Contoh medan vektor

Mata kuliah : K0074 - Kalkulus III
Tahun
: 2010
Kalkulus Vektor
Pertemuan 13, 14, 15, & 16
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan
mahasiswa akan mampu :
– menjelaskan pengertian vektor di R2 atau di R3
– menjelaskan operasi-operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian skalar, perkalian titik,
perkalian silang pada vektor
– menjelaskan pengertian fungsi vektor (medan vektor)
dan fungsi skalar (medan skalar)
– menentukan limit, kekontunuan dan derivatif dari
medan vektor
3
Outline Materi
• Kakulus Vektor
–
–
–
–
–
–
Vektor di R2 dan R3
Operasi-operasi pada vektor di R2 dan R3
Fungsi bernilai vektor
Limit dan kekontinuan
Derivatives
Gradien divergensi dan Curl
4
1. Vektor di Ruang 2
• Besaran Skalar dan Besaran Vektor
– Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar
(panjang/nilai)
• Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
– Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah
• Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan
magnet, medan listrik
– Notasi Vektor
• Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.
• Vektor dinyatakan dg huruf ū atau u (bold).
• Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka
ditulis dengan lambang u = AB
• Notasi u dibaca “vektor u”
Penyajian Vektor di R2
• Vektor dengan titik awal di (o,o) dan titik akhir (a,b)
dinyatakan sebagai u = (a,b)
• Vektor dinyatakan sebagai kombinasi vektor satuan i
dan j yaitu u = ai + bj
2
2
• Panjang vektor u ditentukan oleh rumus u  a  b
• Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan
arahnya sama.
Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) maka
u = v, jika dan hanya jika a=c dan b=d
a
b
Dua vektor sama, a = b
a
a
b
Dua Vektor mempunyai
besar sama, arah berbeda
b
a
b
Dua vektor arah sama,
besaran beda
Dua Vektor besar dan arah
berbeda
Penjumlahan Vektor
u
w=u+v
v
v
w=u+v
u
• Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan
aturan jajaran genjang
• Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
u   a, b  dan v   c.d 
u  v   a , b    c, d    a  c, b  d 
Elemen Identitas
•
•
•
•
Vektor nol ditulis 0
Vektor nol disebut elemen identitas terhadap penjumlahan
u+0=0+u=u
Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah
invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang
memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.
• u + (-u) = 0
Pengurangan Vektor
• Selisih dua vektor u
dan v ditulis u – v
didefinisikan u + (-v)
• Dalam bentuk
pasangan bilangan
v
u
u
w=u-v
u   a, b  dan v   c, d 
u - v   a , b    c, d    a  c, b  d 
-v
Perkalian Vektor dengan Skalar
• Jika m skalar (bilangan real)
dan u vektor maka perkalian
mu adalah suatu vektor dengan
panjang |m| kali panjang vektor
u dan arahnya searah dengan u
jika m > 0, dan berlawanan arah
jika m < 0.
• Jika u = (a,b) dan m skalar
maka mu = (ma,mb)
u
2u
Sifat-Sifat Operasi Vektor
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Komutatif  u + v = v + u
Asosiatif  (u+v)+w = u+(v+w)
Ketidaksamaan segitiga ||u+v|| ≤ ||u|| + ||v||
1u = u
0u = 0, m0 = 0.
Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
(mn)u = m(nu)
|mu| = |m||u|
(-mu) = - (mu) = m (-u)
Distributif : (m+n)u = mu + nu
Distributif : m(u+v) = mu + mv
u+(-1)u = u + (-u) = 0
Vektor Posisi
vektor dengan titik awal A dan titik akhir B
Y
• OA = a dan OB = b
adalah vektor posisi.
• AB = AO + OB
•
= OB – OA
•
=b–a
A
B
a
b
0
X
Misalkan A(a1 , a2 ) dan B(b1 , b2 ) maka AB  b1  a1 , b2  a2 
Dot Product (Inner Product)
• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua
vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan
cosinus sudut antara keduanya.
a  b || a || || b || cos 

Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1] dan b = [a2,b2],
maka :
a  b  a1b1a2b2



a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
Vektor Ortogonal
• Teorema
– Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukannol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor
tersebut saling tegak lurus
• Vektor a disebut ortogonal terhadap vektor b jika a•b = 0,
dan vektor b juga ortogonal terhadap vektor a.
• Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.
• Untuk vektor bukan-nol
– a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o = π/2
Contoh Perkalian Dot Product
• a = [1,0] dan b = [2,4]
• Hitung sudut antara dua vektor tsb
Penyajian Vektor di R3
• Vektor dengan titik awal di (0,0,0) dan titik akhir (a,b,c)
dinyatakan sebagai u = (a,b,c)
• Vektor dinyatakan sebagai kombinasi vektor satuan I, j
dan k yaitu u = ai + bj +ck
• Panjang vektor u ditentukan oleh rumus
u  a 2  b2  c 2
• Penjumlahan vektor
• Pengurangan vektor
• Perkalian skalar
u   u1 , u2 , u3  dan v   v1 , v2 , v3 
u  v   u1  v1 , u2  v2 , u3  v3 
u   u1 , u2 , u3  dan v   v1 , v2 , v3 
u - v   u1  v1 , u2  v2 , u3  v3 
u   u1 , u2 , u3  vektor dan m skalar
m u   mu1 , mu2 , mu3 
Vektor Posisi
vektor dengan titik awal A dan titik akhir B
Misalkan A(a1 , a2 , a3 ) dan B (b1 , b2 , b3 )
maka AB   b1  a1 , b2  a2 , b3  a3 
Dot Product (Inner Product)
• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua
vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan
cosinus sudut antara keduanya.
a  b || a || || b || cos 

Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1, b1,c1], dan b = [a2, b2,c2],
maka :
a  b  a1b 1 a2b2  a3b3
21
Bina Nusantara University
22
Medan Vektor dan Medan Skalar
Bila fungsi dengan domain Rn dan range R akan
menghasilkan fungsi bernilai riil (skalar) selanjutnya disebut medan skalar
Sedangkan bila domain Rn dan range Rn akan
didapatkan fungsi yang dinyatakan dalam notasi
vektor disebut Medan vektor.
Untuk membedakan dengan fungsi skalar maka
digunakan huruf kapital yang dicetak tebal untuk
menyatakan fungsi vektor.
23
Contoh medan vektor:
1. F : R  R 2 berbentuk
F (t )  f (t )i  g (t ) j
2. F : R  R3 berbentuk
F (t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k
3. F : R 2  R 2 berbentuk
F ( x, y )  f ( x, y )i  g ( x, y ) j
4. F : R 2  R3 berbentuk
F ( x, y )  f ( x, y )i  g ( x, y24
) j  h ( x, y ) k
5. F : R  R berbentuk
3
2
F ( x, y, z )  f ( x, y, z )i  g ( x, y, z ) j
6. F : R3  R3 berbentuk
F ( x, y, z )  f ( x, y, z )i  g ( x, y, z ) j  h( x, y, z )k
Misal:
F (t )  (sin t )i  (cos t ) j  t k
2
F ( x, y )  (e sin y )i  (ln x) j
x
F ( x, y , z )  x i  y j  z k
2
25
2
2
Derivatif Fungsi Vektor (Medan Vektor)
26
27
Aturan pendeferensialan yang sudah kita kenal
mengkasilkan aturan pendeferensialan untuk fungsi vektor,
misalnya:
Jika c konstanta f medan skalar F , G ,
medan vektor maka :
1. (cF ) '  cF '
2. ( F  G ) '  F ' G '
3. ( F  G ) '  F ' G '
28
Derivatif Parsial
Pada medan vektor F ( x, y )  f ( x, y)i  g ( x, y) j
 F f
g
 F f
g
 i
j dan
 i
j
x x
x
y y
y
Analogi diatas dapat diperluas pada medan vektor
F ( x, y)  f ( x, y)i  g ( x, y) j  h( x, y)k
 F f
g
h
 F f
g
h
 i
j  k dan
 i
j
x x
x
x
y y
y
y
29
Demikian juga untuk medan vektor
F ( x, y)  f ( x, y, z )i  g ( x, y, z ) j  h( x, y, z )k
 F f
g
h
1.
 i
j k
x x
x
x
 F f
g
h
2.
 i
j k
y y
y
y
 F f
g
h
3.
 i
j k
z z
z
z
30
TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN
Jika f fungsi dua peubah yang dapat
didiferensialkan di p =(a, b) maka
f (a, b)  f x (a, b)i  f y (a.b) j
disebut vektor gradien dari f di titik (a,b)
31
Jika f fungsi tiga peubah yang dapat
didiferensialkan di p =(a, b,c) maka
f (a, b, c)  f x (a, b, c)i  f y (a.b.c)  jf z (a, b, c)k
disebut vektor gradien dari f di titik (a,b,c)
32
Contoh:
Jika f ( x, y )  xe y  x 2 y carilah gradien f di (2,0)
Jawab :
f x ( x, y )  e y  2 xy  f x (2,0)  e0  0  1
f y ( x, y )  xe y  x 2  f y (2,0)  2e0  22  6
Jadi f (2,0)  i  6 j
33
Contoh:
Jika f ( x, y, z )  x sin z  x 2 y carilah gradien f di (1,2,0)
Jawab :
f x ( x, y, z )  sin z  2 xy  f x (1,2,0)  0  4  4
f y ( x, y, z )  x  f y (1,2,0)  1
2
f z ( x, y, z )  x cos z  f z (1,2,0)  1
Jadi f (1,2,0)  4i  j  k
34
35
36
Andaikan f dapat didiferensialkan di (a,b,c),
maka turunan berarah di (a,b,c) pada arah
vector satuan u  u1i  u2 j  u3k
adalah
Du f (a, b, c)  u1 f x (a, b, c)  u2 f y (a, b, c)  u3 f z (a, b, c)
Contoh:
37
38
Contoh:
Carilah turunan berarah dari fungsi f(x,y,z)=xy sin z di titik
(1,2,p/2 pada arah vektor a  i  2 j  2k
Jawab:
a  1  4  4  3, vektor satuan dalam arah a
1 2
2
adalah u  i  j  k
3 3
3
p
p
f x ( x, y, z )  y sin z  f x (1, 2, )  2sin  2
2
2
p
p
f y ( x, y, z )  x sin z  f y (1, 2, )  1sin  1
2
2
p
p
f z ( x, y, z )  xy cos z  f x (1, 2, )  2cos  0
39
2
2
maka
p
1
2
4
Da f (1,2, )  ( )(2)  ( )(1)  0 
2
3
3
3
40
41
42
GRADIEN
Jika f fungsi dua peubah (Medan skalar)
yang dapat didiferensialkan di p =(a, b)
maka
f (a, b)  f x (a, b)i  f y (a, b) j
disebut vektor gradien dari f di titik (a,b)
43
Jika f fungsi tiga peubah (medan skalar)
yang dapat didiferensialkan di p =(a, b,c)
maka
f (a, b, c)  f x (a, b, c)i  f y (a.b.c) j  f z (a, b, c)k
disebut vektor gradien dari f di titik (a,b,c)
44
Contoh:
Jika f ( x, y )  xe y  x 2 y carilah gradien f di (2,0)
Jawab :
f x ( x, y )  e  2 xy  f x (2,0)  e  0  1
y
0
f y ( x, y )  xe  x  f y (2,0)  2e  2  6
y
2
0
Jadi f (2,0)  i  6 j
45
2
Contoh:
Jika f ( x, y, z )  x sin z  x y carilah gradien f di (1,2,0)
2
Jawab :
f x ( x, y, z )  sin z  2 xy  f x (1,2,0)  0  4  4
f y ( x, y, z )  x 2  f y (1,2,0)  1
f z ( x, y, z )  x cos z  f z (1,2,0)  1
Jadi f (1,2,0)  4i  j  k
46
Divergensi dan Curl dari Medan Vektor
Diberikan medan vektor
F ( x, y, z )  f ( x, y, z )i  g ( x, y, z ) j  h( x, y, z )k
yang terdefinisi dalam domain D dengan f(x,y,z) ,
g(x,y,z) dan h(x,y,z) yang mempunyai turunan parsial
pertama pada D. Didefinisikan suatu Divergensi dari
medan vektor
F sebagai :
f g h
divF    F 


x y z
47
Bila hasilkali titik dari vektor operator gradien dengan
medan vektor menghasilkan skalar (divergensi) maka
hasilkali silang antara operator gradien dan medan vektor
F ( x, y, z )  f ( x, y, z )i  g ( x, y, z ) j  h( x, y, z )k
menghasilkan suatu vektor, Rotasi (Curl) :
i

Curl F  X F 
x
f
j
k

y
g

z
h
 h g 
 i 

 y z 
 g f 
 h f 
j    k 
 
 x z 
 x y 
48
Contoh:
49
TERIMA KASIH
50