar 2.7c maka diperoleh
•• ••• + •• •• • •• (•• • •• ) = 0
•• ••• + •• (•• • •• ) = 0
(2-27)
Pers (2-27) dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,
•• ••• + (•• + •• )•• • •• •• = 0
•• ••• • •• •• + •• •• = 0
(2-28)
Universitas Sumatera Utara
Pers (2-28) dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu,
•
••
0
(• + •• ) ••• ••
0 •••
0
•• • = • •
•• • + • •
•• •••
0
• • ••
0
(2-29)
Persamaan Eigenproblem untuk pers. (2-29) di atas yaitu
•
(•• + •• ) • •• ••
•••
•••
•
0
• • •• = • •
•
•
0
•• • • ••
•
(2-30)
Dengan •i adalah suatu nilai / ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada
ragam / pola goyangan massa ke-i. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa pers. (2-30)
dapat diperoleh penyelesaiannya apabila nilai determinan sama dengan nol.
(• + •• ) • •• ••
• •
•••
•••
•=0
•• • •• ••
(2-31)
Nilai determinan dari persamaan (2-31) di atas ialah
•• •• •• • {(•• + •• )•• • •• •• }•• + (•• + •• )•• • •• • = 0
(2-32)
Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar dicari
sebenarnya adalah merupakan undamped free vibration periods. Sebagaimana
disampaikan pada pembahasan struktur SDOF bahwa periode getar ini akan sedikit
lebih kecil dibanding dengan periode getar yang mana redaman struktur
diperhitungkan (ingat •d < •, sehingga T < Td).
Selain itu nilai-nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya
nilai-nilai tersebut akan tetap asal nilai-nilai massa dan kekakuan tingkatnya tidak
berubah. Karena nilai kekakuan tingkat ki tidak berubah-ubah maka mode shapes
merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang elastik
yang mempunyai nilai mode shapes. Selain itu juga nilai mode shapes tidak
dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan demikian disimpulkan bahwa nilai-nilai
mode shapes adalah :
Universitas Sumatera Utara
a. bebas dari pengaruh redaman,
b. bebas dari pengaruh waktu,
c. bebas dari pengaruh frekuensi beban dan
d. hanya untuk struktur yang elastik.
2.4.5 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF
2.4.5.1 Persamaan Difrensial Independen (Uncoupling)
Pada kondisi standar shear building, struktur yang mempunyai n-derajat
kebebasan akan mempunyai n-modes atau pola/ragam goyangan. Pada prinsip ini,
masing-masing modes akan memberikan kontribusi pada simpangan horizontal tiaptiap massa seperti ditunjukkan secara visual pada gambar 2.9 (Clough dan Penzien,
1993). Pada prinsip ini, simpangan massa ke-i atau ui dapat diperoleh dengan
menjumlahkan pengaruh atau kontribusi tiap-tiap modes. Kontribusi mode ke-j
terhadap simpangan horizontal massa ke-i tersebut dinyatakan dalam produk antara
•ij dengan suatu modal amplitudo Zj atau seluruh kontribusi tersebut kemudian
dinyatakan dalam,
•• = ••• •• + ••• •• + ••• •• + … . . +••• ••
•• = ••• •• + ••• •• + ••• •• + … . . +••• ••
•• = ••• •• + ••• •• + ••• •• + … . . +••• ••
…………………………………………………
•• = ••• •• + ••• •• + ••• •• + … . . +••• ••
( 2-33)
Persamaan (2-33) juga dapat ditulis menjadi,
Universitas Sumatera Utara
•••
••
• ••
[•] = • •••
• …
••••
•••
•••
•••
…
•••
•••
•••
•••
…
•••
…
…
…
…
…
•••
••
•
•
••• • •• •
•
•
••• • ••
•
… ••
•… •
••• • •••• •
(2-34)
Suku pertama, kedua, ketiga dan seterusnya sampai suku ke-n pada ruas
kanan pers. (2-34) di atas adalah kontribusi mode pertama, kedua, ketiga dan
seterusnya sampai kontribusi mode ke-n. Sebagai perjanjian, massa struktur MDOF
diberi indeks m, dengan i = 1,2,3,… n, sedangkan mode diberi indeks shape •ij
dengan ordinat mode ke-j untuk massa ke-i.
Y1
Y11
Y2
Y21
=
Y3
Y = •Z
Y12
Y22
+
Y31
Y1 = •1 Z1
Y13
Y23
+
Y32
Y2 = •2 Z2
Y33
Y3 = •3 Z3
Gambar 2.8 Prinsip metode superposisi
Persamaan (2-34) tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih kompak.
{•} = [•]{•}
(2-35)
Derivative pertama dan kedua pers.(2-35) tersebut adalah,
{••} = [•]•••
{••} = [•]•••
(2-36)
Subtitusi pers. (2-35) dan pers. (2-36) kedalam pers. (2-33) maka akan diperoleh,
Universitas Sumatera Utara
[•][•]••• + [• ][•]••• + [• ][•]{•} = •[•]{• }{••• }
(2-37)
Pers. (2-37) sebetulnya adalah satu set persamaan simultan dependent non-homogen.
Untuk dapat mentransfer persamaan dependent menjadi persamaan independen,
maka pers. (2-37) premultiply dengan transpose suatu mode {•}T sehingga
diperoleh,
{•}• [•][•]••• + {•}• [• ][•]••• + {•}• [• ][•]{•} = •{•}• [•]{• }•••• •
(2-38)
Untuk pembahasan awal akan ditinjau pengaruh mode ke-1 saja. Misalnya diambil
struktur yang mempunyai 3-derajat kebebasan, maka perkalian suku pertama pers.
(2-38) sebenarnya adalah berbentuk,
••
{••• ••• ••• } • 0
0
0
••
0
0 •••
0 • ••••
•• •••
•••
•••
•••
••• •••
••• • •••• •
••• •••
(2-39)
Menurut contoh sebelumnya telah terbukti bahwa hubungan orthogonal akan terbukti
apabila i tidak sama dengan j. dengan demikian untuk mode ke-1 pers. (2-39) akan
menjadi,
••
{••• ••• ••• } • 0
0
0
••
0
0 ••
0 • ••• • •••• •
•• ••
(2-40)
Untuk mode ke-j secara umum persamaan (2-47) juga dapat ditulis dengan,
{•}• • [•]{•}• •••••
(2-41)
Cara seperti di atas juga berlaku untuk suku ke-2 dan ke-3 pada persamaan (2-36)
Dengan demikian setelah diperhatikan hubungan orthogonal pers. (2-38) akan
menjadi,
{•}• • [•][•]• •••• + {•}• • [• ][•]• •••• + {•}• • [•][•]• •••• = •{•}• • [•]{•}•••• • (2-42)
Universitas Sumatera Utara
Pers. (2-42) adalah persamaan diferensial yang bebas/independen antar satu
dengan yang lain. Persamaan tersebut diperoleh setelah diterapkannya hubungan
orthogonal, baik orthogonal untuk matriks massa, matriks redaman dan matriks
kekakuan. Sekali lagi bahwa apabila i tidak sama dengan j maka perkalian suku-suku
pada pers. (2-38) akan sama dengan nol, kecuali untuk i = j. Dengan demikian untuk
n-derajat kebebasan independent/ uncoupling dengan sifat-sifat seperti itu maka
penyelesaian persamaan diferensial dapat diselesaikan untuk setiap pengaruh mode.
Berdasarkan pers. (2-42) maka dapat didefenisikan suatu generalisasi massa
(generalized mass), redaman dan kekakuan sebagai berikut,
••• = {•}•• [•]{•}•
• •• = {•}•• [• ]{•}•
• •• = {•}•• [• ]{•}•
(2-43)
Misalnya bangunan bertingkat-3, maka orde perkalian matriks pada
persamaan (2-33) adalah 1x3 x 3x3 x 3x1 = 1x1, artinya pers. (2-43) adalah satu
persamaan independent untuk mode ke-j. dengan demikian dengan memakai
persamaan (2-43) maka persamaan (2-42) akan menjadi,
••• ••• + • •• ••• + • •• •• = ••• •••
(2-44)
dengan,
••• = {•}•• [•]
(2-45)
Pada pembahasan sebelumnya diperoleh suatu hubungan bahwa,
••
••
••
•
••
•• = • • = •••••
••
••• = •••
•
•
dan
maka ••• = 2••• •• •• sehingga ••• = 2•• ••
•
••
•• = •••
(2-46)
•
Universitas Sumatera Utara
Persamaan (2-44) dibagi dengan ••• dan berdasarkan hubungan-hubungan rumus
pada persamaan (2-46), maka persamaan (2-44) menjadi,
••• + 2•• •• ••• + ••• •• = •••••
(2-47)
Dan
••
{•}•[•]
•• • •
•
••• • •
•• = ••• = {•}•[•]{•}
= ••
•• •
•
•
•
•
•••
(2-48)
•
Persamaan 2-48) sering juga disebut dengan partisipasi setiap mode atau
participation factor. Selanjutnya persamaan (2-47) juga dapat ditulis menjadi,
•••
••
•••
••
•
•
+ 2•• •• • + ••• • = •••
(2-49)
Apabila diambil suatu notasi bahwa,
••
••
•
•
•
••• = •• , ••• = •• , dan •• = ••
(2-50)
•
Maka persamaan (2-49) akan menjadi,
••• + 2•• •• ••• + ••• •• = •••
(2-51)
Pers. (2.4.51) adalah persamaan diferensial yang independent karena persamaan
tersebut hanya berhubungan dengan tiap-tiap mode. Pers. (2-51) adalah mirip dengan
persamaan diferensial SDOF seperti telah dibahas sebelumnya.
Nilai partisipasi setiap mode akan dihitung dengan mudah setelah koordinat setiap
mode • telah diperoleh. Nilai •• , ••• , ••• dapat dihitung dengan integrasi secara
numerik. Apabila nilai tersebut telah diperoleh maka nilai Zi dapat dihitung. Dengan
demikian simpangan horizontal setiap tingkat akan dapat dihitung.
Universitas Sumatera Utara
2.4.5.2 Getaran Bebas Tanpa Redaman
Untuk membahas pemakaian modal analisis pada struktur getaran bebas tanpa
redaman, maka perlu dikemukakan prinsip-prinsip pokok yang akan dilakukan.
Seperti telah disampaikan pada persamaan (2-33) bahwa simpangan struktur dapat
diperoleh dengan menjumlahkan produk antara koordinat normal modes dengan
faktor amplitudo Z untuk setiap mode yang ada. Untuk itu disamping normal modes,
faktor amplitudo tersebut harus dicari terlebih dahulu. Prinsip tersebut dapat
dinyatakan sebagai berikut,
{•} = [•]{•}
Maka faktor amplitudo Z adalah,
{•} = [•]•• {•}
(2-52)
Dengan [•]•• adalah nilai inverse atas modal matriks dan {•} vektor simpangan
horizontal.
Prinsip pemakaian getaran bebas pada modal analis ini dapat dilakukan
dengan memberikan nilai-nilai simpangan awal yang kemudian dinyatakan dalam
vektor simpangan {•}. Apabila faktor amplitudo Z akibat adanya simpangan awal
pada persamaan (2-52) telah dihitung, maka respon struktur / simpangan struktur
dapat diperoleh dengan substitusi kembali persamaan tersebut ke dalam persamaan
sebelumnya.
Secara manual, yang menjadi masalah adalah bagaimana memperoleh nilai
inverse atas modal matriks [•]•• seperti pada persamaan (2-52) Nilai tersebut salah
satunya dapat diperoleh dengan memperhatikan generalized mass matrix sebagai
berikut,
[•• ] = [•]• [•][•]
(2-53)
Universitas Sumatera Utara
dengan [•] adalah modal matriks.
Maka
(2-54)
Suatu alasan mengapa generalized mass matrix dipakai karena matriks massa
adalah matriks diagonal sehingga perkalian matriks dapat dilakukan secara lebih
mudah. Generalized mass matrix seperti tersebut pada persamaan (2-54) juga
merupakan matriks diagonal sehingga nilai inverse matriksnya dapat dilakukan
dengan mudah. Apabila nilai inverse modal matrix seperti pada persamaan (2-54)
telah dihitung maka faktor amplitudo Z seperti pada pers. (2-52) dapat dihitung.
Gambar 2.9 Respon struktur MDOF akibat getaran bebas (tanpa redaman)
Universitas Sumatera Utara
2.4.5.3 Getaran Bebas Dengan Redaman (Damped Free Vibration Systems)
Apabila pembahasan di atas diperhatikan maka hitungan yang relatif panjang
adalah dalam rangka menghitung nilai invers modal matriks [•]-1. Untuk mencari
nilai tersebut sebetulnya dapat dipakai cara yang lain yang relatif lebih mudah. Untuk
itu pembahasan akan dimulai dari persamaan,
• = •• •• + •• •• + •• •• + … . . +•• ••
(2-55)
Apabila pers. (2.4.55) dikalikan awal (premultiply) dengan •• • M maka,
•• • • • = •• • M •• •• + •• • M •• •• + •• • M •• •• + … . . +•• • M •• ••
(2-56)
Pada pembahasan hubungan orthogonal telah diketahui bahwa perkalian pada sukusuku ruas kanan pers. (2-56) akan sama dengan nol kecuali untuk koordinat • yang
subskribnya sama. Dengan demikian persamaan (2-56) akan menjadi,
•• • • • = •• • M •• ••
•• • •
Maka •• = •
•
•
• ••
•
(2-57)
Dengan logika yang sama juga akan diperoleh hubungan,
••• =
•• • •
•• • • ••
••
(2-58)
Dengan memperhatikan persamaan (2-52) maka vektor modal amplitudo {Z}j dapat
diperoleh dengan,
{•}• = [•]•• {•}•
(2-59)
Persamaan (2-59) juga berarti bahwa melalui nilai inverse modal matriks maka akan
dapat diperoleh modal amplitudo, Zj yaitu modal amplitudo untuk tiap-tiap mode.
Selanjutnya dengan memperhatikan persamaan (2-57) dan (2-59) maka diperoleh
hubungan,
Universitas Sumatera Utara
(2-60)
Untuk struktur MDOF yang mempunyai redaman, modal amplitudo Zj dapat dihitung
berdasarkan,
(2-61)
Langkah yang pertama adalah menghitung modal amplitudo awal Zj(0) dan modal
kecepatan awal Zj(0).
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.10 Respon struktur MDOF akibat getaran bebas (dengan redaman)
2.4.5.4 Persamaan Diferensial Dependen (Coupling)
Seperti telah dibahas sebelumnya, pada struktur bangunan derajat kebebasan
banyak (multi degree of freedom/ MDOF) umumnya akan mempunyai persamaan
diferensial gerakan sesuai dengan banyak derajat kebebasan yang ada. Persamaan
diferensial gerakan pada struktur MDOF akibat beban dinamik dapat ditulis dalam
bentuk matriks yang kompak yaitu,
(2-62)
dengan [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah matriks massa, matriks redaman dan
matriks kekakuan,
,
dan
berturut-turut adalah vektor percepatan, vektor
kecepatan dan vektor simpangan dan P(t) adalah beban dinamik.
Apabila pada struktur dengan derajat kebebasan banyak tersebut bekerja
beban gerakan tanah atau beban gempa bumi maka persamaan diferensial gerakan
yang ada menjadi,
(2-63)
Universitas Sumatera Utara
Baik per. (2-62) dan pers. (2-63) sebetulnya terdiri atas beberapa / banyak persamaan
yang sering terkait antara persamaan satu dengan persamaan yang lain. Seperti
disebut sebelumnya persamaan itu disebut coupled equations atau dependent
equations.
2.4.5.5 Penyelesaian Persamaan Diferensial Gerakan
Sebagaimana dijelaskan sebelumnya bahwa respon yang paling penting di
dalam persoalan analisis dinamik struktur (baik SDOF maupun MDOF) adalah
simpangan horisontal tingkat. Dengan diketahuinya simpangan horisontal tingkat,
maka gaya geser tingkat dan momen guling struktur dapat dihitung. Pendekatan yang
dipakai pada penyelesaian persamaan diferensial suatu permasalahan yang sudah
kompleks adalah pendekatan numerik tahap demi tahap (step by step).
Selain jenis beban, durasi beban, step integrasi •t maka jumlah derajat
kebebasan akan bertambah sesuai volume pekerjaan. Kombinasi dari durasi beban
yang panjang, step integrasi yang kecil dan derajat kebebasan yang banyak akan
menuntut memori komputer yang cukup besar. Banyaknya massa / derajat kebebasan
juga akan berakibat pada munculnya banyak pola / ragam goyangan / mode shapes
sebagaimana telah dibahas sebelumnya. Terdapat beberapa cara yang dapat dipakai
untuk menyelesaikan persamaan diferensial gerakan yang kesemuanya mempunyai
kelebihan dan kekurangannya masing-masing.
2.4.5.6 Metode •- Newmark (Incremental Formulation)
Metode •-Newmark merupakan salah satu metode numerik yang dapat
dipakai untuk keperluan integrasi persamaan diferensial coupled struktur MDOF
Universitas Sumatera Utara
secara langsung. Metode •-Newmark yang dimaksud misalnya adalah metode yang
berdasar pada incremental method. Untuk struktur yang berperilaku linier inelastik
ataupun non-linier inelastik, maka perlu dikembangkan model integrasi yang dapat
mensimulasikan perubahan kekakuan menurut fungsi dari waktu.
Pada metode •-Newmark, persamaan diferensial yang berlaku pada interval
yang ditinjau adalah seperti pers. (2-62) dan dapat ditulis kembali menjadi,
[•]•••••• + [• ]•••••• + [• ]••••• = •••••
(2-64)
Apabila beban dinamik yang dipakai adalah beban gempa maka untuk struktur
MDOF pers. (2.4.63) di atas adalah,
[•]•••••• + [• ]•••••• + [• ]••••• = •{•}••••••
(2-65)
•
Perlu diingat bahwa pada Metode •-Newmark memakai perjanjian notasi untuk
perubahan simpangan ••••, perubahan kecepatan •••••dan perubahan percepatan •••••
adalah
••• = •••• • •• , •••• = ••••• • ••• , dan •••• = ••••• • •••
(2-66)
Sedangkan perubahan intensitas pembebanan pada interval yang ditinjau adalah,
••••• = •••••• • ••••
(2-67a)
Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka
••••• = {•} •••••• ••• • ••••• • •
(2-67b)
Pada integrasi numerik, perubahan percepatan pada langkah ke-i (•••• ) ialah
•
•
•
•••• = •(••)• ••• • •(••) ••• • •• •••
(2-68)
Sedangkan perubahan kecepatan pada langkah yang sama •••• adalah,
•
•
•
•••• = •(••) ••• • • ••• + (••) •1 • •• • •••
(2-69)
Universitas Sumatera Utara
Perubahan simpangan dapat dicari dengan persamaan,
••• =
••• •
•
•
(2-70a)
Dimana
••
•• = •• + ••• +
•
•(••)•
•
(2-70b)
•••• = (•••• • •• ) + •••• + ••••
(2-70c)
Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka
•••• •• = {•} •••••• ••• • ••••• • • + •••• + ••••
(2-71a)
Dimana nilai a dan b ialah
•
•
•
•
• = •••• • + • •• dan • = ••• • + •• ••• • 1• ••
(2-71b)
Selanjutnya simpangan, kecepatan dan percepatan pada akhir interval adalah,
•••• = •• + •••
(2-72a)
••••• = ••• + •••• ,
(2-72b)
••••• = ••• + ••••
(2-72c)
Tahapan-tahapan integrasi numerik metode ß-Newmark sebagai berikut:
1. nilai k, m, • dan dt diketahui.
2. Disusun matrix massa [M], matrix redaman [C] dan matrix kekakuan [K].
3. Dihitung nilak k, nilai a dan b.
4. Dihitung nilai ••••• , ••• , •••• dan ••••
5. Dihitung simpangan, kecepatan dan percepatan pada akhir interval
•••• = •• + •••
••••• = ••• + •••• ,
••••• = ••• + ••••
Universitas Sumatera Utara
2.4.6 Persamaan Difrensial Struktur MDOF akibat Base Motion
Pada analisa struktur MDOF akibat base motion (getaran pondasi) akan
berlaku juga prinsip bangunan geser. Bangunan geser dapat didefinisikan sebagai
struktur dimana tidak terjadi rotasi (putaran) pada penampang horizontal bidang
lantainya. Balok-balok bagi struktur diandaikan kaku tak terhingga dibandingkan
dengan tiang-tiang. Keadaan ini lebih mendekati untuk struktur-struktur dimana
kekakuan bagi balok secara relatif adalah cukup besar dibandingkan kekakuan tiangtiang, supaya putaran yang nyata pada bagian atas tiang dapat ditahan. Dalam cara ini
bangunan akan berperilaku seperti balok terjepit yang dibebani oleh gaya geser.
Untuk mencapai kondisi tersebut pada bangunan, harus dianggap bahwa:
1. Massa total dari struktur terpusat pada bidang lantai,
2. Balok pada lantai kaku tak hingga dibandingkan dengan tiang,
3. Deformasi dari struktur tak dipengaruhi gaya aksial yang terjadi pada tiang.
Anggapan pertama, mentransformasikan struktur dengan derajat kebebasan
tak hingga (akibat massa yang terbagi pada struktur) menjadi struktur dengan hanya
beberapa derajat kebebasan sesuai dengan massa yang terkumpul pada bidang lantai.
Anggapan kedua, menyatakan bahwa hubungan antara balok dan tiang, kaku
terhadap putaran (rotasi). Dan anggapan ketiga memungkinkan terjadinya keadaan
dimana balok kaku tetap horizontal sewaktu bergerak.
Beban pada struktur dapat berupa beban yang bekerja pada titik kumpul (nod
load) maupun beban yang bekerja pada elemen (element load). Beban pada struktur
tersebut dapat berupa beban statik maupun beban dinamik. Pada kasus gempa bumi,
beban yang bekerja adalah beban inersia. Gaya ini tidak ditentukan melainkan
tergantung kepada respon percepatan struktur.
Universitas Sumatera Utara
Pada gambar di bawah ini, dapat dilihat gambar struktur sederhana bangunan tiga
lantai yang mengalami beban akibat base motion.
Gambar 2.11 Struktur MDOF akibat base motion
Jika pergerakan tanah dinotasikan dengan ug, total perpindahan (diplacement
absolute) massa mj dinyatakan dengan notasi utj dan perpindahan relatif antara massa
dengan tanah adalah uj, Perpindahan (displacement) dapat dirumuskan dengan
hubungan sebagai berikut,
(2-73)
Persamaan keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada struktur dapat dinyatakan
sebagai berikut:
(2-74)
dimana P(t) = 0 karena tidak ada gaya luar yang bekerja.
Jika u adalah gerak relatif antara massa dan struktur bawah, maka gaya inersia akan
menjadi total percepatan terhadap massa atau :
(2-75)
Universitas Sumatera Utara
Dengan mensubstitusikan persamaan tersebut dengan persamaan yang ada pada
SDOF sistem yang masih berlaku untuk sistem linear maka akan diperoleh hubungan
sebagai berikut :
•••+ •. • + •. ••= ••••• (•)
(2-76)
Dimana ••• (•) adalah percepatan tanah dan ••••• (•) ialah gaya luar yang bekerja
atau disebut juga dengan Ground motion. Selain itu ground motion juga sering
disebut dengan gaya gempa efektif yang dapat dituliskan sebagai berikut:
•••• (•) = ••••• (•)
(2-77)
2.5 KARAKTERISTIK ANALISIS DINAMIK RIWAYAT WAKTU
Secara umum analisa struktur terhadap beban gempa terbagi menjadi dua
yaitu
2.5.1 Analisis beban statik ekuivalen
Analisa beban statik riwayat waktu yaitu suatu cara analisa struktur dimana
pengaruh gempa pada struktur dianggap sebagai beban-beban statik horizontal yang
diperoleh dengan hanya memperhitungkan respon ragam getar yang pertama.
Biasanya distribusi gaya geser tingkat ragam getar yang pertama ini disederhanakan
sebagai beban segitiga.
2.5.2 Analisis dinamik
Analisa riwayat waktu yaitu analisa struktur dimana pembagian gaya geser
gempa di seluruh tingkat diperoleh dengan memperhitungkan pengaruh dinamis
gerakan tanah terhadap struktur. Analisa dinamis terbagi menjadi dua, yaitu analisa
ragam respons spektrum dan analisa riwayat waktu. Yang dimaksud dengan analisa
ragam respons spektrum ialah analisa dinamis dimana total respon didapat melalui
Universitas Sumatera Utara
superposisi dari respon masing-masing ragam getar. Sedangkan analisa riwat waktu
ialah analisa dinamis dimana pada model struktur diberikan catatan rekaman gempa
dan respon struktur dihitung langkah demi langkah pada interval waktu tertentu.
Pada analisa riwayat waktu, beban gempa yang dimasukkan dalam
pembebanan struktur ialah rekaman gerakan tanah (ground motion) dari gempagempa yang telah terjadi. Rekaman gerakan tanah ini biasanya disebut akselerogram.
Akselerogram ini berupa data percepatan tanah (ground acceleration) akibat gempa
bumi selama selang waktu tertentu.
Alat utama yang digunakan untuk merekam komponen-komponen dari
gerakan tanah saat terjadi gempa bumi ialah akselerograf untuk gerakan kuat (strongmotion accelerograph). Akselerograf ini tidak mencatat gerakan tanah secara
berkelanjutan tetapi pencatatan gerakan dimulai pada saat gelombang gempa pertama
kali sampai gelombang tiba. Hal ini dikarenakan, meskipun pada daerah-daerah yang
kecenderungan terjadinya gempa cukup besar seperti pada California dan Jepang,
tidak ada gerakan tanah kuat dari gempa bumi untuk dicatat selama berbulan-bulan,
bahkan bertahun-tahun pada setiap waktu. Akibat dari pencatatan yang berkelanjutan
ini, ratusan alat pencatat gerakan tanah menjadi boros dalam pemakaiannya. Setelah
dimulai, pencatatan berlanjut selama beberapa menit atau sampai goncangan tanah
menurun atau tidak dirasakan lagi. Alat pencatat gempa harus selalu dirawat dan
diservis secara teratur agar alat tersebut mampu mencatat gerakan tanah dengan baik
saat terjadi gempa bumi.
Elemen utama dari sebuah akselerograf adalah transducer elemen, yang mana
bentuk paling sederhana dari elemen ini berupa sistem SDF mass-spring-damper.
Transducer elemen dapat dikarakterisasikan berdasarkan frekuensi alaminya fn dan
Universitas Sumatera Utara
viscous damping ratio •. Modern analog akselerograf memiliki fn = 25 Hz dan • =
60%. Sedangkan modern digital akselerograf memiliki fn = 50 Hz dan • = 70%.
Parameter-parameter transducer tersebut memungkinkan alat digital untuk mencatat,
tanpa distorsi yang berlebihan, fungsi dari percepatan-waktu terdiri dari frekuensifrekuensi dari yang sangat rendah hingga kurang lebih 30 Hz. Sementara untuk alat
analog lebih akurat pada interval frekuensi yang lebih sempit atau dapat dikatakan
kurang lebih 15 Hz.
Rekaman goncangan tanah yang kuat sudah jarang didapat selama beberapa
tahun belakangan dan bahkan sekarang tidak ada atau sangat sedikit rekaman yang
didapat dari gempa bumi dengan tingkat kehancuran yang besar. Idealnya, saat
terjadi gempa bumi yang kuat, sangat baik untuk memiliki banyak stasiun pencatat
gerakan-gerakan tanah. Akan tetapi sulitnya menentukan secara pasti kapan dan
dimana gempa bumi akan terjadi dan terbatasnya dana untuk
pemasangan dan
perawatan alat, menyebabkan sulit untuk mendapatkan rekaman gerakan tanah di
daerah dengan goncangan yang sangat kuat. Kebanyakan rekaman gerakan tanah
telah diperoleh di daerah-daerah yang goncangan tanahnya sedang.
Akselerogram dengan gerakan tanah yang kuat (strong-motion accelerogram)
pertama kali dicatat pada gempa bumi tahun 1933 yang terjadi di Long Beach.
Setelah pencatatan pada gempa ini, ratusan rekaman gempa lainnya diperoleh.
Kebanyakan dari rekaman tersebut merupakan gerakan yang kecil dan hanya
sebagian kecil diantaranya yang memiliki percepatan 20% g atau lebih. Lebih dari
setengahnya berasal dari California yang mana paling banyak berasal dari tiga gempa
bumi, yaitu gempa bumi di San Fernando pada tanggal 9 Februari 1971, gempa bumi
Universitas Sumatera Utara
di Loma Prieta pada tanggal 17 Oktober 1989, dan pada tanggal 17 Januari 1994 di
Northridge.
Pada gambar 2.12 dapat dilihat akselerogram dari beberapa gempa bumi yang
telah terjadi sebelumnya. Semua akselerogram pada gambar 2.12 telah diskemakan
untuk akselerasi dan skala waktu yang sama. Dari gambar 2.12 tersebut juga dapat
dilihat dengan jelas amplitudo, jangka waktu, dan bentuk yang sangat bervariasi dan
berbeda antara catatan gempa yang satu dengan yang lainnya. Salah satu dari
akselerogram tersebut diperbesar seperti pada gambar 2.13. Akselerogram ini
merupakan gerakan tanah yang meliputi komponen utara-selatan yang dicatat di El
Centro, California selama gempa bumi terjadi di Imperial Valley, California pada
tanggal 18 Mei 1940. Pada skala ini tampak bahwa percepatan tanah bervariasi
dengan waktu dalam ragam yang tidak beraturan. Percepatan tanah ditentukan
dengan nilai numerik dari waktu seketika yang terpisah. Waktu seketika ini
seharusnya memiliki jarak yang kecil untuk memperlihatkan secara akurat tingginya
variasi ketidakberaturan dari percepatan terhadap waktu. Biasanya interval waktunya
dipilih 1/100 sampai 1/50 dalam satu detik, yang memerlukan 1500 sampai 3000
ordinat untuk menggambarkan ordinat dari gerakan tanah dari gambar 2.13. Kurva
paling atas dari gambar 2.13 memperlihatkan variasi percepatan tanah dari gempa El
Centro terhadap waktu. Percepatan puncak tanahnya •••• = 0,319g. Kurva kedua
merupakan kecepatan tanah yang diperoleh dengan mengintergalkan fungsi
percepatan-waktu. Kecepatan puncak tanahnya •••• = 13,04 in/sec. Dan kurva terakhir
merupakan perpindahan tanah yang diperoleh dengan mengintegralkan kecepatan
tanah. Perpindahan puncak tanahnya ialah 8,40 in. Sulit untuk menentukan secara
akurat kecepatan dan perpindahan tanah karena analog akselerograf tidak mencatat
Universitas Sumatera Utara
bagian awal hingga akselerograf tersebut memulai pencatatan fungsi percepatanwaktu, sehingga garis dasar (percepatan nol) tidak diketahui. Digital akselerograf
dapat mengatasi masalah tersebut dengan menyediakan memori singkat sehingga
pengaturan gerakan tanah dapat dilakukan.
Gambar 2.12 Rekaman gerakan tanah pada beberapa gempa bumi
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.13 Komponen utara-selatan dari gerakan tanah horizontal yang
dicatat di El Centro, California pada gempa bumi yang terjadi di Imperial
Valley, California pada tanggal 18 Mei 1940
Universitas Sumatera Utara