BAB IV METODA ANALISIS RANGKAIAN Metoda analisis rangkaian

advertisement
60
Rangkaian Listrik
BAB IV
METODA ANALISIS RANGKAIAN
Metoda analisis rangkaian sebenarnya merupakan salah satu alat bantu untuk
menyelesaikan suatu permasalahan yang muncul dalam menganalisis suatu rangkaian,
bilamana konsep dasar atau hukum-hukum dasar seperti Hukum Ohm dan Hukum
Kirchoff tidak dapat menyelesaikan permasalahan pada rangkaian tersebut.
Pada bab ini akan dibahas tiga metoda analisis rangkaian yang akan dipakai, yaitu :
analisis node, analisis mesh dan analisis arus cabang.
Analisis Node
Sebelum membahas metoda ini ada beberapa hal yang perlu diperhatikan yaitu
pengertian mengenai tentang node.
Node atau titik simpul adalah titik pertemuan dari dua atau lebih elemen rangkaian.
Junction atau titik simpul utama atau titik percabangan adalah titik pertemuan dari tiga
atau lebih elemen rangkaian.
Untuk lebih jelasnya mengenai dua pengertian dasar diatas, dapat dimodelkan dengan
contoh gambar berikut.
Contoh :
Jumlah node
Jumlah junction
= 5, yaitu : a, b, c, d, e=f=g=h
= 3, yaitu : b, c, e=f=g=h
Analisis node berprinsip pada Hukum Kirchoff I/ KCL dimana jumlah arus yang masuk
dan keluar dari titik percabangan akan samadengan nol, dimana tegangan merupakan
parameter yang tidak diketahui. Atau analisis node lebih mudah jika pencatunya
semuanya adalah sumber arus. Analisis ini dapat diterapkan pada sumber searah/ DC
maupun sumber bolak-balik/ AC.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada analisis node, yaitu :
‰ Tentukan node referensi sebagai ground/ potensial nol.
‰ Tentukan node voltage, yaitu tegangan antara node non referensi dan ground.
‰ Asumsikan tegangan node yang sedang diperhitungkan lebih tinggi daripada
tegangan node manapun, sehingga arah arus keluar dari node tersebut positif.
‰ Jika terdapat N node, maka jumlah node voltage adalah (N-1). Jumlah node voltage
ini akan menentukan banyaknya persamaan yang dihasilkan.
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
61
Rangkaian Listrik
Contoh latihan :
1. Tentukan nilai i dengan analisis node !
Jawaban :
- Tentukan node referensinya/ground
- Tentukan node voltage
- Jumlah N=3, jumlah persamaan (N - 1) = 2
Tinjau node voltage V1 :
KCL :
∑ i = 0 → 4 − 7 − i1 − i2 = 0
i1 + i2 = −3
V1 − V g
V1 − V2
= −3 → V g = 0
4
8
V1 − 0 V1 − V2
+
= −3
4
8
2V1 + V1 − V2 = −24
+
3V1 − V2 = −24 KK (1)
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
62
Rangkaian Listrik
Tinjau node voltage V2 :
KCL :
∑ i = 0 → 7 − i1 − i2 = 0
i1 + i2 = 7
V2 − V1 V2 − V g
+
= 7 → Vg = 0
8
12
V2 − V1 V2 − 0
+
=7
8
12
3(V2 − V1 ) + 2V2 = 168
5V2 − 3V1 = 168KK (2)
Dari kedua persamaan diatas, dapat diselesaikan dengan 2 cara, yaitu :
1. Cara substitusi
3V1 − V2 = −24
− 3V1 + 5V2 = 168 +
4V2 = 144 → V2 = 36 ⋅ volt
V2 dapat dimasukkan kesalah satu persamaan, misalkan persamaan (1) :
3V1 − V2 = −24
3V1 − 36 = −24
3V1 = 36 − 24 = 12 → V1 = 4 ⋅ volt
V1 − V g
4−0
= 1⋅ A
4
4
2. Cara Metoda Cramer
Menggunakan matrik :
i=
=
3V1 − V2 = −24
− 3V1 + 5V2 = 168
Matrik :
 3 − 1 V1   − 24 

  = 

 − 3 5 V2   168 
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
63
Rangkaian Listrik
∆=
3
−1
−3
5
= 3.5 − (−1).(−3) = 12
sehingga ;
V1 =
V2 =
i=
− 24 − 1
168 5
∆
=
− 24.5 − (−1).168
= 4 ⋅ volt
12
=
3.168 − (−24).(−3)
= 36 ⋅ volt
12
3 − 24
− 3 168
∆
V1 − V g
4
= 1⋅ A
2. Tentukan nilai tegangan v dengan analisis node !
Jawaban :
- Tentukan node referensinya/ground
- Tentukan node voltage
Tinjau node voltage va :
Σi = 0
v a − vb v a − 0
+
−9 = 0
16
8
v a − vb v a
+
=9
16
8
3v a − vb = 144........(1)
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
64
Rangkaian Listrik
Tinjau node voltage vb :
Σi = 0
vb − v a vb − 0
+
−3 = 0
16
12
vb − v a vb
+
=3
16
12
− 3v a + 7vb = 144........(2)
Substitusikan pers. (1) dan (2) :
3v a − vb = 144
− 3v a + 7vb = 144 +
288
= 48V
6
Masukan nilai vb ke persamaan (1) :
3v a − vb = 144
6vb = 288 → vb =
3v a − 48 = 144
3v a = 144 + 48 = 192
va =
192
= 64V
3
3. Tentukan nilai arus i dengan analisis node!
Jawaban :
- Tentukan node referensinya/ground
- Tentukan node voltage
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
65
Rangkaian Listrik
Tinjau node voltage va :
v a − vb v a
+ + 12 − 6i = 0
40
10
v
dim ana : i = a
10
v a − vb v a
6v
+ + 12 − a = 0
40
10
10
19v a + vb = 480.......(1)
Tinjau node voltage vb :
vb − v a vb
+
+ 6i − 2 = 0
40
20
vb − v a vb 6v a
+
+
−2=0
40
20 10
23v a + 3vb = 80.......(2)
Metoda Cramer :
 19 1  v a   480 


  = 
 23 3  vb   80 
480
80
va =
19
23
1
3 480.3 − 80.1
=
= 40V
1
19.3 − 23.1
3
sehingga :
v
40
= 4A
i= a =
10 10
‰
Analisis node mudah dilakukan bila pencatunya berupa sumber arus. Apabila pada
rangkaian tersebut terdapat sumber tegangan, maka sumber tegangan tersebut
diperlakukan sebagai supernode, yaitu menganggap sumber tegangan tersebut
dianggap sebagai satu node.
Contoh latihan :
1. Tentukan nilai i dengan analisis node !
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
66
Rangkaian Listrik
Jawaban :
- Tentukan node referensinya/ground
- Tentukan node voltage
- Teg. Sumber sebagai supernode
- Jumlah N=3, jumlah persamaan (N-1)=2
Tinjau node voltage di V :
KCL :
∑i = 0
V − 20 V − Vg
+
− 1 = 0 → Vg = 0
10
10
V − 20 V
+ =1
10
10
2V − 20 = 10 → V = 15 ⋅ volt KK (1)
20 − V
KK (2)
10
20 − 15
i=
= 0,5 ⋅ A
10
i=
2. Tentukan nilai tegangan v dengan analisis node !
Jawaban :
- Tentukan node referensinya/ground
- Tentukan node voltage
- Teg. Sumber sebagai supernode
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
67
Rangkaian Listrik
Tinjau node voltage va :
v a − 16 v a
+ −3 = 0
8
12
3v a − 48 + 2v a − 72 = 0
5v a − 120 = 0
120
= 24V
5
v = v a − 16 = 24 − 16 = 8V
va =
3. Tentukan nilai arus i dengan analisis node!
Jawaban :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
68
Rangkaian Listrik
Tinjau node voltage va :
v a − 14 v a v a + 4 v a + 4
+ +
+
=0
4
2
12
4
3v a − 42 + 6v a + v a + 4 + 3v a + 12 = 0
13v a − 26 = 0
va =
26
= 2V
13
sehingga : i =
va 2
= = 1A
2 2
Analisis Mesh atau Arus Loop
Arus loop adalah arus yang dimisalkan mengalir dalam suatu loop (lintasan tertutup).
Arus loop sebenarnya tidak dapat diukur (arus permisalan).
Berbeda dengan analisis node, pada analisis ini berprinsip pada Hukum Kirchoff II/
KVL dimana jumlah tegangan pada satu lintasan tertutup samadengan nol atau arus
merupakan parameter yang tidak diketahui. Analisis ini dapat diterapkan pada rangkaian
sumber searah/ DC maupun sumber bolak-balik/ AC.
Hal-hal yang perlu diperhatikan :
‰ Buatlah pada setiap loop arus asumsi yang melingkari loop. Pengambilan arus loop
terserah kita yang terpenting masih dalam satu lintasan tertutup. Arah arus dapat
searah satu sama lain ataupun berlawanan baik searah jarum jam maupun
berlawanan dengan arah jarum jam.
‰ Biasanya jumlah arus loop menunjukkan jumlah persamaan arus yang terjadi.
‰ Metoda ini mudah jika sumber pencatunya adalah sumber tegangan.
‰ Jumlah persamaan = Jumlah cabang – Jumlah junction + 1
Contoh latihan :
1. Tentukan nilai arus i dengan analisis mesh!
Jawaban :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
69
Rangkaian Listrik
Tinjau loop I1 :
Σv = 0
− 16 + 2 I 1 + 9 + 3( I 1 − I 2 ) = 0
5I 1 − 3I 2 = 7........(1)
Tinjau loop I2 :
Σv = 0
− 9 + 6 + 6 I 2 + 3( I 2 − I 1 ) = 0
− 3I 1 + 9 I 2 = 3........(2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) :
5I 1 − 3I 2 = 7..........x3
− 3I 1 + 9 I 2 = 3........x1 +
12 I 1 = 24
24
= 2A
12
sehingga : i = I 1 = 2 A
I1 =
2. Tentukan nilai tegangan v dengan analisis mesh!
Jawaban :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
70
Rangkaian Listrik
Tinjau loop I1:
− 18 + 5 I 1 + 12( I 1 − I 2 ) = 0
17 I 1 − 12 I 2 = 18..........(1)
Tinjau loop I2:
20 I 2 + 40 I 2 + 12( I 2 − I 1 ) = 0
− 12 I 1 + 72 I 2 = 0..........(2)
substitusikan persamaan (1) dan (2) :
72
I2
− 12 I 1 + 72 I 2 = 0 → I 1 =
12
17 I 1 − 12 I 2 = 18
102 I 2 − 12 I 2 = 18 → 90 I 2 = 18
I2 =
18 2
=
A
90 10
sehingga : v = I 2 x 40Ω =
2
x 40 = 8V
10
3. Tentukan nilai i dengan analisis mesh!
Jawaban :
Tinjau loop I1 :
Σv = 0
− 5 + 6 I 1 − 5ia = 0
dim ana : I 1 = ia
− 5 + 6ia − 5ia = 0 → ia = 5 A
Tinjau loop I2 :
Σv = 0
+ 5ia + 10 I 2 + 25 = 0
25 + 10 I 2 + 25 = 0 → I 2 =
− 50
= −5 A
10
i = − I 2 = −(−5) = 5 A
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
71
Rangkaian Listrik
‰
Apabila ada sumber arus, maka diperlakukan sebagai supermesh. Pada supermesh,
pemilihan lintasan menghindari sumber arus karena pada sumber arus tidak
diketahui besar tegangan terminalnya.
Contoh latihan :
1. Tentukan nilai i dengan analisis mesh !
Jawaban :
Tinjau loop I1 :
I1 = 9 A
Tinjau loop I2 dan I3 :
I 3 − I 2 = 3A
I 3 = 3 + I 2 .......................................(1)
Tinjau lintasan supermesh :
Σv = 0
8( I 2 − I 1 ) + 16 I 2 + 12 I 3 = 0..............(2)
substitusikan persamaan (1) dan (2) :
8( I 2 − 9) + 16 I 2 + 12(3 + I 2 ) = 0
8 I 2 − 72 + 16 I 2 + 36 + 12 I 2 = 0
36
= 1A
36
sehingga : i = I 2 = 1A
36 I 2 = 36 → I 2 =
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
72
Rangkaian Listrik
2. Tentukan nilai V dengan analisis mesh !
Jawaban :
Tinjau loop I1 dan I2 :
I 2 − I1 = 6 A
I 1 = I 2 − 6.................................(1)
dim ana : i = I 1
Tinjau lintasan supermesh :
Σv = 0
− 12 + 1.I 1 + 2i + 3I 2 = 0
− 12 + I 1 + 2 I 1 + 3I 2 = 0
3I 1 + 3I 2 = 12............................(2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) :
3( I 2 − 6) + 3I 2 = 12
3I 2 − 18 + 3I 2 = 12
30
= 5A
6
sehingga : V = 3I 2 = 3 x5 = 15V
6 I 2 = 30 → I 2 =
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
73
Rangkaian Listrik
3. Tentukan nilai arus i dengan analisis mesh !
Jawaban :
Tinjau loop I1 :
6 I 1 + 12 + 12( I 1 − I 2 ) = 0
18 I 1 − 12 I 2 = −12.............................(1)
Tinjau loop I2 dan I3 :
I 3 − I 2 = 3.........................................(2)
Tinjau lintasan supermesh :
Σv = 0
4 I 2 + 6 I 3 + 12( I 2 − I 1 ) − 12 = 0
16 I 2 − 12 I 1 + 6 I 3 = 12........................(3)
Metoda Cramer :
 18 − 12 0  I 1   − 12 

  

− 1 1  I 2  =  3 
 0
 − 12 16 6  I   12 

 3  

18 − 12 − 12
I3 =
0
− 12
−1
16
3
12
18 − 12 0
0
−1 1
− 12 16 6
18
=
0
3
0
−1 3
−1
+ 12
− 12
16 12
− 12 12
− 12 16
= 2A
0 1
−1 1
18
+ 12
16 6
− 12 6
sehingga : i = I 3 − 2 A
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
74
Rangkaian Listrik
Analisis Arus Cabang
Arus cabang adalah arus yang benar-benar ada (dapat diukur) yang mengalir pada suatu
cabang. Artinya arus cabang adalah arus yang sebenarnya mengalir pada percabangan
tersebut.
Arti cabang :
‰ Mempunyai satu elemen rangkaian
‰ Bagian rangkaian dengan dua terminal dengan arus yang sama
‰ Jumlah persamaan = Jumlah arus cabang yang ada
Contoh latihan :
1. Tentukan semua persamaan yang ada !
Jawaban :
Σ persamaan = Σ arus cabang = 3
Tinjau arus cabang i1 dan i2 :
ΣV = 0
i1 R1 + i 2 R2 − V = 0 KK (1)
Tinjau arus cabang i3 :
i3 = I K.....................K (2)
Tinjau arus cabang i2 :
Σi = 0
i1 + i3 = i2 ........................(3)
2. Tentukan nilai i dengan analisis arus cabang !
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
75
Rangkaian Listrik
Jawaban :
Tinjau arus cabang i1 dan i2 :
i1 + i2 + 7 = 4
i1 + i2 = −3...............(1)
Tinjau arus cabang i2 dan i3 :
i 2 + 7 = i3
i2 − i3 = −7...............(2)
Tinjau lintasan tertutup semua arus cabang
Σv = 0
8i2 + 12i3 − 4i1 = 0..........(3)
Metoda Cramer :
 1 1 0  i1   − 3 

   
 0 1 − 1 i 2  =  − 7 
 − 4 8 12  i   0 

 3   
−3 1
0
− 7 1 −1
0 8 12
1 −1 − 7
−1
8 12
0
i1 =
=
1 1 0
1 −1
0
1
−1
0 1 −1
8 12
−4
− 4 8 12
−3
−1
−7
+0
12
0
0
−1
+0
12
−4
1
8 24
=
= 1A
1
24
8
sehingga : i = i1 = 1A
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
76
Rangkaian Listrik
Soal – soal :
1. Tentukan arus i dengan analisis node !
2. Tentukan tegangan v dengan analisis node !
3. Tentukan tegangan v dengan analisis node !
4. Tentukan i dengan analisis mesh !
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
77
Rangkaian Listrik
5. Tentukan i dengan analisis mesh !
6. Tentukan i dengan analisis node !
7. Tentukan nilai ia dengan analisis node !
8. Tentukan Vab dengan analisis mesh !
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
78
Rangkaian Listrik
9. Tentukan tegangan V dengan metoda node :
10. Tentukan arus i dengan metoda node :
11. Tentukan arus i pada rangkaian berikut dengan metoda node :
12. Tentukan arus i dengan metoda node pada rangkaian berikut :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
79
Rangkaian Listrik
13. Tentukan arus i dengan metoda node pada rangkaian berikut :
14. Tentukan tegangan V dengan metoda node pada rangkaian berikut :
15. Tentukan arus i dengan metoda node (supernode) pada rangkaian berikut :
16. Tentukan arus i dengan metoda node (supernode) pada rangkaian berikut :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
80
Rangkaian Listrik
17. Tentukan tegangan V dengan metoda node (supernode) pada rangkaian berikut :
18. Tentukan tegangan V dengan metoda node (supernode) pada rangkaian berikut :
19. Tentukan tegangan V dengan metoda node (supernode) pada rangkaian berikut :
20. Tentukan arus pada R = 2Ω :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
81
Rangkaian Listrik
21. Tentukan V :
22. Tentukan daya yang diserap oleh sumber arus 1 mA :
23. Tentukan nilai tegangan V :
24. Tentukan V :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
82
Rangkaian Listrik
25. Tentukan V :
26. Tentukan V :
27. Tentukan V :
28. Tentukan Vx :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
83
Rangkaian Listrik
29. Tentukan V dan i :
30. Tentukan V1 dan i2 :
31. Tentukan ix dan Vx :
32. Tentukan i :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
84
Rangkaian Listrik
33. Tentukan Vx :
34. Tentukan i dengan node :
35. Tentukan i dengan node :
36. Tentukan tegangan V dengan node :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
85
Rangkaian Listrik
37. Tentukan i dengan node :
38. Tentukan tegangan VA dan V :
39. Tentukan arus i1 dengan node :
40. Tentukan tegangan V1 :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
86
Rangkaian Listrik
41. Tentukan i dengan node :
42. Tentukan tegangan V dengan node :
43. Tentukan arus i dengan node :
44. Tentukan arus i dngan node :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
87
Rangkaian Listrik
45. Tentukan arus i dengan node :
46. Tentukan nilai arus i dengan analisis mesh pada rangkaian berikut :
47. Tentukan tegangan V dengan mesh pada rangkaian berikut :
48. Tentukan arus i dengan analisis mesh pada rangkaian berikut :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
88
Rangkaian Listrik
49. Tentujkan tegangan V dengan analisis mesh pada rangkaian berikut :
50. Tentukan arus i denagan analisis mesh pada rangkaian berikut :
51. Tentukan arus i dengan analisis supermesh pada rangkaian berikut :
52. Tentukan tegangan V dengan analisis supermesh pada rangkaian berikut :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
89
Rangkaian Listrik
53. Tentukan tegangan V dengan analisis supermesh pada rangkaian berikut :
54. Tentukan arus i :
55. Tentukan i :
56. Tentukan i :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
90
Rangkaian Listrik
57. Tentukan i :
58. Tentukan i :
59. Tentukana i :
60. Tentukan daya pada R = 2Ω :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
91
Rangkaian Listrik
61. Tentukan i :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Download