pelabelan dan pembentukan graf middle pada beberapa

PELABELAN
DAN PEMBENTUKAN GRAF
MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS
skripsi
disajikan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
oleh
Meliana Deta Anggraeni
4111409019
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2013
1
ii
PENGESAHAN
Skripsi yang berjudul
Pelabelan
Khusus
dan Pembentukan Graf Middle pada Beberapa Graf
disusun oleh :
Meliana Deta Anggraeni
NIM. 4111409019
Telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA UNNES
pada tanggal 02 Agustus 2013.
Panitia :
Ketua
Sekretaris
Prof. Dr.Wiyanto, M.Si.
NIP. 196310121988031001
Drs Arief Agoestanto, M.Si.
NIP. 196807221993031005
Penguji
Dr. Rochmad, M.Si
NIP. 195711161987011001
Anggota Penguji /
Anggota Penguji /
Pembimbing Utama
Pembimbing Pendamping
Dr. Mulyono, M.Si
Drs. Amin Suyitno, M.Pd
NIP. 19700902 199702 1 001
NIP. 19520604 197612 1 001
ii
iii
PERNYATAAN
Saya menyatakan bahwa skripsi ini bebas plagiat, dan apabila di kemudian hari
terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ini, maka saya bersedia menerima sanksi
sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan.
Semarang,
Agustus 2013
Meliana Deta Anggraeni
NIM. 4111409019
iii
iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
MOTTO
o Mengetahui kekurangan diri adalah tangga untuk menggapai citacita, berusaha terus untuk mengisi kekurangan adalah keberanian luar
biasa.
o Awali segala sesuatu dengan ‘BASMALLAH’.
o Hanya dengan sabar, berusaha, dan berdoa, keberhasilan akan
terwujud.
PERSEMBAHAN
Persembahan ini saya tujukan untuk :
1.
Bapak dan Ibu, yang tak hentinya
melantunkan bait-bait doanya
untukku dan selalu menantikan
keberhasilanku.
Adik dan kekasih tersayang.
Almamaterku.
2.
3.
iv
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi dengan judul “PELABELAN
DAN PEMBENTUKAN GRAF
MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS” sebagai salah satu syarat
untuk menyelesaikan jenjang studi sarjana pada Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang.
Penulis menyadari bahwa terselesainya penulisan skripsi ini berkat
bimbingan, pengarahan, dan bantuan dari berbagai pihak baik berupa moral
maupun materiil. Oleh karena itu pada kesempatan ini, penulis akan
menyampaikan rasa hormat, serta terima kasih kepada :
1. Prof. Dr. Fathur Rokhman, M.Hum., Rektor Universitas Negeri Semarang,
2. Prof. Dr. Wiyanto, M.Si., Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam,
3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si., Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang,
4. Dr. Mulyono, M.Si., dosen pembimbing I yang telah memberikan bimbingan,
masukan, motivasi, semangat dalam pembuatan skripsi ini,
5. Drs. Amin Suyitno, M.Pd., dosen pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan, masukan, motivasi, semangat dalam pembuatan skripsi ini,
6. Seluruh Dosen Matematika yang telah membimbing dan memberikan ilmunya
kepada penulis,
v
vi
7. Bapak, Ibu, dan adik tercinta yang telah memberikan dorongan, dukungan dan
doa kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini,
8. Teman-teman Matematika 2009, terima kasih atas kebersamaanya,
9. Semua pihak yang mendukung dan membantu proses terselesaikannya skripsi
ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Semoga Allah SWT memberi rahmat serta hidayah-Nya pada kita semua baik
di dunia maupun di akhirat. Penulis sadar bahwa kesempurnaan hanya milik Allah
Yang Maha Kuasa, meskipun begitu penulis berharap skripsi ini dapat memberi
manfaat bagi Almamater pada khususnya serta pembaca pada umumnya.
Semarang,
Penulis
vi
Agustus 2013
vii
ABSTRAK
Anggraeni, M. D. 2013. Pelabelan
dan Pembentukan Graf Middle pada
Beberapa Graf Khusus. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang. Pembimbing I: Dr.
Mulyono, M.Si dan Pembimbing II: Drs. Amin Suyitno, M.Pd.
Kata Kunci: Graf khusus; graf middle; pelabelan
.
Pelabelan dari suatu graf adalah suatu pemetaan yang membawa setiap
elemen graf yaitu himpunan sisi (edge) atau himpunan titik (vertex) ke bilanganbilangan bulat positif, yang disebut label. Pelabelan
adalah pelabelan di
mana dalam suatu graf jika terdapat dua titik dengan jarak satu maka harus
memiliki label dengan selisih minimal 3, jika terdapat dua titik dengan jarak dua
maka harus memiliki label dengan selisih minimal 2, dan jika terdapat dua
titik dengan jarak tiga maka harus memiliki label dengan selisih minimal 1.
Permasalahan dalam skripsi ini adalah bagaimana menentukan pelabelan
dan menentukan graf middle pada graf path , graf sikel
, graf
bintang .
Penelitian ini merupakan penelitian studi pustaka dengan langkah sebagai
berikut, yaitu (1) mempelajari dan mengkaji tentang pelabelan
pada graf
path , graf sikel , dan graf bintang . (2) Mempelajari dan mengkaji tentang
pembentukan graf middle pada graf path , graf sikel , graf bintang
dan
pelabelan
nya.
Untuk menentukan hasil pelabelan
pada graf path , graf sikel
, dan graf bintang , terlebih dahulu membuktikan teorema-teorema yang ada.
Penelitian ini memberikan hasil dan kesimpulan bahwa
.
.
vii
viii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL.............................................................................................. i
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... ii
PERNYATAAN................................................................................................... iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN ....................................................................... iv
KATA PENGANTAR .......................................................................................... v
ABSTRAK .......................................................................................................... vii
DAFTAR ISI ...................................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ x
DAFTAR SIMBOL............................................................................................ xiii
BAB 1. PENDAHULUAN ................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ....................................................................................... 2
1.3 Batasan Masalah.......................................................................................... 2
1.4 Tujuan Penulisan ......................................................................................... 3
1.5 Manfaat Penulisan ...................................................................................... 3
1.6 Sistematika Penyusunan Skripsi ................................................................. 3
BAB 2. LANDASAN TEORI ............................................................................... 6
2.1 Graf ............................................................................................................. 6
2.2 Jenis-Jenis Graf ......................................................................................... 12
2.3 Fungsi (Pemetaan) ..................................................................................... 14
viii
ix
2.4 Pelabelan Graf ........................................................................................... 15
BAB 3. METODE PENELITIAN....................................................................... 18
3.1 Menentukan Masalah ................................................................................ 18
3.2 Perumusan Masalah .................................................................................. 18
3.3 Metode Pengambilan Data........................................................................ 19
3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah............................................................. 19
3.5 Penarikan Kesimpulan .............................................................................. 20
BAB 4. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ..................................... 21
4.1 Pelabelan
.................................................................................. 21
4.2 Pelabelan
pada Graf Khusus ..................................................... 23
4.2.1 Pelabelan
pada Graf Path
........................................... 23
4.2.2 Pelabelan
pada Graf Sikel
.......................................... 29
4.2.3 Pelabelan
pada Graf Bintang
..................................... 43
4.3 Graf Middle............................................................................................... 46
4.4 Pembentukan Graf Middle pada Graf Khusus .......................................... 47
4.4.1 Graf Middle dari Graf Path
......................................................... 47
4.4.2 Graf Middle dari Graf Sikel
........................................................ 56
4.4.3 Graf Middle dari Graf Bintang
................................................... 63
BAB 5. PENUTUP ............................................................................................. 68
5.1 Kesimpulan ............................................................................................... 68
5.2 Saran .......................................................................................................... 69
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 70
ix
x
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Graf dengan 5 titik dan 6 sisi ............................................................ 6
Gambar 2.2 Jalan , Jejak, Lintasan, dan Siklus dalam suatu Graf ........................ 9
Gambar 2.3
Graf bagian dari
Gambar 2.4 Graf terhubung
yang dibangun oleh
dan Graf tidak terhubung
Gambar 2.5 Graf tidak terhubung dengan
....... 10
............................. 11
komponen, yaitu
........... 11
Gambar 2.6 Graf Path
..................................................................................... 12
Gambar 2.7 Graf Sikel
................................................................................... 12
Gambar 2.8 Graf Lengkap
............................................................................. 13
Gambar 2.9 Graf Bintang
............................................................................... 14
Gambar 2.10 Pelabelan Titik pada Graf
.......................................................... 16
Gambar 2.11 Pelabelan Sisi pada Graf ............................................................ 16
Gambar 2.12 Pelabelan Total pada Graf
......................................................... 17
Gambar 4.1 Graf
............................................................................................ 23
Gambar 4.2 Graf
............................................................................................ 23
Gambar 4.3 Pelabelan
pada Graf Path dengan
......................... 27
Gambar 4.4 Pelabelan
pada Graf Path dengan
......................... 27
Gambar 4.5 Pelabelan
pada Graf Path dengan
......................... 28
Gambar 4.6 Pelabelan
pada Graf Path dengan
......................... 28
Gambar 4.7 Pelabelan
pada Graf Path dengan
......................... 28
Gambar 4.8 Pelabelan
pad Graf Path dengan
........................... 28
x
xi
Gambar 4.9 Pelabelan
pada Graf Path dengan
......................... 29
Gambar 4.10 Pelabelan
pada Graf Path
......................................... 29
Gambar 4.11 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
.............. 31
Gambar 4.12 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
.............. 33
Gambar 4.13 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
.............. 34
Gambar 4.14 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
........... 35
Gambar 4.15 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
, jika
maka
.................................................................................... 41
Gambar 4.16 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
, jika
maka
..................................................................................... 42
Gambar 4.17 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
maka
, jika
............................................................................. 42
Gambar 4.18 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
maka
, jika
,
........................................................................... 43
Gambar 4.19 Pelabelan
pada Graf Bipartit Lengkap
Gambar 4.20 Graf Bintang
dan pelabelan
................... 45
pada Graf Bintang
... 47
Gambar 4.21 Graf
dan Graf
................................................................. 50
Gambar 4.22 Graf
dan Graf
................................................................. 50
Gambar 4.23 Graf
Gambar 4.24 Graf
Gambar 4.25 Graf
Gambar 4.26 Graf
Gambar 4.27 Graf
dan Pelabelan
dan Graf
pada Graf
................................................................. 51
dan Pelabelan
dan Graf
................ 51
pada Graf
................ 51
................................................................. 52
dan Pelabelan
pada Graf
xi
................. 52
xii
Gambar 4.28 Graf
dan Graf
Gambar 4.29 Graf
Gambar 4.30 Graf
dan Pelabelan
dan Graf
Gambar 4.31 Pelabelan
Gambar 4.32 Graf
dan Graf
Gambar 4.35 Graf
Gambar 4.36 Graf
Gambar 4.37 Pelabelan
Gambar 4.38 Graf
Gambar 4.39 Pelabelan
Gambar 4.40 Graf
Gambar 4.41 Pelabelan
Gambar 4.42 Graf
Gambar 4.43 Graf
Gambar 4.44 Graf
Gambar 4.45 Pelabelan
.......................................... 59
.......................................... 61
.......................................... 62
.............................................................. 64
dan Pelabelan
dan Graf
................ 58
............................................................... 62
pada Graf
dan Graf
pada Graf
............................................................... 60
pada Graf
dan Graf
........................................... 55
................................................................ 59
pada Graf
dan Graf
........................................... 54
................................................................ 57
dan Pelabelan
dan Graf
................ 53
................................................................ 55
pada Graf
dan Graf
pada Graf
................................................................. 53
pada Graf
Gambar 4.33 Pelabelan
Gambar 4.34 Graf
................................................................. 53
pada Graf
................ 65
................................................................ 66
pada Graf
xii
........................................... 67
xiii
DAFTAR SIMBOL
: suatu graf
: graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi
: himpunan titik dari graf
: himpunan sisi dari graf
: jumlah titik dari graf
: jumlah sisi dari graf
: titik ke
: sisi ke
: derajat dari titik
: derajat minimum
: derajat maksimum
: anggota dari
: sama dengan
: tidak sama dengan
: lebih besar sama dengan
: lebih kecil sama dengan
: lebih besar dari
: lebih kecil dari
: kongruen
: himpunan bagian (subset)
: label tertinggi dari suatu titik pada graf
: graf lengkap dengan titik
: graf bipartit lengkap dengan dan banyaknya titik di kedua
partisi tersebut
: graf bintang dengan titik
: graf path dengan titik
: graf sikel dengan titik
: fungsi atau pemetaan
: graf middle pada graf
: himpunan titik graf middle pada graf
: graf middle dari graf path dengan titik
: graf middle dari graf sikel dengan titik
: graf middle dari graf bintang dengan titik
xiii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyaknya permasalahan dalam kehidupan sehari–hari mendorong
manusia untuk mencari solusi yang secara tidak langsung permasalahan tersebut
mendorong berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi. Matematika
merupakan salah satu yang banyak memberikan alternatif dalam menyelesaikan
permasalahan di segala bidang. Salah satu cabang matematika yang dapat
menyelesaikan suatu permasalahan adalah teori graf (Clipperton dkk., 2008:1).
Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun
1736 ketika mencoba membuktikan kemungkinan untuk melewati empat daerah
yang terhubung dengan tujuh jembatan di atas sungai Pregel di Konigsberg, Rusia
dalam sekali waktu. Pembuktian Euler tersebut ditulis dalam karya tulisnya yang
berjudul Solution problematis ad geometrian situs pertinensi. Masalah jembatan
Konigsberg tersebut dapat dinyatakan dengan istilah graf dalam menentukan
keempat daerah itu sebagai titik (vertex) dan ketujuh jembatan sebagai sisi (edge)
yang menghubungkan pasangan titik yang sesuai (Sutarno dkk., 2003: 58).
Pelabelan dari suatu graf adalah suatu pemetaan yang membawa setiap
elemen graf yaitu himpunan sisi (edge) atau himpunan titik (vertex) ke bilanganbilangan bulat positif, yang disebut label (Chang, 2000). Jika suatu pelabelan
hanya menggunakan domain berupa titik maka disebut pelabelan titik, dan apabila
1
2
domainnya berupa himpunan sisi maka disebut pelabelan sisi. Jika domainnya
berupa himpunan titik dan sisi maka disebut pelabelan total (total labeling).
Pelabelan
adalah pelabelan di mana dalam suatu graf jika terdapat
dua titik dengan jarak satu maka harus memiliki label dengan selisih
minimal 3, jika terdapat dua titik dengan jarak dua maka harus memiliki
label dengan selisih minimal 2, dan jika terdapat dua titik dengan jarak tiga
maka harus memiliki label dengan selisih
minimal 1 (Lingsheit, 2009).
Adapun graf khusus yang dibahas di sini antara lain yaitu graf path
, dan graf bintang
, graf sikel
(Griggs, 1992: 586).
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraikan di atas, maka permasalahan yang dapat dirumuskan
dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Bagaimana menentukan pelabelan
, dan graf bintang
pada graf path
?
2. Bagaimana cara menentukan graf middle dari graf path
graf bintang
, graf sikel
, dan pelabelan
, graf sikel
,
nya?
1.3 Pembatasan Masalah
1. Pelabelan
.
2. Graf khusus yang dibahas dalam penelitian ini meliputi graf path
sikel
, graf bintang
, dan graf middle.
, graf
3
1.4 Tujuan Penulisan
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Mengetahui pelabelan
bintang
pada graf path
, graf sikel
, dan graf
.
2. Mengetahui cara menentukan graf middle dari graf path
graf bintang
, dan pelabelan
, graf sikel
,
nya .
1.5 Manfaat Penulisan
Manfaat penelitian ini diantaranya adalah sebagai berikut.
a. Bagi Penulis
Memberikan pengalaman dan pengetahuan mengenai pelabelan
dan pembentukan graf middle pada beberapa graf khusus.
b. Bagi Pembaca
Dapat dijadikan sumbang saran bagi pembaca yang akan melakukan
penelitian pelabelan
.
c. Bagi Perpustakaan Jurusan Matematika
Dapat dijadikan sebagai tambahan referensi, sehingga dapat menambah
wawasan bagi mahasiswa.
1.6 Sistematika Penyusunan Skripsi
Sistematika penulisan skripsi ini secara garis besar terbagi menjadi tiga
bagian yaitu bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir skripsi.
4
(1) Bagian awal skripsi meliputi halaman sampul, halaman judul, pernyataan
keaslian tulisan, motto dan persembahan, kata pengantar, abstrak, daftar isi,
daftar gambar, daftar tabel dan daftar lampiran.
(2) Bagian isi skripsi secara garis besar terdiri dari lima bab, adalah sebagai
berikut.
BAB I : PENDAHULUAN
Dikemukakan latar belakang, permasalahan, pembatasan masalah,
tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penyusunan
skripsi.
BAB 2 : LANDASAN TEORI
Dikemukakan konsep-konsep yang dijadikan landasan teori sebagai
berikut: graf dan pelabelan graf.
BAB 3 : METODE PENELITIAN
Dikemukakan metode penelitian yang berisi langkah-langkah yang
ditempuh untuk memecahkan masalah yaitu: menentukan masalah,
perumusan masalah, metode pengambilan data, analisis dan
pemecahan masalah, serta penarikan kesimpulan.
BAB 4 : HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Dikemukakan hasil penelitian dan pembahasan yang berisi
pembahasan dari permasalahan yang berkaitan dengan pelabelan
dan pembentukan graf middle pada graf khusus.
5
BAB 5 : PENUTUP
Bagian penutup meliputi simpulan dan saran. Simpulan merupakan
hasil pembahasan bab-bab sebelumnya yang mencerminkan hasil
penlitian. Saran berupa anjuran atau rekomendasi.
(3) Bagian akhir skripsi meliputi daftar pustaka dan lampiran-lampiran dari
pembahasan yang telah dilakukan serta yang mendukung penulisan skripsi.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Graf
2.1.1 Definisi
Graf
adalah pasangan
, di mana
berhingga titik-titik (vertices) yang tak kosong dan
adalah himpunan
adalah himpunan sisi
(mungkin kosong), sedemikian sehingga setiap sisi (edge) di
pasangan tak berurutan dari titik-titik di
dengan
. Himpunan titik dari
, sedangkan himpunan sisi dinotasikan dengan
adalah
dinotasikan
(Budayasa,
2007: 1).
Jumlah titik dari graf
disebut order graf
sedangkan jumlah sisi dari graf
dengan
yang dinotasikan dengan
disebut size graf
yang dinotasikan
. Gambar di bawah ini contoh graf dengan 5 titik dan 6 sisi.
Contoh :
Gambar 2.1 Graf dengan 5 titik dan 6 sisi
6
7
Dalam sebuah graf, seperti terlihat pada Gambar 2.1, dimungkinkan
adanya suatu sisi yang dikaitkan dengan pasangan
ujungnya sama disebut loop/gelang. Pada Gambar 2.1, sisi
. Sisi yang dua titik
merupakan sebuah
loop. Dalam sebuah graf dimungkinkan adanya lebih dari satu sisi yang dikaitkan
dengan sepasang titik. Pada Gambar 2.1, sisi
pasangan titik
dan sisi
dikaitkan dengan
. Menurut Sutarno dkk. (2003: 60), pasangan sisi semacam
ini disebut sisi-sisi pararel/sejajar atau sisi rangkap. Sebuah graf yang tidak
memiliki loop dan tidak memiliki sisi rangkap disebut graf sederhana.
2.1.2 Definisi
Jika sebuah titik
merupakan titik ujung dari suatu sisi
disebut saling berinsidensi atau titik
, maka
dan
terkait (incident) dengan sisi
(Sutarno dkk., 2003: 60).
Contoh :
Pada Gambar 2.1 di atas, sisi
dengan titik
dan
adalah sisi-sisi yang terkait
.
2.1.3 Definisi
Dua sisi yang tidak pararel disebut bertetangga (adjacent), bila kedua sisi
tersebut terkait dengan titik yang sama. Selain itu, dua buah titik disebut
bertetangga jika kedua titik tersebut merupakan titik-titik ujung dari sisi yang
sama (Sutarno dkk., 2003: 60).
8
Contoh :
dan
dalam Gambar 2.1, merupakan dua sisi yang bertetangga.
Dalam Gambar 2.1,
titik
dan
dan
adalah dua titik yang saling bertetangga, sedangkan
merupakan dua titik yang tidak saling bertetangga.
2.1.4 Definisi
Jumlah atau banyaknya sisi yang terkait dengan suatu titik
(loop
dihitung dua kali), disebut derajat (degree) dari titik tersebut dinotasikan
.
Derajat suatu titik sering juga disebut valensi dari titik tersebut. Derajat minimum
dari graf
dinotasikan dengan
dengan
(Siang, 2002: 205).
dan derajat maksimumnya dinotasikan
Contoh :
Pada Gambar 2.1, terlihat bahwa untuk setiap titik
adalah
,
dan
,
di
,
derajat titiknya
. Sehingga
.
2.1.5 Definisi
Misalkan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk) di
berhingga (tak kosong)
yang suku-sukunya bergantian
titik dan sisi, sedemikian sehingga
. Titik
dan
Sedangkan titik-titik
dan
adalah titik-titik akhir sisi
, untuk
berturut-turut disebut titik awal dan titik akhir
disebut titik-titik internal dari
jalan
adalah banyaknya sisi dalam
jalan
berbeda, maka
dalam jalan
adalah barisan
. Jika semua sisi
.
. Panjang dari
dalam
disebut jejak (trail). Jika semua titik
juga berbeda, maka
disebut sebuah lintasan (path). Sebuah
9
jalan
disebut tertutup, jika titik awal dan titik akhir dari
sama. Jejak tertutup
disebut sirkuit. Sirkuit yang titik awal dan titik internalnya berlainan disebut
siklus (cycle). Siklus dengan
titik dinotasikan dengan
(Sutarno dkk., 2003:
65).
Contoh :
Gambar 2.2 Jalan, Jejak, Lintasan, dan Siklus dalam suatu Graf
Jalan :
Jalan tertutup :
.
Jejak :
.
Jejak tertutup :
.
Lintasan :
.
Siklus :
.
2.1.6 Definisi
Sebuah graf
dan
disebut graf bagian dari graf
. Jika
graf bagian rentang (spanning subgraf) dari
dan
, ditulis
, maka
(Budayasa, 2007: 5).
, jika
disebut
10
Contoh :
Gambar 2.3
Graf Bagian dari
Graf bagian dari
yang dibangun oleh
yang himpunan titiknya adalah
sisi
yang dibangun oleh
yang dibangun oleh
adalah
adalah sebuah graf bagian dari
Pada Gambar 2.3, graf
adalah graf
, sedangkan graf bagian dari
adalah sebuah graf bagian dari
yang himpunan sisinya
dan himpunan titiknya beranggotakan semua titik
Pada Gambar 2.3, graf
.
dan himpunan sisinya beranggotakan semua
yang mempunyai titik-titik akhir di
bagian dari graf
sisi
yang dibangun oleh
adalah graf bagian dari graf
yang terkait dengan
yang dibangun oleh
.
2.1.7 Definisi
Sebuah graf
dua titik
dikatakan terhubung (connected graph) jika untuk setiap
yang berbeda terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan kedua
titik tersebut. Sebaliknya graf
(Rosen, 2003: 570).
disebut tidak terhubung (disconnected graph)
11
Contoh :
Gambar 2.4 Graf terhubung
dan Graf tidak terhubung
2.1.8 Definisi
Sebuah komponen graf
(titik dan sisi) dari . Graf
adalah sebuah graf bagian terhubung maksimal
dikatakan graf bagian terhubung maksimal dari graf
, jika tidak ada graf bagian lain dari
yang terhubung dan memuat
. Jadi
setiap graf terhubung memiliki tepat satu komponen sedangkan graf tak terhubung
memiliki paling sedikit dua komponen (Budayasa, 2007: 8).
Contoh :
Gambar 2.5 Graf tidak terhubung dengan
komponen, yaitu
12
2.2 Jenis-jenis Graf
2.2.1 Definisi
Graf path adalah graf sederhana yang terdiri dari lintasan tunggal. Graf
path dengan
titik dinotasikan dengan
.
memiliki
sisi (Budayasa,
2007: 6).
Contoh :
Gambar 2.6 Graf Path
2.2.2 Definisi
Graf sikel adalah graf sederhana yang terdiri dari sebuah sikel tunggal dan
setiap titiknya berderajat dua. Graf sikel dengan
Jika titik-titik pada
titik dinotasikan dengan
adalah
,
maka sisi-sisinya adalah
. Dengan kata lain, ada sisi dari titik
terakhir,
ke titik pertama,
(Rosen, 2003: 548).
Contoh :
Gambar 2.7 Graf Sikel
13
2.2.3 Definisi
Misalkan
adalah sebuah graf sederhana. Jika untuk
setiap pasang titik
maka
dan
di
terdapat sebuah sisi yang menghubungkannya,
disebut graf lengkap. Graf lengkap dengan
titik dinotasikan dengan
(Sutarno dkk, 2003: 82).
Contoh :
Gambar 2.8 Graf Lengkap
2.2.4 Definisi
Graf Bintang
bintang memiliki
jika
adalah graf bipartit lengkap yang berbentuk
titik (Huda, 2012: 32). Sebuah graf
(himpunan titik dari graf
. Graf
disebut graf bipartit
) dapat dipartisi menjadi dua himpunan
bagian
dan
sedemikian sehingga setiap sisi dari
titik di
dan sebuah titik di . Dinotasikan
menghubungkan sebuah
bipartit dari
(Sutarno dkk,
2003: 84).
Apabila
sederhana dan bipartit dengan partisi
sehingga setiap titik di
adjacent dengan setiap titik di , maka
sedemikian
disebut graf
14
bipartit lengkap, dinotasikan dengan
dengan
dan
adalah banyaknya titik
di kedua partisi tersebut.
Contoh :
Gambar 2.9 Graf Bintang
2.3 Fungsi (Pemetaan)
2.3.1 Definisi
Misalkan
dan
merupakan himpunan tidak kosong, maka cross product
dari dua buah himpunan
dan
himpunan semua pasangan terurut
yang dinotasikan dengan
dengan
dan
adalah
yaitu
Contoh :
Diberikan
dan
, maka
dan
. Dari hasil
dan
didapat bahwa
.
2.3.2 Definisi
Misalkan
dan
adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara
atau aturan yang memasangkan setiap elemen dari himpunan
dengan tepat satu
15
elemen di himpunan
disebut pemetaan dari himpunan
Pemetaan dari himpunan
ke himpunan
ke himpunan
diberi notasi , yaitu
.
. Secara
umum pemetaan digolongkan menjadi tiga golongan.
2.3.3 Definisi
Pemetaan
semua elemen di
sehingga
adalah pemetaan surjektif jika range dari
, dengan kata lain jika untuk setiap
adalah
terdapat
(Bartle & Sherbert, 1994:13).
2.3.4 Definisi
Menurut Bartle & Sherbert (1994:13) sebuah pemetaan
dikatakan injektif (one-one) jika dan hanya jika
untuk semua
maka
,
.
2.3.5 Definisi :
Jika f merupakan pemetaan yang surjektif dan sekaligus injektif maka
f disebut pemetaan bijektif (Bartle & Sherbert, 1994:13).
2.4 Pelabelan Graf
2.4.1 Definisi
Hasil penelitian Budiasti (2010) mengatakan bahwa pelabelan pada suatu
graf adalah pemetaan (fungsi) yang memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi)
dengan bilangan (biasanya bilangan bulat positif). Jika domain dari pemetaan
16
adalah titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik (vertex labeling). Jika
domainnya adalah sisi, maka disebut pelabelan sisi (edge labeling), dan jika
domainnya titik dan sisi, maka disebut pelabelan total (total labeling).
Contoh :
Diberikan graf
sebagai berikut.
Didefinisikan
Gambar 2.10 Pelabelan Titik pada Graf
Contoh :
Diberikan graf
sebagai berikut.
Didefinisikan
.
Gambar 2.11 Pelabelan Sisi pada Graf
17
Contoh :
Diberikan graf
sebagai berikut.
Didefinisikan
Gambar 2.12 Pelabelan Total pada Graf
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini metode atau langkah-langkah yang digunakan adalah
sebagai berikut.
3.1 Menemukan Masalah
Dalam tahap ini dicari sumber pustaka dan dipilih bagian dari sumber
pustaka sebagai suatu masalah. Penulis mencari berbagai macam sumber pustaka
yang berhubungan dengan pelabelan
meliputi graf path
, graf sikel
, graf middle, dan graf khusus yang
, dan graf bintang
. Kemudian menyeleksi
untuk ditetapkan sebagai suatu masalah yang harus diselesaikan.
3.2 Merumuskan Masalah
Masalah yang ditemukan kemudian dirumuskan kedalam pertanyaan
yang harus diselesaikan yaitu:
(1)
Bagaimana menentukan pelabelan
, dan graf bintang
(2)
pada graf path
.
Bagaimana menentukan graf middle dari graf path
bintang
, graf sikel
, dan pelabelan
nya.
18
, graf sikel
, graf
19
3.3 Metode Pengambilan Data
Pada penelitian ini metode atau langkah-langkah yang digunakan adalah
sebagai berikut.
1) Studi Pustaka
Dalam langkah ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka tentang
pelabelan
, graf sikel
, graf middle, dan graf khusus yang meliputi graf path
, dan graf bintang
dengan cara mencari referensi dari
buku-buku dan jurnal yang berkaitan dengan pelabelan
middle, dan graf khusus yang meliputi graf path
bintang
, graf
, graf sikel
, dan graf
sehingga didapatkan suatu ide mengenai bahan dasar
pemecahan masalah.
2) Dokumentasi
Metode pengumpulan data dengan cara dokumentasi dilakukan penulis
dengan mengambil atau melihat langsung data-data dari internet yang terupdate. Misalnya dengan cara mencarinya di situs www.google.com dengan
menggunakan kata kunci pelabelan
yang meliputi graf path
, graf sikel
, graf middle, dan graf khusus
, dan graf bintang
.
3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah
Dari berbagai sumber pustaka yang sudah menjadi bahan kajian, diperoleh
suatu pemecahan masalah di atas. Selanjutnya dilakukan langkah-langkah
pemecahan masalah sebagai berikut.
20
1.
Memahami definisi pelabelan
2.
Membuktikan Lemma dan Teorema yang ada pada graf path
, dan graf bintang
3.
pada graf path
, graf sikel
, dan graf
.
4.
Memahami definisi graf middle.
5.
Membentuk graf middle dari graf path
6.
Memberikan pelabelan
path
, graf sikel
.
Memberikan pelabelan
bintang
.
, graf sikel
, graf sikel
, dan graf bintang
.
pada graf middle yang dibentuk dari graf
, dan graf bintang
.
3.5 Penarikan Kesimpulan
Tahap ini merupakan tahap terakhir dalam metode penelitian. Penarikan
kesimpulan dari permasalahan diperoleh dari hasil langkah pemecahan masalah
yang dirumuskan berdasarkan studi pustaka dan pembahasannya.
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pelabelan
4.1.1 Definisi
Berdasarkan hasil penelitian Clipperton dkk., (2005:1) dan Chia, (2011:
2439) jika diketahui graf
adalah fungsi
. Maka pelabelan
, dengan
pada graf
berlaku
4.1.2 Definisi
Jika terdapat titik
dan
di dalam graf , maka jarak antara titik
adalah banyaknya sisi yang dilewati dari titik
pelabelan
, disimbolkan
sedemikian sehingga
memiliki pelabelan
maksimum. Sebuah pelabelan
minimal dari
, dari graf
dari graf
menuju titik
dan
. Bilangan
adalah bilangan asli terkecil
dengan
sebagai label
disebut pelabelan
jika label tertinggi dari sembarang titik dalam pelabelan itu adalah
(Yeh, 2006: 1218).
Jika
tidak digunakan sebagai label titik dalam suatu pelabelan
dari sebuah graf, maka setiap label titik dapat diturunkan
pelabelan
dari sebuah graf. Jadi dalam pelabelan
harus digunakan sebagai label titik.
18
untuk memperoleh
minimal,
19
Gambar 4.1 Graf
Pada gambar 4.1 dijelaskan tentang pelabelan
. Pertama, beri label 1 pada suatu titik misalkan titik
pada suatu graf
. Karena titik
dan
berjarak satu maka harus diberikan label dengan selisih minimal tiga, misalkan
titik
diberi label . Sedangkan pada titik
dan
berjarak dua maka harus
diberikan label dengan selisih minimal dua, misalkan titik
karena pada titik
dan
minimal satu, maka titik
graf
adalah
dan
diberi label 7,
berjarak tiga maka harus diberikan label dengan selisih
diberi label
. Sehingga diperoleh label terkecil pada
.
Gambar 4.2 Graf
20
Pada Gambar 4.2 dijelaskan tentang pelabelan
. Pertama, beri label
pada suatu titik misalkan titik
pada suatu graf
. Karena titik
dan
berjarak satu maka harus diberikan label dengan selisih minimal tiga, misalkan
titik
diberi label . Karena titik
label . Sedangkan titik
dan
dan
berjarak satu maka titik
berjarak dua maka harus diberikan label dengan
selisih minimal dua, misalkan titik
diberi label
berjarak dua maka titik
. Sedangkan titik
diberi label
. Karena titik
dan
dan
berjarak tiga
maka harus diberikan label dengan selisih minimal satu, misalkan titik
label
dan karena titik
dan
berjarak satu maka titik
Sehingga diperoleh label terkecil pada graf
4.2 Pelabelan
diberi
adalah
diberi
diberi label
dan
.
.
pada Graf Khusus
4.2.1 Pelabelan
pada Graf Path
Berikut ini akan dibahas Lemma 4.2.1.1 untuk membuktikan teorema
4.2.1.2.
Lemma 4.2.1.1
Untuk setiap graf path pada
, maka
titik yang dinotasikan dengan
, dengan
.
Bukti :
Misalkan
adalah pelabelan
titik yang dinotasikan dengan
dan andaikan
minimal untuk graf path pada
untuk
. Misalkan
merupakan titik dengan label . Di sana dimasukan subpath paling sedikit
21
titik dengan
sebagai titik pertama. Misalkan
merupakan graf path. Selanjutnya akan dihitung kemungkinan untuk
Kasus I :
Jika dimisalkan
dan
kontradiksi dengan yang diasumsikan bahwa
, maka
.
Kasus II :
Jika dimisalkan
, maka kontradiksi dengan yang diasumsikan
bahwa
Kasus III :
Jika dimisalkan
diasumsikan bahwa
, maka kontradiksi dengan yang
.
Kasus IV :
Jika dimisalkan
memberi
atau . Keduanya mungkin untuk
, yang mana kontradiksi dengan
dengan
Hal ini dapat
dilihat bahwa jika diambil
dan
maka kontradiksi. Jika diambil
dan
maka kontradiksi juga.
Oleh karena itu, dapat diambil kesimpulan bahwa
jika
Teorema 4.2.1.2
Untuk setiap graf path, yang dinotasikan dengan
, maka
,
22
Bukti :
Misalkan
merupakan himpunan dari titik pada
sedemikian sehingga
berdekatan dengan
untuk
Didefinisikan
sedemikian sehingga
jika
dan
(mod8). Menurut definisi dari
untuk
dan berdasarkan Lemma 4.2.1.1 maka
.
Untuk setiap
dengan
, maka akan diproses beberapa kasus dengan
menggunakan pola pelabelan yang didefinisikan oleh
setiap
dan dapat dilihat bahwa
merupakan subpath yang tereduksi dari
dengan
.
Kasus I :
Ini adalah kasus trivial.
Kasus II :
.
Pola pelabelan
menunjukkan bahwa
karena tidak ada
penyelesaian yang lebih baik dari pada itu.
Kasus III :
Akan ditunjukan bahwa pola pelabelan dari
adalah
Andaikan
sehingga
Jika
sedemikian sehingga
memiliki derajat
Terdapat titik
memiliki derajat , maka titik
dan
, misalkan
.
sedemikian
dan
ada
sehingga kontradiksi. Jika
, maka kemungkinan untuk
dan . Dalam salah satu kasus, diketahui
yang diasumsikan bahwa
untuk
adalah
maka kontradiksi dengan
23
Kasus IV :
Akan ditunjukkan bahwa pola pelabelan dari
adalah
. Andakain
sehingga
dan titik
. Terdapat titik
dan
ada atau
menghilangkan sifat umum, andaikan
adalah
dan
untuk
dan
Jika
dan
Jika
, maka
satunya kemungkinan untuk
, sehingga
. Jika
memiliki derajat
memiliki derajat
ada. Tanpa
ada. Kemungkinan untuk
kontradiksi dengan yang diasumsikan bahwa
Selanjutnya, jika
sedemikian
maka titik
adalah
, maka
dan
maka
ada dan
ada. Satu-
. Tetapi dengan memasukkan
maka kontradiksi dengan yang diasumsikan bahwa
Pada gambar berikut ini akan diberikan contoh pelabelan
.
pada
graf path yang berdasarkan pada Lemma 4.2.1.1 dan Teorema 4.2.1.2.
Contoh :
Misalkan, suatu graf path dengan titik
maka
yang dinotasikan dengan
.
Gambar 4.3 Pelabelan
pada Graf Path dengan
Contoh :
Misalkan, suatu graf path dengan titik
maka
yang dinotasikan dengan
,
24
Gambar 4.4 Pelabelan
pada Graf Path dengan
Contoh :
Misalkan, suatu graf path dengan titik
dengan
dan
, maka
atau
yang dinotasikan
dan
6
Gambar 4.5 Pelabelan
pada Graf Path dengan
4
Gambar 4.6 Pelabelan
pada Graf Path dengan
Contoh :
Misalkan, suatu graf path dengan titik
dengan
dan
, maka
atau
yang dinotasikan
dan
6
7
Gambar 4.7 Pelabelan
pada Graf Path dengan
25
Gambar 4.8 Pelabelan
pad Graf Path dengan
2
Gambar 4.9 Pelabelan
pada Graf Path dengan
Contoh :
Misalkan terdapat graf path dengan titik
maka
, yang dinotasikan dengan
Selanjutnya pada Gambar 4.10 dijelaskan tentang pelabelan
pada graf path
. Karena titik
dan
Pertama, beri label 1 pada suatu titik misalkan titik
berjarak satu maka harus diberikan label dengan selisih
minimal tiga, misalkan titik
maka titik
diberi label . Karena titik
diberi label . Sedangkan pada titik
dan
dan
berjarak dua maka
harus diberikan label dengan selisih minimal dua, misalkan titik
Karena titik
dan
dan
berjarak satu maka titik
berjarak satu maka titik
berjarak dua maka titik
karena pada titik
.
dan
berjarak satu
diberi label .
diberi label . Karena titik
diberi label . Sedangkan pada titik
diberi label . Kemudian untuk titik
berjarak satu.
dan
diberi label
26
7
Gambar 4.10 Pelabelan
4.2.2 Pelabelan
pada Graf Path
pada Graf Sikel
Lemma 4.2.2.1
Misalkan
adalah bilangan bulat ganjil, jika
Misalkan
adalah pelabelan
maka
.
Bukti :
bilangan ganjil dan
mungkin dengan
minimal dari
. Andaikan
di mana
adalah
Maka hanya pelabelan yang
sebagai bilangan bulat maksimum adalah sebagai berikut:
dan
Dapat dilihat bahwa
Dari pelabelan sisa
sikel karena label
dan
dan
adalah pelabelan untuk sikel genap.
semua gagal sebagai pelabelan pada
yang hilang harus lebih besar daripada yang diasumsikan
. Oleh karena itu, tidak ada pelabelan
pada
dengan
ganjil dan
sedemikian sehingga
minimal yang berada
27
Lemma 4.2.2.2
Untuk setiap graf sikel dengan
maka
.
Bukti :
Akan ditunjukkan bahwa pola pelabelan dari
Kemudian, misalkan
adalah pelabelan
. Diberikan
berdekatan dengan
adalah
minimal dari
sedangkan
dan
.
dan andaikan
adalah dua titik yang
. Maka kemungkinan untuk
)} adalah
.
Kasus I :
Jika misalkan
bahwa
maka kontradiksi dengan yang diasumsikan
Jika diambil
karena selisih label pada titik
Kasus II : {
maka tidak memenuhi definisi 4.1.1
dan
atau
Jika dimisalkan
bahwa
hanya 1.
maka kontradiksi dengan yang diasumsikan
Jika diambil
karena selisih label pada titik
maka tidak memenuhi definisi 4.1.1
dan
hanya 1. Oleh karena itu
Contoh :
Gambar 4.11 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
.
28
Lemma 4.2.2.3
Untuk setiap graf sikel dengan
maka
Bukti :
Dari teorema 4.2.1.2 dapat diketahui bahwa
Misalkan
adalah pelabelan
Diberikan
dengan
minimal dari
dan misalkan
dan
karena
dan andaikan
adalah dua titik yang berdekatan
. Maka kemungkinan untuk
adalah
dan
Kasus I :
Jika dimisalkan
maka kontradiksi dengan yang diasumsikan
bahwa
Kasus II :
atau
Jika dimisalkan
:
maka kontradiksi dengan yang diasumsikan
bahwa
Karena
tidak mungkin terjadi, maka didapatkan
Menurut Lemma 4.2.2.1 untuk sikel ganjil, dapat dilihat bahwa
diperoleh
Sehingga, pola pelabelan
Oleh karena itu
.
Maka
menunjukkan bahwa
29
Contoh :
Gambar 4.12 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
Lemma 4.2.2.4
Untuk graf sikel dengan
maka
Bukti :
Akan ditunjukkan bahwa pola pelabelan dari
. Misalkan
andaikan
adalah pelabelan
Diberikan
titik yang berdekatan dengan
, dan
adalah
minimal dari
, dan misalkan
dan
. Maka kemungkinan untuk
dan
adalah dua
adalah
.
Kasus I :
Jika dimisalkan
dan
Untuk
diketahui
,
maka kontradiksi dengan
Kasus II :
atau
Jika dimisalkan
bahwa
Oleh karena itu
maka kontradiksi dengan yang diasumsikan
.
30
Contoh :
Gambar 4.13 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
Lemma 4.2.2.5
Untuk graf sikel dengan
maka
Misalkan
adalah himpunan titik dari
Bukti :
dan misalakan
kemungkinan nilai pada
adalah pelabelan
nilai untuk
minimal dari
berada di dalam
terbesar antara dua titik yang berada di dalam
. Andaikan
, maka
Karena jarak
adalah , tidak ada kemungkinan
dapat diulangi. Serta, hanya sampai dua label berurutan yang
mungkin dipergunakan. Jika mempergunakan tiga label berurutan itu tidak
mungkin karena terdapat pembatas jarak pada pelabelan
ada
label yang dapat digunakan dari
menjadi berlabel dengan nilai yang
diasumsikan bahwa
pelabelan
. Maka paling banyak
, seharusnya titik yang tak berlabel
, sehigga kontradiksi dengan yang
Dengan demikian
menunjukkan bahwa
Sehingga, pola
Oleh karena itu,
31
Contoh :
1
Gambar 4.14 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
Selanjutnya, untuk membuktikan Teorema 4.2.2.9 bahwa setiap graf sikel
dengan
, jika
genap maka
atau jika
ganjil maka
, maka diperlukan Lemma 4.2.2.6 dan Lemma 4.2.2.7.
Lemma 4.2.2.6
Misalkan
adalah bilangan bulat genap. Jika
bilangan bulat non negatif
dan
, maka terdapat
sedemikian sehingga
.
Bukti :
Misalkan
genap. Maka
Kasus I :
dan
(mod
atau
(mod
adalah bilangan bulat
. Andaikan bahwa
(mod ) :
Jika terdapat bilangan bulat
Ini meliputi
sedemikian sehingga
di mana
dan
. Karena
. Maka,
.
32
Kasus II :
(mod ) :
Jika terdapat bilangan bulat
meliputi
. Karena
Maka
sedemikian sehingga
dan
(mod ), didapatkan
Dari ini, terdapat bahwa
dan
Ini
.
di mana
Maka,
Oleh karena itu, jika
adalah bilangan bulat genap dan
terdapat bilangan bulat non negatif
dan
maka
sedemikian sehingga
Contoh :
Misalkan
genap. Jika
dan
adalah bilangan bulat
, maka terdapat bilangan bulat non negatif
dan
sedemikian
sehingga
Sehingga diperoleh
Lemma 4.2.2.7
Misalkan
adalah bilangan bulat ganjil. Jika
terdapat bilangan bulat non negatif
dan
dan
sedemikian sehingga
, maka
33
Bukti :
Misalkan
ganjil. Maka
dan
(mod ) atau
Kasus I :
adalah bilangan bulat
(mod ). Andaikan
dan
.
(mod ) :
Jika terdapat bilangan bulat
meliputi bahwa
sedemikian sehingga
. Karena
mengimplikasikan bahwa
didapatkan
di mana
dan
. Ini
Ini
Maka,
.
Kasus II :
(mod ) :
Jika terdapat bilangan bulat
sedemikian sehingga
mengimplikasikan bahwa
(mod
Karena
, didapatkan
mana
dan
Oleh karena itu, jika
dan
maka
Maka
Ini
dan
Karena
di
maka
adalah bilangan bulat ganjil sedemikian sehingga
di mana
dan
bilangan bulat non
negatif.
Contoh :
Misalkan
ganjil. Jika
dan
dan
sedemikian sehingga
adalah bilangan bulat
maka terdapat bilangan bulat non negatif
dan
34
Sehingga diperoleh
Sebelum membahas teorema 4.2.2.9 kita akan bahas terlebih dahulu
teorema yang mendukung teorema 4.2.2.9.
Teorema 4.2.2.8
Untuk setiap graf lengkap pada
titik, maka
.
Bukti :
Misalkan
adalah suatu graf lengkap dengan
dan
untuk semua
adalah pelabelan
minimal dari
. Kemudian, untuk setiap
, sedemikian sehingga
sedemikian sehingga
adalah pelabelan
dengan
minimal dari
dan
Dengan demikian,
untuk setiap
dalam
dengan
dan
maka
Karena terdapat
Begitu juga, karena
, sedemikian sehingga untuk setiap
Secara rekursif, maka akan diperoleh :
di
35
.
Oleh karena itu,
Teorema 4.2.2.9
Untuk setiap graf sikel,
dengan
maka
Bukti :
Misalkan
dan
adalah titik dari
sehingga untuk
dan
sedemikian
adalah sisi dalam
Kasus
berikut ini menggambarkan semua kemungkinan pada
Kasus I :
Dapat dilihat bahwa
adalah graf lengkap. Oleh karena itu, berdasarkan
Teorema 4.2.2.8 untuk graf lengkap, maka
Kasus II :
genap :
Diketahui
menurut Lemma 4.2.2.2 dan
menurut
Lemma 4.2.2.4. Berdasarkan Teorema 4.2.1.2 pada graf path menunjukkan bahwa
untuk
. Maka untuk setiap graf sikel yang genap,
Mengingat pelabelan yang digunakan untuk
dan
Lemma 4.2.2.4, secara berturut-turut yaitu: untuk
dan untuk
digunakan
pada Lemma 4.2.2.2 dan
digunakan
Dapat dilihat bahwa
36
pelabelan yang digunakan untuk
dengan
dapat diulang secara tak terbatas untuk setiap
perkalian dari . Demikian juga, pelabelan yang digunakan untuk
dapat diulang secara tak terbatas untuk setiap
itu, pelabelan dari
dan
dengan
perkalian dari . Selain
dapat digabung bersama menjadi label
berikut :
seperti
Berdasarkan Lemma 4.2.2.6, dapat
diketahui bahwa setiap bilangan bulat genap yang lebih besar dari atau sama
dengan
dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari perkalian non negatif dari
dan . Dari hal ini, jelas bahwa pelabelan dari setiap
yang genap tersusun dari
kombinasi yang berasal dari perkalian non negatif pada pola pelabelan
Oleh karena itu,
untuk setiap
Kasus III : ganjil dan
dan
.
genap.
atau
Berdasarkan Lemma 4.2.2.3 diketahui bahwa
bardasarkan Teorema 4.2.1.2 untuk graf path diketahui bahwa
karena
kemudian
untuk
dan bardasarkan Lemma 4.2.2.1 diketahui bahwa
untuk graf sikel ganjil. Ini mengimplikasikan bahwa untuk setiap graf
sikel ganji
. Dalam Lemma 4.2.2.3,
Dapat dilihat bahwa pelabelan dari
setiap
dengan
dapat diulang secara tak terbatas untuk
perkalian dari . Serta dapat dikombinasikan pelabelan untuk
dengan pelabelan untuk
label
dilabeli dengan
seperti berikut :
yang digunakan dalam Lemma 4.2.2.2 menjadi
Berdasarkan Lemma 4.2.2.7 dapat
diketahui bahwa setiap bilangan bulat ganjil yang lebih besar dari atau sama
dengan , dengan pengecualian 11, dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi dari
perkalian non negatif dari
dan . Ini mengimplikasikan bahwa setiap
, dengan
37
dan
terdiri dari kombinasi yang berasal dari perkalian non negatif
pada
dan
. Oleh sebab itu, karena
setiap
, dimana
dan
. Untuk
diperoleh
untuk
dapat diketahui bahwa
(berasal dari Lemma 4.2.2.2 dan Lemma 4.2.2.5). Didefinisikan
sedemikian sehingga
untuk
. Karena max
Kasus IV :
Berdasarkan Lemma 4.2.2.5, maka diperroleh
Contoh :
Untuk setiap graf sikel yang dinotasikan dengan
maka
, dengan
, jika
.
Gambar 4.15 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
, jika
maka
Contoh :
Untuk setiap graf sikel yang dinotasikan dengan
genap maka
. Misalkan
maka
, dengan
.
, jika
38
Gambar 4.16 Pelabelan
pada Graf Sikel dengan
, jika
maka
Contoh :
Untuk setiap graf sikel yang dinotasikan dengan
ganjil dan
atau
maka
Gambar 4.17 Pelabelan
, dengan
, jika
maka
pada Graf Sikel dengan
maka
, jika
39
Contoh :
Misalkan untuk setiap graf sikel yang dinotasikan dengan
, jika
, dengan
maka
Selanjutnya pada Gambar 4.18 pelabelan
pada graf sikel
Pertama, beri label 1 pada suatu titik misalkan titik
. Karena titik
tiga, misalkan titik
dan
berjarak satu maka harus diberi label dengan selisih
diberi label . Karena titik
titik
diberi label . Karena titik
label
. Sedangkan pada titik
dan
dan
karena pada titik
dan
Gambar 4.18 Pelabelan
berjarak satu maka
berjarak satu maka titik
diberi
berjarak tiga maka harus diberi label
dengan selisih minimal satu, misalkan titik
berjarak tiga maka titik
dan
diberi label . Karena titik
diberi label 5. Kemudian untuk titik
dan
diberi label
berjarak tiga.
pada Graf Sikel dengan
maka
, jika
,
40
4.2.3 Pelabelan
pada Graf Bintang
Teorema 4.2.3.1
Untuk setiap graf bipartit lengkap
, maka
Bukti :
Misalkan
adalah suatu graf bipartit lengkap, yang
dinotasikan dengan
. Graf ini memiliki
dan
titik dan
sisi. Misalkan
.
Akan dibuktikan bahwa titik label pada himpunan
Teorema 4.2.3.1. Misalkan
adalah pelabelan
dan
memenuhi
minimal dari
dan
untuk setiap
pasangan dari titik di dalam
. Misalkan
.
dengan
yaitu
dengan
.
berdekatan dengan setiap
. Sehingga diperlukan
, maka
. Kemudian, karena
, maka
Oleh karena itu,
minimal sehingga diperoleh
titik
adalah
. Pelabelan pada
berikut sama dengan pelabelan pada titik
maka diperlukan
dengan
menjadi ganjil karena
adalah minimal. Dengan demikian,
Karena setiap
Jika
maka sama halnya untuk
untuk setiap
maka tiap
dengan
yaitu : karena
untuk menjadi genap. Dengan demikian,
.
Sehingga
. Oleh karena itu
diperoleh
.
41
Contoh :
Pada Gambar 4.19 berikut ini akan diberikan contoh pelabelan
pada graf bipartit lengkap. Misalkan terdapat graf bipartit lengkap dengan titik
dan
yang dinotasikan dengan
, maka
. Selanjutnya akan dijelaskan tentang pelabelan
lengkap
dan
pada graf bipartit
. Pertama, beri label 1 pada suatu titik misalkan titik
. Karena titik
berjarak dua maka harus diberikan label dengan selisih minimal dua,
misalkan titik
diberi label . Karena titik
dan
berjarak dua maka titik
diberi label . Karena titik
dan
Sedangkan pada titik
berjarak satu maka harus diberikan label dengan
dan
berjark dua maka titik
selisih minimal tiga, misalkan titik
diberi label
karena pada titik
Gambar 4.19 Pelabelan
diberi label
dan
diberi label .
. Kemudian untuk titik
berjarak dua.
pada Graf Bipartit Lengkap
42
Akibat 4.2.3.2
Untuk graf bintang atau
, maka
.
Bukti :
Menurut definisi, graf bintang atau
berbentuk
. Oleh karena itu,
adalah graf bipartit lengkap yang
.
Contoh :
Pada gambar 4.20 berikut ini akan diberikan contoh pelabelan
pada graf bintang. Misalkan terdapat graf bintang dengan titik
dinotasikan dengan
atau
, maka
dijelaskan tentang pelabelan
pada suatu titik misalkan titik
. Selanjutnya akan
pada graf bintang
. Karena titik
dan
. Pertama, beri label
berjarak satu maka harus
diberikan label dengan selisih minimal tiga, misalkan titik
Sedangkan pada titik
dan
titik
dan
diberi label
diberi label
diberi label . Karena titik
. Kemudian untuk titik
berjarak dua.
diberi label
.
berjarak dua maka harus diberikan label dengan
selisih minimal dua, misalkan titik
berjarak dua maka titik
yang
. Karena titik
dan
diberi label
dan
berjarak dua maka
karena pada titik
43
Gambar 4.20 Graf Bintang
4.3
dan pelabelan
pada Graf Bintang
Graf Middle
Definisi 4.3.1
Graf middle pada graf
yang dinotasikan
adalah graf yang
himpunan titiknya adalah
. Dua
titik adjacent jika dan hanya jika:
(i)
adjacent dengan
dan sisi
(ii)
incident pada titik yang sama di graf .
adjacent dengan
incident dengan titik
4.4
karena sisi
karena sisi
(Vaidya & Bantva, 2010:104).
Pembentukan Graf Middle pada Graf Khusus
4.4.1 Graf Middle dari Graf Path
Berikut akan diberikan contoh pembentukan graf middle dari graf path
.
44
Contoh :
Graf path
mempunyai himpunan titik
dan himpunan sisi
. Graf middle dari graf
graf yang mempunyai himpunan titik
adalah
adjacent di
jadi himpunan titik
{
.
adjacent dengan
dan sisi
titik
karena sisi
incident di titik
adjacent dengan
dan sisi
karena sisi
incident di titik
adjacent dengan
dan sisi
karena sisi
incident di titik
adjacent dengan
dan sisi
(ii)
Dua
jika:
(i)
adalah
karena sisi
incident di titik
adjacent dengan
incident dengan titik
karena sisi
.
adjacent dengan
incident dengan titik
karena sisi
.
adjacent dengan
karena sisi
incident dengan titik
.
adjacent dengan
incident dengan titik
karena sisi
.
adalah
45
adjacent dengan
karena sisi
incident dengan titik
.
adjacent dengan
incident dengan titik
karena sisi
.
adjacent dengan
incident dengan titik
karena sisi
.
adjacent dengan
karena sisi
incident dengan titik
.
adjacent dengan
incident dengan titik
karena sisi
.
adjacent dengan
incident dengan titik
karena sisi
.
Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf path
ditunjukkan pada Gambar 4.21.
Gambar 4.21 Graf
dan Graf
yang
46
Pada gambar berikut ini akan diberikan contoh pelabelan
pada
graf middle yang dibentuk dari graf path berdasarkan definisi 4.3.1.
Contoh :
Misalkan, suatu graf path dengan titik
yang dinotasikan dengan
Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf path
.
yang ditunjukkan pada
Gambar 4.22.
Gambar 4.22 Graf
Pada Gambar 4.23 diberikan graf
graf
dan diperoleh
Gambar 4.23 Graf
Contoh :
dan Graf
, ditunjukkan pelabelan
.
dan Pelabelan
pada Graf
pada
47
Misalkan, suatu graf path dengan titik
yang dinotasikan dengan
Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf path
.
yang ditunjukkan pada
Gambar 4.24.
Gambar 4.24 Graf
dan Graf
Pada Gambar 4.25 diberikan graf
, ditunjukkan pelabelan
graf
.
dan diperoleh
Gambar 4.25 Graf
dan Pelabelan
pada
pada Graf
Contoh :
Misalkan, suatu graf path dengan titik
yang dinotasikan dengan
Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf path
Gambar 4.26.
.
yang ditunjukkan pada
48
Gambar 4.26 Graf
dan Graf
Pada Gambar 4.27 diberikan graf
, ditunjukkan pelabelan
graf
.
dan diperoleh
pada
7
12
Gambar 4.27 Graf
dan Pelabelan
pada Graf
Contoh :
Misalkan, suatu graf path dengan titik
yang dinotasikan dengan
Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf path
Gambar 4.28.
Gambar 4.28 Graf
dan Graf
.
yang ditunjukkan pada
49
Pada Gambar 4.29 diberikan graf
, ditunjukkan pelabelan
graf
.
dan diperoleh
Gambar 4.29 Graf
dan Pelabelan
pada
pada Graf
Contoh :
Misalkan, suatu graf path dengan titik
yang dinotasikan dengan
Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf path
.
yang ditunjukkan pada
Gambar 4.30.
Gambar 4.30 Graf
dan Graf
Selanjutnya pada Gambar 4.31 dijelaskan tentang pelabelan
graf middle dari graf
dan diperoleh
suatu titik misalkan titik
. Karena titik
. Pertama, beri label
dan
pada
pada
berjarak satu maka harus
50
diberikan label dengan selisih minimal tiga, misalkan titik
Sedangkan titik
dan
diberi label . Karena titik
maka titik
diberi label . Karena titik
diberi label
. Karena titik
dan
dan
berjarak dua
berjarak dua maka titik
berjarak satu maka titik
diberi label . Karena titik
diberi label . Karena titik
diberi label . Karena titik
Kemudian untuk titik
dan
dan
diberi label
.
berjarak tiga maka harus diberikan label dengan selisih
minimal satu, misalkan titik
maka titik
.
berjarak dua maka harus diberikan label dengan selisih
minimal dua, misalkan titik
Sedangkan titik
diberi label
dan
diberi label
dan
dan
berjarak satu
berjarak dua maka titik
berjarak dua maka titik
diberi label .
karena pada titik
berjarak dua.
Gambar 4.31 Pelabelan
dan
pada Graf
Contoh :
Misalkan, suatu graf path dengan titik
yang dinotasikan dengan
Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf path
Gambar 4.32.
.
yang ditunjukkan pada
51
Gambar 4.32 Graf
dan Graf
Pada Gambar 4.33 ditunjukkan pelabelan
diperoleh
pada graf
dan
.
Gambar 4.33 Pelabelan
Pada pelabelan Gambar 4.33 di atas, label
pada Graf
digunakan dua kali dalam
melabeli suatu titik sehingga pelabelan di atas bukan suatu fungsi (pemetaan)
melainkan suatu fungsi surjektif. Sehingga pembentukan graf middle dari graf
path hanya sampai
.
52
4.4.2 Graf Middle dari Graf Sikel
Berikut akan diberikan contoh pembentukan graf middle dari graf sikel
.
Contoh:
Graf sikel
mempunyai himpunan titik
himpunan sisi
dan
. Graf middle dari graf
mempunyai himpunan titik
{
jadi himpunan titik
. Dua titik adalah adjacent di
(i)
adjacent dengan
adalah
jika:
karena sisi
dan sisi
di titik
adjacent dengan
dan sisi
karena sisi
incident di titik
adjacent dengan
dan sisi
(ii)
adalah graf yang
karena sisi
incident di titik
adjacent dengan
incident dengan titik
karena sisi
.
adjacent dengan
karena sisi
incident dengan titik
.
adjacent dengan
incident dengan titik
karena sisi
.
adjacent dengan
incident dengan titik
karena sisi
.
53
adjacent dengan
karena sisi
incident dengan titik
.
adjacent dengan
karena sisi
incident dengan titik
.
Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf sikel
yang ditunjukkan pada
Gambar 4.34.
Gambar 4.34 Graf
dan Graf
Pada gambar berikut ini akan diberikan contoh pelabelan
pada
graf middle yang dibentuk dari graf sikel berdasarkan definisi 4.3.1.
Contoh :
Misalkan, suatu graf sikel dengan titik
Pada Gambar 4.35 diberikan graf
diperoleh
.
, pelabelan
yang dinotasikan dengan
pada graf
.
dan
54
1
Gambar 4.35 Graf
dan Pelabelan
pada Graf
Contoh :
Misalkan, suatu graf sikel dengan titik
yang dinotasikan dengan
Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf path
Gambar 4.36.
Gambar 4.36 Graf
dan Graf
.
yang ditunjukkan pada
55
Pada Gambar 4.37 ditunjukkan pelabelan
diperoleh
pada
dan
.
Gambar 4.37 Pelabelan
pada Graf
Contoh :
Misalkan, suatu graf sikel dengan titik
yang dinotasikan dengan
Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf sikel
Gambar 4.38.
.
yang ditunjukkan pada
56
Gambar 4.38 Graf
dan Graf
Selanjutnya pada gambar 4.39 dijelaskan tentang pelabelan
graf middle dari graf
dan diperoleh
suatu titik misalkan titik
. Karena titik
. Pertama, beri label
dan
dan
dan
berjarak tiga maka titik
berjarak tiga maka titik
tiga maka titik
diberi label
diberi label . Karena titik
diberi label . Sedangkan titik
dan
dan
berjarak satu maka titik
.
diberi label . Karena titik
dan
dan
diberi label
berjarak
berjarak satu maka
harus diberikan label dengan selisih minimal tiga, misalkan titik
Karena titik
pada
berjarak tiga maka harus
diberikan label dengan selisih minimal satu, misalkan titik
Karena titik
pada
diberi label .
. Sedangkan titik
berjarak dua maka harus diberikan label dengan selisih minimal dua,
misalkan titik
diberi label
. Karena titik
dan
berjarak dua maka titik
57
diberi label . Kemudian untuk titik
diberi label
karena pada titik
dan
berjarak dua.
Gambar 4.39 Pelabelan
pada Graf
Contoh:
Misalkan, suatu graf sikel dengan titik
yang dinotasikan dengan
adalah pembentukan graf middle dari graf sikel
4.40.
. Berikut
yang ditunjukkan pada Gambar
58
Gambar 4.40 Graf
dan Graf
Pada Gambar 4.41 ditunjukkan pelabelan
pada graf
dan
diperoleh
14
Gambar 4.41 Pelabelan
Pada pelabelan Gambar 4.41 di atas, label
pada Graf
dan
digunakan dua kali
dalam melabeli suatu titik sehingga pelabelan di atas bukan suatu fungsi
59
(pemetaan) melainkan suatu fungsi surjektif. Sehingga pembentukan graf middle
dari graf sikel hanya sampai
.
4.4.3 Graf Middle dari Graf Bintang
Berikut akan diberikan contoh pembentukan graf middle dari graf bintang.
Karena graf bintang
dan graf bintang
pembentukan graf path
dan graf path
middle dari graf bintang dimulai dari
sudah dijelaskan pada
, maka contoh pembentukan graf
.
Contoh :
Graf bintang
mempunyai himpunan titik
dan himpunan sisi
. Graf middle dari graf
yang mempunyai himpunan titik
adalah
{
adalah graf
jadi himpunan titik
. Dua titik adalah adjacent di
jika:
(i)
adjacent dengan
dan sisi
adjacent dengan
dan sisi
karena sisi
incident di titik
karena sisi
incident di titik
60
adjacent dengan
karena sisi
dan sisi
(ii)
incident
adjacent dengan
di titik
karena sisi
incident dengan titik
.
adjacent dengan
karena sisi
incident dengan titik
.
adjacent dengan
karena sisi
incident dengan titik
.
Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf bintang
yang
ditunjukkan pada Gambar 4.42.
Gambar 4.42 Graf
dan Graf
Pada gambar berikut ini akan diberikan contoh pelabelan
graf middle yang dibentuk dari graf bintang berdasarkan definisi 4.3.1.
pada
61
Contoh :
Misalkan, suatu graf bintang dengan titik
dan diperoleh
. Selanjutnya akan dijelaskan tentang pelabelan
pada graf bintang
titik
yang dinotasikan dengan
. Karena titik
dan
. Pertama, beri label
pada suatu titik misalkan
berjarak satu maka harus diberikan label dengan
selisih minimal tiga, misalkan titik
diberi label . Sedangkan titik
dan
berjarak dua maka harus diberikan label dengan selisih minimal dua, misalkan
titik
diberi label . Karena titik
label
. Karena titik
Sedangkan titik
dan
dan
dan
berjarak satu maka titik
berjarak satu maka titik
diberi label
diberi label . Kemudian titik
berjarak tiga.
Gambar 4.43 Graf
diberi
.
berjarak tiga maka harus diberikan label dengan selisih
minimal satu, misalkan titik
karena titik
dan
dan Pelabelan
pada Graf
diberi label
62
Contoh:
Misalkan, suatu graf bintang dengan titik
yang dinotasikan dengan
. Berikut adalah pembentukan graf middle dari graf bintang
yang
ditunjukkan pada 4.44.
Gambar 4.44 Graf
dan Graf
Pada Gambar 4.45 ditunjukkan pelabelan
diperoleh
pada
dan
.
Gambar 4.45 Pelabelan
Pada pelabelan Gambar 4.45 di atas, label
pada Graf
dan
digunakan dua kali
dalam melabeli suatu titik sehingga pelabelan di atas bukan suatu fungsi
63
(pemetaan) melainkan suatu fungsi surjektif. Sehingga pembentukan graf middle
dari graf bintang hanya sampai
.
BAB V
PENUTUP
5.1 Simpulan
Berdasarkan pembahasan dari bab sebelumnya mengenai pelabelan
dan pembentukan graf middle pada beberapa graf khusus, dapat diambil
kesimpulan sebagai berikut.
5.1.1
Hasil pelabelan
pada graf path
, graf sikel
, dan graf bintang
adalah sebagai berikut.
1.
Pelabelan
pada graf path
mempunyai
mempunyai
,
,
dan
2. Pelabelan
,
,
mempunyai
.
untuk
,
,
,
mempunyai
mempunyai
mempunyai
mempunyai
mempunyai
pada graf sikel
mempunyai
untuk
mempunyai
,
mempunyai
mempunyai
,
,
mempunyai
.
3. Pelabelan
pada graf bintang
untuk
mempunyai
.
5.1.2
Hasil pelabelan
graf bintang
pada graf middle dari graf path
adalah sebagai berikut.
64
, graf sikel
,
65
1. Pelabelan
pada graf middle dari graf path
mempunyai
,
mempunyai
,
mempunyai
.
2. Pelabelan
,
mempunyai
.
3. Pelabelan
mempunyai
mempunyai
,
mempunyai
dan
pada graf middle dari graf sikel
mempunyai
untuk
mempunyai
untuk
dan
pada graf middle dari graf bintang
untuk
.
5.2 Saran
1. Dalam penelitian ini pembahasan mengenai pelabelan
pembentukan graf middle hanya meliputi graf path
bintang
, graf sikel
dan
, dan graf
. Penulis berharap penulis lain dapat menemukan pelabelan
dan pembentukan graf middle dari graf khusus lainnya.
2. Disarankan penulis lain dapat mengaplikasikan pelabelan
kehidupan nyata.
pada
DAFTAR PUSTAKA
Budayasa, I. K. 2007. Teori Graf dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa University
Press.
Budiasti, H. 2010. Pelabelan Total Titik Tak Beraturan pada Graf Bipartisi
Lengkap. Skripsi. Semarang: FMIPA Universitas Negeri Semarang.
Chang, G. J. dkk. 2000. On
220: 57–66.
)-labelings of Graphs. Discrete Mathematics,
Chia, Ma-Lia. 2011.
-Labeling of Graphs. Taiwanese Journal of
Mathematics, 15(6): 2439-2457.
Clipperton, J. dkk. 2005.
Labeling of Simpel Graphs. REU Paper,
Valparais
Universit.
Tersedia
di
http://www.valpo.edu/mcs/pdf/zslabeling.pdf [diakses 12-01-2012].
Clipperton, J. 2008.
Labeling of Simple Graphs. Rose-Hulman Institute
of Tecnology Undergraduate Math Journal, volume 9. Tersedia di
http://www.rose-hulman.edu/mathjournal//archives/2008/vol9n2/paper2/v9n2-2pd.pdf [diakses 12-01-2012].
Griggs, J. R. & R. K. Yeh. 1992. Labeling Graphs with a Condition at Distance 2.
SIAM J. DISC. MATH.,5(4): 586-595.
Huda, N & Amri, Z. 2012. Pelabelan Graceful, Skolem Graceful dan Pelabelan
pada Graf H-Bintang dan A-Bintang. Jurnal Matematika Murni dan
Terapan, 6(1): 30-37.
Rossen, K. H. 2003. Discrete Matematics and its Applications, fifth edition. New
York: VAGA.
Siang, J. J. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.
Yogyakarta: ANDI Offset.
Sugiarto. 2006. Pengantar Dasar Matematika. Semarang.
Sutarno, H. dkk. 2003. Matematika Diskrit. Jakarta: JICA.
66
67
Vaidya, S. K. & D. D. Bantva, D. D. 2010. The L(2,1)-Labeling of Some Middle
Graphs. Journal of Applied Computer Science & Mathematics, 9(4): 104107.
Yeh, R. K. 2006. A survey on labeling graphs with a condition at distance two.
Discrete
Mathematics, 306: 1217-1231.
Lingscheit, M., K. Ruff & Ward, J. 2009.
Minimal and Surjective Graf
Labeling. Rose-Hulman Mathjournal, volume 10. Tersedia di
https://www.rose-hulman.edu/mathjournal/archives/2009/vol10n1/paper12/v10n1-12pd.pdf. [diakses 12-01-2012].
Bartle, G. R & D. R. Sherbert. 1994. Introduction to Real Analysis. Singapore:
Jhon Wiley & Sons, INC.