Analisis Model Fluida Casson untuk Aliran Darah dalam Stenosis

Prosiding Simposium Nasional Inovasi Pembelajaran dan Sains 2011 (SNIPS 2011)
22-23 Juni 2011, Bandung, Indonesia
Analisis Model Fluida Casson untuk Aliran Darah dalam Stenosis Arteri
Riri Jonuarti* dan Freddy Haryanto
Diterima 21 Mei 2011, direvisi 15 Juni 2011, diterbitkan 2 Agustus 2011
Abstrak
Beberapa peneliti telah menemukan bukti bahwa dinamika fluida pembuluh darah memainkan peran utama
dalam pengembangan dan perkembangan penyakit arteri. Arteri yang menyempit disebabkan oleh
perkembangan plak aterosklerosis yang mencuat ke dalam lumen, mengakibatkan terjadinya stenosis arteri.
Ketika sebuah obstruksi (penghalang) berkembang dalam arteri, salah satu konsekuensi paling serius
adalah resistansi aliran meningkat dan terjadi pengurangan jumlah aliran darah ke tempat tertentu yang
dipasok melalui arteri. Telah dibuat simulasi kecepatan aliran darah dalam pembuluh arteri dan dalam
kaitannya dengan penyakit stenosis. Dalam simulasi ini digunakan aliran berdenyut dan darah dianggap
sebagai fluida yang dinamis, mampat dan kental. Untuk stenosis telah digunakan model fluida Casson. Profil
kecepatan aliran dalam pembuluh arteri dengan variasi jarak stenosis dari sumbu pembuluh darah diperoleh
makin jauh posisi stenosis dari sumbu pembuluh darah makin rendah kecepatan aliran. Resistansi aliran
bertambah dengan bertambahnya ukuran (tinggi dan panjang) stenosis.
Kata-kata kunci: aliran darah, arteri, femoralis, fluida Casson, stenosis.
pemahaman,
diagnosis
dan
penyakit penyumbatan arteri.
Pendahuluan
Proses peredaran darah dipengaruhi oleh
kecepatan darah, luas penampang pembuluh
darah, tekanan darah dan kerja otot yang
terdapat pada jantung dan pembuluh darah.
Salah satu pembuluh darah yang ditinjau pada
tulisan ini adalah pembuluh darah arteri
femoralis. Arteri femoralis adalah arteri yang
memanjang dari pangkal paha sampai lutut.
Arteri ini adalah arteri utama yang membawa
pasokan darah ke tungkai bawah.
Teori
Aliran darah dalam arteri didorong oleh
jantung, oleh karena itu alirannya berdenyut.
Model sederhana untuk aliran berdenyut
dikembangkan oleh Womersley [4]. Untuk aliran
darah yang berosilasi dimodelkan dari fluida
yang mampat dalam silinder, melingkar lurus
dengan panjang l, dan jari-jari R yang terisi fluida
dengan kerapatan ρ dan kekentalan µ.
Ada banyak bukti bahwa dinamika fluida
pembuluh darah memainkan peran utama dalam
pengembangan dan perkembangan penyakit
arteri [1,2]. Salah satu dari penyakit arteri adalah
penyempitan arteri atau di dalam istilah
kedokteran dikenal juga dengan stenosis arteri.
Arteri yang menyempit disebabkan oleh
perkembangan
plak
aterosklerosis
yang
mencuat ke dalam lumen, mengakibatkan
terjadinya stenosis arteri. Ketika sebuah
obstruksi (penghalang) berkembang dalam arteri,
salah satu konsekuensi paling serius adalah
resistansi
aliran
meningkat
dan
terjadi
pengurangan jumlah aliran darah ke tempat
tertentu yang dipasok melalui arteri.
Bila aliran tunak, maka gradien tekanan
adalah (p1 – p2)/l bernilai konstan, dengan p1 dan
p2 adalah tekanan pada ujung-ujung pipa.
Anggap w adalah kecepatan longitudinal cairan
pada suatu titik pada jarak r dari sumbu pipa.
Persamaan gerak cairan dinyatakan dengan:
.
(1)
dengan solusinya:
.
(2)
Bila gradien tekanan tidak konstan, maka
persamaan (1) berbentuk:
Stenosis
ini
berhubungan
dengan
penumpukkan zat lemak (seperti kolesterol)
pada dinding dalam pembuluh arteri ataupun
perubahan patologis dalam struktur jarigan [3].
Perkembangan
dari
stenosis
ini
dapat
menyebabkan gangguan peredaran darah yang
serius, dimana pada stenosis, perilaku aliran
darah sangat berbeda dari keadaan arteri normal.
Dengan demikian, studi aliran darah pada
stenosis memainkan peran penting untuk
ISBN xxx-x-xxxx-xxxx-x
pengobatan
.
(3)
Tinjau gradien tekanan sinusoidal yang terdiri
dari sinus dan kosinus,
1
http://portal.fi.itb.ac.id/cps/
Prosiding Simposium Nasional Inovasi Pembelajaran dan Sains 2011 (SNIPS 2011)
22-23 Juni 2011, Bandung, Indonesia
.
matematis untuk jari-jari bagian
dinyatakan sebagai berikut [5,6]:
(4)
stenosis
Dengan frekuensi osilasi adalah ω/2π. Subsitusi
persamaan (4) ke persamaan (3) diperoleh:
.
,(10)
dengan R0 adalah jari-jari arteri normal (tanpa
stenosis),
R(z) adalah jari-jari arteri dalam
daerah stenosis, L adalah panjang arteri, L0
adalah panjang stenosis, d adalah lokasi
stenosis, pi adalah tekanan inlet, po adalah
tekanan outlet, δh adalah tinggi maksimum
stenosis.
(5)
Penyelesaian dari persamaan ini akan
memberikan komponen aksial dan radial dari laju
aliran darah dalam arteri.
Solusi persamaan (5) diperoleh dengan cara
pemisahan variabel sebagai berikut:
.
Dalam model fluida Casson, persamaan
konstitutif adalah:
(6)
Dengan memasukan persamaan (6) ke dalam
persamaan (5) diperoleh:
.
, (11)
,
(7)
dengan w adalah kecepatan aksial, τ0 adalah
2
tegangan dan η adalah viskositas fluida.
Persamaan (7) merupakan persamaan Bessel,
dengan solusi sebagai berikut:
Resistansi
aliran
diperoleh
dengan
menerapkan persamaan konstitutif; yaitu:
,
,
(8)
(12)
dengan koefisien f, g, dan h diberikan oleh
persamaan berikut [6].
Akhirnya, persamaan (6) menjadi:
,
(9)
,
dengan J0 adalah fungsi Bessel untuk orde nol, v
= µ/ρ adalah viskositas kinematika, y = r/R dan α
(13)
dan G1, G2 dan G3 diberikan dalam persamaan:
adalah parameter tanpa dimensi yang
=
dikenal sebagai bilangan Womersley.
, (14)
L0
d
δh
R0
pi
R(z)
0
τ0
p0
, (15)
z
L
Gambar 1. Geometri dari arteri stenosis.
. (16)
Diasumsikan bahwa stenosis terbentuk
dalam arteri secara simetris radial bergantung
pada jarak aksial z dan tinggi pertumbuhannya,
seperti terlihat dalam Gambar 1. Model
ISBN xxx-x-xxxx-xxxx-x
2
http://portal.fi.itb.ac.id/cps/
Prosiding Simposium Nasional Inovasi Pembelajaran dan Sains 2011 (SNIPS 2011)
22-23 Juni 2011, Bandung, Indonesia
Terlihat profil kecepatan aliran darah dalam
Gambar 3 menunjukkan pola yang sama untuk
setiap bilangan Womersley, namun dengan nilai
kecepatan yang berbeda, seperti diplot dalam
Gambar 4. Ketika bilangan Womersley makin
besar, terlihat profil kecepatan menjadi lebih
0
datar. Profil kecepatan untuk ∆ωt = 180
0
memiliki nilai yang sama dengan ∆ωt = 0 tetapi
dengan tanda yang berlawanan. Hal ini
mengikuti pola dari sumber aliran berdenyut
(berosilasi) yang menggunakan gradien tekanan
sinusoidal yang terdiri dari sinus dan kosinus,
dimana terjadi pembalikan fase setelah 1800.
Metode
Metode yang digunakan dalam penelitian ini
adalah metode kajian pustaka dan simulasi.
Untuk mencapai tujuan penelitian akan dilakukan
kegiatan-kegiatan seperti digambarkan dalam
diagram alir pada Gambar 2.
Persamaan Aliran
Darah
Persamaan umum
aliran darah dalam
arteri (Pers(9))
Persamaan aliran
darah arteri untuk
kasus stenosis
Persamaan resistansi
aliran darah model fluida
Casson (Pers(12))
Profil Ke cepatan
14
Kecepatan (cm/s)
Hasil profil kecepatan
Hasil profil kecepatan
Analisa dan Kesimpulan
12
Bil. Womersley : 3.34
10
Bil. Womersley : 3.52
8
Bil. Womersley : 3.75
6
Bil. Womersley : 4.00
4
Bil. Womersley : 4.72
2
0
-1
Gambar 2. Diagram alir penelitian.
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Posisi radial
Gambar 4. Profil kecepatan aliran darah dalam
arteri untuk beberapa bilangan Wormersley pada
saat ∆ωt = 00.
Hasil dan diskusi
Hasil simulasi profil kecepatan untuk
beberapa nilai bilangan Womersley (α)
diperlihatkan dalam Gambar 3, dimana profil
kecepatan diambil plot antara posisi radial
terhadap posisi sudut (ωt) yang berbeda-beda.
Gambar 4 memperlihatkan profil kecepatan
0
aliran darah saat ∆ωt = 0 untuk beberapa nilai
bilangan Womersley. Terlihat bahwa hubungan
bilangan Womersley dengan kecepatan aliran
adalah semakin kecil bilangan Womersley
semakin besar kecepatan aliran. Misalnya untuk
bilangan
Womersley
paling
kecil
3,34
kecepatannya berfluktuasi disekitar 12 sampai
13 cm/s, besar kecepatan aliran untuk bilangan
ini adalah paling besar diantara tiga bilangan
Womersley lainnya. Dalam Gambar 4 juga
terlihat profil kecepatan memiliki puncak
maksimum dan minimum yang tingginya
berbeda untuk setiap bilangan Womersley yang
dipakai. Rata-rata untuk tiap-tiap bilangan
Womersley puncak maksimumnya terletak pada
posisi radial antara 0,4 sampai 0,8, sedangkan
untuk puncak minimunnya untuk semua variasi
bilangan Womerley terletak di sumbu pembuluh
darah. Adanya puncak maksimum dan puncak
minimum pada profil kecepatan ini dikarenakan
aliran darah dipompa oleh jantung yang
menghasilkan gradien tekanan yang berdenyut
sehingga aliran darah berosilasi.
Simulasi profil kecepatan aliran darah pada
kasus stenosis dibuat dengan parameter
sebagai berikut: α = 3,52; R0 = 0,24 cm; L = 10
cm, ρ = 1,05 g/cm3, dan µ = 3,0 x 10-3 Kg/m.s.
Profil kecepatan aliran dalam pembuluh arteri
dengan variasi jarak stenosis dari sumbu
pembuluh darah (Ri) diperlihatkan dalam
Gambar 5. Dari hasil simulasi diperoleh makin
jauh posisi stenosis dari sumbu pembuluh darah
makin rendah kecepatan aliran. Hal ini
Gambar 3. Profil kecepatan aliran darah dalam
arteri untuk beberapa bilangan Womersley. Profil
0
kecepatan diplot untuk interval ∆ωt = 15 . (a). α
= 3,34. (b). α = 3,52. (c). α = 3,75, (d). α = 4,00.
ISBN xxx-x-xxxx-xxxx-x
-0.8
3
http://portal.fi.itb.ac.id/cps/
Prosiding Simposium Nasional Inovasi Pembelajaran dan Sains 2011 (SNIPS 2011)
22-23 Juni 2011, Bandung, Indonesia
disebabkan oleh makin jauh posisi stenosis dari
sumbu pembuluh darah, berarti juga makin kecil
ukuran stenosis, sehingga penampang lintang
aliran yang dilalui darah makin besar.
dengan bertambahnya ukuran (tinggi dan
panjang) stenosis. Hal ini terjadi karena pada
stenosis terdapat penghalang yang terbentuk
dari plak pada dinding-dinding pembuluh darah.
Kurva tinggi stenosis terhadap resistansi
aliran untuk beberapa nilai tegangan geser
diperlihatkan dalam Gambar 6b. Perhitungan
3
diambil untuk nilai n = 1, ρ = 1,05 g/cm , µ = 3,5
-3
x 10 Kg/m.s, dan L0 = 0,5L. Dalam Gambar 6b
terlihat bahwa resistansi aliran berkurang apabila
tegangan geser bertambah. Misalnya untuk
tegangan geser yang bernilai rendah seperti 0
Pa, 0,02 Pa dan 0,04 Pa resistansi alirannya
cenderung bertambah sangat besar seiring
bertambahnya ukuran stenosis. Sedangkan
untuk nilai tegangan geser yang relatif besar
yaitu 19,25 Pa, kenaikan resistansi aliran
terhadap bertambahnya ukuran stenosis tidak
terlalu besar. Hal ini terjadi karena tegangan
geser membuat pembuluh darah menjadi lentur
sehingga memudahkan darah mengalir. Hasil
simulasi ini mempunyai pola yang sama dengan
hasil yang diperoleh oleh Joshi.P dkk [6].
Gambar 5. Profil kecepatan aliran darah untuk
beberapa nilai jarak stenosis dari sumbu
pembuluh darah.
Kesimpulan
Makin besar bilangan Womersley, terlihat
profil kecepatan menjadi tumpul. Profil
0
kecepatan untuk ∆ωt = 180 memiliki nilai yang
0
sama dengan ∆ωt = 0 tetapi dengan tanda yang
berlawanan. Makin jauh posisi stenosis dari
sumbu pembuluh darah makin rendah kecepatan
aliran. Hal ini disebabkan oleh makin jauh posisi
stenosis dari sumbu pembuluh darah, berarti
juga makin kecil ukuran stenosis, sehingga
penampang lintang aliran yang dilalui darah
makin besar. Untuk model fluida Casson,
resistansi
aliran
bertambah
dengan
bertambahnya ukuran (tinggi dan panjang)
stenosis. Sedangkan resistansi aliran berkurang
apabila tegangan geser bertambah.
Referensi
[1] Srivastava. L.M, (1985): Flow of couple
stress fluid through stenotic blood vessels.
J. Biomech, 18, 479–85.
[2] Tu. C, dan Deville. M, (1996): Pulsatile flow
of non-Newtonian fluids through arterial
stenosis. J. Biomech, 29, 899–908.
[3] Liepsch. D, M. Singh, dan L. Martin, (1992):
Experimental analysis of the influence of
stenotic geometry on steady flow,
Biorheology 29, 419–431.
[4] Womersley. J.R. (1955): Method for the
Calculation of Velocity, Rate of Flow and
Viscous Drag in Arteries when the Pressure
Gradient is Known. J. Physiol. 127. 553-563.
[5] Sankar. D.S dan Hemalatha, (2006):
Pulsatile flow of Hershel-Bulkley fluid
through stenosed arteries- A mathematical
Gambar 6. (a).Variasi nilai resistansi aliran (λ)
dengan tinggi stenosis (δ/R0) saat τ = 19,25 Pa
untuk beberapa nilai panjang stenosis (L0). (b).
Variasi nilai resistansi aliran (λ) dengan tinggi
stenosis (δ/R0) untuk beberapa nilai tegangan
geser (τ).
Kurva tinggi stenosis terhadap resistansi
aliran untuk nilai panjang stenosis berturut-turut
L0 = 0,1L, L0 = 0,5L, dan L0 = L diperlihatkan
dalam Gambar 6a. Perhitungan dilakukan
dengan parameter-parameter; n = 1, R0 = 2,4
mm, ρ = 1,05 g/cm3, µ = 3,5 x 10-3 Kg/m.s, τ =
19,25 Pa, dan α = 3,59. Dalam Gambar 6a
terlihat bahwa resistansi aliran bertambah
ISBN xxx-x-xxxx-xxxx-x
4
http://portal.fi.itb.ac.id/cps/
Prosiding Simposium Nasional Inovasi Pembelajaran dan Sains 2011 (SNIPS 2011)
22-23 Juni 2011, Bandung, Indonesia
model, International Journal of Non-Linier
Mechanics 41, 979-990.
[6] Joshi. P, Pathak. A, dan Joshi, B. K, (2010):
Modelling of arterial stenosis and its effect
on flow of blood, International Journal of
Applied Mathematics and Computation, 2
(4), 23-31.
Riri Jonuarti*
Nuclear Physics and Biophysis Research Division
Institut Teknologi Bandung
[email protected]
Freddy Haryanto
Nuclear Physics and Biophysis Research Division
Institut Teknologi Bandung
[email protected]
*Corresponding author
ISBN xxx-x-xxxx-xxxx-x
5
http://portal.fi.itb.ac.id/cps/