Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan

Jurnal Konvergensi
Vol. 5, No. 1, April, 2015
Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan
Modifikasi Model Sei
Wardatul Jannah1) , Syarifah Meurah Yuni2)
1,2,
Jurusan Matematika
Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh, Indonesia
Email: [email protected]
Abstrak
Penyakit jantung koroner (PJK) memiliki dua faktor resiko yaitu faktor internal
dan faktor eksternal. Penyebaran penyakit jantung koroner dapat dimodelkan dalam
suatu model matematika. Penelitian ini berkaitan dengan penerapan modifikasi model
Susceptible Exposed Infected (SEI) dalam memodelkan penyebaran penyakit jantung
koroner (PJK). Faktor yang dikaji pada penelitian ini adalah faktor resiko eksternal.
Model SEI merupakan suatu model yang diterapkan untuk memodelkan penyebaran
penyakit di dalam suatu populasi. Model SEI telah dimodifikasi untuk penyakit
jantung koroner berupa suatu sistem persamaan diferensial liniernon homogen.
Penyelesaian masalah ini membutuhkan nilai awal dan nilai paremeter yang terdapat
di dalam model. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh nilai peluang individu
susceptible menjadi exposed(𝛽 ∗ ) sangat mempengaruhi jumlah individu yang rentan
terhadap PJK, nilai peluang individu exposed menjadi infected(𝛾) akan meningkatkan
jumlah individu yang menderita PJK dan nilai peluang penderita PJK yang
terobati(𝜃) akan mengurangi jumlah penderita PJK.
Kata kunci:penyakit jantung koroner, model SEI, sistem persamaan diferensial
1.
Pendahuluan
Pemodelan matematika merupakan salah satu teknik dalam bidang matematika
yang mempresentasikan fenomena-fenomena nyata ke dalam bentuk
matematika.Model matematika banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu,
salah satunya bidang kesehatan. Kesehatan merupakan hal yang sangat penting,
namun banyak orang tidak mempedulikan hal tersebut. Efek yang timbul dari
ketidakpedulian ini sangat beragam, salah satunya dapat menimbulkan penyakit
mematikan seperti penyakit jantung koroner.
Menurut Yahya (2010) dan berdasarkan laporan Badan Kesehatan Dunia atau
World Health Organization (WHO), penyakit jantung koroner merupakan pembunuh
nomor satu di dunia. Pada tahun 2004, diperkirakan 17,1 juta jiwa meninggal karena
penyakit jantung koroner. Angka tersebut merupakan 29% dari penyebab kematian
global. Pada tahun 2020, angka kematian diperkirakan akan naik hingga mencapai 20
juta jiwa. Sementara itu, berdasarkan Riset Kesehatan Dasar tahun 2007 yang
dilaksanakan oleh Kementerian Kesehatan Republik Indonesia menyebutkan bahwa
penyebab kematian utama di Indonesia adalah stroke dan penyakit jantung koroner.
Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan Modifikasi Model Sei
Wardatul Jannah1 dan Syarifah Meurah Yuni2
1
Jurnal Konvergensi
Vol. 5, No. 1, April, 2015
Penyakit jantung koroner terjadi karena adanya penyumbatan pembuluh darah
atau arteri yang disebabkan oleh pembentukan plak pada dinding arteri. Penyakit ini
memiliki faktor resiko eksternal dan faktor resiko internal. Faktor resiko eksternal
adalah faktor resiko yang dapat dihindari dan faktor resiko internal adalah faktor
resiko yang tidak dapat dihindari. Faktor resiko yang tidak dapat dihindari diantaranya
adalah faktor keturunan, usia dan jenis kelamin. Sedangkan faktor resiko yang dapat
dihindari terdiri dari kolesterol, hipertensi, merokok dan diabetes melitus(Hermawati
dan Dewi, 2014).
Terdapat beberapa model tentang penyebaran penyakit dalam suatu populasi,
seperti model Susceptible Exposed Infected Recovered (SEIR), model Susceptible
Infected Recovered (SIR)danmodelSusceptible Exposed Infected (SEI). Ditinjau dari
karakteristik penyakit jantung koroner yang tidak bisa disembuhkan secara total,
model SEI merupakan model yang paling cocok dari ketiga model yang telah tersebut
di atas.
Model SEI diterapkan untuk memodelkan penyebaran penyakit menular dalam
suatu populasi. Populasi yang diteliti dalam model SEI dibagi menjadi tiga kelompok,
yaitu kelompok susceptible (rentan), exposed (laten) dan infected (sakit). Masingmasing kelompok tersebut secara berurutan dinotasikan sebagai S, E, dan I.Penyebaran
penyakit menular terjadi karena adanya interaksi antar kelompok. Interaksi tersebut
menyebabkan model SEI yang dihasilkan berupa sistem persamaan diferensial
nonlinier. Penelitian sebelumnya yang membahas tentang model SEI secara umum
pertama kali diperkenalkan oleh Li dan Zhen (2004). Ardiansah (2012) telah
membahas tentang penerapan model SEI pada penyakit tidak menular, yaitu penyakit
diabetes mellitus tanpa melibatkan faktor genetik.
2. Metode Penelitian
Prosedur penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Memodifikasi model SEI
2. Menentukan nilai awal dan nilai parameter dalam model
3. Menentukan titik ekuilibrium dari model
4. Menyelesaikan model yang berupa sistem persamaan diferensial
5. Melakukan plot solusi yang diperoleh dari model
6. Menganalisa solusi
3. Model SEI untuk Penyakit Jantung Koroner (PJK)
Penyakit jantung koroner merupakan penyakit tidak menular sehingga tidak ada
interaksi dalam penyebarannya antara individu kelompok S dengan individu kelompok
E atau kelompok I. Oleh karena itu, model SEI yang dihasilkan berbentuk linier.
Sebelum memodifikasi model SEI, terlebih dahulu dibuatkan asumsi-asumsi sebagai
berikut:
1. Penambahan populasi ke dalam kelompok susceptible selalu konstan.
2. Semua individu di dalam kelompok susceptible dan exposed memiliki pola hidup
yang buruk.
2
Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan Modifikasi Model Sei
Wardatul Jannah1 dan Syarifah Meurah Yuni2
Jurnal Konvergensi
Vol. 5, No. 1, April, 2015
3.
4.
5.
6.
Laju kematian alami setiap populasi sama.
Individu pada kelompok infected akan merubah pola hidup.
Tidak ada individu yang sembuh total.
Faktor genetik diabaikan.
Model SEI yang terbentuk dari hasil modifikasi untuk permasalahan penyakit
jantung koroner adalah sebagai berikut:
𝑑𝑆
= 𝐴 − (𝛿 + 𝛽 ∗ )𝑆
𝑑𝑡
𝑑𝐸
= 𝛽 ∗ 𝑆 − (𝛿 + 𝛾)𝐸 + 𝜃𝐼
𝑑𝑡
𝑑𝐼
= 𝛾𝐸 − (𝛿 + 𝛼 + 𝜃)𝐼
𝑑𝑡
4. Penentuan Nilai Awal dan Nilai Parameter
Nilai awal (𝑆(𝑡0 ), 𝐸(𝑡0 ), 𝐼(𝑡0 )) untuk masalah ini diperoleh dari laporan Badan
Penelitian dan Pengembangan Kesehatan tahun 2013 dan didukung dengan data dari
Badan Pusat Statistik (BPS). Sehingga diperoleh nilai awal untuk kelompok E sebesar
𝐸(𝑡0 ) = 75,088 jiwa dan nilai awal untuk kelompok I sebesar 𝐼(𝑡0 ) = 22,853 jiwa.
Penentuan nilai awal untuk kelompok S juga diperoleh dari laporan Badan
Penelitian dan Pengembangan Kesehatan tahun 2013 dan didukung oleh beberapa
referensi lainnya. Pada umumnya, setiap individu berpeluang menderita penyakit
jantung koroner. Peluang tersebut akan lebih besar jika individu memiliki salah satu
faktor resiko eksternal PJK atau bahkan keempat faktor resiko tersebut. Dengan
demikian, penentuan nilai awal untuk kelompok S dilakukan dengan meninjau
keempat faktor tersebut dan dengan menerapkan Prinsip Inklusif-Eksklusif diperoleh
nilai awal untuk kelompok S sebesar 1,917,786 jiwa.
Nilai parameter pada model diperoleh dari hitungan yang disesuaikan dengan nilai
awal, asumsi dan beberapa referensi lain. Nilai parameter-parameter yang diperoleh
adalah 𝐴 = 53,587; 𝛿 = 0.0167; 𝛽 ∗ = 0.039; 𝛾 = 0.304; 𝛼 = 0.04 dan 𝜃 = 0.02.
5. Hasil dan Pembahasan
Solusi yang diperoleh dari model SEI untuk penyakit jantung koroner adalah
sebagai berikut:
𝑆 = 955,721𝑒 −(0.0557)𝑡 + 962,065
𝐸 = −152,359𝑒 −(0.3435)𝑡 + 1,591,911𝑒 −(0.0539)𝑡 − 1,519,875𝑒 −(0.0557)𝑡
+ 155,409
𝐼 = 173,609𝑒 −(0.3435)𝑡 + 21,235,280𝑒 −(0.0539)𝑡 − 22,002,005𝑒 −(0.0557)𝑡
+ 615,964
Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan Modifikasi Model Sei
Wardatul Jannah1 dan Syarifah Meurah Yuni2
3
Jurnal Konvergensi
Vol. 5, No. 1, April, 2015
Setelah diperoleh solusi dari model, selanjutnya dilakukan plot solusi untuk
masing-masing persamaan dengan menggunakan MATLAB versi R2010a. Plot solusi
yang diperoleh adalah sebagai berikut:
Gambar 4.1. Plot solusi untuk kelompok S
Gambar 4.1 menunjukkan bahwa terjadinya penurunan jumlah individu pada
kelompok S setiap tahunnya. Penurunan individu pada 50 tahun pertama cukup
signifikan. Hal ini diakibatkan oleh persentase penambahan individu ke dalam
kelompok S pada 50 tahun pertama (2.87% pada 𝑡 = 1 sampai 5.25% pada 𝑡 = 50)
lebih kecil dibandingkan dengan persentase pengurangan jumlah individu pada
kelompok tersebut setiap tahunnya (5.57%). Pada tahun berikutnya penurunan jumlah
individu lebih lambat dan pada akhirnya jumlah individu pada kelompok tersebut
menuju nilai ekuilibriumnya yaitu 962,065 jiwa.
Gambar 4.2. Plot solusi untuk kelompok E
Gambar 4.2 menunjukkan jumlah individu pada kelompok E sangat
dipengaruhi oleh banyaknya individu yang masuk ke dalam kelompok E dari
kelompok S dan I serta banyaknya individu yang keluar dari kelompok E.
Grafik menunjukkan bahwa dalam jangka waktu 10 tahun ke depan, akan
terjadi peningkatan yang signifikan terhadap jumlah individu pada kelompok
E. Titik maksimum dari grafik berada pada tahun ke-10 dengan jumlah
individu sebesar 208,336 jiwa. Peningkatan tersebut terjadi karena besarnya
jumlah individu yang masuk ke dalam kelompok E dari kelompok S dan I .
Pada sepuluh tahun pertama, jumlah individu pada kelompok S relatif besar
sehingga mengakibatkan besarnya penambahan individu ke dalam kelompok
E. Kemudian pada tahun ke-11 jumlah individu mulai menurun menuju nilai
ekuilibriumnya yaitu 155,409 jiwa. Hal ini dikarenakan penurunan jumlah
4
Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan Modifikasi Model Sei
Wardatul Jannah1 dan Syarifah Meurah Yuni2
Jurnal Konvergensi
Vol. 5, No. 1, April, 2015
individu pada kelompok S sehingga jumlah individu yang masuk ke dalam
kelompok E lebih kecil dari pada individu yang keluar dari kelompok E. Nilai
ekuilibrium yang diperoleh lebih besar dari pada nilai awal yang diberikan.
Hal ini menunjukkan bahwa jika tidak ada perubahan gaya hidup pada
masyarakat Aceh, maka akan lebih banyak masyarakat yang memiliki gejala
penyakit jantung koroner ke depannya.
Gambar 4.3. Plot solusi untuk kelompok I
Gambar 4.3 menunjukkan bahwa dalam jangka waktu 38 tahun ke depan, akan
terjadi peningkatan yang signifikan terhadap jumlah individu pada kelompok I
menjadi sebanyak 704,680 jiwa. Hal ini diakibatkan oleh besarnya persentase
perubahan individu dari kelompok E menjadi kelompok I. Namun, pada tahun
berikutnya jumlah individu mulai menurun dan menuju nilai ekuilibriumnya yaitu
615,964 jiwa. Penurunan jumlah individu tersebut dikarenakan menurunnya jumlah
individu pada kelompok E, sehingga jumlah yang masuk ke dalam kelompok I juga
menurun. Nilai ekuilibrium yang diperoleh lebih besar dari pada nilai awal yang
diberikan. Hal ini menunjukkan bahwa jika tidak ada peningkatan kesembuhan
penyakit jantung koroner pada masyarakat Aceh, maka banyak masyarakat yang akan
menderita penyakit jantung koroner ke depannya.
Gambar 4.4 Plot ketiga solusi
Gambar 4.4 menunjukkan perubahan jumlah individu pada ketiga kelompok yang
ditinjau. Kelompok S terus mengalami penurunan jumlah individu dibandingkan
dengan kedua kelompok lainnya. Hal ini diakibatkan persentase penambahan individu
ke dalam kelompok S lebih kecil (2.87% pada saat 𝑡 = 1 sampai 5.57% pada saat
𝑡 = ∞) dibandingkan dengan persentase pengurangan jumlah individunya (setiap
tahunnya berkurang sebesar 3.9% + 1.67% = 5.57%). Pada lima tahun pertama,
jumlah individu kelompok E lebih banyak dibandingkan dengan jumlah individu pada
Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan Modifikasi Model Sei
Wardatul Jannah1 dan Syarifah Meurah Yuni2
5
Jurnal Konvergensi
Vol. 5, No. 1, April, 2015
kelompok I. Namun, pada tahun berikutnya jumlah individu pada kelompok I melebihi
jumlah individu pada kelompok E dan peningkatan jumlah individu pada kelompok I
lebih drastis dibandingkan dengan kelompok E. Hal ini diakibatkan banyaknya
individu dari kelompok E yang positif menderita penyakit jantung koroner.
6. Kesimpulan
Nilai ekuilibrium kelompok S lebih kecil dari pada nilai awal, sedangkan nilai
ekuilibrium kelompok E dan kelompok I jauh lebih besar dari pada nilai awal. Oleh
karena itu, dapat disimpulkan bahwa jumlah individu yang rentan terkena penyakit
jantung koroner akan terus berkurang. Sedangkan jumlah individu yang memiliki
gejala PJK dan menderita PJK akan meningkat, bahkan jumlah penderita PJK jauh
lebih banyak dari jumlah individu yang memiliki gejala PJK.
Berdasarkan solusi yang diperoleh dari model, dapat disimpulkan bahwa nilai
peluang individu rentan menjadi laten(𝛽 ∗ ) sangat mempengaruhi jumlah individu
yang rentan terhadap PJK, nilai peluang individu laten menjadi sakit(𝛾) akan
meningkatkan jumlah individu yang menderita PJK dan nilai peluang penderita
penyakit jantung yang terobati(𝜃) akan mengurangi jumlah penderita PJK.
6
Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan Modifikasi Model Sei
Wardatul Jannah1 dan Syarifah Meurah Yuni2
Jurnal Konvergensi
Vol. 5, No. 1, April, 2015
7. Daftar Pustaka
[1] Ardiansah, N. 2012. Model Matematika untuk Penyakit Diabetes Tanpa
Faktor Genetik. Jurnal MIPA 35 (1): 99-107.
[2] Badan Penelitian dan Pengembangan Kesehatan. 2013. Riset Kesehatan
Dasar. Kementrian Kesehatan RI, Jakarta.
[3] Badan Pusat Statistik. 2015. Aceh Dalam Angka. Badan Pusat Statistik
Provinsi Aceh, Aceh.
[4] Hermawati, R. dan Dewi, H.A.C. 2014. Berkat Herbal, Penyakit
Jantung Koroner Kandas. FMedia, Jakarta Selatan.
[5] Li, G. dan Zhen, J. 2004. Global Stability of an SEI Epidemic Model
with General Contact Rate. Science direct 23: 997-1004.
[6] Yahya, A.F. 2010. Menaklukkan Pembunuh No. 1: Mencegah dan
Mengatasi Penyakit Jantung Koroner Secara Tepat dan Cepat. Qanita,
Bandung.
Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan Modifikasi Model Sei
Wardatul Jannah1 dan Syarifah Meurah Yuni2
7