Perencanaan strategik rumah sakit melalui analisis

2
II
MIXED INTEGER PROGRAMMING
Untuk membangun penjadwalan ruang
operasi rumah sakit diperlukan pemahaman
teori Pemrograman Linear (PL) atau Linear
Programming (LP) dan Pemrograman Linear
Mixed Integer (PMI) atau Mixed Integer
Programming (MIP).
2.1 Pemrograman Linear
Fungsi linear dan pertidaksamaan linear
merupakan salah satu konsep dasar yang harus
dipahami terkait dengan konsep pemrograman
linear.
Definisi 1 (Fungsi Linear)
Suatu fungsi f dalam variabel-variabel
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah suatu fungsi linear jika
dan hanya jika untuk suatu himpunan
konstanta 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 , f dapat ditulis sebagai
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛 .
(Winston 2004)
Contoh, 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 5𝑥1 + 8𝑥2 merupakan
fungsi linear, sementara 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥1 𝑥22
bukan fungsi linear.
Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan
Linear)
Untuk sembarang fungsi linear f dan
sembarang bilangan c, pertidaksamaan
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ≤ 𝑐 dan 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ≥ 𝑐
adalah pertidaksamaan linear, sedangkan
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑐 merupakan persamaan
linear.
(Winston 2004)
Pemrograman linear (PL) adalah suatu
masalah optimasi yang memenuhi hal-hal
berikut:
a. Tujuan masalah tersebut adalah
memaksimumkan atau meminimumkan
suatu fungsi linear dari suatu variabel
keputusan.
Fungsi
yang
akan
dimaksimumkan atau diminimumkan
ini disebut fungsi objektif.
b. Nilai variabel-variabel keputusannya
harus memenuhi suatu himpunan
kendala. Setiap kendala harus berupa
persamaan linear atau pertidaksamaan
linear.
c. Ada pembatasan tanda untuk setiap
variabel dalam masalah ini. Untuk
sembarang variabel 𝑥𝑖 , pembatasan
tanda menentukan 𝑥𝑖 harus tidak
negatif 𝑥𝑖 ≥ 0 atau tidak dibatasi
tandanya (unrestricted in sign).
(Winston 2004)
Definisi 3 (Bentuk Standar Pemrograman
Linear)
Misalkan diberikan suatu PL dengan 𝑚
kendala dan 𝑛 variabel (dilambangkan dengan
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ). Bentuk standar dari PL tersebut
adalah:
max 𝑧 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛 ,
(atau min)
dengan kendala
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
(1)
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
.......
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
Jika didefinisikan:
𝑎11
⋮
𝐀=
𝑎𝑚1
… 𝑎1𝑛
⋱
⋮
… 𝑎𝑚𝑛
𝑥1
𝑥2
,𝐱= ⋮
𝑥𝑛
(2)
(3)
,
𝑏1
𝑏2
𝐛=
,
⋮
𝑏𝑛
maka kendala pada (1), (2), dan (3) dapat
ditulis dengan sistem persamaan
𝐀𝐱 = 𝐛.
(4)
(Winston 2004)
Solusi Pemrograman Linear
Suatu masalah PL dapat diselesaikan
dalam berbagai teknik, salah satunya adalah
metode simpleks. Metode ini dapat
menghasilkan suatu solusi optimum bagi
masalah PL dan telah dikembangkan oleh
Dantzig sejak tahun 1947 (Winston 2004), dan
dalam perkembangannya merupakan metode
paling umum digunakan untuk menyelesaikan
PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk
menyelesaikan PL berbentuk standar.
Pada PL (4), vektor x yang memenuhi
kendala Ax = b disebut solusi dari PL (4).
Misalkan matriks A dinyatakan sebagai A =
(B N), dengan B adalah matriks taksingular
berukuran m × m yang elemennya berupa
koefisien variabel basis dan N merupakan
matriks berukuran m × (n – m) yang elemenelemennya berupa koefisien variabel nonbasis
pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks B
disebut matriks basis untuk PL (4).
Misalkan x dinyatakan sebagai vektor
𝐱
x = 𝐱 𝐁 , dengan 𝐱𝐁 adalah vektor variabel
𝐍
basis dan 𝐱𝐍 adalah vektor variabel nonbasis,
maka Ax = b dapat dinyatakan sebagai:
2
3
𝐱
𝐀𝐱 = 𝐁 𝐍 𝐱𝐁 = 𝐁𝐱𝐁 + 𝐍𝐱𝐍 = 𝐛. (5)
𝐍
Karena matriks B adalah matriks taksingular,
maka B memiliki invers, sehingga dari (5) 𝐱𝐁
dapat dinyatakan sebagai:
𝐱𝐁 = 𝐁−𝟏 𝐛 − 𝐁−𝟏 𝐍𝐱𝐍 .
(6)
Kemudian fungsi objektifnya berubah
menjadi:
min 𝑧 = 𝐜𝐁𝐓 𝐱𝐁 − 𝐜𝐍𝐓 𝐱𝐍 .
(Winston 2004)
Definisi 4 (Daerah Fisibel)
Daerah fisibel dari suatu PL adalah
himpuan semua titik yang memenuhi semua
kendala dan pembatasan tanda pada PL
tersebut.
(Winston 2004)
Definisi 5 (Solusi Basis)
Misalkan terdapat sistem Ax = b yang
terdiri atas 𝑚 persamaan linear dan 𝑛 variabel
(diasumsikan 𝑛 ≥ 𝑚). Solusi basis pada
sistem Ax = b tersebut diperoleh dengan
memberi nilai 𝑛 − 𝑚 variabel sama dengan
nol dan menyelesaikan nilai yang menyisakan
𝑚 variabel. Asumsi pengaturan 𝑛 − 𝑚
variabel sama dengan nol akan membuat nilai
yang unik untuk 𝑚 variabel yang tersisa atau
sejenisnya, dan kolom-kolom untuk sisa dari
𝑚 variabel merupakan bebas linear.
(Winston 2004)
Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis)
Solusi fisibel basis adalah solusi basis
pada PL yang semua variabel-variabelnya tak
negatif.
(Winston 2004)
Definisi 7 (Solusi Optimum)
Untuk masalah maksimisasi, solusi
optimum suatu PL adalah suatu titik dalam
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif
terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi
optimum suatu PL adalah suatu titik dalam
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif
terkecil.
(Winston 2004)
2.2 Mixed Integer Programming
Pemrograman linear dengan sebagian
variabel yang harus digunakan berupa
bilangan bulat (integer) disebut mixed integer
programming. Jika semua variabel yang
digunakan harus berupa integer maka disebut
pure integer programming.
(Winston 2004)
III MODEL PENJADWALAN
3.1 Penggunaan Ruang Operasi
Sebagian
besar
rumah
sakit
mengklasifikasikan pasien berdasarkan proses
operasional dan spesialisasi pengobatan.
Klasifikasi pasien berdasarkan proses
operasional meliputi pasien darurat, pasien
rawat inap, dan pasien rawat jalan.
Berdasarkan spesialisasi pengobatan terdapat
pasien luka bakar, pasien jantung, pasien
trauma, pasien syaraf, dan sebagainya. Rumah
sakit menganalisis dan mendiskusikan proses
pelayanan yang diberikan kepada pasien
(antara lain rencana dan jadwal pembedahan)
berdasarkan klasifikasi tersebut.
Ruang operasi dapat dibedakan menjadi
dua, yaitu ruang operasi darurat dan ruang
operasi biasa. Rumah sakit biasanya hanya
memiliki sedikit ruang operasi darurat dan
lainnya merupakan ruang operasi biasa.
Ruang operasi darurat hanya digunakan untuk
pasien darurat yang memerlukan pembedahan.
Biasanya
operasi
semua
spesialisasi
pengobatan dapat dilakukan di ruang ini,
sedangkan ruang operasi biasa digunakan
pada spesialisasi pengobatan tertentu.
Meskipun ruang operasi biasa digunakan pada
kasus operasi nondarurat (misalnya pada
pasien rawat inap dan pasien rawat jalan),
pada keadaan khusus ruang operasi tersebut
juga dapat digunakan operasi terhadap pasien
darurat. Hal ini dapat terjadi dalam situasi di
mana pasien darurat mendapatkan prioritas
lebih utama untuk mendapat perawatan di
ruang operasi biasa dari pada pasien
nondarurat.
Di banyak rumah sakit, perencanaan dan
penjadwalan operasi dilaksanakan sebagai
berikut. Setiap minggu atau setiap bulan,
bagian perencanaan operasi atau badan lain
yang
dibentuk
oleh
rumah
sakit,
mengeluarkan jadwal penggunaan ruang
operasi, atau juga disebut sebagai block time
schedule, yang mengalokasikan penggunaan
ruang operasi untuk operasi darurat dan nondarurat. Satu blok waktu setara dengan satu
hari kerja seorang staf ruang operasi.
Setiap sebelum hari kerja, dokter akan
menentukan pasien rawat inap yang akan
menjalani operasi pada hari berikutnya.
Ketika membuat keputusan ini, mereka juga
akan melihat jadwal operasi pasien rawat jalan
untuk hari berikutnya karena hal ini telah
dijadwalkan pada beberapa hari sebelumnya.
Selain itu mereka juga mempertimbangkan
3