Atom Hidrogen dalam Mekanika Kuantum

06/05/2014
FISIKA MODERN
Pertemuan ke-11
NURUN NAYIROH, M.Si
Werner heinsberg (1901-1976), Louis de Broglie (18921987), dan Erwin Schrödinger (1887-1961) merupakan para
ilmuwan yang menyumbang berkembangnya model atom
modern atau yang disebut sebagai model atom mekanika
kuantum
Prinsip ketidakpastian Heisenberg: “Tidak mungkin dapat
ditentukan kedudukan dan momentum suatu benda secara
seksama pada saat bersamaan, yang dapat ditentukan
adalah kebolehjadian menentukan elektron pada jarak
tertentu dari inti atom”
∆x. ∆p>ђ/2
Pernyataan de Broglie yang menyatakan bahwa partikel
dapat bersifat seperti gelombang.
λ=h/p=h/mv
1
06/05/2014
1. Gerakan elektron memiliki sifat gelombang, sehingga
lintasannya (orbitnya) tidak stasioner seperti model Bohr,
tetapi mengikuti penyelesaian kuadrat fungsi gelombang yang
disebut orbital (bentuk tiga dimensi darikebolehjadian paling
besar ditemukannya elektron dengan keadaan tertentu dalam
suatu atom)
2. Bentuk dan ukuran orbital bergantung pada harga dari ketiga
bilangan kuantumnya. (Elektron yang menempati orbital
dinyatakan dalam bilangan kuantum tersebut)
3. Posisi elektron sejauh 0,529 Angstrom dari inti H menurut
Bohr bukannya sesuatu yang pasti, tetapi bolehjadi merupakan
peluang terbesar ditemukannya elektron
Fungsi Gelombang Schrodinger
Berdasarkan gagasan de Broglie dan prinsip ketidakpastian Heisenberg
Erwin Schrodinger mengajukan pendapat bahwa apabila elektrom
mempunyai sifat gelombang.
Maka tentu elektron mempunyai fungsi gelombang yang menyatakan
keadaan elektron tersebut.
Karena elektron mempunyai fungsi gelombang, maka menurut
Schrodinger electron pada atom tidak mengorbit inti, tetapi lebih
bersifat sebagai gelombang yang bergerak pada jarak tertentu dan
dengan energi tertentu di sekeliling inti.
Model atom Schrodinger terbukti lebih tepat dan berdasarkan model ini,
para ahli fisika tidak lagi mencoba untuk menemukan lintasan electron
dan posisinya dalam sebuah atom, akan tetapi mereka menggunakan
persamaan yang menggambarkan gelombang electron tersebut untuk
menemukan daerah dimana electron paling mungkin ditemukan.
4
2
06/05/2014
MODEL ATOM MEKANIKA KUANTUM
Menurut Bohr, elektron beredar mengitari inti menurut suatu
orbit berbentuk lingkaran dengan dengan jari-jari tertentu.
Hal ini tidak sesuai dengan fakta bahwa gerakan elektron
menyerupai gelombang elektromagnet.
Gelombang tidak bergerak menurut suatu garis melainkan
menyebar pada suatu daerah tertentu.
5
Tahun 1927 Erwin Schrodinger ahli matematika dari Rusia mengajukan
teori atom yg disebut teori atom mekanika kuantum. Menurut teori ini,
kedudukan elektron dalam atom tidak dapat ditentukan dengan pasti;
yang dapat ditentukan adalah probabilitas menemukan elektron sebagai
fungsi jarak dari inti atom.
Daerah dengan probabilitas terbesar menemukan elektron disebut orbital.
Orbital digambarkan berupa awan yang tebal tipisnya menyatakan besar
kecilnya kebolehjadian menemukan elektron didaerah tersebut.
Bentuk awan dan tingkat energi orbital diperoleh dari persamaan
gelombang dari elektron.
Persamaan gelombang Schrodinger untuk atom Hidrogen:
∂ 2 Ψ ∂ 2ψ
∂ 2ψ
8π 2 m
+
+
+
.( E − V )ψ = 0
∂X 2
∂y 2
∂Z 2
h2
V = Energi potensial partikel (elektron)
E = Energi total partikel
m = massa partikel
ψ = fungsi gelombang
6
3
06/05/2014
Massa proton mp jauh lebih besar
daripada massa elektron me , mp =1836
me .
Diasumsikan proton diam di pusat
koordinat dan elektron bergerak
mengelilinginya di bawah pengaruh
medan atau gaya coloumb, sehingga
kontribusi energi sistem hanya diberikan
oleh elektron yaitu energi kinetik:
Sistem koordinat bola bagi
atom hidrogen
Dan energi potensialnya:
Sehingga
Dengan demikian persamaan schrodinger untuk atom hidrogen
Mengingat sistem atom hidrogen memiliki simetri bola, analisis
menjadi lebih sederhana bila oprator ∇2 diungkapkandalam
koordinat bola (r,θ ,ϕ ) , persamaan di atas menjadi
Di mana
4
06/05/2014
Untuk mendapatkan solusi bagi persamaan di atas, dilakukan
pemisahan variabel (r ) = r ψ (r,θ ,ϕ ) sebagai berikut:
Penjumlahan suku-suku yang hanya bergantung pada jari-jari
dan dua sudut ini akan selalu sama dengan nol untuk
sembarang nilai r, θ danϕ jika masing-masing suku sama
dengan konstanta. Konstanta (c) berharga ± l(l + 1) .
Suku yang hanya bergantung jari-jari menjadi:
sedangkan suku yang hanya mengandung sudut θ danϕ menjadi
Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari
satu proton sebagai nukleus dan satu elektron yang mengitarinya
Persoalan persamaan Schrodinger dalam 3 dimensi memerlukan 3
bilangan kuantum untuk mencirikan semua pemecahannya. Oleh
karena itu, semua fungsi gelombang atom hidrogen akan diperikan
dengan tiga buah bilangan kuantum.
Bilangan kuantum pertama, n, berkaitan dengan pemecahan bagi
fungsi radial, R( r ). Bilangan n ini sama dengan pemecahan untuk
menamai tingkat – tingkat energi dalam model Bohr. Pemecahan
bagi fungsi polar, θ(θ), memberikan bilangan kuantum l, dan bagi
fungsi, Ф(φ), memberikan bilangan kuantum ketiga ml.
5
06/05/2014
Pada teori atom mekanika kuantum, untuk menggambarkan
posisi elektron digunakan bilangan-bilangan kuantum.
Daerah kemungkinan elektron berada disebut orbital.
Orbital memiliki bentuk yang berbeda-beda
Bilangan kuantum.
Schrodinger menggunakan tiga bilangan kuantum yaitu
bilangan kuantum utama (n), bilangan kuantum azimut (l),
dan bilangan kuantum magnetik (m).
Ketiga bilangan kuantum tersebut menjelaskan tingkat
energi, bentuk, dan orientasi elektron di dalam orbital.
Selain ketiga bilangan kuantum tersebut ada bilangan
kuantum spin (s) yang menunjukkan perputaran elektron
pada sumbunya.
Bilangan Kuantum utama (n)
Bilangan kuantum utama memiliki lambang n yang bernilai
bulat 1, 2, 3, ……..
Harga n melambangkan tingkat energi elektron atau kulit
elektron seperti halnya dalam model bohr.
En = −
me 4
1
32π ε h n 2
2
2
0
2
energi ini hanya bergantung pada bilangan kuantum n, tidak
pada l dan ml.
Harga n untuk berbagai kulit elektron yaitu sebagai berikut:
Elektron pada kulit ke-1, memiliki harga n = 1.
Elektron pada kulit ke-2, memiliki harga n = 2.
Elektron pada kulit ke-3, memiliki harga n = 3.
Elektron pada kulit ke-4, memiliki harga n = 4
6
06/05/2014
Bilangan kuantum azimut (l)
Bilangan kuantum azimut menyatakan tingkat energi elektron pada
subkulit.
Subkulit elektron mempunyai lambang s, p, d, f. Huruf-huruf tersebut
berasal dari kata sharp (s), principal (p), diffuse (d), dan fundamental (f)
yang diambil dari nama-nama seri spektrum unsur.
Harga l untuk berbagai subkulit yaitu sebagai berikut:
Elektron pada subkulit s memiliki harga l = 0
Elektron pada subkulit p memiliki harga l = 1
Elektron pada subkulit d memiliki harga l = 2
Elektron pada subkulit f memiliki harga l = 3
Nilai – nilai bilangan kuantum l dibatasi oleh nilai n. bilangan kuantum
momentum sudut l bernilai bulat dari 0 hingga n –1 .
Contoh:
Jika n = 1 maka l = 0.
Jika n = 2 maka l = 0, 1.
Jika n = 3 maka l = 0, 1, 2.
Jika n = 4, maka l = 0, 1, 2, 3.
Bilangan kuantum magnetik (m)
Bilangan kuantum magnetik memiliki lambang m yang
menunjukkan arah orbital elektron.
Bilangan kuantum magnetik menyatakan jumlah orbital pada
subkulit elektron.
Bilangan kuantum ini bernilai negatif, nol, dan positif. Secara
matematika harga m dapat ditulis mulai dari -l sampai dengan +l.
Harga m untuk berbagai l atau subkulit dapat dilihat sbb:
7
06/05/2014
Jika tiap tingkatan energi diberi nama dengan ketiga bilangan kuantum (n, l, m) .
Keadaan dasar memiliki n = 1, karena itu l = 0. disini hanya satu nilai ml yang
diperkenankan, ml = 0. Jadi, keadaan dasar memiliki bilangan kuantum (1, 0, 0,).
Keadaan eksitasi pertama memiliki n = 2, sehingga nilai l yang diperkenankan
adalah l = 0 atau l = 1. Untuk l = 0, hanyalah ml = 0 yang diperkenankan. Untuk l
= 1 , nilai ml adalah –1, 0, atau + 1. dengan demikian, himpunan bilangan kuantum
yang mungkin bagi tingkat ini adalah (2, 0, 0), (2, 1, 1), (2, 1, 0) dan (2, 1, -1).
Semua keadaan ini memiliki n = 2, dan karena itu semuanya memiliki energi yang
sama, karena energi hanya bergantung pada n. dengan demikian, semua
keadaan ini terdegenerasi, dan kita mengatakan bahwa tingkat n = 2
terdegenerasi rangkap-empat.
Pada umumnya, tingkat ke-n terdegenerasi rangkap-n2
Jika gabungan bilangan kuantum yang berbeda ini memiliki
energi yang sama, lalu apa manfaatnya mendaftarkan mereka
secara terpisah ?
pertama, semua subtingkat sama sekali tidak terdegenerasi,
tetapi terdapat sedikit perbedaan energi yang memisahkan
mereka (mungkin sekitar 10-5 eV).
Kedua, dalam mempelajari transisi antara berbagai tingkat
energi, kita dapati bahwa intensitas tiap transisi bergantung pada
subtingkat tertentu asal transisi itu.
Ketiga, tiap subtingkat memiliki fungsi gelombang yang sangat
berbeda, dan karena itu menyatakan suatu keadaan gerak
elektron yang sangat berbeda.
8
06/05/2014
Bilangan kuantum spin (s)
Elektron dalam orbital tidak hanya bergerak di
sekitar inti tetapi berputar pada sumbunya.
Bilangan kuatum spin dengan lambang s,
menyatakan arah perputaran elektron pada
sumbunya.
Bilangan kuantum suatu elektron di dalam orbital
dapat memiliki harga spin + 1/ 2 dan – 1/ 2 , tetapi
berdasarkan kesepakatan para tokoh kimia, untuk
elektron pertama di dalam orbital harga spinnya = +
½.
9
06/05/2014
Momentum sudut
Dalam persamaan Schrödinger, momentum sudut terkait
dengan bagian fungsi gelombang yang tidak tergantung r
yang berarti tidak tergantung dari potensial V(r) .
Besar dan arah momentum sudut terkait dengan fungsi
gelombang yang merupakan fungsi sudut ϕ, θ.
Dalam mekanika klasik, vektor momentum sudut elektron
yang beredar mengelilingi inti atom dan tegak lurus bidang
orbit elektron dapat kita tuliskan sebagai
Perhitungan lebih teliti berdasarkan pemecahan
persamaan Schrodinger memberikan hubungan antara
panjang vektor L, yang kita tunjukkan dengan [L],
dengan bilangan kuantum l, sebagai berikut :
L = l (l + 1)h
2 hal penting:
1. Panjang vektor [L] selalu lebih besar dari pada lћ ,
karena l (l + 1)h selalu lebih besar dari pada l.
2. Nilai – nilai ini, yang dapat kita tafsirkan sebagai
”besar” momentum sudut elektron.
10
06/05/2014
Vektor L dapat memiliki komponen sepanjang
sembarang sumbu dalam ruang. (Umumnya kita
memilih sumbu z, karena ia merupakan sumbu acuan
dalam sistem koordinat bola).
Nilai – nilai komponen z dari lz, yang kita tunjukkan
dengan L terbatasi menurut pernyataan.
Lz = m l ћ
Dimana ml adalah bilangan kuantum magnet, yang
bernilai 0, + 1, + 2, ……, +l.
Tiap orentasi yang berbeda dari vektor L berkaitan
dengan suatu nilai ml yang berbeda. Sudut polar θ yang
dibuat vektor L terhadap sumbu z adalah:
karena lz = [L] cos θ, maka
Cosθ =
lz
ml h
=
L
l (l + l )h
atau
Cosθ =
ml
l (l + l )
Alasan lain memilih dan menaruh perhatian khusus
pada sumbu z, adalah karena menurut fisika kuantum,
kita hanya dapat mengetahui secara pasti satu dari
ketiga komponen L (dan berdasarkan kesepakatan, kita
memilih komponen z); kedua komponen L lainnya
sama sekali tidak pasti. Ini dapat ditelusuri dari bentuk
tambahan asas ketidak pastian berikut,
∆lz ∆φ≥ћ
φ adalah sudut azimut
[L] > l haruslah benar, seandainya kita dapati [L] = l ћ,
maka apabila ml bernilai maksimum (ml =+1), akan
kita peroleh Lz =ml ћ = l ћ . Karena panjang vektor,
untuk nilai ini, sama dengan komponen z-nya, maka ia
harus terletak sepanjang sumbu z, sehingga lx=ly=o.
11
06/05/2014
Berbagai orientasi sebuah vektor
momentum sudut dengan l = 2
dalam ruang dan komponen znya. Terdapat 5 kemungkinan
orientasi yang berbeda.
z
ml=+2
lz=+2 ћ
θ
ml=+1
lz= + ћ
lz= 0
Perilaku ini menyatakan suatu
aspek menarik fisika kuantum
yang disebut kuantisasi ruang,
yang hanya memperkenankan
orientasi tertentu momentum
sudut.
ml=0
lz= - ћ
lz= -2 ћ
ml=-1
ml=-2
Hitunglah panjang vektor momentum sudut
yang menyatakan gerak sebuah elektron
dalam suatu ke adaan dengan l=1 dan
keadaan lain dengan l=2.
Tentukan semua komponen z yang mungkin
dari vektor l, yang menyatakan momentum
sudut gerak orbit dari suatu keadaan dengan
l=2.
12
06/05/2014
Bilangan bilangan kuantum (n, l, ml) yang menamai keadaan
atom hidrogen, mempunyai dua tafsiran: 1) Bilangan
kuantum adalah label yang muncul dari prosedur
matematika yang terlibat dalam pemecahan persamaan
Schrodinger, 2) mempunyai tafsiran geometris.
Pada tafsiran matematik pecahannya, bilangan kuantum
merupakan label atau indeks bagi fungsi gelombang yang
berbeda.
Komponen fungsi gelombang ψ (r,θ,φ) dapat dituliskan
sebagai hasil kali tiga buah fungsi satu variable :
ψ n,l ,m (r , θ , φ ) = Rn ,l (r ) θ l ,m (θ )Φ m (φ )
1
1
Tabel Beberapa Fungsi Gelombang atom Hidrogen
n
l
m1
Φθ
R (r)
2
1
0
0
2
0
0
2
( 2a 0 ) 3 / 2
2
1
0
3(2a 0 )
2
1
+1
e
a03 / 2
1
3/ 2
1
2π
2

r
 2 −
a
0

r
a0
1
3(2a 0 )
Φ(φ)
1
− rl a0
3/ 2
e
 −rl
 e

2 a0
− rl 2a0
r
a0
e
− rl 2a0
1
1
2π
2
3
cos θ
2
3
sin θ
2
1
2π
1
2π
e ± iφ e
Di mana dV = r 2 sin θ dr dθ dφ
13
06/05/2014
Probabilitas menemukan elektron:
ψ n ,l ,m (r , θ , φ ) dV = Rn ,l (r )
2
2
1
θ l ,m (θ ) Φ m (φ )
2
r 2 sin θ dr dθ dφ
Untuk menghitung probabilitas radial P(r) dr untuk
menemukan elektron antara r dan r + dr (dalam volume kulit
bola):
π
p (r ) dr = Rn,l (r ) rd ∫ θ l ,m1 (θ ) sin θ d θ ∫
2
2
0
2
1
2π
0
2
Φ ml (φ ) dφ
Integral θ dan φ bernilai satu, karena fungsi R, θ, dan φ
masing – masing normalisasikan . jadi, rapat probabilitas
radial adalah :
P( r ) =r2 Rn ,l (r )
2
Gambar
Rapat probabilitas P (r) bagi tiga keadaan terendah hidrogen
Yang dapat kita amati hanyalah ”tumpahan”
distribusi muatan elektron, dengan distribusi
ruang yang diberikan oleh probabilitas.
Distribusi probabilitas ini berakibat penting
bagi penggabungan atom – atom dalam
molekul
14
06/05/2014
Bentuk Orbital s
ATOMIC THEORY 2008 BY FARID
30
15
06/05/2014
32
16
06/05/2014
Orbital p
33
Orbital d
34
17
06/05/2014
Salah satu dari 7 orbital f
ATOMIC THEORY
35
18