Aljabar Boolean dan Gate

Aljabar Boolean dan Gate
Gerbang

Digital adalah rangkaian yang bernilai 1
atau 0, true atau false, on atau off




0 sampai 1  biner 0
2 sampai 5  biner 1
Diluar hal tersebut tidak di ijinkan
Gerbang adalah peralatan elektronik kecil
yang dapat mengkalkulasi berbagai fungsi
dari sinyal dengan dua nilai
Transistor dan Gerbang
+ Vcc
Vout
Kolektor
+ Vcc
+ Vcc
Vout
V1
Vout
V1
V2
Vin
Emiter
Basis
Inverter/
NOT
V2
Nand
Nor
5 Gerbang Utama
NAND
NOT
A
X
A
NOR
X
B
A
AND
X
B
A
OR
X
A
X
B
B
A
X
A B X
A B X
A B X
A B X
0
1
0 0 1
0 0 1
0 0 0
0 0 0
1
0
0 1 1
0 1 0
0 1 0
0 1 1
1 0 1
1 0 0
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 0
1 1 1
1 1 1
Inverter
AND Adalah NAND yang di invert
OR Adalah NOR yang di invert
NAND dan NOR butuh 2 T
AND dan OR butuh 3 T
Aljabar Boolean




Logic (logika) berasal dari kata logos (Bhs. Yunani) yang artinya
kata (word) atau apa yang diucapkan, kemudian berubah menjadi
studi sistem preskriptif dari argumen (argument) dan penalaran
(reasoning), yaitu sistem yang menjadi acuan bagaimana manusia
harus berfikir.
Logika dapat dikatakan sebagai bentuk penarikan kesimpulan,
apakah sesuatu atau argumen itu absah (valid) atau sebagai
pendapat yang keliru (fallacious).
Logika mendefinisikan struktur statement dan formula argument
dan devises di mana semuanya dibuat kodenya.
Dua kategori logika:


Deductive reasoning : secara logika apa yang harus dilakukan dari suatu
pendapat (premise).
Inductive reasoning : bagaimana cara menyatakan sejumlah kejadian hasil
pengamatan menjadi sebuah bentuk umum yang dapat dipercaya.
Aljabar Boolean

Jenis logika:
 Aristotelian : 2 prinsip penting dalam logika yaitu tidak
ada rumusan (preposition) benar atau salah dan adanya
sebuah rumusan mungkin benar atau salah.
 Formal : hubungan antara konsep dan adanya sebuah
cara untuk membuat komposisi bukti-bukti pernyataan
 Mathematical : logika berbasis formal untuk studi
pemikiran matematikal.
 Philosophical : kaitan antara bahasa alami dan logika.
 Predicate : sentential logic level yang menjelaskan sifat
kerja kata-kata seperti and, but, or, not, if-then, if and
only if, dan neither-nor.
 Multi-valued : logika yang menambahkan possible
sebagai harga ketiga selain false dan true.
Aljabar Boolean

Komputasi çè logika formal:



Logika Boolean (aljabar Boolean)
Fuzzy logic.
Aljabar Boolean:



Dibuat George Boole (1850) dikembangkan John
Venn (1881, Symbolic Logic) dan diperhalus
Charles Dodgson menjadi Diagram Venn.
S {K buah elemen dan 2 operator (product, sum)}
Prinsip duality, cara mempertukarkan
operasioperasi product dengan sum atau
sebaliknya.
Aljabar Boolean

Definisi, boolean algebra




An algebraic structures which capture the essence of the
logical operations [AND, OR, NOT] as well as the set theoretic
operations [union, intersection, complement]
An abstract mathematical system primarily used in computer
science and in expressing the relationships between groups of
objects or concepts (sets).
Penggunaan teknik aljabar untuk ekspresi proportional
calculus.
Sifat-sifat fungsi-fungsi Boolean



Logical sum, that is Boolean OR, of several argument
values is true if one or more of the argument values is true
and is false only if all the argument values are false.
Logical product, that is Boolean AND, of several
argument values is false if any of the argument values is false
and is true only if all the argument values are true.
NOT function ensures that NOT false = true and NOT true
= false.
Definisi Formal

Definisi Formal (lanjutan)

Mutually distributive:



Universal bounds:


0 ^ a = 0, 0 v a = a, I ^ a = a, I v a = I
Unary operations (inverse):



a ^(b v c) = (a ^ b)v(a ^ c) dan
a v(b ^ c) = (a v b) ^ (a v c)
a ^ a’ (¬a) = 0
a v a’ = I
De Morgan:


¬(ab) = ¬a v ¬b
¬(a + b) = ¬a ^ ¬b
Simplifikasi

Simplifikasi: C + ¬(BC)
Ekspresi
Rules
C + ¬(BC)
Original Expression
C + (¬B + ¬C)
DeMorgan's Law.
(C + ¬C) + ¬B
Commutative, Associative
Laws.
T + ¬B
Compliment Law.
T
Identity Law.
Simplifikasi

Simplifikasi: ¬(AB)(¬A + B)(¬B + B)
Ekspresi
Rules
¬(AB)(¬A + B)(¬B + B)
Original Expression
¬(AB)(¬A + B)
Compliment law, Identity
law.
(¬A + ¬B)(¬A + B)
DeMorgan's Law
¬A + (¬B)B
Distributive law. This step
uses the fact that or
distributes over
and. It can look a bit
strange since addition does
not
distribute over
multiplication.
¬A
Compliment, Identity
Simplifikasi

Simplifikasi: (A + C)(AD + A(¬D)) + AC
+C
Expresi
Rules
(A + C)(AD + A(¬D)) +
AC + C
Original Expression
(A + C)A(D + ¬D) + AC
+C
Distributive.
(A + C)A + AC + C
Compliment, Identity.
A((A + C) + C) + C
Commutative, Distributive.
A(A + C) + C
Associative, Idempotent.
AA + AC + C
Distributive.
A + (A + T)C
Idempotent, Identity,
Distributive.
A+C
Identity, twice.
Ekspresi Boolean

Bentuk



Hirarki evaluasi






Triplets: A OR B, X AND y
Diadics: NOT Z
Urutan top-bottom
Ekspresi tanda kurung
NOT
AND
OR
Contoh: A AND B OR NOT C AND D identik dengan
((A AND B) OR ((NOT C) AND D))
Notasi Boolan

Umum
Pemrograman
Operasi Boolean-1
Operasi Boolean-2
Operasi Boolean-3


AND
·
^
OR
&&
+
+
v
NOT
||
¬
/
~
Variabel
 True=T=On=1
 Fasle=F=Off=0
Polish
 A • B => A B •
 A + B =>AB +
 ~B =>B ~
 Contoh: (A B) + ~(C + D) è ((A B )((C D + )~) +) è A B C D
+~+
Aljabar Boolean

Variabel dan fungsi yang memiliki nilai
0 dan 1
A B C -A -B -C
TK F.Mayoritas
A
A B C M
1
-A
0 0 0 0
Rangkaian TK F.Mayoritas
M=f(ABC)
4
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
5
B
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
-ABC
A-BC
-B
2
C
3
6
AB-C
-C
7
ABC
M
Tabel Kebenaran
Aljabar Boolean


Simplifikasi aljabar Boolean memungkinkan desainer
komputer membuat sirkit elektrikal.
Dari fungsi F (N argumen) dapat didefinisikan sebuah
tabel kebenaran dengan 2N masukan dapat digunakan
untuk mencari ekspresi minterm dan maxterm. Misal untuk
var. A, B, dan C:
Aljabar Boolean




A term is a variable or a product (logical
AND) of several different literals. For
example, if you have two variables, A and B,
there are 8 possible terms: A, B, ¬A, ¬B,
¬A¬B, ¬AB, A¬B, and AB.
A minterm is a product containing exactly N
literals.
In general, there are 2N minterms for N
variables.
The set of possible minterms is very easy to
generate since they correspond to the
sequence of binary numbers.
Aljabar Boolean


Representasi singkat
 Sum of minterms (SOM) ~ keluaran dari baris tabel
kebenaran harganya 1, menggunakan notasi sigma (S).
 Product of maxterms (POM) ~ keluaran dari baris tabel
kebenaran harganya 0, menggunakan notasi phi (? ).
Contoh, dari tabel kebenaran hal. 14:
 F(A, B, C)
= ¬A.¬B.¬C + ¬A.B.C + A.B.¬C
= m0 + m3 + m6 = S m (0, 3, 6)
 F(A,B,C) =
(A+B+¬C).(A+¬B+C).(¬A+B+C).(¬A+B+¬C).(
¬A+¬B+¬C)
= M1M2M4M5M7 = ? M(1, 2, 4, 5, 7)
Aljabar Boolean
Minterms dan SOM untuk 4-variabel:
 Y = ~A~BCD + ~ABCD + A~B~CD [blok]

Membaca Tabel Kebenaran (TK)



Karena n var, kemungkinannya 2n
Untuk 2 var = 00 01 10 11
Dibaca berdasarkan kolom hasil
 NOT
= 01 (2 bit=4 kemungkinan)
 NAND
=1110 (4 bit=16 kemungkinan)
 NOR
=1000 (4 bit=16 kemungkinan)
 AND
=0001 (4 bit=16 kemungkinan)
 OR
=0111 (4 bit=16 kemungkinan)
 Operator AND = . atau DOT
 Operator OR
= + atau plus
Elektronika Dasar
Integrated Circuit (IC)



IC (rangkaian terpadu) sering disebut chip
Kemasan dengan 2 deret pin diluar dan IC di dalamnya
secara teknis disebut sebagai Dual Inline Packages (DIP)
– Klasifikasi chip:
SSI (small scale integrated) = 1 -10 gates
MSI (medium scale integrated) = 10 – 100 gates
LSI (large scale integrated) = 100 – 100000 gates
VLSI (very large scale integrated) = > 100000 Gates
Contoh chips Intel: 4004, 8008, 8080, 8085, 8086, 80x86,
Pentium, Itanium.
Kemasan paling umum memiliki 14, 16, 18, 20, 22, 24, 28,
40, 64 atau 68 pin.

Logika & teknologi gate


IC = S (diode, resistor, transistor) secara terpadu;
bipolar atau MOS.
Bipolar menghasilkan SSI dan MSI yang cepat, tetapi
perlu daya dan volume IC besar.




DTL (diode-transistor logic)
TTL (transistor-transistor logic)
ECL (emitter-coupled logic)
MOS menghasilkan LSI, VLSI, ULSI yang kompak, daya
kecil, tetapi lebih lambat dibanding bipolar



PMOS (p-Channel MOSFET)
NMOS (n-channel MOSFET)
CMOS (complimentary MOSFET)

Implementasi TTL, seri



74xx, bekerja pada 0 - 70 C dan 4.75 - 5.25 V; 2
jenis: high-speed TTL dan low-power TTL.
52xx, bekerja pada -55 - >125 C dan 4.75 - 5.25
V; khusus untuk keperluan militer
Karakteristik TTL




Floating TTL input akan bekerja sebagai high input
Worst-case input voltage, masukan antara 2 to 5 V
akan menjadi high input untuk TTL
Worst-case output voltage, output antara 0.4 - 2.4
V
Compatible, output satu TTL bisa jadi input TTL
lain.

Karakteristik TTL




Noise margin, selisih tegangan TTL driver – TTL
load = 0.4 V, merepresentasikan proteksi terhadap
noise.
Sourcing & sinking, jika TTL output rendah akan
muncul arus emitter yang bergerak dari emitter ke
collector [= sink] dan sebaliknya sebaliknya bila
TTL output tinggi [= source].
Standard loading, sink = 16mA dan source = - 400
mA
Loading rules: pick driver - pick load è fanout =
max number of TTL emitters that can be reliably
driven under worst-case conditions pada irisan
keduanya.
Contoh dari F.Mayoritas
A=1,B=0,C=1 maka A.-B.C=1
 -A.B+B.-C=1, untuk A=1 dan B=0 atau
B=1 dan C=0





-A.B.C=1 (Z1)
A.-B.C=1 (Z2)
A.B.-C=1 (Z3)
A.B.C=1 (Z4)


Jadi M=1(benar) jika salah satu dari Z1..Z4 adalah 1 (benar)
M=-A.B.C+A.-B.C+A.B.-C+A.B.C
Implementasi Fungsi Boolean
1.
2.
3.
4.
5.
Tulis Tabel Kebenaran dari Fungsi tsb
Sediakan Inverter (Gerbang NOT) untuk
menghasilkan komplemen tiap input
Gambar Gerbang AND dengan sebuah Bit 1
pada kolom hasil
Hubungkan Gerbang AND ke input yang
sesuai
Masukkan output gerbang AND ke Gerbang
OR
Step 1, Tabel Kebenaran
M=Fungsi(ABC)

3 var, jadi 23=16, buat tabel dengan 3 var
dan 16 kemungkinan
A B C M
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Step 2, Inverter dan komplemennya
M=F(ABC)
A B C -A -B -C
A
1
B
-A
-B
2
C
3
-C
Komplemen Inverter A,B dan C
Step 3, Gambar gerbang AND
M=F(ABC)
A B C -A -B -C
A
1
-A
4
5
B
-B
2
C
3
6
-C
7
Step 4, Hubungkan input yang sesuai dengan
gerbang AND
M=F(ABC)
Kemungkinan kombinasi dari
Hasil Inverter adalah –ABC,A-BC,
AB-C dan ABC
A B C -A -B -C
A
1
-A
4
5
B
-ABC
A-BC
-B
2
C
3
6
AB-C
-C
7
ABC
Step 5, Masukan Output gerbang AND ke Sebuah
Gerbang OR
M=F(ABC)
A B C -A -B -C
A
1
-A
Rangkaian TK F.Mayoritas
M=f(ABC)
4
5
B
-ABC
A-BC
-B
2
C
3
6
AB-C
-C
7
ABC
M
IMPLEMENTASI Fungsi Boolean
(lanj.)



Menggunakan gerbang NAND dan NOR, sesuai
prosedur tadi, sehingga membentuk gerbang NOT,OR
dan AND
Ganti gerbang multi input dengan rangkaian
ekuivalen yang memiliki 2 input.
 Misal A+B+C+D, menjadi (A+B)+(C+D) dengan 3
OR 2 input
Terakhir gerbang NOT,OR dan AND di ganti dengan
rangkaian sbb :
IMPLEMENTASI Fungsi Boolean
(lanj.)
Gerbang NAND
A
-A
-A
A
1 var di NAN dan di NOR
= NOT
Gerbang NOR
2 var di NAND= AND
A
B
A
AB
AB
B
2 var di NOR= OR
A
A
AB
B
B
A+B
Ekuivalensi Rangkaian

Ide Jumlah gerbang semakin sedikit cost
semakin murah
A
B
C
AB
AC
AB+AC
A
B
C
A
B+C
A(B+C)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Rangkaiannya
A
B
AB
AB+AC
C
AC
A(B+C)
A
B
C
B+C
Hukum Aljabar Boolean
Nama
Bentuk AND
Bentuk OR
Identitas
1A=A
0+A=A
Pembatalan
0A=0
1+A=1
Idempoten
AA=A
A+A=A
Inversi
A-A=0
A+-A=1
Komutatif
AB=BA
A+B=B+A
Asosiatif
(AB)C=A(BC)
(A+B)+C=A+(B+C
)
Distributif
A+BC=(AB)+(AC
)
A(B+C)=AB+AC
Absorbsi
A(A+B)=A
A+AB=A
De organ
-(AB)=-A + -B
-(A+B)=-A -B
Alternatif gerbang NAND, NOR dan
OR
-(AB)
(AB)
=
(-A)+(-B)
=
-((-A)+(-B))
-(A+B)
(A+B)
=
(-A)(-B)
=
-((-A)(-B))
3 Rangkaian menghitung XOR dengan
NAND dan NOR
-A
B
Tabel XOR
A
B
X
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
A
-B
-A
B
A
-B
-A
B
A
-B
K-Map




Metoda yang diperkenalkan oleh Maurice
Karnaugh (1953).
Penyederhanaan suatu ekspresi menjadi
sebuah minimal sum of products (MSP).
N buah variabel akan mempunyai 2N
buah square, yang merepresentasikan
kombinasi minterm atau invers-nya.
Cara lain simplifikasi ekspresi boolean
berdasar truth table dan buat matriks
minterms.
K Map

Minimization Technique





Based on the Unifying Theorem: X + X' = 1
The expression to be minimized should generally
be in sum-of-product form.
The function is mapped onto the K-map by marking
a 1 in those squares corresponding to the terms in
the expression.
The other squares may be filled with 0's.
Pairs of 1's on the map which are adjacent are
combined using the theorem Y(X+X') = Y where Y
is any Boolean expression.
Contoh
Contoh
Penyederhanaan, misal untuk 3 var:
¬A¬BC + ¬ABC = ¬AC·(¬B + B) = ¬AC · 1
= ¬AC
 Perluasan/pengembangan, misal untuk 3
var:
AB + ¬BC + AC = (AB · 1) + (¬B C · 1) +
(AC · 1)
= (AB · (¬C + C)) + (¬BC · (¬A + A)) +
(AC ·
(¬B + B)) = (AB¬C + ABC) + (¬A¬BC +
A¬BC)
+ (A¬BC + ABC) = AB¬C + ABC +


Pengelompokan:






Pair, grup 2 buah bit 1 yang berdekatan.
Quad, grup 4 buah bit 1 yang berdekatan.
Octet, grup 8 buah bit 1 yang berdekatan.
Overlapping, memanipulasi pengelompokan bit 1
lebih dari satu kali.
Rolling, misalkan 2 pair di dua sisi digabung
penjadi quad.
Don’t care, sebuah truth table mungkin
menghasilkan output tak jelas.

Pemahaman




pair ~ grup 2 buah bit 1yang
berdekatan, secara horisontal
atau vertikal
quad ~ grup 4 buah bit 1 yang
berdekatan dalam pola segi-4
atau deret [horisontal/
vertikal]
octet ~ grup 8 buah bit 1 yang
berdekatan
• Contoh
Contoh