derivatif parsiil - elista:.

Derivatif Parsial
(Slide 2)
Dosen Pengampu
Dra. Harmastuti M.Kom
by.tuti & Kris
23
Pengantar
Dalam pertemuan ini akan dibahas
derivatif untuk fungsi dua perubah atau lebih dan
aplikasinya. Untuk mempelajari materi ini
diharapkan mahasiswa telah mengambil
matakuliah kalkulus 2 yang berkaitan dengan
derivatif dan integral .
by.tuti & Kris
24
1.Derivatif Fungsi dua Perubah
Derivatif Parsial.
Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel
independen x dan y. Karena x dan y
independen maka :
(i ). x berubah-ubah sedangkan y tertentu.
(ii). y berubah - ubah sedangkan x tertentu.
by.tuti & Kris
26
Derivatif Fungsi dua Perubah
Definisi 2.1
i). Derivatif parsial terhadap perubah x
Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi
x , derivatif parsial z = f(x,y) terhadap x sbb :
f ( x  x, y)  f ( x, y)
f x ( x, y)  lim
x 0
x
by.tuti & Kris
27
Derivatif Fungsi dua Perubah
ii). Derivatif parsial terhadap perubah y
Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi
y, derivatif parsial z = f(x,y) terhadap y sbb :
f ( x, y  y)  f ( x, y)
z
 f y ( x, y)  lim
y
y
y  0
disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap y.
by.tuti & Kris
28
Menentukan nilai derivatif
Contoh2.1: Menentukan nilai derivatif menggunakan limit
a. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap x jika
f(x,y) = x2 + 2y
Jawab : f(x,y) = x2 + 2y maka
f x ( x, y)  lim
x 0
f ( x  x, y)  f ( x, y)
x
(( x  x) 2  2y)  (x 2  2y)
 lim
x 0
x
 lim ( 2 x  x )
x  0
 2x
by.tuti & Kris
29
Menentukan nilai derivatif
b. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap y jika
f(x,y) = x2 + 2y
f y ( x, y)  lim
Δy 0
f ( x, y  y)  f ( x, y)
y
(x 2  2 ( y  y))  (x 2  2y)
 lim
Δy0
y
 lim 2  2
Δy 0
by.tuti & Kris
30
Menentukan nilai derivatif
Contoh 2.2.
Jika z = ln (x2 + y2) tunjukkan bahwa
z
z
x
y
2
x
y
Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih
dahulu
z
x
dan
Selanjutnya tentukan nilai
z
y
z
z
x
 y
x
y
by.tuti & Kris
31
Lanjutan Contoh 2.2.
z = ln (x2 + y2) , derivatif parsial terhadap x dan y
z  ln( x 2  y 2 )
2x

 2 2
x
x
x y
dan
z  ln( x 2  y 2 )
2y

 2
y
y
x  y2
maka :
z
z
x
y
x
y
=
x
2x
2y

y
x 2  y2
x 2  y2
by.tuti & Kris
= 2
32
2. Dreivatif Parsial Tingkat n
Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai derivatif parsial di setiap
titik (x,y) pada suatu daerah maka
z
 f x ( x , y)
x
dan
z
 f y ( x , y)
y
merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai
derivatif parsial yang disebut derivatif parsial tingkat dua.
Derivatif parsial tersebut dinya takan sbb:
by.tuti & Kris
33
Menentukan nilai derivatif parsial tingkat n
Contoh- 2.3. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk
f(x,y) = x2y – 3xy + 2 x2y2
Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi itu
fx(x,y) = 2xy – 3y +4 x y2
fy (x,y) = x2 – 3x + 4 x2y
Jadi derivatif parsial tingkat dua
fxx (x,y) = 2y + 4y2
fyy (x,y) = 4 x2
fyx (x,y) = 2x – 3 + 8 x y = 2x + 8 x y – 3
dan
fxy (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3
by.tuti & Kris
34
3.Diferensial Total
Tinjau kembali fungsi
z = f(x,y) ; x dan y perubah bebas.
derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x dan y
z
z
dan
 f ( x , y)
 f ( x , y)
x
y
x
y
dengan mengambil dx = x dan dy = y.
diferensial total dari fungsi z dinyatakan dz
didefinisikan sbb :
dz 
z
z
dx 
dy
x
y
by.tuti & Kris
35
Diferensial Total n variabel
1. Jika z = f( x1 , x2,…. xn ) maka
dz = f dx1 +
x1
f
dx 2
x 2
+
…
+
f
dx n
x n
2. Jika f(x1 , x2,…. xn ) = c maka df = 0,
catatan x1 , x2,…. xn bukan merupakan variabel
independent.
by.tuti & Kris
36
Contoh soal diferensial total
Contoh-2.4. Tentukan diferensial total untuk
r = s2θ + 3 sθ2
Jawab : Karena r = s2 θ + 3sθ 2
maka
r
r
= 2s θ + 3 θ 2 dan
= s2 + 6sθ
s

Jadi diferensial total z adalah
r
r
dr = ds + d = (2s θ + 3 θ 2)ds + (s2 + 6sθ )dθ

s
by.tuti & Kris
37
Contoh soal diferensial total
1
2.5. Tentukan diferensial total untuk z = e
Jawab: Karena z = e

1
2
 (x 2  y 2 )
2
(x 2  y2 )
maka
1
 (x 2  y2 )
z
  xe 2
x
1
 (x 2  y2 )
z
  ye 2
y
Jadi diferensial total z adalah
z
dx
dz =
x
1
+
 (x 2  y2 )
z
dy = - (x + y) e 2
y
by.tuti & Kris
38
4. Aplikasi Derivatif Parsial
Contoh 2.6. Diketahui R = R(E,C) = E
C
Jika nilai E = 100 dengan pertambahan 0,05 dan nilai
C = 20 mengalami penurunan sebesar 0,1. Tentukan perubahan
yang dialami R dan tentukan nilai R
Jawab :
Langkah 1. Derivatifkan R terhadap E dan C
Langkah 2. Tulis rumus diferensial total
Langkah 3. Tentukan perubahan yang dialami R
subtitusikan nilai (langkah 1 ke rumus )
Langkah 4. Nilai R = nilai pendekatan R + perubahan R
by.tuti & Kris
39
Soal-soal Latihan
1.Derivatif fungsi dua perubah
1. Tentukan
fx(x,y) dan
a. f(x,y) =
fy(x,y)
jika
x2
y2

y
x
b. f(x,y) = sin (3x + 2y)
c. f(x,y) = arc tan
y
x
2. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk z jika
a. z =
x 2  y2
b. z = 2x2 – 5xy + y2
xy
xy
Jika
w  x 2  y ln x
c. z =
3.
a.
b.
maka tentukan
Jika
dengan
x  s / t,
y  s2t
w

t
w  x 2 y  z 2 ; x   cos  sin  ;
w
maka tentukan


,
pada saat
by.tuti & Kris
y   sin  sin  ;
  2;
  ;
z   cos 
 

2
40
Soal-soal Latihan
2. Diferensial total dan Aplikasi dervatif parsial
Diferensial total
1. Tentukan dF dan dG apabila
F(x,y) = x2y – 5x y2 +8y3 dan G(x,y) = x2yz – 5x y2z
2. Apabila z = x2y – 5x y2 +8y3 , x = 5; y = 4; dx = -0,2 ; dy = 0,1 tentukan nilai z
dengan memperhatikan factor kesalahan (dz).
Aplikasi derivatif parsiil
1. Diketahui segitiga yang kaki-kakinya 7,98 dan 6,01cm, dengan menggunakan
diferencial hitung panjang garis miring segitiga tersebut.
2. Diketahui
R = R( R1 ,R2) =
R 1R 2
R1  R 2
Tentukan perubahan R jika untuk R1= 8 bertambah 0,2 dan R2 = 6 berkurang 0,1.
3. Diberikan kerucut dengan jari-jari alas 10 cm, jari-jari tersebut menyusut 0.3 cm
sedangkan tinggi kerucut 15 cm bertambah 0.2cm.
Tentukan volume kerucut
setelah berubah.
by.tuti & Kris
41
Resume
Derivatif Parsial:
Diketahui z = f (x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka :
(i ). x berubah-ubah sedangkan y tertentu.
(ii). y berubah - ubah sedangkan x tertentu.
Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x dan derivatifnya terhadap x
adalah
f ( x  x, y)  f ( x, y)
z
 f x ( x, y)  lim
x 0
x
y
disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap x.
Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi y dan derivatifnya terhadap y
adalah
z
f ( x, y  y)  f ( x, y)
 f y ( x, y)  lim

y

0
y
y
disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap y.
by.tuti & Kris
42
Resume
Derivatif Total
z = f(x,y) fungsi dengan
dua
perubah bebas
x dan y,
derivatif parsial fungsi
tersebut
z
 f x ( x , y)
x
dan
z
 f y ( x , y)
y
dengan mengambil dx = x , dy = y dan
jika x
berubah-ubah sedangkan y tertentu maka
z
diferensial parsial, fungsi z terhadap x didefinisikan :
jika y
berubah-ubah sedangkan x tertentu maka
z
diferensial parsial fungsi z terhadap y didefinisikan,
maka diferensial total dz
hanya merupakan
dxz =
x,
z
dx  f ( x , y)dx
x
x
hanya merupakan
dyz =
fungsi
fungsi
y
z
dy  f y ( x , y)dy
y
didefinisikan sebagai jumlah kedua diferensial tersebut,
yaitu
dz =
z
z
dx +
dy
x
y
by.tuti & Kris
43
Meteri pertemuan selanjutnya
Derivatif fungsi composit,
Derivatif parsial menggunakan determinan
Jacobi.
Transformasi koordinat (mapping one to one ).
by.tuti & Kris
44