DIMENSI METRIK PADA BEBERAPA KELAS GRAF oleh DWI

DIMENSI METRIK PADA BEBERAPA KELAS GRAF
oleh
DWI RIA KARTIKA
M0112025
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2016
i
ABSTRAK
Dwi Ria Kartika. 2016. DIMENSI METRIK PADA BEBERAPA KELAS
GRAF. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas
Maret.
Misal G adalah graf connected dengan himpunan vertex V (G) dan himpunan edge
E(G). Jarak antara vertex v1 dan v2 pada G yang dinotasikan dengan d(v1 , v2 )
adalah panjang path terpendek antara v1 − v2 . Jika W = {w1 , w2 , ..., wk } adalah
subset dari G dan v ∈ V (G) maka representasi dari v terhadap W pasangan k
terurut dapat dituliskan r(v | W ) = (d(v, w1 ), d(v, w2 ), ..., d(v, wk )). Himpunan
W adalah himpunan pembeda dari G jika untuk setiap dua vertex yang berbeda
menghasilkan representasi yang berbeda. Himpunan pembeda dengan kardinalitas terkecil dari V (G) disebut basis untuk G. Jumlah elemen pada basis di G
disebut dimensi metrik pada G yang dinotasikan dengan dim(G). Pada penelitian
ini, diperoleh dimensi metrik dari graf web Wn , graf friendship fn , graf generalized
flower dengan G ∼
= Cm yang dinotasikan F L(G, m, n) dan graf hasil operasi amalgamasi edge Cn dan Km yang dinotasikan Cn ∗2 Km . Diperoleh dimensi metrik dari
graf tersebut sebagai berikut. Dim(Wn ) = 2 untuk n ganjil dan dim(Wn ) = 3
untuk n genap, dim(fn ) = n untuk n ≥ 2, dim(F L(G, 3, n)) = 3 untuk n = 2, 3,
dim(F L(G, 3, n)) = n untuk n ≥ 4, dim(F L(G, 4, n)) = 2n − 2 untuk n ≥ 4,
dim(F L(G, m, n)) = m + 2n − 5 untuk m, n lainnya, dim(Cn ∗2 Km ) = 2 untuk
n ≥ 3, m = 2, 3 dan dim(Cn ∗2 Km ) = m − 1 untuk n ≥ 3, m ≥ 3.
Kata kunci: dimensi metrik, himpunan pembeda, graf web, graf friendship, graf
generalized flower, graf Cn ∗2 Km
iii
ABSTRACT
Dwi Ria Kartika. 2016. ON THE METRIC DIMENSION OF SOME
FAMILIES OF GRAPHS. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
Let G be a connected simple graph with the vertex set V (G) and the edge set
E(G). The distance between vertices v1 and v2 in G, denoted by d(v1 , v2 ) is the
length of a shortest v1 − v2 path. If W = {w1 , w2 , ..., wk } is a finite set of
vertices of G and v ∈ V (G), then the representation of v with respect to W is the
ordered k-pair r(v | W ) = (d(v, w1 ), d(v, w2 ), ..., d(v, wk )). The set W is called a
resolving set for G if every two vertices of G have distinct representations. The
resolving set with a minimum cardinality of V (G) is called a basis for G. The
number of vertices in basis for G is called a metric dimension of G, denoted by
dim(G). In this research, we determine the metric dimension of a web graph
Wn , a friendship graph fn , a generalized flower graph with G ∼
= Cm , denoted by
F L(G, m, n) and a graph resulting from the amalgamation edge operations Cn
and Km , denoted by Cn ∗2 Km . We found the metric dimensions of these graphs
as follows. Dim(Wn ) = 2 for n odd and dim(Wn ) = 3 for n even, dim(fn ) = n
for n ≥ 2, dim(F L(G, 3, n)) = 3 for n = 2, 3, dim(F L(G, 3, n)) = n for n ≥ 4,
dim(F L(G, 4, n)) = 2n − 2 for n ≥ 4, dim(F L(G, m, n)) = m + 2n − 5 for m, n
others, dim(Cn ∗2 Km ) = 2 for n ≥ 3, m = 2, 3 and dim(Cn ∗2 Km ) = m − 1 for
n ≥ 3, m ≥ 3.
Keywords: metric dimension, resolving set, web graph, friendship graph,
generalized flower graph, Cn ∗2 Km graph
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada
1. Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. sebagai Pembimbing yang
telah memberikan bimbingan materi, penulisan dalam skripsi ini, saran dan
masukan dalam penulisan skripsi ini,
2. Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Pembimbing Akademik atas bantuan dan
motivasinya selama proses belajar hingga disusunnya skripsi ini, dan
3. seluruh teman-teman program studi matematika FMIPA UNS khususnya
angkatan 2012.
Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Mei 2016
Penulis
v
MOTO
Ketika kamu lelah dan ingin menyerah, ingatlah bahwa ada orang tua yang tidak
pernah lelah berjuang demi kamu.
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini dipersembahkan untuk
kedua orang tua saya, kakak saya, serta teman-teman Program Studi
Matematika angkatan 2012 atas segala doa, bantuan, dan motivasi yang telah
diberikan selama ini.
vii
DAFTAR ISI
I
HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
PENDAHULUAN
1
1.1
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.3
Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.4
Dimensi metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
III METODE PENELITIAN
16
viii
IV PEMBAHASAN
17
4.1
Dimensi Metrik pada Graf Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2
Dimensi Metrik pada Graf Friendship . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.3
Dimensi Metrik pada Graf Generalized Flower F L(G, m, n) . . . .
23
4.4
Dimensi Metrik pada Graf Cn ∗2 Km . . . . . . . . . . . . . . . .
29
V PENUTUP
33
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
DAFTAR PUSTAKA
35
ix
DAFTAR GAMBAR
2.1
Graf A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Graf G (kiri) dan komplemen dari graf G (kanan) . . . . . . . . .
8
2.3
Graf G1 ,G2 dan G1 ∪ G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
G1 + G2 dan G1 × G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5
Operasi amalgamasi vertex G ∗ H dan operasi amalgamasi edge
G ∗2 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6
Graf complete Km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.7
Graf web Wn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.8
Graf friendship fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.9
Graf F L(G, m, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.10 Graf Cn ∗2 Km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.11 Graf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.1
Graf web W3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.2
Graf friendship f3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3
Graf generalized flower F L(G, 3, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.4
Graf C4 ∗2 K5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
x
DAFTAR NOTASI
G
:
graf G
V (G)
:
himpunan vertex dari graf G
E(G)
: himpunan edge dari graf G
|V (G)|
:
banyaknya vertex dari graf G (order )
|E(G)|
:
banyaknya edge dari graf G (size)
u, v
:
vertex
uv
:
edge
(G, u)
:
terdapat vertex v dari graf G
deg (v)
:
degree vertex v
d(u, v)
:
jarak antara vertex u dan v
Ḡ
:
komplemen dari graf G
∪
:
operasi union
+
:
operasi join
×
:
operasi cartesian product
∗
:
operasi amalgamasi vertex
∗2
:
operasi amalgamasi edge
∼
=
:
isomorfik
⊂
:
subhimpunan sejati
⊆
:
subhimpunan
∈
:
anggota
⌊x⌋
:
bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
dim(G) :
dimensi metrik graf G
Pn
: graf lintasan ber-order n
Cn
: graf cycle ber-order n
Kn
:
graf lengkap ber-order n
xi
Wn
:
graf web ber-order 3n
fn
:
graf friendship ber-order 2n + 1
F L(G, m, n) :
graf generalized flower dengan G ∼
= Cm ber-order mn + 1
Cn ∗2 Km
graf hasil operasi amalgamasi edge Cn dan Km ber-order m + n − 2.
:
xii