lecKD-012333A-2

BAB II
Vektor
2.1. Besaran Skalar Dan Vektor
Pada sub bab terdahulu telah diterangkan bahwa besaran massa
merupakan besaran pokok kecepatan merupakan besaran turunan. Tetapi
pada sub bab ini akan dibicarakan besaran-besaran dari sudut pandang
yang lain.
2.1.1. Perbedaan antara besaran skalar dan vektor
Bila kita perhatikan lebih jauh, besaran massa dan kecepatan berbeda
jika dilihat dari sudut pandang yang lain. Misalnya, massa sebuah bola 5 kg.
Massa tersebut tidak berubah, walaupun dipindah dari suatu tempat ke
tempat yang lain. Besaran massa tersebut dapat dinyatakan hanya dengan
nilai saja yaitu 5 kg (angka 5 merupakan bilangan dan kg merupakan
satuannya). Besaran yang demikian kita sebut Besaran Skalar.
1. Besaran skalar adalah besaran yang cukup dinyatakan oleh nilainya
saja (nilai dinyatakan oleh bilangan dan satuan)
Yang termasuk besaran skalar diantaranya adalah waktu, suhu, volume, laju,
energi, usaha dan lain-lain. Dengan kata lain, besaran skalar adalah besaran
yang cara pengukurannya tidak tergantung pada sistem koordinat yang
dipakai, artinya tidak bergantung tempat dan arah, hanya bergantung pada
nilai saja.
Sebuah mobil bergerak ke arah utara dengan speedometer
menunjukkan angka 90 km/jam hasilnya akan lain jika mobil tersebut
bergerak ke arah selatan dengan penunjukkan speedometer yang sama.
Dengan perkataan lain bahwa besaran kecepatan tidak hanya dinyatakan
dengan nilai (nilainya dinyatakan dengan bilangan dan satuan), tetapi juga
harus dilengkapi dengan arahnya. Besaran yang demikian disebut Besaran
Vektor.
2. Besaran vektor adalah besaran yang dicirikan oleh nilai dan arah
Yang termasuk besaran vektor didalam fisika adalah: kecepatan, percepatan,
gaya, perpindahan, momentum dan lain-lain. Jika dilihat bahwa beseran
vektor bergantung kepada nilai dan arah, maka dapat dikatakan bahwa
besaran vektor, merupakan besaran yang cara pengukurannya bergantung
pada sistem koordinat.
Latihan
1. Besar-besaran di bawah ini, mana yang merupakan besaran skalar dan
mana yang merupakan besaran vektor?
a. Waktu (detik)
b. Perpindahan (m)
c. Kecepatan (m/s)
d. Laju (m/s)
e. Percepatan (m/s2)
f. Usaha (Joule atau Kg m2/s2)
g. Temperatur (C)
h. Momentum (p) (Kg m/s)
2. Besaran-besaran pada soal no 1, tentukan besaran mana yang merupakan
besaran pokok dan besaran mana yang merupakan besaran turunan?
2.1.2. Penggambaran, penulisan notasi besaran vektor dan vektor
satuan
a. Penggambaran vektor
Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah yang
terdiri dari, pangkal (titik tangkap), ujung, dan panjang anak panah.
Panjang anak panah menyatakan nilai dari vektor dan arah panah
menunjukkan arah vektor.
Misalnya: Pada gambar di bawah ini digambar vektor A dengan titik
pangkalnya P, titik ujungnya Q serta sesuai arah panah dan nilai
vektornya sebesar panjang PQ
P
Q
Gambar: Gambar sebuah vektor PQ
Titik P
Titik Q
Panjang PQ
: Titik Pangkal (titik tangkap)
: Ujung
: Nilai (besarnya) vektor tersebut = A
b. Penulisan notasi besaran vektor
Notasi sebuah vektor dapat berupa huruf besar atau huruf kecil,
biasanya berupa huruf tebal, atau berupa huruf yang diberi tanda
panah di atasnya atau huruf miring.
Contoh
Vektor A atau a

(Berhuruf tebal)


Vektor A atau a

(Huruf dengan tanda panah di
atasnya)
Vektor A atau a

(Huruf miring)
Untuk penulisan harga (nilai) dari vektor dituliskan dengan huruf
biasa atau dengan memberi tanda mutlak dari vektor tersebut.
Contoh: Vektor A
Nilai vektor A ditulis dengan A atau A
Ada beberapa hal yang perlu diingat mengenai besaran vektor,
yaitu dua buah vektor dikatakan sama mempunyai bila besar dan
arah sama. Dan dua buah vektor dikatakan tidak sama jika
Atau
Atau
1. Kedua vektor mempunyai nilai yang sama tetapi
berlainan arah
2. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda tetapi
arah sama
3. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda dan
arah yang berbeda
Untuk lebih jelasnya lihat gambar di bawah ini:
A
D
C
E
B
Panjang (nilai) vektor A, B, C, dan D sama besarnya. Nilai vektor C
lebih kecil dari vektor D. Dari gambar di atas dapat disimpulkan
bahwa:
A = C artinya: nilai dan arah kedua vektor sama
A = -B artinya: nilainya sama tetapi arahnya berlawanan
Vektor A tidak sama dengan vektor D (Nilainya sama tetapi
arahnya berbeda)
Vektor D tidak sama dengan vektor E (Nilai dan arahnya berbeda)
c. Vektor satuan
Vektor satuan adalah sebuah vektor yang didefinisikan
sebagai satu satuan vektor. Misalnya ditentukan bahwa satu
satuan vektor gaya panjangnya 0,5 cm, artinya bila ada gaya
sebesar 5 newton yang arahnya ke timur, maka untuk
menggambarkan gaya 5 newton tersebut, harus digambar
sepanjang 2,5 cm.
F = 5 newton
Jika digunakan sistem koordinat Kartesius untuk dua
dimensi, yaitu sumbu x dan sumbu y, vektor satuan pada sumbu x


adalah i dan vektor satuan pada sumbu y adalah j. Pada sistem
koordinat ini, ditentukan bahwa nilai dari satuan vektor-vektor
tersebut besarnya (1) satu. (Lihat gambar).

Bila ada vektor A = 5 i, berarti vektor A tersebut berada pada y
sumbu x dengan arah sumbu x+ dan mempunyai besar 5 kali
^
vektor satuan i.
Gambar
Jika digunakan sistem koordinat Kartesius untuk tiga dimensi, yaitu
sumbu x, y, dan z, vektor satuan pada sumbu x adalah


i, vektor satuan pada sumbu y adalah j dan vektor satuan pada

sumbu z adalah k. Pada sistem koordinat ini, ditentukan bahwa
nilai dari vektor-vektor satuan tersebut adalah (1) satu. (Lihat
gambar)
Gambar
Latihan
1. Kita definisikan bahwa untuk vektor satuan gaya digambarkan
0,25 cm, artinya tiap satu newton, digambarkan dengan suatu
vektor yang panjangnya 0,25 cm. Bila ada suatu vektor gaya
besarnya 60 newton, maka berapakah panjang vektor yang
harus digambarkan untuk menunjukkan gaya tersebut?
(jawab: 15 cm)
2. Tentukan besar (nilai) dan gambarkan pada sistem koordinat
kartesian untuk dua dimensi, dari vektor-vektor di bawah ini:
a. A = 7 i
b. D = 3 i + 4 j
c. C = 5 j
(Jawab: a. A = 7 satuan; b. C = 5 satuan; c. D = 5 satuan)
2.1.3. Hitungan untuk besaran skalar dan besaran vektor
Di dalam fisika, sering kali dijumpai operasi-operasi (hitungan) antara
besaran skalar, atau antara besaran-besaran vektor dan antar besaran skalar
dengan besaran vektor. Hitungan untuk besaran skalar dengan besaran
skalar, telah banyak diketahui, yaitu berlaku hitungan seperti: penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada sub bab berikut ini akan
dijelaskan mengenai hitungan antara skalar dengan vektor dan antara
besaran vektor dengan besaran vektor.
2.1.3.1. Perkalian antara skalar dan vektor
Sebuah besaran skalar dengan nilai sebesar k, dapat dikalikan dengan
sebuah vektor A yang hasilnya sebuah vektor baru C yang nilainya sama
dengan nilai k dikali nilai A. Jika nilai k positif, maka arah C searah dengan A
dan jika nilai k bertanda negatif, maka arah C berlawanan dengan arah A.
Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:
C=kA
C : Vektor,
k : Skalar
A : Vektor
Contoh soal
Misalkan ada sebuah gaya F sebesar 2 newton, seperti pada gambar.
Tentukan vektor B, C, dan D jika
a. B = 3 F
b. C = 0,5 F
c. D = -1,5 F
F
Jawab:
B=3F
a. B = 3 F
b. C = 0,5 F
C = 0,5 F
c. D = -1,5 F
D = -1,5 F
2.1.3.2. Hitungan vektor
1. Penjumlahan dan pengurangan vektor
Untuk menjumlahkan dua buah vektor atau lebih harus diperhatikan arah
dan nilai dari vektor-vektor yang dijumlahkan. Hasil penjumlahan dua
buah vektor tersebut, adalah sebuah vektor baru (vektor resultan) yang
dapat menggantikan vektor-vektor yang dijumlahkan (vektor-vektor
tersebut harus sejenis). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh di
bawah ini.
Sebuah peti yang terletak pada bidang datar, ditarik oleh dua orang
dengan gaya masing-masing 5 N dan 10 N dengan arah gaya yang
sama. Bila kedua gaya tersebut dijumlahkan, maka menghasilkan sebuah
gaya sebesar 15 N (kedua vektor arahnya sama). Dengan kata lain
resultan kedua vektor adalah 15 N. Artinya, kedua vektor yang
dijumlahkan bisa dihilangkan dan digantikan dengan vektor baru sebesar
15 N, akan memberikan hasil yang sama.
Untuk penjumlahan atau pengurangan vektor, ada beberapa metode,
yaitu:
1.
2.
3.
4.
Metode jajaran genjang
Metode segitiga
Metode poligon (segi banyak)
Metode uraian
1. Metode Jajaran Genjang
Bila kedua vektor tersebut dijumlahkan dengan metode jajaran
genjang, maka langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:
Gambar
a. Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal
berimpit
b. Lukis sebuah jajaran genjang dengan kedua vektor tersebut
sebagai sisi-sisinya
c. Resultannya adalah sebuah vektor, yang merupakan diagonal
dari jajaran genjang tersebut dengan titik pangkal sama dengan
titik pangkal kedua vektor tersebut
Jika ditanyakan R = A – B, maka caranya sama saja, hanya vektor
B digambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui.
2. Metode Segitiga
Bila ada dua buah vektor A dan B akan dijumlahkan dengan cara
segitiga maka tahap-tahap yang harus dilakukan adalah
Gambar
a. Gambarkan vektor A
b. Gambarkan vektor B dengan cara meletakkan pangkal vektor B
pada ujung vektor A
c. Tariklah garis dari pangkal vektor A ke ujung vektor B
d. Vektor resultan merupakan vektor yang mempunyai pangkal di
vektor A dan mempunyai ujung di vektor B
Jika ditanyakan R = A – B, maka caranya sama saja, hanya vektor
B digambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui
3. Metode poligon
Pada metode ini, tahapannya sama dengan metode segitiga,
hanya saja metode ini untuk menjumlahkan lebih dari dua vektor.
Contoh:
Jumlahkan ketiga buah vektor A, B, dan C dengan metoda Poligon
A
B
Jawab:
Resultan ketiga vektor R adalah
C
R=A+B+C
Gambar
4. Metode Uraian
…………………………
2. Resultan dari dua buah vektor
Mencari resultan dari dua buah vektor, berarti mencari sebuah vektor baru
yang dapat menggantikan vektor-vektor yang dijumlahkan. Misalnya ada
sebuah benda ditarik oleh dua orang, dan dengan gaya-gaya tersebut,
benda bergerak dengan percepatan 5 m/detik2. Kita dapat memberikan
kepada benda tersebut hanya satu gaya dan dapat menghasilkan
percepatan yang sama yaitu 5 m/detik2 dan dengan arah yang sama.
Gaya tunggal tersebut disebut resultan dari kedua gaya.
Bila ada dua buah vektor A dan B membentuk sudut  lihat gambar, maka
resultannya dapat dicari dengan mudah
Gambar
Panjang resultannya R = PS dengan menggunakan Pythagoras diperoleh
PS2 = (PQ + QT) 2 + ST2
PQ = B
QT = A cos 
TS = A sin 
Dengan memasukkan harga-harga di atas diperoleh
R2 = (B + A cos )2 + (A sin )
= B2 + 2 B A cos  + A2 cos2  + A2 sin2 
= B2 + 2 B A cos  + A2 (cos2  + sin2 )
= B2 + 2 B A cos  + A2 (1) = A2 + B2 + 2 A B cos 
R = (A2 + B2 + 2 A B cos )1/2
Dari rumus nampak bahwa harga resultan bergantung pada sudut antara
kedua vektor tersebut
Hal-hal khusus:
a. Jika vektor A dan B searah, berarti  = 0 dan cos  = cos 0 = 1,
dengan demikian harga R
R = (A2 + B2 + 2 A B cos )1/2 = (A2 + B2 + 2 A B 1)1/2
=A+B
b. Jika vektor A dan B berlawanan arah, berarti  = 180 dan cos  =
cos 180 = -1, dengan demikian harga R
R = (A2 + B2 + 2 A B cos )1/2 = (A2 + B2 + 2 A B (-1))1/2
=A–B
Kita ketahui bahwa harga –1  cos   + 1
Dengan demikian harga resultan dari dua buah vektor, mempunyai
harga antara
A– B
R A+B
A – B merupakan harga mutlak
Contoh:
Dua buah vektor gaya F1 = 5 newton dan F2 = 5 newton
Tentukan:
a. Harga resultan yang mungkin dapat dihasilkan dari penjumlahan
kedua vektor
b. Sudut yang dibentuk antara kedua vektor gaya, agar resultannya 5
newton
Jawab:
a. Harga resultan yang mungkin adalah
A–B
R A+B
5–5 R
5+5
0  R  10 newton
b. Dari rumus
R = (A2 + B2 + 2 A B cos )1/2
R2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos 
52 = 52 + 52 + 2.5.5. cos 
60
1
cos  = - ------ = - ---120 = 2
1
 = Arc cos (- ----) = 120
2
2.2. Sebuah Vektor Dapat Diuraikan Menjadi Dua Vektor Atau Lebih
Pada sub bab sebelumnya, telah dijelaskan bagaimana menjumlahkan
dua buah vektor atau lebih yang dapat menghasilkan sebuah vektor baru
yang menggantikan vektor-vektor yang dijumlahkan. Pada sub bab ini akan
dijelaskan, mengenai bagaimana:
1. Menguraikan sebuah Vektor
2. Menjumlahkan beberapa vektor dengan cara menguraikan vektor-vektor
tersebut ke dalam komponen-komponennya terlebih dahulu.
2.2.1. Menguraikan sebuah vektor
Pada dasarnya menguraikan sebuah vektor, merupakan kebalikan dari
penjumlahan vektor. Dengan demikian, sebuah vektor dapat diuraikan
menjadi dua vektor atau lebih. Pada kesempatan ini, akan dibahas
bagaimana menguraikan sebuah vektor menjadi dua buah vektor yang saling
tegak lurus, yaitu satu vektor yang horisontal dan satu vektor yang vertikal.
Untuk hal tersebut akan digunakan koordinat Kartesian dimana vektor
tersebut akan diuraikan pada sumbu x dan y yang saling tegak lurus. Untuk
lebih jelasnya lihat gambar,
Gambar
Sebuah vektor A yang membentuk sudut  dengan sumbu x positif akan
diuraikan pada sumbu x dan sumbu y. Komponen vektor A pada sumbu x
disebut Ax. Komponen vektor A pada sumbu y disebut Ay. Besarnya
komponen-komponen vektor (Ax, Ay) tersebut dapat diperoleh dengan
menggunakan trigonometri.
Ay
sin  = -----A
Ax
cos  = ------A
Dengan demikian diperoleh hubungan antara vektor A dengan Ax, Ax, dan 
Ax = A cos 
Ay = A sin 
Contoh: Menentukan komponen-komponen sebuah vektor pada sistem
koordinat Kartesian
Sebuah vektor perpindahan A = 50 m terletak pada sistem koordinat
Kartesian, membentuk sudut 120 dengan sumbu x positif. Tentukan
komponen vektor perpindahan tersebut pada sumbu x dan y.
Jawab:
Untuk lebih memahami, terlebih dahulu digambarkan vektor
perpindahan tersebut yang berada di dalam koordinat Kartesian
(lihat gambar)
Gambar
Ay = A sin  = 50 sin 120 =
= 50 sin (180 – 120) = 50 sin 60
1
= 50 . ---3 = 253 meter
2
Ax = A cos  = 50 cos 120 = 50 cos (180 – 120)
= 50 (-cos 60) = -50 cos 60 = -50 (0,5)
= -25 meter
2.2.2. Menjumlahkan vektor dengan cara menjumlahkan komponen
Jika ada sebuah vektor A dalam harga Ax dan Ay yang diketahui,
maka besar A dan arah () dapat dicari dengan menggunakan rumus
Pythagoras yaitu:
Untuk mencari harga A, kuadratkan rumus tadi ( ) kemudian dijumlahkan dan
diperoleh
(Ax)2 = (A cos )2
(Ay)2 = (A sin )2
(Ax)2 + (Ay)2 = (A cos )2 + (A sin )2 = A2 cos2  + A2 sin2 
= A2 (cos2  + sin2 ) = A2 (1) = A2
A =  Ax2 + Ay2
Untuk mencari harga , gunakan persamaan di atas
cos 
Ay
tan  = ------- = -----cos  Ax
Jika vektor A di atas dinyatakan dengan vektor-vektor satuan i dan j maka,
secara matematis vektor A dapat ditulis dengan
A = i A x + j Ay
Yang merupakan penjumlahan kedua komponen-komponennya
Atau
Nilai vektor A
A = Ax + Ay
A = A =  Ax2 + Ay2
Bila ada beberapa vektor, dalam komponen-komponen masing-masing
sumbu x dan y diketahui atau dapat dicari, maka resultan dari vektor-vektor
tersebut mudah dicari dengan cara:
1. Menjumlahkan komponen-komponen pada sumbu x
2. Menjumlahkan komponen-komponen pada sumbu y
3. Gunakan dalil Pythagoras untuk menghitung resultannya
Latihan
1. Tentukan besar dan arah dari vektor-vektor di bawah ini, jika komponen
masing-masing di dalam koordinat Kartesian telah diketahui
a. Ax = 6 cm, Ay = 8 cm
b. Fx = 3 N; Fy = 4 N
2. Sebuah perahu bergerak dari suatu tepi sungai, tegak lurus aliran sungai
dengan kecepatan 12 m/detik dan kecepatan aliran sungai adalah 5
m/detik. Jika lebar sungai 120 m, berapa jauhkah dan dimana perahu
tersebut berada pada tepi lain dari sungai tersebut
2.3. Perkalian Vektor
Pada bab terdahulu, telah diuraikan operasi vektor penjumlahan dan
pengurangan. Pada sub bab ini akan diperkenalkan operasi perkalian dua
buah vektor. Untuk operasi perkalian dua buah vektor, ada dua macam
operasi yaitu:
a. Perkalian titik vektor (dot product) atau perkalian skalar
b. Perkalian silang vektor (cross product) atau perkalian vektor
2.3.1. Perkalian titik vektor (dot product)
Perkalian titik (dot product) antara dua buah vektor A dan B
menghasilkan C, didefinisikan secara matematis sebagai berikut:
AB=C
A dan B vektor
C besaran skalar
Nilai C didefinisikan sebagai
C = A . B cos 
A = A = besar vektor A
B = B = besar vektor B
 = sudut antara vektor A dan B
Operasi vektor seperti itu disebut perkalian titik (dot) karena dalam
penulisannya menggunakan simbol titik (), dan disebut perkalian skalar
karena hasilnya merupakan besaran skalar.
Contoh:
Usaha (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan benda sejauh s
didefinisikan sebagai W = F  s.
Jika besar gaya F = 5 N, perpindahan s = 40 m dan gaya F membentuk sudut
60, maka hitung besar usaha W.
Jawab:
W=Fs
W = Fs cos 
W = 2 N . 40 m cos 60 = 5 N . 40 m. 0,5
W = 100 N m = 100 Joule
2.3.2. Perkalian silang vektor (cross product)
Perkalian silang (cross product) antara dua buah vektor A dan B akan
menghasilkan C, didefinisikan sebagai berikut:
AxB=C
Gambar
A, B, dan C vektor
Nilai C didefinisikan sebagai
C = A . B cos 
A = A = besar vektor A
B = B = besar vektor B
 = sudut antara vektor A dan B
Jika kita ingat arah sebuah sekrup yang diputar maka arah dari C dapat
diperoleh dengan cara membuat putaran dari A ke B melalui sudut  dan
arah C sama dengan gerak arah sekrup.
Operasi vektor seperti itu disebut perkalian silang (cross) karena
dalam penulisannya, menggunakan simbol silang (x), dan disebut perkalian
silang vektor karena hasilnya merupakan besaran vektor
Contoh:
Diketahui tiga buah vektor A = 6 satuan, B = 4 satuan, dan C = 5 satuan
terletak pada bidang kertas ini
A
C
B
Tentukan besar dan arah dari
a. A x B
b. A x C
Gambar
Gambar
Gambar
a. Besar A x B = 6 satuan, 4 satuan sin 90 = 24 satuan yang lain.
Arahya dapat diperoleh dengan membuat putaran dari A ke B melalui
sudut 90, diperoleh arahnya tegak lurus pada bidang kertas ke atas.
b. Besar A x C = 6 satuan, 5 satuan sin 180 = 6 satuan. 5 satuan. 0 = 0