SIMULASI DINAMIKA MOLEKUL - Digilib

p~
~
N~
H,t..,
Nt..t.- M.. ~
X KL4,ISSN
1410,6g6
SIMULASI DINAMIKA MOLEKUL (SEBUAH PENGANTAR)
HermawanK. Dipojono
LaboratoriumKomputasiMaterial, DepartemenTeknikFisiko ITB
.n. Ganesha10 Bandung40132
e-mail: [email protected]
ABSTRAK
SIMULASI
DINAMIKA
MOLEKUL
(SEBUAHPENGANTAR).
Makalah
iniakanmembahas
simulasidinamika
molekulsebagaisebuah
metodaalternatif
yangdapatdigunakan
untukmempelajari
sifatsifatataukarakteristik
suatumateri.Beberapa
hasilsimulasiuntuksistematom
danelektronakandisajikanpulasebagaisuatucontohkegunaan
dankesederhanaan
metoda
ini.
ABSTRACT
MOLECULER
DYNAMICS
SIMULATION
(AN INTRODUCTORY).
Moleculer
dynamics
simulation
as analtemative
methodethatcanbe
for studyingmaterialscharacteristics
is presented
in thispaper.A numberof simulation
resultsfor systemos atomandelectronis discussed
and
presented
asexamplesofits spectrum
andsimplicity.
PENDAHULUAN
Simulasi dinamika molekul merupakansebuah
metodayang dapatdigunakanuntukmelakukanprediksi
terhadap sifat sifat statik maupun dinamik yang
diturunkansecaralangsungdari interaksiditingkat atom
atau molekul. Mengingat belum actaaltematif lainnya
yang dapatdigunakanuntuk memecahkanpersoalanitu
sampai ketingkatan yang cukup rinci maka metoda
simulasidinamika molekul ini merupakansesuatuyang
tidak terhindarkan dalam penelitian baik untuk ilmu
mumi maupunrekayasa.Metoda ini, sejak pertamakali
dipopulerkan kembali oleh Alder dan Wainwright [1],
telah digunakandenganamatluas oleh berbagaidisiplin
ilmu, termasukdalam ilmu dan rekayasamateri [2-6].
Makalah ini akan mengupas secara rinci mengenai
metodaini dan menyajikansejumlahbasil simulasiyang
telahdilakukanuntuk sistematomdanelektron.
Pertanyaanyang sering munculdalam berbagai
konteks penelitian ilmu dan rekayasa materi adalah
adakah relasi antara sifat sifat makroskopis materi
denganinteraksiyang actadi tingkat atom atau molekul
penyusunmateri tersebut. Sudah barang tentu melalui
eksperimen,yang pasti tidak murah dan tidak pula
sederhana,dapat dideduksi sifat sifat mikroskopisyang
berpengaruhterhadap sifat sifat makroskopismateri.
Dinamika molekul memberikansebuahaltematif untuk
mereproduksi tingkah laku mikroskopis itu dengan
~,
menggunakan sistem sistem model. Kemajuan teknologi
komputer telah memungkinkan untuk mencari jawab
persoalan yang lebih kompleks disertai meningkatnya
harapan untuk bisa mendapatkan jawaban yang lebih
realistis.
Terdapat dua buah persoalan utama yang hams
diselesaikan dalam menggunakan metoda simulasi
dinamika molekul ini. Pertama adalah menentukan model
energi potensial yang mengatur hubungan antara atom
atom atau molekul molekul yang saling berinteraksi di
dalam sistem. Dari model energi potensial inilah gayagaya yang mempengaruhi dinamika sistem dapat
ditentukan. Kedua, menentukan algoritma daD metoda
numerik yang tepat daD efisien untuk digunakan dalam
memecahkan persoalan dinamika yang amat kompleks
ini. Makalah ini akan memulai pembahasannya dengan
menyoroti persoalan pertama terlebih dahulu. Pada
bagian ini akan dibahas terlebih dahulu model model
energi potensial klasik-empirik daD diakhiri dengan
model yang menggunakan sepenuhnya pendekatan
mekanika kwantum. Kemudian makalah ini akan
membahas pula sejumlah algoritma daD metoda numerik
yang banyak digunakan dalam studi materi dengan
menggunakan metoda ini. Termasuk dalam bagian ini
juga akan dikemukakan algoritma untuk melakukan
simulasi dengan temperatur daDtekanan yang terkontrol.
6J~ 2001
~
/)~"~"--~H..llIt..l(S1t1.4
P~)
H~~
MODELENERGIPOTENSIAL
Keabsahanmodel materi di tataranmikroskopis
sangat ditentukan oleh pemahaman komprehensip
mengenai komponen komponen penyusun materi itu.
Meskipundeskripsimengenaihal ini secaraprinsipharus
didasarkanpada mekanika kwantum namunpendekatan
mekanika klasik, yaitu memperlakukanatom atom atau
molekul molekul sebagaisuatutitik massa,dalam batas
batas tertentu masih dapat digunakan. Model paling
sederhanayang dapat digunakan untuk menjelaskan
suatu materi didasarkanpada konsep partikel partikel
berbentuk bola yang saling berinteraksi yang untuk
kemudahandalam pembahasanselanjutnyapartikel itu
disebut atom. lnteraksi itu, dalam tataran yang paling
sederhana,terjadi antar pasanganatom yang memenuhi
dua buah kriteria dasar hubunganantar atom. Pertama,
interaksi itu harus mampu menahantekananpasangan
atomyang saling berinteraksidaDkonsekuensinya
adalah
pasanganyang saling mendekatakan menghadapigaya
tolak menolak. Kedua, interaksi itu mempunyai sifat
mengikat pasanganatom sehinggapasanganitu akan
tarik menarikjika saling menjauh.Model sederhanaini
kemudian terns berkembang hingga mencapai
kemantapannya dengan dilibatkannya mekanika
kwantum untuk menanganihadirnya partikel elementer
sepertielektron. Dalam bagian ini kita akan membahas
model energi potensialpaling sederhanaterlebih dahulu
sebelum membahas model ab initio yang lebih
komprehensip.
K.~
sehingga waktu komputasi dapat dihemat dengan cara
mengabaikan interaksi pasangan atom yang mempunyai
jarak lebih besar daTiRc. Dalam banyak kasus biasanya
dipilih Rc=2,500; di mana U(Rc)=-0,0163E dan besarnya
gaya adalah -0,039E /0". Parameter E, mempunyai satuan
energi sedangkan parameter 0", mempunyai satuan
panjang. Untuk tujuan dinamika molekul berbasis
potensial Lennard-Jones ini sering juga digunakan satuan
satuan tanpa dimensi yaitu dengan menggunakan 0;
untuk satuan panjang m, untuk satuan massa, dan E,
untuk satuan energi. Dengan kata lain mengganti r ~ rO"
untuk panjang, e ~ eE untuk energi, dan t~ t w"d/E
untuk waktu.
Jika model energi ini digunakan untuk
keperluan memodelkan sistem argon cair [7] maka relasi
antara satuan satuan tanpa dimensi dan satuan fisis
dinyatakan dalam besaran berikut. Panjang dinyatakan
dalam E = 3,4A. Satuan energi diberikan oleh E/kB =
120K, yang berarti bahwa E = 120 x S,314Joule/mole.
Dengan menggunakanmassa atom argon adalah m=39,95
x 1,6747 x 10-24gram, maka satuan waktu dinamika
molekul setara dengan 2,161 x 1012,detik; jadi sebuah
selang waktu yang umum dipakai sebesar At = 0,005,
adalah setara dengan kurang lebih 10-24, detik.
Selanjutnya jika Na, adalah jumlah atom yang berada di
dalam boks simulator dengan panjang sisi sisinya adalah
L, maka untuk rapat jenis cairan argon sebesar 0,942
grarn/cm3, akan berarti bahwa L = 4,142 Nal/3 A, yang
dalam satuan Yal1g telah direduksi akan menjadi L =
I,2ISNaI/3
PotensialLennard-Jones
Parameterisasi Ikatan Kuat
Model energi potensial yang dianggappaling
Parameterisasi ikatan kuat (tight binding
sederhana,yang pada mulanya dimaksudkan sebagai
parameterized
energy model) merupakan salah satu
model cairan argon, adalah potensial Lennard-Jones.
model
yang
cukup
populer karena di samping dapat
Dalam model ini untuk pasanganatom denganindeks I
digunakan
untuk
memodelkan
sistem yang melibatkan
daDl' yang terletakberturut-turutdi koordinat~ daDRi,
elektron elektron juga komputasiny relatif lebih hemat
energipotensialnyadinyatakanoleh :
U(Rul) = 4£ (~)12
Ru'
-(~)6
(1)
Rll'
di mana Rti' = I Ri _Ri' I yaitu jarak antara atom / clanr.
Parameter e , menyatakan kekuatan interaksi sedangkan
parameter cr, menyatakan suatu skala panjang; interaksi
itu akan tolak menolak pada jarak yang dekat clan akan
tarik menarik pada jarak yang relatif jauh, serta akhirnya
akan tidak berpengaruh sama sekali pada suatu jarak
yang lebih besar dari jarak potong (cut oj]).
Potensial interaksi Lennard-Jones di atas dapat
disederhanakan lebih lanjut dengan mengabaikan gaya
tarik menarik yang terjadi di bagian yang mendekati Dol
yaitu dengancara merubah persamaan (I) menjadi :
U(Rtll) =
4£
0
2
[(~j12
Ru'
~ {~)8
Rll'
] +a
Rei' ~ Rc
Ru' > Rc
~/6J.,.,
waktu (dibandingkan dengan model ab initio) yang akan
dibahas di bab selanjutnya. Model energi ini banyak
digunakan untuk studi bahan bahan semikonduktor baik
untuk kristal tunggal maupun amorf. Parameter
parameter di dalam model ini ditentukan, misalnya,
dengan menggunakan metoda fitting terhadap data daTi
eksperimen maupun data daTi model yang lebih akurat
(seperti data model energi ab initio ). Dalam kesempatan
ini akan dibahas secara rinci sebuah contoh dari model
energi ikatan kuat untuk sistem silikon. Sengaja dipilih
silikon karena sistem ini mempunyai sifat sifat yang
menarik, yaitu pada temperatur OaK, bersifat isolator,
sedangkan pacta rasa caimya bersifat konduktor, dan
pada temperatur diantara keduanya sistem silikon bersifat
semikonduktor. Di samping itu data data sistem silikon
amat lengkap sehingga merupakan sistem yang tepat
untuk dipilih sebagaicontoh.
Misalkan sistem silikon tersebut terdiri atas N, buah
atom dengan koordinatnya dinyatakan oleh ~ dimana I =
1,2,
N menyatakan identitas atom atom tersebut.
2001
~
Mengingat masing masing atom tersebut mempunyai
empat buah elektron valensi maka keadaanbebasnya
dapatdinyatakanoleh fungsi gelombangIIIi di mana i =
1,2, ,2N. Kemudiankeadaanbebasini diuraikandalam
suatukombinasilinier basis {J2I;a}dimanat menyatakan
indeks atom dan a, menyatakanindeks orbital.Dengan
demikiandapatdituliskanbahwa:
N
4
'i';(r) = E E C~a(j)la(r)
(2)
l=la=1
di mana, C famerupakanbobot dari fungsi gelombang
denganindeksi untuk atomdenganindekst, pada orbital
a. Adapun energi total sistemelektrondan atom untuk
sistem silikon U({~}{ Cj}), dapat dibangun dengan
menggunakanmodel Tomanek dan Schluter [8], yang
untuk kepentingandinamika molekul perlu dilakukan
sedikit modifikasi yaitu dengan memasukkanfaktor
berupasebuahfungsipotong (cuto.fJ),
sebagaiberikut:
u = co + E] -E3
'3)
di mana Ebs,adalah energi struktur pita (band structure
energy) yang diturunkan berdasarkan parameterisasi
tetangga terdekat atom terkait sebagaimana diusulkan
oleh Chadi [9], Adapun elemen matriks < VJi',aIHI 'fila]
untuk orbital orbital pada atom atom I', clan I, yang
terpisah oleh jarak sebesar R. akan mengandung fungsi
potong yang disebutkan di atas, Secara lebih terinci
fungsi energi tersebut di atas dapat dituliskan sebagai
berikut
N t-l
~ = EE
c}'a' c}a(~l'a/IHI~la)
-N Esi
(4)
C}'a'c}a (fa'
l'a/
(5)
olehpersamaan
persamaansebagaiberikut
Er(R} = E~?;(R}f(lRi
-Rill
'- Rc} -E~,S(R)
(7)
N i-I
f(lRi-
Rl'l-
Rc}
(8)
l=2 l'
i l/ a' ta
2N
i
Er aRt-Rill)
Fungsi Er daD nbyang muncul dalam E2 dan E3 diberikan
-N Esi
i
2N
= 2 LLL
H~- K.~
t=2t'=1
Sedangkan E3, dimasukkan sebagai salah satu faktor dari
energi total sistem dengan alasan agar sistem tidak
terpaku pacta satu kemungkinan struktur atom
saja.Dengan adanya faktor ini maka sistem dapat
mengantisipasi
perubahan
energi
akibatadanya
perubahanjumlah ikatan kimia nb. E3, ini diberikan oleh
persarnaan
nb = ~~
= 2 LLL
HM..l (S4.4P~)
potong yang biasanya dapat diarnbil sarna dengan
panjang ikatan atom (bond length). Sedangkan EoSi,
adalah energi sebuah atom netral (terisolasi) yang
besarnya sarna dengan 2(Es+Ep), dimana Es=[f2JlsIHIf2Jls]
dan Es=[QJixyz
IHIQJ/xyz].
Faktor energi total lainnya, yaitu E2, adalah
energi tolak menolak yang diperlukan untuk menetralisir
pengaruh penghitungan dua kali (double counting) dari
interaksi Coulomb yang terdapat dalarn suku energi
ikatan kuat. Energi E2, ini juga mengandung kontribusi
energi korelasi (exchange correlation) dan interaksi antar
atom. Secara terinci energi ini diberikan oleh
2N
Ebs =2 L(l/JiIHll/Ji)
~
IHlla) -N Es;
Adapun parameter parameter e/. f2fzdon ej berturut-turut
mempunyai harga 0,225, eV, 1,945eV, clan -1,03eV.
Sedangkan harga harga parameter lainnya secara lebih
terinci dapat dilihat dalam Khan[ 11].
la
Adapun elemen matriks [1'a1Hlla]
dapat ditentukan
dengan memperhatikan kedua kasus berikut ini. Pertarna,
untuk kasus di mana atom I sarna dengan atom r, maka
dapat digunakan persarnaanberikut ini
(ta' IHlla)= { ~
if a = 1,
if a = 2,3, 4,
if a:f:a'
Kedua, untuk kasus di mana I * r elemen matriks
[I'a1Hlla]
bagi orbital orbital pacta atom yang berbeda
diasumsikan mengandung fungsi potong .f(IRr ~~ -Rc)
sehinggadiperoleh
dengan Ro=2,35A, adalah jarak antar tetangga terdekat di
dalam struktur intan silikon. Adapun Rc, adalah jarak
~,
Energi Total (Ab initio)
Perbedaan utama antara metoda (ab initio) dan
metoda semi empiris (seperti metoda parameterisasi
ikatan kuat yang telah kita bahas sebelumnya) adalah
bahwa metoda yang pertama tidak memerlukan data data
empiris sedangkan metoda memerlukan data data
tersebut. Dengan demikian energi total di sini lebih
bersifat generik. Meskipun demikian perlu ditekankan di
sini bahwa sifat generik ini tidak berarti bahwa metoda
ini sepenuhnya analitis dan eksak karena pada dasamya
selalu ada aproksimasi yang harus dilakukan juga dalam
usaha mencari solusi sistem atom dan elektron yang amat
kompleks ini. Aproksimasi yang dilakukan itu khususnya
adalah bahwa sistem atom dan elektron dapat dilihat
sebagai problema
elektron semata-mata (BornOppenheimer approximations) mengingat bahwa massa
atom jauh lebih besar dibanding massa elektron. Di
samping itu juga sering digunakan aproksimasi kerapatan
lokal (local density approximations) untuk menentukan
energi korelasi dan exchange.
~J~ 2001
~
Oi dalammetoda(ab inito) ini energipotensial
pada umumnya dihitung secara konsisten (self
consistently) dengan menggunakan rapat elektron
mengikuti suatu skema teori fungsional rapat elektron
(density functional theory) atau dft. Namun ada juga
sejumlah metoda yang secara langsungmenyelesaikan
persamaanSch"odinger dalam suatu medan potensial
yang secaracerdasdiusulkan sehinggadiperoleh basil
basil yang dapatdipertanggung-jawabkan.
Metoda yang
kedua ini biasanya sangat berguna untuk sistem
nonperiodik. Oalam makalah ini hanya akan dibahas
metodapertamayaitu metodayang berbasispada teori
fungsionalrapatelektron.
Persamaan-persamaan
yang biasa digunakan
dalamformalisma dftadalahpersamaanKohn-Sham[12]
untuk satu himpunankeadaanefektif elektron elektron
Pada dasarnyaini menyatakanorbital orbital elektron
yang memenuhikaidahorthonormalitas
f1jJ*cr)1jJj(r)dV={
~
:;~
(9)
daDenergipotensialtotal dapatdinyatakanoleh
U[{Iji(r)}] = ~k;Jljij(r)(-~V2Ijii(r))dV+JUnuc(r)n(r)dV
(10)
I
+ ~j;(r)n(r)dV+ jlxc(n(r))dV + Unuc-nuc
di mana fnuc-nuc,
adalah suatu fungsi yang diketahui
bentuknya, Unuc adalah medan potensial yang
ditimbulkan oleh suatu inti atom yang diberikan oleh
2~
Zl
Unuc(r):; -kc qe
L., R
l
(11)
l
di mana kc, adalah konstanta Coulomb, Rt, adalah jarak
dari titik r ke inti atom I clan qc, adalah muatan
elektron.Unuc-nuc
merupakan energi interaksi statik antar
inti atom yang dinyatakan oleh
1 -2 ~ ZlZl'
Unuc-nuc(r)= 2kC!leL., ~
l~l'
(12)
U
dengan Z/, menyatakan jumlah atom dari spesies I.
Sedangkan kj menyatakan jumlah elektron yang mengisi
orbital i (biasanya sarnadengan dua) clan
sedangkan0(r ), menyatakanpotensialyang ditimbulkan
olehmuatansebuahelektrondi r, yang dapatditentukan
dengan menyelesaikan persamaan Poisson sebagai
berikut
V2tf>(r)= -41\"~ n(r)
Oari persamaan (10) terlihat dengan jelas bahwa energi
total merupakan suatu fungsional dari orbital orbital
elektron. Pilihan terhadap orbital orbital yang benar
dilakukan dengan cara melakukan minimisasi energi total
ini dengan memperhatikan syarat orthonormalitas yang
4
~,
~
H..ilII..l
(~
P~)
H~- K.~
diberikan oleh persamaan(9). Secara garis besar ada dua
cara untuk memperoleh energi' total minimum itu.
Pertama,
menghitungnya
langsung
dengan
menganggapnya sebagai problema minimisasi numerik
daD menyelesaikannya dengan menggunakan teknik
teknik minimisasi numerik berkendala. Kedua, dengan
mencari persamaan persamaan pengali Lagrange bagi
suatu
minimisasi
berkendala
dan
selanjutnya
menggunakanmetoda numerik untuk mencari solusi dari
persamaan persamaan tersebut. Persamaan pengali
Lagrange untuk teori fungsional rapat elektron inilah
yang dikenal luas sebagai persamaanKohn-Sham. Dapat
ditunjukkan bahwa persamaan ini mempunyai bentuk
sebagaimanahalnya persamaanSchrodinger yaitu
Ii
-2m V2'I/Ji(r) + U(r)'l/Ji(r) = Eit/Ji(r)
di mana bentuk potensial U(r)
berikut
(13)
, didetinisikan sebagai
U(r) = Unuc(r) + q,(r) + f:.:cc(n(r)) (14)
daD dalam hal ini &t= At/ ki. Mengingat bahwa pengali
Lagrange di awal perhitungan merupakan konstanta yang
tidak diketahui besarnya maka di sini digunakan &j, yang
dapat dilihat sebagai energi untuk setiap orbital.
Strategi umum yang digunakan untuk mencari
energi total biasanya adalah sebagaiberikut. Untuk dapat
menghitung semua suku daripersamaan (10) maka
diperlukan orbital orbital {VIi (r)}yang tepat daD ini dapat
diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (13) Untuk
menentukan U(r), berdasarkan (14) maka semua
komponen persamaan ini hams dapat ditentukan terlebih
dahulu. Harga minimum U[{(\j/,{r)}], dapat diperolehjika
semua persamaan persamaan itu dipenuhi secara
simultan. Khususnya rapat elektron hams konsisten (selfconsistent): harga rapat elektron masukan hams
menghasilkan U(r), sedemikian rupa sehingga diperoleh
sebuah himpunan
orbital
orbital
\j/,{r), yang
memberikansebuah rapat elektron sarna dengan rapat
elektron masukannya. Makalah ini tidak akan membahas
lebih rinci lagi mengenai kedua metoda tersebut karena
kedua metoda itu sudah merupakan sesuatuyang bersifat
baku daD telah cukup banyak buku acuan yang
membahasnyasecara rinci (Iihat misalnya di [13]).
Sebelum menutup bab ini perlu disampaikan di
sini mengenai masalah saWall saWall atomis. Hal ini
menjadi amat penting mengingat kesalahan kecil dalam
komputasi bisa jadi memerlukan waktu berjam-jam
untuk mencari penyebabnya. Salah satu cara untuk
menghindari hal seperti ini adalah dengan menggunakan
analisis dimensional (Iihat misalnya di [14]). Dalam hal
teori fungsional rapat elektron dapat dilihat ada
empatbuah konstanta fisis: konstanta Planck II massa
elektron m, konstanta Coulomb Kc, daD muatan elektron
q.. Oleh karena itu dari pada menggunakan saWall satuan
standar meter, kilogram, daD detik dapat digunakan
saWall satuan L. M, daD T, untuk saWall fundamental
6J~ 2001
~
~
M..it/G..l
(5tt
t
di manadenganmenggunakanpersamaan
persamaan(4),
(5) daan(6) dapatditunjukkanbahwa
panjang, massa, clan waktu. Ketiga alternatif satuan ini
sangat membantu mengingat bahwa konstanta konstanta
fisis itu selalu muncul dalarn dua bentuk kombinasi saja
yaitu h2/m, atau Kclle2,yang selanjutnya dapat direduksi
menjadi sarna dengan satujika digunakan satuan tertentu.
8{t'a'IHjla) 8B.t
-t'
E
0'
,ta
.!!lL~+J(Ru-).!!lL~[Et'o',la]
R~
8B.t
Jadi
J(Rti') Et'a',to~
')
Ji-
=
m
lEL2
kcq;
di mana E, menyatakanenergisatuanyang dalam hal ini
E=IML2/r. Dari persamaan(15) dapatdenganmudah
diperoleh solusi untuk L dan E, sebagaisatuanatomis
standar untuk panjang dan energi. Jadi untuk tujuan
simulasidinamika molekul denganmenggunakanmodel
energi (ab initio ), dan juga untuk energi ikatan kuat,
biasanyadigunakansatuanpanjangdanenergi.
L=-1;1/m
1 baht= -,
=O,52917725
A
E=1 hattt..=-:,-- / ,
(k qlj1
1;- m
~
8Rt
(17)
aU(Ru/}
(18)
aRJ;
di mana ~r= I~ -Rrl menyatakanjarak antara atom / dan
/'.
Untuk sistem Lennard-Jones seperti yang
diberikan oleh persamaan (1) dengan mudah dapat kita
turunkan persamaangerak atom I, adalah
-N
28'3
,,"
MI~=24.}:::
1'..1["Dir-m]
..",
/I' [a.(Rt.-R".J+i,(R"-R,.,J+i.(R,.-R,,.J]
di mana posisi atom I, dinyatakan oleh vektor Rl = a,. R1x
+Iiy R1y
+ ~ R1z
Adapun untuk sistem yang menggunakan energi
total dengan parameterisasi ikatan kuat seperti yang
diberikan oleh persamaan (3) maka persamaan geraknya
akan diberikan oleh
Rtl'R"
aEbs
--a-R::;"
aEl
-a"R;
[
] p(Ru./R"jc,-l)_q(Rtl,/R"j(l-l)
"I
(B-Ruo/R")"
{(Ru,/R-jP-(Rtl'/R")'}{,-
(
"IV
j ~l)}](Rt'-Rtj
n 'n.\(~l)
B-Ru'/R"
ikatan kuat terparameterisasi.
Persamaan gerak
untuk
sistem
yang
menggunakan energi total
ab initio dicari dengan
menggunak!\n metoda Car-Parrinello [15]. Metoda ini
menawarkan perhitungan yang paling murah dari segi
waktu komputasi. Oleh karena itu metoda ini banyak
digunakan untuk simulasi dinamika molekul ab initio.
Pacta dasarnya metoda ini memperlakukan derajat
kebebasan (degree of freedom) elektron sebagai suatu
massa semu (fictitous mass) daD dengan demikian
mempunyai dinamika tersendiri. Jadi orbital elektron daD
posisi atom divariasikan secara bersama-sama untuk
menentukan energi minimum. Dalam formalisma ini
sistem akan mempunyai dua jenis massa dengan
dinamikanya masing masing. Lagrangian dari sistem
tidak saja dapat digunakan untuk menentukan energi
minimum sistem namun juga dapat digunakan untuk
keperluan simulasi dinamika molekul.
Jika massa semu elektron adalah J.l, daD
parameter pengali Lagrange dinyatakan oleh A, maka
persamaan gerak dari massa semu elektron akan
diberikan oleh
aU[{Ri},{\II.}]+ L'"
J"'l1k = -I3'IIk
aE)
a~
Ablr\ll",
(20)
Sedangkan persamaan gerak dari atom atom diberikan
oleh persamaansebagai berikut
MtRt = _aU[{~},{\IIJ}1
Mt~ ..+- =
8 ["R;i:
~ ]
persamaangerak seandainyadigunakan model energi
=27,211396.V
Gaya yang bekerja pacta sebuah atom akibat
suatu distribusi energi U(R), pacta dasarnya diturunkan
dari negatif gradien distribusi energi ini. Dengan
demikian untuk suatu sistem yang terisolasi, yaitu sistem
denganjumlah atom N, dan volume sistem V, yang tetap,
dengan distribusi energi U(R), akan mempunyai
persamaangerak untuk atom /, sebagai berikut
l~t
8Rt
Sedangkan turunan dari energi struktur pita untuk
molekul diatomik silikon dapat diperoleh dengan cara
sarna. Dengan demikian lengkaplah sudah seluruh
perhitungan yang diperlukan untuk menurunkan
PERSAMAAN GERAK
MtRt = -f
[
= --.!!:.-exp
+
(16)
k,q;
R:',
Jika digunakan energi total molekul diatomik silikon daTi
Raghavachari [10] maka dapat diperoleh
(15)
= lEt
')
P~)
H~- K..
~
aRt
(19)
+ L I\,rt,.r
a {\IIkl\ll"r}}
kNr
(21)
aRt
Sebagaimanahalnya denganenergi ikatan kuat, dalam
komputasinya, orbital elektron biasanya diuraikan
~I
6J~ 2001
5
~
sebagai kombinasi linier suatu basis. Dengan demikian
yang tidak diketahui dari persarnaan persarnaan diatas
adalah koordinat atom (Rt) koordinat massa elektron
semu yang dalarn hal ini dinyatakan oleh koefisien
koefisien basis dalarn kombinasi linier itu, dan konstanta
konstanta pengali Lagrange. Perhatikan bahwa matriks
Akm merupakan matriks simetri yang besarnya sarna
dengan setengah keadaan yang diduduki (occupied
states) oleh elektron elektron dalarn sistem.
Penghitungan gaya merupakan proses yang
paling menyita waktu dalam simulasi dinarnika molekul
mengingat sumasi harns dilakukan untuk setiap atom.
Meskipun demikian ada sejumlah cara untuk mengurangi
konsumsi waktu tersebut. Salah satu di antaranya adalah
memanfaatkan hukum ke tiga Newton, yaitu aksi sarna
dengan negatifreaksi atau dengan kata lain FI/'= -FI/' .Di
sarnping itu penggunaan fungsi potong, daftar tetangga,
dan
untuk
kasus kasus yang memungkinkan
digunakannya pembagian ruang simulator menjadi
beberapa sel simulator juga dapat mereduksi konsumsi
waktu dalarn komputasi persarnaangerak ini.
SYARA T BATAS PERIODIK
Oinarnika molekul biasanya dipakai untuk
sistem sistemyang terdiri atas beberapapuluh sarnpai
beberaparibu atomdenganelektronelektronnya.Sistem
yang sedemikian kecil akan didominasi oleh efek
permukaan,yaitu interaksi antara atom dan dinding
simulator. Untuk simulasi di mana efek permukaanini
tidak menjadi perhatian utama maka dapat digunakan
syaratbatasperiodiksbp.
Oalarnmenggunakansbp untuk mensimulasikan
sistemyang terdiri atas N, buah atomyang terkurungdi
dalarn simulatordenganvolume V, diasumsikan bahwa
volume V, ini hanya merupakan bagian kecil dari
padatanyang menjadiobjek studioVolume V, ini disebut
sel utama; diasumsikanbahwa sel utama ini mewakili
objek materi yang dibentuk oleh sel utama dan replika
replikanya.Replika ini merupakansetcitra ( imagecell ),
yang mempunyaiukuran dan bentuk yang tepat sarna
dengansel utama. Jadi sel utama itu diasumsikansecara
periodik diulang ke seluruh arab sehingga terbentuk
sarnpelobjekmakroskopisnya.
Ada dua konsekuensidari syaratbatasperiodik
ini. Pertama,sebuah atom yang meninggalkanruang
simulator melalui satu dinding akan digantikan oleh
sebuahatomcitranya dari dinding dihadapandinding di
manaatomitu keluar. Kedua,jarak antar atomditentukan
oleh jarak terdekat, baik antar sesarnaatom dalarn sel
utamaatau denganatomcitra di sel citra. Efek ini harus
diperhatikan dalarn menghitung gaya dan integrasi
persarnaanpersarnaangeraknya. Setiap tahap integrasi
numerik harus diikuti dengan mengecek kembali
koordinatkoordinatyang diperolehnya.Jika sebuahatom
temyatadiketahuitelah keluar dari ruang simulatormaka
koordinatnyaharusdisesuaikan
kembali.
6
~,
/)~:-~.,.~HM..i (.s«t.4P~)
H~- K.~
Misal koordinat x dari atom atom itu
didetinisikan terletak dalam selang -L/2, dan Lx/2 di
mana Lx merupakan panjang ruang simulator dalam arab
x, maka tes yang harns dilakukan adalah: jika Rtx ~ L/2,
maka ganti R/xdengan Rtx -Lx, dan jika Rtx < -L/2 , maka
ganti R/x dengan R/x + Lx. Efek syarat batas dalam
menentukan jarak pasangan atom dapat ditentukan
dengan tes: jika RI/' > L/2 maka ganti R/xdengan RI/'- Lx,
seandainya Rtx > 0 atau ganti dengan Rtx + Lx,
seandainya R/x < O.
Syarat batas periodik paling mudah ditangani
untuk ruang simulator yang berbentuk kubus. Bentuk
ruang simulator sembarangpunsebenarnyatidak menjadi
hala!1gan bagi diberlakukannya syarat batas periodik
namun tentunya efek sbp menjadi tidak sesederhanajika
bentuknya kubus. Motivasi utama untuk menggunakan
ruang simulator yang non-kubus adalah agar diperoleh
rasio volume terhadap permukaan sebesar mungkin
sehingga memperbesar jarak maksimum yang bisa
dicapai sebelum
pengaruh periodisitas kemudian
mensyaratkanuntuk menggunakanjarak terkecil. Alasan
lain dalam menggunakan bentuk yang lebih kompleks
adalah agar dapat digunakan untuk mensimulasikan
struktur kristal yang mempunyai sumbu sumbu nonorthogonal.
DAFTARTETANGGA
Bagian yang paling menyita waktu dalarn
sebuah simulasi dinarnika molekul adalah menghitung
gaya gaya yang bekerja pacta sebuah atom. Sebagai
contoh jika di dalarn sistem terdapat N, buah atom maka
gaya yang bekerja pacta atom atom pacta dasarnya akan
melibatkan sebanyak y~ (N-I), buah pasangan atom.
Konsekuensinya jika seluruh pasangan atom dilibatkan
dalarn menghitung gaya maka jumlah perhitungan akan
sebanding dengan kuadrat jumlah atom. Narnun jika
digunakan fungsi potong (cut off) sedemikian rupa
sehingga gaya itu besarnya akan sarna dengan nol jika
jarak pasangan atom itu melebihi suatu harga maka
waktu yang dibutuhkan untuk menghitung gaya menjadi
berkurang.
Salah satu cara yang banyak untuk mereduksi
Waktu komputasi dalarn simulasi dinarnika molekul,
khususnya dalarn mengevaluasi jarak antar pasangan
atom yang saling berinteraksi, adalah dengan
menggunakan daftar tetangga. Untuk setiap atom l,
metoda ini menawarkan sebuah daftar atom atom yang
berada dalam jarak interaksi RL, yang umumnya sedikit
lebih besar dari jarak potong Rc. Untuk sistem LennardJones biasanya digunakan RL=Rc+O,30cr. Dengan
demikian daftar ini mengidentifikasi atom atom yang
memberi kontribusi dalarn penentuan gaya yang bekerja
pacta atom l, tersebut. Daftar ini diperbaharui di setiap
atau setelah beberapa langkah integrasi numerik.
Sebagai ilustrasi misalnya
sistem yang
disimulasikan adalah sistem Lennard-Jones dengan rapat
jenis pcr3=O,8dan jarang potong sekitar Rc=2,5cr. Untuk
~J~ 2001
~
~
/1..itJ...l
/5tt
t
P~)
H~- K.~
precision akan membantumemperkecilkesalahanjenis
kedua.Dalam bab di baw~ ini akan disajikan secara
tiga jenis metoda integrasi numerik yang banyak
digunakandalamsimulasidinamikamolekul.
sistem seperti ini setiap atom akan mempunyai tetangga
sekitar 75, buah atom dalam radius sekitar R L=2,8cr.
Tetapi di dalam daftar tetangga untuk atom ell, hanya
disimpan atom atom dengan indek f, di mana f > I,
karena untuk I' < I, atom I akan muncul dalam daftar
tetangga dari atom f. Jadi secara rata rata, daftar tetangga
itu memerlukan sekitar 75/2 7 40, lokasi penyimpanan
per atom. Dengan demikian untuk simulasi sistem 256,
atom dapat digunakan sebuah l(array), sebut saja
misalnya DFTR, dengan sekitar 11000, elemen.
Kemudian dengan menggunakan sebuah array lainnya,
sebut saja misalnya ISI, untuk menentukan lokasi di
dalam DFTR tetangga tetangga daTi suatu atom. Dengall
menggunakan dua buah
array satu dimensi, bukan
sebuah array dua dimensi, dapat dihindari biaya
komputasi yang harus dibayar karena menggunakan
variabel dengan dua indek. Pembahasanyang lebih rinci
dapat dilihat misalnya di [16].
Algoritma Verlet
Algoritma inilah yang paling banyak digunakan
untuk keperluan dinamika molekul. Ide dasarnya adalah
menguraikan posisi atom, misal atom dengan indek I, R[
dalam deret Taylor sampai orde ketiga, baik secara maju
( forward) maupun mundur (backward) dalam waktu.
Jadi dapat dituliskan
R,(t + .1t) =
R,(t) + ~(t).1t + ~~(t).1t' + i ~(t).1"
R,(t -.1 t) = R,(t) -~(t).1
t + ~~(t).1 t' -i ItI(t).1t3 + 0(.1 t4)
Jika kedua persarnaandi alas dijumlahkan maka akan
diperolehbentukdasardari algoritmaVerlet yaitu
ALGORITMA INTEGRASI WAKTU
Rt{t +M) =2 Rt{t)-Rt{t-M)
Algoritrna ini diperlukan untuk mengintegrasi
secaranumerik persarnaan
persarnaangerak atom atom
yang saling berinteraksi.Algoritrna ini didasarkanpada
metoda beda hingga (finite difference),dimana waktu
didiskritisasipadasebuahgrid terhingga,denganjangkah
waktu (time step) At, merupakanjarak antaradua titik
berturutanpada grid tersebut. Jika diketahui posisi daD
turunanwaktunyapadawaktu t, makaalgoritrnaini akan
memberikanbesaranyang sarnapada waktu berikutnya,
yaitu t+At. Selanjutnya dengan mengulang (iterasi)
prosedur itu maka akan diperoleh evolusi waktu dari
sistemyang sedangdisimulasikan.
Sudah barang tentu solusi yang diperoleh
merupakansuatu solusi pendekatandaD berarti selalu
mengandungkesalahanbawaan.Kesalahanitu sekurangkurangnyadapatdiklasifikasikansebagaiitemizeitem.
Truncation errors, hal ini mengingatbahwametoda
beda hingga biasanyadidasarkanpada uraian deret
Taylor yang dipotong sampaipada suku tertentu.
Kesalahanjenis ini tidak tergantung pada faktor
implementasitetapi merupakankesalahanintrinsik
dari algoritmayangdigunakan.
+ ~{t)Atl + 0 (At4) (22)
Mengingat bahwa persamaan di atas diperoleh dari
integrasi numerik persamaan gerak Newton maka RAt) =
-(I/MU VU ({RAt)}). Seperti terlihat dalam persamaan
(22) maka kesalahanjenis pertama dari algoritma ini hila
sistem ber-evolusi sebesar Llt adalah dalam order Llt4,
meskipun turunan ketiga tidak muncul secara eksplisit.
Pada saat yang sarna algoritma ini amat sederhana dan
mudah implementasinya sehingga amat populer
penggunaannya dalam simulasi dinamika molekul.
Persoalan yang timbul dalam menggunakan algoritma
Verlet versi ini adalah bahwa kecepatan atom tidak
langsung tersedia. Meskipun kecepatan itu tidak
diperlukan untuk mengetahui evolusi trayektori namun
pengetahuan mengenai kecepatan ini kadang kadang
diperlukan, misalnya untuk menghitung energi kinetik
yang amat diperlukan untuk menguji aspek konservasi
energi total sistem. Kecepatan itu dapat saja dihitung
dengan menggunakanpersamaan
Rt(t) = Rt(t + ~ t) -Rt(t -~ t)
2~t
Round-off errors, hal ini berkaitan dengan
implementasi dari algoritma yang digunakan.
Misamya, sampai seberapa banyak angka yang
digunakandalamkomputasiaritmatikanya.
Keduajenis kesalahandi atas dapat diperkecil dengan
memperkecil ~t. Untuk harga M, yang besar maka
kesalahanakan didominasi oleh jenis pertama namun
kesalahan ini akan mengecil dengan cepat bila ~t
diperkecil. Kesalahanjenis keduamengecillebih lambat
dibanding dengan kesalahan jenis pertama dengan
mengecilnya ~t. Penggunaan komputasi
double
~,
+ 0(.1 t4)
Namun kesalahan dalam persamaan untuk
kecepatan ini adalah dalam order Llr, bukan lagi dalam
order Llt4, sebagaimana halnya persamaan (22). Untuk
mengatasi persoalan ini telah dikembangkan beberapa
variasi dari algoritma Verlet ini yang salah satu di
antaranya adalah
Rt(t + ~ t)
=
Rt(t) + Rt(t) ~ t + (1/2) Rt(t) ~ t2
Rt(t + ~ t/2)
;
Rt(t) + (1/2) Rt(t) ~ t
Rt(t+~t)
;
-(l/MvVU(Rt(t+~t))
Rt(t + ~ t)
=
Rt(t + ~ t/2) + (1/2) Rt(t + ~ t) ~ t
Predictor-Corrector
Algoritma ini pertama kali digunakan untuk
keperluan simulasi dinamika molekul oleh Rahman[17].
6J~ 2001
~
Sedangkan versi yang kemudian sering digunakan
biasanya diambil dari metoda yang koleksi oleh Gear
[18]. Sesuai dengan namanya metoda ini secara garis
besar terdiri atas dua tahap yaitu prediksi dan kemudian
disusul dengan koreksi terhadap prediksi itu.
Prediksi
posisi atom R" pada waktu t+Llt
dilakukan dengan menggunakan deret Taylor sampai
orde ke lima yang di dasarkan atas pengetahuan
mengenai posisi dan turunan turunannya pada waktu t.
Dengan demikian turunan turunan R'" R"" R(iii),dan R(vi),
diperlukan di setiap tahap dan nilalinya pada waktu t+Llt,
dicari dengan menggunakan deret Taylor sebagaiberikut
~('+4t)
(t)~ 41 + R(.i
l'( J ~ 51
+ R(,o>
t
t
B.,(t+4t)
t
3!
) ~+~
+Rii")(t
R,(t + At)
n~;;')(t+4t) ~ ~iji)(t)+R~;.)(~)4t+R~II)(~)~
R~w)(t+6t) = R}W)(t)+~O)(t)4t
R}°)(t+.1t) ~ Ri~)(t)
Gaya yang bekerja pada setiap atom pada waktu t,
diperoleh dengan menggunakan prediksi koordinat
koordinat atom tersebut.
Koreksi terhadap prediksi koordinat clan turunan
turunannya dilakukan dengan menggunakan adanya
perbedaan antara percepatan basil prediksi clan yang
diperoleh dari perhitungan gaya. Jika didefinisikan
bahwa
=
Rt{t
+ &}
-R.~{t
1/6
5/6
~
q=5'
19/120
3/4
1/3
1/2
3/6
251/360
1
11/18
1/12
1/6
1/60
PENGENDALIAN TEMPERA TUR
~ R.,(t)+R}4H)(t)
4£+ R}ill)(t)~~R}V)(t)~
~ == ~A Rt{At}1
2
~
<Xi
<Xo-
as
4! .
P~)
H~- ~.~
Tabel 1. Harga parameter <Xi.dalam algoritma Gear untuk
persamaan
diferensial orde dua dengan menggunakan
prediktor orde q.
~
= Rot(t)+~(t)4l+R}H')(t)~
HJ4d (~
pada orde dari deret Taylor yang digunakan dalam proses
prediksi. Gear mendapatkan harga harga parameter ini
dengan menggunakan setiap algoritmanya pada
persamaan persamaan diferensial linier daD analisis
matrik stabilitasnya.
~
~
~
= R,r;(t)+~(t)4t...Iit(t)~+R}tU)(t)¥
~
+At}
(23)
Terdapatcukup banyak mekanismetermostatik
yang tersediadalamliteratur. Banyak peneliti melakukan
pengendalian temperatur dengan cara menyesuaikan
harga kecepatansecarateratur clanterns menerusselama
simulasi berlangsung. Formulasi metoda dinamika
molekul pada temperaturkonstanyang paling lengkap
pertamakali diperkenalkanoleh Nose. Ia menunjukkan
bahwa metoda metoda terdahulu dapat diturunkan daTi
metoda yang diperkenalkannya.Karena alasan inilah
maka hanya metoda ini yang akan disampaikandalam
makalah ini. Meskipun demikian di sini akan
disampaikan metoda Nose [19] yang telah
disederhanakan
oleh Hoover [20] sehinggakomputasinya
menjadilebihmurah.
Berdasarkanalgoritma Nose-Hoover maka
persamaan
gerakperlu dimodiflkasimenjadi
di mana R~{t+t.t} , diperoleh melalui prediksi maka
denganmenggunakan
algoritma Gear koreksi dilakukan
sebagaiberikut
Rt = Rf +~ao
~&
=
Sukutambahanzeta,dot(BR)ell, bertindaksebagaimana
halnya gaya gesek. Koefisien zeta, adalah variabel
dinamis baru denganevolusinya diatur oleh persamaan
sebagaiberikut:
~t\t +~!Xl
Q ~ = L Mt (Rr -gkeT
(25)
t
di mana Q, adalah masa dinamis dari tennostat, k B,
adalah konstanta Botlzmann, daD T, adalah temperatur
atom yang diinginkan, serta g=3N, dengan N, adalah
jurnlah atom yang acta di d~lam simulator. Penggerak
Adapun harga parameter parameter C1j,dalam algoritma
Gear di atas dapat dilihat dalam tabel di bawah ini.
Parameter ini rnernelihara stabilitas nurnerik dari
algoritrna ini. Harga parameter (Xi,tergantung pada orde
dari persamaan diferensial yang akan dipecahkan clan
8
~,
perubahan dari
koefisien ~
adalah
adanya
ketidakseimbangan antara energi kinetik daD harga rata
rata gkBT. Umpan balik negatif akan menjamin energi
kinetik berosilasi di sekitar harga konstan yang diberikan
6J~ 2001
~
~
M..itIt..l(Stt
t
P~)
H,-- 1(.
~
oleh gkBT. Jika harga energi kinetik ini lebih besar dari
gk BT, turunan terhadap waktu dari ~, berharga positif,
atau ~' > 0, dan ~ bertarnbah besar harganya sehingga
tekanan dapat dikendalikan. Sebagairnana dalam
pengendalian temperatur di sini pun digunakan sebuah
massa semua Mv, yang merepresentasikan massa piston
yang bergerak sehingga memungkinkan volume
bervariasi besarnya. Namun untuk
mengurangi
kompleksitas jika harus menganalisis dinamika piston
maka diasumsikan bahwa perubahan volume bersifat
uniform. Kedalam sistem ditambahkan dua buah derajat
kebebasan sehingga persamaan persamaan gerak yang
terlibat adalah
rnenjadi positif. Di daerah ~ positif sistern akan
rnengalarni pendinginan. Jika harga energi kinetik lebih
rendah dari gkBT rnekanisrna umpan balik negatif bekerja
sebaliknya; dalarn hal ini ~ akan rnengecil sarnpai
rnenjadi negatif, dan di daerah ~ negatif sistern akan
rnengalarni pernanasan.Dengan tara seperti inilah energi
kinetik akan berosilasi di sekitar harga rata rata gkBT.
Jadi energi kinetik rata rata akan rnernpunyai harga yang
sarnadengan hasil teori ekuipartisi gkBT.
Jika didefmisikan suatu variabel s sedernikian
rupa sehingga
.,
~
.?
,=~
s
S
V
sehingga dapat dituliskan persamaandinamis untuk s
sebagaiberikut
maka Hamilton sistem dengan
kebebasan itu menjadi
1
= -M;Vl73VU{{~})=
=
S-
-+S
sV
-+.
S
(s:;+w?V ) R.t
G IS
Ms
(31)
G')Sl
3M\,V
di mana
Gl
=
Gl
= mV1/3L Ri+Vl/3 L Rtt .Fu'- 3PV
tambahan derajat
Mt.yl/3I:
.
Rl-gkBT
.l<l!
di mana RD' = R, -R', dan FI/' adalah gaya yang bekerja
pacta atom I akibat interaksinya dengan atom r.
Sedangkan untuk harga tekanan P, dan temperatur T,
merupakan harga yang diinginkan dan oleh karena itu
merupakan harga awal yang diberikan. Adanya tambahan
dua derajat kebebasan maka perataan dinamika sistem
fisis ini akan menghasilkan perataan yang berada dalam
ensambel (NPT). Hamilton dari sistem dengan tarnbahan
dua derajat kebebasanmenjadi
Walaupun Hamilton ini lestari namun tidak mempunyai
arti fisis. Mengingat sifat kelestariannya Hamilton ini
dapat digunakan untuk mengecekkeabsahandari proses
simulasi untuk ensambel (NVT) ini.
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan (24)
secara numerik dapat diturunkan sebagaimana halnya
algoritma Verlet. Jika didefinisikan /3= (1/2),l;(t)~t,
maka dapat diperoleh evolusi posisi atom sebagai berikut
11= ~MtV1/J 1;: ai+U{{~}}+
~(t+&)= ~
~M,{lls}1 +~M"{V Is}1+tk6nns+PV
(32)
['2RtCt)-(I-I3)~(t-&)+~(,)&?]
+0(&' (27)
Walaupun Hamilton ini lestari namun tidak
mempunyaiarti fisis. Mengingat sifat kelestariannya
Hamilton ini dapat digunakan untuk mengecek
keabsahandaTiproses
simulasiuntukensambel(NPT) ini.
Sedangkan evolusi untuk variabel dinarnis l;; dapat dicari
dengan menggunakan persarnaanberikut
+ O(At]) (28)
SIMULASI SISTEM SILIKON
PENGENDALIAN TEKANAN DAN TEMPERA TUR
Walaupuncukup banyak metodapengendalian
tekanan namun gabungan pengendaliantekanan dan
temperaturcukup menarikuntuk disoroti di sini. Metoda
ini pada dasarnyaditurunkan dari ensambelisotermalisobarik(NPT). Dalam makalah ini secararingkas akan
disampaikanalgoritma (NPT) yang secara lebih rinci
dapat dilihat misalnya di [21]. Diasumsikan bahwa
volume sistem dapat divariasikanuntuk menjagaagar
~,
Sebagai contoh dari metodologi simulasi
dinarnika molekul di sini disajikan simulasi sistem 64atom silikon dengan struktur intan yang ditempatkan
dalarn suatu simulator kubus dengan sisi L=lO,48A
Dengan demikian kepadatannya adalah 2,59gr/cm3 yaitu
tepat sarna dengan kepadatan silikon cair pada
temperatur leburnya. Selanjutnya diberlakukan syarat
batas periodik sehingga di setiap saat sebuah atom dalarn
kubus akan memiliki 26 citra. Kepadatan sistem akan
6J~ 2001
9
~
konstan karena diberlakukannya syarat batas periodik
ini. Selang waktu integrasi yang digunakan di sini adalah
1,0 X10-15detik.
Energi potensial sistem yang kami gunakan
adalah ikatan kuat terparameterisasi sebagaimana
diberikan oleh persamaan (3). Untuk mendapatkan energi
minimum sekaligus menurunkan persamaan gerak kami
menggunakan formalisme Carr-Parrinello.
Dengan
demikian
pada dasarnya digunakan persamaan
persamaan (20) clan (21) hanya energi total kami
turunkan dari ikatan kuat terparameterisasi. Juga kami
sajikan di sini penggunaan mekanisme termostatika
Nose-Hoover baik pada temperatur rendah maupun pada
temperatur tinggi, yaitu temperatur lebur silikon.
~
H..lt/...l(Slt.4 P~)
H~- K.~
dimampatkan. Mengembangnya kaki kaki fungsi delta
disebabkanoleh karena adanyapergeseranacak posisi
atom dari posisi keseimbangannya. Posisi posisi puncak
pertama dan kedua menunjukkan jarak tetangga tetangga
terdekat pertama dan kedua, yaitu si 2,27Adan 3,72,A.
Sebagai pembanding kami sampaikan disini bahwa jarak
tetangga terdekat pertama dan kedua dari kristal silikon
dengan struktur intan (normal dan tidak dimampatkan)
adalah 2,35Adan 3,84,A,. Dalam studi ini kami memilih
untuk menggunakan fungsi pasangan korelasi g(r),
dibanding dengan faktor struktur statis S(k), mengingat
terbatasnya ukuran sel yang kami gunakan. Tabel 2
menunjukkan sejumlah parameter penting basil studi
mengenai silikon pada rasa cair dari para peneliti
terdahulu.
1500 I
'
1000 ~
'.:'
'5\
500
nL-0
-2
4
a
-6
jarak r(A)
Gambar 1. Korelasi pasangan korelasi (pair correlation)
untuk sistem 64 atom
silikon yang dimampatkan
(compressed). Posisi puncak-puncak pertama dan kedua
berturut-turut
menunjukkan
jarak tetangga
terdekat
pertama dan kedua
O'Oe+OO
Konfigurasi atom atom pada rasa cair sangatlah
berbeda dengan konfigurasi atom atom padatan. Oleh
karena itu perlu digunakan suatu kuantitas yang mampu
memberikan deskripsi kuantitatif mengenai distribusi
jarak antar atom. Besaran ini dapat digunakan sebagai
ukuran konfigurasi atom atom dalam rasa cairo Untuk
tujuan ini di sini digunakan fungsi distribusi pasangan
g(r), sebagaimanahalnya [] yang didefinisikan sebagai
~
-6.00-06
I.
.
1.2e.05
-2.4e-Q5
V
n(r)Ar ]
g(r) = N [47fr2
.-05
'1.Oe...oo
dimana n(r), adalah jumlah atom yang berada pada jarak
antara r daD r+Ar dari suatu atom yang dimaksud, N,
adalah jumlah atom di dalam volume V. Persamaan di
atas pada dasarnya juga menyatakan bahwa n(r) sarna
dengan jumlah atom yang berada di dalam elemen bola
konsentris dengan jari jari r, daD r+L\r dengan atom yang
dimaksud sebagai titik pusatnya. Dalam prakteknya
perhitungan numerik dilakukan dengan cara perataan dari
semua atom di dalam kubus simulator sebagai titik
pusatnya.
Gambar
korelasi untuk
10
1.4e-12
2.1e-12
2.~lJ -"
~-
3.5e-lJ
waktu (detik)
1. menunjukkan fungsi pasangan
sistem 64 atom silikon yang
~I
7.0e-1J
Gambar 3. Evolusi ketelitian; garis tebal merupakan
evolusi ketelitian jika sistem mengalami quenching satu
kali di awal simulasi dengan melakukan diagonalisasi
matrik Hamilton, sedangkan garis terputus adalah evolusi
jika sistem mengalami quenching sebanyak due kali
dengan menggunakan metoda steepest descent di awal
simulasi
.
Evolusi temperatur elektron elektron semu.
Garis tebal merupakan evolusi jika sistem mengalami
quenching satu kali dengan melakukan diagonalisasi
matrik Hamilton. Garis terputus merupakan evolusi
temperatur jika sister:n mengalami quenching sebanyak
6J~ 2001
~
~
/1..id..l(~
P~)
H~- K.~
parameterQ=2850, daD didapatkan temperatur sistem
berosilasidi sekitar temperaturyang diinginkan dengan
amplitudo yang wajar. Potensial sistem dimana
temperatur dikendalikan menggunakan mekanisme
termostat melalui penyesuaian kembali kecepatan
ditumpangtindihkansebagaiperbandingan.
dua kali dengan menggunakan metoda steepest descent
di awal simulasi
Gambar 2 daD 3 menunjukkan temperatur dan ketelitian
elektron elektron semujika sistem mengalami quenching
satu kali di awal simulasi dengan menggunakan
diagonalisasi langsung matrik Hamilton. Hasil basil
proses sejenisjika dilakukan quenching
sampai dua kali ditampilkan secara bersama sarna untuk
membandingkan kinerja kedua metoda tersebut. Di sini
kami tidak menyajikan evolusi potensial daD temperatur
ion ion untuk kedua kasus itu karena harga harganya
nyaris sarna.
2200
2000
g
5
~
190
~
E
1!.
184
.\
.,
.c
.."
.'
g
~
\
I ..
..
".I
/,' ,':"
1400
..
l~~+OO
8-
E
~
..'
I' I
166
160I
O.Oe+OO
.,
4.De-13
.waktu
.; " ..
", ,
.S.oOe:13
7.sOe:13
1.00e:12
1.2ie-12
Gambar 5. Temperatur sistem versus waktu dengan
termostat diatur pads T=17000K dan Q=2400. Posisi awal
atom atom diambil dari keadaan cair yang amat panas
., :'
I
.2.sOe:13
waktu (detik)
" " .-,
« " .' ..
..
B.De-13
1.2e-12
(detik)
1.6e-12
2.De-12
Gambar 4. Temperatur atom sebagai fungsi waktu. Garis
tebal berasal dari Lagrangean semu sedangkan garis
terputus-putus dari Lagrangean fisis. Dalam kedua kasus
pengamatan ini temperatur sistem dikendalikan dengan
menggunakan mekanisme Nose-Hoover
Temperaturatom atomadalahsekitar 175°Kyang berarti
jauh di atas temperaturelektron semutersebut.Dengan
demikiandapatdisimpulkandi sini bahwapadadasarnya
melakukan proses quenching satu kali dengan
diagonalisasi matrik Hamilton adalah sarna baiknya
denganmelakukanproses quenchingdua kali dengan
metoda minimisasi steepestdescent.Oleh karena itu
dalam penelitian yang kami sajikan di sini telah
digunakanmetodadiagonalisasimatrik Hamilton di awal
simulasisistem.
Dalam simulasipada temperaturkonstan175°K,
tersebutkami menggunakanparameterQ=205, dengan
satuan energi x waktu2,dan titik potong Rc=2,80A.
Gambar4 menunjukkantemperatursistemsebagaifungsi
waktu untuk suatu simulasi selama2 pikodetik. Dalam
gambar tersebutditunjukkan keadaantemperatursistem
untuk kedua metoda simulasi, yaitu baik untuk
Lagrangeansemumaupun Lagrangeanfisis (minimisasi
energi sistem dilakukan di setiap langkah integrasi.
Sedangkandi gambar5 kami tunjukkan potensialatom
atom sebagaifungsiwaktu. Dari keduagambarini dapat
kita lihat bahwameskipuntemperatursistemLagrangean
semu lebih dekat ke temperatur yang diinginkan
dibandingkan Lagrangean fisis namun potensial
keduanyanyarissarna.
Gambar5 menunjukkansistempadatemperatur
leburnya. Untuk simulasi ini kami menggunakan
~,
Gambar 6 menunjukkan
mean square
displacement ~ msd yang dihitung dengan menggunakan
posisi atom R (t) dalam selang waktu t, sebagai berikut
(R2(t») =
di mana 't menyatakanhimpunan keadaan awal daD tanda
kurung miring menyatakan
perataan. Selanjutnya
koefisien difusi D, dihitung dengan menggunakan bagian
linier dari msd ini. Simulasi pada gambar 6 berlangsung
selama 0,15, pikodetik.
Sedangkan gambar 7
menunjukkan korelasi pasangan g(r),terhadap jarak r.
Ketelitian darisimulasi ini ditunjukkan oleh gambar 8.
6J~ 2001
l
"
~
~
H..ltiL..l
15tt...tP~)
H~~
Harga Q, yang terlalu kecil akan menyebabkan
tiadanya
interaksi antara massa sumberpanas dan massaatom,
masing masing mencapaikeadaanseimbangnyasendiri
sendiri. Untuk harga Q=2400, kami mencapaiketelitian
dalamorde 10.3.
3.0
2.0
-;:-
'51
.0
0.0 ...J!
0.0
1.2
.I
2.4
..I
3.6
4.8
6.0
jarak r(A)
Gambar 7. Korelasi pasangan g(r), versus jarak r, pada
temperatur
lebur sistem.Simulasi
berlangsung
dalam
waktu 0,15 pikodetik. Bulatan hitam berasal dari difraksi
sinar X [22] sedangkan garis vertikal terputus-putus
merupakan lokasi titik potong
KESIMPULAN
Dalam makalah ini telah dikemukakansecara
cukup rinci mengenai metoda simulasi dinamika
molekul. Kerincian dari makalah ini dimaksudkanagar
dapat digunakan sebagai sumber bagi para pemula
dalam menggunakanmetoda ini untuk keperluannya
masingmasing. Sebagaicontoh aplikasisederhanatelah
disajikan basil simulasi sistem silikon dengan
menggunakanenergi ikatan kuat dan formalisma CarrParrinello.Sengajadipilih sistemini karenatelah banyak
basil basil mengenaisistem ini dari peniliti terdahulu
yang menggunakanberbagai metoda lainnya. Dengan
demikian sistem silikon ini dapat digunakan untuk
mengujikeabsahansimulasiyang telah kami lakukanitu.
Walaupunsimulasiyang kami lakukan bersifat sangat
dini dan sederhananamunhasilnyatemyatatidak banyak
berbedadenganbasilpara penelititerdahulu.
PENGHARGAAN
Kami ingin menyampaikan ucapan terima kasih
kepada Menteri Riset dan Teknologi Republik Indonesia
yang telah memberikan dukungan keuangan bagi
penelitian ini melalui RUT V 1997-1999. Tanpa
12
~I
1(.~
dukungan tersebut penelitian dan hasilnya tidak dapat
kami sajikan dan laporkan di sini. '
DAFTARPUSTAKA
[1]. B.J. ALDER AND T.E. WAINWRIGHT, J.
Chern.Phys. 27,1208 (1957)
[2]. T.E. KAP.AKASIDIS AND M. MEYER,
Modeling Simul. in Mat. Sci. and Eng. (8 ),117
(2000)
[3]. O.M. CABARCOS ADN J.M. LISY, Inti. Journal
of Mass Spectroscopy(185 186187),883 (1999)
[4]. S. PALUCHA AND Z. GBURSKI, J. Mol.
Structure(480-481),343 (1999)
[5]. YOUNG-KYUN KWON, D. TOMANEK, ADN
S. IIJIMA, Phys.Rev.Lett. (82), 1470(1999)
[6]. M. J. MEHL AND D. A. PAPACON
STANTOPOULOS,Phys. Rev. B (54), 4519
(1996)
[7]. L. VERLET, Phys.Rev. (159),98 (1967)
[8]. TOMANEK AND SCHL"UTER,Phys.Rev. Lett.
(56), 1055(1986)
[9]. D.J. CHADI, Phys.Rev.B (29),785 (1984) 9
[10]. K. RAGHAVACHARI, J. Chern. Phys. (83),
3520(1985 )
[11]. F.S. KHAN AND J.Q. BROUGHTON,Phys.Rev.
(39 ), 3688(1989 )
[12]. W. KOHN AND L.J. SHAM, Phys.Rev. (140),
Al133 (1965)
[13]. J.M. THIJSSEN,
Computational Physics,
CambridgeUniversityPress,Cambridge1999
[14]. TOM'AS A. ARIAS, Notes on the (ab initio)
theory of moleculesandsolids: Densityfunctional
theory, Physics 680 class notes, Departmentof
Physics,CornellUniversity,Cornell2000
[15]. R. CAR AND M. PARRINELLO, Phys. Rev.
Lett. (55),2471 (1985 )
[16]. J.M. HAILE, Molecular DynamicsSimulation:
Elementary Methods, John Wiley, New York,
1992 16
[17]. RAHMAN, Phys.Rev. (136) (2A), 405 (1964)
[18]. C.W. GEAR, Numerical Initial Value Problems
in Ordinary Differential Equations,Prentice-Hall,
EnglewoodCliffs, NJ 1971
[19]. S. NOS'E, Molec. Phys. (52),255 (1984)
(20]. W.G. HOOVER,Phys.Rev. A (31 ),1695 (1985)
[21]. D.C. RAPAPORT, The Art of Molecular
Dynamics Simulation, Cambridge University
Press,Cambridge1995
[22]. STICH, R. CAR, M. PARRINELLO, Phys.Rev.
Lett. 63,2240 (1989 )
6 J~ 2001
Ke Daftar Isi