Vektor dan Operasi Aljabar Vektor dalam R3

MATA KULIAH
MATEMATIKA LANJUT 1
[KODE/SKS : IT-011212 / 2 SKS]
“Vektor”
Ady Daryanto SP MSi
E-mail :
[email protected]
Hp
:
0813-1415-8676
DEFINISI:
SKALAR DAN VEKTOR


Skalar
Merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
tertentu.
Contoh : massa, volume, temperatur, energi.
Vektor
Merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan
arah tertentu.
Contoh : gaya, kecepatan, percepatan.
PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI) VEKTOR
A
Gambar :
P
Q
Titik P
: Titik pangkal vektor
Titik Q
: Ujung vektor
Tanda panah
: Arah vektor
Panjang PQ = |PQ|
: Besarnya (panjang) vektor
Notasi Vektor
A
Huruf tebal

A
A
Pakai tanda panah di atas
Huruf miring
Catatan :
Untuk selanjutnya notasi vektor yang digunakan huruf tebal
Besar vektor A = A = |A|
(pakai tanda mutlak)
a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama
A
B
A=B
b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika :
1. Besar sama, arah berbeda
B
A
A
B
A
B
A
B
2. Besar tidak sama, arah sama
A
B
3. Besar dan arahnya berbeda
A
B
Vektor Posisi Dimensi 2

Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik
asal koordinat
y
A=(x1, y1)
OA =(x1, y1) vektor
posisi titik A
a
O
x
Vektor Posisi Dimensi R3
z
r P  i  2 j  3k
r Q  2i  2 j  k
• Vektor antara 2 titik
y
R PQ  r Q  r P  (2  1)i  (2  2) j  (1  3)k
 i  4 j  2k
x
OPERASI MATEMATIK VEKTOR
1. Operasi jumlah dan selisih vektor
2. Operasi kali
JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR
Metode :
1. Jajaran Genjang
A
=
+
R = A+ B
A
2. Segitiga
B
A
+
=
A
1.
2.
3.
4.
Jajaran Genjang
Segitiga
Poligon
Uraian
3. Poligon (Segi Banyak)
D
C
A
+
+
+
=
D
A+B+C+D
A
B
 Jika vektor A dan B searah
 θ = 0o : R = A + B
 Jika vektor A dan B berlawanan arah  θ = 180o : R = A - B
 Jika vektor A dan B Saling tegak lurus  θ = 90o : R = 0
Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik
Uraian
Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y)
Y
Ay
A = Ax.i + Ay.j ; B = Bx.i + By.j
A
B
By
Ax
Bx
Ax = A cos θ ;
Bx = B cos θ
Ay = A sin θ ;
By = B sin θ
X
Besar vektor A + B = |A+B| = |R| R = A + B
x
x
x
Ry = Ay + By
2
2
R

R
|R| = |A + B| =
x
y
Arah Vektor R (terhadap sb.x positif) = tg θ =
Ry
Rx
θ = arc tg
Ry
Rx
PERKALIAN VEKTOR
1. Perkalian Skalar dengan Vektor
2. Perkalian vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product)
b. Perkalian Silang (Cross Product)
1. Perkalian Skalar dengan Vektor
C=kA
Hasilnya vektor
k : Skalar
A : Vektor
Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan
vektor A
Catatan :
 Jika k positif arah C searah dengan A
 Jika k negatif arah C berlawanan dengan A
k = 3,
A
C = 3A
2. Perkalian Vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product)
AB
=C
Hasilnya skalar
C = skalar
Besarnya : C = |A||B| Cos θ
A = |A| = besar vektor A
B = |B| = besar vektor B
Θ = sudut antara vektor A dan B
θ
B
A cos θ
2.9
Sifat-sifat Perkalian Titik
(Dot Product)
1. Komutatif : A  B = B  A
2. Distributif : A  (B+C) = (A  B) + (A  C)
Catatan :
1. Jika A dan B saling tegak lurus A  B = 0
2. Jika A dan B searah
AB=AB
3. Jika A dan B berlawanan arah  A  B = - A  B
2.10
Vektor Product (Cross Product)

Dalam bentuk komponen vektor
v  [v1 , v2 , v3 ]
v
b
 [ a2b3  a3b2 , a3b1  a1b3 , a1b2  a2b1 ]

a
Utk mengingat rumus di atas (ingat rumus determinan matrik)
3
i
j
k
a  b  a1
a2
a3
b1
b2
b3
i
j
k
a  b  a1 a2
b1
b2
i  j    ijk k
k 1
 ijk  1 if ijk  123,231,312
 ijk  1 if ijk  321,132,213
 ijk  0 if any two indices are alike
i
j
a3 a1 b2
b3 b1
b2
Sehingga:
v1=a2.b3 - a3.b2
v2=a3.b1 – a1.b3
v3=a1b2 – a2.b1
14
Jika dua vektor A dan B dinyatakan dengan :
A = 2î + 2ĵ
− 3k̂, dan B = -2î + 3ĵ
− 4k̂.
Buktikanlah bahwa A x B = -B x A.

A x B = -B x A
⇒ i + 14j + 10k = -(-i − 14j − 10k)
⇒ i + 14j + 10k = i + 14j + 10k (Terbukti).
1
5
 10 
Hitunglah
 
 
 
1. Diketahui vektor a   2 , b   4 , c   6  maka
 4
0
  2
 
 
 
2a  3b  c  ....
2. Bila vektor a & b membentuk sudut 60o a  4 & b  10
 
maka a b  a  ...
 2 
3. Diketahui u  
  3
 maka 3u....


4. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor
dan berapa besar vektornya ?