program linear bilangan bulat dual skripsi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DUAL
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)
Program Studi Matematika
Oleh:
Bernadeta Widiasih
NIM : 013114017
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2007
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Terima kasih Telah mengajariku membedakan yang benar dan yang salah Mendorongku untuk mempertahankan mimpi­mimpiku Menunjukkan padaku untuk tidak terpengaruh oleh rintangan Dan untuk mengubah kebingunganku menjadi senyuman Telah mengatakan bahwa kalian menyayangiku Menunjukkan betapa istimewanya cinta itu Menghapuskan air mataku kala aku sedih Dan untuk menenangkanku saat aku ingin marah Telah membantu sesama dengan perbuatan baik kalian Mengajariku bahwa aku pun mesti menolong sesama Memelukku ketikaaku merasa sunyi Dan membisikkan padaku AKU SAYANG PADAMU
Terima kasih keluargaku atas segala yang kalian lakukan Entah bagaimana jadinya diriku tanpa kalian Kupersembahkan karya ini untuk:
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria
Almarhum Bapak,
Ibu, Mba eta, Lia dan
Semua Keluarga Besarku.
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Program linear bilangan bulat merupakan bagian dari program linear di mana
menginginkan penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat. Dalam program linear
bilangan bulat terdapat dua model, yakni program linear bilangan bulat fraksional
dual dan program linear bilangan bulat dual. Program linear bilangan bulat fraksional
dual memungkinkan adanya nilai variabel berupa bilangan pecahan dalam
perhitungannya, sedangkan dalam program linear bilangan bulat dual semua nilai
variabel dalam perhitungan haruslah berupa bilangan bulat. Masalah program linear
bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode, seperti
metode bidang pemotong, metode cabang dan batas, dan metode enumerasi. Pada
penulisan ini masalah program linear bilangan bulat akan diselesaikan dengan
metode bidang pemotong.
Penyelesaian masalah program linear bilangan bulat dengan metode bidang
pemotong dimulai dengan mengubah bentuk baku menjadi bentuk kanonik, dan
menyusun tabel awal. Setelah itu dilanjutkan dengan mencari baris sumber dan
kolom pivot serta menentukan bentuk kendala bidang pemotong. Bentuk kendala
bidang pemotong tersebut kemudian ditambahkan ke dalam tabel, yang selanjutnya
diselesaikan dengan metode simpleks. Proses iterasi ini diulang hingga penyelesaian
optimum dicapai.
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Integer programming is a part of linear programming where its solutions are
integer. There are two models of integer programming, dual fractional integer
programming and dual all-integer integer programming. The value of variables in
calculations of dual fractional integer programming can be in the form of fractional,
while in dual all-integer integer programming all of variable values in calculations
must be in the form of integer. Some methods, such as cutting plane method, branch
and bound method and enumeration method can solve the integer programming
problem. In this paper, we use cutting plane method to solve integer programming
problem.
The first step in solving integer programming problem by cutting plane
method is changing standard form to canonic form, and arranging the beginning
table. After that, we choose the source row and pivot column, and then determine the
form of the Gomory Cut. We will add the Gomory Cut into the table and solve it by
dual simplex method. We repeat this iteration process until optimum integer solution.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus atas segala kasih dan
perlindungan-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini
disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
Sains pada Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan
terima kasih kepada:
1. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing yang penuh
perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik
kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.
2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dekan fakultas MIPA yang telah
memberi dukungan dalm penulisan skripsi ini.
3. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc selaku Ketua Program Studi Matematika, dan
dosen penguji yang memberikan dukungan, saran dan kritik dalam skripsi ini.
4. Ibu Any Herawati, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran
dan kritik dalam skripsi ini.
5. Bapak dan Ibu dosen di Fakultas MIPA yang telah membimbing dan mendidik
penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma.
6. Bapak dan Ibu karyawan Universitas Sanata Dharma, khususnya sekretariat
fakultas MIPA dan perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas segala bantuan
dan fasilitas yang telah diberikan.
7. Almarhum Bapak (pak aku belum bisa buat bapak bahagia dengan kelulusan ini
tapi aku tau bapak selalu menyertai hidupku, makasih pak aku sayang bapak),
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Ibu, Mba eta, Lia dan semua keluargaku tercinta atas kasih sayang, doa,
semangat, dukungan dan kesabarannya menanti kelulusan ini.
8. Sahabat-sahabatku seperjuangan angkatan 2001: Maria(jangan lupain masa2 qta
nunggu 21 ya!!!), Indah, Erika, Ajeng(tunggu aku dijakarta ya), Very, Upik,
Yuli, Dani, Tabita, Fanya(makasih laptopnya), Andre, Ariel, Agnes, Wiwit,
Rita+Alam (makasih semangat n bantuannya), Vrysca, Daniel, Tedy, Ray, April,
Ardi, serta kakak-kakak angkatan 1998, 1999, 2000 dan adik-adik angkatan
2002, 2003, 2004 yang telah membantu dan mendukung penulis.
9. Untuk seseorang yang selama ini mengisi hatiku yang telah memberi dukungan,
semangat, nasehat, doa, cinta dan rasa sayangnya.
10. Untuk saudara-saudaraku yang menemaniku dijogja: Wahyu(makasih dah mau
anter aku n pinjemin komputernya), Nita, Wiwit, mas Lus dan keluargaku yang
telah memberi dukungan, semangat, saran dan doanya.
11. Anak-anak kost gang endro no 8 : Mba lina(makasih atas perhatiannya hingga ku
bisa mengerti arti hidup), Mba rini, Mba armi, Ayu, Tia, Mery, F3, Cu2, Weni,
Rini, Ika, Lia, Ratna, Riska, Winda,Beni dan teman-teman kost dari awal sampai
akhir aku kuliah yang telah memberi dukungan, semangat, doa dan candanya.
12. Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak
langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh
karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat
membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan
menjadi referensi bagi pembaca.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ………………………………………………………..…… i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………………. ii
HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………………… iii
HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………………..…….. iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………….…... v
ABSTRAK ………………………………………………………………….…… vi
ABSTRACT ………………………………………………….………………..... vii
KATA PENGANTAR …………………………………………………….…….. viii
DAFTAR ISI ……………………………………………………………….……. x
DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………….……. xii
DAFTAR TABEL ………………………………………………………….……. xiii
BAB I
PENDAHULUAN ……………………………………………..……. 1
A. Latar Belakang Masalah …………………………………….…… 1
B. Rumusan Masalah ………………………………………...…….. 2
C. Pembatasan Masalah ………………………………………...….. 2
D. Tujuan Penulisan …………………………………………………. 3
E. Manfaat Penulisan ……………………………………………….. 3
F. Metode Penulisan ……………………………..…………..……... 3
G. Sistematika Penulisan ……………………….…………………… 4
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
PROGRAM LINEAR DENGAN DUAL……………………..……...
5
A. Program Linear ……………………………………………….…… 5
B. Metode Grafik ……………………………………………….…… 9
C. Metode simpleks…………………………………...……………... 10
D. Metode Simpleks Dual ……………………………………..…….. 16
E. Program Linear Bilangan Bulat ..…………………………...…… 21
BAB III
PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT FRAKSIONAL DUAL 25
A. Masalah Program Linear Bilangan Bulat........…………………...
25
B. Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Fraksional
Dual ……………………………………………………….….…… 29
BAB IV
PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DUAL .........................
60
A. Masalah Program Linear Bilangan Bulat Dual Dengan Metode
Bidang Pemotong...................................................................……
60
B. Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Dual......... 68
BAB IV
PENUTUP .....................................................................................….. 81
A. Kesimpulan ……………......................................................…….. 81
B. Saran ………………………………………………………...…… 82
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………. 83
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1.Ilustrasi Penyelesaian Masalah Program Linear
dengan metode
grafik……………………………………………………………… 10
Gambar 3.1.Ilustrasi Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat dengan
metode bidang pemotong …………..……....……………...............
26
Gambar 3.2.Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Fraksional
Dual……………………………………………………………….. 51
Gambar 4.1. Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Dual……... 80
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Tabel Awal Simpleks…………………………………………………………… 14
Tabel 2.2 Tabel Awal Simpleks Dual………………………………………………...…… 19
Tabel 3.1 Tabel Awal Program Linear Bilangan Bulat Fraktional Dual.......…………..... 30
Tabel 3.2. Tabel Dengan Bentuk Kendala Bidang Pemotong........ ………………………. 32
Tabel 3.3. Tabel Awal Pada Contoh Masalah Program Linear Bilangan Bulat…………
40
Tabel 3.4. Tabel Setelah Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 1.…………………...….
41
Tabel 3.5. Tabel Setelah Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 2………………………..
42
Tabel 3.6. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 1………………...….
45
Tabel 3.7. Tabel Setelah Dilakukan Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 1.........……..
46
Tabel 3.8. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 2................................
48
Tabel 3.9. Tabel Setelah Dilakukan Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 2....................
49
Tabel 3.10. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 3.............................
54
Tabel 3.11. Tabel Setelah Dilakukan Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 3................
55
Tabel 3.12. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 4............................
57
Tabel 3.13. Hasil setelah dilakukan operasi baris elementer pada iterasi 4.....................
58
Tabel 4.1. Tabel Awal Program Linear Bilangan Bulat..................................................
65
Tabel 4.2. Tabel Awal Pada Contoh Masalah Program Linear Bilangan Bulat.............
73
Tabel 4.3. Tabel Bentuk Kendala Bidang Pemotong Pada Iterasi 1...............................
75
Tabel 4.4. Tabel Setelah Dilakukan Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 1..................
75
Tabel 4.5. Tabel Dengan Bentuk Kendala Bidang Pemotong Pada Iterasi 2..................
78
Tabel 4.6. Tabel Setelah Dilakukan Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 2.................
78
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
P ENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Program linear adalah teknik optimasi yang bertujuan untuk menentukan
pemecahan masalah dari suatu program matematika yang linear sehingga dapat
ditemukan nilai sasaran yang optimal. Hasil akhir penyelesaian masalah program
linear bisa dapat berupa bilangan pecahan atau bilangan bulat. Dalam
penyelesaian masalah yang berupa bilangan bulat diperlukan suatu penyelesaian
khusus untuk menjawabnya, yaitu program linear bilangan bulat.
Program linear bilangan bulat merupakan salah satu bentuk dari program
linear dengan satu variabel atau lebih. Dalam masalah program linear bilangan
bulat ini variabel masukannya bernilai bilangan bulat. Banyak sekali ditemukan
permasalahan program linear bilangan bulat dalam kehidupan sehari-hari dan
industri. Permasalahan tersebut tidak dapat diselesaikan hanya dengan program
linear biasa, misalnya masalah produksi, masalah transportasi, masalah
penjadwalan para pekerja dan mesin-mesin kantor, desain jaringan telekomunikasi
dan masalah salesmen yang berpergian (traveling salesman).
Dalam program linear bilangan bulat terdapat dua model, yakni program
linear bilangan bulat fraksional dual dan program linear bilangan bulat dual.
Program linear bilangan bulat fraksional dual memungkinkan adanya nilai
variabel berupa bilangan pecahan dalam perhitungannya, sedangkan dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
program linear bilangan bulat dual semua nilai variabel dalam perhitungan
haruslah berupa bilangan bulat.
Masalah program linear bilangan bulat
dapat diselesaikan dengan
menggunakan beberapa metode, seperti metode bidang pemotong, metode cabang
dan batas, dan metode enumerasi. Pada penulisan ini masalah program linear
bilangan bulat
akan diselesaikan dengan metode bidang pemotong. Metode
bidang pemotong untuk pertama kalinya diaplikasikan pada masalah program
linear bilangan bulat fraktional dual kemudian diperbaiki menjadi masalah
program linear bilangan bulat dual. Penyelesaian kedua masalah program linear
bilangan bulat tersebut menggunakan metode simpleks dual.
B. Rumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat dituliskan
dengan beberapa pertanyaan sebagai berikut :
1. Bagaimana menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat
fraksional dual dengan metode bidang pemotong ?
2. Bagaimana menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat dual
dengan metode bidang pemotong ?
C. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini hanya akan dibahas tentang program linear bilangan
bulat, yakni program linear bilangan bulat fraksional dual dan program linear
bilangan bulat dual yang diselesaikan dengan metode bidang pemotong yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
menggunakan metode simpleks dual dan landasan teori yang berkaitan dengan
aljabar linear seperti sistem persamaan linear, matriks dan ruang vektor yang telah
dipelajari pada saat kuliah tidak akan dibahas dalam skripsi ini.
D. Tujuan Penulisan
Sesuai dengan latar belakang di atas, penulisan skripsi ini bertujuan untuk
dapat menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat khususnya tentang
masalah program linear bilangan bulat fraksional dual dan masalah program linear
bilangan
bulat
dual
dengan
metode
bidang
pemotong
dan
dapat
dipertanggungjawabkan langkah demi langkah.
E. Manfaat Penulisan
1. Dapat menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat fraksional
dual
2. Dapat menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat dual
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah
metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari materi dari buku buku acuan yang berkaitan dengan topik skripsi ini, sehingga tulisan ini tidak ada
penemuan hal-hal yang baru.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
G. Sistematika Penulisan
Sistem penulisan skripsi ini terdiri dari 5 bab dengan urutan sebagai
berikut:
Bab I
PENDAHULUAN
Bab ini menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam
pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut berisi latar belakang masalah,
perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat
penulisan, metode penulisan dan sistematika penulisan.
BAB II PROGRAM LINEAR DENGAN DUAL
Bab ini memberikan penjelasan secara singkat beberapa dasar
pengetahuan, yaitu tentang program linear, metode grafik, metode
simpleks, metode simpleks dual dan program linear bilangan bulat.
BAB III PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT FRAKSIONAL DUAL
Bab ini membahas tentang langkah-langkah penyelesaian masalah
program linear bilangan bulat fraksional dual menggunakan metode
bidang pemotong.
BAB IV PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DUAL
Bab ini membahas tentang langkah-langkah penyelesaian masalah
program linear bilangan bulat dual menggunakan metode bidang
pemotong.
BAB V Penutup
Bab ini berisi beberapa kesimpulan dan saran berdasarkan hasil
pembahasan dan keseluruhan proses penyusunan skripsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB II
PROGRAM LINEAR DENGAN DUAL
A. Program Linear
Penerapan program linear untuk pertama kalinya adalah di bidang
perencanaan militer, yakni pada perang dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika
Serikat dan Inggris. Kemudian pada tahun1930-an ahli matematika seperti Von
Neuman dan Leontief melahirkan teknik-teknik penyelesaian masalah program
linear dengan menggunakan pendekatan aljabar linear (aljabar matriks). Karya
Leontif yang terkenal adalah model input-output. Setelah itu ahli matematika Dr
George B. Dantzig, seorang anggota dari pasukan Angkatan Udara tersebut,
memformulasikan masalah program linear secara umum dan menemukan
penyelesaian dengan metode simpleks pada tahun 1947.
Program linear adalah suatu metode optimasi yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah dengan fungsi sasaran dan kendala-kendala berbentuk
linear.
Secara umum masalah program linear dapat dinyatakan sebagai berikut :
1. Bentuk Baku Masalah Program Linear :
Minimumkan ( atau maksimumkan) :
z = c1 x1 + c2 x2 + K + cn xn
(2.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
dengan kendala-kendala :
a 11 x 1 + a 12 x 2 + K + a 1 n x n { ≤ , = , ≥ }b1
⎫
a 21 x 1 + a 22 x 2 + K + a 2 n x n { ≤ , = , ≥ }b 2 ⎪⎪
⎬
M
O
O
M
⎪
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + K + a mn x n { ≤ , = , ≥ }b m ⎪⎭
(2.2)
x j ≥ 0, j = 1,2, K, n
(2.3)
Rumus di atas dapat diringkas sebagai berikut :
Minimumkan ( atau maksimumkan) :
n
z = ∑cjxj
(2.4)
j =1
dengan kendala
n
∑a
j =1
ij
x j (≤, =, ≥) bi
xj ≥ 0
, i = 1,2, K , m
, j = 1,2,K , n
(2.5)
(2.6)
2. Bentuk Matriks Masalah Program linear :
Minimumkan (atau maksimumkan) : z = cx
(2.7)
dengan kendala-kendala :
Ax{≤, =, ≥}b
x≥0
dengan :
⎡a11
⎢a
A = ⎢ 21
⎢M
⎢
⎣a m1
a12 K a1n ⎤
⎡ x1 ⎤
⎡b1 ⎤
⎥
⎢
⎢b ⎥
⎥
a 22 K a 2 n ⎥
x2 ⎥
⎢
,x =
, b = ⎢ 2 ⎥ , c = (c1 , c 2 , K , c n )
⎢M ⎥
⎢M ⎥
O
M ⎥
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
a m 2 K a mn ⎦
⎣ xn ⎦
⎣bn ⎦
(2.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Definisi 2.1 Fungsi sasaran atau fungsi tujuan
Fungsi sasaran masalah program linear berbentuk
p
z = ∑cjxj
j =1
dengan p merupakan banyaknya variabel, x j merupakan variabel ke- j , dan c j
merupakan koefisien ongkos dari variabel ke- j .
Definisi 2.2 Kendala utama dan kendala tak negatif
Persamaan atau pertidaksamaan dalam masalah program linear
n
∑a
j =1
i, j
x j (≤, =, ≥ )bi , i = 1,2,..., m
disebut kendala utama, dengan m merupakan banyaknya kendala, dan ai , j
(koefisien teknis) merupakan koefisien kendala ke- i dari variabel ke- j dan bi
menyatakan konstanta di ruas kanan untuk kendala ke- i .
Sedangkan x j ≥ 0; j = 1,2,..., p disebut kendala tak negatif
Untuk mengembangkan suatu metode penyelesaian, secara umum harus sesuai
dengan karakter dari masalah program linear. Karakter tersebut dinyatakan
dalam bentuk baku sebagai berikut :
1. Fungsi sasarannya berpola minimum atau maksimum.
2. Semua kendalanya berbentuk persamaan. Bentuk ini disebut bentuk kanonik
dari masalah program linear.
3. Semua variabel keputusan xi adalah tak negatif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Definisi 2.3 Penyelesaian layak
Penyelesaian layak adalah penyelesaian yang memenuhi semua kendala yakni
kendala utama dan kendala tak negatif.
Definisi 2.4 Penyelesaian optimum
Penyelesaian optimum adalah penyelesaian layak yang takhingga banyak yang
mengoptimumkan fungsi sasaran.
Definisi 2.5 Penyelesaian basis
Suatu vektor x merupakan penyelesaian basis, jika:
(i) x memenuhi persamaan kendala utama dalam program linear.
(ii) kolom-kolom matriks kendala yang bersesuaian dengan vektor tak nol x
adalah bebas linear.
Definisi 2.6 Penyelesaian layak basis
Suatu vektor x disebut penyelesaian layak basis jika x adalah penyelesaian
basis dan memenuhi kendala tak negatif x ≥ 0 .
Definisi 2.7 Penyelesaian layak basis optimum
Suatu vektor x disebut penyelesaian layak basis optimum jika x adalah
penyelesaian layak basis yang juga mengoptimumkan fungsi sasaran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Masalah program linear biasanya diselesaikan dengan dua metode penyelesaian,
yaitu metode grafik dan metode simpleks. Masalah program linear dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode grafik bila masalah tersebut hanya
memiliki dua variabel keputusan. Tetapi untuk masalah yang memiliki variabel
keputusan lebih dari dua tidak mungkin menggunakan metode grafik. Lalu pada
tahun 1947 George Dantzig dan pakar-pakar lainnya mengembangkan metode
simpleks yang dapat menyelesaikan masalah program linear yang memuat tiga
variabel keputusan atau lebih.
B. Metode Grafik
Masalah program linear dengan dua variabel dapat diselesaikan
menggunakan metode grafik. Meskipun masalah program linear jarang yang
hanya memuat dua variabel tetapi metode grafik memudahkan dalam penyelesaian
masalah tersebut. Masalah program linear dapat diilustrasikan dengan melihat
Gambar 2.1, yakni Pasangan
(x1 , x 2 )
yang memenuhi semua kendala disebut
penyelesaian layak (feasible solution). Titik-titik dalam daerah layak disebut titik
layak. Himpunan titik layak yang terlihat dalam Gambar 2.1, yakni daerah
OABCD adalah daerah layak yang diperoleh dari perpotongan kendala-kendala
utama. Grafik fungsi sasaran ini berupa garis lurus z dan disebut garis selidik
karena menggambarkan pasangan-pasangan ( x1 , x 2 ) yang memberikan nilai z yang
sama. Pada masalah program linear yang memaksimumkan fungsi sasaran z maka
akan ditemukan penyelesaian optimum titik B, yakni titik yang memaksimumkan
fungsi sasaran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
x
2
D
C
B
0
z
x1
A
Gambar 2.1. Ilustrasi Penyelesaian Masalah Program Linear dengan metode grafik
C. Metode simpleks
Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan metode simpleks,
kendala yang masih berbentuk pertidaksamaan ini harus diubah dahulu ke bentuk
persamaan dengan penambahan variabel slack atau variabel pengetat yang
mempunyai koefisien ongkos nol. Jika kendala berpola kurang dari (≤) , yakni
kendala berbentuk pertidaksamaan :
a k1 x1 + a k 2 x 2 + K + a kn x n ≤ bk
maka kendala tersebut dapat diubah ke bentuk persamaan dengan menambah
variabel pengetat x n +1 dengan x n +1 > 0 . Dengan demikian , persamaan untuk
kendala tersebut adalah
a k1 x1 + a k 2 x 2 + K + a kn x n + x n +1 = bk
, x n +1 > 0 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Dengan cara yang sama, kendala berpola lebih besar dari (≥) , yakni kendala
berbentuk pertidaksamaan :
a k1 x1 + a k 2 x 2 + K + a kn x n ≥ bk
dapat diubah ke bentuk persamaan dengan mengurangi pertidaksamaan tersebut
dengan variabel pengetat x n +1 dengan x n +1 > 0
a k1 x1 + a k 2 x 2 + K + a kn x n − x n +1 = bk
, x n +1 > 0
Untuk menyesuaikan dengan bentuk kendala baru, fungsi sasaran yang
semula berbentuk z = c1 x1 + c2 x2 + K + cn xn diubah menjadi
z = c1 x1 + c 2 x 2 + K + c n x n + c j ( x n +1 + K + x p ) , j = n + 1, n + 2, K , p
c n +1 = c n + 2 = K = c p = 0
dengan
dan xi , i = n + 1, n + 2, K, p
adalah variabel
pengetat.
Dengan demikian masalah yang telah diubah kedalam bentuk kanonik
akan menjadi seperti ini :
Minimumkan ( atau maksimumkan ) :
n
z = ∑cjxj
(2.9)
j =1
dengan kendala
n
∑a
j =1
ij
x j = bi
xj ≥ 0
, i = 1,2, K , m
, j = 1,2, K , n
(2.10)
(2.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi 2.8 Bentuk kanonik
Bentuk pertidaksamaan yang sudah diubah dalam bentuk persamaan disebut
bentuk kanonik dari masalah program linear.
Berikut ini akan diberikan contoh masalah program linear yang diubah ke
bentuk kanonik
Contoh 2.1
Ubah soal dibawah ini ke bentuk kanonik.
Maksimumkan : z = 10 x1 − 20 x2 + 5 x3
dengan kendala
x1 − x 2 + x3 ≤ 8
2 x1 − x 2 + x3 ≤ 10
Penyelesaian :
Pada masing-masing kendala yang masih berbentuk pertidaksamaan ditambahkan
satu variabel pengetat, misalkan x 4 dan x5 sehingga masala program linear di
atas menjadi :
Maksimumkan
: z = 10 x1 − 20 x 2 + 5 x3 + 0 x 4 + 0 x5
Dengan kendala
:
x1 − x 2 + x3 + x 4
2 x1 − x 2 + x3
=8
+ x5 = 10
Soal ini sudah berbentuk kanonik dan berpola maksimum, dengan x1 , x 2 , x3
variabel asli dan x 4 , x5 adalah variabel pengetat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Jika masalah program linear yang telah diubah ke dalam bentuk persamaan
berpola maksimum maka masalah sudah dapat diselesaikan dengan metode
simpleks. Bila masalah program linear berpola maksimum atau berpola minimum
dan mempunyai penyelesaian basis yang tidak layak, karena memuat nilai negatif
untuk variabel pengetat, maka masalah program linear tersebut belum bisa
diselesaikan dengan metode simpleks.
Masalah program linear yang masih memuat nilai negatif pada variabel
pengetatnya memerlukan variabel semu, yaitu variabel yang ditambahkan
kedalam persamaan kendala-kendala. Jika a adalah variabel semu yang disisipkan
pada persamaan yang memuat variabel pengetat bernilai negatif maka masalah
program linear tersebut sudah memuat suatu penyelesaian layak basis. Variabel
semu ini bersifat sebagai katalisator (penghubung) dan mempunyai nilai nol
supaya masalah semula mempunyai penyelesaian optimum. Bila ada variabel
semu yang dipakai maka fungsi sasaran yang baru untuk pola maksimum
berbentuk z = z − Ma , sedangkan fungsi sasaran yang baru untuk pola minimum
berbentuk z = z + Ma dengan M bilangan positif yang cukup besar.
Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah program linear dengan
menggunakan metode simpleks adalah melalui tabel simpleks.
Langkah-langkah penyelesaian masalah program linear dengan menggunakan
metode simpleks melalui tabel simpleks adalah sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Langkah 1:
Membentuk masalah program linear menjadi bentuk kanonik yaitu kendalanya
harus berbentuk persamaan, dengan menambahkan variabel pengetat, variabel
semu dan bi ≥ 0 sehingga memenuhi bentuk baku program linear.
Langkah 2 :
Menyusun tabel awal seperti dalam tabel berikut ( Tabel 2.1 )
Tabel 2.1 Tabel Awal Simpleks
cj
c1
c2
K
cn
ci
xi \ x j
x1
x2
K
xn
bi
Ri
c1
x1
a11
a12
K
a1n
b1
R1
c2
x2
a 21
a 22
K
a2n
b2
R2
M
M
cm
xm
M
a m1
O
am2
K
M
a mn
M
bm
M
Rm
zj
z1
z2
K
zn
z
zj −cj
z1 − c1
z 2 − c2
K
z n − cn
z
Keterangan :
xj
: variabel-variabel keputusan
aij
: koefisien teknis
bi
: suku tetap (tak negatif)
cj
: koefisien ongkos
xi
: variabel yang menjadi basis dalam tabel yang ditinjau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
ci
: koefisien ongkos milik variabel basis xi
zj
:
z
:
m
∑c a
i =1
i
ij
m
∑c b
i =1
i i
zj −cj
: selisih z j
Ri
:
dengan c j
bi
hanya untuk a
a ik
i
≥ 0
Langkah 3 :
Menguji keoptimuman, dengan memperhatikan nilai z j − c j . Untuk masalah
dengan pola maksimum, tabel dikatakan optimum bila nilai z j − c j ≥ 0
untuk semua j. Sedangkan untuk masalah dengan pola minimum tabel
dikatakan optimum bila nilai z j − c j ≤ 0 untuk semua j. Bila sudah optimum
berarti sudah didapatkan penyelesaiannya. Jika belum optimum maka
dilanjutkan ke Langkah 4.
Langkah 4 :
Memperbaiki tabel. Dalam hal ini artinya memilih variabel baru yang masuk
menjadi variabel basis. Untuk masalah yang berpola maksimum adalah
dengan memilih kolom pivot, yaitu kolom dengan nilai z j − c j terkecil atau
paling minimum. Untuk masalah yang berpola maksimum adalah dengan
memilih nilai z j − c j
terbesar atau paling maksimum. Setelah ditemukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
kolom pivot maka selanjutnya dicari nilai rasio ( Ri ) untuk setiap baris,
yaitu bi
dibagi unsur-unsur pada kolom pivot yang bernilai positif. Tidak
berbeda untuk pola maksimum dan pola minimum, dipilih nilai Ri
⎛b
atau Ri = min ⎜⎜ i
⎝ aik
terkecil
⎞
⎟⎟ . Baris dengan Ri terkecil kemudian menjadi baris
⎠
pivot. Setelah baris pivot dan kolom pivot terpilih, maka perpotongan antara
baris pivot dan kolom pivot (a rs ) disebut sebagai elemen pivot dimana
variabelnya akan menjadi variabel basis baru yang akan menggantikan
variabel basis lama dan selanjutnya menuju ke Langkah 5.
Langkah 5 :
Pada tabel selanjutnya elemen a rs diubah supaya bernilai satu dan semua
elemen pada kolom yang bersesuaian diubah menjadi nol dengan melakukan
operasi baris elementer. Variabel basis baru dan koefisien ongkos
menyesuaikan dengan variabel basis baru tersebut. Selanjutnya kembali ke
langkah 3.
D. Metode Simpleks Dual
Masalah program linear memiliki dua macam metode simpleks, yaitu
metode simpleks primal dan metode simpleks dual. Untuk setiap masalah program
linear dapat diubah ke bentuk dual dimana kendala dan variabelnya adalah
kebalikan dari primal, yakni koefisien variabel dalam masalah primal menjadi
koefisien kendala dalam masalah dual. Jika dalam masalah primal mempunyai n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
variabel dan m kendala maka masalah dualnya akan menjadi m variabel dan n
kendala. Dapat dikatakan bahwa jumlah kendala dalam masalah primal sama
dengan
jumlah
variabel
dalam
masalah
dual.
Bila
masalah
primal
memaksimumkan fungsi sasaran maka masalah dualnya pasti meminimumkan
fungsi sasaran, dan begitu sebaliknya.
Berikut akan diberikan contoh bentuk dual dari bentuk primal pada
masalah program linear
Contoh 2.2
Masalah primal
Minimumkan z = 6 x1 + 2 x 2 − x3 + 2 x 4
dengan kendala 4 x1 + 3 x 2 − 2 x3 + 2 x 4 ≥ 10
8 x1 + x 2 + 2 x3 + 4 x 4 ≥ 18
dan
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
Penyelesaian :
Masalah dual
Maksimumkan g = 10 y1 + 18 y 2
dengan kendala 4 y1 + 8 y 2 ≤ 6
3 y1 + y 2 ≤ 2
− 2 y1 + 2 y 2 ≤ −1
2 y1 + 4 y2 ≤ 2
dan
y1 , y 2 ≥ 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Dalam metode simpleks dual penyelesaiannya dimulai dari penyelesaian
basis yang tidak layak dan memenuhi ciri optimum sedangkan metode simpleks
primal penyelesaiannya dimulai dari penyelesaian layak basis tetapi tidak harus
optimum.
Masalah program linear yang akan dicari dualnya harus berpola
maksimum baku atau minimum baku yang memiliki bentuk baku sebagai berikut :
Pola maksimum baku :
Maksimumkan z = cx
memenuhi
Ax ≤ b ( semua berbentuk ≤ )
Pola minimum baku :
Minimumkan z = cx
memenuhi
Ax ≥ b ( semua berbentuk ≥ )
Untuk dapat menyusun suatu masalah primal kedalam bentuk dual maka
harus dibuat kedalam bentuk kanonik sebagai berikut :
Pola maksimum (atau pola minimum):
Maksimumkan (atau minimumkan) z = cx
(2.12)
Ax = b
(2.13)
yang memenuhi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Langkah-langkah metode simpleks dual adalah sebagai berikut :
Langkah 1 :
Membentuk masalah program linear menjadi bentuk kanonik, yaitu
kendalanya harus berbentuk persamaan, dengan menambahkan variabel
pengetat, variabel semu dan bi ≥ 0 sehingga memenuhi bentuk baku program
linear.
Langkah 2 :
Menyusun tabel awal dual simpleks yang disajikan sebagai berikut
Tabel 2.2 Tabel Awal Simpleks Dual
ci
c1
c2
K
cn
cj
xi \ x j
x1
x2
K
xn
bi
c1
x1
a11
a12
K
a1n
b1
c2
x2
a 21
a 22
K
a2n
b2
M
M
cm
xm
M
a m1
O
am2
K
M
a mn
M
bm
zj
z1
z2
K
zn
z
zj −cj
z1 − c1
z 2 − c2
K
z n − cn
z
Ri
R1
R2
Keterangan :
Ri =
zj −cj
aij
, hanya untuk a ij < 0
K
Rn
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Langkah 3 :
Memilih baris pivot, yakni dengan memilih baris i yang mempunyai nilai bi
paling minimum dengan ( bi < 0 )
Jika ada nilai bi yang sama maka dipilih sembarang bi .
Langkah 4 :
Memilih kolom pivot, yakni mencari nilai rasio. Nilai rasio Ri diperoleh
dengan membagi z j − c j dan nilai mutlak dari koefisien teknis yang
⎛ zj − cj
berkoefisien negatif atau Ri = ⎜
⎜ a
ij
⎝
⎞
⎟ dengan a ij < 0 . Untuk masalah
⎟
⎠
yang berpola minimum dipilih nilai rasio yang terkecil atau
⎛ zj −cj
= min ⎜
⎜ a
ij
⎝
rasio a ij
Ri
⎞
⎟ , sedangkan masalah yang berpola maksimum dipilih nilai
⎟
⎠
⎛ zj −cj
yang terkecil atau Ri = min ⎜
⎜ a
ij
⎝
⎞
⎟ . Jika koefisien teknis a ij
⎟
⎠
bernilai positif atau nol maka masalah program linear tersebut tidak ada
penyelesaian yang layak.
Langkah 5 :
Melakukan operasi baris elementer agar perpotongan antara baris pivot dan
kolom pivot ( a rs ) yang disebut elemen pivot ini bernilai 1 dan yang lainnya
bernilai 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Langkah 6 :
Menguji
keoptimuman. Jika semua bi ≥ 0 maka penyelesaian sudah
optimum, jadi iterasi harus dihentikan. Jika belum optimum maka harus
dilanjutkan ke Langkah 2.
Perbedaan masalah program linear dengan menggunakan metode simpleks
primal dan metode simpleks dual adalah sebagai berikut :
1. Jika masalah program linear dalam primal memiliki pola maksimum maka
dalam dualnya masalah program linear tersebut akan memiliki pola
minimum.
2. Jumlah variabel primal sama dengan jumlah kendala pada bentuk dualnya.
3. Dalam masalah primal, matriks koefisien teknis adalah (aij
)
tetapi dalam
masalah dualnya berbentuk tranpose dari matriks tersebut, yakni (aij
).
t
4. bi dalam masalah program linear yang berbentuk primal disebut suku tetap
tetapi dalam bentuk dualnya bi
menjadi koefisien ongkos.
5. c j dalam masalah program linear yang berbentuk primal disebut koefisien
ongkos tetapi dalam bentuk dualnya c j menjadi suku tetap.
6. Dalam masalah dual, koefisien kendala ke-i berasal dari koefisien variabel
ke-i masalah primal.
7. Dalam masalah dual, koefisien variabel ke-j berasal dari koefisien kendala
ke-j masalah primal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
D. Program Linear Bilangan Bulat
Program linear bilangan bulat merupakan bagian dari program linear
dengan tambahan kendala, dimana beberapa atau semua variabel keputusannya
memiliki nilai-nilai bilangan bulat. Masalah-masalah program linear bilangan
bulat menyangkut masalah-masalah yang harus diselesaikan dengan bentuk
bilangan bulat.
Program linear bilangan bulat ada dua model, yaitu program linear
bilangan bulat murni atau biasa disebut program linear bilangan bulat (integer
programming) dan program linear bilangan bulat campuran (mixed integer
programming). Program linear bilangan bulat murni adalah suatu model program
linear yang semua variabelnya adalah bilangan bulat, sedangkan program bilangan
bulat campuran adalah suatu model program linear dengan beberapa variabelnya
berupa bilangan bulat .
Secara umum bentuk masalah program linear bilangan bulat murni dan
campuran adalah sebagai berikut :
1. Bentuk baku masalah program linear bilangan bulat murni.
Maksimumkan (atau minimumkan ) :
Z = c1 x1 + c 2 x2 + K + c n x n
(2.14)
dengan kendala-kendala :
a 11 x 1 + a 12 x 2 + K + a 1 n x n { ≤ , = , ≥ }b1
⎫
a 21 x 1 + a 22 x 2 + K + a 2 n x n { ≤ , = , ≥ }b 2 ⎪⎪
⎬
M
O
O
M
⎪
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + K + a mn x n { ≤ , = , ≥ }b m ⎪⎭
x j ≥ 0, j = 1,2, K , n
dan x j bilangan bulat.
(2.15)
(2.16)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Rumus di atas dapat diringkas sebagai berikut :
Maksimumkan (atau minimumkan)
n
Z = ∑cj xj
(2.17)
j =1
dengan kendala :
n
∑ a x (≤ , =, ≥ ) b
j =1
ij
j
(2.18)
i
x j ≥ 0,
x j bilangan bulat
i = 1,2,K , m ,
(2.19)
j = 1,2, K , n.
2. Bentuk baku masalah program linear bilangan bulat campuran.
Maksimumkan (atau minimumkan) :
n
p
j =1
k =1
Z = ∑ c j x j + ∑ d k yk
(2.20)
dengan kendala :
n
p
j =1
k =1
∑ aij x j ∑ g ik y k ≤ atau ≥ bi
xj ≥ 0 ,
y k ≥ 0 , x j bilangan bulat
i = 1,2,K , m , j = 1,2, K , n ,
(2.21)
k = 1,2, K , p.
Dalam tulisan ini hanya akan dibahas program linear bilangan bulat murni
(integer programming).
Masalah program linear bilangan bulat
dapat diselesaikan dengan
menggunakan beberapa metode, seperti metode bidang pemotong (cutting plane
method), metode cabang dan batas (branch and bound method), dan metode
enumerasi (enumerative methods). Secara umum, langkah pertama dalam
menyelesaikan
masalah
program
linear
bilangan
bulat
adalah
dengan
mengabaikan kendala bilangan bulat. Jika sudah ditemukan penyelesaian yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
merupakan bilangan bulat maka penyelesaian program linear bilangan bulat sudah
dicapai. Jika ternyata masih terdapat penyelesaian yang merupakan bilangan
pecahan maka dilakukan suatu proses untuk menentukan penyelesaian bilangan
bulat dari masalah tersebut. Dalam tulisan ini hanya akan dibahas menggunakan
metode bidang pemotong untuk menyelesaikan masalah program linear bilangan
bulat.
Pada tahun 1958 Ralph Gomory mengembangkan metode bidang
pemotong (cutting plane method) yang untuk pertama kalinya diaplikasikan pada
masalah program linear bilangan bulat fraktional dual (dual fractional integer
programming) adalah penyelesaian metode bidang pemotong yang menggunakan
metode simpleks dual dan memungkinkan adanya bilangan pecahan dalam
perhitungannya. Lalu pada tahun 1960 Ralph Gomory memperbaiki metode
bidang pemotong tersebut, yakni menjadi masalah program linear bilangan bulat
dual (dual all-integer integer programming) yang dalam perhitungannya harus
berupa bilangan bulat. Metode bidang pemotong dalam kedua masalah program
linear bilangan bulat ini menggunakan metode simpleks dual. Uraian untuk kedua
masalah program linear bilangan bulat tersebut akan dijelaskan pada bab-bab
berikutnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
BAB III
PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT FRAKSIONAL DUAL
A. Masalah Program Linear Bilangan Bulat
Salah satu langkah yang dilakukan dalam penyelesaian masalah program
linear bilangan bulat yang menggunakan metode bidang pemotong adalah dengan
menambahkan kendala baru. Penambahan kendala baru dalam metode ini
diperoleh dengan menyusun suatu persamaan yang memenuhi setiap penyelesaian
layak dari masalah program linear bilangan bulat yang semula. Penambahan
kendala tersebut memungkinkan diperolehnya penyelesaian yang optimum dari
masalah program linear yang berupa bilangan bulat.
Masalah program linear bilangan bulat yang diselesaikan dengan metode
bidang pemotong dapat diilustrasikan dengan melihat Gambar 3.1. ABCDE
adalah daerah layak yang diperoleh dari perpotongan kendala-kendala utama.
Penyelesaian dari masalah program linear bilangan bulat dapat digambarkan
sebagai titik-titik layak pada daerah layak tersebut dan titik D adalah penyelesaian
optimum program linear yang pertama kali diperoleh. Sebuah kendala baru x ′ ≥ 0
ditambahkan sehingga titik D terbuang dari daerah layak dan jika dilakukan
optimisasi kembali akan didapat penyelesaian optimum program linear yang baru,
yakni titik F sehingga daerah layak yang baru adalah ABCGFE. Sebuah kendala
baru kedua x ′′ ≥ 0 ditambahkan agar menghapus titik F dari daerah layak
sehingga diperoleh daerah layak yang baru adalah ABCGHIE. Dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
m
menyelesaik
kan kembali masalah prrogram lineaar bilangan bulat akan ditemukan
p
penyelesaian
n optimum bilangan
b
bulaat, yakni titiik H.
G
Gambar
3.1. Ilustrasi Penyyelesaian Masaalah Program Linear Bilanggan Bulat den
ngan metode
bidang
b
pemotoong
Perbedaan metodde simpleks dual yang suudah dibahass pada bab sebelumnya
d
dengan
masaalah program
m linear bilaangan bulat adalah
a
pada elemen pivo
otnya yaitu
b
bernilai
-1.
Perhatikan kemb
bali pada bbab sebelum
mnya mengeenai masalahh program
l
linear
bilang
gan bulat. Secara umum
m masalah prrogram lineaar bilangan bulat yang
b
berpola
mak
ksimum dappat dinyatakaan dalam beentuk kanonnik dan benttuk matriks
s
sebagai
berik
kut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
1. Bentuk kanonik masalah program linear bilangan bulat :
Maksimumkan :
z = c1 x1 + c 2 x 2 + K + c n x n
(3.1)
dengan kendala-kendala :
a 11 x1 + a 12 x 2 + K + a 1 n x n + x n +1 = b1 ⎫
a 21 x1 + a 22 x 2 + K + a 2 n x n + x n + 2 = b 2 ⎪⎪
⎬
M
O
O
M
⎪
a m 1 x1 + a m 2 x 2 + K + a mn x n + x n + m b m ⎪⎭
(3.2)
x j ≥ 0, j = 1,2, K , n
(3.3)
dan x j bilangan bulat.
2. Bentuk matriks masalah program linear bilangan bulat :
Maksimumkan :
cx = z
(3.4)
dengan kendala-kendala :
Ax ≤ b
(3.5)
x ≥ 0 dan komponen-komponen x adalah bilangan bulat.
(3.6)
dengan A = (aij ) matriks kendala berukuran m x n.
Bentuk kanonik pada masalah program linear bilangan bulat disusun
ke dalam bentuk seperti dibawah ini :
Maksimumkan :
z = (− c1 (− x1 ) ) + (− c 2 (− x 2 )) + K + (− c n (− x n ))
(3.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
dengan kendala-kendala :
(− a11 (− x1 )) + (− a12 (− x 2 )) + K + (− a1n (− x n )) + x n +1 = b1
(− a 21 (− x1 )) + (− a 22 (− x 2 )) + K + (− a 2 n (− x n )) + x n+ 2 = b2
M
O
O
M
M M
(− a m1 (− x1 )) + (− a m 2 (− x 2 )) + K + (− a mn (− x n )) + x n + m = bm
(3.8)
x j ≥ 0, j = 1,2, K , n
dan x j bilangan bulat.
Bentuk kanonik di atas dapat diubah ke dalam bentuk seperti dibawah ini :
Maksimumkan :
x0 = a 00
+ a 01
(− x1 ) + a02
(− x 2 ) + K + a0n
(− x n )
(3.9)
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
−1(− xn )⎪⎭
(3.10)
dengan kendala-kendala :
x1 =
−1(− x1 )
x2 =
M
xn =
−1(− x2 )
O
xn+1 = an+1,0 + an+1,1 (− x1 ) + an+1,2 (− x2 ) + K+ an+1,n (− xn ) ⎫
⎪
M
O
O
O
O
M
⎬
xn+m = an+m,0 + an+m,1 (− x1 ) + an+m,2 (− x2 ) + K+ an+m,n (− xn )⎪⎭
(3.11)
dengan x j ≥ 0, j = 1,2, K , n + m
dan x j bilangan bulat untuk j = 0,1, K , n + m .
Persamaan (3.10) merupakan persamaan kendala untuk variabel
keputusan (original variables), yakni variabel awal pada masalah program linear
bilangan bulat. Persamaan (3.11) merupakan persamaan kendala untuk kendala
utama (original constraints) yang ada pada masalah program linear bilangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
bulat. Pada bentuk di atas, n dan m masing-masing menunjukkan banyaknya
variabel keputusan dan variabel slack yang muncul dari kendala utama.
Dengan membandingkan persamaan (3.7), (3.8), (3.10) dan (3.11) dapat
didefinisikan
x0 = z , a 00 = 0 , c j = − a 0 j ,
( j = 1, K , n ),
(i = 1,K, m ) , dan
aij = a n +i , j (i = 1, K , m ; j = 1 = 1, K , n ) .
bi = a n +i , 0
B. Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Fraksional Dual
Metode yang digunakan untuk mencari penyelesaian program linear
bilangan bulat fraksional dual merupakan perluasan dari metode simpleks dual,
yakni dengan menambah kendala baru pada masalah tersebut. Langkah-langkah
masalah program linear bilangan bulat fraksional dual adalah sebagai berikut :
1. Mengubah bentuk baku menjadi bentuk kanonik seperti persamaan (3.2)
2. Menyusun tabel awal dari masalah program linear bilangan bulat. Pada
persamaan (3.2) tabel awal tersebut disajikan sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Tabel 3.1 Tabel Awal Program Linear Bilangan Bulat Fraktional Dual.
1
(− x1 ) K (− x j )
K
(− xn )
x0 =
a 00
a 01
K
a0 j
K
a0n
x1 =
0
−1
0
M
xj =
M
K
O
L
M
xn =
M
M
0
M
0
K
O
L
0
M
0
M
0
0
O
K
M
−1
M
0
x n +1 =
a n +1,0
a n +1,1 K
a n +1, j
M
xn+ m =
M
a n+ m,0
O
M
a n + m ,1 K
M
a n+ m, j
O
K
K
O
K
−1
a n +1,n
M
a n + m,n
Keterangan :
x0 = z , a 00 = 0 , c j = − a 0 j , ( j = 1, K, n ), bi = a n +i , 0
( i = 1, K , m ), dan
aij = a n +i , j (i = 1, K , m ; j = 1 = 1, K , n ) , xi ≥ 0 ( i = 1, K , n + m) .
3. Masalah program linear bilangan bulat ini diselesaikan dahulu sebagai
masalah program linear, yakni dengan menggunakan metode simpleks dual.
Dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1: Memilih baris pivot, yakni dengan memilih baris v yang
mempunyai nilai a v 0 paling minimum dengan a v 0 < 0 , v ≠ 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Langkah 2 : Memilih kolom pivot, yakni kolom dengan nilai rasio yang
⎧⎪ a 0 j ⎫⎪
paling minimum dan nilai rasio = min ⎨ ⎬
⎪⎩ a vj ⎪⎭
Langkah 3 : Mengganti variabel nonbasis pada kolom pivot dengan variabel
xv , yakni variabel pada baris pivot.
Langkah 4 : Melakukan operasi kolom agar elemen-elemen baris xv pada
kolom pivot bernilai -1 dan yang lain bernilai 0.
Langkah 5 : Bila nilai a v 0 masih ada yang bernilai negatif maka kembali ke
langkah 1. Jika sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif maka
langkah dihentikan dan penyelesaian masalah program linear
bilangan bulat sudah optimum.
4. Menguji keoptimuman.
Bila penyelesaian optimum yang diperoleh pada langkah sebelumnya adalah
bilangan bulat maka masalah program linear bilangan bulat sudah selesai. Jika
penyelesaian optimumnya belum berupa bilangan bulat maka langkah-langkah
penyelesaian dilanjutkan lagi menggunakan metode bidang pemotong dengan
menambahkan kendala bidang pemotong yang baru yang memuat variabel
pengetat x n + m + k . Lalu kendala bidang pemotong yang baru ditambahkan pada
tabel yang ditulis pada baris terakhir maka bentuk tabel akan menjadi :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Tabel 3.2. Tabel Dengan Bentuk Kendala Bidang Pemotong
1
(− x1 ) K (− x j )
K
(− xn )
x0 =
a 00
a 01
K
a0 j
K
a0n
x1 =
0
−1
0
M
xj =
M
K
O
L
M
xn =
M
M
0
M
0
K
O
L
0
M
0
M
0
0
O
K
M
−1
M
0
x n +1 =
a n +1,0
a n +1,1 K
a n +1, j
M
xn+m =
M
a n+ m,0
O
M
a n + m ,1 K
M
a n+ m, j
xn+ m + k =
a n+m+ k ,0
O
K
K
O
K
−1
a n +1,n
M
a n + m,n
a n + m+ k ,1 K a n + m+ k , j K a n + m + k ,n
Dalam menentukan kendala bidang pemotong harus ditentukan dahulu
baris sumber. Berikut ini akan dijelaskan bagaimana cara menentukan bentuk
kendala bidang pemotong dan cara memilih baris sumber :
a. Memilih baris sumber
Cara memilih baris sumber adalah dengan memilih baris yang memuat
variabel-variabel basis yang nilainya belum berupa bilangan bulat. Dalam hal ini
variabel yang akan terpilih harus memberikan ketaksamaan yang kuat yaitu nilai
dengan bilangan pecahan terbesar supaya dapat mempercepat pencapaian
penyelesaian program linear bilangan bulat yang optimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Jika variabel basis xi pada persamaan ke-i bukan merupakan bilangan bulat
maka variabel tersebut dapat dinyatakan sebagai :
xi − ∑ aij (− x J ( j ) ) = ai 0
n
(3.12)
j =1
Keterangan : ai 0 bukan bernilai bilangan bulat
aij dapat berbentuk bilangan bulat
J adalah himpunan indeks variabel nonbasis
J(j) adalah elemen j di dalam J
x J ( j ) adalah variabel nonbasis j di dalam J
Persamaan (3.12) dapat ditulis sebagai berikut
xi = ai 0 + ∑ aij (− x J ( j ) )
n
(3.13)
j =1
Setiap persamaan seperti di atas dinyatakan sebagai baris sumber (source
row).
Misalkan :
ai 0 = [ai 0 ] + f i
dan
[ ]
aij = aij + f ij
dengan :
(3.14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
[ai 0 ] adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan
ai 0 ,
dan
[a ] adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan
ij
aij
maka 0 < f i < 1 dan 0 ≤ f ij < 1
Ada dua cara untuk memilih baris sumber yaitu :
1. Baris dengan nilai f i 0 yang paling maksimum.
⎧
⎫
⎪ f ⎪
⎪
⎪
2. Baris dengan nilai ⎨ n i 0 ⎬ yang paling maksimum.
⎪ ∑ f ij ⎪
⎪⎩ j =1 ⎪⎭
Jika nilai f i 0
⎧
⎫
⎪ f ⎪
⎪
⎪
atau ⎨ n i 0 ⎬ untuk setiap baris selalu sama maka dapat dipilih
⎪ ∑ f ij ⎪
⎪⎩ j =1 ⎪⎭
sebarang baris untuk menjadi baris sumber.
b.
Menentukan bentuk kendala bidang pemotong
Dari uraian pemilihan baris sumber, dengan persamaan (3.13) akan
menjadi :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
[ ]
xi = [a i 0 ] + f i + ∑ ( a ij + f ij )(− x J ( j ) )
n
j =1
[ ]
= [a i 0 ] + f i + ∑ a ij (− x J ( j ) ) + ∑ f ij (− x J ( j ) )
n
n
j =1
j =1
atau
[ ]
f i + ∑ f ij (− x J ( j ) ) = xi − [ai 0 ] − ∑ aij (− x J ( j ) )
n
n
j =1
j =1
(3.15)
Supaya nilai xi dan (− x J ( j ) ) adalah bilangan bulat, maka ruas kanan dari
persamaan (3.15) harus bernilai bilangan bulat yang mengakibatkan ruas kiri
persamaan (3.15) haruslah bernilai bilangan bulat. Karena
(− x ( ) ) ≤ 0 untuk setiap nilai i dan
J j
f ij ≥ 0 dan
j , maka
∑ f (− x ( ) ) ≤ 0
n
j =1
dengan demikian
J j
ij
f i + ∑ f ij (− x J ( j ) ) ≤ f i .
n
j =1
Karena f i < 1 maka
f i + ∑ f ij (− x J ( j ) ) < 1
n
j =1
atau
f i < 1 − ∑ f ij (− x J ( j ) )
n
j =1
(3.16)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Karena ruas kiri persamaan (3.15) harus bernilai bilangan bulat, maka
berdasarkan persamaan (3.15), haruslah
f i + ∑ f ij (− x J ( j ) ) ≤ 0
n
j =1
Jika bentuk di atas ditambahkan dengan variabel pengetat x n + m + k dengan
x n + m + k ≥ 0 bilangan bulat, maka didapat :
f i + ∑ f ij (− x J ( j ) ) + x n + m + k = 0
n
j =1
atau
x n + m + k = −∑ f ij (− x J ( j ) ) − f i
n
(3.17)
j =1
Persamaan (3.17) merupakan bagian pecahan (fractional cut) atau disebut juga
pembatas sekunder. Jika pembatas sekunder ini sudah dimasukkan ke dalam
tabel yang berada pada baris terakhir dalam tabel dan dilakukan operasi kolom
maka tabel terakhir didapat
(− x ( ) ) = 0
J j
sehingga x n + m + k = f i , yang berarti
tidak layak. Hal ini berarti pembatas sekunder yang baru tersebut tidak
dipenuhi oleh penyelesaian yang diperoleh karena mengakibatkan nilai yang
didapat belum berupa bilangan bulat sehingga untuk mengatasi ketidaklayakan
ini dapat digunakan metode simpleks dual, yang pada dasarnya sama dengan
memotong daerah layak ke arah penyelesaian optimum yang berupa bilangan
bulat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Dari penjelasan yang sudah dijabarkan di atas dan cara-cara memilih baris
sumber serta menentukan pembatas sekunder, secara umum langkah pertama yang
dilakukan dalam menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat fraksional
dual adalah mengubah masalah ke dalam bentuk kanonik dan menyusun tabel
awal, menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat dengan cara simpleks
biasa dan dilanjutkan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1 :
Memilih baris sumber x v dengan dua cara di bawah ini :
1. Baris dengan nilai f v 0 yang paling maksimum.
⎧
⎫
⎪ f ⎪
⎪
⎪
2. Baris dengan nilai ⎨ n v ⎬ yang paling maksimum.
⎪ ∑ f vj ⎪
⎪⎩ j =1 ⎪⎭
Langkah 2 :
Menentukan bentuk kendala bidang pemotong yang baru, yakni pembatas
sekunder seperti persamaan (3.17)
x n + m + k = −∑ f vj (− x J ( j ) ) − f v
n
j =1
Langkah 3 :
Tambahkan bentuk pembatas sekunder yang baru dalam tabel simpleks.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Langkah 4 :
Mencari baris pivot dengan melihat nilai koefisien a v 0 yang bernilai negatif
dan dipilih yang paling minimum
Langkah 5 :
Mencari kolom pivot dengan melihat niali R=
a0 j
a vj
yang terkecil.
Langkah 6 :
Menggantikan variabel non basis pada kolom pivot dengan Variabel x v .
Langkah 7 :
Melakukan operasi kolom agar elemen-elemen baris xv pada kolom pivot
bernilai -1 dan yang lainnya bernilai 0.
Langkah 8 :
Jika masih ada nilai xv
yang nilainya belum berupa bilangan bulat maka
dilanjutkan ke Langkah 1. Jika sudah tidak ada maka proses dihentikan dan
diperoleh tabel optimum.
Masalah program linear bilangan bulat fraksional dual tidak membedakan
antara variabel keputusan dan variabel pengetat yakni bahwa semua variabel harus
berupa bilangan bulat. Adanya koefisien yang tidak bulat dalam kendala tidak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
memungkinkan untuk variabel pengetat berupa bilangan bulat. Dalam hal ini,
masalah program linear bilangan bulat fraksional dual dapat menyatakan bahwa
tidak terdapat penyelesaian layak, sekalipun masalah tersebut mempunyai
penyelesaian layak yang bernilai bilangan bulat dalam bentuk bukan variabel
pengetat.
Berikut akan diberikan contoh penyelesaian masalah program linear
bilangan bulat menggunakan metode bidang pemotong
Contoh 3.1
Selesaikan masalah program linear bilangan bulat berikut:
Maksimumkan:
z = −4 x1 − 5 x 2
Dengan kendala:
− x1 − 4 x 2 ≤ −5
− 3 x1 − 2 x 2 ≤ −7
x1 , x 2 ≥ 0
dan
Penyelesaian :
Masalah program linear di muka dapat dibuat ke bentuk kanonik sebagai berikut :
Maksimumkan:
z = −4 x1 − 5 x 2
Dengan kendala:
− x1 − 4 x 2 + x3
− 3 x1 − 2 x 2
dan
x1 , x 2 , x3 , x 4 ≥ 0
= −5
+ x 4 = −7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
1. Menyusun tabel awal simpleks.
Tabel 3.3. Tabel Awal Pada Contoh Masalah Program Linear Bilangan Bulat
1
(− x1 ) (− x 2 )
x0
0
4
5
x1
0
0
−5
−7
−1
0
0
−1
−1
−4
−3
−2
x2
x3
x4
2. Menyelesaikan dengan metode simpleks dual.
ITERASI 1
Langkah 1 : Memilih baris pivot
Dari tabel awal diperoleh nilai a30 = −5 dan a 40 = −7 maka nilai
min {a30 , a 40 } = min {− 5,−7} = −7 . Jadi baris empat sebagai baris pivot.
Langkah 2 : Memilih kolom pivot
Dengan memilih nilai rasio terkecil yakni
⎧⎪ a
a
R4 = min ⎨ 01 , 02
⎪⎩ a 41 a 42
⎫⎪
⎬
⎪⎭
⎧⎪ 4
5 ⎫⎪ 4
= min ⎨
,
⎬ = . Jadi kolom pertama akan terpilih sebagai kolom
⎪⎩ − 3 − 2 ⎪⎭ 3
pivot.
Langkah 3 : Menggantikan variabel x1 dengan variabel x 4
Langkah 4 : Melakukan operasi kolom, sehingga diperoleh tabel baru berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Tabel 3.4. Tabel Setelah Operasi kolom Pada Iterasi 1
x0
−
(− x4 ) (− x 2 )
28
3
4
3
7
3
1
3
2
3
7
3
x1
x2
x3
1
0
−
x4
8
3
−
0
−
1
3
-1
−
10
3
0
-1
0
8
Langkah 5 : Karena masih ada nilai a30 = − maka kembali ke Langkah 1
3
ITERASI 2
Langkah 1 : Memilih baris pivot
8⎫
8
⎧7
Dari tabel diatas diperoleh nilai min {a10 , a 30 } = min = ⎨ , − ⎬ = −
3⎭
3
⎩3
jadi baris ketiga sebagai bari pivot.
Langkah 2 : Memilih kolom pivot
⎧⎪ a
a ⎫⎪
Dengan memilih nilai rasio terkecil yakni R4 = min ⎨ 01 , 02 ⎬ =min
⎪⎩ a31 a32 ⎪⎭
⎧⎪ 4 3
7 3 ⎫⎪ 7
,
maka kolom kedua akan terpilih sebagai kolom
⎨
⎬=
⎪⎩ − 1 3 − 10 3 ⎭⎪ 3
pivot.
Langkah 3 : Menggantikan variabel x 2 dengan variabel x3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Langkah 4 : Melakukan operasi kolom, sehingga diperoleh tabel baru
sebagai berikut
Tabel 3.5. Tabel Setelah Operasi kolom Pada Iterasi 2
1
x0
−
(− x4 ) (− x3 )
112
10
11
10
7
10
4
10
2
10
18
10
−
x2
8
10
1
10
−
x3
0
0
-1
x1
3
10
0
-1
0
x4
Langkah 5 : Karena sudah tidak ada a v 0 < 0 maka proses dihentikan.
dengan nilai x1 =
18
8
dan x 2 =
10
10
3. Menguji keoptimuman.
Dari iterasi kedua telah dapatkan penyelesaian optimum dari masalah
program linear, yaitu x1 =
18
8
dan x 2 = , tetapi penyelesaian tersebut belum
10
10
bulat maka penyelesaian dilanjutkan dengan menggunakan metode bidang
pemotong.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
ITERASI 1
Langkah 1 : Memilih baris sumber
Untuk x1 =
18 ⎡18 ⎤ 18
8
18
diperoleh f 10 = a10 − [a10 ] =
−⎢ ⎥=
−1 =
10 ⎣10 ⎦ 10
10
10
Untuk x 2 =
8
diperoleh f
10
Karena nilai f1 = f 2 =
20
= a 20 − [a 20 ] =
8 ⎡8⎤ 8
8
−⎢ ⎥=
−0 =
10 ⎣10 ⎦ 10
10
8
maka tidak ada informasi untuk memilih baris
10
sumber, selanjutnya digunakan cara yang kedua.
•
Untuk baris pertama dapat dinyatakan sebagai berikut :
2
(− x3 ) − 4 (− x4 ) ≥ 18
10
10
10
Sehingga
f12 = a12 − [a12 ] = −
•
f11 = a11 − [a11 ] =
diperoleh
2 ⎡2⎤ 2
2
−⎢ ⎥ =
−0 =
10 ⎣10 ⎦ 10
10
dan
4 ⎡ 4⎤
4
6
− ⎢− ⎥ = − − (− 1) =
10 ⎣ 10 ⎦
10
10
Untuk baris kedua dapat dinyatakan sebagai berikut :
−
Sehingga diperoleh
f 22 = a 22 − [a 22 ] =
3
(− x3 ) + 1 (− x4 ) ≥ 8
10
10
10
f 21 = a21 − [a21] = −
3 ⎡ 3⎤
3
7
− ⎢− ⎥ = − − (−1) =
dan
10 ⎣ 10⎦ 10
10
1 ⎡1⎤ 1
1
−⎢ ⎥ =
− (0) =
10 ⎣10 ⎦ 10
10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Dengan demikian,
8 ⎫
⎧ 8
⎪⎪
⎪⎪ 10
⎧ f10
f 20 ⎫
maks ⎨
, 10 ⎬
,
⎬ = maks ⎨ 2
⎩ f 11 + f12 f 21 + f 22 ⎭
⎪ + 6 7 + 1⎪
⎪⎩ 10 10 10 10 ⎪⎭
⎧8 8⎫
⎪⎪
⎪⎪
= maks ⎨ 10 , 10 ⎬
⎪8 8⎪
⎪⎩ 10 10 ⎪⎭
=maks {1,1}
=1
Dengan cara yang kedua, nilai maksimum dari rasio tersebut sama, yaitu 1,
maka dari kedua persamaan tersebut diambil salah satu. Disini yang akan
dipilih sebagai baris sumber adalah persamaan untuk x1 .
Langkah 2 : Menentukan bentuk kendala baru, yakni pembatas sekunder
Perhatikan kembali pertidaksamaan x1 :
Dari Langkah 1 diperoleh f11 =
2
(− x3 ) − 4 (− x4 ) ≥ 18
10
10
10
2
6
8
, f12 =
dan f 10 =
10
10
10
Maka persamaan pembatas sekunder yang baru adalah
x5 = −
2
(− x3 ) − 6 (− x 4 ) − 8 ≥ 0
10
10
10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Langkah 3 : Tambahkan bentuk pembatas sekunder yang baru dalam tabel
simpleks.
Tabel 3.6. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 1
(− x 4 ) (− x3 )
1
x0
−
112
10
11
10
7
10
4
10
2
10
18
10
−
x2
8
10
1
10
−
x3
0
0
-1
x4
0
-1
0
8
10
−
x1
x5
−
6
10
3
10
−
2
10
Langkah 4 :Mencari baris pivot
Dari tabel koefisien a50 = −
8
pada baris kelima, maka baris kelima
10
menjadi baris pivot
Langkah 5 : Mencari kolom pivot
Dari tabel pada kolom pertama dilihat nilai R terkecil, yakni
11
a 01
10 = 11
=
a51
6
−6
10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Langkah 6 : Menggantikan variabel nonbasis x 4 pada kolom pivot dengan
variabel x5 .
Langkah 7 : Melakukan operasi kolom
Tabel 3.7. Tabel Setelah Dilakukan Operasi kolom Pada Iterasi 1
1
x0
−
(− x5 ) (− x3 )
76
6
11
6
2
6
4
6
2
6
14
6
−
x2
4
6
1
6
x3
0
0
x4
8
6
−
0
-1
x1
x5
10
6
−
2
6
-1
2
6
0
Langkah 8 :
Karena nilai x1 =
14
4
dan x 2 = yang nilainya belum berupa bilangan
6
6
bulat maka di lanjutkan ke Langkah 1.
ITERASI 2
Langkah 1 : Memilih baris sumber
Untuk x1 =
14
2
14 ⎡14 ⎤ 14
−⎢ ⎥=
diperoleh f 10 =
−2=
6
6
6 ⎣6⎦ 6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Untuk x 2 =
4
diperoleh f
6
20
=
4
4 ⎡4⎤ 4
− ⎢ ⎥ = −0 =
6
6 ⎣6⎦ 6
⎧2 4⎫ 4
f = maks { f10 , f 20 } = maks ⎨ , ⎬ =
⎩6 6⎭ 6
Jadi baris kedua pada persamaan x 2 terpilih sebagai baris sumber
Langkah 2 : Menentukan bentuk kendala baru, yakni pembatas sekunder
Pada tabel untuk baris kedua dapat dinyatakan sebagai berikut
−
Sehingga
f
22
diperoleh
= a 22 − [a 22 ] = −
2
(− x3 ) + 1 (− x5 ) ≥ 4
6
6
6
f
21
= a 21 − [a 22 ] =
1
1 ⎡1⎤ 1
− ⎢ ⎥ = −0 =
6
6 ⎣6⎦ 6
dan
4
2 ⎡ 2⎤
2
− ⎢− ⎥ = − − (− 1) =
6
6 ⎣ 6⎦
6
Dari langkah sebelumnya didapat f
20
=
4
6
Maka persamaan pembatas sekunder yang baru adalah
x6 = −
4
(− x3 ) − 1 (− x5 ) − 4 ≥ 0
6
6
6
Langkah 3 : Tambahkan bentuk pembatas sekunder yang baru dalam tabel
simpleks.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Tabel 3.8. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 2
1
x0
(− x5 ) (− x3 )
76
6
−
11
6
2
6
4
6
2
6
14
6
−
x2
4
6
1
6
x3
0
0
x4
8
6
−
0
-1
x1
x5
x6
−
4
6
−
−
-1
10
6
1
6
2
6
2
6
0
−
4
6
Langkah 4 :Mencari baris pivot
Dari tabel, koefisien a 60 = −
4
pada baris keenam, maka baris keenam
6
dipilih sebagai baris pivot.
Langkah 5 : Mencari kolom pivot
Dari tabel, pada kolom kedua
dilihat nilai R terkecil, yakni
c02
26
2
=
=
a62
−4 6 4
Langkah 6 :
Menggantikan variabel non basis pada kolom pivot dengan variabel x6 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Langkah 7 : Melakukan operasi kolom
Tabel 3.9. Tabel Setelah Dilakukan Operasi kolom Pada Iterasi 2
1
(− x5 ) (− x6 )
x0
− 13
x1
2
x2
1
1
4
−
2
4
x3
1
1
4
−
6
4
7
4
2
4
x4
7
4
2
4
3
4
2
4
−
1
−
x5
0
-1
0
x6
0
0
-1
Langkah 8 :
karena nilai a v 0 sudah berupa bilangan bulat maka tabel sudah optimum
dengan nilai ( x1 , x 2 ) = (2,1) dengn nilai optimum= -13
Pada masalah program linear bilangan bulat dalam bentuk dualnya dapat
diurakan bahwa kendala awal dengan variabel awal x1 dan x 2 adalah
− x1 − 4 x 2 ≤ −5
atau x3 = −5 + x1 + 4 x 2
− 3 x1 − 2 x 2 ≤ −7
atau x 4 = −7 + 3 x1 + 2 x 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Kendala bidang pemotong yang didapat pada perhitungan diatas adalah
(i)
x5 = −
8
2
6
− (− x3 ) − (− x 4 )
10 10
10
x5 = −
8
2
6
+ x3 + x 4
10 10
10
x5 = −
6
8
2
+ (− 5 + x1 + 4 x 2 ) + (− 7 + 3 x1 + 2 x 2 )
10
10 10
x5 = −
8 10 2
8
42 18
12
− + x1 + x 2 −
+ x1 + x 2
10 10 10
10
10 10
10
x5 = −6 + 2 x1 + 2 x 2
4 4
1
(ii) x6 = − − (− x3 ) − (− x5 )
6 6
6
4 4
1
x 6 = − + x3 + x5
6 6
6
1
4 4
x6 = − + (− 5 + x1 + 4 x 2 ) + (− 6 + 2 x1 + 2 x 2 )
6
6 6
4 20 4
16
6 2
2
x6 = − −
+ x1 + x 2 − + x1 + x 2
6 6 6
6
6 6
6
x6 = −5 + x1 + 3 x 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Dari kendala awal dan kendala tambahan dapat digambarkan dengan grafik.
x2
4•
3
•
2•
•
1•
•
1
•
2
x
•
4
3
x5
•
4
x1
•
5
x6 x 3
Gambar 3.2. Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Fraksional Dual
Sifat tambahan tentang pembatas sekunder, yakni tabel yang sudah optimum
bila diselesaikan kembali dengan metode bidang pemotong yang menggunakan
metode simpleks dual akan diperoleh tabel optimum yang bernilai bilangan bulat,
yakni semua nilai-nilai di dalam tabel akan berupa bilangan bulat tanpa mengubah
nilai optimum dari penyelesaian optimum tersebut. Akan diperlihatkan bahwa
suatu pembatas sekunder sama dengan pertaksamaan dalam variabel nonbasis.
Diasumsikan tabel awal berpa bilangan bulat.
Teorema 3.1
Setiap pembatas sekunder pada persamaan (3.17) akan menjadi pertaksamaan
yang semua variabelnya bernilai bilangan bulat bila dinyatakan dalam suku-suku
yang memuat variabel nonbasis pada iterasi sebelumnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Bukti :
Misalkan baris untuk persamaan pertama menjadi
xv = av 0 + ∑ avj (− x J ( j ) )
n
j =1
maka pembatas sekunder yang dihasilkan adalah sebagai berikut
x n + m +1 = − f v 0 − ∑ f vj (− x J ( j ) )
n
j =1
[ ]
[ ]
dengan f vj = a vj − a vj atau − f vj = a vj − a vj , j = 0,1, K, n
maka
x n + m +1 = − f v 0 − ∑ f vj (− x J ( j ) )
n
j =1
[ ]
= ([a v 0 ] − a v 0 ) − ∑ ( a vj − a vj )(− x J ( j ) )
n
j =1
n
n
⎧
⎫ ⎧
⎫
= ⎨[av 0 ] + ∑ avj (− x J ( j ) )⎬ − ⎨av 0 + ∑ avj (− x J ( j ) )⎬
j =1
j =1
⎩
⎭ ⎩
⎭
[ ]
Sekarang setiap variabel nonbasis x J ( j ) adalah suatu variabel nonbasis ataupun
variabel basis pada masalah awal. Pada kasus sebelumnya diketahui x J ( j ) = x g
untuk
g = 1,2, K, n
suatu
dan
pada
kasus
selanjutnya
persamaan
x J ( j ) = a n +i , 0 + ∑ a n +i , j (− x j ) untuk suatu i = 1,2,K, m . Meskipun begitu koefisien
n
j =1
pada persamaan terakhir semuanya berupa bilangan bulat karena data awal dari
masalah program linear bilangan bulat berupa bilangan bulat maka koefisiennya
juga akan berupa bilangan bulat. Oleh karena itu x J ( j ) dapat ditulis sebagai suatu
kombinasi linear dari x1 , K , x n . Jadi suku pada ruas kanan dalam tanda kurung
pertama adalah suatu bilangan bulat bila dituliskan dalam suku-suku x1 , K , x n .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Suku pada ruas kanan dalam tanda kurung kedua sama dengan xv .
Variabel ini juga sebuah variabel nonbasis maupun sebagai kombinasi linear dari
variabel nonbasis x1 , K , x n .
Oleh karena itu x n + m +1 = − f v 0 − ∑ f vj (− x J ( j ) ) ≥ 0 menjadi pertaksamaan
n
j =1
yang berupa bilangan bulat bila dinyatakan dalam suku-suku dari variabel
nonbasis.■
Akan diperlihatkan dari contoh (3.1) bahwa masalah program linear
bilangan bulat yang sudah diperoleh penyelesaian optimum dapat dikerjakan
kembali dengan metode bidang pemotong yang menggunakan metode simpleks
dual sehingga diperoleh tabel optimum yang semua nilai-nilai dalam tabel berupa
bilangan bulat tanpa mengubah nilai optimum dari penyelesaian optimum dari
tabel (3.9). Dari iterasi kedua tabel (3.9) sudah ditemukan penyelesaian optimum.
Maka contoh soal (3.1) diselesaikan kembali dengan uraian sebagai berikut :
ITERASI 1
Langkah 1 : Memilih baris sumber
Baris sumber yang akan diambil adalah baris ke-nol karena nilai a 00 = −13 dan
memiliki nilai f 00 = 0
Langkah 2 : Menentukan bentuk kendala baru, yakni pembatas sekunder
Pada tabel sebelumnya, untuk baris ke-nol dapat dinyatakan sebagai
7
(− x5 ) + 2 (− x6 ) ≥ −13
4
4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
3
2
7 ⎡7⎤ 7
2 ⎡2⎤ 2
− ⎢ ⎥ = − (1) =
, f 02 = − ⎢ ⎥ = − 0 =
4
4
4 ⎣4⎦ 4
4 ⎣4⎦ 4
= 0 . Maka persamaan pembatas sekunder yang baru adalah
Sehingga diperoleh f 01 =
dan f
00
x7 = 0 −
7
(− x5 ) − 2 (− x6 ) ≥ 0
4
4
Langkah 3 : Tambahkan bentuk pembatas sekunder yang baru dalam tabel
simpleks.
Tabel 3.10. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 3
1
(− x5 ) (− x6 )
x0
− 13
x1
2
x2
1
1
4
−
2
4
x3
1
1
4
−
6
4
7
4
2
4
x4
7
4
2
4
3
4
2
4
−
1
−
x5
0
-1
0
x6
0
0
-1
x7
0
3
4
−
Langkah 4 :Mencari baris pivot
−
2
4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Dari tabel koefisien a 70 = 0 pada baris ketujuh, maka baris ketujuh dipilih
sebagai baris pivot.
Langkah 5 : Mencari kolom pivot
Dari tabel, pada kolom kedua dilihat nilai R terkecil yakni
c02
24
=
=1
a72
−2 4
Langkah 6 :
Menggantikan variabel non basis pada kolom pivot dengan variabel x7 .
Langkah 7 : Melakukan operasi kolom
Tabel 3.11. Tabel Setelah Dilakukan Operasi kolom Pada Iterasi 3
1
x0
− 13
x1
2
x2
x3
x4
(− x5 ) (− x7 )
1
1
3
2
1
1
1
-1
1
5
2
−3
5
2
1
1
x5
0
x6
x7
−
−
-1
0
0
3
2
-2
0
0
-1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Langkah 8 :
karena belum semua nilai berupa bilangan bulat maka kembali ke Langkah 1
ITERASI 2
Langkah 1 : Memilih baris sumber
Sekarang yang diambil untuk baris sumber adalah baris pertama yakni a10 = 2
dan memiliki nilai f10 = 0
Langkah 2 : Menentukan bentuk kendala baru, yakni pembatas sekunder
Pada tabel sebelumnya, untuk baris pertama dapat dinyatakan sebagai
−
3
(− x5 ) + 1(− x7 ) ≥ 2
2
sehingga diperoleh f 01 = −
3 ⎡ 3⎤
3
1
− ⎢− ⎥ = − − (− 2 ) =
dan f 02 = 0 dengan
2 ⎣ 2⎦
2
2
f 00 = 0
Maka persamaan pembatas sekunder yang baru adalah
x8 = 0 −
1
(− x5 ) + 0(− x6 ) ≥ 0
2
Langkah 3 : Tambahkan bentuk pembatas sekunder yang baru dalam tabel
simpleks.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Tabel 3.12. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 4
1
x0
− 13
x1
2
x2
x3
x4
(− x5 ) (− x7 )
1
1
3
2
1
1
1
-1
1
5
2
−3
5
2
1
1
x5
0
x6
−
−
-1
0
0
3
2
-2
x7
0
0
-1
x8
0
−
1
2
0
Langkah 4 :Mencari baris pivot
Dari tabel, koefisien a80 = 0 pada baris kedelapan, maka baris kedelapan
dipilih sebagai baris pivot.
Langkah 5 : Mencari kolom pivot
Dari tabel, pada kolom kesatu dilihat nilai R terkecil yakni
c01
1
=
=2
a81
−1 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Langkah 6 : Variabel x8 akan menggantikan variabel non basis pada kolom
pivot.
Langkah 7 : Melakukan operasi kolom
Tabel 3.13. Hasil setelah dilakukan operasi kolom pada iterasi 4
1
x0
− 13
x1
(− x8 ) (− x7 )
2
1
2
-3
1
x2
1
2
-1
x3
1
5
−3
x4
1
-5
1
x5
0
-2
0
x6
0
3
-2
x7
0
0
-1
x8
0
-1
0
Langkah 8 : karena nilai-nilainya dalam tabel sudah berupa bilangan bulat, maka
telah diperoleh penyelesaian optimum masalah program linear bilangan bulat
fraksional dual dengan nilai
,
= (2,1) dengan nilai optimum = -13
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Program linear bilangan bulat fraksional dual memiliki banyak kelemahan.
Dalam menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat, perhitungan
dilakukan dalam dua tahap yang sangat rumit, yaitu menggunakan metode
simpleks dual. Setelah ditemukan penyelesaian optimum harus dilihat dahulu
apakah sudah memenuhi penyelesaian optimum bilangan bulat atau belum. Jika
belum berupa bilangan bulat maka tabel harus diselesaikan kembali menggunakan
metode bidang pemotong sampai ditemukan penyelesaian optimum bilangan
bulat, yakni nilai variabelnya berupa bilangan bulat. Lalu pada tahun 1960 Ralph
Gomory memperbaiki metode bidang pemotong tersebut, yakni menjadi masalah
program linear bilangan bulat dual.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
BAB IV
PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DUAL
A. Masalah Program linear Bilangan Bulat Dual Dengan Metode Bidang
Pemotong
Untuk mencari penyelesaian pada masalah program linear bilangan bulat
akan digunakan metode bidang pemotong, yakni dengan menambahkan kendala
bidang pemotong. Berikut akan diuraikan bagaimana cara menentukan bentuk
kendala bidang pemotong.
Jika variabel basis xi pada sembarang persamaan ke-i yang merupakan
bilangan bulat maka variabel tersebut dapat dinyatakan sebagai :
xi = ai 0 + ai1 (− x1 ) + ai 2 (− x 2 ) + K + ain (− x n )
atau
xi = ai 0 + ∑ aij (− x J ( j ) )
n
(4.1)
j =1
dengan J ( j ) adalah elemen ke j di dalam J =(1,2,…,n),
dan ai 0 < 0 maka baris tersebut disebut sebagai baris sumber. Jika tidak ada maka
tabel simpleks sudah optimum.
Misalkan a sembarang bilangan dan λ adalah sebuah bilangan positif.
Bentuk
f =
⎡a⎤
−⎢ ⎥
λ ⎣λ ⎦
a
(4.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
a
⎡a⎤
dengan ⎢ ⎥ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan
λ
⎣λ ⎦
maka 0 ≤ f < 1 . Didefinisikan r = λf maka diperoleh
r
λ
=
⎡a⎤
⎡a⎤
− ⎢ ⎥ atau a = ⎢ ⎥ λ + r .
λ ⎣λ ⎦
⎣λ ⎦
a
(4.3)
Karena 0 ≤ f < 1 dan λ > 0 , maka 0 ≤ λf < λ atau 0 ≤ r < λ . Dari persamaan
(4.3) maka koefisien pada persamaan (4.1) dapat ditulis sebagai
⎡ aij ⎤
aij = ⎢ ⎥ λ + rij
⎣λ⎦
( j = 0,1,...n )
⎡1⎤
1 = ⎢ ⎥λ + r
⎣λ ⎦
dan
(4.4)
(4.5)
dengan λ > 0, 0 ≤ rij < λ dan 0 ≤ r < λ . Substitusikan persamaan (4.4) dan
(4.5) ke dalam persamaan (4.1) sehingga diperoleh
n ⎛ a
⎞
⎡ ⎤
⎡ ai 0 ⎤
⎡1⎤
⎜ ⎢ ij ⎥ λ + rij ⎟(− x J ( j ) )
+
=
λ
x
rx
λ
+
r
+
∑
i0
⎢λ ⎥
⎢⎣ λ ⎥⎦
⎜
⎟
⎣ ⎦
j =1 ⎝ ⎣ λ ⎦
⎠
n ⎛ a
⎞
⎡ ij ⎤
⎡a ⎤
= ⎢ i 0 ⎥ λ + ri 0 + ∑ ⎜⎜ ⎢ ⎥ λ (− x J ( j ) ) + rij (− x J ( j ) )⎟⎟
⎣λ ⎦
j =1 ⎝ ⎣ λ ⎦
⎠
n
n
⎡ aij ⎤
⎡a ⎤
= ⎢ i 0 ⎥ λ + ri 0 + ∑ ⎢ ⎥ λ (− x J ( j ) ) + ∑ rij (− x J ( j ) )
⎣λ ⎦
j =1 ⎣ λ ⎦
j =1
atau
n
⎡ aij ⎤
⎡ ai 0 ⎤
⎡1⎤
r
x
rx
r
λ
+
=
+
+
∑
∑
ij J ( j )
i0
⎢ ⎥ λ (− x J ( j ) ) + ⎢ ⎥ λ (− x)
⎢λ ⎥
⎣λ ⎦
⎣ ⎦
j =1
j =1 ⎣ λ ⎦
n
n
∑r x
j =1
ij
J ( j)
⎧⎪⎡ a ⎤ n ⎡ aij ⎤
⎫⎪
⎡1⎤
+ rx = ri 0 + λ ⎨⎢ i 0 ⎥ + ∑ ⎢ ⎥ (− x J ( j ) ) + ⎢ ⎥ (− x)⎬
⎪⎩⎣ λ ⎦ j =1 ⎣ λ ⎦
⎪⎭
⎣λ ⎦
(4.6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Persamaan (4.6) dapat ditulis
n
∑r x
j =1
ij
J ( j)
+ r x = ri 0 + λ x ′
(4.7)
dengan
⎡a ⎤ n ⎡a j ⎤
⎡1⎤
x' = ⎢ 0 ⎥ + ∑ ⎢ ⎥ (− x J ( j ) ) + ⎢ ⎥ (− x )
⎣λ ⎦
⎣ λ ⎦ j =1 ⎣ λ ⎦
(4.8)
Teorema 4.1 :
Untuk sembarang penyelesaian yang berupa bilangan bulat yang memenuhi
persamaan (4.1) dan persamaan (4.7), maka x' haruslah sebuah bilangan bulat tak
negatif.
Bukti :
x' bilangan bulat karena semua koefisien dalam (4.8) adalah bilangan bulat.
Selanjutnya akan ditunjukan x' adalah tak negatif.
Untuk sembarang penyelesaian layak maka ruas kiri persamaan (4.7) nilainya tak
negatif.
Andaikan x ' adalah bilangan bulat yang negatif. Karena ri 0 < λ maka ruas kanan
pesamaan (4.7) yakni ri 0 + λ x ′ adalah negatif. Hal ini kontradiksi dengan
pernyataan bahwa penyelesaian layak pada ruas kiri persamaan (4.7) nilainya tak
negatif dengan demikian x' adalah bilangan bulat yang tak negatif
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Jika λ > 1, maka
⎡1⎤
< 1 sehingga ⎢ ⎥ = 0 . Bila nilai tersebut dimasukan pada
λ
⎣λ ⎦
1
persamaan (4.8) akan didapat
⎡ a ⎤ n ⎡ aij ⎤
x' = ⎢ i 0 ⎥ + ∑ ⎢ ⎥ (− x J ( j ) ) ≥ 0
⎣ λ ⎦ j =1 ⎣ λ ⎦
⎡a ⎤
Karena ai 0 < 0 berarti ⎢ i 0 ⎥ < 0 . Tambahkan persamaan (4.9)
⎣λ ⎦
(4.9)
pada tabel
simpleks dan dapat dianggap sebagai baris sumber. Untuk λ yang cukup besar
maka elemen pivot pada persamaan (4.9) yakni
ai 0
⎡ ai 0 ⎤
⎢ λ ⎥ = −1 dengan − 1 ≤ λ < 0 .
⎣ ⎦
Metode yang digunakan dalam masalah program linear bilangan bulat
dual hampir sama dengan yang digunakan dalam masalah program linear bilangan
bulat fraksional dual. Prinsipnya adalah menggunakan metode simpleks dual
lexicographic, yakni sebuah metode simpleks dual dengan menggunakan aturan
lexicographic. Aturan lexicographic merupakan salah satu prosedur penyelesaian
dalam masalah degenerasi, yakni iterasi-iterasinya tidak berulang dan banyaknya
basis layak adalah berhingga, serta tidak ada basis yang berulang. Dengan
demikian banyaknya iterasi pada metode simpleks adalah berhingga. Dalam
aturan ini dibentuk kolom-kolom tabel yang positif secara lexicographic.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Definisi 4.1 Positif secara lexicographic
Sebuah vektor v adalah positif secara lexicographic jika v ≠ 0 dan elemen tak nol
pertama dari v adalah positif dan sebaliknya disebut minimum secara
lexicographic.
Berikut ini akan diberikan contoh positif secara lexicographic
Contoh 4.1
Misalkan tedapat vektor
v 1 = (0 0 4 10)
v 2 = (1 − 3 0 − 5)
v 3 = (0 3 0 1)
v 4 = (0 − 1 10 20)
Maka v 1 , v 2 dan v 3 adalah positif secara lexicographic, sedangkan v 4 bukan
positif secara lexicographic melainkan minimum secara lexicographic.
Langkah-langkah metode bidang pemotong pada masalah program linear
bilangan bulat dual dengan menggunakan metode simpleks dual adalah sebagai
berikut :
1. Mengubah bentuk baku ke dalam bentuk kanonik pada masalah program linear
bilangan bulat.
2. Dimulai dengan menyusun tabel awal simpleks untuk bilangan bulat yang
berisi penyelesaian layak dual lexicographic. Tabel awal tersebut disajikan
sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Tabel 4.1. Tabel Awal Program Linear Bilangan Bulat
Kolom →
α0
Variabel
1
α1
K
αn
(− x1 )
K
(− xn )
↓
x0 =
x1 =
M
xn =
x n +1 =
M
x n +m =
a 00
0
M
0
a n +1, 0
a 01
K
−1
K
M
O
0
K
a n +1,1 K
M
M
a n + m ,0 a n + m ,1
O
K
a0 n
0
M
−1
a n +1,n
M
a n + m ,n
Keterangan :
⎛ a0 j ⎞
⎜
⎟
α j : komponen n + m + 1 pertama dalam kolom ke – j, yakni α j = ⎜ M
⎟.
⎜
⎟
⎝ a n+ m, j ⎠
3. Memilih baris sumber yang tidak layak v, yakni yang memenuhi
a v 0 < 0 , v ≠ 0. Jika tidak ada
maka penyelesaian masalah program linear
bilangan bulat sudah optimum, dengan demikian langkah dihentikan. Jika ada
baris yang tidak layak v maka dilanjutkan ke Langkah 3.
4. Tandai kolom pivot α p ( p = 1,K, n ) yang terkecil secara lexicographic
diantara kolom-kolom yang mempunyai a vj < 0 dan elemen tak nol yang
pertama adalah negatif. Jika tidak ada, yakni a vj ≥ 0 ,untuk j = 1,K, n , maka
tidak ada penyelesaian layaknya. Jika ada maka dilanjutkan ke langkah
berikutnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Sebelum menentukan bentuk kendala bidang pemotong harus ditemukan
sebuah λ yang diperoleh dari baris sumber dan kolom pivot.
Jika koefisien baris sumber ditunjukkan dengan b j
( j = 0,1,K, n ) , maka
kolom pivot α p dalam metode simpleks dual lexicographic memenuhi
αp
− bp
L
αj
p−b
(4.10)
j
setiap j (j ≠ 0) dengan b j < 0 untuk setiap iterasi pada masalah program linear
bilangan bulat. Dengan b p adalah koefisien kolom α p pada baris v, yakni
⎡ aij ⎤
b p = −1 dan koefisien x pada baris v kolom ke-j adalah ⎢ ⎥
⎣λ⎦
maka
⎡ aij ⎤
b j = ⎢ ⎥ . Dengan demikian dari persamaan (4.10), kolom pivot haruslah
⎣λ ⎦
memenuhi
L
αp p
αj
(4.11)
⎡ aij ⎤
−⎢ ⎥
⎣λ⎦
⎡ a ij ⎤
⎡ aij ⎤
untuk setiap j (j ≠ 0) dengan ⎢ ⎥ < 0 . Karena − ⎢ ⎥ adalah bilangan bulat
⎣λ⎦
⎣λ⎦
positif maka didapat
L
αp p
αj
⎡ aij ⎤
−⎢ ⎥
⎣λ⎦
L
pα
j
(4.12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
⎡ aij ⎤
Karena λ>0, maka ⎢ ⎥ < 0 jika hanya jika a ij < 0 sehingga kolom pivot
⎣λ⎦
adalah kolom terkecil secara lexicographic yang memuat sebuah elemen
negatif dalam baris sumber.
Misalkan u p = 1 dan u j ( j ≠ p ) adalah bilangan bulat terbesar
sehingga
L
αp p
αj
uj
Karena u j adalah bilangan bulat terbesar, persamaan
(4.13)
(4.13) menunjukkan
bahwa
⎡ aij ⎤
− ⎢ ⎥ ≤ uj
⎣λ⎦
(4.14)
Nilai positif terkecil λ yang memenuhi (4.14) adalah
λij =
− aij
uj
(4.15)
Maka untuk menjamin persamaan (4.11), atau dengan kata lain untuk
mempertahankan kolom positif secara lexicographic α j ( j = 1,K, n ) , maka
⎧⎪
− aij ⎫⎪
haruslah memiliki λ ≥ maks ⎨λij =
⎬.
u j ⎪⎭
⎪⎩
5. Tentukan kendala bidang pemotong yang merupakan pertidaksamaan bilangan
bulat dari baris v, yakni
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
⎡ a ⎤ n ⎡ aij ⎤
xv = ⎢ i 0 ⎥ + ∑ ⎢ ⎥ (− x J ( j ) ) ≥ 0
⎣ λ ⎦ j =1 ⎣ λ ⎦
Tambahkan kendala bidang pemotong dalam tabel, yakni pada baris paling
bawah. Kemudian dilakukan operasi kolom agar elemen-elemen pada baris xv
bernilai -1 untuk elemen pada kolom pivot dan yang lainnya bernilai 0.
Kemudian lanjutkan ke Langkah 3.
B. Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Dual
Dari langkah-langkah yang sudah dijabarkan di atas, yaitu cara memilih
kolom pivot, aturan memilih λ dan bentuk kendala bidang pemotong, secara
umum langkah pertama yang dilakukan dalam menyelesaian masalah program
linear bilang bulat adalah mengubah bentuk baku menjadi bentuk kanonik dan
menyusun tabel awal kemudian dilanjutkan dengan langkah-langkah sebagai
berikut :
Langkah 1 :
Memilih baris utama atau baris sumber v, yakni baris dengan a v 0 < 0 , v ≠ 0
dipilih yang paling minimum.
Langkah 2 :
Memilih kolom pivot α p , yakni kolom dengan koefisien a vj ( j ≥ 1) dengan
elemen tak nol pertama dari baris v adalah negatif dan dipilih yang paling
minimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Langkah 3 :
Menentukan nilai λ dengan langkah-langkah sebagai berikut :
i. Untuk setiap a vj < 0 ( j ≠ 0) dan misalkan u p = 1 untuk α p kolom pivot
yang dipilih dalam langkah di atas, tentukan u j ( j ≠ p ) , yakni bilangan
⎛ 1
bulat terbesar yang memenuhi ⎜
⎜u
⎝ j
L
⎞ L
⎟α j f α p dengan u j ≥ 1 dan α p f 0 .
⎟
⎠
ii. Untuk setiap a vj < 0 ( j ≥ 1) , hitung λij dengan λij =
− avj
uj
.
⎧⎪
− aij ⎫⎪
iii. Pilih λ= maks ⎨λij =
⎬
u j ⎪⎭
⎪⎩
Langkah 4 :
Menentukan bentuk kendala bidang pemotong yakni
⎡ a ⎤ n ⎡ a vj ⎤
xv = ⎢ v 0 ⎥ + ∑ ⎢ ⎥ (− x J ( j ) ) ≥ 0
⎣ λ ⎦ j =1 ⎣ λ ⎦
Langkah 5:
Tambahkan bentuk kendala bidang pemotong yang baru ke dalam tabel
simpleks untuk menjadi baris sumber yang baru.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Langkah 6 :
Variabel xv pada baris sumber yang baru akan menggantikan variabel non
basis pada kolom pivot.
Langkah 7 :
Melakukan operasi kolom agar elemen-alemen pada baris
x v bernilai -1
untuk elemen pada kolom pivot dan yang lainnya bernilai 0.
Langkah 8 :
Jika masih ada nilai a v 0 < 0 , v ≠ 0 maka dilanjutkan ke Langkah 2. Jika sudah
tidak ada maka proses dihentikan dan diperoleh tabel optimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Algoritma masalah program linear bilangan bulat dual diperlihatkan
sebagai berikut :
Mulai
Menyusun tabel
Pilih baris sumber v dengan a v 0 < 0
Pilih kolom pivot α p , yakni minimum a vj yang
positif secara lexicographic
Menentukan nilai λ=maks
⎛
⎜λ
⎜
⎝
j
=
− a vj ⎞
⎟
u j ⎟⎠
Menentukan bentuk kendala bidang pemotong, yakni
⎡ a ⎤ n ⎡ a vj ⎤
x v = ⎢ v 0 ⎥ + ∑ ⎢ ⎥ (− x J ( j ) ) ≥ 0
⎣ λ ⎦ j =1 ⎣ λ ⎦
Tambahkan bentuk kendala bidang pemotong kedalam tabel
Mengganti variabel nonbasis dengan variabel xv
Melakukan operasi kolom
nilai av 0 < 0
TIDAK
Penyelesaian sudah optimum
Selesai
YA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Berikut akan diberikan contoh penyelesaian masalah program linear
bilangan bulat yang menggunakan metode bidang pemotong
Contoh 4.2
Selesaikan masalah program linear bilangan bulat berikut :
Maksimumkan:
z = −4 x1 − 5 x 2
Dengan kendala:
− x1 − 4 x 2 ≤ −5
( x3 )
− 3 x1 − 2 x 2 ≤ −7
(x4 )
x1 , x 2 ≥ 0
dan
Penyelesaian :
Masalah program linear di atas dapat dibuat ke bentuk kanonik sebagai berikut :
Maksimumkan:
z = −4 x1 − 5 x 2
Dengan kendala:
− x1 − 4 x 2 + x3
− 3 x1 − 2 x 2
dan
= −5
+ x 4 = −7
x1 , x 2 , x3 , x 4 ≥ 0
Menyusun tabel awal simpleks
Tabel 4.2. Tabel Awal Pada Contoh Masalah Program Linear Bilangan Bulat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Kolom →
α0
Variabel
1
(− x1 )
(− x2 )
x0 =
0
4
5
x1 =
0
−1
0
x2 =
0
0
−1
x3 =
−5
−1
−4
x4 =
−7
−3
−2
α1
α2
↓
ITERASI 1
Langkah 1 : Memilih baris sumber.
Dalam tabel dilihat koefisien a 40 = −7 adalah nilai yang paling minimum maka
baris x 4 adalah baris sumber yang dipilih.
Langkah 2 : Memilih kolom pivot.
Dalam tabel dapat diperoleh a 41 = −3 dan koefisien a 42 = −2 . Karena nilai
a 41 = −3 yang paling minimum maka kolom α 1 adalah kolom pivot yang
dipilih.
Langkah 3 : Menentukan nilai λ
i.
Karena kolom pivot yang dipilih adalah kolom pertama maka nilai p yang
dipilih adalah 1. Jadi nilai u1 = 1 kemudian akan ditentukan u 2 , yakni
⎛ 1 ⎞ L
bilangan bulat terbesar yang memenuhi ⎜⎜ ⎟⎟α 2 f α 1 . Dalam tabel terlihat
⎝ u2 ⎠
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
bahwa komponen pertama α 1 = 4 dan
⎛ 1
α 2 = 5 . Jadi ⎜⎜
⎝ u2
⎞ L
⎟⎟ 5 f 4 maka
⎠
nilai u 2 yang akan didapat adalah 1.
ii. Lihat nilai a vj < 0 pada baris sumber adalah a 41 = −3 dan a 42 = −2 maka
nilai λ1 dan λ 2 masing-masing adalah sebagai berikut :
dan
λ1 =
− a 41 − (−3) 3
=
= =3
u1
1
1
λ2 =
− a 42 − (−2) 2
=
= =2
u2
1
1
iii. Memiilih λ = maksimum ( λ1 , λ 2 )
= maksimum ( 3,2)
=3
Langkah 4 : Menentukan bentuk kendala bidang pemotong yang baru yakni
⎡ − 7 ⎤ ⎡ − 3⎤
⎡− 2⎤
x5 = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ (− x1 ) + ⎢ ⎥ (− x 2 ) ≥ 0
⎣ 3 ⎦
⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦
atau
x5 = −3 − 1(− x1 ) − 1(− x 2 ) ≥ 0
Langkah 5 : Tambahkan bentuk kendala bidang pemotong yang baru ke dalam
tabel simpleks.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Tabel 4.3. Tabel Bentuk Kendala Bidang Pemotong Pada Iterasi 1
Kolom →
α0
α1
Variabel
1
(− x1 )
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
0
0
0
−5
−7
4
−1
0
−1
−3
5
0
−1
−4
−2
x5 =
−3
−1
−1
α2
(− x 2 )
↓
x0 =
Langkah 6 : Variabel x5 akan menggantikan variabel x1 .
Langkah 7 : Melakukan operasi kolom. Sehingga tabel baru yang diperoleh
adalah
Tabel 4.4. Tabel Setelah Dilakukan Operasi kolom Pada Iterasi 1
→
Kolom
Variabel
α0
α1
α2
1
(− x5 )
(− x2 )
4
−1
0
−1
−3
−1
1
1
−1
−3
1
0
↓
x0 =
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
x5 =
− 12
3
0
−2
2
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Langkah 8 :
Karena masih ada nilai a v 0 < 0 , v ≠ 0 , yakni a30 = −2 maka dilanjutkan ke
Langkah 2.
ITERASI 2
Langkah 1 : Memilih baris sumber.
Dalam tabel dilihat koefisien a30 = −2 adalah nilai yang paling minimum maka
baris x3 adalah baris sumber yang dipilih.
Langkah 2 : Memilih kolom pivot.
Dalam tabel diperoleh a31 = −1 dan koefisien a32 = −3 . Karena nilai a32 = −3
yang paling minimum maka kolom α 2 adalah kolom pivot yang dipilih.
Langkah 3 : Menentukan nilai λ
i.
Karena kolom pivot yang dipilih adalah kolom kedua maka nilai p yang
dipilih adalah 2, jadi nilai u 2 = 1 . Kemudian ditentukan u1 , yakni bilangan
⎛1⎞ L
bulat terbesar yang memenuhi ⎜⎜ ⎟⎟α 1 f α 2 . Dalam tabel terlihat bahwa
⎝ u1 ⎠
⎛1⎞ L
komponen pertama α1 = 4 dan α 2 = 1 . Jadi ⎜⎜ ⎟⎟ 4 f 1 maka nilai u1
⎝ u1 ⎠
yang akan didapat adalah 3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
ii. Lihat nilai a vj < 0 pada baris sumber adalah a31 = −1 dan a32 = −3 maka
diperoleh
dan
λ1 =
− a 41 − (−1) 1
=
=
u1
3
3
λ2 =
− a 42 − (−3) 3
=
= =3
u2
1
1
iii. Memiilih λ
= maksimum ( λ1 , λ 2 )
= maksimum ( 1 ,3)
3
=3
Langkah 4 : Menentukan bentuk kendala bidang pemotong yang baru yakni
⎡ − 2 ⎤ ⎡ − 1⎤
⎡ − 3⎤
x6 = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ (− x5 ) + ⎢ ⎥ (− x 2 ) ≥ 0
⎣ 3 ⎦ ⎣3⎦
⎣ 3 ⎦
atau
x6 = −1 − 1(− x5 ) − 1(− x 2 ) ≥ 0
Langkah 5 : Tambahkan bentuk kendala bidang pemotong yang baru ke dalam
tabel simpleks.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Tabel 4.5. Tabel Dengan Bentuk Kendala Bidang Pemotong Pada Iterasi 2
Kolom →
α0
Variabel
1
α1
α2
(− x5 )
(− x2 )
↓
x0 =
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
x5 =
− 12
3
0
−2
2
0
x6 =
−1
4
−1
0
−1
−3
−1
−1
1
1
−1
−3
1
0
−1
Langkah 6 : Variabel x6 akan menggantikan variabel x 2 .
Langkah 7 : Melakukan operasi kolom. Sehingga tabel baru yang diperoleh
adalah
Tabel 4.6. Tabel Setelah Dilakukan Operasi kolom Pada Iterasi 2
Kolom
Variabel
→
α0
1
α1
α2
(− x5 )
(− x6 )
↓
x0 =
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
x5 =
x6 =
− 13
2
1
1
1
0
0
3
−2
1
2
−4
−1
0
1
1
−1
−3
1
0
−1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Langkah 8 :
Karena sudah tidak ada nilai a v 0 < 0 , v ≠ 0 maka tabel sudah optimum
dengan nilai ( x1 , x 2 ) = (2,1) dan nilai optimum = -13
Pada masalah program linear bilangan bulat dalam bentuk dualnya dapat
diurakan bahwa dalam kendala utama yang memiliki variabel awal x1 dan x 2
adalah
− x1 − 4 x 2 ≤ −5
− 3 x1 − 2 x 2 ≤ −7
Kendala bidang pemotong yang didapat pada perhitungan diatas adalah
x5 = −3 − 1(− x1 ) − 1(− x 2 ) ≥ 0 atau x1 + x 2 ≤ −3
dan x6 = −1 − 1(− x5 ) − 1(− x 2 ) ≥ 0
x6 = −1 − 1(− (− 3 − 1(− x1 ) − 1(− x 2 ))) − 1(− x 2 ) ≥ 0
x6 = −4 − 1(− x1 ) − 2(− x2 ) ≥ 0 atau x1 + 2 x 2 ≤ −4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Dari kendala-kendala di atas dapat diilustrasikan ke dalam gambar dibawah ini :
x2
4•
3•
2•
•
1 •
•
1
•
2
•
•
4
3
x4
x5
•
5
x 6
x1
x3
Gambar 4.1. Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Dual
Dari contoh dimuka terlihat bahwa program linear bilangan bulat dual
adalah cara lebih efisien bila dibandingkan dengan masalah program linear
bilangan bulat fraktional dual yang menggunakan metode bidang pemotong
karena dalam perhitungan lebih cepat mencapai penyelesaian optimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Masalah program linear bilangan bulat dikategorikan menjadi dua
masalah, yakni program linear bilangan bulat fraksional dual yang memungkinkan
adanya bilangan pecahan dalam perhitungannya, dan program linear bilangan
bulat dual dimana dalam perhitungannya harus berupa bilangan bulat. Kedua
masalah tersebut dapat diselesaikan dengan metode bidang pemotong yang
menggunakan metode simpleks dual.
Langkah-langkah metode program linear bilangan bulat fraksional dual
adalah sebagai berikut :
1.
Mengubah bentuk baku menjadi bentuk kanonik.
2.
Menyusun tabel awal dari masalah program linear bilangan bulat.
3.
Masalah program linear bilangan bulat ini diselesaikan dahulu sebagai
masalah program linear biasa, yakni dengan menggunakan menggunakan
metode simpleks dual sampai ditemukan penyelesaian optimum tetapi
penyelesaian yang didapat belum tentu berupa bilangan bulat.
4.
Uji optimum.
Jika penyelesaian optimum pada langkah sebelumnya belum berupa bilangan
bulat maka langkah-langkah penyelesaian dilanjutkan lagi menggunakan
metode bidang pemotong dengan menambahkan kendala bidang pemotong
yang baru yang memuat variabel pengetat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Langkah-langkah metode program linear bilangan bulat dual adalah
sebagai berikut :
1.
Mengubah bentuk baku menjadi bentuk kanonik.
2.
Menyusun tabel awal dari masalah program linear bilangan bulat.
3.
Masalah program linear bilangan bulat diselesaikan menggunakan metode
bidang pemotong dengan menambahkan kendala bidang pemotong yang baru
yang memuat variabel pengetat.
Dalam menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat fraksional
dual akan ditemukan kesulitan karena tidak cukup hanya menyelesaikan dengan
metode bidang pemotong yang menggunakan metode simpleks dual tetapi harus
dicari dahulu penyelesaian menggunakan metode simpleks dual. Tetapi dalam
menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat dual dengan menggunakan
metode bidang pemotong penghitungannya dilakukan secara langsung dengan
menambahkan betuk kendala bidang pemotong tanpa harus diselesaikan dengan
metode simpleks dual dahulu. Dengan demikian penyelesaian masalah program
linear bilangan bulat dual akan lebih efisien dan lebih cepat mendapatkan
penyelesaian optimum.
B. Saran
Dari pembahasan tentang program linear bilangan bulat dengan metode
bidang pemotong, apabila mendapatkan masalah program linear bilangan bulat
akan lebih baik bila masalah tersebut dibawa kedalam masalah program linear
bilangan bulat dual. Namun hendaknya metode ini dibandingkan dengan metode
enumerasi atau metode cabang dan batas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
DAFTAR PUSTAKA
Bronson, R (1991) Teori dan Soal-soal Operation Research. Penerbit : Erlangga
Chvatal, V. (1983). Linear Programming. Mac Graw Hill Book Company, Inc.
Ignizio, J.P. & Cavalier, T.M. (1994). Linear Programming. Mac Graw Hill Book
Company, Inc.
Salkin, H.M. (1975) Integer Programming. Addison-Wesley Publishing
Company, Inc.
Salkin, H.M. dan Mathur kamlesh (1989) Foundations of Integer Programming.
North-Holland.
Supranto, J. M. A. (1980). Linear Programming. Jakarta: Penerbit Fakultas
Ekonomi Universitas Indonesia.
Susanta, B. (1994). Program Linear. Jakarta: LPTK Depdikbud.
Taha, H. A (1996). Riset Operasi. Jakarta: Penerbit Binarupa Aksara
Wolsey, L.A (1998) Integer Programming. John Wiley & Sons, New York.
Wu, N. & Coppins, R. (1981). Linear Programming And Extensions. Mac Graw
Hill Book Company, Inc.