Medan Berubah Terhadap Waktu dan

Revisi Februari 2002
EE 2053
Modul 2
Elektromagnetika Telekomunikasi
Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
Oleh :
Nachwan Mufti Adriansyah, ST
Organisasi
Modul 2 Medan Berubah Terhadap Waktu dan
Persamaan Maxwell
• A. Persamaan Maxwell Bentuk Integral
page 3
• B. Persamaan I : Hukum Faraday
page 7
• C. Persamaan II : Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell page 12
• D. Persamaan III : Hukum Gauss Untuk Medan Listrik
page 20
• E. Persamaan IV : Hukum Gauss Untuk Medan Magnet
page 22
• F. Retarded Potentials
page 23
• G. Summary
page 27
Nachwan Mufti A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
2
A. Persamaan Maxwell Bentuk Integral
Review : Pendahuluan ...
• Konsep yang mendasari semua fenomena dalam elektromagnetika
• Persamaan bentuk integral di bawah menjelaskan arti fisis dari
perilaku listrik dan magnit
Hukum Faraday
Hukum Ampere dan Arus
Pergeseran Maxwell
Hukum Gauss
Hukum Gauss
 
d  
 E  dL   dt  B  dS
 
  d  
 H  dL   J  dS  dt  D  dS
 
 D  dS    V dV  Q
 B  dS  0
Bacalah dan pahami rumus-rumus di atas, ulangi mempelajari tool
matematika yang diperlukan (diferensial integral), vektor, dsb !!
Nachwan Mufti A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
!!
3
Persamaan Maxwell Bentuk Integral
Review : Persamaan-Persamaan Penghubung...


D  E
dimana,
   r  0 = permitivitas bahan / medium
 r = permitivitas relatif bahan



B  H
dimana,
   r  0 = permeabilitas bahan / medium
 r = permeabilitas relatif bahan
 0  4 .10 7
Nachwan Mufti A

1
12 Farad
9
 0  8,854.10

10
meter
36

Henry
meter

Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
!!
4
Persamaan Maxwell Bentuk Integral
Review : Parameter dan Satuan….
Simbol

E

H

B
Keterangan
Medan listrik
Medan magnet
Satuan
 Volt 


meter


 Ampere 


 meter 
Rapat fluks magnetik

D


Weber


 meter persegi 
Rapat fluks listrik
V
Rapat muatan volume
 Coulomb 


 meter persegi 
 Coulomb 


meter
kubik


Q

Muatan listrik
Rapat arus
J
Nachwan Mufti A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
Coulomb


Ampere


meter
persegi


!!
5
Persamaan Maxwell Bentuk Integral
Medan Statis vs Medan Dinamis...
Medan Dinamis
Medan Statis



d 
 E  dL   dt  B  dS



 d 

 H  dL   J  dS  dt  D  dS


 D  dS    V dV  Q
 B  dS  0
Medan berubah
terhadap waktu
Nachwan Mufti A


 E  dL  0


 
 H  d L   J  dS


 D  dS    V dV  Q
 B  dS  0
!!
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
Medan tidak
berubah terhadap
waktu
6
B. Persamaan I Hukum Faraday



d 
 E  dL   dt  B  dS

E

E
dS

E

E

dB
dt
Nachwan Mufti A
dL
Definisi
Jika ada rapat fluks magnet (B) yang
berubah terhadap waktu dan menembus
suatu bidang yang dikelilingi lintasan
tertutup, maka akan menghasilkan medan
listrik (E) yang arahnya sesuai dengan
arah lintasan tertutup tersebut (
mengelilingi bidang dS ).
Arah rapat fluks magnetik (B) dan
arah medan listrik (E), sesuai
dengan aturan tangan kanan.
Dari
persamaan
tersebut
juga
dapat
menjelaskan bahwa,
Medan magnet yang berubah terhadap waktu
akan dapat menghasilkan medan listrik.
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
7
Persamaan I Hukum Faraday
Mari kita ulangi,
Medan magnet yang berubah terhadap waktu akan dapat menghasilkan
medan listrik.
Atau,
Fluks magnetik yang berubah terhadap waktu akan menyebabkan
medan listrik
Electromotance Force (emf) / Gaya Gerak Listrik (ggl)
•
Didefinisikan,
electromotance force  
Persamaan Faraday !!
d
dt
dimana,
 = fluks magnetik
 
  BS
 
  B S cos  BS
S adalah luas bidang yang ditembus
oleh medan magnetik
Nachwan Mufti A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
8
Persamaan I Hukum Faraday
Lihat persamaan berikut...
 
  B S cos  BS
Dari persamaan di atas kita dapat menyimpulkan bahwa fluks magnetik yang berubah
terhadap waktu bisa disebabkan oleh :
• Medan yang berubah terhadap
waktu
• Luas bidang (yang ditembus
medan magnet) berubah
terhadap waktu  Jarang !!
Lihat gambar berikut...

arah E / I
• Sudut berubah terhadap waktu
 Paling banyak dilakukan
karena tinggal memutar loop
saja
Nachwan Mufti A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
emf
/ ggl
R

B
9
Persamaan I Hukum Faraday
Persamaan Faraday !!
electromotance force  
d
dt
dimana,
 
 
   B  dS dan emf   E  dL
Sehingga,
  d  
emf   E  dL   B  dS
dt
!!
• Tanda minus (-) pada persamaan Faraday berarti :
“ emf yang dihasilkan sedemikian hingga jika arus dihasilkan olehnya, maka
fluks yang disebabkan arus ini akan cenderung melawan perubahan fluks
asal “
• emf juga berbanding lurus terhadap jumlah lilitan N, sehingga dapat
dinyatakan :
d
emf   N
dt
Nachwan Mufti A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
10
Persamaan I Hukum Faraday
Penurunan Bentuk Diferensial (Bentuk Titik) ...
• Ingat Teorema Stokes !! , yang menjelaskan perubahan bentuk integrasi..

 
 
 H  dL     H  dS

 
 
 E  dL     E  dS
L
L


S


S
• Maka,



d 
 E  dL   dt  B  dS


 
d 
   E  dS   dt  B  dS


 
B 
   E  dS   t  dS




Substitusi...

 
B
E  
t
!!
Bentuk titik persamaan
Maxwell I !!
Nachwan Mufti A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
11
C. Persamaan II Hukum Ampere &
Arus Pergeseran Maxwell



  d 
 H  dL   J  dS  dt  D  dS
   
 H  dL   J  dS  I
Hukum Ampere (th 1820 ..)
Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell (th 1864..)

H

H
dS

H

H

 dD
J
dt
Nachwan Mufti A
dL
Jika ada rapat arus J dan rapat fluks
listrik D yang berubah terhadap waktu
yang menembus suatu bidang dS yang
dikelilingi lintasan tertutup, maka akan
dihasilkan medan magnet (H) yang
arahnya sesuai dengan lintasan
teertutup tersebut ( mengelilingi bidang
dS ).
Sama dengan Hukum Faraday, arah medan magnet
(H) , rapat arus (J) dan rapat fluks listrik (D) , adalah
sesuai dengan aturan tangan kanan. Continued...
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
12
Persamaan II Hukum Ampere & Arus
Pergeseran Maxwell
Maxwell menemukan fenomena arus pergeseran tanpa melakukan eksperimen, tetapi
dengan melakukan analisis matematis bentuk diferensial / bentuk titik Hukum
Ampere.
Bagaimana analisis matematis yang telah dilakukan Maxwell ?
•
Bentuk integral hukum Ampere
   
 H  dL   J  dS  I
Teorema Stokes
Maxwell (1864)
  
H  J

 
 
 H  dL     H  dS

L

S
Bentuk diferensial Hukum Ampere
Masing-masing ruas persamaan
didivergensikan ...
Nachwan Mufti A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
13
Persamaan II Hukum Ampere & Arus
Pergeseran Maxwell
    
   H    J


Lihat identitas vektor ! … divergensi dari suatu
pusaran/curl pasti adalah NOL
 
J  0
• Persamaan di atas tidak berlaku untuk medan dinamis, karena pada medan dinamis
berlaku Hukum
Kontinuitas dimana,
 
 v
J  
t
Nachwan Mufti A
Artinya,
  
 v
  H  J tidak berlaku untuk
0
t
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
14
Persamaan II Hukum Ampere & Arus
Pergeseran Maxwell
kemudian...
• Maxwell memberikan suku tambahan bada bentuk titik dari Hukum Ampere,
   
H  J  G
Masing-masing ruas persamaan
didivergensikan ...
     
   H    J  G
      
   H    J    G






Lihat identitas vektor ! … divergensi dari
suatu pusaran/curl pasti adalah NOL
=0
 
 
  G    J
15
 
 
  G    J
Persamaan II Hukum Ampere & Arus
Pergeseran Maxwell
 

Hukum Kontinuitas,   J   v
t
    v   v
  G   

 t  t
Ingat pengertian kita dahulu, bahwa…
Divergensi dari rapat fluks listrik yang menembus suatu
permukaan tertutup adalah sama dengan rapat muatan
yang dilingkupi permukaan tertutup tersebut
 
  D  v
 

   D
D
G 
 
t
t

Nachwan Mufti A


Suku G
telah ditemukan !!

 D
G
t
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
(Maxwell : th 1864)
16
Persamaan II Hukum Ampere & Arus
Pergeseran Maxwell
• Kembali pada pemisalan sebelumnya, ,
   
H  J  G
!!

   D
 H  J 
t
Dimana,

 D
G
t
Bentuk diferensial / bentuk titik dari
Persamaan Maxwell II : Hukum Ampere
dan Arus Pergeseran Maxwell
Integrasi terhadap luas


 
  D 
  H  dS   J  dS    dS
t
S
S

S
Nachwan Mufti A

Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
17
Persamaan II Hukum Ampere & Arus
Pergeseran Maxwell


 
  D 
  H  dS   J  dS    dS
t
S
S

S

Jika kita terapkan Teorema Stokes…

 
 
 H  dL     H  dS

L
!!

 
  D 
 H  dL  S J  dS  S t  dS
Nachwan Mufti A

S
Bentuk integral Persamaan
Maxwell II : Hukum Ampere dan
Arus Pergeseran Maxwell
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
18
Persamaan II Hukum Ampere & Arus
Pergeseran Maxwell
Jenis-Jenis Rapat Arus...
• Lihat kembali persamaan Maxwell II bentuk titik berikut...

 
 D
 H  J 
t
Terdiri atas 2 macam rapat arus,
Rapat arus pergeseran /
displacement current
1. Rapat arus konduksi


Merupakan gerakan
J  E
muatan (elektron bebas)
 = konduktivitas
2. Rapat arus konveksi


J v
Nachwan Mufti A
Merupakan gerakan
rapat muatan
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
Ik
Id

B
19
D. Persamaan III Hukum Gauss
Untuk Medan Listrik


 D  dS   V dV  Q

D

D

D

D

D

D

dS


D
dS

D
Q

D

D

D
Nachwan Mufti A

D

D

D

D
Jumlah total rapat fluks
yang meninggalkan
suatu permukaan
tertutup sama dengan
total muatan yang
dilingkupi oleh
permukaan tertutup itu
sendiri
Persamaan diatas juga
menjelaskan fenomena bahwa
suatu muatan listrik ( Q ) akan
menjadi sumber timbulnya
medan listrik / rapat fluks listrik
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
20
Persamaan III Hukum Gauss


 D  dS   V dV  Q
Teorema Divergensi
 
 
 D  dS     D dv  VdV  Q

S
v

v
 
  D  v
Bentuk titik Hukum Gauss untuk medan listrik
Nachwan Mufti A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
21
E. Persamaan IV Hukum Gauss
Untuk Medan Magnet
Persamaan IV Hukum Gauss Untuk Medan Magnet


 B  dS  0
• Persamaan keempat Maxwell di atas menjelaskan bahwa
tidak ada yang dinamakan muatan magnetik sebagai
sumber medan magnetik. Adapun muatan listrik hanyalah
akan menghasilkan medan listrik.
• Medan magnetik hanya dihasilkan oleh medan listrik yang
berubah terhadap waktu atau dihasilkan oleh muatan listrik
yang berubah terhadap waktu seperti yang dijelaskan dari
Hukum Ampere.
Dengan teorema divergensi, didapat
bentuk titik Hukum Gauss untuk
medan magnet sbb :
Nachwan Mufti A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
 
B  0
22
F. Retarded Potential
Potensial sebagai fungsi waktu atau berubah terhadap waktu disebut sebagai
Potensial Terlambat. Pokok bahasan ini sering digunakan dalam analisis masalah
radiasi antena.
Pada analisis radiasi, potensial dievaluasi didaerah yang terpengaruh sumber, baik
dekat maupun jauh dari sumber tersebut. Semakin jauh dari sumber, maka potensial
semakin dirasakan terlambat terhadap potensial di sumber., karena memerlukan
waktu untuk sampai di titik pengamatan.
Sekarang mari kita amati untuk Keadaan
 V dV
V
4R
V


J dV
Potensial Magnetik
A
Vektor
4R
V
Potensial Listrik
Skalar
Nachwan Mufti A
statis / steady :
Dapat dinyatakan
dalam bentuk
diferensial
Poisson, sbb
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
2
V
 V

2

 A  J
23
Retarded Potential
Untuk kondisi medan statis di atas, jika potensial listrik skalar (V) dan potensial magnetik
vektor (A) dapat dihitung, maka kita bisa menghitung pula medan listrik dan magnet dari
hubungan :


E   V
(1)
dan
  
B  A
(2)
Untuk Medan Dinamis...
Kita perhatikan lagi persamaan di atas,

  
Pers. (2)
B  A
Pers. (1)


E   V

 
  B     A  0


Hasil divergensi kedua ruas menunjukkan
persamaan di atas memenuhi persamaan Maxwell,
shg pers. (2) dapat dipakai untuk medan statis
maupun dinamis
 

  E    V  0
 
Padahal, menurut pers. Maxwell
I, untuk medan


berubah terhadap waktu,   E  0
Sehingga, perlu koreksi untuk medan dinamis
24
Retarded Potential
Misalkan ditambahkan suku vektor
Karena dinyatakan bahwa,
  
B  A
koreksi (N) :



E   V  N
Maka,
Dengan mengambil
cross product untuk
kedua ruas, didapatkan
 

 
  E     V    N


 
0
Dengan mengingat Hk.
Faraday ( Hk. Maxwell I)

   
B
E   N  
t
Nachwan Mufti A

 
 A
  
  N     A   
t
t



Jadi, dapat dinyatakan bahwa :


A
N
t
Jika kita kembalikan lagi pada pemisalan
pertama di atas, didapatkan :



A
E   V 
t
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
25
Retarded Potential
Persamaan-persamaan
untuk menghitung E dan
H melalui penghitungan
potensial dapat
disubstitusikan kembali
pada persamaan Maxwell,
menghasilkan persamaanpersamaan potensial yang
umum untuk medan
berubah terhadap waktu
seperti tabel di samping :
Medan statis
2
V
 V

2

 A  J


E   V
 
A  0
  
B  A
Nachwan Mufti A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
Medan dinamis
2
V
 2V
 V
  2

t

2
2

 A
 A  J   2
 t


A
E   V 
t
 
V
  A  
t
  
B  A
26
G. Summary
Bentuk Integral dan Bentuk
Titik Persamaan Maxwell



d 
 E  dL   dt  B  dS



  d 
Hukum Ampere dan Arus
Pergeseran Maxwell
 H  dL   J  dS  dt  D  dS


Hukum Gauss untuk medan
 D  dS    V dV  Q
listrik
Hukum Gauss untuk medan
 B  dS  0
Hukum Faraday
magnet
Persamaan2 Penghubung


D  E
Nachwan Mufti A


B  H


J C  E
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell

 
B
E  
t

   D
H  J 
t
 
  D  V
 
B  0


J  
27
Summary
Persamaan2 Potensial Listrik dan Magnet
Medan statis
2
V
 V

2

 A  J


E   V
 
A  0
  
B  A
Nachwan Mufti A
Medan dinamis
2
V
 2V
 V
  2

t

2
2

 A
 A  J   2
 t


A
E   V 
t
 
V
  A  
t
  
B  A
Modul 3 Medan Berubah Terhadap
Waktu dan Persamaan Maxwell
28