Perambatan Gelombang Elektromagnetik

Perambatan Gelombang
Elektromagnetik
Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc
Edisi I
Departemen Fisika-FMIPA
Univeristas Indonesia
2007
Untuk:
Nina, Muflih dan Hasan
Be carefull with your desire, because it will become your thought
Be carefull with your thought, because it will become your words
Be carefull with your words, because it will become your action
Be carefull with your action, because it will become your habit
Be carefull with your habit, because it will become your destiny
Kata Pengantar
Ada satu fakta yang seringkali ditemui di kalangan mahasiswa geofisika yaitu kelemahan
mereka dalam memahami sifat dan karakteristik penjalaran gelombang elektromagnetik. Akibatnya, interpretasi dari suatu fenomena gelombang elektromagnetik tidak dapat diuraikan
secara mendalam. Untuk mengatasi masalah tersebut, buku yang anda sedang anda baca ini
disusun.
Buku ini sebenarnya merupakan bagian dari Tesis S2 penulis ketika kuliah di Departemen
Fisika, FMIPA-UI. Isi buku ini mencoba meletakkan pondasi dasar dari bangunan pemahaman
akan penjalaran gelombang elektromagnetik baik di medium non-konduktor maupun di medium konduktor. Penyusunan buku ini masih akan terus berlanjut ke edisi-2, dimana isinya akan
terus dipertajam secara lebih mendetil sampai pada penurunan rumus-rumus gelombang yang
diturunkan dari persamaan Maxwell.
Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede
Djuhana yang telah berkenan membagi format LATEXkepada saya sehingga tampilan tulisan
pada buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Rasa terima kasih juga
ingin saya teruskan kepada Sarah Wardhani yang telah memicu langkah awal penulisan buku
ini hingga Edisi-1 terselesaikan. Tak lupa, saya pun sepatutnya berterima kasih kepada seluruh
rekan diskusi yaitu para mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Pengantar Geofisika
ATA 2007/2008 di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia.
Semoga buku ini bermanfaat buat kebangkitan ilmu pengetahuan anak bangsa. Saya wariskan
ilmu ini untuk anak bangsa. Saya mengizinkan kalian semua untuk meng-copy dan menggunakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tujuan komersial. Jika ada
koreksi maupun saran atas isi buku ini, mohon disampaikan secara tertulis melalui email ke
alamat: [email protected]. Terima kasih.
Depok, 12 September 2007
Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc
v
Daftar Isi
Lembar Persembahan
i
Kata Pengantar
v
Daftar Isi
vii
Daftar Gambar
ix
Daftar Tabel
xi
1 Gelombang EM pada Medium Udara
1
1.1
Persamaan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Energi Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Gelombang Pada Medium Nonkonduktor
5
2.1
Gelombang datang dengan sudut normal terhadap bidang batas . . . . . . . . . .
7
2.2
Gelombang datang dengan sudut sembarang terhadap bidang batas . . . . . . .
9
3 Gelombang pada Medium Konduktor
13
3.1
Gelombang Monokromatik pada Medium Konduktor . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2
Refleksi dan Transmisi pada Permukaan Konduktor . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Daftar Acuan
19
vii
Daftar Gambar
1.1
Gelombang Elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1
Gelombang elektromagnetik pada batas antar medium non-konduktor
. . . . . . . . .
7
2.2
Gelombang datang dengan sudut θI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Kurva rasio amplitudo gelombang refleksi,EoR dan gelombang transmisi, EoT terhadap
gelombang datang,EoI dengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4
Kurva koefisien refleksi dan transmisi dengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25 . . . . . . . . . . . . .
12
3.1
Gelombang medan magnet dan medan listrik tidak sefasa . . . . . . . . . . . . . . . .
16
ix
Daftar Tabel
2.1
Daftar nilai konstanta permeabilitas relatif dari berbagai mineral (Telford et al,
1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
6
Daftar nilai permitivtas relativ atau konstanta dielektrik, ǫr , dan kecepatan gelombang elektromagnetik dalam berbagai mineral geologi (Annan dan Cosway, 1992)
xi
6
Bab 1
Gelombang EM pada Medium Udara
1.1
Persamaan Gelombang
Sejarah telah mencatat bahwa hukum-hukum tentang elektrostatik, magnetostatik dan elektrodinamik ditemukan pada awal abad ke-19. Beberapa dari hukum-hukum itu, seperti hukum
Faraday, hukum Ampere dan konsep mengenai displacement current, secara sistematik telah
disusun oleh Maxwell menjadi apa yang dikenal sekarang ini sebagai persamaan Maxwell.
Khusus pada ruang vakum dan berlaku juga pada medium udara, persamaan Maxwell dinyatakan sebagai
∇·E = 0
(1.1)
∇·B = 0
(1.2)
∇×E = −
(1.3)
∂B
∂t
∂E
∇ × B = µo ǫo
∂t
(1.4)
dimana E = vektor medan listrik, B = vektor medan magnet, ǫo = permitivitas listrik di udara
atau vakum (8, 85 × 10−12 C 2 /N m2 ), µo = permeabilitas magnet di udara atau vakum (4π ×
10−7 T.m/A).
Operasi curl yang dilakukan pada persamaan (1.3) dan (1.4) menghasilkan persamaan gelombang medan listrik dan gelombang medan magnet sebagai berikut
∇2 E = µo ǫo
∂2E
∂t2
∇2 B = µo ǫo
∂2B
∂t2
(1.5)
dengan kecepatan rambat gelombang di udara dan ruang vakum sebesar
c= √
1
≈ 3, 00 × 108 m/s
ǫo µo
(1.6)
Persamaan (1.5) memiliki solusi sebagai berikut
E = Eo ei(κx−ωt+δE ) ĵ
B = Bo ei(κx−ωt+δB ) k̂
1
(1.7)
BAB 1. GELOMBANG EM PADA MEDIUM UDARA
2
Gambar 1.1: Gelombang Elektromagnetik
dengan Eo adalah amplitudo medan listrik pada sumbu y, sementara Bo adalah amplitudo
medan magnet pada sumbu z. Sedangkan κ = konstanta propagasi, x = arah rambat gelombang, δE = beda fase gelombang medan listrik terhadap titik acuan yaitu pada x=0, y=0, z=0 ,
dan δB = beda fase gelombang medan magnet terhadap titik acuan.
Pada ruang vakum dan medium non-konduktor, tidak terjadi beda fase antara medan
listrik dan medan magnet, sehingga dapat dinyatakan δE = δB = δ.
E = Eo ei(κx−ωt+δ) ĵ
B = Bo ei(κx−ωt+δ) k̂
(1.8)
B = Bo cos (κx − ωt + δ)k̂
(1.9)
atau bila dinyatakan hanya dalam komponen riil
E = Eo cos (κx − ωt + δ)ĵ
Berdasarkan Hukum Faraday, persamaan (1.4), dapat dimengerti bahwa arah getar medan
listrik harus saling tegak lurus dengan arah getar medan magnet. Hubungan antara amplitudo medan listrik dan medan magnet dapat dinyatakan sebagai
κ(Eo ) = ω(Bo )
(1.10)
atau dalam bentuk yang lebih umum
Bo =
1
κ
Eo = Eo
ω
c
(1.11)
Jadi suatu gelombang elektromagnetik dapat dinyatakan sebagai
E(x, t) = Eo ei(κx−ωt+δ) ĵ
1
B(x, t) = Eo ei(κx−ωt+δ) k̂
c
(1.12)
1.2. ENERGI GELOMBANG
3
dan khusus untuk bagian riil adalah
1
B(x, t) = Eo cos(κx − ωt + δ)k̂
c
E(x, t) = Eo cos(κx − ωt + δ)ĵ
1.2
(1.13)
Energi Gelombang
Energi gelombang elektromagnetik yang tersimpan per satuan volume dinyatakan sebagai
1
1
U = (ǫo E 2 + B 2 )
2
µo
(1.14)
2
U = ǫo E 2 = ǫo Eoy
cos2 (κx − ωt + δ)
(1.15)
Selama gelombang merambat, ia membawa energi sepanjang lintasan yang dilaluinya. Kerapatan fluks energi yang dibawa oleh medan ditentukan oleh vektor poynting
S=
1
(E × B)
µo
2
S = cǫo Eoy
cos2 (κx − ωt + δ)î = cU î
(1.16)
(1.17)
Vektor poynting juga menunjukkan arah rambat gelombang. Persamaan di atas menunjukkan
bahwa arah rambat gelombang searah dengan sumbu x. Intensitas gelombang dinyatakan
sebagai harga rata-rata dari S, hSi
1
2
I = hSi = ǫo cEoy
2
(1.18)
4
BAB 1. GELOMBANG EM PADA MEDIUM UDARA
Bab 2
Gelombang Pada Medium
Nonkonduktor
Gelombang elektromagnetik dapat juga merambat pada medium nonkonduktor. Pada kasus
ini, bentuk persamaan Maxwell dimodifikasi menjadi
∇·D = 0
(2.1)
∇·B = 0
(2.2)
∂B
∇×E = −
∂t
∂D
∇×H =
∂t
(2.3)
(2.4)
dengan D adalah medan listrik pergeseran dan H adalah kuat medan magnet pada medium.
Jika medium bersifat linear, maka
D = ǫE
H=
1
B
µ
(2.5)
dan bila medium bersifat homogen, maka nilai konstanta permitivitas, ǫ, dan permeabilitas,
µ tidak mengalami variasi pada setiap titik dalam medium , sehingga persamaan Maxwell
dinyatakan sebagai
∇·E = 0
(2.6)
∇·B = 0
(2.7)
∇×E = −
(2.8)
∂B
∂t
∂E
∇ × B = µǫ
∂t
(2.9)
Pada medium non-konduktor, besar kecepatan rambat gelombang elektromagnetik adalah
1
v=√
ǫµ
5
(2.10)
BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR
6
Sebagian besar mineral geologi yang ada di alam ini memiliki nilai µ yang mendekati µo ,
kecuali jika material tersebut memiliki sejumlah besar molekul F e2 O3 yang terkandung didalamnya (Telford et al, 1990)?. Lihat Tabel 2.1. Di lain pihak,lihat Tabel 2.2, ǫ selalu lebih besar
dari ǫo . Hal ini membawa konsekuensi bahwa kecepatan gelombang elektromagnetik pada suatu medium, selalu lebih rendah dibandingkan dengan kecepatan gelombang elektromagnetik
di udara.
Tabel 2.1: Daftar nilai konstanta permeabilitas relatif dari berbagai mineral (Telford et al, 1990)
Mineral
Magnetite
Pyrhotite
Hematite
Rutile
Calsite
Quartz
Permeabilitas relatif, µ/µo
5
2,55
1,05
1,0000035
0,999987
0,999985
Tabel 2.2: Daftar nilai permitivtas relativ atau konstanta dielektrik, ǫr , dan kecepatan gelombang elektromagnetik dalam berbagai mineral geologi (Annan dan Cosway, 1992)
Mineral
Udara
Air laut
Pasir kering
Pasir basah
Limestone
Silts
Granit
Es
ǫr
1
80
3-6
20-30
4-8
5-30
4-6
3-4
Kecepatan (m/ns)
0,30
0,01
0,15
0,06
0,12
0,07
0,13
0,16
Nilai rasio kecepatan gelombang elektromagnetik di udara terhadap kecepatan gelombang
elektromagnetik medium non-konduktor, disebut indeks bias, n,
c
n= =
v
r
ǫµ ∼
=
ǫo µo
r
√
ǫ
= ǫr
ǫo
(2.11)
dimana ǫr adalah konstanta dielektrik.
Faktor indeks bias dalam pengolahan data GPR menjadi hal yang sangat penting, karena
berpengaruh langsung terhadap arah rambat gelombang refleksi dan tranmisi, terutama bila pulsa-pulsa radar bertemu dengan batas antara dua lapisan batuan. Hal ini akan dibahas
lebih dalam pada bagian tulisan berikutnya. Solusi persamaan gelombang pada medium nonkonduktor adalah
E(x, t) = Eoy ei(κx−ωt+δ) ĵ
B(x, t) =
1
Eoz ei(κx−ωt+δ) k̂
v
(2.12)
Kerapatan energi gelombang, vektor poynting dan intesitas pada medium linear dinyatakan
2.1. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT NORMAL TERHADAP BIDANG BATAS 7
Gambar 2.1: Gelombang elektromagnetik pada batas antar medium non-konduktor
dengan
U
=
S =
I =
2.1
1
1
(ǫE 2 + B 2 )
2
µ
1
(E × B)
µ
1
2
ǫvEoy
2
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Gelombang datang dengan sudut normal terhadap bidang batas
Anggaplah ada bidang pembatas antara dua medium linear yang berbeda. Sebuah gelombang datang dengan frekuensi ω, merambat pada medium 1 searah dengan sumbu x positif
mendekati bidang batas dari arah kiri, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.1:
EI (x, t) = EoyI ei(κ1 x−ωt+δ) ĵ
1
EoyI ei(κ1 x−ωt+δ) k̂
BI (x, t) =
v1
(2.16)
(2.17)
Saat bertemu bidang batas, akan terbentuk gelombang refleksi
ER (x, t) = EoyR ei(−κ1 x−ωt+δ) ĵ
1
BR (x, t) = − EoyR ei(−κ1 x−ωt+δ) k̂
v1
(2.18)
(2.19)
BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR
8
yang merambat berlawanan arah dengan gelombang datang namun tetap merambat pada
medium 1. Hal ini mengakibatkan vektor Poynting berbalik arah, sehingga BR bertanda negatif.
κ1 juga bertanda negatif karena arah rambat gelombang refleksi berlawanan dengan arah rambat gelombang datang . Selain itu akan terbentuk juga gelombang transmisi yang terus merambat pada medium 2.
ET (x, t) = EoyT ei(κ2 x−ωt+δ) ĵ
1
BT (x, t) =
EoyT ei(κ2 x−ωt+δ) k̂
v2
(2.20)
(2.21)
Pada x = 0, kombinasi gelombang pada medium 1, EI + ER dan BI + BR harus kontinyu
dengan gelombang yang berada pada medium 2, ET dan BT memenuhi syarat-syarat batas
sebagai berikut
Emedium1 = Emedium2
1
1
Bmedium1 =
Bmedium2
µ1
µ2
(2.22)
(2.23)
Berdasarkan kedua syarat batas tersebut maka
1
µ1
EoyI + EoyR = EoyT
1
1
1
1
EoyI − EoyR
EoyT
=
v1
v1
µ2 v2
(2.24)
(2.25)
atau disederhanakan menjadi
√
µ1 ǫ2
µ1 v1
= √
β=
µ2 v2
µ2 ǫ1
EoyI − EoyR = βEoyT
(2.26)
Sebagian besar mineral di alam ini memiliki permeabilitas magnet µ yang hampir sama
dengan nilai permeabilitas magnet di ruang vakum µ0 , sehingga dapat diasumsikan µ1 = µ2 .
Besar amplitudo gelombang refleksi dan amplitudo gelombang transmisi yang masing-masing
dinyatakan dalam gelombang datang berturut-turut sebagai berikut
EoyR
√
√ ǫ1 − ǫ2
= √
EoyI
√
ǫ1 + ǫ2
EoyT =
√
2 ǫ1
EoyI
√
√
ǫ1 + ǫ2
(2.27)
Berdasarkan persamaan (2.15), rasio intensitas gelombang refleksi terhadap gelombang datang,
atau koefisien refleksi adalah
IR
=
R=
II
EoyR
EoyI
2
√
√ ǫ1 − ǫ2 2
= √
√
ǫ1 + ǫ2
(2.28)
2
√
√ ǫ2
2 ǫ1
=√
√
√
ǫ1
ǫ1 + ǫ2
(2.29)
Sementara koefisien transmisi ditentukan oleh
ǫ2 v2
IT
=
T =
II
ǫ1 v1
EoyT
EoyI
2
2.2. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT SEMBARANG TERHADAP BIDANG BATAS9
Gambar 2.2: Gelombang datang dengan sudut θI
2.2
Gelombang datang dengan sudut sembarang terhadap bidang batas
Jika gelombang EM jatuh pada bidang batas dengan sudut datang tertentu, maka persamaan
syarat batasnya menjadi
ǫ1 (EoI + EoR )x = ǫ2 (EoT )x
(2.30)
(BoI + BoR )x = (BoT )x
(2.31)
(EoI + EoR )y,z = (EoT )y,z
1
1
(BoI + BoR )y,z =
(BoT )y,z
µ1
µ2
(2.32)
(2.33)
dimana Bo = (k̂ × Eo )/v. Dua syarat batas terakhir merupakan pasangan persamaan, jika salah
satu persamaan dinyatakan dalam komponen-y, maka persamaan lainnya harus dinyatakan
dalam komponen-z. Gambar 2.2 menunjukkan model fenomena refleksi dan transmisi dengan
sudut datang sembarang. Dari syarat batas (2.30) diperoleh
ǫ1 (−EoI sin θI + EoR sin θR ) = ǫ2 (−EoT sin θT )
(2.34)
syarat batas (2.31) tidak memberikan kontribusi apa-apa, syarat batas (2.32) menjadi
syarat batas (2.33) menjadi
EoI cos θI + EoR cos θR = EoT cos θT
(2.35)
1
1
(EoI − EoR ) =
Eo
µ1 v1
µ2 v2 T
(2.36)
BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR
10
Persamaan (2.34) dan (2.36) dapat disederhanakan menjadi
√
ǫ2
µ1 v1
β=
=√
µ2 v2
ǫ1
EoI − EoR = βEoT
(2.37)
dan persamaan (2.35) disederhanakan menjadi
EoI + EoR = αEoT
cos θT
cos θI
α=
(2.38)
Berdasarkan Hukum Snellius, faktor α dapat dinyatakan dalam sudut datang dan permitivitas
medium, yaitu
p
1 − sin2 θT
=
α=
cos θI
s
1−
ǫ1
sin θI
ǫ2
cos θI
2
(2.39)
Rasio amplitudo gelombang refleksi dan transmisi terhadap gelombang datang dapat dinyatakan sebagai berikut
EoR
=
EoI
EoT
EoI
α−β
α+β
=
ǫ2
ǫ1
ǫ2
ǫ1
cos θI −
cos θI +
s
s
ǫ2
ǫ1
ǫ2
ǫ1
− sin2 θI
(2.40)
2
− sin θI
r
ǫ2
cos θI
2
ǫ1
2
s =
= α+β
ǫ2
ǫ2
cos θI +
− sin2 θI
ǫ1
ǫ1
(2.41)
Kedua persamaan terakhir dikenal dengan Persamaan Fresnel. Berdasarkan kedua persamaan tersebut dapat dimengerti bahwa gelombang transmisi selalu sefase dengan gelombang datang, sedangkan gelombang refleksi akan sefase bila α > β, tetapi berlawanan fase bila
α < β. Lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.3
Ketika gelombang datang bertemu dengan bidang batas dari arah normal (θI = 0), maka α
= 1, dan hasil-hasil penurunan rumusnya sesuai dengan pembahasan terdahulu. Namun, yang
paling menarik adalah ketika α = β, hal ini mengakibatkan hilangnya gelombang refleksi, dan
yang tersisa hanya gelombang transmisi. Sudut datang yang menyebabkan fenomena tersebut
disebut sudut Brewster, θB
1 − β2
sin2 θB = ǫ1
− β2
ǫ2
(2.42)
jika µ1 = µ2 , sudut Brewster dapat dinyatakan dengan
tan θB =
r
ǫ2
ǫ1
(2.43)
2.2. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT SEMBARANG TERHADAP BIDANG BATAS11
1
Rasio Eot/Eoi
Rasio Eor/Eoi
0.8
Magnitude
0.6
0.4
0.2
(θ )
B
0
−0.2
−0.4
0
10
20
30
40
50
sudut datang(θ)
60
70
80
90
Gambar 2.3: Kurva rasio amplitudo gelombang refleksi,EoR dan gelombang transmisi, EoT terhadap
gelombang datang,EoI dengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25
Intesitas gelombang datang, refleksi dan transmisi masing-masing adalah
1
1
1
II = ǫ1 v1 Eo2I cos θI IR = ǫ1 v1 Eo2R cos θR IT = ǫ2 v2 Eo2T cos θT
2
2
2
(2.44)
sehingga besar koefisien refleksi dan transmisi berturut-turut dapat ditentukan sebagai berikut
IR
R=
=
II
T =
IT
ǫ2 v2
=
II
ǫ1 v1
EoR
EoI
EoR
EoI
Secara grafik dapat dilihat pada Gambar 2.4.
2
2
=
α−β
α+β
cos θT
= αβ
cos θI
2
2
α+β
(2.45)
2
(2.46)
BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR
12
1
0.9
0.8
0.7
Magnitude
0.6
Koef. Transmisi
Koef. Refleksi
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
sudut datang(θ)
60
70
80
90
Gambar 2.4: Kurva koefisien refleksi dan transmisi dengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25
Bab 3
Gelombang pada Medium Konduktor
Bentuk persamaan Maxwell dalam medium konduktor adalah
∇·E = 0
(3.1)
∇·B = 0
(3.2)
∂B
∇×E = −
∂t
∇ × B = µσE + µǫ
(3.3)
∂E
∂t
(3.4)
dimana σ adalah konstanta konduktivitas.
Dari persamaan di atas, dapat diturunkan persamaan gelombang medan listrik dan medan
magnet sebagai berikut
∇2 E = µǫ
∂2E
∂E 2
∂2B
∂B
+
µσ
∇
B
=
µǫ
+ µσ
∂t2
∂t
∂t2
∂t
(3.5)
Kedua persamaan ini memberikan solusi persamaan gelombang bidang, yaitu
E(x, t) = Eoy ei(κx−ωt+δE ) ĵB(x, t) = Boz ei(κx−ωt+δB ) k̂
(3.6)
dimana bilangan gelombang, κ, berbentuk bilangan kompleks
κ2 = µǫω 2 + iµσω
(3.7)
yang dapat disederhanakan menjadi κ = κ+ + iκ− , dengan
κ+ (ω) = ω
r
ǫµ
2
#1/2
#1/2
r "r
σ 2
σ 2
ǫµ
1+
1+
+1
−1
κ− (ω) = ω
ǫω
2
ǫω
"r
(3.8)
dengan demikian, solusi lengkap persamaan gelombang di atas dapat ditulis sebagai
E(x, t) = Eoy e−κ− x ei(κ+ x−ωt+δE ) ĵB(x, t) = Boz e−κ− x ei(κ+ x−ωt+δB ) k̂
13
(3.9)
BAB 3. GELOMBANG PADA MEDIUM KONDUKTOR
14
Faktor κ− , bagian imajiner dari κ, menjelaskan terjadinya atenuasi gelombang, yaitu gejala
melemahnya amplitudo seiring dengan bertambahnya jarak tempuh gelombang. Disamping
itu, κ− juga menentukan kedalaman skin depth, yaitu suatu jarak tertentu dimana amplitudo
gelombang melemah dengan faktor 1/e, dan dihitung dengan cara
1
κ−
d=
(3.10)
Bagian riil dari κ, yaitu faktor κ+ berhubungan dengan panjang gelombang, λ, kecepatan rambat gelombang, v, dan indeks bias, n, yang masing-masing dinyatakan dengan
λ=
2π
=
κ+
ω
v=
r
ω
=r
κ+
cκ+
=c
n=
ω
ǫµ
2
ǫµ
2
r
2π
#1/2
σ 2
1+
+1
ǫω
"r
1
#1/2
σ 2
1+
+1
ǫω
"r
ǫµ
2
"r
#1/2
σ 2
1+
+1
ǫω
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Bila gelombang elektromagetik berfrekuensi tinggi merambat pada medium berkonduktivitas rendah (non konduktor), atau dengan kata lain memenuhi syarat
σ << ωǫ
(3.14)
maka komponen riil dan imajiner dari bilangan gelombang, κ, dapat ditulis sebagai
√
κ+ (ω) ∼
= ω ǫµ
σ
κ− ∼
=
2
r
µ
ǫ
(3.15)
Besar kecepatan gelombang pada medium seperti itu adalah
1
v=√
µǫ
(3.16)
Hasil ini sama persis dengan penurunan rumus kecepatan pada pembahasan gelombang elektromagnetik dalam medium non-konduktor. Selain itu dapat dimengerti pula bahwa skin depth
terbebas dari pengaruh frekuensi, sehingga penetrasi gelombang elektromagnetik pada mineral berkonduktivitas rendah atau non-konduktor semata-mata hanya ditentukan oleh parameter listrik-magnet mineral tersebut.
Pada kasus yang lain yaitu ketika gelombang elektromagnetik ber-frekuensi tinggi merambat pada medium berkonduktivitas tinggi, atau dengan kata lain memenuhi syarat
σ >> ωǫ
(3.17)
3.1. GELOMBANG MONOKROMATIK PADA MEDIUM KONDUKTOR
15
maka faktor κ+ dan κ− mempunyai harga yang hampir sama
κ+ (ω) ∼
=
= κ− (ω) ∼
r
ωσµ
2
(3.18)
tetapi pada kasus ini, skin depth dipengaruhi oleh frekuensi. Skin depth semakin dangkal bila
frekuensi semakin tinggi demikian pula sebaliknya.
3.1
Gelombang Monokromatik pada Medium Konduktor
Solusi persamaan gelombang untuk medium konduktor, sebagaimana yang telah dibahas pada
bagian yang terdahulu adalah sebagai berikut
E(x, t) = Eoy e−κ− x ei(κ+ x−ωt+δE ) ĵ
B(x, t) =
κ
ω
Eoz e−κ− x ei(κ+ x−ωt+δB ) k̂
(3.19)
(3.20)
yang menunjukkan bahwa gelombang medan listrik dan medan magnet saling tegak lurus.
Seperti bilangan kompleks lainnya, κ juga dapat diekspresikan dalam modulus dan fase:
κ = κ+ + iκ− = |κ|eiφ
(3.21)
dengan
q
|κ| = κ2+ + κ2− = ω
dan
φ = tan−1
s
ǫµ 1 +
r
κ−
κ+
σ 2
ǫω
(3.22)
(3.23)
Mengacu pada persamaan (3.19) dan (3.20), amplitudo medan listrik dan medan magnet saling
dihubungkan dengan
Boz eiδB =
|κ|eiφ
Eoy eiδE
ω
(3.24)
Jadi, secara matematis dapat dibuktikan bahwa perambatan gelombang elektromagnetik pada
medium konduktor akan menghadirkan beda fase antara medan listrik dan medan magnet,
sebagaimana diperlihatkan Gambar 3.1. Beda fase tersebut adalah
δB − δE = φ
(3.25)
Secara fisis artinya adalah gelombang medan magnet selalu tertinggal di belakang gelombang medan listrik. Pada sisi lain, amplitudo riil dari medan listrik dan medan magnet dihubungkan oleh persamaan berikut
Boz
|κ|
Eoy =
=
ω
s
r
σ 2
Eoy
ǫµ 1 +
ǫω
(3.26)
BAB 3. GELOMBANG PADA MEDIUM KONDUKTOR
16
Gambar 3.1: Gelombang medan magnet dan medan listrik tidak sefasa
Akhirnya, gelombang medan listrik dan medan magnet pada medium konduktor harus dinyatakan sebagai
E(x, t) = Eoy e−κ− x cos(κ+ x − ωt + δE )ĵ
|κ|
B(x, t) =
Eoy e−κ− x cos(κ+ x − ωt + δE + φ)k̂
ω
(3.27)
(3.28)
Pada konduktor, energi gelombang tidak dibagi secara merata pada gelombang medan
listrik dan medan magnet
1
1
U = (ǫo E 2 + B 2 )
2
µo
|κ|
1 2 −2κ− x
2
2
ǫ cos (κ+ x − ωt + δE ) +
cos (κ+ x − ωt + δE + φ)
U = Eoy e
2
µω 2
(3.29)
(3.30)
Energi rata-rata dinyatakan sebagai
#
"
r
µ 2
1
2 −2κ− x
< U >∼
e
1+ 1+
= ǫEoy
4
ǫω
(3.31)
Suku kedua dari persamaan (3.31) menunjukkan dominasi medan magnet. Bahkan, bila suatu
material tergolong dalam konduktor yang baik, maka
1 µ 2 −2κ− x
E e
< U >∼
=
4 ω oy
(3.32)
Sementara, fluks energi rata-rata ditentukan oleh vektor poynting sebagai berikut
< S >=
1 κ+ 2 −2κ− x
E e
î
2 µω oy
(3.33)
3.2. REFLEKSI DAN TRANSMISI PADA PERMUKAAN KONDUKTOR
3.2
17
Refleksi dan Transmisi pada Permukaan Konduktor
Anggaplah terdapat bidang yz sebagai batas antara medium 1 yang non-konduktor dan medium 2 yang konduktor. Suatu gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1, melintasi
bidang batas, menuju medium 2 seperti gambar 2.1 Persamaan gelombang untuk gelombang
datang, refleksi dan transmisi adalah sebagai berikut
EI (x, t) = EoyI ei(κ1 x−ωt+δ) ĵ
ER (x, t) = EoyR ei(−κ1 x−ωt+δ) ĵ
ET (x, t) = EoyT ei(κ2 x−ωt+δ) ĵ
1
EoyI ei(κ1 x−ωt+δ) k̂
v1
BI (x, t) =
1
EoyR ei(−κ1 x−ωt+δ) k̂
v1
κ2
BT (x, t) =
EoyT ei(κ2 x−ωt+δ) k̂
ω
BR (x, t) = −
(3.34)
(3.35)
(3.36)
Gelombang transmisi mengalami atenuasi ketika memasuki konduktor, karena κ2 merupakan
bilangan kompleks.
Syarat batas harus memenuhi dua syarat batas, yaitu
dan
EoyI + EoyR = EoyT
(3.37)
1 κ2
1
(EoyI − EoyR ) =
EoyT )
µ1 v1
µ2 ω
(3.38)
atau
EoyI − EoyR = βEoyT
β=
µ1 v1 κ2
µ2 ω
(3.39)
Dari persamaan (3.37) dan (3.39) diperoleh
EoyR =
1−β
1+β
EoyI
EoyT =
2
1+β
EoyI
(3.40)
Hasil ini identik dengan yang diperoleh sebelumnya pada batas antar dua bahan non-konduktor,
hanya saja sekarang β merupakan bilangan kompleks. Untuk konduktor yang sempurna
(σ = ∞), β menjadi tak terhingga, sehingga
EoyR = −EoyI
EoyT = 0
(3.41)
Pada kasus ini, semua gelombang datang akan dipantulkan menjadi gelombang refleksi dengan beda fase 180.
Daftar Pustaka
19