Document

SISTEM KOORDINAT
VEKTOR
Tri Rahajoeningroem, MT
T. Elektro - UNIKOM
Tujuan Pembelajaran
• Mahasiswa dapat memahami koordinat vektor
• Mahasiswa dapat menggunakan sistem koordinat
vektor untuk menyelesaikan permasalahan dalam
bidang medan elektromagnetik
• Mahasiswa dapat mentransformasikan sistem
koordinat satu dengan koordinat yang lain
Pokok bahasan
Pokok
Bahasan
• Pengenalan sistem koordinat Kartesian, Silindris dan
Bola
• Penggunaan sistem koordinat Kartesian, Silindris dan
Bola serta contoh-contoh soal-soal.
• Meninjau aplikasi dari analisa vektor ini dimana terdapat
dalam bidang listrik dan gelombang, mekanika,
mekanika teknik, mekanika zat alir dan lain-lain.
3
Kegunaan Sistem koordinat
• Untuk dapat menjabarkan sebuah vektor secara
akurat, kita harus memberikan vektor yang
bersangkutan suatu panjang, arah, sudut dan
proyeksi-proyeksi yang spesifik
• Untuk itu diperlukan sistem koordinat dalam analisis
vektor
• Ada 3 sistem koordinat yang akan kita gunakan :
1. Koordinat cartesian (persegi)
2. Koordinat Silindris
3. Koordinat Bola
Sistem koordinat
• Koordinat cartesian tidak cukup !!!
• Terdapat beberapa kasus yang akan lebih mudah
penyelesaiannya dengan menggunakan koordinat tabung dan
bola
• Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan
koordinat silindris dan persoalan antena yang memiliki
penyelesaian menggunakan koordinat bola.
• Ilustrasi :
• Titik A digambarkan dalam 3 buah koordinat
• Koordinat cartesian = (x, y, z)
• koordinat silindris = (r, , z )
• koordinat bola
= (r,,)
Pendefinisian Variabel-Variabel
Koordinat dalam Tiga Buah
Sistem Koordinat
Z
Z
Z
AA(r,(r,φ,
,z)z)
A (x, y, z)
z
z
y
X
x
r
Y
r
Y
z
Y

X
A (r,,θ,Φ)


X
Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga
sistem koordinat :
A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian)
A = Arar + Aa + Azaz (Silindris)
A = Arar + Aa + Aa(Bola)
Bidang-bidang Permukaan
Nilai Konstan untuk
.
Tiga sistem Koordinat
Bidang-bidang Permukaan
Nilai Konstan untuk
.
Tiga sistem Koordinat
Bidang-bidang Permukaan
Nilai Konstan untuk
.
Tiga sistem Koordinat
Arah vektor satuan untuk tiga sistem
koordinat
Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidang
permukaan koordinatnya dan memiliki arah di mana
koordinatnya bertambah.
Semua sistem merupakan sistem tangan kanan:
ax x ay = az ar x a = az
ar x a = a
Transformasi skalar antar sistem
koordinat
Koordinat cartesian – koordinat silinder
vektor dalam Cartesian :
A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Silinder :
A  Ar ar  A a  A a
 
z z
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, Φ dan z;
Untuk mendapatkan komponen sebuah vektor, kita ingat pada
pembahasan perkalian titik yang menyatakan bahwa komponennya
dapat dicari dengan mengambil perkalian titik
ar
aΦ
az
cos
-sin
0
ay.

sin 
az.
0
ax.

cos 
0
0
1
Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar
AΦ = (Axax + Ayay + Azaz)• aΦ
Az = (Axax + Ayay + Azaz) • az
Variabel-variabel dalam koordinat cartesian dapat dihubungkan
dengan variable-variabel dari koord silindris secara relatif lebih
mudah
• x=r cos Φ
• y=r sin Φ
• z=z
• r=√(x2+y2)
• Φ=tan-1(y/x)
• z=z
Transformasi skalar antar sistem
koordinat
Koordinat cartesian – koordinat bola
vektor dalam Cartesian :
A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Bola :
A  Ar ar  A a  A a
 
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan Φ
Dengan cara yang sama …
ar
ay.

Sin θ sin 
az.
Cos θ
ax.
Sin θ Cos
aθ
Cos θ Cos
Cos θ Sin
-Sin θ
aΦ



Cos 
-Sin
0
Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar
Aθ = (Axax + Ayay + Azaz) • aθ
AΦ = (Axax + Ayay + Azaz)• aΦ

Variabel-variabel dalam koordinat cartesian dapat
dihubungkan dengan variable-variabel dari koord
bola secara relatif lebih mudah
• x=r sin θ cos Φ
• y=r sin θ sin Φ
• z=r cos θ
• r=√(x2+y2+z2)
• Θ = cos-1 (z/ √(x2+y2+z2)
• Φ =tan-1 (y/x)
Diferensial volume pada tiga sistem
koordinat
Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial
permukaan yang tegak terhadap ar adalah,
dS = (r d)(r sin d) = r2 sin d
Elemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P.
Jadi,
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian)
dl2 = dr2 + r2d2 + dz2 (Silindris)
dl2 = dr2 + r2d2 + r2 sin2  d2 (Bola)
Soal-soal dan Penyelesaiannya
Soal 1
Carilah vektor C yang memiliki arah dari M(x1, y1, z1) ke N(x2, y2, z2)!
Berapakah magnituda dari vektor ini dan vektor satuan arahnya?
Penyelesaian :
Koordinat-koordinat titik M dan N digunakan untuk menuliskan posisi dari
kedua vektor A dan B pada Gambar 1-6.
Selanjutnya.
C = B – A = (x2 – x1)ax + (y2 – y1)ay + (z2 – z1)az
Magnituda C adalah
C | C | ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2
Vektor satuannya adalah
C ( x2  x1 )a x  ( y2  y1 )a y  ( z2  z1 )a z
aC 

C
( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2
Soal 2
Hitunglah jarak antara (5,3/2,0) dan (5,/2,10) dalam koordinat
silindris!
Penyelesaian :
Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b
Panda gambar diperoleh
:
A = -5ay,
B = 5ay + 10az
Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalen
antara kedua titik
| B  A | 10 2
Soal 3
Diberikan A = (y – 1 )ax+2xay, carilah vektor pada (2,2,1) dan proyeksinya
pada vektor B = 5ax – ay + 2az!
Penyelesaian :
A = (2 – 1)ax + 2(2)ay = ax + 4ay. Seperti ditunjukkan pada Gambar,
proyeksi sebuah vektor pada vektor kedua dapat diperoleh dengan
menyatakan vektor satuan yang searah dengan vektor kedua serta
mengambil perkalian titiknya.
A
aB
Proyeksi A pada B
Proyeksi A pada B =
B
A aB 
A B
|B|
Jadi pada (2,2,1)
Proyeksi A pada B =
A  aB 
A  B (1)(5)  (4)( 1)  (0)( 2)
1


|B|
30
(5) 2  (1) 2  (2) 2
Soal 4
Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area
dari sebuah lembaran tipis    pada selubung bola dengan jarijari r = a ( Gambar 1-9).
Berapakah luas area yang diperoleh jika  = 0 dan  = ?
Penyelesaian :
Diferensial elemen permukaan adalah
[ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ]
dS = r2 sin  d d
Selanjutnya,
2 
A
 
r0 2 sin dd  2r0 2 (cos   cos  )
0
sehingga saat  = 0 dan  = , A = 4r02, yang merupakan luas permukaan bola.