Penggunaan Turunan dalam Ekonomi

Modul 8
Penggunaan Turunan dalam Ekonomi
Drs. Wahyu Widayat, M.Ec
PE NDAH ULUA N
D
alam ilmu ekonomi konsep turunan pertama dari suatu fungsi dapat
digunakan untuk mendapatkan ongkos marjinal, pendapatan marjinal,
elastisitas, hasrat menabung marjinal (marginal propensity to save), hasrat
mengkonsumsi marjinal (marginal propensity to consume) dan lain-lain.
Modul ini menjelaskan penerapan turunan pertama pada konsep marjinal.
Konsep marjinal adalah perubahan sesaat dari suatu variabel yang berubah
besarnya karena ada perubahan kecil pada variabel lain. Selain konsep
marjinal, ilmu ekonomi banyak pula memakai konsep rata-rata. Konsep ini
membicarakan variasi perubahan-perubahan suatu variabel karena ada
perubahan variabel lain yang berubah dalam suatu interval waktu tertentu.
Dengan mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu:
a. menunjukkan konsep perilaku konsumen dengan menggunakan konsep
turunan pertama;
b. menunjukkan konsep perilaku produsen dengan menggunakan konsep
turunan pertama;
c. menghitung elastisitas permintaan dengan menggunakan konsep turunan
pertama;
d. menghitung biaya produksi dengan menggunakan konsep turunan
pertama;
e. menghitung penerimaan produsen dengan menggunakan konsep turunan
pertama.
8.2
Matematika Ekonomi 1
Kegiatan Belajar 1
Perilaku Konsumen dan Perilaku Produsen
A. PERILAKU KONSUMEN
Perilaku konsumen di dalam memutuskan berapa jumlah barang yang
akan dibeli biasanya mengikuti hukum permintaan yang mengatakan bahwa
bila harga sesuatu barang naik, maka ceteris paribus (faktor- faktor lain
dianggap tetap) jumlah barang yang diminta konsumen turun. Demikian pula
sebaliknya bila harga turun maka ceteris paribus jumlah barang yang diminta
akan naik.
Salah satu pendekatan yang menjelaskan mengapa konsumen berperilaku
seperti itu adalah pendekatan kepuasan marjinal (marjinal utility). Kepuasan
marjinal adalah tambahan kepuasan yang diperoleh konsumen karena ada
tambahan konsumsi satu unit barang. Jadi kepuasan marjinal tidak lain
adalah turunan pertama dari kepuasan total.
MU =
dTU
dQ
di mana MU adalah kepuasan marjinal, TU menunjukkan kepuasan total dan
Q adalah jumlah barang yang dikonsumsi.
Pendekatan kepuasan marjinal bertitik tolak pada suatu anggapan yang
menyatakan bahwa kepuasan konsumen dapat diukur dengan uang dan
konsumen berusaha untuk mencapai kepuasan total yang maksimum. Jika P
menunjukkan harga barang, maka konsumen akan memperoleh kepuasan
total yang maksimum apabila dipenuhi syarat:
P = MU
Contoh 8.1:
Berapakah jumlah barang yang akan diminta oleh konsumen apabila
harga barang per unit Rp20,00 dan kepuasan total konsumen ditunjukkan
oleh fungsi:
ESPA4112/MODUL 8
8.3
TU = 120 Q - 0,25 Q2 – 100
Kepuasan total yang maksimum akan diperoleh konsumen bila syarat P
= MU dipenuhi. Padahal P = 20 maka:
20 = 120 - 0,50 Q
0,50 Q = 100
Q = 200
Jadi konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum
apabila ia membeli barang sebanyak 200 unit pada harga Rp20,00 per unit.
Contoh 8.2:
Seorang konsumen membeli sejenis barang sebanyak 20 unit dan ia telah
memperoleh kepuasan total yang maksimum. Berapakah harga pembelian
barang tersebut per unitnya jika fungsi kepuasan total konsumen ditunjukkan
oleh fungsi:
TU = 15 Q - 0,25 Q2
Kepuasan marjinal:
dTU
dQ
MU = 15 - 0,50 Q
MU =
Kepuasan total yang maksimum diperoleh bila
P = MU = 15 - 0,50 Q
Jumlah barang yang dikonsumsi adalah 20 unit.
P = 15 - 0,50 (20)
=5
Jadi pada tingkat harga Rp5,00 konsumen akan memperoleh kepuasan
maksimum dengan mengkonsumsi barang sebanyak 20 unit.
8.4
Matematika Ekonomi 1
Jika fungsi kepuasan marjinal diperhatikan dengan cermat maka
sebenarnya fungsi kepuasan marjinal tidak lain adalah fungsi permintaan
yang tunduk pada hukum permintaan.
Contoh 8.3:
Berapakah kepuasan total yang diperoleh konsumen apabila ia membeli
barang tertentu dengan harga Rp4,00 per unit dan fungsi kepuasan total
konsumen adalah:
TU = 10Q – 0,2 Q2
Kepuasan marjinal:
d TU
dQ
MU = 10 – 0,4 Q
MU =
Kepuasan total yang maksimum diperoleh bila P = MU
P = 10 – 0,4 Q
Pada tingkat harga Rp4,00 per unit jumlah beli adalah:
4 = 10 – 0,4 Q
0,4Q = 6
Q = 15
Kepuasan total yang diperoleh konsumen dengan membeli 15 unit
barang adalah:
TU = 10(15) – 0,2(15)2
= 150 – 45
= 105
Jadi kepuasan total yang diperoleh konsumen diukur dalam uang adalah
Rp105,00.
ESPA4112/MODUL 8
8.5
Jika Anda memperhatikan fungsi kepuasan marjinal dengan cermat,
maka Anda melihat bahwa sebenarnya fungsi kepuasan total tidak lain adalah
fungsi permintaan yang tunduk pada hukum permintaan. Untuk lebih jelasnya
cobalah Anda menggambarkan grafik fungsi kepuasan marjinal dari ketiga
kasus tersebut di atas, jika P = MU, maka bukanlah fungsi kepuasan marjinal
itu adalah juga fungsi permintaan?
B. PERILAKU PRODUSEN
Salah satu keputusan yang harus diambil oleh seorang produsen adalah
menentukan berapa output yang harus diproduksi. Setiap proses produksi,
seorang produsen dianggap mempunyai landasan teknis untuk berproduksi
yang disebut fungsi produksi. Fungsi produksi adalah suatu fungsi atau
persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat output yang dihasilkan dan penggunaan input-input. Tambahan output yang dihasilkan karena
ada penambahan pemakaian satu unit input disebut dengan produksi marjinal
(Marjinal Physical Product) dan diberi simbol MP.
Bila Q menunjukkan tingkat output yang dihasilkan dan x menunjukkan
tingkat penggunaan input, maka produksi marjinal dapat dirumuskan:
dQ
dx
Selain konsep produksi marjinal, dalam membicarakan perilaku
konsumen ini dipakai pula konsep produksi rata-rata (Average Product) yang
kemudian kita beri simbol AP. Produksi rata-rata adalah output rata-rata per
unit dan dirumuskan:
MP =
AP =
Q
x
di mana Q menunjukkan tingkat output yang dihasilkan dan x menunjukkan
tingkat penggunaan input.
Tujuan produsen dalam memproduksi barang dianggap untuk
mendapatkan keuntungan yang maksimum. Oleh sebab itu produsen harus
bisa memutuskan berapa banyak input yang harus digunakan agar output
yang dihasilkan dapat memberikan keuntungan yang maksimum. Syarat yang
8.6
Matematika Ekonomi 1
harus dipenuhi oleh produsen agar memperoleh keuntungan yang maksimum
adalah:
MP =
Harga input (P x )
Harga output (P q )
Di samping itu, tingkat penggunaan input harus pada daerah di mana
produksi marjinal menurun.
Contoh 8.4:
Perusahaan "SOPONGIRO" memproduksi suatu jenis barang dengan
input variabel x. Output yang dihasilkan pada berbagai tingkat penggunaan
1
input ditunjukkan oleh fungsi produksi: Q = 75 + 5x2 - x3. Jika harga input
3
x yang digunakan adalah Rp2100,00 per unit dan harga output per unit
Rp100,00 berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar
keuntungan yang diperoleh maksimum? Berapakah produksi rata-rata?
Jawaban:
Px = 2100; Pq = 100.
Fungsi produksi: Q = 75 + 5x2 -
1 3
x maka MP = Q1 = 10 x - x2
3
Syarat keuntungan maksimum:
MP =
1)
Harga input (P x )
Harga output (P q )
10x − x 2 =
2100
100
10 x - x2
x2 - 10 x + 21
x2 - 7x - 3x + 21
x(x - 7)- 3x - 7)
(x - 7)(x - 3) = 0
x1
x2
= 21 atau
=0
=0
=0
=7
=3
ESPA4112/MODUL 8
8.7
2) Pada tingkat penggunaan input tersebut produksi marjinalnya menurun.
Ini berarti fungsi produksi marjinal pada tingkat penggunaan input itu
mempunyai curam (curam negatif). Persamaan curam merupakan
turunan pertama dari fungsi
m=
dMP
= 10 - 2x
dx
Pada tingkat penggunaan input x = 7
m = 10 - 2(7) = -4 (curam negatif berarti MP menurun)
Pada tingkat penggunaan input x = 3
m = 10 - 2(3) = 4 (curam positif berarti MP menaik).
Jadi input yang digunakan agar keuntungan produsen maksimum adalah
7 unit. Jumlah output yang dihasilkan adalah:
1
Q = 75 + 5 x2 - x3
3
1
= 75 + 5 (7)2 - (7)3
3
1
= 75 + 245 - 114
3
2
= 205
3
Bila barang yang diproduksi satuannya harus merupakan bilangan yang
utuh, maka output yang dihasilkan dibulatkan menjadi 205 unit.
Q
Produksi rata-rata: AP =
x
205 29
Q = 205; x = 7 maka AP =
=
7
7
Artinya, pada tingkat penggunaan input x = 7 unit, setiap unit input
digunakan untuk menghasilkan rata- rata 29 unit output.
8.8
Matematika Ekonomi 1
L A TIH A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Bila kepuasan total dari seseorang dapat dinyatakan dalam rupiah dan
kepuasan yang diperoleh dengan mengkonsumsi sejenis barang
ditunjukkan oleh persamaan TU = 20Q − 0, 2Q 2 . Berapakah jumlah
barang yang akan dibeli pada tingkat harga Rp8,00 per unit? Pada
tingkat pembelian itu, berapakah kepuasan total yang diperoleh
konsumen?
2) Fungsi produksi suatu perusahaan yang menggunakan suatu bahan baku
1
variabel adalah Q = − x 3 + 10x 2 − 35x . Jika harga input x sama dengan
3
harga outputnya, berapa jumlah output yang harus diproduksi agar
keuntungan produsen maksimum?
3) Jika fungsi produksi rata-rata suatu perusahaan ditunjukkan oleh
persamaan: AP = 16x − x 2 − 2 , berapakah produksi marjinalnya pada
tingkat penggunaan input x = 5?
Petunjuk Jawaban Latihan
1) TU = 20Q – 0,2Q2
MU = 20 – 0,4Q
20 – 0,4Q = 8
– 0,4Q = -12
Q = 30
Jumlah yang dibeli pada harga Rp 8,00 adalah 30 unit.
TU = 20Q – 0,2Q2
= 20(30) – 0,2(30) 2
= 600 – 180
= 420
8.9
ESPA4112/MODUL 8
Kepuasan total yang diperoleh konsumen Rp 420,00
2)
1
Q = − x 3 + 10x 2 − 35x
3
dQ
MP =
= − x 2 + 20x − 35
dx
Agar keuntungannya maksimum, maka MP =
Padahal px = pQ atau
Atau
px
pQ
px
= 1, Jadi x 2 + 20x − 35 =1
pQ
x 2 − 20x − 36 = 0
x 2 −18x − 2x + 36 = 0
(x −18)(x − 2) = 0
x1 = 18
x2 = 2
Persamaan curam kurva produksi marjinalnya:
dmp
m=
dx
m = − 2x + 20
Untuk x1 = 18 , maka m = -16 (kurva menurun)
Untuk x 2 = 2 , maka m = 14 (kurva menaik)
Padahal keuntungan maksimum terjadi bila kurva mp menurun. Jadi
jumlah input yang digunakan adalah x = 18.
Jumlah output yang diproduksi:
1
Q = − (18)3 + 10(18) 2 − 35(18)
3
1
= − (5832) + 10(324) − 630
3
= −1944 + 3240 − 630
= 636 unit
8.10
Matematika Ekonomi 1
3) AP = 16x .x 2 − 2
TP = Ap . x
= 16x2 – x3 – 2x
MP =
dTP
dx
= 32x – 3x2 – 2
Untuk x = 5, maka MP = 32(5) – 3(5)2 – 2 = 83
RA NGK UMA N
Pendekatan kepuasan marjinal bertitik tolak pada suatu anggapan
yang menyatakan bahwa kepuasan konsumen dapat diukur dengan uang
dan konsumen berusaha untuk mencapai kepuasan total yang
maksimum. Konsumen akan memperoleh kepuasan total yang
maksimum apabila dipenuhi syarat P = MU
Bila Q menunjukkan tingkat output yang dihasilkan dan x
menunjukkan tingkat penggunaan input, maka produksi marjinal dapat
dirumuskan:
MP =
dQ
dx
Produksi rata-rata (Average Product) adalah output rata-rata per unit
dan dirumuskan:
AP =
Q
x
Tujuan produsen dalam memproduksi barang dianggap untuk
mendapatkan keuntungan yang maksimum. Syarat yang harus dipenuhi
oleh produsen agar memperoleh keuntungan yang maksimum adalah:
MP =
Harga input (P x )
Harga output (P q )
ESPA4112/MODUL 8
8.11
TES FORMATIF 1
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Seorang konsumen menyatakan bahwa kepuasan total mereka dalam
mengkonsumsikan suatu jenis barang dapat diukur dengan uang dan
kepuasan itu ditunjukkan oleh persamaan
TU = 100Q – 3Q.
Berapakah tingkat harga (P) jika barang yang dibeli oleh konsumen
adalah 120 unit. Berapakah kepuasan total (TU) yang diperoleh
konsumen?
A. P = 10
TU = 64.000
B. P = 15
TU = 72.000
C. P = 20
TU = 70.000
D. P = 20
TU = 72.000
2) Jika fungsi produksi rata-rata ditunjukkan oleh persamaan
1
AP = 12x − x 2 − 20
3
Berapakah produksi total (TP) pada tingkat penggunaan input x = 6 dan
berapa pula produksi marjinalnya (MP)?
A. TP = 240
MP = 88
B. TP = 250
MP = 78
C. TP = 240
MP = 78
D. TP = 220
MP = 88
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
8.12
Matematika Ekonomi 1
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
× 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.
8.13
ESPA4112/MODUL 8
Kegiatan Belajar 2
Elastisitas
K
onsep fungsi permintaan yang tunduk pada hukum permintaan adalah
jumlah barang yang diminta oleh konsumen berubah dengan arah
berlawanan dengan perubahan harga serta asumsi yang digunakan adalah
selera konsumen, penghasilan dan harga barang-barang lain tetap.
Tingkat intensitas perubahan jumlah barang yang diminta konsumen
akibat adanya perubahan harga, berbeda-beda, tergantung dari bentuk fungsi
permintaannya dan tingkat harga yang sedang berlaku. Konsep perubahan
jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga ini adalah konsep
elastisitas harga atau sering juga disebut dengan elastisitas permintaan.
Elastisitas merupakan ukuran kepekaan jumlah permintaan terhadap
perubahan faktor yang mempengaruhinya (dalam hal ini faktor yang
mempengaruhinya adalah harga). Elastisitas harga dapat didefinisikan
sebagai persentase perubahan jumlah yang diminta karena adanya perubahan
harga barang tersebut sebanyak satu persen, atau
εh =
% Perubahan jumlah yang diminta
% perubahan harga barang tersebut
ε h adalah simbol yang digunakan untuk elastisitas harga. Indeks h
dipakai karena sebenarnya konsep elastisitas tidak hanya digunakan untuk
permintaan saja akan tetapi dapat digunakan untuk keperluan yang lain,
misalnya elastisitas silang, elastisitas pendapatan, elastisitas impor, elastisitas
produksi dan lain sebagainya. Dalam kegiatan belajar ini, kita hanya
membicarakan satu konsep elastisitas saja yakni elastisitas permintaan,
pendapatan atau elastisitas harga, karena untuk konsep elastisitas yang lain
cara pengukurannya serupa.
Perhatikan gambar berikut ini:
8.14
Matematika Ekonomi 1
P
D
P1
P0
B
A
D
0
Q1 Q 0
Q
Gambar di atas menunjukkan sebuah kurva permintaan dengan sumbu Q
yang menunjukkan jumlah yang diminta dan sumbu P yang menunjukkan
harga yang diminta. DD adalah garis permintaan konsumen yang
menunjukkan jumlah barang yang diminta pada berbagai tingkat harga.
Misalkan sebelum ada perubahan harga barang per unit adalah P0. Pada
tingkat harga tersebut konsumen bersedia untuk membeli barang sebanyak
Q0. Kemudian terjadi kenaikan harga, di mana harga menjadi P1. Karena
harga naik, maka pada tingkat harga yang baru, konsumen hanya bersedia
membeli sebanyak Q1.
Seandainya perubahan harga P1 - P0 ini disebut dengan ∆P, maka ∆P
= P1 - P0 dan persentase perubahan harga adalah :
P1 - P 0 .100% atau ∆P .100%
P0
P0
Demikian pula untuk jumlah yang diminta, perubahan jumlah yang
diminta, yakni Q1 - Q0 disebut dengan ∆Q, maka ∆Q = Q1 - Q0 dan
persentase perubahan jumlah barang yang diminta adalah :
Q1 - Q 0
∆Q
.100%
.100% atau
Q0
Q0
Dengan memasukkan
permintaannya menjadi:
nilai
tersebut
di
atas,
maka
elastisitas
ESPA4112/MODUL 8
8.15
∆Q
.100%
Q
εp = ε h = 0
∆P
.100%
P0
atau
εp = ε h =
∆Q P 0
.
∆P Q 0
Elastisitas tersebut di atas bertitik tolak dari titik A yang menganggap
bahwa harga dan jumlah mula- mula adalah P0 dan Q0. Kalau dianggap harga
dan jumlah mula-mula adalah P1 dan Q1 tentu nilai elastisitasnya akan
berbeda. Untuk mengatasi keadaan tersebut, maka sekarang kita ambil titik B
yang lebih dekat dengan titik A. Sehingga ∆P mendekati limitnya. Bila
∆Q
demikian, maka kita bisa mengambil limit dari
untuk ∆P yang
∆P
mendekati nol atau:
∆Q dQ
=
lim
∆P → 0 ∆P
dP
Bila hasilnya dimasukkan ke dalam perhitungan elastisitas di atas, maka:
dQ P
εp=
dP Q
Hasil perhitungan ini merupakan elastisitas di suatu titik, yaitu titik A
pada tingkat harga P0 dan jumlah yang diminta Q0.
Contoh 8.5:
Bila fungsi permintaan seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan
P = 50 - 2Q, berapakah elastisitas permintaannya pada harga (P) = 20 ?
dQ P
Rumus yang digunakan adalah ε h =
dP Q
dQ
dan kemudian
Langkah pertama adalah mencari berapa nilai
dP
menentukan jumlah yang diminta (Q) pada tingkat harga P = 20.
8.16
Matematika Ekonomi 1
dQ
1
=
dP
dP
dQ
dP d(50 - 2Q)
=-2
=
dQ
dQ
dQ
1
=dP
2
Bila P = 20, maka jumlah barang yang diminta adalah:
20 = 50 - 2Q
-30 = - 2Q atau Q = 15
1 20
2
Jadi ε h = - . = - .
2 15
3
Dalam menghitung elastisitas kita tidak akan memperhatikan tanda,
apakah nilainya bertanda negatif atau positif, karena yang digunakan adalah
2
2
nilai absolutnya, sehingga ε h = - = . Tanda negatif yang didapat dari
3
3
hitungan menunjukkan arah perubahan harga dan jumlah yang diminta.
Arah perubahan harga di sini berlawanan arah dengan arah perubahan jumlah
yang diminta. Jadi jika harga turun, maka jumlah yang diminta bertambah
dan sebaliknya jika harga naik, maka jumlah yang diminta akan berkurang.
Nilai elastisitas yang terkecil adalah nol dan yang terbesar adalah ∞.
Semakin tinggi harga maka elastisitasnya semakin besar. Elastisitas yang
besarnya lebih dari satu, permintaannya disebut elastis, sedangkan elastisitas
yang besarnya kurang dari satu, permintaannya disebut inelastis, dan bila
elastisitasnya sama dengan satu, elastisitasnya disebut elastisitas tunggal
(unitary elastis). Atau:
ε h > 1 → dikatakan bahwa permintaan elastis
ε h = 1 → unitary elastis
= elastisitas tunggal
ε h < 1 → dikatakan bahwa permintaan inelastis.
8.17
ESPA4112/MODUL 8
Contoh 8.6:
Seorang konsumen dalam menentukan jumlah barang yang dibeli pada
berbagai tingkat harga ditunjukkan oleh fungsi permintaannya:
Q = 150 – 3P
Berapakah elastisitas permintaannya berturut-turut pada tingkat harga
Rp40,00 ; Rp25,00 dan Rp10,00.
Jawaban:
Elastisitas permintaan: ε h =
dQ
P
×
dP
Q
dQ
=−3
dP
Bila harga Rp 40,00 maka jumlah yang diminta:
Q = 150 – 3(40) = -4
Jadi elastisitas permintaannya = 4 dan permintaannya elastis.
Bila harga Rp 25,00, maka jumlah yang diminta:
Q = 150 – 3(25) = 75
25
ε h = − 3. = − 1
75
Jadi elastisitas permintaannya tunggal.
Bila harga Rp10,00, maka jumlah yang diminta:
Q = 150 – 3(10) = 120
10
ε h = − 3.
= − 0, 25
120
Jadi elastisitas permintaannya = 0,25 dan permintaannya inelastis.
8.18
Matematika Ekonomi 1
Contoh 8.7:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan: Q =
50 – 0,5P2. Berapakah elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 4?
Q = 50 – 0,5P2
dQ
=−P
dP
Bila P = 4 maka Q = 50 – 0,5(4)2 = 42
εh =
dQ P
.
dP Q
=
− P.P
−P 2
=
Q
Q
=
16
−(4) 2
= −
42
42
Contoh 8.8:
1
Pada fungsi permintaan P = 100 − Q , hitunglah berapa elastisitas
2
permintaannya pada:
Q=0
Q = 50
Q = 100
Q = 150
Q = 200
Gambarkan fungsi permintaannya dan titik-titik yang dihitung elastisitasnya.
Elastisitas permintaan dihitung dengan rumus:
εp = εh =
dQ P n
. ∑ Xi Yi
dP Q i =1
dQ 1
dP
1
= dP ⇒
= −
dP dQ
dQ
2
Jadi,
8.19
ESPA4112/MODUL 8
dQ
1
=− 1 =− 2
dP
2
Untuk Q = 0, maka P = 100 -
ε p = − 2.
1
(0) = 100
2
100
=∞
0
Untuk Q = 50, maka P = 100 -
ε p = − 2.
1
(50) = 75
2
75
50
εp = − 3 =3
c)
Untuk Q = 100, maka P = 100 -
ε p = − 2.
1
(100) = 50
2
50
100
= − 1 =1
d) Untuk Q = 150, maka P = 100 -
ε p = − 2.
= −
e)
25
150
1 1
=
3 3
Untuk Q = 200, maka P = 100 -
ε p = − 2.
=0
1
(150) = 25
2
0
200
1
(200) = 0
2
8.20
Matematika Ekonomi 1
Grafiknya
P
100
75
ε=∞
ε=3
ε=1
50
ε=
25
1
3
ε=0
0
50
100
150
200
Q
Dari contoh di atas dapat kita pelajari bahwa nilai elastisitas yang
terkecil adalah nol dan yang terbesar adalah ∞. Semakin tinggi harga maka
elastisitasnya semakin besar. Elastisitas = 1 terjadi pada saat P = 50 dan Q =
100 atau terjadi pada pertengahan kurva permintaan.
dQ P
Dari rumus elastisitas permintaan ε h =
. dapat dilihat bahwa:
dP Q
dQ 1
= dP
dP dQ
dQ
dP
merupakan curam fungsi permintaan, sehingga
adalah
dQ
dP
kebalikan dari curam fungsi permintaan. Perhatikan gambar berikut ini:
8.21
ESPA4112/MODUL 8
P
A
PB
B
0
D
C
Q
Seandainya kita akan mengukur elastisitas di titik B. Curam fungsi
dQ
1
dP BD
permintaan =
=
sehingga
= dP
dQ DC
dP
dQ
DC
BD
Pada titik B, harga adalah PB = BD dan jumlah yang diminta adalah OD.
Elastisitas harga di titik B adalah:
=
εh =
dQ PB
=
dP Q B
DC BD
.
BD OD
DC
=
OD
εh =
Karena BD sejajar dengan AO, maka secara ilmu ukur
Jadi,
BC
AB
Dari sini kemudian dapat dilihat bahwa:
Untuk elastisitas tunggal:
εh =
εh = 1 →
BC
=1
AB
atau BC = AB
DC BC
=
OD AB
8.22
Matematika Ekonomi 1
Untuk daerah elastis:
ε h >1 →
BC
>1
AB
atau
BC > AB
atau
BC < AB
Untuk daerah inelastis:
ε h <1 →
BC
<1
AB
Daerah-daerah elastis, inelastis dan elastisitas tunggal ditunjukkan pada
diagram:
P
εh > 1
εh = 1
εh < 1
0
Q
L A TIH A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P = 150 – 2Q di mana P
menunjukkan harga dan Q menunjukkan jumlah yang diminta.
Berapakah elastisitas permintaannya bila jumlah yang diminta berturutturut adalah:
a. Q = 35
b. Q = 37,5
c. Q = 50
ESPA4112/MODUL 8
8.23
1
2) Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P = 75 − Q .
3
Berapakah elastisitas permintaannya, bila harganya:
a. P = 5
b. P = 45
3) Pada tingkat harga Rp2,00 ada 8 unit barang yang diminta, tetapi bila
harga menjadi Rp4,00, hanya ada 6 unit barang yang diminta. Dengan
menganggap bahwa fungsi permintaannya adalah fungsi linear,
berapakah elastisitas permintaannya pada saat harganya:
a. Rp3,00/unit
b. Rp4,00/unit
4) Pada fungsi permintaan Q = 20 − 2P 2 , hitunglah elastisitasnya pada
tingkat harga Rp2,00 per unit.
5) Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan:
Q=
a
di mana a dan m merupakan suatu konstan.
pm
Buktikan bahwa elastisitas permintaannya adalah m.
Petunjuk Jawaban Latihan
1) Fungsi permintaan P = 150 – 2Q
εp =
dQ P
.
dP Q
dQ
1
1
dP
= dP = −
= − 2 , jadi
dP
2
dQ
dQ
a)
Untuk Q = 35, maka P = 150 – 2(35) = 80
1 80
8 8
=− =
2 35
7 7
εp = − .
8.24
Matematika Ekonomi 1
b) Untuk Q = 37,5, maka P = 150 – 2(37,5) = 75
1 75
= −1 =1
2 37,5
εp = − .
c)
Untuk Q = 50, maka P = 150 – 2(50) = 50
1 50
1 1
=− =
2 50
2 2
εp = − .
2) Persamaan permintaan: P = 75 -
εp =
1
Q dapat ditulis: Q = 225 – 3P
3
dQ P
.
dP Q
dQ
=−3
dP
a)
Untuk P = 5, maka Q = 225 – 3(5) = 210
5
1
1
=− =
210
14 14
b) Untuk P = 45, maka Q = 225 – 3(45) = 90
ε p = −3.
ε p = −3.
45
3 3
=− =
90
2 2
3) P1 = 2
Q1 = 8
P2 = 4
Q2 = 6
Persamaan permintaannya:
Q − Q1
P − P1
=
Q 2 − Q1 P2 − P1
ESPA4112/MODUL 8
atau
Q −8 P − 2
=
6 −8 4 − 2
−2
Q − 8 = (P − 2)
2
Q −8= − P + 2
Q =10 − P
εp =
dQ P
.
dP Q
dQ
= −1
dP
a)
Untuk P = 3, maka Q = 7
3
7
ε p = − 1. = −
3
3
=
7
7
b) Untuk P = 4, maka Q = 6
4
6
ε p = − 1. = −
2
2
=
3
3
4) Fungsi permintaan: Q = 20 – 2P2
εp =
dQ P
.
dP Q
dQ
= − 4P
dP
Untuk P = 2, maka
dQ
= − 4(2) = − 8 dan Q = 20 – 2(2)2 = 12
dP
8.25
8.26
Matematika Ekonomi 1
ε p = − 8.
2
4
4
= − =
12
3
3
5) Fungsi permintaan: Q =
a
Pm
atau
Q = a . P-m
dQ
= a(−m).P m −1
dP
εp =
dQ P
.
dP Q
ε p = − a .m.P − m −1
Padahal Q = a . P-m
Jadi,
a .m.P − m −1 .P
εp =
a .P − m
ε p = −m = m
RA NGK UMA N
Elastisitas harga adalah persentase perubahan jumlah barang yang
diminta karena adanya perubahan harga barang tersebut sebesar satu
persen.
Elastisitas permintaan dapat dirumuskan sebagai berikut:
dQ P
εh = .
dP Q
dQ
merupakan kebalikan dari curam fungsi permintaan.
dP
Bila ε h > 1 dikatakan permintaan elastisitas
Bila ε h <1 dikatakan permintaan inelastis,
Bila ε h = 1 disebut elastisitas tunggal (unitary elasticity)
8.27
ESPA4112/MODUL 8
TES FORMATIF 2
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P = 120 – 3Q, di mana P
menunjukkan harga dan Q menunjukkan jumlah harga yang diminta.
Berapakah elastisitas permintaannya, bila jumlah yang diminta 10 unit?
A. 2
B. 3
C. 5
1
D. 2
2
2) Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan Q = 50 – 2P,
berapakah elastisitas permintaannya, bila jumlah yang diminta 20 unit?
1
A. 1
2
B. 1
1
C. 2
2
D. 2
3) Pada tingkat harga Rp20,00 per unit, konsumen bersedia membeli 50
unit dan bila harga Rp25,00 per unit, konsumen hanya bersedia membeli
sebanyak 40 unit. Berapakah elastisitas permintaannya, bila harga yang
terjadi Rp31,00 per unit?
15
A.
32
31
B.
32
31
C.
64
15
D.
64
4) Berapakah elastisitas permintaan
ditunjukkan oleh persamaan:
Q = 2P −4 ?
dari
fungsi
permintaan
yang
8.28
Matematika Ekonomi 1
A.
B.
C.
D.
2
3
5
4
5) Berapakah elastisitas permintaan akan suatu jenis barang tertentu, bila
harga barang tersebut Rp4,00 per unit dan fungsi permintaannya
1
Q = 40 − P 2
2
1
A.
2
B. 2
3
C.
4
D. 1
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
× 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.
8.29
ESPA4112/MODUL 8
Kegiatan Belajar 3
Biaya Produksi dan Penerimaan
A. BIAYA PRODUKSI
Sumber-sumber ekonomi yang digunakan untuk menghasilkan suatu
barang jumlahnya sangat terbatas dibandingkan dengan kebutuhan manusia.
Biaya produksi bagi suatu perusahaan adalah nilai dari faktor-faktor produksi
(sumber-sumber ekonomi) yang digunakan dalam proses produksi. Dari segi
sifat biaya dalam hubungannya dengan tingkat output, biaya produksi total
dapat dibagi menjadi:
a.
Biaya Tetap Total (Total Fixed Cost) disingkat TFC atau FC yaitu
jumlah biaya-biaya yang besarnya tetap, berapapun tingkat output yang
dihasilkan. Biaya yang termasuk biaya tetap ini misalnya: Penyusutan,
sewa gudang, asuransi dan sebagainya. Karena jumlah TFC tetap untuk
setiap tingkat output, maka kurvanya merupakan garis lurus yang sejajar
sumbu horisontal.
Rp
TFC
0
b.
Q
Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost) disingkat TVC atau VC
adalah biaya yang besarnya tergantung dari jumlah output yang
dihasilkan. Biaya variabel ini akan bertambah besar bila output yang
dihasilkan bertambah, karena output yang lebih memerlukan faktor
8.30
Matematika Ekonomi 1
produksi yang lebih banyak. Biaya yang termasuk TVC misalnya biaya
untuk bahan mentah, upah, ongkos angkut dan sebagainya.
Rp
TVC
0
c.
Q
Biaya Total (Total Cost) disingkat TC adalah jumlah dari biaya tetap dan
biaya variabel, atau
TC = FC + VC
Gambar TFC, TVC dan TC bersama-sama adalah sebagai berikut:
Rp
TC
TVC
TFC
0
Q
8.31
ESPA4112/MODUL 8
Di samping konsep biaya total tersebut di atas, dipakai juga beberapa
konsep biaya persatuan, yaitu:
a. Biaya Tetap Rata-rata (Average Fixed Cost) disingkat AFC adalah
ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output,
TFC
atau AFC =
, di mana Q adalah tingkat output yang dihasilkan.
Q
Untuk nilai Q yang semakin besar akan menyebabkan AFC-nya semakin
kecil, sehingga kurva AFC mempunyai bentuk turun dari kiri atas ke
kanan bawah dan semakin dekat dengan sumbu jumlah (Q) akan tetapi
tidak pernah berpotongan.
Rp
0
b.
Q
Biaya Variabel Rata-rata (Average Variabel Cost) disingkat AVC adalah
semua biaya-biaya lain, selain AFC yang dibebankan pada setiap unit
TVC
.
output, atau AVC =
Q
Kurva AVC diturunkan dari kurva TVC. Sebelum kita menggambarkan
kurva AVC baiklah diperhatikan dahulu kurva TVC berikut:
8.32
Matematika Ekonomi 1
Rp
TVC
A
0
B
Q
Kita lihat sebuah titik A yang terletak di kurva TVC. Pada titik tersebut
jumlah barang yang diproduksi ditunjukkan oleh panjang OB dan biaya
variabel total ditunjukkan oleh panjang AB. Menurut definisi, AVC =
TVC/Q atau
AB
AVC =
OB
AB
tidak lain merupakan curam garis OA.
Perhatikan bahwa
OB
Jadi AVC di setiap titik yang terletak di kurva TVC adalah sama dengan
curam garis yang menghubungkan titik tersebut dengan titik asal. Kalau lebih
jauh diperhatikan, dengan mengambil titik-titik yang bergerak dimulai dari
titik asal, mula-mula AVC atau curam garis yang menghubungkan titik
tersebut dengan titik asal nilainya besar, kemudian mengecil sampai suatu
titik tertentu dan lewat titik tersebut AVC memperbesar kembali. Jadi kalau
grafik AVC digambar akan nampak seperti berikut ini:
Rp
AVC
0
c.
Q
Biaya Total Rata-rata (Average Total Cost) disingkat ATC atau sering
pula disebut biaya rata-rata dan hanya disingkat AC (Average Cost)
8.33
ESPA4112/MODUL 8
adalah biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang
diproduksi atau
TC
AC =
Q
Kurvanya merupakan hasil penjumlahan AFC dan AVC dan dapat
digambarkan sebagai berikut:
Rp
AC
0
d.
Q
Biaya Marjinal (Marginal Cost) disingkat MC adalah tambahan biaya
total karena ada tambahan produksi 1 unit output dan dirumuskan
sebagai
dTC
MC =
dQ
atau
d(TFC + TVC)
MC =
dQ
dTFC dTVC
+
MC =
dQ
dQ
Karena biaya tetap besarnya sama berapapun output yang diproduksi,
dTFC
maka
=0
dQ
Jadi
dTVC
MC =
dQ
atau
8.34
Matematika Ekonomi 1
MC =
dTC dTVC
=
dQ
dQ
Rp
MC
0
Q
Contoh 8.9:
Bila fungsi biaya rata-rata ditunjukkan oleh persamaan AC = 25 - 8Q + Q2
tentukan biaya marjinalnya (MC)!
Untuk mendapatkan MC, maka langkah pertama adalah mencari TC-nya
dulu.
TC
AC =
atau TC = Q . AC
Q
TC = Q(25 - 8Q + Q2)
TC = 25Q - 8Q2 + Q3
dTC
Kemudian MC dicari dengan MC =
dQ
MC = 25 - 16Q + 3Q2
Contoh 8.10:
Bila diketahui fungsi biaya total: TC = aQ2 + bQ + c, dengan a > 0, b ≥ 0
dan c ≥ 0, maka
TC
c
Biaya rata-rata: AC =
= aQ + b +
Q
Q
dTC
= 2aQ + b
Biaya marjinal: MC =
dQ
ESPA4112/MODUL 8
8.35
Contoh 8.11:
Bila fungsi biaya total ditunjukkan oleh persamaan:
TC = 10 – 4Q3 + 3Q4
Tentukan TFC dan TVC, serta berapakah MC pada saat Q = 2.
Dari sifat TFC yang tidak tergantung pada jumlah Q yang diproduksi dan
sifat TVC yang tergantung pada jumlah Q yang diproduksi, maka:
TFC = 10
TVC = -4Q3 + 3Q4
MC =
dTC
dQ
d(10 − 4Q3 + 3Q 4 )
dQ
= -12Q2 + 12Q3
=
Untuk Q = 2, maka
MC = -12(2) 2 + 12(2)3
= -48 + 96
= 48
Kurva MC mempunyai hubungan yang unik dengan kurva AC yang juga
didapat dari kurva TC yang sama. Apabila AC semakin berkurang dengan
bertambahnya output, MC lebih kecil dari AC. Bila AC semakin besar
dengan bertambahnya output, MC lebih besar dari AC. Maka pada output di
mana AC minimum, MC = AC. Jadi, kurva MC akan memotong kurva AC
pada saat AC mencapai titik minimum. Atau dengan gambar:
8.36
Matematika Ekonomi 1
MC, AC
MC
AC
MC = AC
O
Contoh 8.12:
Bila kurva biaya rata-rata ditunjukkan oleh persamaan:
AC = 25 – 8Q + Q2.
Tentukan jumlah output yang diproduksi pada saat AC minimum
AC minimum terjadi bila,
dAC
d 2 AC
= 0 dan
>0
dQ
dQ 2
dAC
= 0 = -8 + 2Q
dQ
2Q = 8
Q=4
2
d AC
= 2Q
dQ 2
Untuk Q = 4,
d 2 AC
dQ 2
>0
Jadi pada Q = 4, maka AC minimum.
Q
8.37
ESPA4112/MODUL 8
Contoh 8.13:
1 2
Q − 7Q + 5 , maka tentukanlah
2
jumlah output yang diproduksi pada saat MC minimum.
dMC
d 2 MC
= 0 dan
MC akan minimum apabila dipenuhi syarat
>0 .
dQ
dQ 2
Bila MC ditunjukkan oleh persamaan MC =
dMC
= 0 = Q – 7 atau
dQ
d 2 MC
Q=7
= 1 → pada Q = 7,
maka
d 2 MC
dQ 2
dQ 2
Jadi MC minimum terjadi pada saat Q = 7.
>0
Contoh 8.14:
36
, berapakah biaya rata-rata minimumnya dan
Q
tunjukkan pada tingkat biaya tersebut berlaku MC = AC.
Dari fungsi AC = 6Q + 7 +
AC minimum bila
dAC
d 2 AC
= 0 dan
>0
dQ
dQ 2
dAC
36
=0=6− 2
dQ
Q
6=
atau
36
Q2
Q =6
Q1 = − 6
Q2 = 6
2
d 2 AC
dQ 2
=
72
Q3
(tidak dipakai)
8.38
Matematika Ekonomi 1
Untuk Q =
6 , maka
d 2 AC
dQ 2
>0
AC minimum pada Q = Q = 6
36
AC = 6Q + 7 +
Q
36
= 6 6 +7+
6
= 6 6 +7+6 6
= 12 6 + 7
TC = AC . Q
36
)
Q
= 6Q2 + 7Q + 36
MC = 12Q + 7
Pada Q = 6 , maka
MC = 12 6 + 7
= Q(6Q + 7 +
Jadi Q =
6 , maka MC = AC
B. PENERIMAAN
Pada kebanyakan buku-buku literatur istilah yang digunakan untuk
penerimaan adalah revenue. Penerimaan (revenue) yang dimaksud di sini
adalah penerimaan produsen dari hasil penjualan outputnya. Untuk menganalisis perilaku produsen, ada beberapa konsep penerimaan yang harus
dipahami lebih dahulu, yaitu:
a.
Penerimaan Total (Total Revenue) disingkat TR adalah penerimaan
total produsen dari hasil penjualan outputnya. Penerimaan total
merupakan hasil perkalian output dengan harga jual outputnya, atau
TR = P.Q
Contoh 8.15:
Bila harga suatu barang Rp 10,00 per unit dan jumlah yang dijual 50
unit, maka penerimaan:
ESPA4112/MODUL 8
8.39
TR = 10.50
= Rp500,00
b.
Penerimaan Rata-rata (Average Revenue) disingkat AR adalah
penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual, atau
AR =
TR Q.PQ
=
=P.
Q
Q
Dari penjabaran di atas terlihat bahwa penerimaan rata-rata besarnya
sama dengan harga barang tersebut.
Contoh 8.16:
Dari contoh 1 di atas, TR = Rp500,00 dan Q = 50, maka:
AR =
c.
TR 500
=
=10 (harga barang/unit)
Q
50
Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) disingkat MR yaitu
tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit
output, atau
dTR
MR =
dQ
Contoh 8.17:
Bila TR ditunjukkan oleh persamaan: TR = PQQ, maka
MR =
=
dTR
dQ
d(PQ .Q)
dQ
= PQ
Grafik hubungan antara TR, AR dan MR tergantung pada bentuk pasar
di mana perusahaan tersebut berada. Ada dua bentuk pasar yang perlu
8.40
Matematika Ekonomi 1
dibicarakan di sini yaitu pasar persaingan sempurna dan pasar monopoli.
Kedua pasar tersebut memberikan grafik yang berbeda.
1.
Pasar Persaingan Sempurna
Pasar persaingan sempurna antara lain ditandai oleh banyaknya produsen
dan konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen (penjual)
dan konsumen tidak dapat mempengaruhi harga di pasar. Harga ditentukan
oleh 'pasar'. Dalam pasar persaingan sempurna, kurva permintaan yang
dihadapi oleh seorang produsen merupakan garis lurus horisontal. Ini berarti
produsen dapat menjual outputnya dalam jumlah berapapun tanpa
mengakibatkan terjadinya penurunan harga jual.
Contoh 8.18:
Dalam pasar persaingan sempurna fungsi permintaan ditunjukkan oleh
persamaan P =10 . Penerimaan totalnya TR = P.Q = 10Q
TR P.Q
=
= P = 10
Q
Q
dTR
= 10
Penerimaan Marjinal MR =
dQ
Penerimaan rata-rata AR =
Jadi dalam pasar persaingan sempurna fungsi permintaan berimpit dengan
fungsi penerimaan rata-rata dan penerimaan marjinalnya.
Rp
TR
D = AR = MR
0
Q
ESPA4112/MODUL 8
8.41
2.
Pasar Monopoli
Berbeda dengan pasar persaingan sempurna yang di dalamnya terdapat
banyak penjual dan pembeli, maka dalam pasar monopoli hanya ada satu
penjual sehingga tidak ada orang lain yang menyaingi. Pasar dengan hanya
ada satu penjual ini disebut juga pasar monopoli murni. Karena seorang
produsen monopoli adalah satu-satunya produsen di dalam suatu pasar, maka
kurva permintaan yang dihadapi adalah kurva permintaan pasar, yaitu kurva
permintaan yang bentuknya menurun dari kiri atas ke kanan bawah. Dalam
pasar monopoli ini produsen dapat mempengaruhi harga di pasar dengan
cara menjual barangnya lebih banyak atau sedikit dari yang diproduksi.
Dengan perkataan lain, dalam pasar monopoli produsen dapat menetapkan
harga.
Contoh 8.19:
Fungsi permintaan yang dihadapi seorang monopoli ditunjukkan oleh
persamaan:
P = 10 - 0,5Q
Penerimaan total (TR):
TR = P.Q
= (10 - 0,5Q).Q
= 10Q - 0,5Q2
Penerimaan rata-rata (AR):
AR =
TR P.Q
=
=P
Q
Q
10Q - 0,5Q 2
Q
= 10 - 0,5Q
=
Penerimaan Marjinal (MR):
dTR
MR =
dQ
= 10 - Q
8.42
Matematika Ekonomi 1
Dari jawaban di atas dapat dilihat bahwa kurva permintaan, AR dan MR
merupakan garis lurus dan kurva permintaan berimpit dengan kurva AR.
Fungsi penerimaan total (TR) merupakan fungsi yang tidak linier. Gambar
hubungan antara kurva-kurva di atas adalah sebagai berikut:
Rp
(10, 50)
TR
A
10
ε >1
B
P = AR
ε<1
ε=1
C
0
10
20
Q
AR
MR
Dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa bila MR positif, maka tambahan
penjualan sebanyak 1 unit akan menambah TR (TR menaik). Akan tetapi
sebaliknya bila MR negatif, maka tambahan penjualan dengan satu unit
output akan mengakibatkan TR berkurang (TR menurun).
Konsep penerimaan seringkali dihubungkan dengan elastisitas. Anda
tentunya masih ingat bahwa pada kurva permintaan, AB merupakan daerah
yang elastis (ε h >1) , BC merupakan daerah inelastis (ε h <1) dan di titik B
elastisitasnya sama dengan satu (ε h =1) . Sifat hubungan antara konsep
penerimaan dengan elastisitas adalah sebagai berikut:
1) TR menaik selama elastisitas harga (ε h ) dari kurva permintaan D lebih
besar dari satu.
2) TR mencapai maksimum pada saat elastisitas harga sama dengan satu.
3) TR menurun pada daerah di mana kurva permintaan mempunyai
elastisitas harga lebih kecil dari satu.
ESPA4112/MODUL 8
8.43
Agar supaya konsep penerimaan menjadi lebih jelas, baiklah Anda ikuti
contoh-contoh soal berikut ini.
Contoh 8.20:
Dalam pasar persaingan sempurna, harga suatu jenis barang adalah Rp25,00.
Berapakah AR, MR, dan TR pada saat output yang dijual sebanyak 40 unit?
Persamaan permintaan: P = 25.
Dalam pasar persaingan sempurna AR = MR = P
Jadi AR = MR = 25
TR = P.Q
= 25Q
Untuk Q = 40, maka penerimaan:
TR = 25.40
= Rp1.000,00
Contoh 8.21:
Fungsi permintaan yang dihadapi oleh pasar monopoli ditunjukkan oleh
persamaan 2Q + 4P = 12 . Tentukan persamaan AR, MR, dan TR serta
gambarkan grafik masing-masing fungsi!
Fungsi permintaan:
2Q + 4P = 12
atau
P=3-
1
Q
2
Penerimaan total (TR):
TR = P. Q
8.44
Matematika Ekonomi 1
1
Q ).Q
2
1
= 3Q - Q 2
2
Penerimaan rata-rata (AR):
TR
AR =
Q
1
3Q − Q 2
2
=
Q
1
= 3− Q
2
Penerimaan marjinal (MR):
dTR
MR =
dQ
1
d(3Q − Q 2 )
2
=
dQ
=3–Q
= (3 -
(3, 4 12 )
Rp
3
TR = 3Q P = AR = 3 -
0
1 Q2
2
1Q
2
3
6
MR = 3 – Q
Gambar hubungan antara TR, MR, dan AR:
Q
ESPA4112/MODUL 8
8.45
Contoh 8.22:
Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P = 20 – 0,4Q.
Berapakah penerimaan maksimum yang dapat diperoleh produsen?
Penerimaan total (TR)
TR = P . Q
= (20 – 0,4Q).Q
= 20Q – 0,4Q2
dTR
d 2 TR
= 0 dan
TR maksimum bila
<0
dQ
dQ2
dTR
= MR = 20 – 0,8Q
dQ
20 – 0,8Q = 0
0,8Q = 20
Q = 25
2
d TR
= − 0,8Q
dQ 2
d 2 TR
<0
dQ 2
Jadi TR maksimum pada Q = 25
Pada Q = 25, penerimaan total (TR) = 250.
Cara lain yang dapat digunakan adalah:
Untuk Q = 25,
TR maksimum bila MR = 0 atau
20 – 0,8Q = 0
= 25
Pada Q = 25, maka harganya = P = 20 – 0,4(25) = 10
Jadi TR = 10.25 = 250.
Contoh 8.23:
Pada fungsi permintaan 2P + 3Q = 120, berapakah tambahan/penurunan
penerimaan total bila harga berubah dari Rp42,00 menjadi Rp45,00 per unit.
Berapa elastisitas permintaannya pada tingkat harga Rp42,00/unit.
8.46
Matematika Ekonomi 1
Pada tingkat harga Rp42,00/unit, jumlah barang yang diminta adalah
2(42) + 3Q = 120
3Q = 36
36
= 12
Q=
3
Penerimaan total pada P = 42 adalah:
TR1 = P.Q
= 42.12
= 504
Pada tingkat harga Rp45,00/unit, jumlah barang yang diminta adalah:
2(45) + 3Q = 120
3Q = 30
Q = 10
Penerimaan total pada harga Rp45,00 adalah:
TR2 = P.Q
= 45.10
= 450
Jadi dengan naiknya harga dari Rp42,00/unit menjadi Rp45,00/unit
jumlah penerimaan total berkurang dari Rp504,00 menjadi Rp450,00 atau TR
turun Rp54,00.
Elastisitas permintaan =
dQ P
.
dP Q
P = 42, Q = 12
Persamaan 2P + 3Q = 120 dapat ditulis Q = 40 dQ
2
=−
dP
3
2
P.
3
ESPA4112/MODUL 8
8.47
2 42
3 12
1
=2
3
εh = − .
Dari contoh ini Anda dapat melihat bahwa bila ε h > 1 , maka kenaikan
pada harga justru akan menurunkan pendapatan total.
Contoh 8.24:
Untuk fungsi permintaan P = a – bQ di mana a > 0 dan b > 0 berlaku:
MR = P(1 −
1
εh
)
Fungsi permintaan: P = a – bQ
TR = P.Q
= (a – bQ).Q
= aQ – bQ2
MR = a – 2bQ
atau dapat ditulis:
MR = a – bQ – bQ
Padahal a – bQ = P
Jadi MR = P – bQ
dP
= b , maka
dQ
MR = P -
dP
.Q
dQ
8.48
Matematika Ekonomi 1
dP
P
.Q dikalikan = 1 , maka:
dQ
P
Bila
dP
P
.Q.
dQ
P
MR = P -
atau
MR = P – P.
dP Q
.
dQ P
Di sini dapat dilihat bahwa:
dP Q
. =
dQ P
1
=
dQ P
.
dP Q
1
εh
Sehingga:
MR = P – P.
1
εh
Atau
MR = P(1 -
1
) (Terbukti)
εh
Dari sini Anda dapat melihat bahwa bila MR = 0, maka:
(1 −
1
εh
1
εh
=1
)=0
atau
ε h =1
Jadi, di sini kita buktikan bahwa ε h =1 terjadi pada saat MR = 0. Hal ini
sesuai dengan gambar yang terdapat pada contoh 17 dan contoh 19.
Contoh 2.25:
Fungsi permintaan P = a – bQ (dengan a dan b positif) memotong sumbu Q
di titik D. Benarkah bahwa kurva MR memotong sumbu Q tepat di tengahtengah OD? Gambarkan grafiknya.
8.49
ESPA4112/MODUL 8
Fungsi permintaan: P = a – bQ
Fungsi memotong sumbu Q bila P = 0
0 = a – bQ
atau
bQ = a
Q=
a
,
b
a
Jadi ordinat titik D: ( , 0)
b
Penerimaan total: TR = P.Q
= (a – bQ).Q
= aQ – bQ2
Penerimaan marjinal: MR =
dTR
dQ
d(aQ − bQ 2 )
dQ
= a – 2bQ
=
MR memotong sumbu Q, bila MR = 0
0 = a – 2bQ
atau
2bQ = a
Q=
a
2b
atau
1 a
Q= .
2 b
8.50
Matematika Ekonomi 1
1 a 
, 0
Ordinat titik potong MR dengan sumbu Q: 
2b 
Jadi dari hasil tersebut MR memotong sumbu Q tepat di tengah-tengah
penggal garis OD.
P
AR = P = a - bQ
MR = a – 2bQ
0
1 a
2 b
a
b
Q
L A TIH A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Bila fungsi biaya total ditunjukkan oleh persamaan: TC = 3Q 2 − 5Q + 6
Carilah persamaan MC dan AC-nya
2) Untuk fungsi biaya total: TC = 1000Q – 180Q2 + 3Q3, bagaimanakah
bentuk persamaan biaya marjinalnya (MC) dan selidiki apakah
persamaan MC merupakan fungsi yang menaik atau menurun.
3) Suatu perusahaan memproduksi suatu jenis barang dengan menggunakan
kurva biaya TC = 4Q − Q 2 + 2Q3 di mana TC menunjukkan biaya total
dan Q menunjukkan jumlah barang yang diproduksi (dalam ribuan unit).
Berapa jumlah barang yang harus diproduksi agar biaya marjinalnya
minimum?
4) Pada pasar persaingan sempurna buktikan bahwa kurva permintaan = AR
= MR
ESPA4112/MODUL 8
8.51
5) Pada pasar monopoli, buktikan bahwa kurva permintaan = AR dan jika
fungsi permintaan memotong sumbu Q pada ordinat (C, 0), di mana C >
1
0, maka fungsi MR memotong sumbu Q pada ordinat ( C, 0)
2
Petunjuk Jawaban Latihan
1) TC = 3Q2 – 5Q + 6
dTC
MC =
dQ
= 6Q – 5
TC
AC =
Q
3Q 2 − 5Q + 6
Q
6
= 3Q – 5 +
Q
=
2) TC = 1000Q – 180Q2 + 3Q3
dTC
MC =
dQ
= 1000 – 360Q + 9Q2
dMC
= - 360 + 18Q = 0
dQ
Q = 20
dMC
Untuk Q < 20, maka
<0
dQ
dMC
>0
Untuk Q > 20, maka
dQ
Jadi untuk Q < 20, MC menurun dan untuk Q > 20, MC menaik dan
MC minimum terjadi pada Q = 20.
8.52
Matematika Ekonomi 1
3) TC = 4Q – Q2 + 2Q3
MC = 4 – 2Q + 6Q2
Agar MC minimum, maka:
dMC
= 0 = -2 + 12Q
dQ
1
Q=
6
d 2 MC
dQ 2
=12
1
d 2 MC
, maka
>0
6
dQ 2
1
Jadi minimum pada Q = .
6
Untuk Q =
4) Pada pasar persaingan
ditunjukkan oleh P = P1
TR = P1.Q
TR P1.Q
AR =
=
Q
Q
= P1
dTR dP1.Q
MR =
=
dQ
dQ
= P1
sempurna,
misalkan
kurva
permintaan
Jadi fungsi permintaan = AR = MR
5) Misalkan kurva permintaan ditunjukkan oleh persamaan: P = a - bQ
TR = P.Q
= aQ – bQ2
TR
= a − bQ
AR =
Q
Fungsi permintaan P + Q = 10 dapat juga ditulis: P = 10 – Q
TR = P.Q
8.53
ESPA4112/MODUL 8
= (10 – Q).Q
= 10Q – Q2
dTR
MR =
dQ
= 10 – 2Q
Pada P = 2 atau Q = 8, maka MR = 10 – 2(8) = -6
1
Jadi pada P = 2 berlaku hubungan MR = P(1 − )
εh
Jadi kurva permintaan = AR = a – bQ.
Kurva permintaan memotong sumbu Q bila P = 0 atau 0 = a – bQ
a
a
Q = = C dan titik potong ( , 0) atau (C, 0)
b
b
dTR d(aQ − bQ 2 )
=
dQ
dQ
MR = a – 2bQ
Kurva MR memotong sumbu Q bila MR = 0.
0 = a – 2bQ
a 1 a
Q=
=
2b 2 b
MR =
Karena
a
1 a 1
1 a
= C , maka
= C , dan titik potong (
, 0)
b
2 b 2
2 b
atau
1
( C , 0)
2
Jadi, bila fungsi permintaan memotong sumbu Q di titik (C, 0), maka
1
fungsi MR memotong sumbu Q di titik ( C, 0) .
2
8.54
Matematika Ekonomi 1
RA NGK UMA N
Biaya Tetap Rata-rata (Average Fixed Cost) disingkat AFC adalah
TFC
ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output, atau AFC =
Q
Biaya Variabel Rata-rata (Average Variabel Cost) disingkat AVC
adalah semua biaya-biaya lain, selain AFC yang dibebankan pada setiap
TVC
.
unit output, atau AVC =
Q
Biaya Total Rata-rata (Average Total Cost) disingkat ATC atau
sering pula disebut biaya rata-rata dan hanya disingkat AC (=Average
Cost) adalah biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang
TC
diproduksi atau AC =
Q
Biaya Marjinal (Marginal Cost) disingkat MC adalah tambahan
biaya total karena ada tambahan produksi 1 unit output dan dirumuskan
dTC
.
sebagai MC =
dQ
Kurva MC akan memotong kurva AC pada titik minimum AC. Di
titik tersebut berlaku MC = AC
Penerimaan Total (Total Revenue) disingkat TR adalah penerimaan
total produsen dari hasil penjualan outputnya. Penerimaan total
merupakan hasil perkalian output dengan harga jual outputnya, atau
TR = P.Q
Penerimaan Rata-rata (Average Revenue) disingkat AR adalah
penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual, atau AR =
TR P.Q
=
= P . Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) disingkat
Q
Q
MR yaitu tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu
dTR
. Dalam pasar persaingan sempurna TR
unit output, atau MR =
dQ
merupakan garis lurus dan fungsi permintaan = AR = MR. Dalam pasar
monopoli TR merupakan garis yang tidak linier. Fungsi permintaan =
AR, dan MR memotong penggal garis sumbu Q dengan permintaan
menjadi dua bagian yang sama panjang.
8.55
ESPA4112/MODUL 8
TES FORMATIF 3
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Biaya total untuk memproduksi suatu jenis barang tertentu dinyatakan
1
dengan fungsi TC = Q3 − 2Q 2 + 3Q + 1 . Tentukan besarnya biaya rata3
rata (AC) dan biaya marjinalnya (MC) pada saat biaya total minimum.
d
A. AC = aQ + Q + C +
Q
MC = 2aQ2 + 2Q + C
1
d
B. AC = AQ2 + bQ + C +
Q
MC = 3aQ2 + 2bQ + C
C. AC = 3aQ2 + 2bQ + C
MC = aQ + bQ + C +
1
d
Q
D. AC = 3aQ + Q + C
MC = 2aQ2 + 2bQ + C
2) Perusahaan mainan anak-anak memiliki fungsi biaya rata-rata untuk
memproduksi jenis mainan tertentu seperti berikut: AC = Q 2 − 6Q + 14
Tentukan jumlah yang diproduksi (Q) pada saat biaya marjinalnya sama
dengan biaya rata-rata
1
A. AC =
3
MC = 0
B. AC = 3
MC = 1
C. AC = 2
1
MC =
3
1
D. AC =
3
MC = 1
8.56
Matematika Ekonomi 1
3) Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P + 3Q = 25
berapakah AR, MR dan TR pada harga P = 4?
A. AR = 2
MR = -17
TR = 20
B. AR = 4
MR = -7
TR = 8
C. AR = 2
MR = -7
TR = 20
D. AR = 4
MR = -17
TR = 28
4) Pada pasar persaingan sempurna seorang penjual menjual barang 8 unit.
Berapakah AR, MR, dan TR bila fungsi permintaannya P = 20?
A. AR = 10
MR = 20
TR = 100
B. AR = 20
MR = 20
TR = 100
C. AR = 20
MR = 20
TR = 160
D. AR = 20
MR = 10
TR = 170
5) Seorang monopolis mengetahui bahwa konsumen akan membeli
produknya sebanyak 100 unit bila harganya Rp60,00. Kebutuhan
maksimum konsumen 1000 unit. Berapa pendapatan total (TR) si
monopolis tersebut bila harganya yang ditetapkan Rp40,00/unit?
A. TR = Rp16.000,00
B. TR = Rp15.000,00
C. TR = Rp 17.000,00
D. TR = Rp 18.000,00
8.57
ESPA4112/MODUL 8
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
× 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang
belum dikuasai.
8.58
Matematika Ekonomi 1
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif 1
1) D
2) A
Tes Formatif 2
1) B
2) A
3) C
4) D
5) A
Tes Formatif 3
1) B
2) A
3) D
4) C
5) A
ESPA4112/MODUL 8
8.59
Daftar Pustaka
Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner, (1996). Mathematical
Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.
Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul, (1996). Introductory Mathematical
Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences,
Eighth Edition, Prentice Hall International Inc,
Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis
Stengos, (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher
Limited,
Jacques, Ian, (1995). Mathematics for Economics and Business, Second
Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Pindyck, Robert S and Daniel L Rubinfeld, (1998). Microeconomics, Fourth
Edition, Prentice Hall International Inc.
Prakin, Michael and Robin Bade, (1995). Modern Macroeconomics, Prentice
Hall Canada Inc Scarborough Ontaro.
Silberberg, Eugene and Wing Suen, (2001). The Structure of Economics a
Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill.
Kembali ke Daftar Isi