pengendalian optimal getaran pada struktur gedung

PENGENDALIAN OPTIMAL GETARAN PADA STRUKTUR GEDUNG
TERHADAP GEMPA BUMI
Oleh:
Bagus Setyo Ugi Widodo
1205 100 046
Pembimbing:
Drs. Erna Apriliani M,Si
Drs. Kamiran, M.Si
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA
2010
Uraian singkat
Mengendalikan getaran pada struktur gedung akibat adanya pengaruh gempa bumi
menjadi sangat penting pada masa sekarang. Untuk mengendalikan getaran pada gedung yang
memiliki sistem dengan banyak derajat kebebasan digunakan algoritma kontrol optimal
khususnya linear quadratic regulator(LQR) sehingga didapatkan rancangan sistem kontrol aktif
yaitu didapatkan sistem feedback control. Banyaknya derajat kebebasan dalam sistem struktur
gedung bergantung pada banyaknya lantai dari gedung tersebaut. Dalam struktur bangunan
digunakan alat yaitu Active Tuned Mass Damper (ATMD) sebagai mekanisme kontrol untuk
mengurangi getaran akibat gempa, dimana ATMD dipasang dibagian puncak gedung. Actuator
pada ATMD digunakan sebagai pengendali getaran.
Simulasi yang dipakai pada pembahasan ini menggunakan sistem dengan lima derajat
kebebasan. Dengan optimal kontrol didapatkan parameter pada pengendali ATMD yang dapat
mengurangi getaran secara optimal. Pada akhir pembahasan masalah waktu pergeseran lantai,
kecepatan pergeseran lantai, dan besar pergeseran lantai dari sebelum dikontrol dan setelah
dikontrol ditampilkan dari situ terlihat bahwa kontrol optimal yang didapatkan dengan LQR
mampu mereduksi getaran yang terjadi pada struktur.
1. Pendahuluan
Pada masa sekarang ini semakin
banyak bangunan gedung bertingkat dan
semakin beragamnya teknik arsitektur dari
gedung
menyebabkan
maningkatnya
kebutuhan akan keamanan dan kenyaman
dari gedung. Unsur keamanan dan
kenyaman dari gedung ini tidak terlepas dari
kokohnya suatu gedung dalam berdiri. Akan
tetapi adanya gangguan-gangguan alam
seperti gempa bumi dapat menyebabkan
rusaknya
struktur
bangun,
yang
mengakibatkan ketidakamanan bagi manusia
yang berada didalam maupun disekitar
gedung tersebut.untuk itu perlu adanya suatu
pengendali pada gedung, agar gedung dapat
menahan getaran akibat adanya gempa bumi
sehingga struktur bangunan tidak mudah
rusak.
Struktur kontrol getaran telah
meningkat pesat baik itu dalam teori
maupun dalam prakteknya. Pada metode
getaran semi-aktif, diterapkan metode
kontrol semi-aktif sebagai dasar koefisien
1
damping yang diubah sebagai kontrol
getaran. Dimana dalam beberapa tahun
terakhir, banyak pembelajaran bahwa
actuator aktif telah digunakan untuk
mengisolasi effek gempa yang menyebabkan
getaran. (Yagiz 2001) mengembangkan
active-passive composit tunned mass
damper yang bertujuan mengurangi tekanan
angin dan gempa yang menyebabkan
getaran pada struktur bangunan tinggi.
Karena terdapat ketidak pastian dalam
struktur bangunan, dan sistem parameternya
tidak konstan, maka metode robust control
yang diusulkan sebagai kontrol aktif.
(Yagiz: 2001) mengusulkan metode sliding
mode control (SMC) untuk mengisolasi
getaran pada struktur gedung menggunakan
ATMD. SMC dipilih karena berkarakter
robust, dapat diterapkan pada sistem non
linier, dan kinerjanya superior .
Dalam kajian
ini akan dibahas
desain kontrol sistem aktif pada bangunan
menggunakan teori kontrol optimal dan
parameter yang optimal dari actuator pada
Active Tuned Mass Damper(ATMD). Dan
disimulasikan dengan mengunakan program
Matlab sehingga pada akhir pembahasan
dapat diperlihatkan pengaruh pengontrol
terhadap getaran gedung yang telah
diperoleh. Data-data yang dibutuhkan dalam
simulasi dari pengendalian getaran pada
struktur gedung ini akan diambil dari studi
literatur yang telah ada.
2. Model Getaran Struktur Gedung
akibat Gempa.
Pada pembahasan ini diambil
gedung 4 lantai dan dipasang ATMD di
bagian puncak sehingga sistemnya memiliki
lima derajat kebebasan yang semuanya
berarah horisontal. Actuator pada ATMD
dapat diatur
secara optimal yang
ditempatkan di bagian puncak lantai. Tujuan
dari sistem kontrol ATMD ini adalah untuk
mengurangi getaran pada gedung. Bentuk
simulasi fisiknya ditunjukkan pada gambar
Gamabar 2.1 . Simulasi Sistem Gedung
Dengan Lima Derajat Kebebasan
Massa dari setiap lantai adalah
m1 , m2 , m3 , m4 sedangkan md massa dari
ATMD. c1 , c 2 , c3 , c 4 merupakan damping
dari masing-masing lantai gedung dan
c d damping
dari
ATMD
sedangkan
k1 , k 2 , k 3 , k 4 adalah stiffnes tiap lantai dari
gedung dan k d stiffnes dari ATMD.
Damping dan stiffnes ini berkaitan dengan
elastisitas ataupun kekakuan dari struktur
bangunan. x1 , x 2 , x 3 , x 4 dan x d adalah
pergeseran
gedung
arah
horisontal. f act adalah gaya pengontrol yang
dihasilkan actuator dan f e adalah gaya
yang bekerja pada struktur bangunan akibat
gempa bumi. Semua pengaruh tersebut
termasuk damper dan stiffnes juga bekerja
pada arah horisontal
model matematika dari gerak
struktur bangunan bertingkat 4 dengan
ATMD dibagian puncak gedung akibat
pengaruh gempa yang dapat ditulis sebagai
berikut:
M x(t ) + C x (t ) + K x(t ) = D f act (t ) + E f e (t )
(2.1)
2
x = [ x1 x 2 x3 x 4 x d ]T dan M, C , K masingmasing adalah matrik massa, damping , dan
stiffnes dari struktur. Matrik D merupakan
penunjuk dari aplikasi pada gaya pengontrol.
E berelemen nol kecuali bagian pertama,
dimana terletak di tingkat bagian bawah dari
struktur karena pengaruh gempa bumi. .
3. Representasi State-space dari Model
Matematika
Varibel state-space dari perubahan
persamaan (2.1) mengandung sepuluh
elemen energi. Energi potensial yang
terkandung pada pegas dan damping adalah
fungsi pergeseran lantai x(t ) dan energi
kinetik yang terkandung pada pergerakan
massa adalah fungsi dari kecepatan
v(t ) (dimana samadengan x (t ) ). Sebab itu,
variable state yang cocok dengan elemen
yang mengandung energi tersebut diberikan
sebagai berikut:
z (t ) = [ x1 x 2 x3 x 4 x d v1 v 2 v3 v 4 v d ]T (3.1)
dengan x1 , x 2 , x3 , x 4 merupakan pegeseran
lantai kesatu sampai dengan keempat dan
x d pergeseran pada ATMD. Sedangkan
v1 , v 2 , v3 , v 4 kecepatan pergeseran lantai
kesatu sampai dengan lantai empat dan
v d kecepatan pergeseran ATMD.
Matriks sistem variabel state
ditunjukkan seperti di bawah ini:
z = A z + B f act + H f e
(3.2)
4. Analisa Optimal Control Menggunakan
Linear Quadratic Regulator ( LQR )
Permasalahan Optimal control pada
teori kontrol moderen adalah untuk
mendapatkan pengontrol pada sistem
dinamik agar sistem dinamik tersebut
bekerja sesuai dengan target, dimana
pengontrol pada sistem tersebut akan
memberikan nilai maksimum/minimum
pada indeks performansi
Indeks performansi umum untuk
masalah optimal kontrol bentuk kuadrat
linear seperti berikut:
J = z T (t f ) Sz (t f )
+ ∫ ( z T (t )Q z (t ) + u T (t ) Ru (t ))dt
(4.1)
R =matriks pembobot definit positif
Q dan S adalah matrik pembobot semi
definit positif
Pada teori LQR terdapat beberpa macam
tipe kontrol struktur aktif seperti berikut:
1. Kontrol close-loop.
2. Kontrol Open Loop
3. Kontrol Closed-Open Loop.
Dalam aplikasinya untuk kontrol struktur,
kontrol open loop dan closed-open loop tidak
dapat digunakan, karena riwayat waktu
percepatan gempa harus diketahui sebelumnya,
dan hal ini tidak mungkin dilakukan. Maka,
sistem kontrol yang dapat diaplikasikan untuk
kontrol struktur adalah kontrol closed loop.
Untuk kontrol aktif close-loop , pada
permasalahan kontrol struktur didefinisikan
kontrol masukan berupa u = f act . Berikut
diberikan langkah-langkah untuk mendapatkan
persamaan pengontrol. Agar diperoleh Matrik
gain
pengontrol
diperoleh
dengan
meminimumkan
indeks
performansi
J
(Liapunov’s cost function):
1
T
J = ∫ ( z T Q z + f act R f act )
2
(4.2)
Sehingga dari performan indikator (4.2) dan
state-space (3.2) yang telah diketahui
sebelumnya maka dapat dibentuk persamaan
Hamilton seperti berikut :
1 T
T
( z Q z + f act R f act )
2
+ λT ( A z + B f act )
h(t ) =
(4.3)
dengan
λ merupakan pengali Lagrange.
Berdasar persamaan (4.2) didapatkan penurunan
persamaan state dan costate:
z =
∂h(t )
= A z + Bf act
∂λ
(4.16)
∂h(t )
− λ =
= Q z + AT λ
∂z
kondisi stasionernya
∂h(t )
0=
= Rf act + B T λ
∂f act
3
f act = − R −1 B T λ
dimana λ (t ) masih belum diketahui. Untuk
mendapatkan persamaan pengali Lagrange
maka digunakan persamaan berikut yang
diturunkan dari PI pada persamaan (4.1)
∂( z T S z)
λ (t ) =
= S (T ) z (T )
∂z
S adalah penyelesain dari Riccati yang
stedy-state dimana ditulis sebagai berikut:
(4.4)
AT S + SA − SBR −1 B T S + Q = 0
jika limit solusi S pada persamaan Riccati dapat
ditemukan dengan menyelesaikan persamaan
(4.4) maka kontrol optimal diberikan sebagai
berikut
(4.5)
f act = − R −1 B T S z (t )
didefinisikan bentuk Kalman
merupakan matriks konstan
gain
yang
G T = R −1 B T S
Untuk mendapatkan optimal cost dari
pengontrol yang telah didapat, maka diberikan
persamaan sebagai berikut:
1 d T
1
(z S z)dt = zT (T )S (T )z(T )
∫
2 dt
2
−
1 T
z (t 0 ) S (t 0 )z (t 0 )
2
(4.6)
oleh karena itu, dengan mengambil indeks
performansi seperti persamaan (4.1)
kemudian kedua ruas dikurangi dengan
persamaan (4.6) diperoleh:
1
J (t 0 ) = z T (t 0 ) S (t 0 ) z (t 0 )
2
T
+ ∫ R −1 B T S z − f act
2
R
t0
dengan mengganti persamaan f act dengan
persamaan (4.5) sehingga diperoleh rumusan
optimal cost function seperti berikut
disamping itu stiffnesnya 260 kN/s dan
damping 50 t/s. massa dari ATMD pada
kasus ini diambil 8 ton. Stiffnes dan
damping dari ATMD masing-masing adalah
22kN dan 15kN. Inputan berupa gaya gempa
sebesar 200kN. Posisi awal dari pergeseran
lantai ditempatkan pada posisi nol, dan
kecepatan pergeseran lantai juga nol dengan
artian benda dalam keadaan diam. Dan
waktu komputasi diberikan pada range
0 ≤ t ≤ 40 dalam satuan detik.
5.1 Simulasi gedung sebelum diberikan
pengontrol dan sesudah diberikan
pengontrol.
Grafik yang menunjukkan pergerakan
lantai diberikan pada gambar 5.1, 5.2, 5.3,
5.4 terlihat bahwa pergeseran lantai yang
diberikan pengontrol lebih kecil dibanding
grafik
tanpa
pengontrol.
Kecepatan
pergerakan lantai ditunjukkan pada gambar
5.5, 5.6, 5.7, 5.8 yang menunjukkan bahwa
pengontrol memberikan pengurangan durasi
waktu getar. Matriks pembobot diambil
sebagai berikut:
0
0
0 0 0 0 0 0⎤
⎡500 0
⎢ 0 500 0
0
0 0 0 0 0 0⎥⎥
⎢
⎢ 0
0 500 0
0 0 0 0 0 0⎥
⎢
⎥
0
0 500 0 0 0 0 0 0⎥
⎢ 0
⎢ 0
0
0
0 500 0 0 0 0 0⎥
Q=⎢
⎥
0
0
0
0 0 0 0 0 0⎥
⎢ 0
⎢ 0
0
0
0
0 0 0 0 0 0⎥
⎢
⎥
0
0
0
0 0 0 0 0 0⎥
⎢ 0
⎢ 0
0
0
0
0 0 0 0 0 0⎥
⎢
⎥
0
0
0
0 0 0 0 0 0⎦⎥
⎣⎢ 0
R = [0.5]
optimal cost minimum
1
J (t 0 ) = z T (0) S (0) z (0) = 0
2
nilai
pada
1 T
z (t 0 ) S (t 0 ) z (t 0 )
2
5. Simulasi Sistem dan Bentuk Optimal
Control
Berikut
diberikan
beberapa
parameter yang digunakan dalam simulasi
ini. Massa dari setiap lantai adalah 40 ton,
J (t 0 ) =
4
Gambar 5.1 Grafik Pergeseran Lantai Pertama
Gambar 5.4 Grafik Pergeseran Lantai Keempat
tabel analisa pengurangan getaran dapat
dilihat pada lampiran
Dari tabel menunjukan bahwa lantai satu
sampai dengan lantai keempat dimana
sistem tanpa pengontrol setelah diberikan
pengontrol
selalu terjadi pengurangan
pergeseran
dengan rata-rata prosentase
pengurangan tiap lantai adalah 25.10%.
Gambar 5.2 Grafik Pergeseran Lantai Kedua
Gambar 5.5 Grafik Kecepatan Pergeseran
Lantai Pertama
Gambar 5.3 Grafik Pergeseran Lantai Ketiga
5
Gambar 5.6 Grafik Kecepatan Pergeseran
detik ke 27,5 dan seterusnya, dan lantai
keempat pada detik ke 27 dan seterusnya.
Dan setelah detik-detik tersebut kecepatanya
selalu mendekati nol. Berarti pengaruh gaya
gempa sudah tidak ada pada detik itu dan
seterusnya.
Sedangkan
grafik
tanpa
pengontrol, pada derik-detik tersebut gerak
lantai masih terjadi perubahan kecepatan
sehingga dapat dikatakan pengaruh gaya
gempa masih ada. Dari dua analisa tersebut,
dapat disimpulkan bahwa pengontrol yang
diperoleh dapat mengurangi durasi dari lama
waktu pengaruh gempa.
Lantai Kedua
5.2 Simulasi variasi pengambilan matriks
pembobot dalam reduksi getaran
gedung
Di dalam persamaan kontrol struktur yang
terkena beban dinamik dan gaya kontrol,
tidak terlepas dari maslah minimasi dari
indeks performansi:
1
T
J = ∫ ( z T Q z + f act R f act )
2
Gambar 5.7 Grafik Kecepatan Pergeseran
Lantai Ketiga
Gambar 5.8 Grafik Kecepatan Pergeseran
Lantai Keempat
Jika diperhatikan pada grafik yang
diberikan pengontrol, pada lantai satu grafik
tidak mengalami osilasi atau tidak ada
perubahan kecepatan pada sekitar detik ke
27.5 dan seterusnya, lantai kedua pada detik
ke 28.5 dan seterusnya, lantai ketiga pada
Pemilihan nilai Q yang besar menunjukkan
bahwa perioritas dari sistem kontrol untuk
mereduksi respon (z) sebesar-besarnya,
akibatnya adalah akan dihasilkan gaya
kontrol ( f act ) yang besar maka R harus
bernilai kecil. Sedangkan Apabila bobot
matriks Q dipilih lebih kecil atau sama
dengan bobot matriks R , maka tujuan
kontrol dipilih untuk menghemat gaya
kontrol
sebanyak
mungkin
yang
menyebabkan
respon
struktur
tidak
berkurang secara signifikan. Berikut
ditampilkan
beberapa
kasus
dalam
pemilihan matriks pembobot Q dan R .
Kasus pertama , elemen matriks pembobot
Q dipilih lebih besar dari R
1. Percobaan pertama
Matriks pembobot yang diambil sebagai
berikut:
Q = 600 × I ; I merupakan matriks
identitas
R = [0.5]
6
optimal cost minimum pada
1 T
J (t 0 ) = z (0) S (0) z (0) = 0
2
hasilnya dapat dilihat pada gambar 5.9.
dengan pengurangan pergeseran pada bagian
puncak osilasi sebesar 43.26%.
Nilai
Gambar 5.10 Simulasi Pergerakan Lantai
Empat ( Q = 30 × I dan R = [0.5])
Gambar 5.9 Simulasi Pergerakan Lantai Empat
( Q = 600 × I dan R = [0.5])
2. Percobaan kedua
Pada percobaan ini kasusnya masih
seperti kasus pertama, akan tetapi bobot
matriks Q dibuat jauh lebih kecil daripada
matriks pada percobaan pertama. Matriks
pembobotnya adalah
Q = 30 × I , I merupakan matriks
identitas (10 × 10)
R = [0.5]
Nilai optimal cost minimum pada
1
J (t 0 ) = z T (0) S (0) z (0) = 0
2
hasilnya dapat dilihat pada gambar 5.10
Dimana kontrol yang diperoleh hanya
mampu memberikan sedikit pengurangan
getaran yaitu sebesar 6.15%.
3. Percobaan ketiga
Pada percobaan ini kasusnya masih
seperti kasus pertama dan bobot Q sama
dengan percobaan pertama, akan tetapi
bobot matriks R dibuat lebih besar daripada
matriks pada percobaan pertama. Matriks
pembobotnya adalah
Q = 600 × I , I merupakan matriks
identitas (10 × 10)
R = [10]
Nilai optimal cost minimum pada
1
J (t 0 ) = z T (0) S (0) z (0) = 0 hasilnya dapat
2
dilihat pada gambar 5.11 berikut. Dimana
kontrol yang diperoleh hanya mampu
memberikan sedikit pengurangan getaran
yaitu sebesar 3.33%.
Gambar 5.11 Simulasi Pergerakan Lantai
Empat ( Q = 600 × I dan R = [10])
7
Kasus kedua, elemen matriks pembobot
R dibuat lebih besar dari Q .Berikut
matriks pembobot yang dipilih:
Q = 0.01 × I , I adalah matriks
identitas.
R = [0.5]
Nilai optimal cost minimum pada
1
J (t 0 ) = z T (0) S (0) z (0) = 0
2
Gambar 5.12 Simulasi Pergerakan Lantai
Empat ( Q = 0.01 × I dan R = [0.5])
Terlihat bahwa kasus kedua tidak
memberikan pengurangan getaran pada
sistem yang signifikan karena tujuan pada
kasus kedua adalah untuk menghemat gaya
kontrol yang sebesar-besarnya sehingga
tidak memberikan gaya kontol besar.
Kesimpulan
Dengan mengumpulan hasil-hasil dari
analisis, maka dapat diperoleh beberapa
kesimpulan sebagai berikut:
1. Pengendali optimal yang diperoleh
adalah:
1
f act = −G T z (t ) , G = − R −1 B T S ;
2
S penyelesaian persamaan Riccati.
Dengan memberikan beban pengontrol
f act ke persamaan keadaan terbukti
memberikan pengurangan terhadap besar
pergeseran lantai pada gedung, dan dapat
mengurangi durasi waktu getar dari
gedung akibat pengaruh gaya gempa.
2. Hasil simulasi menunjukan bahwa
pemilihan matriks pembobot Q dan R
menetukan pemberat relatif dari masingmasing variable state dan masingmasing input gaya kontrol dalam proses
minimasi
performance
indexs.
Pengambilan elemen matriks Q yang
besar dibanding elemen R , maka
dihasilkan kontrol yang beramplitudo
besar sehingga memberikan redaman
yang besar pada pergeseran gedung dan
mempercepat stabilitas getaran gedung.
Apabila elemen matriks Q dipilih lebih
kecil atau mendekati bobot elemen
matriks R , maka kontrol yang diperoleh
beramplitudo kecil, sehingga hanya
memberikan redaman yang kecil pada
gedung.
3. Dalam kasus reduksi struktur, pemilihan
elemen Q yang besar menunjukkan bahwa
perioritas dari sistem kontrol untuk
mereduksi respon (z) sebesar-besarnya,
akibatnya adalah akan dihasilkan gaya
kontrol ( f act ) yang besar maka R
berelemen kecil.
Saran
Adapun saran untuk penelitian dan
pengembangan selanjutnya adalah:
1. Pada pembahasan ini beban yang
mempengaruhi sistem adalah gaya
pengaruh
gerakan
gempa.
Bisa
dikembangkan lagi dengan memberikan
beban yang bervariasai dan lebih banyak
pada sistem. Misalkan, pengaruh angin,
dan lain sebagainya.
2. Pemilihan matriks pembobot alangkah
baiknya untuk dicari metode estimasinya
yang berkaitan dengan sistem. Karena
tidak semua besaran matriks pembobot
memberikan pengontrol yang baik
terhadap sistem.
3. Dalam pembahasan
ini digunakan
Linear Quadratic Regulator (LQR) untuk
memperoleh
pengontrol.
Untuk
pengembangan
alangkah
baiknya
dilakukan
pembandingan
dengan
metode-metode kontrol yang lain
misalkan PID, SMC, maupun yang
8
lainya agar didapatkan pengontrol yang
baik untuk permasalahan getaran pada
gedung.
Forms
in
Mechanical
Systems”,
Vol.LIV, number 3, Gdansk University
of Technology, ul. Narutowicza 11/12,
80-952 Gdansk.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Brogan, W.L., 1991, “ Third Edition:
Modern Control Theory” , PRENTICE
HALL, Englewood Cliffs, New Jersey
07632.
[9] Yagiz, N., 2001, “Sliding Mode Control
of
a
Multi-Degree-of-Freedom
Structural System With Active Tuned
Department
of
Mass
Damper”,
Mechanical Engineering, University of
Istanbul, Avcilar, Istanbul- TURKEY.
[2] Hariyanto, Kamiran, dan Mardliyah,
2007,” Model Kelompok dengan Metode
Klasikal dan Pendekatan Realistik pada
Pembelajaran Pengendalian Optimal”,
Modulmatakuliah
Pengendalian
Optimal, Institut Teknologi Sepuluh
Nopember, Surabaya.
[3] Kumar, A., Poonam , Saini, B., dan
Sehgal V.K., 2007 , “ Active Vibration
Control
of
Structures
Against
Earthquakes Using Modern Control
Theory “, Asian Journal of Civil
Engineering(Building and Housing) Vol.
8, No.3, Pages 283-299, India.
[4] Lewis, F.L. , 1992,” Applied Optimal
Control and Estimation”, PRENTICE
HALL International, Inc.
[5] Mutambara, Arthur G.O., 1999, ”Design
and Analysis of Control Systems”, CRC
press, US.
[6] Otto,S.R. dan Denier,J.P.,2005, “An
Introduction to Programming and
Numerical Methods in MATLAB”,
Springer-Verlag London.
[7] Setio, Herlien D., Widarbo, R., Patta,
Pasca R., 2008, ”Kontrol Vibtasi Aktif
pada Struktur yang Mengalami Beban
Dinamik dengan Menggunakan Jaringan
Saraf Tiruan dan Algoritma Genetik”,
Program Studi Teknik Sipil,ITB,
Bandung
[8] Wittbrodt, E. , dan Hein, R., 2007,
“Optimum Control of Selected Vibration
9
LAMPIRAN
Matriks massa, damping, stiffnes
0
0
0⎤
0
0
0 ⎤
− c2
⎡m1 0
⎡(c1 + c 2 )
⎥
⎢0 m
⎢
0
0
0⎥
(c 2 + c 3 )
0
0 ⎥⎥
− c3
2
⎢
⎢ − c2
M =⎢0
C=⎢ 0
0 m3 0
0 ⎥,
(c 3 + c 4 )
0 ⎥
− c3
− c4
⎥
⎥
⎢
⎢
0
0 m4 0 ⎥
0
(c 4 + c d ) − c d ⎥
− c4
⎢0
⎢ 0
⎢⎣ 0
⎢⎣ 0
0
0
0 md ⎥⎦
0
0
c d ⎥⎦
− cd
0
0
0 ⎤
− k2
⎡ ( k1 + k 2 )
⎢ −k
(k 2 + k 3 )
0
0 ⎥⎥
− k3
2
⎢
K=⎢ 0
(k 3 + k 4 )
0 ⎥
− k3
− k4
⎥
⎢
0
(k 4 + k d ) − k d ⎥
− k4
⎢ 0
⎢⎣ 0
0
0
k d ⎥⎦
− kd
D = [0 0 0 − 1 1]
Matriks sistem
T
,
E = [1 0 0 0 0]
T
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 ⎤
⎡
⎢
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0 ⎥⎥
⎢
⎢
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 ⎥
⎢
⎥
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0 ⎥
⎢
⎢
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 ⎥
⎢ (k1 + k2 )
⎥
k2
c2
(c1 + c2 )
0
0
0 −
0
0
0 ⎥
⎢−
m1
m1
m1
m1
⎢
⎥
A = ⎢ k2
k3
c3
(k2 + k3 )
(c2 + c3 )
c2
⎥
−
−
0
0
0
0 ⎥
⎢ m
m
m
m
m
m
2
2
2
2
2
2
⎢
⎥
k3
c3
(k3 + k4 )
(c3 + c4 )
k4
c4
⎢
−
−
0
0
0
0 ⎥
⎢
⎥
m3
m3
m3
m3
m3
m3
⎢
(k4 + kd ) kd
(c4 + cd ) cd ⎥
k4
c4
⎢
⎥
−
−
0
0
0
0
m4
m4
m4
m4
m4
m4 ⎥
⎢
⎢
kd
k
cd
c ⎥
− d
− d⎥
0
0
0
0
0
0
⎢
md
md
md
md ⎦
⎣
⎡
1
B = ⎢0 0 0 0 0 0 0 0 −
m4
⎣
T
⎡
1 ⎤
⎥ , H = ⎢0 0 0 0 0
md ⎦
⎣
1
m1
⎤
0 0 0 0⎥
⎦
T
Tabel analisa pengurangan getaran antara sistem dengan pengontrol dan tanpa pengontrol:
Tanpa pengontrol
Lantai
I
II
III
IV
pergeseran
terbesar
1.0212
1.2317
1.3778
1.46
waktu kejadian
detik ke3.8227
3.7661
3.7094
3.6559
Dengan pengontrol
pergeseran
terbesar
0.87
0.9433
0.9783
0.9754
waktu kejadian
detik ke3.6023
3.4953
3.3408
3.1675
prosentase
pengurangan
pergeseran
0.1512
0.2884
0.3995
0.4846
14.81%
23.41%
29.00%
33.19%
10