bilangan pecahan - JEJAK 1000 PENA

BILANGAN PECAHAN
a. Pengertian Bilangan Pecahan
a
, dengan a bilangan
b
bulat dan b bilangan asli, bilamana a tidak habis dibagi b. Dalam kasus ini a dinamakan
a
pembilang (numerator) dan b dinamakan penyebut (denominator). adalah bilangan yang jika
b
a
dikalikan dengan b akan menghasilkan a, ditulis  b  a .
b
Contoh:
1. Tentukan penyebut dan pembilangan dari setiap pecahan berikut ini.
7
x
a.
b.
, x y
9
x y
Bilangan pecahan adalah bilangan rasional yang dinyatakan dalam bentuk
Solusi:
7
, pembilangnya 7 dan penyebutnya 9.
9
x
Pecahan
, x  y ; pembilangnya x dan penyebutnya x – y.
x y
a. Pecahan
b.
2. Sebuah ruas garis panjangnya 150 cm. Berapakah panjang dari sepertiga, seperenam, dan tiga
perempat dari panjang ruas garis itu?
Solusi:
1
 Panjang dari sepertiga dari panjang ruas garis itu =  150 cm = 50 cm.
3
1
 Panjang dari seperenam dari panjang ruas garis itu =  150 cm = 25 cm.
6
3
 Panjang dari tida perempat dari panjang ruas garis itu =  150 cm = 112,5 cm.
4
3. Tentukan bagian dari sebelas huruf pertama, huruf vokal, dan huruf konsonan pada abjad
latin.
Solusi:
Abjad latin adalah a, b, c, …, z yang banyaknya ada 26 buah.
Huruf vokal adalah a, i, u, e, dan o yang banyaknya ada 5 buah, sehingga huruf konsonan
(huruf mati) ada 26 – 5 = 21 buah.
Huruf vocal adalah a, i, u, e, dan o yang banyaknya ada 5 buah.
11
 Bagian dari sebelas huruf pertama pada abjad latin =
.
26
5
 Bagian dari huruf vokal pada abjad latin =
.
26
21
 Bagian dari huruf konsonan pada abjad latin =
.
26
b. Jenis-jenis Bilangan Pecahan
Jenis-jenis bilangan pecahan adalah pecahan murni, pecahan tidak murni, pecahan campuran,
pecahan senilai, pecahan decimal, pecahan persen, dan pecahan permil.
1. Pecahan Murni, Pecahan Tidak Murni, dan Pecahan Campuran
1 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
a
, dengan b  0 adalah suatu pecahan.
b
1 2
a
1) Jika a < b, maka pecahan dinamakan pecahan murni (pecahan sejati). Misalnya , ,
5 3
b
17
, dan sebagainya.
37
a
2) Jika a > b, maka pecahan
dinamakan pecahan tidak murni (pecahan tidak sejati).
b
9 3 23
Misalnya , ,
, dan sebagainya.
5 2 11
d
a
3) Jika pecahan tidak murni diuraikan menjadi bentuk pecahan c , dengan c bilangan
b
b
d
d
bulat dan
pecahan murni, maka pecahan c dinamakan pecahan campuran.
b
b
1 23
1
9
4 13
6 ,
 2 , dan sebagainya.
Misalanya  1 ,
2 11
11
5
5 2
2. Pecahan Senilai
1 2 3
Pecahan senilai adalah pecahan yang mempunyai nilai sama. Misalnya
, ,
, dan
2 4 6
1 2 3 5
5
adalah pecahan-pecahan senilai, karena    .
2 4 6 10
10
Pecahan-pecahan senilai dapat diperoleh dengan cara mengalikan atau membagi pembilang
dan penyebut masing-masing dengan bilangan yang sama, asalkan bilangan itu bukan nol.
a
Untuk sebarang pecahan , dengan b  0 berlaku hubungan:
b
a ac
a a:c

atau 
, dengan c  0
b bc
b b:c
Contoh:
Carilah dua buah pecahan senilai sebarang dari
Misalnya
2
dengan mengalikan pembilang dan penyebut masing-masing dengan bilangan yang
7
sama.
72
b.
dengan membagi pembilang dan penyebut masing-masing dengan bilangan yang
108
sama.
Solusi:
2 2 2 4
72
72 : 3 24
72
72 : 36 2
2 2  5 10







a.
dan 
b.
dan
7 7  2 14
108 108 : 3 36
108 108 : 36 3
7 7  5 35
3. Menyederhanakan Pecahan
Cara menyederhanakan pecahan, yaitu mengubah suatu pecahan menjadi pecahan lain yang
senilai, yang pembilang dan penyebutnya tidak lagi mempunyai faktor persekutuan selain 1.
a
Pecahan
, dengan b  0 dapat disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan
b
penyebut pecahan itu masing-masing dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari a
dan b yang sama.
Contoh:
a.
2 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
1. Sederhanakanlah pecahan
75
216
dan
.
300
288
Solusi:
75 75 : 15 5


 (15 adalah KPK dari 75 dan 90)
90 90 : 15 6
216 216 : 72 3


 (72 adalah KPK dari 216 dan 288)
288 288 : 72 4
2. Berapa bagian dari satu jamkah waktu-waktu berikut? Nayatakan hasilnya dalam bentuk
yang sederhana.
a. 15 menit
b. 48 menit
c. 1.400 detik
Solusi:
15 menit 15 1
a. Bagian waktu 15 menit dari satu jam =


1 jam
60 4
b. Bagian waktu 48 menit dari satu jam =
48 menit 48 4


1 jam
60 5
c. Bagian waktu 1.400 detik dari satu jam =
1.400 detik 1.400 7


1 jam
3.600 18
4. Desimal
Desimal adalah suatu pecahan yang penyebutnya merupakan perpangkatan dari bilangan 10.
Pada penulisan bentuk desimal, bagian bilangan pecahan campuran yang bulat dan yang tidak
bulat (pecah) dipisahkan dengan tanda koma; bagian yang bulat diletakkan di depan koma
dan bagian yang pecah diletakkan di belakang koma. Jika bilangannya pecahan murni, maka
bilangan yang diletakkan di depan koma adalah nol.
Misalnya b,pqrs adalah bilangan desimal. Lambang bilangan desimal ini mempunyai arti
sebagai berikut.
p
10
b,
b
p
r
1000
q
r
q
100
s
= b
p
q
pqrs
r
s



b
10 100 1000 10000
10000
s
10000
Contoh:
6
6 3
 
10 10 5
2
5
20
5
25
1
25
1

7

7
 7 atau 7,25  7
7
2. 7,25  7 
10 100
100 100
100
4
100
4
5. Persen
Kata persen berasal dari kata per cent artinya perseratus. Jadi, pecahan persen adalah suatu
pecahan yang penyebutnya seratus atau pecahan per seratus. Persen dilambangkan oleh %.
x
x% 
(dibaca: x persen)
100
Contoh:
15
3
120 6
1

 1
1. 15% 
2. 120% 
100 20
100 5
5
1.
0,6  0 
3 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
II. Permil
Kata permil artinya per seribu. Jadi, pecahan permil adalah suatu pecahan yang penyebutnya
seribu atau pecahan per seribu. Permil dilambangkan oleh o/ oo .
x
(dibaca: x permil)
1000
Contoh:
15
3
250 1
1. 15 o/ oo 
2. 250% 


1000 200
1000 4
b. Mengubah Jenis Pecahan ke Jenis yang Lain
1. Mengubah Pecahan Tidak Murni Menjadi Pecahan Campuran dan Sebaliknya
1) Mengubah Pecahan Tidak Murni Menjadi Pecahan Campuran
Ada dua strategi mengubah pecahan tidak murni menjadi pecahan campuran.
1. Melakukan pembagian antara pembilang dan penyebut pecahan akan diperoleh hasil
dan sisa.
a
d
 c sisa d  c
b
b
2. Menguraikan pecahan itu menjadi dua bagian, sehingga bagian pertama akan
menghasilkan bilangan bulat dan bagian yang lain akan menghasilkan bilangan
pecahan murni.
a x d
  (dengan x kelipatan b dan d = a – x)
b b b
Contoh:
29
Ubahlah pecahan
menjadi pecahan campuran.
6
Solusi:
29
5
 4 sisa 5  4
Strategi 1:
6
6
29 24 5
5
5

 4 4
Strategi 2:
6
6 6
6
6
2) Mengubah Pecahan Campuran Menjadi Pecahan Tidak Murni
Pecahan campuran dapat diubah menjadi pecahan tidak murni.
d bc  d
c 
b
b
Contoh:
7
1. Ubahlah pecahan 2 menjadi pecahan tidak murni.
8
Solusi:
7 2  8  7 23
2 

8
8
8
2. Gigih mendapat uang saku Rp 8.000,00 per bulan.Berapakah uang sakunya jika
1
mendapat tambahan bagian?
5
Solusi:
1
Uang
saku
Gigih
jika
mendapat
tambahan
bagian
menjadi
5
x o/ oo 
 1
 1    Rp 8.000,00
 5
4 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
1
 1  Rp 8.000,00
5
6
  Rp 8.000,00
5
= Rp 9.600,00
2. Mengubah Pecahan ke Desimal dan Sebaliknya
1) Mengubah Pecahan ke Desimal
 Untuk pecahan yang penyebutnya 10 atau perpangkatan dari 10, pengubahan ke
bentuk desimal dapat dilakukan secara langsung. Pada pecahan decimal itu,
banyaknya angka di belakang koma sama dengan banyaknya nol pada penyebut
pecahan semula.
Contoh:
Ubahlah pecahan-pecahan berikut ini ke bentuk desimal.
1
17
827
a. 3
b. 5
c. 29
.
10
100
1000
Solusi:
1
17
827
 5,17
 29,827
a. 3  3,1
b. 5
c. 29
10
100
1000
 Untuk pecahan yang penyebutnya bukan 10 atau perpangkatan dari 10, penyebut
pecahan itu diubah terlebih dahulu menjadi 10 atau perpangkatan dari 10. Tetapi jika
penyebutnya tidak dapat diubah, dilakukan pembagian biasa.
Contoh:
Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke desimal.
1
7
16
19
a.
b.
c.
d.
2
8
25
6
Solusi:
1 1 5 5
16 16  4 64

 0,5


 0,64
a. 
b.
2 2  5 10
25 25  4 100
c.
0,875
d.
3,166…
8 7,000
6 19,000
0
18
70
10
7
19
64
6
 0,785
Jadi,
 3,166...
Jadi,
60
8
40
6
56
36
40
40
40
36
0
4
2) Mengubah Desimal ke Pecahan
Desimal dapat diubah ke pecahan.
pqrs
b, pqrs  b
10000
Contoh:
Ubahlah desimal berikut ini.
a. 9,75
b. 0,00125.
Solusi:
75
3
125
1
9

a. 9,75  9
b. 0,00125 
100
4
100000 800
3. Mengubah Pecahan ke Persen dan Sebaliknya
5 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
1) Mengubah Pecahan ke Persen
Ada dua strategi untuk mengubah pecahan ke persen, yaitu:
1. Mengubah penyebutnya menjadi 100.
x
 x%
100
Contoh:
Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam persen.
3
5
a.
b. 1
4
8
Solusi:
5 13  12,5 162,5
3 3  25 75

 162,5%
a.
b. 1 


 75%
8 8  12,5
100
4 4  25 100
2. Mengalikan pecahan itu dengan 100%.
a a
a
a
Pecahan , dengan b  0 dalam persen adalah  100% . Jadi,   100% .
b b
b
b
Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam persen.
2
3
a.
b. 2
5
4
Solusi:
2 2
3 11
  100%  40%
a.
b. 2   100%  275%
5 5
4 4
2) Mengubah Persen ke Pecahan
x
x
Bentuk x% dalam pecahan dinyatakan sebagai
. Jadi, x% 
.
100
100
Contoh:
1. Ubahlah persen berikut ini ke dalam pecahan.
1
a. 80%
b. 33 %
3
Solusi:
1 100
33
1
100 1
1
80 4



a. 80% 
b. 33 %  3  3 
3
100 100
3 100 3
100 5
2. Carilah nilai 25% dari 800 liter.
Solusi:
25
 800 liter = 200 liter.
100
3. Uang saku Yuda naik 20% setiap semester. Jika uang sakunya pada semester
pertama Rp 5.000,00, berapakah uang sakunya pada semester kedua?
Solusi:
Uang saku Yuda pada semester kedua = 1  20%  Rp 5.000,00
Nilai 25% dari 800 liter = 25% × 800 liter =
20 

 1 
  Rp 5.000,00
 100 
120

 Rp 5.000,00
100
= Rp 6.000,00
4. Mengubah Pecahan ke Permil dan Sebaliknya
6 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
1) Mengubah Pecahan ke Permil
Ada dua strategi untuk mengubah pecahan ke permil, yaitu:
1. Mengubah penyebutnya menjadi 1000.
x
 x o/oo
1000
Contoh:
Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam permil.
3
9
a.
b.
5
125
Solusi:
3 3  200 600
9
98
72
a.
b.


 600 o/ oo


 72 o/ oo
5 5  200 1000
125 125  8 1000
2. Mengalikan pecahan yang bersangkutan dengan 1000 o/ oo .
a
a
, dengan b  0 dalam persen adalah  1000 o/ oo .
b
b
a a
Jadi,   1000 o/ oo .
b b
Contoh:
Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam permil.
7
16
a.
b. 1
8
25
Pecahan
Solusi:
7 7
  1000 o/ oo  875 o/ oo
a.
8 8
2) Mengubah Permil ke Pecahan
b. 1
16 41

 1000 o/ oo  1640 o/ oo
25 25
Bentuk permil x o/ oo dalam pecahan dinyatakan sebagai
x
x
. Jadi, x o/ oo 
.
1000
1000
Contoh:
1. Ubahlah setiap permil berikut ini dalam pecahan.
1
a. 375 o/ oo
b. 333 o/ oo
3
Solusi:
1 1000
333
1
375
3
3  3  1000  1

a. 375 o/ oo 
b. 333 o/ oo 
3
1000 1000 3  1000 3
1000 8
2. Jumlah penduduk di suatu daerah adalah 188.000 jiwa. Dari jumlah itu 640 o/ oo adalah
dewasa dan 120 o/ oo adalah balita. Berapa jumlah penduduk dewasa dan balita di
daerah itu?
Solusi:
Jumlah penduduk dewasa  640 o/ oo  188.000 jiwa
640
 188.000 jiwa
1000
= 120.320 jiwa
Jumlah penduduk dewasa  120 o/ oo  188.000 jiwa

7 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
120
 188.000 jiwa
1000
= 22.560 jiwa

b. Mengurutkan Bilangan Rasional
Misalnya a, b, c, dan k adalah bilangan-bilangan positif, maka berlaku:
a ka
1.
(pecahan senilai)

b kb
a c
2.
 , jika a > c.
b b
a c
3.  , jika a < c.
b b
Aturan 1:
Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan bertambah naik dengan nilai konstan, maka pecahan
yang terakhir adalah yang terbesar.
Contoh:
2 3
4
1. Diberikan pecahan-pecahan , , dan . Pecahan yangmana yang terbesar?
3 4
5
Solusi:
Strategi 1:
2 40 3 45
4 48
, 
, dan 

3 60 4 60
5 60
2 3 8
40 45 48


atau  
3 4 5
60 60 60
4
Jadi, pecahan yang terbesar itu adalah .
5
Strategi 2:
Kita lihat bahwa pembilang dan penyebut pecahan-pecahan itu bertambah 1, dengan
4
demikian pecahan yang terakhir, yaitu adalah pecahan yang terbesar.
5
3 5
7
2. Diberikan pecahan-pecahan , , dan . Pecahan yangmana yang terbesar?
5 7
9
Solusi:
Kita lihat bahwa pembilang dan penyebut pecahan-pecahan itu bertambah 2, dengan
7
demikian pecahan yang terakhir, yaitu adalah pecahan yang terbesar.
9
1 4
7
3. Diberikan pecahan-pecahan , , dan . Pecahan yangmana yang terbesar?
6 7
8
Solusi:
Kita lihat bahwa pembilang bertambah 3 dan penyebut bertambah dengan 1, dengan
7
demikian pecahan yang terakhir, yaitu adalah pecahan yang terbesar.
8
Berdasarkan uraian di atas dapat digeralisasikan bahwa:
a a  x a  2 x a  3x
a  nx
Dalam kelompok pecahan ,
,
,
,...,
b b  y b  2 y b  3y
b  ny
Pecahan
a  nx
adalah pecahan yang terbesar, dengan x = y atau x > y.
b  ny
Contoh:
8 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
1. Diberikan pecahan-pecahan
1 2 3
4
, ,
, dan
. Pecahan yangmana yang terbesar?
5 9 14
18
Solusi:
Kita lihat bahwa pembilang bertambah 1 dan penyebut bertambah dengan 4, dengan
4
demikian pecahan yang terakhir, yaitu
adalah pecahan yang terbesar.
18
2 4
6
2. Diberikan pecahan-pecahan ,
, dan
. Pecahan yangmana yang terbesar?
9 17
25
Solusi:
Kita lihat bahwa pembilang bertambah 2 dan penyebut bertambah dengan 8, dengan
6
demikian pecahan yang terakhir, yaitu
adalah pecahan yang terkecil.
25
Catatan:
Dari dua contoh di atas dapat disimpulkan bahwa jika a < b, maka aturan di atas tidak dapat
diaplikasikan. Maka dari itu digunakan metode sebagai berikut.
 Aturan di atas dapat digunakan jika:
Pertambahanpembilang
 Pecahanper tama
Pertambahanpenyebut


Tetapi jika
Pertambahanpembilang
 Pecahanper tama
Pertambahanpenyebut
Maka pecahan yang terakhir dalah pecahan yang terkecil.
Pertambahanpembilang
Jika
 Pecahanper tama
Pertambahanpenyebut
Maka semua nilai sama.
Aturan 2:
Pecahan yang pembilangnya setelah dikali silang memberikan nilai terbesar adalah pecahan
terbesar.
Contoh:
3
2
1. Manakah yang terbesar atau ?
8
7
Solusi:
Langkah 1: Kalikan silang dua pecahan yang diberikan.
3
2
8
7
Kita memperoleh 3 × 7 = 21 dan 2 × 8 = 16
Langkah 2: Karena 21 > 16 dan nilai terbesar mempuyai pembilang 3 yang terikat
3
dengannya, maka
adalah pecahan terbesar.
8
11
19
2. Manakah yang terbesar
atau
?
12
22
Solusi:
Langkah 1: 11 × 22 > 12 × 19
Langkah 2: Karena nilai terbesar mempunyai pembilang 11 yang terikat dengannya, maka
11
adalah pecahan terbesar.
12
9 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
3. Manakah yang terbesar
15
22
atau
?
19
25
Solusi:
Langkah 1: 15 × 25 < 22 × 19
22
Langkah 2:
adalah pecahan terbesar.
25
c. Menggambar Bilangan Rasional pada Garis Bilangan
Bilangan pecahan dapat digambarkan pada garis bilangan dengan diwakili oleh titik yang terletak
a
di antara dua bilangan bulat. Untuk setiap pecahan positif
mempunyai pasangan bilangan
b
3
4
a
3
4
negatif  . Misalnya lawannya  , 2 lawannya  2 , dan sebagainya.
7
5
b
7
5
Jika a dan b adalah bilangan-bilangan rasional, maka
a
hubungan antara a dan b dapat dilihat dari letak titik
b
yang mewakili a dan b pada garis bilangan.
a<b
1. a < b, jika titik a ada di sebelah kiri titik b.
b
a
2. a > b, jika titik a ada di sebelah kanan titik b.
a
>
b
3. a = b, jika titik a berimpit dengan titik b.
Contoh:
a=b
1 3
5
1. Urutkan pecahan-pecahan , , dan , kemudian gambarlah pada garis bilangan.
2 4
6
Solusi:
Strategi 1:
1 5
3
KPK dari penyebut-penyebutnya 2, 4, dan 6 adalah 12. Pecahan-pecahan , , dan
2 6
4
6 10
9
senilai dengan pecahan-pecahan
,
, dan
.
12 12
12
1 3 5
6
9 10
 
atau  
2 4 6
12 12 12
1 5
3
Pecahan-pecahan , , dan digambarkan pada garis bilangan sebegai berikut.
2 6
4
3 5 1
0
1
Strategi 2:
4 6
2
5
3
1
 0,5 ;  0,83 , dan  0,75
6
4
2
1 3 5
Jelaslah   .
2 4 6
3
3
1
4. Urutkan pecahan-pecahan  ,  , dan  , kemudian gambarlah pada garis bilangan.
8
5
3
Solusi:
Strategi 1:
3
3
1
KPK dari penyebut-penyebutnya 8, 5, dan 3 dalah 120. Pecahan-pecahan  ,  , dan 
8
5
3
45
72
10
senilai dengan pecahan-pecahan 
, 
, dan 
.
120
120
120
10 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
10
45
72
1
3
3
atau     


120
120
120
3
8
5
3
3
1
Pecahan-pecahan  ,  , dan  digambarkan pada garis bilangan sebegai berikut.
8
5
3

3 1
3
1
0
 

Strategi 2:
8 3
5
1
3
3
  0,375 ;   0,6 , dan   0,33
3
8
5
1
3
3
Jelaslah bahwa      .
3
8
5
2
5
8
4
5. Susunlah barisan setiap bilangan
,  ,  , dan
dengan urutan naik, kemudian
3
8
9
5
sisipkan notasi ketidaksamaan < pada tempatnya.
Solusi:
Strategi 1:
KPK dari penyebut-penyebutnya 3, 5, 8, dan 9 adalah 360.
2
5
8
240
4
288
Pecahan-pecahan ,  ,  , dan
senilai dengan pecahan-pecahan
, 
,
3
8
9
360
5
360
320
225
, dan
.

360
360
225 240
320
288
Susunan dalam urutan naik empat bilangan itu 
, 
,
, dan
yang sama
360 360
360
360
5 2
8
4
artinya dengan urutan naik empat bilangan semula  ,  , , dan .
8 3
9
5
Dengan menyisipkan notasi ketidaksamaan < pada keempat bilangan itu, diperoleh
5 2 8
4
pernyataan  <  < < .
8 3 9
5
Strategi 2:
2
8
4
5
 0,67 ,   0,8 ,   0,625 , dan  0,89
3
9
5
8
5 2 8
4
Jelaslah bahwa  <  < < .
8 3 9
5
d. Menentukan Pecahan yang Nilainya di antara Dua Pecahan
Strategi yang digunakan untuk menentukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan adalah
sebagai berikut.
1. Jika kedua pecahan mempunyai penyebut yang sama, maka pecahan yang terletak di antara
keduanya mempunyai pembilang yang terletak di antara kedua pembilang pecahan itu,
dengan penyebutnya sama dengan penyebut kedua pecahan itu. Jika belum ditemukan
bilangan cacah yang terletak di antara pembilang kedua pecahan itu, maka kedua pecahan itu
diubah menjadi pecahan yang masing-masing senilai dengan pecahan semula, sampai
ditemukannya bilangan yang diminta.
Contoh:
Tentukan sebuah pecahan yang terletak di antara dua pecahan berikut ini.
2
4
6
7
a. dan
b.
dan
5
5
8
8
Solusi:
11 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
a. Sebuah pecahan yang terletak di antara
2
4
3
dan
adalah .
5
5
5
b. Karena belum ditemukan sebuah pecahan yang terletak di antara kedua pecahan
6
dan
8
7
, maka kalikan pembilang dan penyebutnya masing-masing dengan 2, sehingga
8
diperoleh
6 2 7 2
....
8 2 8 2
12 14
....
16 16
12
14
13
dan
Perhatikan di antara kedua pecahan
ada sebuah pecahan, yaitu
.
16
16
16
6
7
13
Jadi, sebuah pecahan yang terletak di antara dan
adalah
.
8
8
16
2. Jika kedua pecahan penyebutnya belum sama, maka kedua pecahan itu diubah dahulu
menjadi pecahan-pecahan yang senilai dengan pecahannya semula, yang keduanya
mempunyai penyebut yang sama. Untuk menentukan pecahan yang terletak di antara kedua
pecahan itu, digunakan cara yang serupa seperti pada butir 1.
Contoh:
3
5
a. Carilah dua buah pecahan yang dapat disisipkan di antara dan .
4
6
5
b. Carilah lima buah pecahan yang dapat disisipkan di antara
dan 1.
7
Solusi:
3 5
.... (diketahui)
a.
4 6
9 10
3 3 5 2
....
....

(belum ditemukan pecahan yang diminta)
12 12
43 6 2
9  2 10  2
18 20
....
....

(ditemukan sebuah pecahan yang terletak antara kedua
12  2 12  2
24 24
19
pecahan itu, yaitu
)
24
9  3 10  3
27 30
....
....

(ditemukan dua buah pecahan yang terletak antara kedua
12  3 12  3
36 36
28
29
dan
pecahan itu , yaitu
)
36
36
3
5
Jadi, dua buah pecahan yang dapat disisipkan terletak di antara
dan
adalah
4
6
28
29
dan
.
36
36
5
.... 1 (diketahui)
b.
7
5 1 1 7
5 7
....
 .... (belum ditemukan pecahan yang diminta)
7 1 1 7
7 7
12 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
5 2 7 2
10 14

....
.... (ditemukan tiga buah pecahan antara kedua pecahan itu, yaitu
72 72
14 14
11 12
13
,
, dan
.
14 14
14
15 21
53 73

.... (ditemukan lima buah pecahan antara kedua pecahan itu, yaitu
....
21 21
73 73
16 17 18 19
20
,
,
, ,dan
.
21 21 21 21
21
5
16 17
Jadi, lima buah pecahan yang dapat disisipkan terletak di antara dan 1 adalah
,
,
7
21 21
18 19
20
, ,dan
.
21 21
21
e. Operasi Hitung pada Pecahan
Operasi hitung pada bilangan pecahan meliputi operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian antarpecahan dan bilangan bulat. Berkaitan dengan hal itu, kita harus memahami cara
menyatakan bilangan bulat dalam bentuk pecahan.
ka
Bilangan bulat a dapat dinyatakan sebagai pecahan
, dengan k  0 dan k adalah bilangan real.
k
3 6 9
Contoh: 3 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan sebagai    ...
1 2 3
1. Operasi Penjumlahan pada Pecahan
1) Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Sama
Hasil penjumlahan dua pecahan atau lebih yang mempunyai penyebut sama diperoleh
dengan menjumlahkan semua pembilang pecahan yang bersangkutan, sedangkan
penyebutnya tetap.
a c ac
 
, b0
b b
b
Contoh:
Hitunglah
1 5
5 11 2


a. 
b.
8 8
12 12 12
Solusi:
5 11 2 5  11  2 18
6
1
1 5 1 5 6 3




1 1
 
a.  
b.
12 12 12
12
12 12
2
8 8
8
8 4
2) Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Tidak Sama
Untuk menjumlahkan pecahan-pecahan yang penyebutnya tidak sama, maka terlebih
dahulu penyebut-penyebutnya disamakan dengan menggunakan KPK dari penyebutpenyebutnya. Setelah penyebut-penyebutnya sama jumlahkanlah pembilnganpembilangnya.
a c ad bc
 
, b  0 dan d  0
b d
bd
Contoh:
1. Hitunglah
5 1 2
1 5
a. 
b.  
8 6 3
9 12
Solusi:
13 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
1 5
4 15 4  15 19
(36 adalah KPK dari peyebutnya) atau





9 12 36 36
36
36
1 5 1  12  5  9 12  45 57 19





9 12
9  12
108
108 36
5 1 2 15 4 16 15  4  16 35
11
  




 1 (24 adalah KPK dari
b.
8 6 3 24 24 24
24
24
24
penyebutnya) atau
5 1 2 5  6  3  1  8  3  2  8  6 90  24  96 210 35
11
  



1
8 6 3
8 63
144
144 24
24
2. Mathman mempunyai seutas tali. Dia memberikan sebagian talinya kepada kawannya
2
1
Boy dan Legimin. Boy mendapat
nya dan Legimin mendapat
nya. Berapa
5
4
bagian talinya yang diberikan kepada kedua kawannya itu?
Solusi:
2 1 2  4  1 5
 
Talinya yang diberikan kepada kedua kawannya itu
5 4
5 4
8  5 13


.
20
20
3) Penjumlahan Pecahan dengan Bilangan Bulat
c
c
 a a
d
d
c
c
 a  b  ( a  b) 
d
d
Contoh:
Hitunglah
5
2
a. 6 
b. 2  5
8
3
Solusi:
a. Strategi 1:
5 6  8 5 48  5 53
5
5 6  8  5 53
5
6 
 

 6 atau 6  

6
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
Strategi 2:
5
5
6 6
8
8
b. Strategi 1:
2 2  3 17 6  17 23
2
25 



7
atau
3
3
3
3
3
3
2
17 2  3  17 6  17 23
2
25 2



7
3
3
3
3
3
3
2
2
2
Strategi 2: 2  5  (2  5)   7
3
3
3
4) Penjumlahan Pecahan Campuran
p
pc
c
 a  b  ( a  b) 
d
d
d
a.
p c
p
pd  qc
c
 b  ( a  b)      (a  b) 
q
d
qd
q d
Contoh:

a
14 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Hitunglah
3
1
a. 1  2
8
8
b.
7
2
5
3
3
4
1
c. 3  10
5
4
2 35
d. 9  1 
7 8
Solusi:
3
1 11 17 28 7
1
a. Strategi 1: 1  2  

 3
8
8 8
8
8 2
2
3
1
3 1
4
1
Strategi 2: 1  2  (1  2) 
3 3
8
8
8
8
2
7
2 7 17 7  17 24
b. Strategi 1:  5  


8
3
3 3 3
3
3
7
2
1
2
1 2
 7 1 8
Strategi 2:  5  2  5  (2  5) 
3
3
3
3
3
c. Strategi 1:
4
1 19 41 19  4 41  5 76  205 281
1
3  10 





 14
5
4 5
4
5 4
5 4
20
20
20
Strategi 2:
21
1
1
4
1
4 1
 4  4  5 1
 13  1  14
3  10  (3  10)      13  
  13 
20
20
20
5
4
5 4
5 4


d. Strategi 1:
2 35
9 35 9  7  8 9  8 35  7 504  72  245 821
37
9 1 
9 





 14
7 8
7 8
78
78 78
56
56
56
Strategi 2:
2 35
2
3
28  73
 2 3
9 1 
 9  1  4  (9  1  4)      14 
7 8
7
8
78
 7 8
37
37
 14 
 14
56
56
2. Sifat-sifat Penjumlahan antar Pecahan
Dalam operasi penjumlahan pecahan berlaku sifat-sifat sebagai berikut.
1. Sifat komutatif:
a c c a
  
b b b b
a c e a c e
2. Sifat asosiatif:        
b d  f b d f
Contoh:
2 6 6
2
a. Periksalah apakah 3    3 ? Berilah komentarmu!
5 7 7
5
5 2 1 5  2 1
b. Periksalah apakah     =     ? Berilah komentarmu!
6 3 4 6  3 4
Solusi:
2 6 17 6 119  30 149
9
 

4
a. 3  
5 7 5 7
35
35
35
6
2 6 17 30  119 149
9
3  


4
7
5 7 5
35
35
35
2 6 6
2
Jelaslah bahwa 3    3 .
5 7 7
5
Jadi, dalam operasi penjumlahan pecahan berlaku sifat komutatif.
3
 5 2  1 15  12 1 27 1 27  2  1  9 63 7
b.     
 
 

 1
18
4 18 4
36
36 4
4
6 3 4
15 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika



5  2 1  5 8  3 5 11 10  11 21 7
3
   
 


 1
6 3 4 6
12
6 12
12
12 4
4
5 2 1 5  2 1
Jelaslah bahwa     =     .
6 3 4 6  3 4
Jadi, dalam operasi penjumlahan pecahan berlaku sifat asosiatif.
3. Operasi Pengurangan pada Pecahan
1) Pengurangan Pecahan dengan Penyebut Sama
Hasil pengurangan pecahan yang mempunyai penyebut sama diperoleh dengan
mengurangkan pembilang pecahan yang bersangkutan, sedangkan penyebutnya tetap.
a c a c ac
, b0
  

b b b
b
b
Contoh:
Hitunglah
8 5
5
7

a.
b.

9 9
12 12
Solusi:
8 5 85 3 1
5
7 57
2
1
 
 


 
a.
b.
9 9
9
9 3
12 12
12
12
6
2) Pengurangan Pecahan dengan Penyebut Tidak Sama
Untuk mengurangkan pecahan-pecahan yang penyebutnya tidak sama, terlebih dahulu
penyebut-penyebutnya disamakan dengan menggunakan KPK dari penyebutpenyebutnya, setelah penyebut-penyebutnya sama kurangkan pembilang pecahan itu.
a c a  c a  d  b  ( c ) a  d  b  c
  


, b  0 dan d  0
b d b
d
bd
bd
Contoh:
1. Hitunglah
5 2
7 14

a.
b. 
6 3
8 15
Solusi:
5 2 5 4 1
5 2 5  3  2  6 15  12 3 1
    atau  

 
a.
6 3 6 6 6
6 3
63
18
18 6
7 14 7  15  14  8 105  112  7
7



b.  
8 15
8  15
120
120
120
3
1
2. Di dalam sebuah kotak, dari isinya adalah klereng berwarna kuning, dan nya
8
4
kelereng berwarna hijau, dan sisanya kelereng berwarna putih. Berapa bagian jumlah
kelereng berwarna hijau dalam kotak itu.
Solusi:
3 1 832
3
 bagian.
Jumlah kelereng berwarna hijau dalam kotak = 1   
8 4
8
8
1
2
5
3. Di dalam sebuah kotak terdapat
bola kuning dan adalah bola hijau. Jika
dari
6
3
12
bola yang terdapat di dalam kotak adalah bola kuning, hijau, dan putih, berapa bagian
yang merupakan bola putih?
Solusi:
2 5 1 852
1
 

Jumlah bola berwarna putih dalam kotak  
bagian.
3 12 6
12
12
16 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
4. Mathman mempunyai seutas tali. Dia memberikan sebagian talinya kepada kawannya
5
3
Boy dan Legimin. Boy mendapat nya dan Legimin mendapat nya. Siapakah
8
5
yang mendapat tali terpanjang? Hitunglah kelebihan panjang tali itu?
Solusi:
5 3 5  5  3  8 25  24 1
 


8 5
85
40
40
Jadi, Boy mendapat bagian tali lebih panjang dari pada Legimin, dengan kelebihan
1
panjang talinya adalah
bagian.
40
3) Pengurangan Pecahan dengan Bilangan Bulat
c ad c
c
c ( a  b)  d  c
 a 
,d0
 a  b  ( a  b)  
,d0
d
d
d
d
d
c
cd a
c
c (b  a)  d  c
 a
,d0
 b  a  (b  a)  
,d0
d
d
d
d
d
Contoh:
Hitunglah
35
3
11
3
4
a. 2 
b.
c. 12  8
d.
4
6
7
15
4
Solusi:
3 2  7 3 14  3 11
4
3 2  7  3 14  3 11
4
 
  1 atau 2  

 1
a. 2  
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
11
11 4  15 11  60  49
4
4 


 3
b.
atau
15
15
15
15
15
15
11
11  4  15 11  60  49
4
4


 3
15
15
15
15
15
3
35 12  4  35 48  35 13
1


  3 atau
c. 12  8  12 
4
4
4
4
4
4
3
3
3 4  4  3 16  3 13
1
12  8  (12  8)   4  

 3
4
4
4
4
4
4
4
35
35  4  6 35  24 11
5
4

  1 atau
d.
6
6
6
6
6
35
5
5
5
35
5
5
5
 4  5  4  (5  4)   1 atau
 4  5  4  (5  4)   1
6
6
6
6
6
6
6
6
4) Pengurangan Pecahan Campuran
p
pc
c
 a  b  ( a  b) 
,d0
d
d
d

a
p c
p
pd  qc
c
 b  (a  b)      (a  b) 
, d  0 dan q  0
q
d
qd
q d
Contoh:
Hitunglah
3
4
a. 7  2
5
5
Solusi:
1
5
b. 3  5
4
6
3
4 38 14 24
4


4
a. Strategi 1: 7  2 
5
5 5
5
5
5
17 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
3
4
1
4
3 4
Strategi 2: 7  2  (7  2)      5 
4
5
5
5
5
5 5
1
5 13 35 13  3  35  2  31
7
b. Strategi 1: 3  5  


 2
4
6 4
6
12
12
12
1
5
1 3  5  2
7
7
1 5
Strategi 2: 3  5  (3  5)      2 
 2 
 2
4
6
12
12
12
4 6
Dalam operasi pengurangan pada pecahan tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.
Contoh:
1. Hitunglah
3 1 1
3
a. Periksalah apakah 2    2 ? Berilah komentarmu!
4 6 6
4
5 3 5
 5 3 5
b. Periksalah apakah  2   
 2     ? Berilah komentarmu!
8 4 6
 8 4 6
Solusi:
3 1 11 1 33  4 29
5

1
a. 2    
4 6 8 6
24
24
24
1
3 1 11 4  33  29
5
2   

 1
6
4 6 8
24
24
24
3 1 1
3
Jelaslah bahawa 2    2 .
4 6 6
4
Jadi, dalam operasi pengurangan pada pecahan tidak berlaku sifat komutatif.
b.
1
 5 3  5  21 3  5  21  6  5 45  20 25

1
2          
 
24
24
24
 8 4 6  8 4 6  8  6
5  3 5  21  9  10  21   1  21 1 63  2 65
17
2   

 



2

8  4 6  8  12  8  12  8 12
24
24
24
5 3 5
 5 3 5
Jelaslah bahwa  2     2     .
8 4 6
 8 4 6
Jadi, dalam operasi pengurangan pada pecahan tidak berlaku sifat asosiatif.
2. Seorang ayah menghibahkan sebidang tanah kepada 3 orang anaknya. Anak sulung
2
1
menerima
bagian, anak kedua menerima bagian, dan anak ketiga menerima sisanya.
5
3
Jika anak ketiga menerima 8 hektar, tentukan berapa hektar tanah yang diterima anak
sulung dan anak kedua?
Solusi:
6  5 15  11 4
 2 1

 bagian = 8 hektar
Anak ketiga menerima  1      1 
15
15
15
 5 3
Luas tanah yang dibuahkan Ayah 
15
 8  30 hektar
4
2
 30  12 hektar
5
1
Anak sulung menerima   30  10 hektar
3
3. Hitunglah
2 5
1
11
8 5
7 15
 

a. 2   3  1
b.
3 6
8 12
9 12 16 8
Solusi:
Anak sulung menerima 
18 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
a.
2
2 5
1
11
 2 5 1 11 
 2  8  5  4  1  3  11  2 
  3  1  (2  3  1)        4  

3 6
8 12
24
 3 6 8 12 


23
25 96  25 71
 16  20  3  22 


2
4
 4
24
24
24
24
24


8 5
7 15 8  16  5  12  7  9  15  18 128  60  63  270
139
b.


 


9 12 16 8
144
144
144
4. Carilah angka yang hilang yang ditandai dengan tanda * (tanda bintang) dalam
1
1
persamaan 10
 *  2 ** .
6*
16
6*
Solusi:
Penyebut pada pecahan campuran pertama dan penyebut pada pecahan campuran
ketiga adalah enampuluhan, yang harus merupakan perkalian dari 17 (yaitu: 16 × 4 =
64). Maka dari itu persamaan menjadi:
1
1
10
 *  2 **
64
16
64
1
 1
(10  *)      2  * *
64
 64 16 
1
1
1
 , maka
Karena
akan meminjam 1 dari 10, sehingga
64 16
64
 65 1 
(9  *)      2  * *
64
 64 16 
61
 2  **
64
64
61
(9  7) 
 2  **
64
64
61
2
 2  **
64
64
61
2
 2  **
64
64
(9  *) 
Dengan demikian, persamaan itu menjadi 10
1
1
61
7 2 .
64
16
64
5. Operasi Perkalian pada Pecahan
1) Perkalian Pecahan Murni
Hasil kali pecahan diperoleh dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan
penyebut dengan penyebut.
a c ac
 
b d bd
Contoh:
Hitunglah
3 7
5 18
a. 
b. 
5 17
8 25
Solusi:
3 7
3  7 21

a.  
5 17 5  17 85
19 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
5 18 5  18 90
9




8 25 8  25 200 20
5 18 1 9 1  9
9
Strategi 2: 
(5 dan 25; 18 dan 8 disederhanakan)
  

8 25 4 5 4  5 20
2) Perkalian Pecahan Campuran
Jika perkalian pecahan campuran, maka pecahan campuran diubah dahulu ke pecahan
biasa.
a
c a p  d  c a   p  d  c
p  

b
d b
d
bd
Contoh:
Hitunglah
5
3
1 7
a. 2 
b. 3  1
9
4
6 8
Solusi:
1 7 13 7 13  7 91
43

1
a. 2    
6 8 6 8 6  8 48
48
5
3 32 7 32  7 224
8
2
 

6
6
b. Strategi 1: 3  1 
9
4 9 4 9 4
36
36
9
5
3 32 7 8 7 8  7 56
2
   

6
Strategi 2: 3  1 
9
4 9 4 9 1 9 1 9
9
3) Perkalian Pecahan dengan Bilangan Bulat
Hasil kali suatu pecahan dengan suatu bilangan bulat adalah suatu pecahan pula yang
penyebutnya sama dengan pecahan semula dan pembilangnya adalah hasil kali
pembilang pecahan semula dengan bilangan bulat itu.
c
b  d  c a  (b  d  c)
b ab

 a 
 ab  a
d
d
d
c
c
Contoh:
1. Hitunglah
5
2
3
a. 15 
b. 24 
c. 7  3
18
5
7
Solusi:
3 15  3 45
3

6
a. 15  
7
7
7
7
5 24  5 120
12
2

6 6
b. Strategi 1: 24  
18
18
18
18
3
5
5 4  5 20
2

6
Strategi 2: 24   4  
18
3
3
3
3
2
17 7  17 119
4

 23
c. 7  3  7  
5
5
5
5
5
2. Jumlah siswa SD SUKASARI adalah 780 orang. Jumlah siswa laki-lakinya adalah
7
nya. Berapakah jumlah siswa laki-laki dan perempuan masing-masing?
13
Solusi:
7
 780  420 orang.
Jumlah siswa laki-laki =
13
Jumlah siswa perempuan = 780 – 420 = 360 orang
4) Invers Perkalian dari Suatu Bilangan
b. Strategi 1:
20 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Invers (kebalikan) perkalian dari pecahan
a b
a
b
adalah . Karena   1 .
b a
b
a
Contoh:
5
1. Carilah invers perkalian dari 3 .
8
Solusi:
5 29
3 
8 8
5
8
Jadi, invers perkalian 3 adalah
.
8
29
2. Suatu drum dua pertiganya terisi minyak dan ternyata volume minyak itu adalah 40
liter. Berapakah volume minyak dalam drum, jika drum terisi penuh?
Solusi:
2
dari keseluruhan volume minyak = 40 liter
3
2 3
3
 dari keseluruhan volume minyak = 40 liter 
3 2
2
Keseluruhan volume minyak = 60 liter
Jadi, volume minyak dalam drum, jika drum terisi penuh adalah 60 liter.
3
3. Luas rumah dan halaman Pak Mathman adalah 250 m2. dari halamannya ditanami
4
2
tanaman.
dari halaman yang ditanami tanaman itu adalah rumput. Jika luas yang
3
ditanami rumput adalah 48 m2, berapa luas halaman dan rumahnya masing-masing?
Solusi:
2
bagian dari halaman yang ditanami tanaman itu = 48 m2
3
3
Halaman yang ditanami tanaman =  48  72 m2
2
3
Halaman yang ditanami tanaman = dari halaman rumah
4
4
Halaman rumah =  72  96 m2
3
Jadi, luas halaman rumah = 96 m2 dan luas rumah = 250 – 96 = 154 m2.
1
4. Seorang siswa menghabiskan
dari uang sakunya untuk jajan makanan dan
3
7
minuman.
dari sisa uangnya ditabung. Untuk membayar ongkos angkuran umum
12
sebesar Rp 4.000,00. Sisa uangnya sekarang adalah Rp 1.000,00. Berapakah uang
sakunya?
Solusi:
1
Untuk jajan makanan dan minuman = dari uang saku
3
1 2
Sisa ke-1 = 1 – =
3 3
2
7
7
Ditabung =
× =
12 3 18
21 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
2
7
5
–
=
dari uang saku = 4.000 + 1.000
3 18 18
18
Uang saku =
 5.000  18.000
5
Jadi, uang sakunya adalah Rp 18.000,00.
5. Tessa membeli tas dan sepatu. Harga tas adalah seperempat dari harga sepatu.
Sepertiga dari uang sisanya dibelanjakan sebuah novel. Sisa uang Laras di
dompetnya sekarang adalah Rp 40.000,00. Jika uang Laras yang ada di dompet
semula adalah Rp 280.000,00. Berapakah harga sepatu dan tas masing-masing?
Solusi:
1
Sisa ke-2 = 40.000 = × sisa ke-1
3
Sisa ke-1 = 3 × 40.000 = 120.000
1
Harga tas = × harga sepatu …. (1)
3
Harga sepatu + harga tas = 280.000 – 120.000 = 160.000 …. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:
1
Harga sepatu + × harga sepatu = 160.000
3
4
× Harga sepatu =160.000
3
3
Harga sepatu   160.000  120.000
4
1
Harga tas   120.000  40.000
3
Jadi, harga sepatu adalah Rp 120.000,00 dan harga tas adalah Rp 40.000,00.
6. Tangguh, Tekun, dan Kukuh adalah tiga anak yang bersahabat, mereka akan memulai
bermain kelereng. Karena Tekun dan Kukuh tidak mempunyai kelereng, maka
1
2
Tangguh memberikan bagiannya kepada Tekun dan bagianya kepada Kukuh.
5
9
Sisa kelereng Tangguh sekarang adalah 52 butir. Hitunglah jumlah dan selisih
kelereng yang diterima Tekun dan Kukuh masing-masing.
Solusi:
Sisa kelereng Tangguh = 52
Sisa ke-2 =
 1 2
1    × Jumlah seluruh kelereng = 52
 5 9
45  9  10
 Jumlah seluruh kelereng = 52
45
26
 Jumlah seluruh kelereng = 52
45
45
 52  90 butir
Jumlah seluruh kelereng =
26
Jumlah
kelereng
yang
diterima
Tekun
19
9  10
 90  38 butir.
 90 
45
45
Kita boleh mengerjakannya sebagai berikut.

22 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
dan
Kukuh
=
1 2
    90
5 9
Jumlah kelereng yang diterima Tekun dan Kukuh = 90 – 52 = 38 butir.
10  9
 2 1
Jumlah kelereng yang diterima Tekun dan Kukuh =     90 = 
 90
45
 9 5
1

 90  2 butir.
45
7. Jumlah uang Gagah dan Gigih adalah Rp 32.000,00. Setelah Gigih memberikan
1
uangnya kepada Gagah, maka jumlah uang mereka masing-masing menjadi sama
5
besarnya. Berapakah uang yang dimiliki mereka masing-masing semula?
Solusi:
Uang Gagah + Uang Gigih = 32.000 …. (1)
4
1
Uang Gigih = Uang Gagah + Uang Gigih
5
5
3
Uang Gigih = Uang Gagah …. (2)
5
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
3
Uang Gigih + Uang Gigih = 32.000
5
3
1 Uang Gigih = 32.000
5
8
Uang Gigih = 32.000
5
5
Uang Gigih =  32.000  20.000
8
3
3
Uang Gagah = Uang Gigih =  20.000  12.000
5
5
Kita dapat mengerjakannya sebagai berikut.
Uang Gagah = 32.000 – 20.000 = 12.000
Jadi, uang Gagah semula adalah Rp 12.000,00 dan uang Gigih semula adalah Rp
20.000,00.
8. Pada hari Minngu, Afifah dan Annisa pergi berbelanja toko MAKMUR. dengan
jumlah uang yang dibawanya sebesar Rp 500.000,00. Setelah selesai berbelanja, uang
1
Afifah masih tersisa dari uangnya semula, sedangkan sisa uang Annisa adalah Rp
3
100.000,00. Tentukan uang yang dimiliki mereka masing-masing semula?
Solusi:
Uang Afifah + Uang Annisa = 500.000
Uang Annisa = 500.000 – Uang Afifah …. (1)
2
 1
Uang yang dibelanjakan Afifah = 1   × Uang Afifah = Uang Afifah
3
 3
Uang yang dibelanjakan Annisa = Uang Annisa – 100.000
Uang yang dibenjakan Afifah = Uang yang dibelanjakan Annisa
2
Uang Afifah = Uang Annisa – 100.000 …. (2)
3
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2
Uang Afifah = 500.000 – Uang Afifah – 100.000
3
23 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
2
Uang Afifah +Uang Afifah = 400.000
3
2
1 Uang Afifah = 400.000
3
5
Uang Afifah = 400.000
3
3
Uang Afifah =  400.000  240.000
5
Uang Annisa = 500.000 – 240.000 = 260.000
Jadi, uang Afifah semula adalah Rp 240.000,00 dan uang Annisa semula adalah Rp
260.000,00.
5) Sifat-sifat Perkalian Pecahan
Dalam perkalian pecahan berlaku sifat-sifat sebagai berikut.
a c c a
1. Sifat komutatif:   
b d d b
a c e a c e
2. Sifat asosiatif:        
b d  f b d f



3. a. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan:
a c e a c a e
      
b  d f  b d b f
b. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan:
a c e a c a e
      
b  d f  b d b f
Contoh:
1 3 3
1
a. Periksalah apakah 2    2 ? Berilah komentarmu!
4 5 5
4
3
5 7 3 5 7
b. Periksalah apakah     1     1  ? Berilah komentarmu!
4
6 8 4 6 8
c. Periksalah apakah
3 2
2 3 2 3
2
   6      6 ? Berilah komentarmu!
7 5
3 7 5 7
3
2 3 5 
2 3
2 5
d. Periksalah apakah 1      1   1  ? Berilah komentarmu!
9  8 12 
9 8
9 12
Solusi:
1 3 9 3 27
7
3
1 3 9 27
7
1
1
a. 2    
dan  2   
4 5 4 5 20
20
5
4 5 4 20
20
1 3 3
1
Jelaslah bahwa 2    2 .
4 5 5
4
Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sifat komutatif.
53
 5 7  3 35 7 245
b.     1 
dan
 
1
192
 6 8  4 48 4 192
5 7
3  5  7 7  5 49 245
53
  1        

1
6 8
4  6  8 4  6 32 192 192
3
5 7 3 5 7
Jelaslah bahwa     1     1  .
4
6 8 4 6 8
Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sufat asosiatif.
24 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
c.
3 2
2  3  2 20  3 6  100 3 106 318
3
1
  6       
 

3
3
7 5
3 7 5 3  7
15
7 15 105
105
35
3 2 3
2 6 3 20 6 20 6  100 106
1
  6 
 




3
7 5 7
3 35 7 3 35 7
35
35
35
3 2
2 3 2 3
2
Jelaslah bahwa    6      6 .
7 5
3 7 5 7
3
Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
2  3 5  11  9  10  11   1 
11
d. 1       
     
9  8 12  9  24  9  24 
216
2 3
2 5 11 3 11 5 11 55 99  110
11
1  1      



9 8
9 12 9 8 9 12 24 108
216
216
2 3 5 
2 3
2 5
Jelaslah bahwa 1      1   1  .
9  8 12 
9 8
9 12
Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.
6. Operasi Pembagian pada Pecahan
1) Pembagian yang Hanya Melibatkan Pecahan Murni
1 a
a
1
Pada perkalian bilangan bulat dengan pecahan a   , maka a : b   a  .
b b
b
b
a
c
Untuk setiap pecahan
dan
, dengan b  0 , c  0 dan d  0 berlaku
b
d
a c a d ad
:   
b d b c bc
Contoh:
Hitunglah
6 5
2 7
a. :
b. :
7 9
3 8
Solusi:
6 5 6 9 54
19
2 7 2 8 16
1
a. :   
b. :   
7 9 7 5 35
35
3 8 3 7 21
2) Pembagian Pecahan yang Melibatkan Pecahan Campuran
Jika dalam pembagian pecahan terdapat pecahan campuran, maka pecahan campuran itu
dinyatakan terlebih dahulu sebagai pecahan biasa.
a
c a pd c a
d
ad
:p  :
 

b
d b
d
b p  d  c b  ( p  d  c)
Contoh:
Hitunglah
2 1
2 4
a. : 4
b. 2 :
9 5
7 5
Solusi:
2 1 2 21 2 5
10
2 4 16 4 16 5 20
6
2
a. : 4  :   
b. 2 :  :   
9 5 9 5 9 21 189
7 5 7 5 7 4 7
7
3) Pembagian Pecahan dan Bilangan Bulat
a
a 1
a
b
ac b 1 ac b
:c   
 
1.
3. a : d 
b
b c bc
c
c
d
cd
a
b cb
b
ac b
c
d c
d

2. c :  c  
4. d : a  d :
b
a
a
c
c
ac b ac b
25 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika