BAB9

Bab 9
DEFLEKSI ELASTIS BALOK
Tinjauan Instruksional Khusus:
Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar defleksi (lendutan) pada
balok, memahami metode-metode penentuan defleksi dan dapat menerapkan salah satu
metode yaitu metode integrasi ganda dan metode fungsi singularitas dalam analisis dan
penentuan defleksi suatu balok.
SUB-POKOK BAHASAN: METODE INTEGRASI-GANDA
Pendahuluan
Di bab 8 telah dinyatakan bahwa beban lateral yang dikenakan
pada balok tidak hanya menyebabkan kenaikan tegangan tekuk dan tegangan geser
internal pada batang, tetapi juga menyebabkan batang mengalami defleksi pada arah
tegaklurus sumbu longitudinalnya. Tegangan-tegangan ini telah diuji di bab 8 dan akan
didiskusikan lagi di bab ini, khususnya untuk menjabarkan metode perhitungan defleksi.
Definisi defleksi pada balok
Deformasi pada balok secara sangat mudah dapat dijelaskan
berdasarkan defleksi balok dari posisinya sebelum mengalami pembebanan. Defleksi
diukur dari permukaan netral awal ke posisi netral setelah terjadi deformasi. Konfigurasi
yang diasumsikan dengan deformasi permukaan netral dikenal sebagai kurva elastis dari
balok. Gambar 9-1 memperlihatkan balok pada posisi awal sebelum terjadi deformasi dan
Gb. 9-2 adalah balok dalam konfigurasi terdeformasi yang diasumsikan akibat aksi
pembebanan.
P
P
x
O
y
Gb. 9-1
Gb. 9-2
Jarak perpindahan y didefinisikan sebagai defleksi balok. Dalam
penerapan, kadang kita harus menentukan defleksi pada setiap nilai x disepanjang balok.
Hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan yang sering disebut persamaan
defleksi kurva (atau kurva elastis) dari balok.
Pentingnya defleksi balok
Disamping faktor tegangan, spesifikasi untuk rancangbangun
56
balok sering ditentukan oleh adanya defleksi. Konsekuensinya, disamping perhitungan
tentang tegangan-tegangan seperti dijelaskan dalam bab 8, perancang juga harus mampu
menentukan defleksi. Sebagai contoh, dalam banyak kode bangunan defleksi maksimum
yang diperkenankan dari suatu batang tidak boleh melebihi 1/300 panjang balok. Dengan
demikian, balok yang dirancang dengan baik tidak hanya mampu mendukung beban yang
akan diterimanya tetapi juga harus mampu mengatasi terjadinya defleksi sampai batas
tertentu.
Metode-metode penentuan defleksi balok
Banyak metode yang tersedia untuk menentukan defleksi balok.
Metode-metode yang umum digunakan antara lain adalah: (1) Metode integrasi-ganda, (2)
Metode fungsi singularitas dan (3) Metode energi elastis
Hanya metode pertama dan kedua yang akan diuraikan dalam bab
ini. Perlu dicatat bahwa kesemua metode tersebut hanya bisa diterapkan jika seluruh porsi
balok bekerja dalam rentang elastis.
Metode integrasi-ganda
Persamaan diferensial kurva defleksi balok tertekuk adalah
d2y
(9.1)
M
dx 2
dimana x dan y adalah koordinat-koordinat seperti ditunjukkan pada Gb. 9.2. Disini, y
EI
adalah defleksi balok. Persamaan ini akan dijabarkan dalam contoh 1. Dalam persamaan
ini E menyatakan modulus elastisitas balok dan I menyatakan momen inersia penampang
melintang balok terhadap sumbu netral yang melalui centroid penampang melintang. M
menyatakan momen tekuk pada jarak x dari salah satu ujung balok. Nilainya telah
didefinisikan di bab 6 sebagai jumlah aljabar momen-momen gaya luar terhadap salah
satu sisi bagian pada jarak x dari ujungbatang. Biasanya M akan mertupakan fungsi x dan
perlu mengintegrasikan persamaan (9.1) dua kali untuk memperoleh persamaan aljabar
yang menyatakan defleksi y sebagai fungsi x.
Persamaan (9.1) adalah persamaan diferensial dasar yang
menentukan defleksi elastis seluruh balok tanpa memandang tipe pembebanannya.
Prosedur integrasi
Metode integrasi-ganda untuk menghitung defleksi balok hanya
berisi integrasi persamaan (9.1). Integrasi pertama menghasilkan kemiringan (slope) dy/dx
pada sembarang titik pada balok dan integrasi kedua memberikan defleksi y pada setiap
nilai x. Momen tekuk M harus dinyatakan sebagai fungsi koordinat x sebelum
persamaannya bisa diintegralkan. Untuk kasus yang akan dipelajari disini integrasinya
57
adalah sangat sederhana.
Karena persamaan diferensial (9.1) merupakan order
kedua, solusinya harus mengandung dua konstanta integral. Kedua konstanta ini harus
dievaluasi dari kondisi yang diketahui terhadap slope maupun defleksi pada titik tertentu
dalam balok. Misalnya, pada kasus balok gantung (cantilever) konstanta-konstantanya
dapat ditentukan dari kondisi dimana tidak terjadi perubahan slope dan juga kondisi tanpa
perubahan defleksi pada, yaitu pada ujung balok.
Sering, dua atau lebih persamaan diperlukan untuk menjabarkan
momen tekuk pada berbagai daerah disepanjang balok. Ini telah ditegaskan di bab 6. Pada
kasus demikian, persamaan (9.1) harus ditulis untuk setiap daerah pada balok dan
integrasi persamaan menghasilkan dua konstanta integral untuk masing-masing daerah.
Konstanta-konstanta ini kemudian harus ditentukan sedemikian sehingga memenuhi untuk
keseluruhan batas kondisi untuk slope dan deformasinya (Lihat contoh 3).
Konvensi tanda
Konvensi tanda untuk momen tekuk yang telah digunakan di bab 6
akan dipertahankan disini. Kuantitas E dan I yang muncul dalam persamaan (9.1) adalah
positip. Jadi, dari persamaan ini, jika M adalah positip untuk nilai x tertentu, maka d2y/dx2
juga positip. Berdasarkan konvensi tanda untuk momen tekuk diatas, maka penting untuk
diperhatikan bahwa koordinat x disepanjang balok adalah positip kekanan dan defleksi y
adalah positip naik. Dengan tanda aljabar ini integrasi persamaan (9.1) dapat dilakukan
untuk menghasilkan defleksi y sebagai fungsi x, dengan pengertian bahwa defleksi keatas
adalah positip dan defleksi kebawah adalah negatip.
Asumsi dan pembatasan
Pada penjabaran persamaan (9.1) diasumsikan bahwa defleksi
yang disebabkan oleh aksi gesekan adalah dapat diabaikan, dibandingkan dengan yang
disebabkan oleh aksi tekukan. Juga, diasumsikan bahwa defleksi yang terjadi adalah
relatif kecil dibandingkan dengan dimensi penampang melintang balok, dan seluruh porsi
balok beraksi dalam batas elastis.
Contoh 1.
Tentukan persamaan diferensial untuk kurva defleksi suatu balok yang dibebani dengan gaya
melintang.
Dari bab 8, kita mempunyai hubungan
M
EI

Pada pernyataan ini, M adalah momen tekuk yang bekerja pada penampang melintang balok,
ρ jari-jari kurva terhadap permukaan netral balok, E modulus elastisitas, dan I momen
58
penampang melintang terhadap sumbu netral yang melalui centroid penampang. Biasanya
nilai E dan I adalah konstan disepanjang balok, tetapi M dan ρ merupakan fungsi x.
Persamaan diatas dapat kita tulis dalam bentuk
1


M
EI
dimana ruas kiri mewakili kurva permukaan netral dari balok. Karena M bervariasi disepanjang
balok, kurva defleksi akan berupa kurva variabel.
Misalkan garis tebal pada gambar dibawah merupakan permukaan netral terdeformasi dari
balok. Awalnya sumbu balok adalah berimpit dengan sumbu x. Defleksi y adalah positip kearah
atas; sehingga untuk kurva pada gambar dibawah, seluruh defleksi adalah negatip.
ρ
y
x
O
Pernyataan untuk kurva pada sembarang titik disepanjang balok yang terdeformasi telah
tersedia dari kalkulus diferensial. Formula kurva adalah
1


d 2 y / dx 2
1  (dy / dx) 
2 3/ 2
Pada pernyataan ini, dy/dx mewakili kemiringan atau slope kurva pada sembarang titik; dan
untuk defleksi balok yang sangat kecil nilainya dan juga nilai kuadratnya sangat kecil sehingga
biasanya dapat diabaikan. Asumsi ini membuat pernyataan untuk kurva menjadi lebih
sederhana, yaitu
1


d2y
dx 2
Dengan demikian untuk defleksi yang kecil persamaan kurva menjadi d2y/dx2=M/EI atau
EI
d2y
M
dx 2
Ini merupakan persamaan diferensial untuk kurva defleksi dari balok yang dibebani gaya
melintang. Sesuai dengan penemunya, persamaan ini juga disebut persamaan Euler-Bernouli
untuk balok tekuk.
Contoh 2.
Tentukan defleksi pada sembarang titik pada balok gantung (cantilever) yang dikenai gaya tunggal
terkonsentrasi P, seperti gambar dibawah.
y
L
P
x
PL
x
PL
P
Disini diogunakan sistem koordinat x-y, dimana sumbu-x berimpit dengan posisi balok sebelum
tertekuk. Balok tertekuk diperlihatkan dengan garis tebal. Pertama perlu ditentukan
rekasi-reaksi yang diterima oleh dinding pendukung, dan dari statika diperoleh gaya reaksi
vertikal P dan momen PL.
Momen tekuk pada sembarang penampang melintang pada jarak x dari dinding diberikan
dengan jumlah momen-momen kedua reaksi ini terhadap sumbu penampang. Terbukti bahwa
gaya keatas menghasilkan momen positip Px, dan kopel PL jika beraksi sendiri akan
menghasilkan kurva balok seperti gambar sebelah kanan. Berdasarkan konvensi tanda, ini
menunjukkan tekukan negatip. Dengan demikian momen tekuk M pada bagian x adalah
M  PL  Px
Persamaan diferensial untuk balok tertekuk adalah
59
EI
d2y
M
dx 2
dimana E menunjukkan modulus elastisitas bahan dan I menunjukkan momen inersia
penampang melintang terhadap sumbu netral. Substitusi kedua persamaan diatas diperoleh
EI
d2y
  PL  Px
dx 2
Integrasi pertama persamaan ini menghasilkan
EI
dy
Px2
  PLx 
 C1
dx
2
yang juga berarti persamaan untuk slope, dimana C1 adalah konstanta integral. Konstanta ini
dapat dievaluasi dengan menggunakan kondisi dimana slope dy/dx dari balok pada dinding
adalah nol karena balok dijepit secara tetap disini. Dengan demikian (dy / dx) x  0  0 . Persamaan
hasil integrasi pertama adalah benar untuk semua nilai x dan y, dan jika kondisi x = 0
disubstitusikan kita dapatkan 0 = 0 + 0 + C1 atau C1=0.
Integrasi kedua menghasilkan
EIy   PL
x 2 Px3

 C2
2
6
dimana C2 adalah konstanta kedua integrasi. Lagi, kondisi pada dinding pendukung akan
menentukan konstanta ini. Pada x=0, defleksi y adalah nol karena balok dijepit secara kaku.
Dengan mensubstitusikan (y)x=0=0 kedalam persamaan diatas, kita peroleh 0 = 0 + 0 + C2 atau
C2=0.
Dari kedua persamaan kita peroleh C1 = C2 = 0 memberikan slope dy/dx dan defleksi y pada
titik x. Defleksi adalah maksimum pada ujung kanan balok (x = L), dibawah pembebanan P.
EIymax 
 PL3
3
dimana nilai negatip menunjukkan bahwa pada titik ini kurva defleksi terletak dibawah sumbu-x.
Jika hanya diiunginkan besaran defleksi maksimum pada x = L, biasanya dinyatakan dengan
∆max dan kita peroleh
 max 
PL3
3EI
Contoh 3.
Tentukan persamaan kurva defleksi untuk balok menggantung yang dibebani oleh dua gaya P yang
sama seperti diilustrasikan pada gambar dibawah.
y
P
P
x
a
L1
P
L
a
P
Momen tekuk pada daerah batang gantung sebelah kiri adalah
untuk
M  Px
0 xa
dan persamaan diferensial untuk batang tekuk pada daerah tersebut adalah
d2y
untuk
0 xa
EI
  Px
(1)
dx 2
Integrasi pertama persamaan ini menghasilkan
EI
dy
x2
  P  C1
dx
2
(2)
Tidak ada yang bisa diketahui untuk slope dy/dx di daerah ini. Secara khusus, perlu ditekankan
bahwa tidak ada justifikasi untuk mengasumsikan bahwa slope pada sendi (x = a) adalah nol.
Kita mungkin menyatakan slope disini dengan notasi
60
 a2 
 dy 
EI     P   C1
 dx  x  a
 2
(3)
Integrasi selanjutnya menghasilkan
EIy  
P  x3 
   C1 x  C2
2  3 
(4)
Karena balok menggantung pada pendukung (sendi), maka diketahui bahwa defleksi y adalah
nol. Dengan demikian (y)x=a=0. Dengan mesubstitusikan y = 0 ketika x = a di (4), kita peroleh
0
Pa3
 C1a  C2
6
(5)
Momen tekuk pada daerah tengah balok diantara pendukung (sendi dan engsel) adalah M =
-Pa dan persamaan diferensialnya adalah
EI
d2y
  Pa
dx 2
untuk
0  x  ( L  a)
(6)
Integrasi persamaan diatas menghasilkan
EI
dy
  Pax  C3
dx
(7)
Karena pembebanan adalah simetris dapat dibuktikan bahwa slope dy/dx harus nol pada
bagian tengan balok. Jadi (dy/dx)x=L/2=0. Substitusi nilai ini ke persamaan (7) kita peroleh
PaL
L
atau
(8)
C3 
0   Pa   C
2
3
2
Juga dari persamaan (7) dapat dikatakan bahwa slope balok pada pendukung sebelah kiri, x =
a, dapat diberikan dengan substitusi x = a kedalam persamaan ini, dan menghasilkan
PaL
 dy 
(9)
EI     Pa2 
 dx  x  a
2
Tetapi slope dy/dx yang diberikan dari pernyataan ini harus sama dengan yang diberikan oleh
persamaan (3), karena tekukan batang pada titik ini harus mempunyai slope yang sama, tidak
pandang persamaan mana yang digunakan.
Dengan cara yang sama, untuk ruas kanan (persamaan (3) dan (9)) kita peroleh
Pa2
PaL
 C1   Pa2 
2
2
Pa2 PaL
C1  

2
2
(10)

atau
(11)
Substitusi nilai C1 kedalam pers. (5) kita peroleh
Pa3 Pa3 Pa2 L


 C2
6
2
2
2 Pa3 Pa2 L
C2 

3
2
(12)
0
atau
Integrasi selanjutnya dari persamaan (7) menghasilkan
EIy   Pa
x 2 PaL

( x)  C4
2
2
(13)
Lagi, defleksi y pada pendukung sebelah kiri, x = a, adalah nol. Meskipun kondisi yang sama
telah digunakan untuk memperoleh persamaan (5) pada saat ini kondisi ini akan digunakan
untuk menentukan konstanta C4 dalam persamaan (13). Dengan substitusi nilai (y)x=a=0
kedalam persamaan (13), kita peroleh
0
Pa3 Pa 2 L

 C4
2
2
atau
C4 
Pa3 Pa2 L

2
2
(14)
Selanjutnya diperlukan untuk memanfaatkan empat kondisi berkaitan dengan slope dan
defleksi guna menentukan keempat konstanta tersebut. Kondisi-kondisi tersebut adalah
(a) Jika x = a, y = 0 untuk porsi balok menggantung
(b) Jika x = a, y = 0 untuk porsi tengah (central) balok
(c) Jika x = L/2, dy/dx = 0 untuk porsi tengah balok
(d) Jika x = a, slope dy/dx adalah sama untuk kurva defleksi pada sebelah sisi pendukung.
Akhirnya, persamaan balok tekuk dapat ditulis dalam bentuk
61
Px3 Pa2 x PaLx 2 Pa3 Pa2 L




6
2
2
3
2
Pax2 PaLx Pa3 Pa3 L
EIy  



2
2
2
2
EIy  
untuk
0 xa
(15)
untuk
0  x  ( L  a)
(16)
Karena pembebanannya simetris maka tidak perlu untuk menulis persamaan untuk balok
terdeformasi pada bagian sebelah kanan.
62