osilasi - Afief Dias Pambudi

OSILASI
SASARAN PEMBELAJARAN
Mahasiswa
mengenal
persamaan
matematik osilasi harmonik sederhana.
 Mahasiswa mampu mencari besaranbesaran osilasi antara lain amplitudo,
frekuensi, fasa awal.


Syarat Kelulusan : 75%
Osilasi





Osilasi terjadi bila sebuah sistem diganggu dari posisi
kesetimbangannya.
Karakteristik gerak osilasi yang paling dikenal adalah gerak
tersebut bersifat periodik, yaitu berulang-ulang.
Contoh : perahu kecil yang berayun turun naik, bandul jam
yang berayun ke kiri dan ke kanan, senar gitar yang
bergetar, dll
Gerak gelombang berhubungan erat dengan gerak osilasi.
Contoh : gelombang bunyi dihasilkan oleh getaran (seperti
senar gitar), getaran selaput gendang, dll.
Osilasi
Osilasi Harmonis Sederhana:
Beban Massa pada Pegas



Salah satu gerak osilasi yang sangat lazim dan sangat penting
adalah gerak harmonis sederhana.
Apabila sebuah benda disimpangkan dari kedudukan
setimbangnya, gerak harmonik akan terjadi jika ada gaya
pemulih yang sebanding dengan simpangannya dan
simpangan tersebut kecil.
Suatu sistem yang menunjukkan gejala harmonik sederhana
adalah sebuah benda yang tertambat pada sebuah pegas.
Pada keadaan setimbang, pegas tidak mengerjakan gaya
pada benda. Apabila benda disimpangkan sejauh x dari
setimbang, pegas mengerjakan gaya –kx.
x
F = -kx
Osilasi Harmonis Sederhana:
Beban Massa pada Pegas
Perhatikan kembali sistem benda pegas!
Gaya pemulih yang bekerja pada benda adalah F = - kx, tanda –
timbul karena gaya pegas berlawanan arah dengan simpangan.
Gabungkan gaya tersebut dengan hukum kedua Newton, kita mendapatkan
2
dx
F= -kx = ma = m 2
dt
d2x
k
a = 2 = - ( )x
dt
m
Percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. Hal
ini merupakan karakteristik umum gerak harmonik sederhana dan bahkan dapat
digunakan untuk mengidentifikasi sistem-sistem yang dapat menunjukkan gejala
gerak harmonik sederhana.
F = -kx
Osilasi Harmonis Sederhana:
Beban Massa pada Pegas
d2x
k
= - ( )x
2
dt
m
Persamaan Diferensial untuk OHS.
Solusi persamaan di atas yang berbentuk osilasi harmonik sederhana adalah
X = A sin(ωt + θ)
atau
X = A cos(ωt + θ)
Di mana
A ≡ simpangan maksimum = amplitudo, ω=frekuensi sudut, θ = fasa awal,
(ωt + θ) = fasa, ω = 2f = 2/T, T = waktu yang diperlukan suatu benda untuk
melakukan satu osilasi.
Fasa awal θ bergantung pada kapan kita memilih t = 0.
Satuan A sama dengan X yaitu meter, satuan fasa (ωt + θ) adalah radian
Satuan f adalah Hz (s-1) dan satuan T adalah s (detik)
Osilasi Harmonis Sederhana:
Beban Massa pada Pegas
Misalkan persamaan simpangan OHS adalah X = A sin(ωt + θ), substitusikan
persamaan ini ke dalam persamaan diferensial OHS diperoleh
ω2 = k/m.
Dalam menyelesaikan persoalan OHS secara umum kita harus mencari
terlebih dahulu 3 besaran yaitu A, ω, dan θ. Setelah ke-3nya diketahui maka
kita mengetahui persamaan posisi untuk osilasi, kemudian dengan cara
mendeferensiasi x terhadap t kita memperoleh kecepatan dan percepatan
osilasi.
x =A sin(ωt+θ)
dx
=ωAcos(ωt+θ)
dt
dv d 2 x
a=
= 2 = -ω2 Asin(ωt   )
dt dt
a = -ω2 x
v=
V berharga maksimum (ωA) saat x = 0,
pada saat tersebut a = 0.
a berharga maksimum (ω2A) saat x =±A,
pada saat tersebut v = 0
Osilasi Harmonik Sederhana :
soal-soal
a.
b.
c.
d.
Sebuah partikel memiliki simpangan x = 0,3 cos (2t + /6) dengan x dalam
meter dan t dalam sekon.
Berapakah frekuensi, periode, amplitudo, frekuensi sudut, dan fasa awal?
Di manakah partikel pada t = 1 s?
Carilah kecepatan dan percepatan pada setiap t!
Carilah posisi dan kecepatan awal partikel!
Sebuah benda 0,8 kg dihubungkan pada sebuah pegas dengan k = 400 N/m.
Carilah frekuensi dan perode gerak benda ketika menyimpang dari
kesetimbangan.
Sebuah benda 5 kg berosilasi pada pegas horizontal dengan amplitudo 4 cm.
Percepatan maksimumnya 24 cm/s2. Carilah
a. Konstanta pegas
b. Frekuensi dan perioda gerak
Osilasi Harmonis Sederhana:
Energi






Bila sebuah benda berosilasi pada sebuah pegas, energi
kinetik benda dan energi potensial sistem benda-pegas
berubah terhadap waktu.
Energi total (jumlah energi kinetik dan energi potensial)
konstan.
Energi potensial sebuah pegas dengan konstanta k yang
teregang sejauh x adalah U = ½ kx2.
Energi kinetik benda (m) yang bergerak dengan laju v
adalah K = ½ mv2.
Energi total = ½ kx2 + ½ mv2 = ½ kA2.
Persamaan energi total memberikan sifat umum yang
dimiliki OHS yaitu berbanding lurus dengan kuadrat
amplitudo.
Osilasi Harmonis Sederhana: Energi
Sebuah sistem benda pegas
disimpangkan sejauh A dari posisi
setimbangnya,
kemudian
dilepaskan. Pada keadaan ini
benda dalam keadaan diam dan
pegas memiliki energi potensial
sebesar ½ kA2.
Saat
benda
mencapai
titik
setimbang energi potensial pegas
nol. Dan benda bergerak dengan
laju maksimum vmaks, energi
kinetik benda ½ mVmaks2.
Bagaimana energi pada saat pegas
tersimpangkan sejauh x?
E = ½ mv2 + ½ kx2
Osilasi Harmonis Sederhana: Energi
contoh
Sebuah benda 3 kg yang dihubungkan pada sebuah pegas berosilasi
dengan amplitudo 4 cm dan periode 2 s.
a.Berapakah energi total ?
b.Berapakah kecepatan maksimum benda?
Sebuah benda bermassa 2 kg dihubungkan ke sebuah pegas berkonstanta
k = 40 N/m. Benda bergerak dengan laju 25 cm/s saat berada pada posisi
setimbang.
a.Berapa energi total benda?
b.Berapakah frekuensi gerak?
c.Berapakah amplitudo gerak?
Osilasi Harmonis Sederhana:
Benda pada pegas vertikal
Perhatikan sebuah pegas yang tergantung
secara vertikal!
yo
setimbang
y’
Pada ujung pegas digantung benda
bermassa m sehingga pegas teregang
sepanjang yo, sistem setimbang. Dalam hal
ini kyo = mg atau yo = mg/k.
Benda disimpangkan sejauh y’ dari posisi
setimbang kemudian dilepaskan!
d2 y
F= -ky + mg = ma = m
dt 2
d 2 (y o +y')
-k(y o +y') + mg = m
dt 2
d 2 y'
d 2 y'
k
-ky' = m
atau
=
y'
2
2
dt
dt
m
Perhatikan bahwa persamaannya
identik dengan sistem pegasbenda horizontal. Solusinya
Y = A sin (ωt+θ), A = y’
Osilasi Harmonis Sederhana:
Benda pada pegas vertikal


Benda 4 kg digantung pada sebuah pegas dengan k
= 400 N/m.
a. Cari regangan pegas ketika dalam keadaan
setimbang.
b. Carilah energi potensial total termasuk energi
potensial gravitasi, ketika pegas diregangkan 12 cm.
(Asumsikan energi potensial gravitasi nol saat
setimbang)
Benda 6 kg tergantung pada pegas dengan k = 600
N/m. Benda berosilasi dengan amplitudo 3 cm. Bila
pada t = 0 benda berada pada simpangan arah
bawah maksimumnya. Cari persamaan osilasi.
Bandul Sederhana
Perhatikan sebuah bandul bermassa m yang
digantungkan pada ujung tali sepanjang L,
massa tali di abaikan dan tegangan tali T.
θ
Benda berayun ke kiri dan ke kanan mengikuti
busur lingkaran berjari-jari L. Benda setimbang
dalam arah radial T = mgcosθ.
L
mg sinθ
mg cosθ
Dalam arah tangensial bekerja gaya mgsinθ,
gaya ini selalu berlawanan arah dengan arah
perubahan θ.
Jadi –mgsinθ = ma = m d2s/dt2, di mana s = Lθ.
–mgsinθ = m Ld2θ/dt2 d2θ/dt2 = –(g/L)sinθ
Perhatikan persamaan d2θ/dt2 = –(g/L)sinθ, untuk sudut kecil sinθ ≈ θ. Diperoleh
d2θ/dt2 = –(g/L)θ, ini adalah persamaan getaran harmonik dengan ω2 = (g/L).
Bandul Fisis
Perhatikan sebuah benda tegar dengan massa m!
Benda dapat berputar pada titik O.
O
r
Jarak titik O ke pusat massa adalah r.
Momen inersia benda adalah I
θ
pm
Perhatikan gaya berat yang bekerja pada pusat massa!
Gaya dapat diuraikan menjadi 2 komponen!
mgsinθ
mgcosθ
mg
Gaya yang menyebabkan benda berayun pada pusat
massa adalah mgsinθ atau  = mgrsinθ ( = r x F).
Hukum Newton  = −I, di mana  = d2θ/dt2. Untuk sudut kecil sinθ ≈ θ.
d2θ/dt2 =− (mgr/I)θ, ini adalah persamaan getaran harmonik dengan ω2 = (mgr/I)
BANDUL FISIS : soal-soal
1
2
 3g  Sebuah batang bermassa m dan panjang L digantung
 secara vertikal pada salah satu ujungnya. Batang
 2 L  berosilasi di sekitar titik setimbangnya. Berapa

frekuensi sudut osilasi?
Pusat Putaran
R
Sebuah piringan tipis bermassa 5 kg dan jari-jari 20
cm digantung dengan suatu sumbu horizontal tegak
lurus terhadap lingkaran melalui pinggir lingkaran.
Piringan
disimpangkan
sedikit
dari
posisi
setimbangnya dan dilepas. Cari frekuensi sudut
osilasi? (ω=(200/6)1/2)
Bandul Puntir
Gambar di samping memperlihatkan sebuah
bandul puntir, yang terdiri dari benda yang
digantung dengan kawat yang disangkutkan pada
titik tetap. Bila dipuntir hingga sudut , kawat akan
mengerjakan sebuah torka (momen gaya) pemulih
sebanding dengan , yaitu  = − . Di mana 
adalah konstanta puntir.
Jika I adalah momen inersia benda terhadap
sumbu putar sepanjang kawat, hukum Newton
untuk gerak rotasi memberikan
= − = I d2/dt2 atau d2/dt2 = −(/I) 
Persamaan di atas adalah osilasi harmonis
sederhana dengan ω2 = (/I)

Osilasi Teredam
Pada
semua
gerak
osilasi
yang
sebenarnya,energi mekanik terdisipasi
karena adanya suatu gaya gesekan.
 Bila dibiarkan, sebuah pegas atau bandul
akhirnya berhenti berosilasi.
 Bila
energi mekanik gerak osilasi
berkurang berkurang terhadap waktu,
gerak dikatakan teredam.

Osilasi Teredam
Grafik simpangan terhadap waktu untuk
osilator yang teredam sedikit. Gerak
hampir
berupa
osilasi
harmonik
sederhana dengan amplitudo berkurang
secara lambat terhadap waktu
Osilasi benda teredam karena pengaduk yang terendam
dalam cairan. Laju kehilangan energi dapat bervariasi
dengan mengubah ukuran pengaduk atau kekentalan
cairan. Meskipun analisis terinci gaya teredam untuk sistem
ini cukup rumit, kita sering dapat menyajikan gaya seperti itu
dengan suatu persamaan empirik yang bersesuaian dengan
hasil eksperimen dan pengolahan matematisnya relatif
sederhana.
Osilasi Teredam
Osilasi Terpaksa
Osilator Terkopel
Osilasi Harmonik Sederhana