variabel acak adalah suatu

STATISTIKA
KONSEP DASAR
PROBABILITAS
TEKNIK INFORMATIKA
UNIVERSITAS ATMA JAYA YOGYAKARTA
PROBABILITAS (P)
• derajat/tingkat keyakinan dari munculnya
hasil percobaan statistik
• suatu bilangan dari 0 sampai 1 yang
mengukur keyakinan seseorang bahwa
suatu kejadian dari suatu percobaan akan
terjadi.
EKSPERIMEN (PERCOBAAN
STATISTIK)
• suatu aktifitas yang diamati atau diukur.
• Sesuatu yang direncanakan untuk
dilakukan di mana hasilnya belum
diketahui
• Eksperimen menghasilkan satu atau lebih
keluaran (outcome) yang disebut event
(kejadian).
• What is one of the possible events for
flipping a coin 3 times?
RUANG SAMPEL (S)
• himpunan semua hasil yang mungkin
muncul atau terjadi pada suatu percobaan
statistik.
• anggota ruang sampel disebut titik-titik
sampel.
Contoh :
- pelemparan mata uang  S={M, B}
- pelemparan dadu  S = {1,2,3,4,5,6}
• What is the sample space for flipping a
coin 3 times?
PENDEKATAN
PROBABILITAS
1. Pendekatan Objektif :
– probabilitas klasik
- asumsi : keluaran dari suatu eksperimen
mempunyai kemungkinan sama
- P = jumlah keluaran yang diharapkan dibagi total
keluaran yang mungkin
PENDEKATAN PROBABILITAS
(2)
– konsep frekuensi relatif
- probabilitas suatu kejadian (P) ditentukan
dengan mengobservasi berapa kali suatu
kejadian terjadi.
P = jumlah suatu kejadian terjadi / jumlah
total observasi.
- Bila suatu kejadian A terjadi dalam m cara dari
ruang sampel S yang terjadi dalam n cara, maka
probabilitas kejadian A adalah :
n( A) m
P ( A) 

n( S ) n
PENDEKATAN PROBABILITAS (3)
2. Pendekatan Subjektif
- berdasarkan subjektifitas individu.
Contoh
– Coin: What is the probability of obtaining heads
when flipping a coin?
– A single die: What is the probability I will roll a
four?
– Two dice: What is the probability I will roll a four?
– A jar of 30 red and 40 green jelly beans: What is
the probability I will randomly select a red jelly
bean?
– Computer: In the past 20 times I used my
computer, it crashed 4 times and didn’t crash 16
times. What is the probability my computer will
crash next time I use it?
Kejadian Independen
• Dua kejadian disebut independen jika
keluaran dari kejadian yang satu tidak
mempengaruhi keluaran kejadian kedua
Dependen
Kejadian
Independen
Flipping a coin twice
3 jelly beans: red,
green, orange. Eat
one. Eat another.
SIFAT PROBABILITAS
•
Sifat probabilitas kejadian A :
a. 0  P(A)  1
P (HTH) = 1/8 which is between 0 and 1.
b. P(S) = 1
P (rolling a 1 or 2 or 3 or 4 or 5 or 6) = 1
c. Probabilitas kejadian A atau B =
P (AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
 joint probability
Probabilitas muncul kartu As atau kartu merah
pada pengambilan 2 kartu pada setumpuk kartu
remi?
SIFAT PROBABILITAS (2)
d. Untuk 2 kejadian yang mutually exclusive (tidak ada 2
kejadian yang terjadi secara bersamaan pada waktu
yang sama) :
P (AB) = P(A) + P(B)
P (rolling a 1 or a 6) = P (rolling a 1) + P (rolling a 6)
= 1/6 + 1/6 = 2/6 or 1/3
e. P(A’) = 1-P(A)
P (not rolling a 5) = 1 – 1/6 = 5/6
SIFAT PROBABILITAS (3)
f. Jika ada 2 kejadian A dan B independent (keluaran
kejadian 1 tidak berpengaruh pada keluaran
kejadian berikutnya)
P(AB) = P(A).P(B)
P (rolling a 1 and then a 6) = P(rolling a 1) *
Pr(rolling a 6) = (1/6)(1/6) = 1/36
Berapa probabilitas mendapat 2 buah muka pada
pelemparan 2 koin berturutan ?
SIFAT PROBABILITAS (4)
g. Jika 2 kejadian tidak independen
P(AB) = P(A).P(B|A)
PROBABILITAS BERSYARAT
P( A  B)
P( A / B) 
, P( B)  0
P( B)
SIFAT PROBABILITAS (5)
Contoh :
1. Sebuah mata uang dilantunkan 2 kali.
Berapa peluang paling sedikit muncul
muka 1 kali.
2. Peluang seorang mahasiswa lulus
statistika dasar 2/3 dan peluang lulus
matematika diskret 4/9. Jika diketahui
peluang lulus paling sedikit satu
matakuliah 4/5, berapa peluang lulus
dalam kedua mata kuliah.
HUKUM PERKALIAN
• Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n cara
dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat
dikerjakan dengan m cara, maka kedua operasi ini
dapat dikerjakan bersama-sama dengan n.m cara.
• Contoh :
1. Berapa banyaknya titik sampel dalam ruang
sampel jika sepasang dadu dilantunkan
sekali ?
2. Berapa banyak bilangan genap yang terdiri dari
3 angka dapat dibuat dari angka 1,2,5,6,9 bila
tiap angka hanya boleh digunakan sekali?
BILANGAN FAKTORIAL
• Bila n bilangan bulat positif, maka
bilangan faktorial n ditulis sebagai n!
dan didefinisikan sebagai :
n! = n.(n-1).(n-2) …3.2.1
• 0! = 1
• 1! = 1
• n! = n. (n-1)!
PERMUTASI (P)
• Susunan-susunan yang dibentuk dari
anggota-anggota suatu himpunan
dengan mengambil seluruh atau
sebagian anggota himpunan dan
memberi arti pada urutan anggota
dari masing-masing susunan.
PERMUTASI (2)
• Misal akan dibuat permutasi dari
suatu himpunan dengan n anggota
dan diambil sebanyak r, rn, maka
banyaknya susunan yang dapat
dibuat: P  n!
n
r
( n  r )!
PERMUTASI (3)
• contoh :
1. Berapa pasangan Presiden dan Wakil
Presiden yang dapat terbentuk jika ada 4
orang calon yang ada.
2. Dari 20 peserta lomba, akan diambil 3
pemenang sebagai juara 1,2,3. Tentukan
banyaknya kemungkinan susunan
pemenang yang dapat terjadi.
KOMBINASI (C)
• Susunan-susunan yang dibentuk dari
anggota-anggota suatu himpunan
dengan mengambil seluruh atau
sebagian anggota himpunan tanpa
memberi arti pada urutan anggota
dari masing-masing susunan.
KOMBINASI (2)
• Misal akan dibuat kombinasi dari suatu
himpunan dengan n anggota dan diambil
sebanyak r, rn, maka banyaknya
susunan yang dapat dibuat :
n!
n Cr 
r!.(n  r )!
KOMBINASI (3)
• contoh :
1. Dari 20 peserta lomba, akan diambil 3
pemenang untuk masuk babak grand final.
Tentukan banyaknya susunan yang dapat
terjadi.
2. Seorang perangkai bunga mempunyai 3
jenis bunga berbeda. Berapa jenis
susunan rangkaian bunga yang dapat
dibuat.
SOAL
•
Suatu keluarga yang baru menikah ingin
mempunyai 4 anak. Misal anak laki-laki
dilambangkan dengan L dan anak perempuan
dilambangkan dengan P, tentukan :
a. Ruang sampel S.
b. Tentukan probabilitas keluarga tersebut
mempunyai :
i). Semuanya laki-laki
ii). Satu anak laki-laki dan tiga anak
perempuan.
iii). Dua laki-laki dan du a perempuan
SOAL
•
Dalam permainan dengan kartu remi,
diambil empat kartu (satu persatu) secara
acak. Berapa besar kemungkinan
kempatnya merupakan kartu diamond, jika
a. tiap pengambilan kartu dikembalikan
b. tiap pengambilan kartu tidak
dikembalikan
DISTRIBUSI TEORITIS
• variabel acak (variabel random) adalah
suatu fungsi acak bernilai real yang
harganya ditentukan oleh tiap anggota
dalam ruang sampel
• Suatu variabel acak adalah suatu
variabel yang nilainya adalah suatu
keluaran numerik dari fenomena acak.
• Biasanya ditulis dalam huruf kapital.
• Variabel acak diskret dan kontinu
DISTRIBUSI TEORITIS (2)
• Variabel acak diskret : jika ruang
sampelnya mempunyai titik-titik sampel
yang berhingga banyaknya atau suatu
deretan anggota yang sama dengan
banyaknya bilangan bulat.
• Suatu variabel acak diskret, X,
mempunyai sejumlah berhingga nilai
yang mungkin .
DISTRIBUSI TEORITIS (2)
• Variabel acak kontinu jika ruang
sampelnya mempunyai titik-titik yang
tak berhingga banyaknya dan sama
banyaknya dengan titik-titik pada
sepotong garis bilangan
• Suatu Variabel acak kontinu , X, memuat
semua nilai pada suatu interval nilai
tertentu
DISTRIBUSI TEORITIS (3)
• Distribusi Probabilitas : Kumpulan
pasangan nilai-nilai dari variabel acak X
dengan probabilitas nilai-nilai variabel
acak X, yaitu P(X=x).
• Jika X adalah variabel acak dan P(X=x)
adalah distribusi probabilitas dari X
maka fungsi f(x) = P(X=x) disebut fungsi
probabilitas
SIFAT FUNGSI PROBABILITAS
• Sifat-sifat fungsi probabilitas f(x) :
a. Untuk variabel acak diskret :
1. f(x) = P(X=x)
2.
f(x)  0
3.
 f ( x)  1
x
SIFAT FUNGSI PROBABILITAS
b. Untuk variabel acak kontinu :
b
1. P(a<X<b) =

f ( x)dx
a
2. f(x)  0
~
3.

~
f ( x ) dx  1
NILAI HARAPAN
• E(X) =
diskret
 xf ( x)   xP( X  x)
, untuk X

• E(X) =
 xf ( x )dx

, untuk X kontinu
• Sifat-sifat harapan matematis x:
1. E(c)= c
2. E(bX) = bE(X)
3. E(a+bX) = a+bE(X)
KEGUNAAN NILAI
HARAPAN
• Menghitung :
1. Mean populasi µ = E(X)
2. Variansi populasi σ2 = E{(X- µ)2}
= E(X2) - µ2
3. Standar deviasi σ =
E( X 2 )   2
Discrete Probability Example
X
P(X)
1
0.1
2
0.1
3
0.2
4
0.3
5
0.3
• To find the mean of a discrete distribution, multiply each
possible value by its probability, then add all the products.
• To find the variance of a discrete distribution, subtract the mean
from each of the X’s, square it, multiply it by the corresponding
probability, then add up all the products.
Random Variables
• Distribusi probabilitas pada variabel acak
kontinu dinyatakan dengan kurva
densitas.
• Probabilitas suatu kejadian = luas daerah
dibawah kurva dan diatas sumbu X yang
memenuhi kejadian tersebut.
• Contoh distribusi probabilitas uniform,
normal, distribusi menceng kiri, dan
distribution menceng kanan.
Uniform Distribution Example
• This is a Uniform Distribution from 0 to 1. Since
the area under the curve is 1, the height is also 1.
To find the probability for a given interval, you
find the areas under the curve.
The Normal Distribution
We often write that a variable (call it X) has
normal distribution with mean  and variance
s2 in the following way:

X ~ N  ,s
2

Note that the std.
dev. is still s.
s
