Metode bayangan Bola konduktor

Sebuah bola konduktor berjari-jari R, ditanahkan sehingga potensial pada
permukaanya sama dengan nol. Suat muatan titik q diletakkan sejauh a dari
pusat bola. Tentukan potensial listrik di sembarang titik.
R
q
a
V=0
Untuk menentukan besarnya potensial listrik sebuah bola konduktor dan sebuah
muatan titik kita dapat menggunakan Metode Bayangan.
Mula-mula kita tempatkan muatan q’ (muatan bayangan) sedemikian rupa
sehingga potensial di permukaan bola sama dengan nol (V = 0).
P
μ
+)
′
O
Potensial di titik P adalah :
=
=
4
4
1
+
1
4
1
−
+
′
′
′
| − |
Syarat batas: pada permukaan bola, V = 0
Maka pada titik O
=
=
(searah dengan %)
Maka posisi titik P relatif terhadap kedua muatan adalah
' = (( − )(− )
μ’
'′ = ( − ,)
Sehingga Potensial di semua menjadi:
=
4
1
-
|( − () |
+
′
.
|( − ,) |
Oleh karena V(R) = 0 karena dipermukaan, maka
|(( − )(− )|
( 01 − 2 3
1
(
=−
/
=−
=−
/
|( − ,) |
/
01 − 13
1
dan
4
01 − 3
2
1
=
1
01 − 3
1
4
Sehingga :
(
/
=−
1
01 − 2 3
1
=
→
/
1
=−
01 − 13
4
→
(
(
=
,
→,=
Maka Persama potensialnya menjadi :
=
4
1
- +
′
.
′
dengan:
7
= 8 7 + (7 − 28( 9:; +
′7 = 8 7 + , 7 − 28, 9:; + → , =
/7
= 87 + <
Maka :
7 7
(
= − 28
7
(
9:; +
7
(
2
(
=
=
=
=
=
4
4
4
4
1
1
1
1
4
A
0 @√8 7 + (7 − 28( 9:; +
?
A
@√8 7 + (7 − 28( 9:; +
?
A
@√8 7 + (7 − 28( 9:; +
?
A
@√8 7 + (7 − 28( 9:; +
?
A
1
@√8 7 + (7 − 28( 9:; +
?
−
−
−
−
−
1
2
7
C8 7 + 01 3 − 28
2
D
7
1D
C8 7 + 01 3 − 28
1
2
2
D
C 8 7 2 D + 01 3
1
2
D
D
C( 1 )7 +
H2
C
7
7
7 2D
1D
2
G
F
9:; +E
1D
2
− 28
G
F
9:; +E
1 D 2D
2
1D
G
F
9:; +E
− 28( 9:; +F
E
G
1
+ ( 1 )7 − 28( 9:; +F
E
H2
Selanjutnya menghitung rapat muatan I:
I=−
J
J
J
,
=M N
JK
JK J8 HO1
Dengan
J
=
J8 4
J
=
J8 4
J
=
J8 4
Q
J
(8 7 + (7 − 28( 9:; +)PD − 0
J8
7
P
8(
D
+ ( )7 − 28( 9:; +3
Q
R
1
− (8 7 + (7 − 28( 9:; +)PD . (28 − 2( 9:; +)
2
1
− − 0
2
((7 −
7
+(
7 )( 7
8(
P
) − 28( 9:; +3
7
+ (7 − 2 ( 9:; +)PD
R
R
D
.<
(7
7
G
28 − 2( 9:; +=.
Maka
J
M N
J8 HO1
I=−
I=
(
4
2
− (2 )(
2
+ (2 − 2 ( 9:; +)
3
2
−
mencari Qind dengan:
UVWV = X I Y( ,
Y( = Z[Z\ZK [](; ^Z8\]_((K ,:[(
UVWV = X I (
7
;`K + Y+ Y∅)
UVWV =
(
7
− (7 ) X(
(
7
− (7 )
(
7
− (7 )2
7
X
(
7
− (7 )2
7
c−
UVWV =
UVWV =
M VWV =
U
4
4
4
4
7
7
+ (7 − 2 ( 9:; +)PD .
R
7b
b
X Y∅ X (
b
(
7
1
(
(
7
7
;`K + Y+ Y∅
+ (7 − 2 ( 9:; +)PD ;`K + Y+
R
;`K + Y+
+ (7 − 2 ( 9:; +)D
7
R
b
+ (7 − 2 ( 9:; +)PD dN
Q
Karena s > R maka persamaan menjadi:
UVWV =
UVWV =
UVWV =
UVWV =
2(
2(
2(
2(
((7 −
7)
c
((7 −
7)
c
((7 −
7)
e
((7 −
7)
c
√
7
√
7
1
+ (7 − 2 ( 9:;
1
+ (7 + 2 (
1
f(( +
)7
−
−
1
√
−
7
f(( − )7
1
1
−
d
(( + ) (( − )
√
1
7
+ (7 − 2 ( 9:; 0
+ (7 − 2 (
g
1
d
d
UVWV =
UVWV =
UVWV =
UVWV =
(( + )(( − ) c
2(
1
1
−
d
(( + ) (( − )
(( + )(( − ) (( + )(( − )
e
−
g
(( + )
(( − )
2(
h(( − ) − (( + )i
2(
(−2 )
2(
UVWV = −
UVWV =
′
(
sedangkan besarnya gaya yang disebabkan oleh muatan q dan q’ adalah:
j=
j=
j=
4
4
1
1
4
j=−
j=−
l=−
1
4
4
4
k 7
87
/
(( − ,)7
(−
1
1
1
(( −
1
2
)
1D 7
)
2
7
(
7
(
7
(
(7 (( −
((7 −
((7 −
1D 7
)
2
7 )7
7 )7
8̂