Mossar Haro Rajagukguk / 10104009

BAB 2
HUKUM KEKEKALAN
Dalam mempelajari dinamika fluida, kecepatan merupakan besaran yang harus diamati.
Untuk itu kita dapat meninjau suatu partikel fluida, sebagai akibat bahwa fluida bersifat
kontinu. Pengertian partikel fluida tersebut adalah fluida yang dimuat dalam volume yang
sangat kecil, sehingga kita dapat memperlakukan titik secara geometri. Kecepatan fluida pada
suatu titik dapat bergantung pada posisi titik tersebut dan waktu. Bila kecepatan pada titik
tidak bergantung pada waktu, maka pola aliran akan sama terus, dan disebut steady.
Secara fisis kejadian dalam suatu proses aliran fluida dimodelkan untuk mendapatkan model
matematikanya. Perubahan-perubahan yang berlangsung diamati untuk diformulasikan dalam
bentuk persamaan.
Masalah pada aliran fluida merupakan pemecahan persamaan diferensial parsial. Dalam
penurunan rumus, kita memodelkan aliran berdasarkan neraca kesetimbangan. Suatu
persamaan diferensial diperoleh setelah melakukan serangkaian operasi matematika.
Penurunan persamaan-persamaan gerak aliran fluida dilakukan berdasarkan hukum kekekalan
masssa dan hukum kekekalan momentum. Kondisi batas diperlukan untuk menyelesaikan
model yang ada.
2.1 HUKUM KEKEKALAN MASSA
Hukum kekekalan massa untuk fluida menyatakan massa fluida yang masuk suatu elemen
volume stasioner ∆∆∆ (lihat gambar 2.1) sama dengan massa fluida yang keluar.
Gambar 2.1 Elemen volume dan aliran massa
Selisih antara massa rata-rata yang masuk dan massa rata-rata yang keluar dari elemen
volume tersebut disebut perubahan massa rata-rata. Bila rapat massa dinotasikan oleh dan
aliran fluida dipandang dalam satu arah, misalkan arah sumbu , maka rata-rata massa yang
masuk pada elemen volume (melintasi bidang ) dapat dinyatakan dengan | ∆∆, dan
rata-rata massa yang keluar melintasi bidang + ∆ dapat dinyatakan dengan
|∆ ∆∆. Notasi menyatakan komponen kecepatan dalam arah . Secara lengkap
vektor kecepatan dinotasikan dengan = , , .
Cara yang sama dapat dilakukan untuk arah aliran fluida lainnya, yaitu arah sumbu . Oleh
karena itu, kita peroleh kesetimbangan massa :
∆∆∆
= ∆∆| − |∆ + ∆∆| − |∆ + ∆∆| −
|∆ (2.1)
Dengan membagi keseluruhan persamaan dengan volume ∆∆∆ dan mengambil limit
volume ini menuju nol, maka persamaan (2.1) menjadi :
= −
+
!
+
"
#
Untuk yang bernilai konstan maka persamaan kontinuitas dalam 2-D adalah :
=−
!
(2.2)
(2.3)
2.2 HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM
Seperti pada bagian sebelumnya, kita perhatikan sekerat volume fluida ∆∆∆ (gambar
2.2). Kesetimbangan momentum pada elemen volume tersebut adalah :
Rata-rata
perubahan
momentum
=
Rata-rata
momentum
yang masuk
-
Rata-rata
momentum
yang keluar
+
Gambar 2.2 Elemen volume dan aliran momentum
Jumlah gaya
yang terjadi
pada sistem
Neraca kesetimbangan di atas merupakan persamaan vektor, di mana setiap komponennya
menyatakan arah gerak fluida sesuai koordinatnya. Dua mekanisme terjadinya transfer
momentum adalah akibat adanya sirkulasi aliran fluida (convection), dan momentum yang
dipindahkan molekul akibat perbedaan kecepatan lapis aliran.
Pada komponen , rata-rata momentum yang masuk ke dalam elemen fluida ditinjau dari tiga
arah, yaitu arah , , dan . Dalam arah , rata-rata momentum, akibat convection, masuk
elemen volume melintasi bidang adalah $ | ∆∆, dan keluar melintasi bidang + ∆
adalah $ |∆ ∆∆.
Dalam arah , besar momentum rata-rata adalah | ∆∆ dan |∆ ∆∆, berturut-
turut melintasi bidang dan bidang + ∆.
Sehingga momentum keseluruhan untuk komponen adalah :
∆∆$ | − $ |∆ + ∆∆%| − |∆ & + ∆∆| − |∆ (2.4)
Faktor lain yang terlibat dalam neraca momentum adalah gaya-gaya yang terjadi pada elemen
volume. Gaya terpenting adalah tekanan fluida ' dan gravitasi (.
Resultan dar gaya-gaya ini dalam arah adalah :
∆∆'| − '|∆ + ( ∆∆∆
(2.5)
'| menyatakan tekanan pada bidang ∆∆ dan ( menyatakan gravitasi dalam arah .
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen volume, yaitu ∆∆∆ )⁄)*, dan hasil
(2.4) dan (2.5) disubstitusikan pada neraca momentum di atas. Persamaan yang diperoleh
kemudian dibagi dengan ∆∆∆ dan diambil limitnya masing-masing ∆, ∆, ∆ menuju
nol, maka persamaan gerak dalam 2-D menjadi :
= −
!
= −
,
+
!
#−
!
+
! ,
#−
Dengan cara yang sama, untuk komponen diperoleh :
+ (
(2.6)
+ (
(2.7)
2.3 KONDISI BATAS
Masalah pada aliran fluida merupakan pemecahan permasalahan diferensial parsial terhadap
bidang ataupun terhadap waktu. Kondisi batas diperlukan untuk dapat menyelesaikan model
yang ada. Terdapat dua jenis kondisi batas, yaitu kinematik dan dinamik.
Kondisi batas kinematik diturunkan berdasarkan ide dasar dari sifat kontinum fluida. Kita
gambarkan suatu permukaan S pada fluida, dan bergerak bersama fluida. Jika kita mengikuti
setiap partikel permukaan, maka partikel tadi selalu membentuk permukaan dan fluida yang
sebelumnya berada di dalam S akan tetap berada di dalamnya. Dalam memformulasikan
pengertian tersebut, kita nyatakan permukaan S sebagai persamaan ., , , * = 0 secara
implisit untuk suatu partikel yang berada pada koordinat , , dan partikel tersebut tetap
pada permukaan tersebut, dapat dinyatakan dalam operator turunan total :
01
0
=0
(2.8)
untuk sebarang permukaan S yang kita gambarkan. Kita misalkan sekarang permukaan S
sebagai permukaan bebas yang membatasi air dan udara di atasnya, dengan persamaan
= 2, , *
Sebagai catatan, di sini kita berikan asumsi bahwa pengaruh aliran udara di atas air dapat
diabaikan. Dari hubungan di atas, kita dapat menuliskan persamaan permukaan :
. = 2, , * − ≡ 0
(2.9)
Jika persamaan (2.9) kita terapkan pada persamaan (2.8) untuk = 2 diperoleh :
4
+
4
+
4
− =0
(2.10)
Persamaan ini merupakan kondisi kinematik permukaan. Hal serupa dapat diturunkan untuk
dasar saluran, seperti pada sungai atau laut, di mana dasarnya dapat berupa kurva, tentunya
tidak bergantung pada waktu. Misalkan berupa kurva berbentuk = −ℎ, . Maka kondisi
kinematik untuk = −ℎ adalah :
6
+
6
+ =0
(2.11)
Kondisi batas kedua adalah kondisi dinamik, yang berlaku hanya pada permukaan bebas. Kita
asumsikan bahwa dengan tidak adanya gerakan pada udara atau diabaikan maka tekanan pada
udara adalah konstan, dan dapat kita ambil nol sebagai tekanan referensi. Selanjutnya kita
gunakan persamaan bernoulli sepanjang permukaan bebas pada = 7, yaitu :
8
+ $ + (7 = :* 9
$
(2.12)