aplikasi deret fourier dalam analisa tegangan plane

PROSIDING 2011©
Arsitektur
Elektro
Geologi
Mesin
HASIL PENELITIAN FAKULTAS TEKNIK
Perkapalan
Sipil
`APLIKASI DERET FOURIER DALAM ANALISA TEGANGAN
PLANE STRESS AKIBAT BEBAN LONGITUDINAL
PADA SHELL SILINDRIS
A. Arwin Amiruddin & Abd. Madjid Akkas
Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Hasanuddin
Jl. Perintis Kemerdekaan Km. 10Tamalanrea - Makassar, 90245
Telp./Fax: (0411) 580505/(0411) 580505
E-mail: [email protected]
Abstrak
By using Fourier series to obtain the tensions formula in the cylindrical shell which is
supported the uniform and not uniform wall thickness at its local edge. Therefore, we had
been review the Fourier series and cylindrical shell theory in which Fourier series could be
applied in stress analysis that occurs with some shell literature. So that to obtain the shell
stress formula at particularly cylindrical shell. By applying the Fourier series, we would
obtain the Plane stress include : normal stress, shear stress in force per unit length along
the edge of the shell. Kinds of this stress occur when work load as the cylindrical shell at
longitudinal direction.
Keyword: Series, Fourier, stress, normal, shear, shell, cylindrical, longitudinal
PENDAHULUAN
Shell dapat di definisikan sebagai elemen struktural yang secara relatif tipis, dimana material dari elemen
adalah batas antara dua permukaan lentur yang terpisah oleh jarak yang relatif kecil. Ada beberapa macam tipe
struktur shell, diantaranya adalah Hiperbolic Shell, Parabolic Shell, Barrel Shell, Partial Sphere Shell dan
Cylinder Shell atau biasa juga disebut dengan Shell Slindris. Tipe Shell yang akan penulis bahas pada karya
tulis ini adalah tipe Shell Slindris. Dalam era modern ini aplikasi dari struktur shell slindris sangat banyak
bermanfaat, khususnya di dunia industri pada bangunan. Misalnya sebagai penggantung struktur pada tangki
atau menara air, sebagai pondasi pada restoran terapung, sebagai tangki atau penampung zat hidraulik, dan
lain-lain. Pada dasarnya berat sendiri shell slindris dalam menganalisa tegangan yang terjadi tidak boleh
diabaikan sama sekali. Oleh karena itu penulis perlu menganalisa tegangan yang terjadi akibat berat sendiri
shell slindris. Elemen-elemen tegangan yang terjadi pada shell slindris ini akan di analisa dengan menggunakan
Deret Fourier sebagai alat bantu matematisnya. Deret Fourier ini banyak digunakan dalam bidang rekayasa.
Deret ini pertama kali ditemukan oleh ilmuwan Perancis Jean Baptiste Joseph. Berkaitan dengan hal di atas.
Penulis akan menganalisis tegangan plane stress pada shell slindris akibat beban longitudinal dengan
menggunakan Deret Fourier.
Dengan latar belakang tersebut di atas, maka studi ini ditujukan untuk mendapatkan rumusan gaya plane
stress pada shell slindris yang tebal dindingnya tidak seragam (bervariasi) dan seragam secara linier sepanjang
tinggi shell. Memberikan sebuah contoh ilustrasi perhitungan dari hasil penurunan rumus gaya plane stress
dengan jumlah tumpuan setempat sebanyak 4 dan 6 tumpuan. Membandingkan hasil perhitungan tegangan
plane stress antara shell slindris tebal dinding tidak seragam dengan shell slindris tebal dinding seragam.
Untuk menyelesaikan masalah tersebut maka penelitian ini dibatasi sebagai berikut:
1. Tumpuan yang akan ditinjau adalahtumpuan setempat. Dengan jumlah tumpuan yaitu 4 dan 6 tumpuan.
2. Shell slindris hanya memikul beban longitudinal akibat berat sendiri dengan mengasumsi shell slindris
berdiri tegak.
3. Tegangan yang akan ditinjau adalah tegangan plane stress.
4. Penyelesaian tegangan plane stress menggunakan Deret Fourier.
5. Penyelesaian persamaan Deret Fourier hasil penurunan rumus gaya plane stress menggunakan program
komputer.
Volume 5 : Desember 2011
Group Teknik Sipil
TS1 - 1
ISBN : 978-979-127255-0-6
Aplikasi Deret Fourier dalam…
Arsitektur
Elektro
Geologi
Mesin
A. Arwin Amiruddin & Abd. Madjid Akkas
Perkapalan
Sipil
Tinjauan Umum Struktur Shell
Bentuk-bentuk shell yang sekarang sudah banyak dipakai adalah :
1. Cylindrical shell.
2. Spherical shell
3. Hyperbolic paraboloid shell
4. Elliptical paraboloid shell.
5. Conoid shell
Shell dibagi dua kelompok menurut kelengkungan yaitu :
1. Shell lengkung tunggal (singly curved) yaitu shell yang bidang pembentukannya melengkung ke salah satu
dua arah (memanjang atau melintang shell) misalnya : shell slindris ; conical shell.
2. Shell lengkung rangkap (doubly curved) yaitu shell yang bidang pembentuknya melengkung ke dalam dua
arah tersebut diatas, misalnya : circular dome ; paraboloid; elliptical paraboloid ; conoid ; hyperboloid
paraboloid shell.
TINJAUAN PUSTAKA
Tegangan Bidang (Plane Stress)
Apabila sebuah pelat tipis dibebani dengan gaya yang bekerja pada tepian, sejajar dengan bidang pelat dan
terbagi rata sepanjang tebal plat (Gambar 1), maka komponen tegangan σz , τxz ,τyz pada kedua permukaan pelat
sama dengan nol dan bisa juga dianggap gaya di dalam pelat juga nol. Kemudian keadaan tegangan hanya
ditunjukkan oleh σx, σy, τxy dan disebut dengan tegangan bidang (plane stress). Bisa juga dianggap bahwa
ketiga komponen ini tidak tergantung kepada z, yaitu komponen tidak berubah sepanjang tebalnya. Berarti
komponen tegangan tersebut hanya fungsi x dan y.
Gambar 1. Tegangan Bidang (Plane Stress)
Rumus Pokok Matematika
Deret Fourier Fungsi Ganjil dan Genap : Suatu fungsi f(x) dinamakan ganjil jika f(-x)=-f(x). Jad࢞૜ , ࢞૞ − ૜࢞૜ +
૛࢞, ‫࢞ ܖܑܛ‬, ૜࢞ semuanya adalah fungsi ganjil. Suatu fungsin f(x) dinamakan genap jika f(-x)=f(x). Jadi
࢞૝ , ૛࢞૟ − ࢞૛ + , ࢞, + semuanya adalah fungsi genap.
Persamaan Differensial Keseimbangan Elemen
Gaya-gaya dalam dari shell slindris dalam mengimbangi beban luar dalam bentuk sistim gaya plane stress
adalah :
1. Gaya dalam normal longitudinal arah s Ns.
2. Gaya dalam normal tangensial arah θ yaitu Nθ.
3. Gaya dalam geser pada sisi elemen Nsθ.
Beban luar sembarang yang bekerja pada dinding shell tebal tidak seragam diuraikan atas komponenkomponen arah , , masing-masing , , seperti pada Gambar 2 di bawah ini :
ISBN : 978-979-127255-0-6
Group Teknik Sipil
TS1 - 2
Volume 5 : Desember 2011
PROSIDING 2011©
Arsitektur
Elektro
Geologi
Mesin
HASIL PENELITIAN FAKULTAS TEKNIK
Perkapalan
Sipil
Gambar 2. (a) Elemen Shell Slindris, (b) Gaya dalam Plane Stress Keseimbangan
Persamaan keseimbangan :
∑ = 0
Jumlah gaya arah s = 0
+ + = 0
(1)
.
Jumlah gaya arah = 0
∑ = 0
+ + = 0
.
(2)
.
Jumlah gaya arah r = 0
∑ = 0
− = 0
(3)
.
Ketiga persamaan terakhir di atas disebut : Persamaan Keseimbangan Plane Stress Shell.
Persamaan Keseimbangan inilah dengan bantuan transformasi Deret Fourier rumusan gaya-gaya dalam shell
slindris dapat diperoleh.
మ మ
మ
+ − మ − =0
(4)
Dengan persamaan terakhir di atas ini, maka nilai atau rumusan untuk Ns dapat diperoleh, dan selanjutnya dapat
diperoleh Ns dengan jalan mensubstitusi Ns pada persamaan (4).
Transformasi Berat Sendiri Shell Slindris Tebal Dinding Tidak Seragam ke dalam Deret Fourier Cosinus.
Andaikan berat sendiri dinding shell pada kedalaman s dari tepi atas shell = Ps. Ps = Berat sendiri shell slindris
pada kedalaman s (Gambar 3) per satuan panjang keliling shell slindris.
Gambar 3. Penjabaran Ps pada kedalaman s
Volume 5 : Desember 2011
Group Teknik Sipil
TS1 - 3
ISBN : 978-979-127255-0-6
Aplikasi Deret Fourier dalam…
Arsitektur
Elektro
Geologi
A. Arwin Amiruddin & Abd. Madjid Akkas
Perkapalan
Sipil
Mesin
Sehingga :
= ( )
.
. 1. (5)
Deret Fourier Ps :
= +
~
. cos 2
.
.
.
(6)
!"
Dimana :
! = . Diambil bentuk dan interval x untuk Deret Fourier seperti pada Gambar (4) berikut ini :
y = Ps
Ps
-πr
-πr/2
πr/2
πr
x
0 πr/4
-Ps
-Ps
Gambar 4. Bentuk dan Interval Deret Fourier untuk berat sendiri
Sehingga Deret Fourier berat sendiri :
~
4. . % cos()
=
# $
. 2
(7)
Analisa Gaya-Gaya Plane Stress 4 Tumpuan Setempat Tebal Dinding Tidak Seragam.
(a)
(b)
Gambar 5. (a) Shell Slindris tebal dinding tidak seragam (b) Potongan a-a.
ISBN : 978-979-127255-0-6
Group Teknik Sipil
TS1 - 4
Volume 5 : Desember 2011
PROSIDING 2011©
Arsitektur
Elektro
Geologi
HASIL PENELITIAN FAKULTAS TEKNIK
Perkapalan
Sipil
Mesin
Reaksi R
+Q
0
x=rθ
αr
πr/4
πr
-R
Pusat Tumpuan
Gambar 6. Kurva reaksi tumpuan untuk 4 tumpuan setempat (Rt4)
Reaksi tumpuan setempat (Rt4 per satuan panjang keliling shell) :
Rt4 = -R jika 0 < ! < &. 0 jika &. < ! < .
'. ( . ) jika
.
Terpakai
<!< .
( fungsi fiktif yang meyebabkan = 0)
Sehingga Deret Fourier Rt4 adalah sebagai berikut ini :
4= ~
*'
(8)
. +, . Gaya dalam Ns untuk berat sendiri shell dinding tebal tidak seragam :
=-
~
(
)
. +,.
−/
(9)
Gaya dalam =
− 0 ~
.
(10)
. # . Analisa Gaya-Gaya Plane Stress 6 Tumpuan Setempat Tebal Dinding Tidak Seragam.
(b)
(a)
Gambar 7. (a) Shell Slindris tebal dinding tidak seragam (b) Potongan a-a.
Volume 5 : Desember 2011
Group Teknik Sipil
TS1 - 5
ISBN : 978-979-127255-0-6
Aplikasi Deret Fourier dalam…
Arsitektur
Elektro
Geologi
A. Arwin Amiruddin & Abd. Madjid Akkas
Perkapalan
Sipil
Mesin
Reaksi R
tLγ/5
αr
0
x = r0
πr
y = Ps
-πtLγ/6α
Pusat tumpuan
Gambar 8. Bentuk reaksi tumpuan Rt6
Fungsi reaksi tumpuan :
Jika &
.
< ! < "
.
Jika " < ! < .
Jika
.
"
.
*'6
Terpakai
= "# !
.
.
.
.
1
' ( )
5
.
<!< .
*'6 =
Fiktif agar .
=0
Sehingga :
~
(11)
. +, . Gaya Dalam atau ~
=1
. cos. 2
−/
(12)
Gaya dalam ~
=
− 0 .
(
)
(13)
. # . Transformasi Berat Sendiri Shell Slindris Tebal Dinding Seragam ke dalam Deret Fourier Cosinus.
Andaikan berat sendiri dinding shell pada kedalaman s dari tepi atas shell = Ps.
Ps = Berat sendiri shell slindris pada kedalaman s (Gambar 9) per satuan panjang keliling shell slindris.
ta
s
ts
L
tb
Gambar 9. Penjabaran Ps pada kedalaman s
ISBN : 978-979-127255-0-6
Group Teknik Sipil
TS1 - 6
Volume 5 : Desember 2011
PROSIDING 2011©
Arsitektur
Elektro
Geologi
HASIL PENELITIAN FAKULTAS TEKNIK
Perkapalan
Sipil
Mesin
Sehingga :
= .
. 1. ...................................... (13)
Deret Fourier Ps :
= +
Dimana :
~
. cos 2
.
.
.
(14)
!"
! = . Diambil bentuk dan interval x untuk Deret Fourier seperti pada Gambar (3.10) berikut ini :
y = Ps
Ps
-πr
-πr/2
πr/2
πr
x
0 πr/4
-Ps
-Ps
Gambar 10. Bentuk dan Interval Deret Fourier untuk berat sendiri
Sehingga Deret Fourier berat sendiri :
~
4. . % . cos(. )
=
. # $
. 2
(15)
Analisa Gaya-Gaya Plane Stress 4 Tumpuan Setempat Tebal Dinding Seragam.
(a)
(b)
Gambar 11. (a) Shell Slindris tebal dinding seragam (b) Potongan a-a.
Reaksi R
+Q
0
αr
x=rθ
πr/4
πr
-R
Pusat Tumpuan
Gambar 12. Kurva reaksi tumpuan untuk 4 tumpuan setempat (Rt4)
Volume 5 : Desember 2011
Group Teknik Sipil
TS1 - 7
ISBN : 978-979-127255-0-6
Aplikasi Deret Fourier dalam…
Arsitektur
Elektro
Geologi
Mesin
A. Arwin Amiruddin & Abd. Madjid Akkas
Perkapalan
Sipil
Reaksi tumpuan setempat (Rt4 per satuan panjang keliling shell) :
Rt4 = -R jika 0 < !
0 jika & . < !
'. ( . ) <& .
Terpakai
< .
.
jika <!< .
( fungsi fiktif yang meyebabkan = 0)
Sehingga Deret Fourier Rt4 adalah sebagai berikut ini :
~
=
*'4
(16)
. cos . Gaya dalam Ns
=
~
−/
(17)
#. (18)
. cos. Gaya dalam ~
=
− 0
.
.
Analisa Gaya-Gaya Plane Stress 6 Tumpuan Setempat Tebal Dinding Seragam
(b)
(a)
Gambar 13. (a) Shell Slindris tebal dinding seragam (b) Potongan a-a.
Reaksi R
tLγ/5
0
αr
πr
y = Ps
x = r0
-πtLγ/6α
Pusat tumpuan
Gambar 14. Bentuk reaksi tumpuan Rt6
ISBN : 978-979-127255-0-6
Group Teknik Sipil
TS1 - 8
Volume 5 : Desember 2011
PROSIDING 2011©
Arsitektur
Elektro
Geologi
Mesin
HASIL PENELITIAN FAKULTAS TEKNIK
Perkapalan
Sipil
Fungsi reaksi tumpuan :
Jika
ߙ ‫ < ݔ < ݎ‬గ଺௥
.
*'6
.
గ௥
.
.
.
.
Fiktif agar Terpakai
<‫ݎ ߨ<ݔ‬
଺
గ௥
Jika ଺ < ‫ݎ ߨ < ݔ‬
Jika
= "# !
1
' ( )
5
.
.
.
.
.
*'6 .
Sehingga :
~
=
(
)
(19)
. +, . Gaya Dalam atau ~
=1
. cos. 2
−/
(20)
Gaya dalam ~
=
− 0 .
=0
(21)
. # . Flow Chart Perhitungan Berat Sendiri P(s)
Mulai
Data Input
ta,tb,s,n,γ,θ
Hitung:
P(s)
Hitung:
Faktor a(n)
Hitung:
Faktor a(n)
Ps(θ) ≥ 0
Tidak
Ya
Selesai
Gambar 15. Flowchart Perhitungan Ps
Volume 5 : Desember 2011
Group Teknik Sipil
TS1 - 9
ISBN : 978-979-127255-0-6
Aplikasi Deret Fourier dalam…
Arsitektur
Elektro
Geologi
Mesin
A. Arwin Amiruddin & Abd. Madjid Akkas
Perkapalan
Sipil
Flow Chart Perhitungan Gaya-gaya Dalam Shell Slindris
Mulai
Data Input
ta,tb,s,L,n,r,γ,θ,α
Hitung:
Faktor a(n)
Hitung:
Faktor A(n)
Hitung:
Nsn(n)
Hitung:
Faktor a(n)
Tidak
Ns(θ) ≥ 0 atau
Ns(θ) ≤ 0
Data Input
Ya
Hitung:
Faktor a(n)
Selesai
Gambar 16. Flowchart Perhitungan Gaya-Gaya Dalam
Contoh Perhitungan
Tebal Dinding Tidak Seragam
Suatu shell slindris tebal dinding tidak seragam dapat dimodelkan seperti pada Gambar 15 dan data-data
perhitungan dapat dilihat pada Tabel 1.
ISBN : 978-979-127255-0-6
Group Teknik Sipil
TS1 - 10
Volume 5 : Desember 2011
PROSIDING 2011©
Arsitektur
Elektro
Geologi
HASIL PENELITIAN FAKULTAS TEKNIK
Perkapalan
Sipil
Mesin
Gambar 17. Penjabaran Ps pada kedalaman s
Tabel 1 Data-data perhitungan shell slindris tebal dinding tidak seragam untuk 4 tumpuan dan 6 tumpuan.
Tebal
pinggir
atas
Tebal
pinggir
bawah
Jarijari
shell
(ta)
(tb)
(r)
m
0.12
m
0.24
m
3
Berat
Sudut
volume tumpuan
beton
( γ)
( 2α )
3
Derajat
Kg/m
2400
20
Tinggi
shell
Sudut
posisi
elemen
Jumlah
suku
Kedalaman
shell
Beban
luar
(L)
( θ)
(n)
(s)
(q)
m
4
Kg/m'
100
m
8
Radian
0 s/d 0.785 1 s/d 100
Untuk menghitung tegangan plane stress shell slindris tebal dinding tidak seragam dari data yang tertera pada
Tabel 1 maka digunakan
persamaan 18, persamaan 19, persamaan 21 dan persamaan 22 sebelumnya.
Tabel 2 Hasil analisis perhitungan shell slindris tebal dinding tidak seragam.
4 Tumpuan
6 Tumpuan
Kg/m2
Kg/m2
PsѲ
Kg/m’
4
Radian
Kg/m2
Kg/m2
PsѲ
Kg/m’
0
-24383
0
0
-9544
0
0
0.079
0.157
0.236
0.314
0.393
0.471
0.55
0.628
0.707
0.785
-25428
-23289
16256
18428
19489
18750
18106
18528
19050
20306
851.7
1424.144
-82.461
-2090.7
-4109
-6133.333
-8150
-10166.333
-12183.333
-14211.111
37.884
76.138
114.763
153.757
193.122
232.857
272.961
313.436
354.281
395.497
-10200
-8744
17578
18994
19767
19300
20200
20394
20700
20550
-27.66
-345.844
-2059.678
-4104.206
-6150
-8205.556
-10283.333
-12405.556
-14527.778
-16655.556
37.884
76.138
114.763
153.757
193.122
232.857
272.961
313.436
354.281
395.497
Ѳ
3$
4
3$
Dari Tabel 2 di atas dapat dilihat bahwa nilai tegangan normal (3$ ) pada shell slindris tebal dinding tidak
seragam 4 tumpuan relatif lebih besar dibandingkan dengan shell slindris tebal dinding tidak seragam 6
tumpuan, yaitu terjadi pada saat sudut posisi elemen berada pada 0 rad, 0.079 rad dan 0.157 rad. Sedangkan
nilai tegangan geser (4) harganya konstan pada saat sudut posisi elemen berada pada 0 rad, yaitu sebesar 0
Kg/m2.
Tebal Dinding Seragam
Suatu shell slindris tebal dinding seragam dapat dimodelkan seperti pada Gambar 16 dan data-data perhitungan
dapat dilihat pada Tabel 3.
Volume 5 : Desember 2011
Group Teknik Sipil
TS1 - 11
ISBN : 978-979-127255-0-6
Aplikasi Deret Fourier dalam…
Arsitektur
Elektro
Geologi
Mesin
A. Arwin Amiruddin & Abd. Madjid Akkas
Perkapalan
Sipil
Gambar 18. Penjabaran Ps pada kedalaman s
Tabel 3 Data-data perhitungan shell slindris tebal dinding seragam untuk 4 tumpuan dan 6 tumpuan.
Tebal
pinggir
atas
Tebal
pinggir
bawah
Jarijari
shell
(ta)
(tb)
(r)
m
0.12
m
0.12
m
3
Berat
Sudut
volume tumpuan
beton
( γ)
( 2α )
3
Derajat
Kg/m
2400
20
Tinggi
shell
Sudut
posisi
elemen
Jumlah
suku
Kedalaman
shell
Beban
luar
(L)
( θ)
(n)
(s)
(q)
m
4
Kg/m'
100
m
8
Radian
0 s/d 0.785 1 s/d 100
Penyelesaian Soal Shell Slindris Tebal Dinding Seragam
Untuk menghitung tegangan plane stress shell slindris tebal dinding tidak seragam dari data yang tertera pada
Tabel 3 maka digunakan persamaan 17, persamaan 18, persamaan 20 dan persamaan 21.
Tabel 4 Hasil analisis perhitungan shell slindris tebal dinding seragam.
4 Tumpuan
6 Tumpuan
Kg/m2
Kg/m2
PsѲ
Kg/m’
4
Radian
Kg/m2
Kg/m2
PsѲ
Kg/m’
0
0.079
0.157
0.236
0.314
0.393
0.471
0.55
0.628
0.707
0.785
-24658.333
-25708.333
-23566.667
15975
18150
19208.333
18466.667
17833.333
18250
18775
20008.333
0
759.075
1083.5
-685.633
-2952.03
-5221.79
-7497.97
--9775
-12050
-14316.7
-16600
0
37.699
75.398
113.097
150.796
188.469
226.195
263.894
301.593
339.292
376.991
-10358.333
-11008.333
-9550
16758.333
18175
18966.667
18500
20075
20233.333
20516.667
20375
0
-88.833
-623.675
-2568.65
-4839.817
-7106.8
-9383.333
-11700
-14083.333
-16466.667
-18858.333
0
37.699
75.398
113.097
150.796
188.469
226.195
263.894
301.593
339.292
376.991
Ѳ
3$
4
3$
Dari Tabel 4 di atas dapat dilihat bahwa kondisi tegangan plane stress shell slindris tebal seragam mirip dengan
kondisi tegangan plane stress shell slindris tebal tidak seragam dimana nilai tegangan normal (3$ ) pada shell
slindris tebal dinding seragam 4 tumpuan relatif lebih besar dibandingkan dengan shell slindris tebal dinding
seragam 6 tumpuan, yaitu terjadi pada saat sudut posisi elemen berada pada 0 rad, 0.079 rad dan 0.157 rad. Hal
ini terjadi karena beban berat sendiri shell yang ditanggung oleh shell slindris tebal dinding seragam 4 tumpuan
lebih besar untuk setiap tumpuan dibandingkan dengan shell slindris tebal dinding seragam 6 tumpuan
ISBN : 978-979-127255-0-6
Group Teknik Sipil
TS1 - 12
Volume 5 : Desember 2011
PROSIDING 2011©
Arsitektur
Elektro
Geologi
Mesin
HASIL PENELITIAN FAKULTAS TEKNIK
Perkapalan
Sipil
Sedangkan nilai tegangan geser (4) harganya konstan pada saat sudut posisi elemen berada pada 0 rad, yaitu
sebesar 0 Kg/m2.
Kondisi ini terjadi karena elemen shell pada sebelah kiri dan kanan tumpuan simetris. Sehingga tegangan geser
(4) yang bekerja di sebelah kiri dan kanan tumpuan besarnya sama namun arahnya berbeda. Oleh karena itu
nilai tegangan geser pada titik pertemuan di daerah tumpuan (posisi sudut elemen 0 rad) besarnya sama
dengan 0 Kg/m2.
Grafik tegangan normal
2
σy (Kg/m )
(rad)
σy ( 4 T Seragam )
σy ( 6 T Seragam )
σy (4 T Tidak Seragam )
σy ( 6 T Tidak Seragam )
Gambar 19. Grafik Tegangan Normal
Dari Gambar 19 terlihat bahwa grafik hubungan sudut posisi elemen (θ ) dengan tegangan normal (σy) shell
slindris untuk 4 dan 6 tumpuan setempat tebal dinding seragam dan tebal dinding tidak seragam membentuk
grafik sinus. Perbedaan keseragaman tebal dinding shell tidak begitu mempengaruhi perbedaan nilai tegangan
normal (σy). Dengan syarat tebal pinggir atas shell slindris tidak seragam besarnya 50 persen dari tebal pinggir
bawahnya, misalnya pada titik 0 rad untuk shell slindris dinding tidak seragam 4 tumpuan didapatkan nilai
tegangan normal (σy) sebesar -24383 Kg/m2 dan untuk shell slindris dinding seragam 4 tumpuan sebesar 24658.33 Kg/m2.
Untuk sudut posisi elemen antara 0.236 rad sampai dengan 0.785 rad terjadi perubahan tanda menjadi positif
(+) pada nilai tegangan normal (σy). Kondisi ini terjadi karena pada titik antara 0.236 rad sampai dengan 0.785
rad letaknya semakin menjauh dari tumpuan sehingga gaya perlawanan kepada berat sendiri shell slindris dari
tumpuan mengecil. Akibatnya elemen shell slindris pada titik tersebut mengalami tegangan tarik yang
nilainya positi (+).
Grafik tegangan geser
τ (Kg/m2)
θ (rad)
τ ( 4 T Seragam)
τ (6 T Seragam)
τ (4 T Tidak Seragam )
τ (6 T Tidak Seragam )
Gambar 20. Grafik Tegangan Geser
Dapat dilihat pada Gambar 4.6 bahwa Grafik Hubungan antara sudut posisi elemen (θ ) dengan tegangan geser
(τ ) shell slindris untuk 4 dan 6 tumpuan setempat tebal dinding seragam dan tebal dinding tidak seragam
Volume 5 : Desember 2011
Group Teknik Sipil
TS1 - 13
ISBN : 978-979-127255-0-6
Aplikasi Deret Fourier dalam…
Arsitektur
Elektro
Geologi
Mesin
A. Arwin Amiruddin & Abd. Madjid Akkas
Perkapalan
Sipil
membentuk grafik cosinus. Perbedaan jumlah tumpuan dan perbedaan keseragaman tebal dinding shell slindris
tidak mempengaruhi besarnya tegangan geser (τ ) pada saat sudut posisi elemen berada pada 0 rad. Karena nilai
tegangan geser pada titik tersebut bernilai konstan yaitu 0 Kg/m2. Hal ini disebabkan karena beban yang
ditanggung tumpuan sifatnya simetris.
SIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Setelah menurunkan persamaan gaya plane stress shell slindris dan memberikan sebuah contoh ilustrasi
perhitungan, maka didapatkan kesimpulan berikut.
1. Dari hasil analisa persamaan keseimbangan gaya plane stress shell maka didapatkan rumus gaya dalam
bentuk Deret Fourier yang merupakan salah satu metode pendekatan untuk menghitung tegangan plane
stress shell.
2. Dengan melihat hasil perhitungan pada BAB IV sebelumnya dapat ditarik kesimpulan bahwa perbedaaan
nilai tegangan normal (σy) yang terjadi pada shell slindris dinding tebal tidak seragam dengan shell slindris
dinding tebal seragam tidak begitu signifikan. Misalnya pada titik 0 rad untuk shell slindris dinding tidak
seragam 4 tumpuan didapatkan nilai tegangan normal (σy) sebesar -24383 Kg/m2 dan untuk shell slindris
dinding seragam 4 tumpuan sebesar -24658.333 Kg/m2. Dengan syarat tebal pinggir atas shell slindris
dinding tebal tidak seragam sama dengan tebal pinggir atas shell slindris dinding tebal seragam dan
besarnya tebal pinggir atas shell slindris tebal tidak seragam adalah 50 persen dari tebal pinggir bawahnya.
3. Tegangan geser (τ ) yang terjadi pada shell slindris dinding tebal tidak seragam nilainya relatif sama dengan
tegangan geser (τ ) yang terjadi pada shell slindris dinding tebal seragam pada posisi sudut elemen 0 rad.
Yaitu sebesar 0 Kg/m2 . Dengan syarat tebal pinggir atas shell slindris dinding tebal tidak seragam sama
dengan tebal pinggir atas shell slindris dinding tebal seragam dan besarnya tebal pinggir atas shell slindris
tebal tidak seragam adalah 50 persen dari tebal pinggir bawahnya.
4. Semakin banyak jumlah tumpuan setempat yang digunakan pada shell slindris, maka akan mengurangi besar
tegangan normal yang terjadi pada daerah sekitar tumpuan shell slindris. Yaitu pada posisi sudut elemen 0
rad didapatkan nilai tegangan normal sebesar -24383 Kg/m2 untuk 4 tumpuan dan -9544 Kg/m2 untuk 6
tumpuan.
DAFTAR PUSTAKA
Akkas, Abdul Madjid. 1980. Disain Konstruksi Atap Beton Shell Silindris. Ujung Pandang : Universitas
Hasanuddin.
Bock, Igor and Lovisek, Jan. 1983. An Analysis of a Contact Problem for a Cylindrical Shell : A Primary and
Dual Formulation. Applications of Mathematics.
Chen Wai-Fah. Ed. 1999. Structural Engineering Handbook. Boca Raton: CRC Press LLC
Cook. Robert D. 1976. Finite Element Modeling for Stress Analysis. University of Wisconsin. Madison
Gunawan, Hendra. 2008. Pengantar Analisi Fourier dan Teori Aproksimasi. Jurnal Deret Fourier pada Interval
Sebarang dan Aplikasi..
Hayashi, Paul H. 1957. A Study of A laterally loaded Thin Circular Cylindrical Shell. In Partial Fulfillment of
the Requirements for the Degree of Mechanical Engineer. California Institute of Technology Pasadena.
California.
Jr, William Weaver. Paul R. Johnston. 1989. Elemen Hingga untuk Analisis Struktur. PT ERESCO.
Ladislav Fischer, Tochn. 1968. Theory and Practice of Shell Structures. Published By Wilhelm Ebnst & Sohn.
Berlin Munich.
Ramaswamy, G. S. 1974. Design and Construction of Concrete Shell Roofs. Tata Mc Graw-Hill Publishing
Company LTD. New Delhi.
S, Sumardi H. 2007. Kalkulus Lanjut Deret Fourier Sinus/Cosinus Jamgkauan. Pusat Pengembangan Bahan
Ajar-UMB.
Timoshenko, S. P. dan Woinowsky-Krieger, S. 1959. Theory of Plates and Shells. Mc. Graw-Hill Kogokusha
LTD. Tokyo.
Timoshenko, S. P. Goodier, J. N. 1986. Teori Elastisitas. Edisi Ketiga. Erlangga.
Zhang, Sheng. 2001. A Linear Shell Theory Based on Variational Principles. The Pennsylvania State
University The Graduate School Department Of Mathematics.
ISBN : 978-979-127255-0-6
Group Teknik Sipil
TS1 - 14
Volume 5 : Desember 2011