Pengenalan Vektor - Anny Yuniarti @ Teknik Informatika ITS

02-Pemecahan Persamaan
Linier (1)
Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc
Gasal 2011-2012
Anny2011
1
Agenda
• Bagian 1: Vektor dan Persamaan Linier
• Bagian 2: Teori Dasar Eliminasi
• Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks
• Bagian 4: Aturan Operasi Matriks
Anny2011
2
Bagian 1
VEKTOR DAN PERSAMAAN
LINIER
Anny2011
3
Pendahuluan
• Permasalahan pokok pada aljabar linier
adalah bagaimana memecahkan sistem
persamaan linier
– Sistem persamaan linier (SPL)  variabel
yang dicari selalu dikalikan dengan angka,
bukan dengan variabel lainnya. Misalnya
dalam SPL tidak pernah ada perkalian dua
variabel seperti xy
– Contoh SPL:
Anny2011
4
Contoh SPL (1)
Row
Picture
• Masing-masing persamaan direpresentasikan oleh sebuah garis.
• Titik temu dua garis adalah solusi dari SPL diatas, yaitu x = 3 dan
y = 1.
Anny2011
5
Contoh SPL (1)
•
SPL diatas jika diubah menjadi SPL menggunakan kombinasi linier
seperti pada Pertemuan 1 menjadi:
Column
Picture
Anny2011
6
Contoh SPL (1)
• Solusi SPL diatas tentu sama dengan model baris
(row picture), yaitu x = 3, dan y = 1.
• Matriks koefisien untuk sisi kiri SPL diatas adalah
matriks A:
• SPL diatas menjadi permasalahan matriks Ax = b.
Anny2011
7
Contoh SPL (2)
• SPL dengan 3 variabel  3 pers. linier
• Row Picture
– Setiap pers. direpresentasikan sebagai bidang datar di
ruang 3D
Anny2011
8
Contoh SPL (2)
• SPL dengan 3 variabel  3 pers. linier
• Column Picture
– Kombinasi linier yang menghasilkan vektor (6, 4, 2) adalah 2 x
vektor ke-3, sehingga solusinya x = 0, y = 0, z = 2.
Anny2011
9
Contoh SPL (2)
• SPL dengan 3 variabel  3 pers. linier
Row
Column
Matrix
Anny2011
10
Matriks Identitas
Contoh:
Anny2011
11
Notasi Matriks
• Untuk matriks m x n, indeks baris mulai dari 1
sampai m. Indeks kolom mulai dari 1 sampai n.
• Matriks persegi orde n memiliki n2 isian nilai.
Anny2011
12
SPL menggunakan matriks di
Matlab
• Untuk matriks A :
1
2
6
2
5
3
2
dan vektor x :
0
0
3 1
2
penulisannya di Matlab :
>> A = [1 2 3; 2 5 2; 6 -3 1]
>> x = [0 0 2]’
atau
>> x = [0; 0; 2]
• Perkalian Ax :
>> b = A * x
Mengakses per baris:
>> b = [A(1,:)*x; A(2,:)*x; A(3,:)*x]
Mengakses per kolom:
>> b = [A(:,1)*x(1) + A(:,2)*x(2) + A(:,3)*x(3)
Anny2011
13
Bagian 2
TEORI DASAR ELIMINASI
Anny2011
14
Metode Eliminasi
• Misal sebuah SPL dengan 2 variabel:
x 2y 1
3x 2 y 11
• Metode eliminasi akan menghasilkan sistem upper
triangular.
• Pada SPL diatas sistem upper triangular berupa:
• Persamaan yang baru 8y = 8 menghasilkan solusi y = 1.
• Jika y = 1 disubstitusi ke persamaan (1) menghasilkan solusi
x = 3.
Anny2011
15
Metode Eliminasi (2)
• Cara eliminasi:
– Kurangi persamaan 2 dengan hasil perkalian
persamaan 1 dengan pengali l
– Contoh diatas: kurangi persamaan 2 dengan 3 kali
persamaan 1  menghasilkan persamaan baru
– Bagaimana menentukan pengali l?
Anny2011
16
Eliminasi yang Gagal
• Misal sebuah SPL dengan 2 variabel:
x 2y 1
3x 6 y 11
• Pada SPL diatas kalikan pers. 1 dengan 3, lalu kurangkan
x 2y 1
dari pers. 2:
0y
8
• Tidak ada solusi untuk 0y = 8.
Anny2011
17
Eliminasi yang Gagal (2)
• Misal sebuah SPL dengan 2 variabel:
x 2y 1
3x 6 y 3
• Pada SPL diatas kalikan pers. 1 dengan 3, lalu kurangkan
x 2y 1
dari pers. 2:
0y
0
• Solusi untuk 0y = 0 : tak terhingga ( infinity).
Anny2011
18
Eliminasi yang Gagal
tapi Bisa Diperbaiki
• Misal sebuah SPL dengan 2 variabel:
2y 4
3x 2 y 5
• Pada SPL diatas perlu dilakukan pertukaran: pers. 1
menjadi pers. 2, pers. 2 menjadi pers. 1: 3x 2 y 5
2y
4
• Dengan begitu sudah membentuk sistem triangular, tinggal
disubstitusikan untuk menghasilkan solusi (3, 2).
• Contoh 1 dan 2 disebut singular – pada pers. 2 tidak ada
pivot (pembagi = 0).
• Contoh 3 disebut nonsingular – pada pers. 2 nilai pembagi ≠
0.
Anny2011
19
Eliminasi untuk SPL dengan 3
Variabel
• Misal sebuah SPL dengan 3 variabel:
2x 4 y 2z
2
4 x 9 y 3z 8
2 x 3 y 7 z 10
• Langkah-langkah eliminasi:
– Kalikan pers. 1 dengan 4/2 = 2, lalu kurangkan pers. 2
dari 2*pers.1, hasilnya pers. 2 menjadi: y z 4
– Kalikan pers. 1 dengan -2/2 = -1, lalu kurangkan pers. 3
dari -1*pers.1, hasilnya pers. 3 menjadi: y 5z 12
– Kalikan pers. 2 yang baru dengan 1/1 = 1, lalu kurangkan
pers. 3 dari 1*pers.2 yang baru, hasilnya pers. 3
menjadi: 4z 8
Anny2011
20
Eliminasi untuk SPL dengan 3
Variabel (2)
• SPL yang tadinya berbentuk Ax = b diubah menjadi SPL
bentuk upper triangular Ux = c :
• Solusi SPL diperoleh dengan back substitution dari Ux = c :
4z = 8
y+z=4
2x + 4y – 2z = 2



z=2
y=2
x = -1
• Jadi solusinya (x, y, z) = (-1, 2, 2).
Anny2011
21
Eliminasi untuk SPL dengan n
Variabel
• Cara mengubah A menjadi U :
– Kolom 1. Gunakan pers. 1 untuk menghasilkan
angka-angka nol dibawah koefisien pertama.
– Kolom 2. Gunakan pers. 2 yang baru untuk
menghasilkan angka-angka nol dibawah
koefisien kedua.
– Kolom 3 sampai n. Lanjutkan untuk
menghasilkan semua n koefisien dan matriks
triangular U.
Anny2011
22
Contoh Soal
• Misal sebuah SPL dengan 3 variabel:
• Tentukan matriks A !
A
x
y z 6
x 2 y 2z 9
x 2 y 3 z 10
1 1 1
1 2 2
1 2 3
• Tentukan matriks U !
x
y z
1 1 1
6
y z 3
z 1
U
0 1 1
0 0 1
• Tentukan solusi SPL diatas!
– Solusinya (x, y, z) = (3, 2, 1).
Anny2011
23
Bagian 3
ELIMINASI MENGGUNAKAN
MATRIKS
Anny2011
24
Bentuk Matriks dari Sebuah
Tahap Eliminasi
2x 4 y 2z
2
4 x 9 y 3z 8
2 x 3 y 7 z 10
Bentuk Ax
2
b: 4
2
4
9
3
2 x
3 y
7
z
2
8
10
• Pada contoh SPL sebelumnya, langkah pertama eliminasi adalah
mengurangkan 2 kali pers. 1 dari pers. 2.
• Hasil yang sama diperoleh dengan mengalikan matriks eliminasi E:
• Cara menentukan matriks eliminasi E:
E
– Mulai dengan matriks identitas I
– Ganti salah satu nilai nol-nya dengan faktor pengali –l.
1 0 0
2 1 0
0
0 1
• Eij yang mengurangkan l kali baris j dari baris i memiliki nilai –l
pada posisi i,j.
Anny2011
25
Perkalian Matriks
• Berlaku hukum asosiatif
– A(BC) = (AB)C
• Tidak berlaku hukum komutatif
– AB ≠ BA
• Augmented Matrix
– Misal
A
2
4
4
9
2
maka
Ab
2
3 , b
3
2
4
2
7
4
9
3
2
8
10
2
3
7
2
8
10
Anny2011
26
Matriks Permutasi
• Pertukaran baris pada matriks dibutuhkan ketika terdapat
nol pada posisi pivot. Contoh: 2 4 1
0 0 3
0 6 5
• Pada matriks diatas baris 2 harus ditukar dengan baris 3
• Untuk pertukaran baris pada matriks, dapat digunakan
1 0 0
matriks permutasi Pij. Contoh:
P23
0 0 1
0 1 0
• Matriks P23 diatas dapat dikalikan dengan matriks M yang
menghasilkan matriks yang sama dengan M tetapi baris 2
sudah ditukar dengan baris 3.
• Contoh:
1 0 0 2 4 1
2 4 1
0 0 1 0 0 3
0 6 5
0 1 0 0 6 5
0 0 3
Anny2011
27
Eliminasi dan Matriks
• Keseluruhan proses eliminasi dapat
direpresentasikan dalam serangkaian
perkalian matriks.
– A menjadi E21A
– E21A menjadi E31E21A
– E31E21A menjadi E32E31E21A
– E32E31E21A adalah matriks triangular yang
dicari
Anny2011
28
Contoh Soal
x 2 y 2z 1
4x 8 y 9z 3
3y 2z 1
• Untuk SPL diatas, tuliskan isi matriks
gabungan [A b]!
• Untuk menghasilkan sistem triangular,
aplikasikan E21 dan P32.
• Cari solusi SPL tsb dengan back
substitution
Anny2011
29
Contoh Soal
x 2 y 2z 1
4x 8 y 9z 3
3y 2z 1
Anny2011
30
Bagian 4
ATURAN OPERASI MATRIKS
Anny2011
31
Beberapa Aturan Operasi Matriks
• Aturan Penambahan Matriks
– Ukuran keduanya harus sama
– Berlaku hukum komutatif, distributif, dan asosiatif
• Aturan Perkalian Matriks
– Jika A memiliki n kolom, B harus memiliki n baris.
– Tidak berlaku hukum komutatif
– Berlaku hukum distributif dan asosiatif
Anny2011
32
Beberapa Aturan Operasi Matriks
(2)
• Aturan Pemangkatan Matriks
– Mengikuti aturan pangkat pada bilangan
– Untuk pangkat -1, dihasilkan matriks invers
A-1.
– Untuk pangkat 0, dihasilkan matriks
identitas: A0 = I.
Anny2011
33
Matriks Blok
• Matriks dapat dibagi dalam blok-blok.
• Kelebihan membagi matriks menjadi blok-blok adalah untuk
memperjelas karakteristik sebuah matriks
– Matriks 4x6 diatas lebih jelas dilihat sebagai matriks blok
dari matriks identitas I
• Perkalian blok memungkinkan jika ukurannya tidak
menyalahi aturan perkalian matriks
Anny2011
34
Contoh Perkalian Matriks Blok
• Misal matriks A dibagi menjadi blok-blok
berdasarkan kolomnya. Matriks B dibagi menjadi
blok-blok berdasarkan barisnya.
• Perkalian matriks blok A dan matriks blok B
menghasilkan perkalian kolom dengan baris sebuah
matriks:
• Bandingkan dengan perkalian baris dengan kolom
yang umum digunakan untuk mengalikan matriks.
Anny2011
35
Eliminasi Menggunakan Perkalian
Matriks Blok
• Hitunglah perkalian matriks blok
berikut:
I
0 A B
CA
• Hasilnya:
1
I C
D
A
B
0 D CA 1 B
• D-CA-1B disebut Schur complement
Anny2011
36
Latihan Pertemuan 2
• Chapter 2.1
– Problem 26, 29, 30
• Chapter 2.2
– Problem 11, 12
• Chapter 2.3
– Problem 3, 4, 16
• Chapter 2.4
– Problem 29, 30
Anny2011
37