metode numerik - E

MODUL PRAKTIKUM
METODE NUMERIK
DOSEN PENGAMPU :
FERRY WAHYU WIBOWO, S.Si., M.Cs.
JURUSAN S1 TEKNIK INFORMATIKA
STMIK AMIKOM YOGYAKARTA
YOGYAKARTA
2011
1
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Format Laporan Praktikum
Metode Numerik
1. Laporan praktikum ditulis tangan, tidak diperkenankan dicetak printer.
Sistematika laporan praktikum mengikuti alur seperti berikut :
LAPORAN PRAKTIKUM
SAMPUL MUKA WARNA UNGU ................................................... i
BAB I PENDAHULUAN …………………………………………..... 1
( Latar Belakang, Tujuan dan Manfaat)
BAB II TEORI SINGKAT …………………........................................
BAB III METODOLOGI PENELITIAN ……......................................
BAB IV ANALISA DAN PEMBAHASAN..........................................
BAB V KESIMPULAN ........................................................................
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………….....
LAMPIRAN HASIL PRAKTIKUM YANG DITANDATANGANI ....
2. Sampul laporan praktikum berwarna ungu dan dicetak printer. Logo Amikom
berukuran 5,5x5,5 cm.
3. Laporan praktikum menggunakan ukuran kertas A4.
4. Lampiran hasil praktikum merupakan hasil praktikum asli yang telah
ditandatangani praktikan dan asisten praktikum, jika tidak sesuai dengan yang
ditentukan maka laporan tidak akan dinilai.
5. Penjelasan dari bab-bab tersebut sebagai berikut :
PENDAHULUAN
Pendahuluan menyediakan sebuah penilaian (assesment) kritis pada rujukanrujukan terkait dengan permasalahan yang sedang dilakukan dan memberikan
inspirasi bagaimana permasalahan tersebut diselesaikan. Tempatkan tujuan dan
manfaat penelitian secara jelas untuk menerangkan praktikum yang dilakukan.
TEORI SINGKAT
Teori singkat meliputi bahan dan penelitian dari eksperimental yang
dilakukan bisa merujuk ke buku, jurnal, dan paper lainnya. Pada bagian ini perlu
dijelaskan informasi dari orang yang melakukan, dengan penulisan nama orang
disertai tahun buku / jurnal rujukan dari daftar pustaka. Metode yang sudah
dipublikasikan oleh peneliti lain seharusnya cukup ditunjukkan dengan referensi,
sedangkan yang perlu dijabarkan secara lengkap hanya modifikasi terkait.
METODOLOGI PENELITIAN
Penulisan metode / demo program dituliskan semua alat (hardware) /
program (software) yang digunakan, langkah-langkah untuk memulai sampai
mendapatkan hasil. Bab ini bisa menggunakan penjelasan gambar.
ANALISA dan PEMBAHASAN
Teks rumus dan persamaan seharusnya ditulis dalam satuan internasional
(SI), kalaupun ada yang ditulis dalam satuan lokal misalnya British Standard atau
American Standard hendaknya dituliskan juga faktor konversinya.
Pembahasan seharusnya jelas (clear) dan ringkas (concise). Pembahasan
seharusnya mengembangkan penjelasan yang meyakinkan (cogent explanations)
dan mengeksplorasi signifikansinya. Dalam kasus studi komputasional, jika
i
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
mungkin hasil seharusnya dibandingkan dengan informasi yang dapat digunakan
dari kerja eksperimental yang sudah dipublikasikan atau yang sudah diterbitkan.
Rumus matematika ditulis dan dipilih rumus matematika yang sederhana.
Teks yang memiliki banyak rumus matematika, masing-masing rumus perlu
diberi penomoran di sebelah kanannya.
X c  X a  X b  / 2
h
 f xdx  2  f 0  2 f1  f 2  f 3  f 4  f 5   f 6 
(1)
(2)
Penulisan tabel dan gambar
Tabel 1. Penulisan dalam Tabel
No
Variabel
Data
(satuan)
Data
(satuan)
1
Komputer
1 buah
2,0 GHZ
2
Motherboard
1 buah
31 kbps
3
Monitor
1 buah
50 Hz
Gambar 1. Kotak dalam Makalah
(Sumber gambar, jika mengambil dari karya orang lain)
KESIMPULAN
Kesimpulan utama dihadirkan secara ringkas.
DAFTAR PUSTAKA
Daftar pustaka yang dirujuk semua dituliskan dalam daftar pustaka. Hindari
rujukan dari wikipedia dan blog yang tak jelas pertanggungjawaban
ilmiahnya!!!
Contoh Penulisan Daftar Pustaka :
G. Eason, B. Noble, and I. N. Sneddon, “On certain integrals of LipschitzHankel type involving products of Bessel functions,” Phil. Trans. Roy.
Soc. London, vol. A247, pp. 529–551, April 1955.
J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2.
Oxford: Clarendon, 1892, pp.68–73.
I. S. Jacobs and C. P. Bean, “Fine particles, thin films and exchange
anisotropy,” in Magnetism, vol. III, G. T. Rado and H. Suhl, Eds. New
York: Academic, 1963, pp. 271–350.
K. Elissa, “Title of paper if known,” unpublished.
ii
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
R. Nicole, “Title of paper with only first word capitalized,” J. Name Stand.
Abbrev., in press.
Y. Yorozu, M. Hirano, K. Oka, and Y. Tagawa, “Electron spectroscopy studies
on magneto-optical media and plastic substrate interface,” IEEE Transl. J.
Magn. Japan, vol. 2, pp. 740–741, August 1987 [Digests 9th Annual Conf.
Magnetics Japan, p. 301, 1982].
Sampul kulit menggunakan format :
LAPORAN PRAKTIKUM
METODE NUMERIK
(TULISKAN JUDUL PRAKTIKUM )
Nama
NIM / Kelas
Nama Asisten
Disusun oleh :
: (Nama Praktikan)
: (NIM / Kelas Praktikan)
: 1. Asisten Praktikum 1
2. Asisten Praktikum 2
3. Asisten Praktikum 3
JURUSAN S1 TEKNIK INFORMATIKA
STMIK AMIKOM YOGYAKARTA
YOGYAKARTA
2011
iii
MODUL I
PENGENALAN SCILAB
1.
Struktur SciLab
Program Scilab sudah memiliki text editor didalamnya. Perintah/kode progam
Scilab dapat dituliskan di dalam jendela Scilab Execution (Scilex) ataupun di jendela
SciNotes (text editor Scilab). Namun untuk praktikum Metode Numerik ini, program
dituliskan pada SciNotes.
2.
Ekstensi File
File program Scilab memiliki ekstensi *.sce. File ini masih dalam bentuk text
format. Untuk mengeksekusi file *.sce, pertama kali file tersebut dibuka di dalam
Scilab. Kemudian dieksekusi (ctrl + l).
3. Perintah SciLab
3.1. Vektor
Cara untuk membuat vektor dalam Scilab sebagaimana berikut : (vektor disebut
juga dengan array satu dimensi)
x=[0;2;5]
3.2. Matriks
Cara untuk membuat matriks dalam Scilab sebagaimana berikut : (matriks disebut
juga array dua dimensi)
 4  3 6
5 1
A=  0
 2 7 8
Perintah pada SciLab sebagaimana berikut :
A=[4 -3 6;0,5,1;-2 7 8]
3.3. Vektor Otomatis
Cara menciptakan vector secara otomatis dari 1 hingga 9 dengan faktor kenaikan
sebesar 0.1.
B = 1:0.1:9
3.4. Menjalankan Function pada Vektor
Vektor dapat diberlakukan suatu function secara bersamaan dengan perintah :
C = sin(B)
3.5. Membuat Plot dari Vektor
Dua vektor B dan C dapat dibuat plot B versus C dengan perintah :
plot2d(B,C)
3.6. Matriks Bilangan Random
Cara membuat matriks m x n yang berisi bilangan random sebagaimana berikut :
rand(n,m)
3.7. Loops dan Condition
Looping dan condition di dalam Scilab sebagaimana berikut :
1
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
ans = 0; n = 1; term = 1;
while( ans + term ~= ans )
ans = ans + term;
term = term*x/n;
n = n + 1;
end
ans
kemudian dijalankan perintah sebagaimana berikut :
x = 1.0
exec('(lokasi folder penyimpan)\ex.sci')
Selain itu :
for j=-4:2:6
disp(j**2)
end
Hasilnya adalah : 16, 4, 0, 4, 16, 36
3.8. Pernyataan IF
Pernyataan IF di dalam Scilab sebagaimana berikut :
if <ungkapan> then
<pernyataan>
else if <ungkapan> then
<pernyataan>
else
<pernyataan>
end
3.9. Function
Contoh function pada Scilab :
function y = ex(x)
// EX fungsi sederhana untuk menghitung exp(x)
y = 0; n = 1; term = 1;
while( y + term ~= y )
y = y + term;
term = term*x/n;
n = n + 1;
end
endfunction
cara menjalankan :
exec(‘(lokasi folder penyimpan)\ex.sci’)
ex(1.0)
3.10. Grafik dua dimensi
Program plot sederhana :
// inisialisasi sumbu x
x=[0:0.1:2*%pi]';
//plot sederhana
y1=sin(x);
y2=cos(x);
plot2d([x x],[y1 y2], [-4, -8])
2
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
xtitle("gambar gabungan sin_x dan cos_x","sumbu
x","sumbu y")
Program subplot :
// Program visualisasi dengan subplot
x=[0:0.1:2*%pi]';
//persamaannya:
y1=sin(x);
y2=cos(x);
subplot(1,2,1)
plot2d(x,y1)
xtitle('gambar 1','x','y1')
subplot(1,2,2)
plot2d(x,y2)
xtitle('gambar 2','x','y2')
3.11. Grafik tiga dimensi
Program menggunakan meshgrid :
x=-1:0.05:1;
y=x;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
zz=(yy.^2)-(xx.^2);
mesh(xx,yy,zz)
Program menggunakan surf :
x=-1:0.05:1;
y=x;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
zz=(yy.^2)-(xx.^2);
surf(xx,yy,zz)
Program plot3d1 dan contour :
clf
x=linspace(0,2*%pi,50); y=x;
z=cos(x')*cos(y);
subplot(2,1,1)
plot3d1(x,y,z)
subplot(2,1,2)
contour(x,y,z,10)
xtitle ('dengan contour','x','y')
Tugas
1. Amati fitur-fitur yang ada dalam scilab.
2. Analisa setiap program scilab yang dikerjakan.
3
MODUL II
PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK
Akar-akar persamaan karakteristik adalah penyelesaian dari suatu persamaan
polinomial. Polinomial tersebut berorde (berpangkat) 2 atau lebih, biasa disebut
dengan persamaan Non Linear. Untuk persamaan orde 2 atau tiga masih mudah untuk
menyelesaikan. Namun untuk persamaan berorde tinggi diperlukan metode numerik
untuk mempermudah pencarian akar persamaan tersebut.
Beberapa metode yang bisa digunakan akan dijelaskan di bawah ini :
1.METODE BISECTION
Metode Bisection digunakan untuk mencari akar persamaan non linear melalui
proses iterasi dengan persamaan :
X c  X a  X b  / 2
(2.1)
dimana nilai f  X a . f  X b   0
(2.2)
Kelemahan metode ini adalah :
1. Jika akar persamaan lebih dari satu, maka nilai tersebut hanya bisa ditemukan
satu persatu/tidak bisa sekaligus.
2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner).
3. Proses iterasi tergolong lambat.
Berikut algoritma penyelesaian Metode Bisection :
1. Langkah pertama, menentukan dua nilai x (xa dan xb) sebagai nilai awal
perkiraan. Kedua nilai ini harus memenuhi syarat persamaan 2.2.
2. Langkah kedua, jika nilai awal telah didapatkan selanjutnya menentukan nilai
x (misal xc) baru menggunakan persamaan 2.1
3. Langkah ketiga, mencari nilai f(xc)
4. Langkah selanjutnya, melakukan langkah 2 dan 3 hingga didapatkan f(xc) = 0
atau mendekati 0.
Eksekusi program scilab untuk persamaan :
9.868.1 1  e  68c.1 10   40  0


c


Program scilab :
1. Program persamaan non-linier
function y=nonlin(c)
y=((9.8*68.1)/c)*(1-exp(-10*c/68.1))-40
endfunction
2. Program Bisection
function akr=bisection(akper, ats, bwh)
fa=akper(ats);
fb=akper(bwh);
if fa*fb > 0,
break
end
4
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
tolr=1E-5; Ea=1.1*tolr;
Itr=0; Itmax=30;
while Ea>tolr & Itr<Itmax,
akr=(ats+bwh)/2;
Itr=Itr+1;
fr=akper(akr);
if fr*fa > 0 then ats=akr;
else bwh=akr;
end
Ea=abs(ats-bwh);
end
endfunction
3. Program Utama
getf('c:/scinum/bisection.sci')
getf('c:/scinum/nonlin.sci')
x1=14
x2=16
xc=bisection(nonlin,x1,x2)
Contoh :
Carilah akar persamaan f  x   x 3  7 x  1
1. Langkah pertama, menentukan dua nilai x awal. Misal : xa = 2.6 dan xb = 2.5.
Kemudian cek apakah kedua nilai tersebut memenuhi syarat?
3
f x a   f 2.6  2.6  72.6  1  0.376
f x b   f 2.5  2.5  72.5  1  0.875
Karena f(xa).f(xb) < 0 maka kedua nilai perkiraan di atas benar.
Langkah kedua, mencari nilai xc
x c  x a  x b  / 2 atau x c  2.6  2.5 / 2  2.55
dan
3
f xc   f 2.55  2.55  72.55  1  0.2686
karena nilai f(xc) negatif maka f(xc) menggantikan f(xb).
Langkah ketiga, mencari nilai xd
x d  2.6  2.55  / 2  2.575
dan
3
f xd   f 2.575  2.575  72.575  1  0.04886
Langkah keempat, mencari nilai xe
x e  2.6  2.575  / 2  2.5625
dan
3
f xe   f 2.5625  2.5625  72.5625  1  0.11108
Langkah berikutnya, ulangi langkah-langkah di atas hingga menemukan f(xn)
yang mendekati nol atau f x n 1   f x n   e . Sedangkan e dapat ditentukan
sendiri, misalnya Ex10-5.
3
2.
3.
4.
5.
Tugas
1. Analisa eksekusi program scilab untuk metode bisection.
5
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
2. Buatlah program implementasi dari algoritma di atas! Hasil program di atas f(x)
tidak pernah nol bulat (-3,472 x 10-8) dengan x = 2.571201.
3. Seorang peneliti mikroprosesor menemukan hubungan waktu kinerja panas (t)
dengan energi (E) yang dimiliki mikroprosesor tersebut dengan suatu persamaan
t=4E3+3E-2E2. Berapakah energi yang diperlukan untuk membuat breakdown
dalam waktu nol.
2.METODE NEWTON-RAPHSON
Metode Newton-Raphson juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan non
linear f(x). Rumus penyelesaian
x n 1  x n   f  x n  / f l  x n  (2.3)
Sedangkan persamaan non linear dapat diselesaikan jika memenuhi syarat
sebagaimana berikut :
f x1 . f ll x1  / f l x1 . f l x1   1 (2.4)



dimana x1 adalah titik awal yang ditentukan sebelum melakukan iterasi.
Keterbatasan dari metode ini adalah :
1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa titik penyelesaian, maka akar-akar
penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan.
2. Tidak dapat mencari akar imajiner(kompleks).
3. Tidak dapat mencari akar persamaan yang tidak memenuhi syarat persamaan
2.4, meskipun sebenarnya persamaan memiliki akar persamaan.
4. Untuk persamaan yang sangat kompleks, pencarian turunan pertama dan
kedua sangatlah sulit.
Berikut algoritma Metode Newton-Raphson :
1. Mencari turunan pertama dan kedua dari persamaan yang ada.
2. Menentukan nilai x1 sebagai nilai perkiraan awal dan kemudian mengecek
apakah memenuhi persyaratan persamaan 2.4.
3. Jika memenuhi, maka iterasi dilakukan untuk mencari nilai xn.
4. Begitu seterusnya hingga antara xn-1-xn= 0 atau <= nilai e (error). Nilai error
ini dapat ditentukan sendiri.
Program Metode Newton-Raphson :
function y=f(x)
y=2*x**3+x-1;
endfunction
function y=df(x)
y=6*x**2+1;
endfunction
function x=newtonraphson(x0, tol);
i=1;
ea(1)=100;
x(1)=x0;
while abs(ea(i))>=tol;
x(i+1)=x(i)-f(x(i))/df(x(i));
ea(i+1)=abs((x(i+1)-x(i))/x(i+1));
6
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
i=i+1;
end
printf(' i \t
X(i)
Error aprox (i) \n');
for j=1:i;
printf('%2d \t %11.7f \t %7.6f \n',j-1,x(j),ea(j));
end
endfunction
Contoh :
Carilah persamaan non linear di bawah ini dengan Metode Newton Raphson :
f  x   e x  3x 2  0
1. Langkah pertama, mencari turunan persamaan tersebut
f l x   e x  6 x
f ll x   e x  6
2. Langkah kedua, menentukan nilai x1, misalnya x1= 1.
2
f 1  e 3  31  0.281718
f l 1  e 3  61  3.281718
f ll 1  e 3  6  3.281718
jadi
 f x . f x / f x . f x   0.085845  1
ll
l
1
1
l
1
1
karena syarat dipenuhi maka proses iterasi dapat dilanjutkan.
3. Langkah ketiga, melakukan iterasi persamaan 2.3 untuk mencari xn jika e (error)
= Ex10-7.
x 2  x1  f x1  / f l x1   0.9141155


x1  x 2  0.0858845
4. Langkah keempat, karena selisih x lebih besar dari e dan bukan 0 maka
x3  x 2   f x 2  / f l x 2   0.910018
x 2  x3  0.0040975
Dan seterusnya hingga selisihnya sama dengan nol atau lebih kecil dari e.
Tugas
1. Analisa program Newton-Raphson yang telah dikerjakan.
2. Buatlah program yang menerapkan algoritma di atas. Jika jawaban benar maka
akar f(x) =0.9100076 atau mendekatinya.
3. Seorang ekonom menemukan bahwa hubungan permintaan (x) dengan besar
inflasi (y) adalah y=x4-9x2+2x-2. Tentukan jumlah permintaan yang menandakan
bahwa inflasi sebesar nol! (error = 0.01).
7
MODUL III
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SERENTAK
Persamaan Linear serentak adalah suatu persamaan dengan variabel bebas, misalnya :
y1  a11 x1  a12 x 2  a13 x3  ...  a1n x n
y 2  a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  ...  a 2 n x n
y 3  a 31 x1  a 32 x 2  a 33 x3  ...  a 3n x n
Penyelesaian dari persamaan tersebut bisa menggunakan bantuan matriks. Namun
untuk ordo (jumlah variabel dan jumlah persamaan) yang tinggi, penyelesaian dapat
menggunakan nilai pendekatan. Oleh sebab itu, metode numerik bisa digunakan untuk
persamaan ini. Metode yang bisa dipakai akan dijelaskan di bawah ini.
1. METODE JACOBI
Metode iterasi Jacobi adalah metode penyelesaian persamaan serentak melalui
proses iterasi dengan menggunakan persamaan sebagaimana berikut :
n
x1n 1  hi a ii   a ij / a ii x (jn ) (3.1)
j 1
dimana j <> i
Kelemahan dari metode ini adalah :
1. Jika ordo persamaan cukup tinggi maka konsumsi waktu untuk eksekusi program
menjadi lama.
2. Metode ini hanya bisa dipakai jika persamaan yang akan diselesaikan memenuhi
syarat persamaan berikut
n
a ii   a ij , i  1,2, ,..., N (3.2)
j 1
dimana j <> I
Algoritma Metode Jacobi
1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat
persamaan 3.2. Jika ya, maka lanjut ke langkah kedua.
2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil.
3. Langkah ketiga adalah menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan
iterasi dengan persamaan 3.1 hingga didapatkan nilai variabel x yang tidak
berubah atau hampir tidak berubah dari iterasi yang sebelumnya.
Eksekusi program scilab dari persamaan berikut :
5x + y – 3z = -65
-x + 4y + 3z = 35
-3x – 5y + 2z = -40
Program scilab :
//iterasi: metoda Jacobi
A=[5 1 -3;
-1 4 3;
-3 -5 2];
C=[-65;35;-40];
8
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
[m,m]=size(A);
Es=ones(m,1);
Er=Es;
Es=10D-7*Es;
Iter=1;
Itmax=30;
xhsl=zeros(m,1);
xaw=xhsl;
while Er>Es & Iter<Itmax,
for i=1:m
jum=C(i,1);
for j=1:m
if j<>i then
jum=jum-A(i,j)*xaw(j,1);
end
end
xhsl(i,1)=jum/A(i,i);
end
if Iter > 1 then
Er=abs((xhsl-xaw)./xaw);
end
xaw=xhsl
Iter=Iter+1
end
Contoh :
Carilah penyelesaian dari persamaan sebagaimana berikut :
8 x1  x 2  x 3  8
x1  7 x 2  2 x 3  4
x1  2 x 2  9 x3  12
Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan pada
persamaan 3.2.
Urutannya sebagai berikut :
1. Persamaan 8 x1  x 2  x3  8 diletakkan pada posisi paling pertama karena
koefisien a11 memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomor dua adalah
persamaan x1  7 x 2  2 x 3  4 karena koefisien a22 memiliki nilai paling besar
dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah persamaan x1  2 x 2  9 x3  12 .
2. Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil.
matriks koefisien :
8 1  1
A= 1  7 2 
1 2
9 
matriks variabel :
 x1 
x=  x 2 
 x 3 
9
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
matriks hasil :
 8 
h=   4 
 12 
3. Langkah ketiga, menentukan titik awal variabel, misal diambil nilai awal dari x1,
x2, x3 = 0. Kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 3.1 hingga nilai x1, x2,
x3 tidak berubah. Contoh iterasi pertama sebagai berikut :

a
8 a
x1    12 x 2  13 x 3 
8  a11
a11 
8
 (0  0)  1
8

a
 4  a 21
x2 
 
x 2  23 x3 
 7  a 22
a 22 
x 2  0.571  (0  0)  0.571
x1 

a
12  a 31
 
x1  32 x 2 
9  a 33
a 33 
x 3  1.333  (0  0)  1.333
setelah dilanjutkan hingga iterasi ke 8 maka hasil dari x1, x2, x3 semuanya adalah
1.
x3 
Tugas
1. Analisa eksekusi program scilab yang telah dicoba.
2. Buatlah program yang mengimplementasikan algoritma di atas.
3. Seorang distributor komputer melakukan penjualan produknya yang dipengaruhi
oleh 3 faktor, yaitu x, y, dan z. Hasil dari penjualan tersebut memberikan 3 buah
persamaan sebagaimana berikut :
4 x  10 y  6 z  30
3x  7 z  15
6 x  8 y  6 z  8
Tugas Anda sebagai programmer adalah membantu distributor tersebut dengan
membuatkan program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01
menggunakan Metode Jacobi.
2.METODE GAUSS SEIDEL
Metode Gauss Seidel digunakan untuk menyelesaikan persamaan serentak. Metode
ini lebih cepat dibandingkan dengan Metode Jacobi. Metode Gauss Seidel ini
menggunakan persamaan sebagaimana berikut :
i 1 a
N a
b
ij
ij
(3.3)
xin 1  i  
x nj 1  
x (jn)
aii j 1 aii
j i 1a ii
dimana :
i = 1, 2,...N
n = 1, 2,...
10
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Algoritma Gauss Seidel
1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat
persamaan 3.3. Jika ya, maka lanjut ke langkah kedua.
2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil.
3. Menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan iterasi dengan persamaan
3.3 hingga didapatkan nilai variabel x yang tidak berubah atau hampir tidak
berubah dari iterasi yang sebelumnya.
Eksekusi program scilab dari persamaan berikut :
5x + y – 3z = -65
-x + 4y + 3z = 35
-3x – 5y + 2z = -40
Program Scilab :
//iterasi: metoda Gauss Seidel
A=[5 1 -3;
-1 4 3;
-3 -5 2];
C=[-65;35;-40];
[m,m]=size(A);
Es=ones(m,1);
Er=Es;
Es=10D-7*Es;
Iter=1;
Itmax=30;
xhsl=zeros(m,1);
xaw=xhsl;
while Er>Es & Iter<Itmax,
for i=1:m
jum=C(i,1);
for j=1:m
if j<>i then
jum=jum-A(i,j)*xhsl(j,1);
end
end
xhsl(i,1)=jum/A(i,i);
end
if Iter > 1 then
Er=abs((xhsl-xaw)./xaw);
end
xaw=xhsl
Iter=Iter+1
end
Contoh :
Carilah penyelesaian dari persamaan ini menggunakan metode Gauss Seidel :
11
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
8 x1  x 2  x 3  8
x1  7 x 2  2 x 3  4
x1  2 x 2  9 x3  12
1. Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan
pada persamaan 3.2. Urutannya sebagai berikut :
persamaan 8 x1  x2  x3  8 diletakkan pada posisi paling pertama dikarenakan
koefisien a11 memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomor dua adalah
persamaan x1  7 x2  2 x3  4 dikarenakan koefisien a memiliki nilai paling
besar dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah persamaan
x1  2 x2  9 x3  12 .
2. Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil.
matriks koefisien :
8 1  1
A= 1  7 2 
1 2
9 
matriks variabel :
 x1 
x=  x 2 
 x 3 
matriks hasil :
 8 
h=   4 
 12 
3. Langkah ketiga, menentukan titik awal misalnya : x11 , x 2(1) , x 3(1)  0 kemudian
melakukan iterasi dengan persamaan 3.3, yaitu :
0 a
3 a
h
1j
1j
x1( 2)  1  
x nj1  
x (jn)
a11 j 1 a11
a
j  2 11
a
h
a
x1( 2 )  1  0  12 x 2(1)  13 x 3(1)
a11
a11
a11
x1( 2)  1  0  (0  0)  1
1 a
3 a
h
2j
2j
x 2( 2)  2  
x nj 1  
x (jn)
a 22 j 1 a 22
j 3 a 22
a
h
a
x1( 2 )  2  0  21 x1( 2 )  23 x 3(1)
a 22
a 22
a 22
x 2( 2)  0.571  (1 / 7  0)  0.7147
2 a
3 a
h
3j
3j
x3( 2)  2  
x nj1  
x (jn)
a 22 j 1 a33
j  4 a 33
h
a
a
x 3( 2 )  3  0  31 x1( 2 )  32 x 2( 2 )
a 33
a 33
a 33
12
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
x 3( 2)  1.333  (2 / 9  0.714 / 9)  1.032
Setelah dilanjutkan sampai iterasi ke-N ditemukan hasil dari x1, x2, x3=1.
Tugas
1. Analisa eksekusi program scilab untuk metode Gauss Seidel yang telah dicoba.
2. Buatlah implementasi program dengan Scilab pada persoalan di atas.
3. Seorang distributor komputer melakukan penjualan produknya yang dipengaruhi
oleh 3 faktor, yaitu x, y, dan z. Hasil dari penjualan tersebut memberikan 3 buah
persamaan sebagaimana berikut :
4 x  10 y  6 z  30
3x  5 y  7 z  15
6 x  8 y  6 z  8
Tugas Anda sebagai programmer adalah membantu distributor tersebut dengan
membuatkan program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01
menggunakan Metode Gauss Seidel.
13
MODUL IV
PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR SERENTAK
Persamaan Non Linear serentak adalah dua buah persamaan berordo (pangkat)
lebih dari satu. Masing-masing persamaan memiliki kaitan sehingga penyelesaian
persamaan satu dapat digunakan sebagai penyelesaian dalam persamaan yang lainnya.
Salah satu metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear
serentak adalah Metode Newton Raphson.
METODE NEWTON RAPHSON
Metode Newton Raphson ini memiliki proses iterasi yang cepat. Namun hanya
terbatas pada persamaan berordo dua atau tiga. Untuk ordo yang lebih besar,
persoalan akan menjadi kompleks dikarenakan ada penghitungan determinan matriks
ordo tinggi.
Algoritma Newton Raphson
1. Menyelesaikan 2 persamaan Non Linear serentak menjadi :
F(x1,x2)=0 dan G(x1,x2)=0
2. Mencari nilai fungsi F(x1,x2), G(x1,x2) dan turunan fungsi tersebut terhadap
masing-masing variabelnya, yaitu dF/dx1, dF/dx2, dG/dx1, dG/dx2 pada titik awal
yang ditentukan yaitu x10 dan x 20 .
3. Mencari nilai r1 dan s1 (r1 dan s1 adalah deviasi dari nilai x1 dan x2), dengan
aturan sebagaimana berikut :
 F ( x1 , x 2 ) dF / dx2
dF / dx1  F ( x1 , x 2 )
r1 
 G( x1 , x 2 ) dG / dx2
s1 
dF / dx1 dF / dx2
dG / dx1 dG / dx2
kemudian dengan pendekatan didapatkan
x11  x10  r1
dG / dx1
dF / dx1
dG / dx1
 G( x1 , x 2 )
dF / dx2
dG / dx2
x 12  x 20  s1
4. melakukan operasi iterasi dengan mengulang langkah kedua sampai didapatkan
nilai r dan s nol atau mendekati nol/error.
Contoh :
Carilah penyelesaian dari persamaan non linear serentak sebagaimana berikut :
x 2 x1  12.6  x1e  x2
4 ln x 2   x12  0.3  3x1 x 2
Penyelesaiannya adalah :
1. Langkah pertama, menyusun persamaan di atas menjadi bentuk :
F(x1,x2)=0
G(x1,x2)=0
yaitu :
F ( x1 , x 2 )  x1e  x2  x 2 x1  12.6  0
Gx1 , x 2   4 ln x 2   x12  0.3  3x1 x 2
14
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
2. Langkah kedua, Mencari nilai fungsi dan turunannya pada x10 dan x 20 misalkan
ditentukan nilai awalnya sebesar x10  4 dan x 20  3 akan didapatkan :
F ( x1 , x 2 )  x1 e  x2  x 2 x1  12.6
F  x1 , x 2   4 exp(3)  (3)(4)  12.6
F ( x1 , x 2 )  0.799148273
dan
G  x1 , x 2   4 ln  x 2   x12  0.3  3x1 x 2
G  x1 , x 2   4 ln 3  4 2  0.4  34 3
G  x1 , x 2   0.090160536
nilai turunannya :
dF / dx1   x 2  e  x2  3  exp(3)  2.9590212932
dF / dx2   x1  x1e  x2  4  4 exp(3)  4.199148273
dG / dx1  2 x1  3x 2  24  3.3  2.803847577
dG / dx2  4 / x 2  3x1 / 2 x 2  4 / 3  34 / 23  2.130768282
3. Langkah ketiga, mencari nilai r1 dan s1
 0.799148273  4.199148273
0.090160536  2.130768282
r1 
 0.115249096
 2.950212932  4.199148273
2.803847577  2.130768282
s1 
 2.950212932  0.799148273
2.803847577
0.090160536
 0.109340978
 2.950212932  4.199148273
2.803847577  2.130768282
sehingga,
x11  x10  r1  4  0.115249096  4.115249096
x12  x 20  s1  3  0.109340978  3.109340978
4. Langkah keempat, mengulang langkah kedua dan ketiga hingga didapatkan nilai
r1 dan s1 sama dengan nol.
Hasil akhirnya adalah x1=4.1131531474 dan x2=3.1080320798
Tugas
1. Buatlah program menggunakan Scilab pada contoh di atas.
2. Buatlah program untuk menyelesaikan persamaan non linear serentak dari
persamaan x1  2 log x 2   x1 x 2 dan x1 x 2  e x2  3  ln x12
15
MODUL V
INTERPOLASI
Interpolasi adalah mencari nilai dari suatu fungsi yang tidak diketahui melalui
nilai-nilai fungsi yang diketahui. Dengan kata lain, fungsi tersebut tidak diketahui
persamaannya namun yang diketahui hanya nilainya. Misalnya suatu fungsi yang
bernilai sebagai berikut :
x
f(x)
0
0
0.2
0.406
0.4
0.846
0.6
1.386
0.8
2.060
1.0
3.114
1.2
5.114
Kemudian dicari nilai x dimana f(x) = 3.015.
Penyelesaian dari interpolasi dapat menggunakan bantuan Tabel Beda Hingga.
Berikut penjelasan mengenai Tabel Beda Hingga.
Tabel Beda Hingga
dari kasus di atas jika dibuat tabel beda hingga sebagai berikut :
x
0.0
f(x)
0.000
0.2
0.406
Δf(x)
Δf(x)2
Δf(x)3
Δf(x)4
Δf(x)5
Δf(x)6
0.406
0.034
0.440
0.4
0.846
0.048
0.082
0.552
0.6
1.368
0.170
0.692
0.8
2.060
3.114
1.2
5.144
0.064
0.104
0.192
0.361
1.054
1.0
0.040
0.088
0.254
0.318
0.422
0.614
0.976
2.030
1. INTERPOLASI METODE NEWTON GREGORY FORWARD (NGF)
Interpolasi metode Newton-Gregory Forward adalah metode yang digunakan untuk
menyelesaikan persoalan interpolasi dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:
s  1 2 f  ss  1s  2 3 f  ...  ss  1s  2...s  n  1 n f
f x s   f 0  sf 0  s 
0
0
0
2!
3!
n!
(5.1)
x  x0
dimana s  s
dan f 0 didapatkan melalui Tabel Beda Hingga.
h
Metode ini memiliki keterbatasan antara lain :
16
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
1. Hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced.
(x1-x0=x2-x1=x3-x2=...=xn-xn-1=konstan atau h = konstan)
2. Hanya cocok untuk menyelesaikan persoalan interpolasi untuk nilai xs terletak di
dekat nilai awal x1 dan x0 (nilai error-nya kecil).
3. Tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan interpolasi balik
(invers interpolation).
Namun metode ini sangat efektif digunakan untuk mencari nilai f(x) di sekitar titik
awal.
Algoritma NGF
1. Langkah pertama, mencari nilai-nilai beda hingga dari f(x) dengan bantuan Tabel
Beda Hingga.
2. Langkah kedua, mencari nilai s dan nilai fungsi f(xs) dengan persamaan 5.1.
Contoh :
Carilah nilai dari f(xs) dengan xs = 1.03 menggunakan metode NGF.
n
0
1
2
3
4
5
6
x
1.0
1.3
1.6
1.9
2.2
2.5
2.8
f(x)
1.449
2.060
2.645
3.216
3.779
4.338
4.898
Penyelesaian :
1. Langkah pertama, mencari nilai-nilai beda hingga dari data yang diberikan.
s
x
f(x)
Δf(x) Δf(x)2 Δf(x)3 Δf(x)4 Δf(x)5 Δf(x)6
0
1
1.45
0.611
1
1.3
2.06
-0.026
0.585
0.012
2
1.6
2.65
-0.014
-0.006
0.571
0.006
0.004
3
1.9
3.22
-0.008
-0.002
-0.001
0.563
0.004
0.003
4
2.2
3.78
-0.004
0.001
0.559
0.005
5
2.5
4.34
0.001
0.560
6
2.8
4.9
2. Langkah kedua, mencari nilai s dengan persamaan 5.1.
x  x 0 1.03  1
s s

 0.1
h
1.3  1
dengan bantuan tabel didapatkan,
f 0  0.611; 2 f 0  0.026 ; 3 f 0  0.012 ; 4 f 0  0.006 ; 5 f 0  0.004 ; 6 f 0  0.001
sehingga,
17
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
ss  1 2
ss  1s  2  3
 f0 
 f0 
2!
3!
ss  1s  2s  3 4
ss  1s  2s  3s  4 5
 f0 
 f0
4!
5!
ss  1s  2s  3s  4s  5 6
 f 0  1.5118136
6!
f x s   f 0  sf 0 
Tugas
1. Buatlah program menggunakan Scilab dari persoalan di atas.
2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 2.09 menggunakan
NGF
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
1.0
1.25
1.5
1.75
2.0
2.25
2.5
2.75
3
f(x)
4.90
5.00
5.243
5.467
5.689
5.887
6.03
6.288
6.489
2.INTERPOLASI METODE STIRLING
Interpolasi Metode Stirling adalah metode penyelesaian interpolasi menggunakan
persamaan sebagai berikut :
s 1 s
s  2 s 1


3
3
2
2 2
4
s f 1  f 0
s  1  f  2   f 1 4
f x s   f 0 

 f 1 
4 f  2 
1
3
2
2
2
2
s  2  f 3   f  2
5
2
5
5
s3 s2

6
6
2
6 f 3  ...
(5.2)
dimana :
s  j s  j s  j  1s  j  2s  j  3...s  j  k  1
x  x0
s s
dan

h
k
k!
Keuntungan dari metode ini adalah jika nilai f(x) yang dicari berada di sekitar nilai
tengah maka nilai error-nya kecil.
Algoritma Stirling
1. Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dan membuat Tabel Beda Hingga.
2. Langkah kedua, mencari nilai s dan mencari nilai f(xs) dengan persamaan 5.2.
Contoh
Carilah nilai f(xs) pada xs = 1.87 dengan Metode Stirling
18
S1 Teknik Informatika
n
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
1.0
1.3
1.6
1.9
2.2
2.5
2.8
Praktikum Metode Numerik
f(x)
1.449
2.060
2.645
3.216
3.779
4.338
4.898
Penyelesaian :
1. Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dari data di atas.
s
-3
x
1
f(x)
1.45
Δf(x)
Δf(x)2
Δf(x)3
Δf(x)4
Δf(x)5
Δf(x)6
0.611
-2
1.3
2.06
-1
1.6
2.65
0
1.9
3.22
1
2.2
3.78
-0.026
0.585
0.012
-0.014
0.571
0.006
-0.008
0.563
2.5
4.34
0.004
-0.002
-0.001
0.004
-0.004
0.559
2
-0.006
0.003
0.001
0.005
0.001
0.560
3
2.8
4.9
2. Langkah kedua, mencari nilai s dan f(xs)
x  x 0 1.87  1.9
s s

 0.1
h
1.3  1
dari tabel beda hingga diketahui f 1  0.571; f 0  0.563 ; 2 f 1  0.008 ;
3 f  2  0.006 ; 3 f 1  0.004 ; 4 f  2  0.002 ; 5 f 3  0.004 ; 5 f 1  0.003 ; 6 f 3  0.001
sehingga,
5 1 5

2
2 2
1 f 1  f 0
5  1 3 f  2  3 f 1
f x5   f 0 

 f 1 
5
3
2
2
2
52
4

5 1
4
5 1
4 f  2 
2
jadi f(1.87) = 3.159402
5  2 5 f 3  5 f  2

5
2
6

2
52
6
6 f 3  3.159402
Tugas
1. Buatlah program menggunakan Scilab dari implementasi permasalahan di atas.
2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 1.89 menggunakan
Metode Stirling
19
S1 Teknik Informatika
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X
1.0
1.25
1.5
1.75
2.0
2.25
2.5
2.75
3
Praktikum Metode Numerik
f(x)
4.90
5.00
5.243
5.467
5.689
5.887
6.03
6.288
6.489
3. Interpolasi Metode Lagrange
Interpolasi Lagrange memiliki penyelesaian dengan persamaan sebagaimana berikut :
x  x1 x  x 2 x  x3 ...x  x n 
f x  
f 
x 0  x1 x 0  x 2 x 0  x3 ...x 0  x n  0
x  x 0 x  x 2 x  x3 ...x  x n 
f 
x1  x 0 x1  x 2 x1  x3 ...x1  x n  1
x  x 0 x  x1 x  x3 ...x  x n 
f 
x 2  x 0 x 2  x1 x 2  x3 ...x 2  x n  2
x  x 0 x  x1 x  x 2 ...x  x n 
f 
x3  x1 x3  x 2 x3  x3 ...x3  x n  3
x  x1 x  x 2 x  x3 ...x  x n 1 
... 
f
(5.3)
x n  x1 x n  x 2 x n  x3 ...x n  x n 1  n
Kelebihan dari metode Lagrange adalah :
1. Interpolasi Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan
interpolasi equispaced (h = konstan) atau non equispaced (h= todak konstan).
2. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus interpolasi dan
invers interpolasi (interpolasi balik).
3. Metode Lagrange dapat digunakan untuk mencari nilai fungsi yang variabelnya
terletak di daerah awal, akhir, maupun tengah.
4. Tidak membutuhkan tabel beda hingga dalam proses penyelesaiannya sehingga
penyelesaian persoalaan lebih mudah.
Contoh :
Carilah nilai dari f(x) pada x = 1.03 dengan tabel sbb :
n
X
f(x)
0
1.0
0.000
1
1.2
0.2625
2
1.5
0.9123
3
1.9
2.3170
4
2.1
3.2719
5
2.5
5.7268
6
3.0
9.8875
Penyelesaian :
20
S1 Teknik Informatika
f x  
Praktikum Metode Numerik
x  x1 x  x2 x  x3 x  x4 x  x5 x  x6  f 
x0  x1 x0  x2 x0  x3 x0  x4 x  x5 x  x6  0
x  x0 x  x2 x  x3 x  x4 x  x5 x  x6  f 
x1  x0 x1  x2 x1  x3 x1  x4 x1  x5 x1  x6  1
x  x0 x  x1 x  x3 x  x4 x  x5 x  x6  f 
x2  x0 x2  x1 x2  x3 x2  x4 x2  x5 x2  x6  2
x  x0 x  x1 x  x2 x  x4 x  x5 x  x6  f 
x3  x0 x3  x1 x3  x2 x3  x4 x3  x5 x3  x6  3
x  x0 x  x1 x  x2 x  x3 x  x5 x  x6  f 
x4  x0 x4  x1 x4  x2 x4  x3 x4  x5 x4  x6  4
x  x0 x  x1 x  x2 x  x3 x  x4 x  x6  f 
x5  x0 x5  x1 x5  x2 x5  x3 x5  x4 x5  x6  5
x  x 0 x  x1 x  x 2 x  x3 x  x 4 x  x5 
f  0.031352
x 6  x 0 x 6  x1 x 6  x 2 x 6  x3 x 6  x 4 x 6  x5  6
Tugas :
1. Buatlah implementasi program dengan Scilab dari persoalan di atas.
2. Carilah nilai f(x) dengan x = 2.39
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X
1.0
1.25
1.5
1.75
2.0
2.25
2.5
2.75
3
f(x)
4.90
5.00
5.243
5.467
5.689
5.887
6.03
6.288
6.489
21
MODUL VI
INTEGRASI NUMERIK
1. Integrasi Numerik Metode Trapezoidal
Integrasi numerik adalah proses menyelesaikan nilai dari suatu integral f(x) pada
batas tertentu (x=x0-xn) dengan menggunakan persamaan 6.1 untuk non equispaced
dan 6.2 untuk equispaced.
x1  x0 
x n  x n1 
x 2  x1 
 f xdx  2  f1  f 0   2  f 2  f1   ...  2  f n  f n1  (6.1)
h
(6.2)
 f x dx  2  f 0  2 f1  f 2  f 3  ...  f n1   f n 
Dimana h=x1-x0=x2-x1=... dan seterusnya
Program scilab :
x = (0:0.1:1.0);
deff(‘[y]=f(x)’,’y=x^3-2*x+sin(x)’);
inttrap(x,f(x))
Contoh :
Carilah nilai integral dengan batas x = 1.0 sampai x = 2.8 dari tabel di bawah ini
dengan Metode Trapezoidal.
n
0
1
2
3
4
5
6
X
1.0
1.3
1.6
1.9
2.2
2.5
2.8
f(x)
1.449
2.060
2.645
3.216
3.779
4.338
4.898
Penyelesaian :
Dari tabel di atas diketahui bahwa persamaan yang digunakan adalah equispaced
(persamaan 6.2)
h
 f xdx  2  f 0  2 f1  f 2  f 3  f 4  f 5   f 6 
1.3  1.0 1.449  22.060  2.645  3.216  3.779  4.338   4.898 

2
 5.76345
Tugas
1. Buatlah program menggunakan SciNotes untuk mengeksekusi program yang
dicontohkan.
2. Buatlah program implementasi dari penyelesaian persoalan di atas dengan Scilab
menggunakan Metode Trapezoidal.
3. Carilah nilai dari integral dari x = 1.0 hingga x = 3 dengan Metode Trapzoida dari
tabel berikut :
22
S1 Teknik Informatika
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
1.0
1.25
1.5
1.75
2.0
2.25
2.5
2.75
3
Praktikum Metode Numerik
f(x)
4.90
5.00
5.243
5.467
5.689
5.887
6.03
6.288
6.489
23
REFERENSI
1. Anonim, -, Modul Praktikum Metode Numerik
2. Sasongko, S. B., 2010, Metode Numerik dengan Scilab, Yogyakarta : Penerbit
ANDI.
24
1
LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK
PENGENALAN SCILAB
Nama
:
NIM / Kelas
:
Semester
:
1
S1 Teknik Informatika
3.
Vektor Otomatis :
4.
Function pada vektor :
5.
Plot dari vektor :
6.
Matriks bilangan random:
7.
Loops dan condition:
Praktikum Metode Numerik
Load file :
Instruksi for :
8.
Buat pernyataan IF :
9.
Function :
2
S1 Teknik Informatika
10.
Praktikum Metode Numerik
Grafik dua dimensi :
Subplot sederhana :
11.
Grafik tiga dimensi :
- Meshgrid :
- Surf :
- Plot3dl dan contour :
3
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Yogyakarta,
Asisten Praktikum,
(
NIM :
Praktikan,
)
(
NIM :
4
)
2
LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK
METODE BISECTION
Nama
:
NIM / Kelas
:
Semester
:
1. Program percobaan
Program
Analisa Program
1
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
2. Buat Program
Program
Hasil
2
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
3. Buat Program
Program
Hasil
3
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
4
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Yogyakarta,
Asisten Praktikum,
(
NIM :
Praktikan,
)
(
NIM :
5
)
3
LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK
METODE NEWTON-RAPHSON
Nama
:
NIM / Kelas
:
Semester
:
1. Program percobaan
Program
Analisa Program
1
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
2. Buat Program
Program
Hasil
2
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
3. Buat Program
Program
Hasil
3
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
4
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Yogyakarta,
Asisten Praktikum,
(
NIM :
Praktikan,
)
(
NIM :
5
)
4
LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK
METODE JACOBI
Nama
:
NIM / Kelas
:
Semester
:
1. Program percobaan
Program
Analisa Program
1
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
2. Buat Program
Program
Hasil
2
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
3. Buat Program
Program
Hasil
3
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
4
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Yogyakarta,
Asisten Praktikum,
(
NIM :
Praktikan,
)
(
NIM :
5
)
5
LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK
METODE GAUSS SEIDEL
Nama
:
NIM / Kelas
:
Semester
:
1. Program percobaan
Program
Analisa Program
1
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
2. Buat Program
Program
Hasil
2
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
3. Buat Program
Program
Hasil
3
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
4
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Yogyakarta,
Asisten Praktikum,
(
NIM :
Praktikan,
)
(
NIM :
5
)
6
LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK
METODE NEWTON-RAPHSON (2)
Nama
:
NIM / Kelas
:
Semester
:
1. Buat Program
Program
Hasil
1
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
2. Buat Program
Program
Hasil
2
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Yogyakarta,
Asisten Praktikum,
(
NIM :
Praktikan,
)
(
NIM :
3
)
7
LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK
METODE NEWTON GREGORY FORWARD
Nama
:
NIM / Kelas
:
Semester
:
1. Buat Program
Program
Hasil
1
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
2. Buat Program
Program
Hasil
2
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Yogyakarta,
Asisten Praktikum,
(
NIM :
Praktikan,
)
(
NIM :
3
)
LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK
8
METODE STIRLING
Nama
:
NIM / Kelas
:
Semester
:
1. Buat Program
Program
Hasil
1
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
2. Buat Program
Program
Hasil
2
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Yogyakarta,
Asisten Praktikum,
(
NIM :
Praktikan,
)
(
NIM :
3
)
LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK
9
METODE LAGRANGE
Nama
:
NIM / Kelas
:
Semester
:
1. Buat Program
Program
Hasil
1
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
2. Buat Program
Program
Hasil
2
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Yogyakarta,
Asisten Praktikum,
(
NIM :
Praktikan,
)
(
NIM :
3
)
10
LAPORAN PRAKTIKUM - METODE NUMERIK
INTEGRASI NUMERIK METODE TRAPEZOIDAL
Nama
:
NIM / Kelas
:
Semester
:
1. Program percobaan
Program
Analisa Program
1
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
2. Buat Program
Program
Hasil
2
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
3. Buat Program
Program
Hasil
3
S1 Teknik Informatika
Praktikum Metode Numerik
Yogyakarta,
Asisten Praktikum,
(
NIM :
Praktikan,
)
(
NIM :
4
)