PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PEMBAHASAN
EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL
DENGAN TEOREMA TAYLOR
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)
Program Studi Matematika
Disusun oleh :
Sihwanto
NIM : 003114045
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2007
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah
disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, Maret 2007
Penulis
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini ku persembahkan kepada:
Kedua orang tuaku
Almamaterku
dan
wiwin
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Skripsi ini membahas tentang penggunaan Teorema Taylor dalam penyelidikan
nilai ekstrem untuk fungsi dari satu dan dua variabel. Jika fungsi satu variabel
f (x ) mempunyai turunan pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai
nol di titik c, dan f ( n+1) ( x) kontinu di c dengan f ( n +1) (c) ≠ 0 maka terdapat
bilangan θ dengan 0 < θ < 1 sehingga f (c + h) − f (c) =
h n +1
f ( n +1 (c + θh) .
(n + 1)!
Apabila n gasal maka:
a. f (x ) mencapai maksimum di c jika f ( n +1) (c) < 0
b. f (x ) mencapai minimum di c jika f ( n +1) (c) > 0
Apabila n genap maka tidak terjadi ekstrem di c.
Untuk fungsi dua variabel f ( x, y ) jika semua turunan parsialnya mulai order
pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka
f (a + h, b + k ) − f (a, b) = Rn +1 (a + θh, b + θk )
untuk suatu bilangan θ dengan 0 < θ < 1 dan
n +1
1 ⎡ ∂
∂⎤
Rn +1 ( x, y ) =
h + k ⎥ f ( x, y ) .
⎢
(n + 1)! ⎣ ∂x
∂y ⎦
Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa
apabila untuk nilai-nilai h
dan k
cukup kecil dan tanda dari
Rn +1 (a + θh, b + θk ) tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk
mengadakan penyelidikan pada keadaan Rn +1 (a + θh, b + θk ) untuk n > 1 .
Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan n = 1 , yaitu untuk:
1
R2 (a + θh, b + θk ) = h 2 f xx + 2hkf xy + k 2 f yy (a + θh, b + θk )
2!
dengan f xx , f xy dan f yy tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini
[
]
tanda dari R2 (a + θh, b + θk ) ditentukan oleh tanda dari R2 (a, b) , karena pada
pembahasan ini diasumsikan bahwa R2 ( x, y) kontinu di titik (a,b).
Jika H (a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) , maka :
i.
ii.
iii.
iv.
Jika H (a, b) > 0 dan f xx (a, b) > 0 terjadi minimum di (a,b)
Jika H (a, b) > 0 dan f xx (a, b) < 0 terjadi maksimum di (a,b)
Jika H (a, b) < 0 tidak terjadi ekstrem di (a,b)
Jika H ( a, b) = 0 belum ada keputusan, mungkin terjadi atau
mungkin tidak terjadi ekstrem di (a,b).
Dalam skripsi ini dibahas penyelidikan apakah ada ekstrem atau tidak untuk kasus
H (a, b) = 0 dengan menggunakan contoh-contoh soal.
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
This thesis study concerning usage of Theorem of Taylor in investigation of
value of extreme for function from one and two variabe. If function one variable
f (x ) have first derivative up to nth derivative the valuableness zero at point of c,
and f ( n+1) ( x) continuous at c with f ( n +1) (c) ≠ 0 , hence there are number θ with
0 < θ < 1 so that f (c + h) − f (c) =
h n +1
f ( n +1 (c + θh) .
(n + 1)!
If n is odd then:
a. f (x ) achieve maximum at c if f ( n +1) (c) < 0 .
b. f (x ) achieve minimum at c if f ( n +1) (c) > 0 .
if n is even then f (x ) hasn’t extreme at c.
For function with two variable f ( x, y ) , if all of the partial derivatives begin to
first order up to nth order the valuableness zero at point of (a,b), then
f (a + h, b + k ) − f (a, b) = Rn +1 (a + θh, b + θk )
for a number θ with 0 < θ < 1 and
n +1
1 ⎡ ∂
∂⎤
Rn +1 ( x, y ) =
h + k ⎥ f ( x, y )
⎢
(n + 1)! ⎣ ∂x
∂y ⎦
Theoretically there is or inexistence extreme value at point of (a,b) can be
checked if for values of h and k small enough and sign from
Rn +1 (a + θh, b + θk ) remain to or erratic. In practice do not easy to perform a to
investigation in the situation Rn +1 (a + θh, b + θk ) to n > 1 .
In this thesis only studied for situation n = 1 , that is to
with f xx , f xy
[
]
1 2
h f xx + 2hkf xy + k 2 f yy (a + θh, b + θk )
2!
and f yy not all valuable zero at point of (a,b). In this case sign from
R2 (a + θh, b + θk ) =
R2 (a + θh, b + θk ) determined by sign from R2 (a, b) , because at this solution is
assumed that continuous at point of (a,b).
If H (a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) , then:
If H ( a, b) > 0 and f xx (a, b) > 0 , f ( x, y ) has minimum at point of (a,b)
If H ( a, b) > 0 and f xx (a, b) < 0 , f ( x, y ) has maximum at point of (a,b)
If H ( a, b) < 0 , f ( x, y ) hasn’t extreme at point of (a,b)
If H ( a, b) = 0 there is no decision, happened possible or might not
happened extreme at point of (a,b).
In this thesis is studied by investigation what is there extreme or not to
case H ( a, b) = 0 by using problem of examples.
i.
ii.
iii.
iv.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadiran Tuhan Yang Maha Esa karena atas limpahan rahmat
dan karunia-Nya penulis dapat kembali ke bangku kuliah untuk menyelesaikan
tugas akhir ini, meskipun harus menempuh perjalanan yang cukup panjang.
Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak
yang telah membantu dan memberi dukungan materiil maupun spiritual selama
masa perkuliahan serta penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Drs. A. Tutoyo, M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan
sangat sabar membimbing, memberi motivasi serta saran dalam
penyusunan tugas akhir ini.
2. Bapak Y.G. Hartono, S. Si, M. Sc, selaku ketua program studi
Matematika.
3. Bapak Ir. Aris Dwiatmoko, M. Sc dan Ibu M.V. Any Herawati, M. Si yang
telah memberikan semangat dan saran dalam penyusunan tugas akhir ini.
4. Bapak dan ibu dosen FMIPA yang telah memberikan begitu banyak ilmu
dan pengalaman yang sangat berguna sebagai bekal penulis dalam
menyongsong masa depan.
5. Seluruh staf karyawan sekretariat FMIPA, bu Warni, pak Tukijo yang
telah membantu penulis dalam pelayanan administrasi perkuliahan.
6. Bapak Ngadul Wiyardi beserta ibu selaku orang tua atas doa, kasih sayang,
pendidikan, sarana maupun prasarana yang telah diberikan selama ini.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7. Winarti Harjo Wiyono, SE (Wiwin) atas kasih sayang , cinta serta doa.
8. Sahabat-sahabat yang selalu bersama melewati masa perkulihan: Fery,
Heru’su timbul’, Ayuk adikku, Lina, Bunga, Tatik, Vincent, Wiwid, Lissa,
Mira, Tika, Dewi, Wahyu, Feliks, Willy, Pras, Toni, Sunarto, Prihanto,
Andi, Susiantoro.
9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh
karena itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang
bermanfaat bagi kesempurnaan skripsi ini. Dan akhirnya penulis berharap semoga
skripsi ini memberikan manfaat dan berguna bagi semua pihak.
Yogyakarta, Maret 2007
Penulis
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ......................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ...............................................
ii
HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................... iii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...........................................................
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................
v
ABSTRAK ........................................................................................................
vi
ABSTRACT ...................................................................................................... vii
KATA PENGANTAR ......................................................................................
viii
DAFTAR ISI ..................................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................
1
A. Latar Belakang .................................................................................
1
B. Rumusan Masalah ............................................................................
4
C. Pembatasan Masalah ........................................................................
4
D. Manfaat Penulisan ............................................................................ 4
E. Tujuan Penulisan .............................................................................. 5
F. Metode Penulisan .............................................................................
5
G. Sistematika Penulisan ......................................................................
5
BAB II EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL ..
7
A. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Satu Variabel ................
7
B. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel ................. 26
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III TEOREMA TAYLOR ........................................................................
52
A. Deret Pangkat ..................................................................................
52
B. Deret Taylor ....................................................................................
60
C. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel .....................
62
D. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel ...................... 65
BABIV PENGGUNAAN TEOREMA TAYLOR UNTUK MENENTUKAN
EKSTREM SUATU FUNGSI .............................................................
70
A. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus f ′′(c ) = 0 .................... 70
B. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus H (a, b) = 0 .................. 73
BAB V PENUTUP ........................................................................................... 78
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................
xi
80
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 .........................................................................................
9
Gambar 2.2 .........................................................................................
10
Gambar 2.3 .........................................................................................
10
Gambar 2.4 .........................................................................................
11
Gambar 2.5 .........................................................................................
13
Gambar 2.6 .........................................................................................
14
Gambar 2.7 .........................................................................................
15
Gambar 2.8 .........................................................................................
16
Gambar 2.9 ........................................................................................... 27
Gambar 2.10 ......................................................................................... 33
Gambar 2.11 ......................................................................................... 35
Gambar 2.12 ......................................................................................... 48
Gambar 2.13 ......................................................................................... 51
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Salah satu penggunaan derivatif yang menarik dan berguna adalah
menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi. Banyak problema
dalam teknik, sains, geometri dan ekonomi menuntut untuk memenuhi syaratsyarat perlu dan cukup supaya suatu fungsi itu mencapai nilai maksimum atau
minimum. Selain menentukan daerah dimana fungsi itu mencapai nilai maksimum
atau minimum juga untuk menentukan dimana suatu fungsi cekung ke atas atau
ke bawah, penentuan titik belok, penentuan asimtot dan sebagainya.
Grafik sebuah fungsi yang digambar dengan ketelitian yang tinggi dapat
memberikan banyak informasi mengenai kelakuan fungsi tersebut. Tetapi untuk
mendapatkan gambar grafik yang cukup tepat adalah sebuah pekerjaan yang
membosankan.
Di dalam penulisan ini akan dibahas tentang maksimum dan minimum
fungsi satu variabel dan dua variabel yang
merupakan pendalaman tentang
maksimum dan minimum fungsi yang sudah diperoleh dibangku sekolah
menengah maupun didalam bangku kuliah. Jadi bukan merupakan hal yang baru
lagi.
Nilai maksimum dan minimum dibagi menjadi dua yaitu nilai maksimum
atau minimum mutlak dan nilai maksimum atau minimum relatif. Fungsi f disebut
mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu selang, jika terdapat bilangan c pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) ≥ f (x) untuk setiap x pada selang.
Sedangkan fungsi f disebut mencapai minimum mutlak pada suatu selang, jika
terdapat bilangan c pada selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) ≤ f (x)
untuk setiap x pada selang.
Fungsi f disebut mencapai nilai maksimum relatif di x = c, jika ada selang
terbuka yang memuat c, pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi
f (c ) ≥ f ( x ) untuk semua x pada selang terbuka. Sedangkan fungsi f disebut
mencapai minimum relatif
di x = c, jika ada selang terbuka yang memuat c
pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi f (c ) ≤ f ( x ) untuk semua
x pada selang terbuka.
Suatu fungsi yang mencapai maksimum atau minimum (mutlak/relatif)
disebut mencapai ekstrem (mutlak/relatif). Dalam penulisan ini yang menjadi
pokok permasalahan yang akan dibahas adalah syarat-syarat apa saja yang harus
dipenuhi agar suatu fungsi dapat mencapai maksimum atau minimum.
1.
Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan satu variabel
Jika f ′(x ) ada dalam (a, b) maka syarat perlu adanya nilai ekstrem pada
titik x = c di mana c dalam interval (a, b) adalah f ′(c) = 0 . Sedangkan syarat
cukup adanya nilai ekstrem pada titik x = c adalah f ′′(c ) ≠ 0 . Kemudian didapat
bahwa
1. Jika f ′′(c) > 0 maka f (x ) mempunyai nilai minimum di c
2. Jika f ′′(c) < 0 maka f (x ) mempunyai nilai maksimum di c.
Jika fungsi f (x ) dapat diturunkan dua kali dalam suatu interval yang
memuat titik x = c dan didapat f ′′(c) = 0 maka uji turunan kedua tidak dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Sebagai contoh, diberikan
fungsi f (x) = x 3 . Didapat turunan pertama dan keduanya berturut – turut adalah
f ′( x) = 3 x 2 dan f ′′( x ) = 6 x . Satu-satunya bilangan kritis adalah titik nol,sehingga
diperoleh
f ′′(0) = 0 . Jadi uji turunan kedua tidak dapat digunakan untuk
menyimpulkan soal tersebut. Oleh karena itu perlu dicari cara lain untuk
menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan bantuan Teorema
Taylor untuk fungsi dengan satu variabel .
2. Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan dua variabel
Jika suatu fungsi f ( x, y ) beserta turunan parsial pertamanya kontinu
dalam cakram terbuka B (( x 0 , y o ); r ) maka syarat perlu suatu fungsi adanya nilai
ekstrem pada titik ( x, y ) = ( x0 , y 0 ) adalah f x ( x 0 , y 0 ) = 0 dan f y ( x 0 , y 0 ) = 0 . Titik
( x0 , y 0 ) disebut titik kritis.
Jika fungsi f ( x, y ) dapat diturunkan dua kali dalam himpunan tersebut dan
turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka B (( x 0 , y o ); r ) , maka
syarat cukup adanya nilai ekstrim pada titik ( x, y ) = ( x0 , y 0 ) adalah
H ( x0 , y 0 ) = f xx ( x0 , y 0 ) f yy ( x0 , y 0 ) − f xy2 ( x0 , y 0 )
Kemudian didapat bahwa
1. Jika H ( x0 , y 0 ) > 0 dan f xx ( x 0 , y 0 ) > 0 terjadi minimum di (a,b)
2. Jika H ( x0 , y 0 ) > 0 dan f xx ( x 0 , y 0 ) < 0 terjadi maksimum di (a,b)
3. Jika H ( x0 , y 0 ) < 0 tidak terjadi ekstrem di (a,b)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Selanjutnya timbul masalah jika fungsi f ( x, y ) dapat diturunkan dua kali dalam
suatu himpunan dan turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka
B (( x 0 , y o ); r ) dan didapat nilai H ( x0 , y 0 ) = 0 maka uji turunan kedua tidak dapat
digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Oleh karena itu perlu dicari
cara lain untuk menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan
bantuan Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel.
B. RUMUSAN MASALAH
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah:
1. Bagaimana Teorema Taylor digunakan untuk menjelaskan pemecahan
masalah ekstrem suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua variabel,
yaitu dalam kasus f ′′(c) = 0 dan
H ( x0 , y 0 ) = f xx ( x0 , y 0 ) f yy ( x0 , y 0 ) − f xy2 ( x0 , y 0 ) = 0 ?
C. PEMBATASAN MASALAH
Dalam penulisan ini pembahasan masalah hanya dibatasi tentang
pembahasan masalah ekstremum fungsi dengan satu variabel dan dua variabel
dengan menggunakan Teorema Taylor.
D. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang diharapkan yaitu agar kita dapat menyelesaikan masalah
ekstrem fungsi dengan satu variabel dan dua variabel
dengan menggunakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
bantuan turunan tingkat tinggi dan bantuan teorema Taylor, apabila dengan uji
turunan kedua tidak bisa menarik suatu kesimpulan
E. TUJUAN PENULISAN
Tujuan dari penulisan ini agar kita dapat menyelesaikan permasalahan
seputar maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua
variabel, misalnya :
1. Dapat mengetahui syarat apa saja yang harus dipenuhi agar suatu fungsi
mencapai maksimum atau minimum.
2. Dapat menggunakan teorema Taylor dalam membahas masalah maksimum
atau minimum jika syarat-syarat suatu fungsi untuk mencapai maksimum
atau minimum tidak dipenuhi.
F. METODE PENULISAN
Dalam penulisan ini dilakukan dengan metode pustaka yaitu dengan
menelaah buku-buku pustaka sebagai acuan untuk membuktikan teorema-teorema
mengenai masalah Ekstremum dengan menggunakan Teorema Taylor, sehingga
dalam penulisan ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.
G. SISTEMATIKA PEMBAHASAN
Sebagai gambaran tentang hal apa saja yang dibahas dalam penulisan ini,
berikut adalah sistematika pembahasan yang ada dalam skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB I Pendahuluan
Bab ini berisi tentang gambaran umum tentang skripsi ini yang terdiri dari
latar belakang masalah, rumusan masalah, pembatasan masalah, manfaat
penulisan, tujuan penulisan dan metode penulisan.
Bab II Ekstrem Fungsi Satu Variabel dan Dua Variabel
Bab ini berisi pembahasan tentang ekstremum fungsi satu variabel dan dua
variabel beserta sifat-sifatnya.
Bab III Teorema Taylor
Bab ini berisi tentang deret pangkat, deret Taylor serta Teorema Taylor
untuk fungsi dengan satu variabel dan fungsi dengan dua variabel.
Bab IV Penggunaan Teorema Taylor untuk Menentukan Ekstrem suatu
Fungsi
Bab ini berisi tentang penyelesaian masalah ekstremum fungsi satu
variabel di mana
f ′′(c ) = 0 dan ekstremum fungsi dua variabel dimana
H ( x0 , y 0 ) = f xx ( x0 , y 0 ) f yy ( x0 , y 0 ) − f xy2 ( x0 , y 0 ) = 0 .
Untuk
mempermudah
pemahaman dalam bab ini disertai dengan contoh soal dan penyelesaiannya.
Bab V Penutup
Bab ini berisi tentang kesimpulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
EKSTREM FUNGSI
SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL
Ada dua hal mendasar yang muncul ketika berbicara tentang nilai
maksimum atau minimum suatu fungsi f. Pertama, apakah fungsi f mempunyai
nilai maksimum atau minimum. Kedua, jika fungsi f mempunyai nilai maksimum
atau minimum, di titik-titik di mana f mencapai nilai maksimum atau minimum
dan berapa nilai maksimum atau minimumnya.
Dalam bab ini akan ditentukan titik tertinggi dan titik terendah dari grafik
suatu fungsi.
A.
Maksimum dan Minimum suatu Fungsi dengan Satu Variabel
Definisi maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel
diberikan sebagai berikut.
Definisi 2.1
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada titik x = c jika untuk sebarang ε > 0 yang
diberikan akan dapat ditentukan δ > 0 sedemikian hingga jika x − c < δ maka
f ( x ) − f (c ) < ε .
Definisi 2. 2
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval terbuka (a, b) jika f kontinu di
setiap titik pada interval tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Definisi 2.3
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup [a, b] jika f kontinu di
setiap titik dari (a, b) dan jika lim+ f ( x ) = f ( a ) dan lim− f ( x) = f (b) atau disebut
x→a
x →b
kekontinuan kanan di titik a dan kekontinuan kiri di titik b.
Definisi 2.4
Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c jika terdapat interval
(c − δ , c + δ ) sedemikian hingga f (c ) ≥ f ( x ) untuk setiap x dalam interval
(c − δ , c + δ ) . Jika hubungan f (c ) ≥ f ( x ) berlaku untuk setiap x dalam domain
f, maka f disebut mempunyai nilai maksimum mutlak di c.
Definisi 2.5
Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c jika terdapat interval
(c − δ , c + δ ) sedemikian hingga
f (c ) ≤ f ( x ) untuk setiap x dalam interval
(c − δ , c + δ ) . Jika hubungan f (c ) ≤ f ( x ) berlaku untuk setiap x dalam domain f,
maka f disebut mempunyai nilai minimum mutlak di c.
Bila fungsi f mempunyai maksimum atau minimum relatif di c, maka
dikatakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrem relatif di c dan bila fungsi f
mempunyai maksimum atau minimum mutlak di c, maka dikatakan bahwa fungsi
f mempunyai ekstrem mutlak di c. Untuk lebih jelasnya perhatikan grafik di bawah
ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
y
maks multak
f (c1)
maks relatif
y = f (x)
f (c3)
f (c2)
min relatif
f (c4)
min multak
a
c1
c2
c3
c4
b
x
Gambar 2.1 Nilai-nilai maksimum dan minimum serta jenisnya
dari suatu fungsi f (x) dalam interval [a, b]
Dari grafik di atas tampak bahwa:
•
nilai maksimum mutlak dicapai pada x = c1
•
nilai maksimum relatif dicapai pada x = c3 dan x = b
•
nilai minimum mutlak dicapai pada x = c4
•
nilai minimum relatif dicapai pada x = c2 dan x = a
Contoh 2.1
Tinjau fungsi f yang didefinisikan oleh f ( x) = ( x − 1) 3 . Sket dari grafik
fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 2.2. Karena
f ′( x) = 3( x − 1) 2 , maka
f ′(1) = 0 . Akan tetapi f ( x ) < 0 , jika x < 1 dan f ( x ) > 0 , jika x > 1 . Jadi f tidak
mempunyai ekstrem relatif di titik satu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
y
1
x
Gambar 2.2 Grafik fungsi f ( x) = ( x − 1) 3
Contoh 2.2
Misalkan diketahui fungsi f ( x) = 2 x . Keterangan dari grafik f
pada
selang [1, 4) diberikan pada Gambar 2.3. Fungsi f mempunyai nilai minimum
mutlak sebesar 2 pada [1, 4) tetapi tidak mempunyai nilai maksimum mutlak pada
interval [1, 4) karena untuk setiap x ∈ [ 1, 4) selalu ada nilai x yang memberikan
nilai f (x ) yang lebih besar.
y
8
2
1
4
Gambar 2.3 Grafik fungsi f ( x) = 2 x
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Contoh 2.3
Diberikan fungsi f ( x) = − x 2 . Sket dari grafik f pada selang (-3, 2]
diperlihatkan pada Gambar 2.4. Fungsi f mempunyai nilai maksimum mutlak
sebesar 0 pada selang (-3, 2]. Fungsi f tidak mempunyai nilai minimum mutlak
pada selang (-3, 2] karena untuk setiap x ∈ (−3, 2] selalu ada nilai x yang
memberikan nilai f (x ) yang lebih kecil.
y
2
-3
x
-4
-9
Gambar 2.4 Grafik fungsi f ( x) = − x 2
Bagaimana dapat ditentukan di mana terjadinya ekstrem relatif suatu
fungsi f ? Ekstrem relatif dapat dipandang sebagai titik peralihan yang
memisahkan daerah di mana grafik fungsi itu naik menjadi turun atau sebaliknya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Teorema berikut dapat digunakan untuk melokalisir kemungkinan nilainilai c yang memberikan ekstrem relatif.
Teorema 2.1
Jika fungsi f kontinu pada interval [a, b] dan terdeferensial pada interval (a, b)
maka:
1. fungsi f naik pada interval [a, b] jika f ′( x ) > 0 untuk semua titik dalam
interval (a, b) .
2. fungsi f turun pada interval [a, b] jika f ′( x ) < 0 untuk semua titik dalam
interval (a, b) .
Ekstrem relatif dari suatu fungsi f terjadi pada titik-titik di mana fungsi f
berturunan (pada titik-titik di mana garis singgung pada grafik adalah horisontal).
Definisi 2.6
Titik kritis suatu fungsi f adalah nilai x di dalam domain di mana f ′( x ) = 0 atau
f tidak berturunan. Jika c adalah suatu titik di mana f ′(c) = 0 , maka c disebut
titik stasioner.
Dinamakan titik stasioner karena pada titik ini grafik fungsi f mendatar atau
horisontal atau gais singgungnya mendatar.
Ekstrem relatif dapat terjadi pada titik kritis. Pertama, jika fungsi f
mempunyai turunan pertama di titik ekstremnya, misal titik c, maka garis
singgung di titik tersebut adalah mendatar atau f ′(c) = 0 . Namun titik stasioner
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
ini tidak selalu menjadi titik ekstrem, sebagai contoh fungsi f ( x) = x 3 . Dalam
kasus ini f ′(c) = 0 , tetapi (0,0) bukan titik kritis dari grafik fungsi f ( x) = x 3 ,
seperti diperlihatkan dalam gambar di bawah ini.
Gambar 2.5 Grafik fungsi f ( x) = x 3
Keadaan di mana f ′( x ) = 0 atau f tidak berturunan belum menjamin terjadinya
ekstrem suatu fungsi. Untuk diperlukan suatu teorema yang menyatakan syarat
perlu adanya ekstrem suatu fungsi.
Teorema 2.2
Jika fungsi f mempunyai ekstrem pada c, maka f ′(c) = 0 atau f tidak berturunan.
Bukti:
Pada kasus ini terdapat dua kemungkinan, yaitu f berturunan pada c atau f tak
berturunan.
Pertama, jika f tak berturunan , maka c adalah titik kritis untuk f .
Kedua, jika f berturunan pada c, maka harus diperlihatkan bahwa f ′(c) = 0 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Jika f (c ) adalah maksimum relatif dari f, maka terdapat interval
a.
[c − δ , c + δ ] sedemikian sehingga jika c + h dalam interval
[c − δ , c + δ ] dengan c ≠ c + h maka f (c + h) < f (c) .
i.
Jika h > 0 maka
f (c + h ) − f (c )
<0
h
ii.
Jika h < 0 maka
f (c + h) − f (c )
>0
h
y
f(c)
h<0
c−δ
h>0
c
c+h
c+h
c+δ
x
Gambar 2.6
Jika
f (x )
berturunan pada x = c , maka
f ′(c ) ada dan
f +′ (c) = f −′ (c) = f ′(c) , yaitu:
f +′ = lim+
h →0
f (c + h ) − f (c )
≤ 0 dan
h
f −′ = lim−
h→0
Karena f −′ ≥ 0 dan f +′ ≤ 0 , maka f ′(c) = 0 .
f (c + h ) − f (c )
≥0
h
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Jika f (c ) adalah minimum relatif dari f, maka terdapat interval
b.
[c − δ , c + δ ] sedemikian sehingga jika c + h dalam interval
[c − δ , c + δ ] dengan c ≠ c + h maka f (c + h) > f (c ) .
Jika
i.
Jika h > 0 maka
f (c + h) − f (c )
>0
h
ii.
Jika h < 0 maka
f (c + h ) − f (c )
<0
h
f (x )
berturunan pada x = c , maka
f ′(c ) ada dan
f +′ (c) = f −′ (c) = f ′(c) , yaitu:
f +′ = lim+
h→0
f ( c + h ) − f (c )
≥ 0 dan
h
f −′ = lim−
h→0
f (c + h ) − f (c )
≤0
h
Karena f −′ ≤ 0 dan f +′ ≥ 0 , maka f ′(c) = 0 .
■
y
f(c)
h<0
c−δ
c+h
h>0
c
Gambar 2.7
c+h
c+δ
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Sifat suatu titik kritis sering ditentukan dengan naik turunnya kurva di
sekitar titik kritis.
Teorema 2.3 Teorema Nilai Rata-rata
Jika fungsi f kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada titik (a,b) maka
terdapat titik c di dalam interval (a,b) sedemikian sehingga f ′(c) =
f (b) − f (a )
.
b−a
Bukti:
Misal diberikan fungsi f (x ) dan g (x ) seperti gambar di bawah ini.
y
y = f(x)
s(x)
f(b)
y = g(x)
f(a)
a
x
b
x
Gambar 2.8
Pembuktian berdasarkan pada analisis fungsi s ( x ) = f ( x ) − g ( x) . Andaikan
y = g (x) adala persamaan tali busur yang menghubungkan titik (a, f ( a )) ke
(b, f (b)) . Karena garis ini mempunyai kemiringan
f (b) − f (a )
dan melalui
b−a
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
( a, f (a )) ,
maka
g ( x) − f (a ) =
bentuk
kemiringan
untuk
persamaannya
adalah
f (b) − f (a )
f (b) − f ( a )
( x − a ) atau g ( x) =
( x − a) + f (a) .
b−a
b−a
Kemudian ini menghasilkan rumus untuk s (x ) , yaitu:
s ( x) = f ( x) − g ( x) = f ( x) − f (a ) −
f (b) − f (a )
( x − a)
b−a
Tampak bahwa s ( a ) = s (b) = 0 .
Untuk setiap fungsi s (x ) yang kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada
interval (a,b) dan s ( a ) = s (b) = 0 maka fungsi s (x ) terdapat titik c di dalam
interval (a,b) sedemikan sehingga s ′(c) = f ′(c) −
Jadi terbukti bahwa f ′(c) =
f (b) − f (a )
= 0.
b−a
f (b) − f (a )
.
b−a
■
Teorema 2.4 Teorema Uji Turunan Pertama untuk Nilai Ekstrem Relatif
Andaikan fungsi f kontinu dan terdeferensial pada interval terbuka (a, b) yang
memuat titik kritis c, maka:
1.
f (c ) adalah nilai maksimum relatif, jika f ′( x ) > 0 untuk semua x di dalam
interval (a, c) dan f ′( x ) < 0 untuk semua x di dalam interval (c, b)
f (c ) adalah nilai minimum relatif, jika f ′( x ) < 0 untuk semua x di dalam
2.
interval (a, c) dan f ′( x ) > 0 untuk semua x di dalam interval (c, b)
f (c ) bukan nilai ekstrem relatif jika f ′(x ) bertanda sama pada kedua pihak
3.
c.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Bukti:
a)
Akan dibuktikan bahwa f mempunyai maksimum relatif pada c dengan
memperlihatkan bahwa f (c ) ≥ f ( x ) untuk semua x di dalam (a, b)
•
Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu
pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata
dipenuhi pada interval [x, c].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga
f (c ) − f ( x )
= f ′(ξ) atau f (c ) − f ( x) = (c − x ) f ′(ξ)
c−x
c − x > 0 karena c > x dan f ′(ξ) > 0 karena f ′ positif dimana-mana
pada interval (a, c).
Jadi f (c) − f ( x) > 0 atau f (c ) > f ( x ) dan dipenuhi untuk semua x di
dalam interval (a, c).
•
Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu
pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata
dipenuhi pada interval [c, x].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga
f ( x ) − f (c )
= f ′(ξ) atau f ( x) − f (c) = ( x − c ) f ′(ξ)
x−c
x − c > 0 karena x > c dan f ′(ξ) < 0 karena f ′ negatif dimana-mana
pada interval (c, b).
Jadi f ( x ) − f (c) < 0 atau f ( x ) < f (c ) dan dipenuhi untuk semua x di dalam
interval (c, b).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Jadi f ( x ) < f (c ) berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b).
b)
Akan dibuktikan bahwa f mempunyai minimum relatif pada c dengan
memperlihatkan bahwa f (c ) ≥ f ( x ) untuk semua x di dalam (a, b)
•
Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu
pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata
dipenuhi pada interval [x, c].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga
f (c ) − f ( x )
= f ′(ξ) atau f (c ) − f ( x) = (c − x ) f ′(ξ)
c−x
c − x > 0 karena c > x dan f ′(ξ) < 0 karena f ′ negatif dimana-mana
pada interval (a, c).
Jadi f (c) − f ( x) < 0 atau f (c ) < f ( x ) dan dipenuhi untuk semua x di
dalam interval (a, c).
•
Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu
pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata
dipenuhi pada interval [c, x].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga
f ( x ) − f (c )
= f ′(ξ) atau f ( x) − f (c) = ( x − c ) f ′(ξ)
x−c
x − c > 0 karena x > c dan f ′(ξ) > 0 karena f ′ positif dimana-mana
pada interval (c, b).
Jadi f ( x ) − f (c) > 0 atau f ( x ) > f (c ) dan dipenuhi untuk semua x di dalam
interval (c, b).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Jadi f ( x ) > f (c ) berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b).
c)
Untuk membuktikan bagian ini akan ditinjau dalam dua kemungkinan, yaitu:
i. Jika f ′( x ) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f ′( x ) < 0 untuk semua x
dalam (c, b), maka f (c ) bukan merupakan nilai ekstrem.
•
Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f
kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema
nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian
sehingga
f (c ) − f ( x )
= f ′(ξ) atau f (c ) − f ( x) = (c − x ) f ′(ξ)
c−x
c − x > 0 karena c > x dan f ′(ξ) < 0 karena f ′ negatif di manamana pada interval (a, c).
Jadi f (c) − f ( x) < 0 atau f (c ) < f ( x ) dan dipenuhi untuk semua x
di dalam interval (a, c).
• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f
kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka Teorema
Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian
sehingga
f ( x ) − f (c )
= f ′(ξ) atau f ( x) − f (c) = ( x − c ) f ′(ξ)
x−c
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
x − c > 0 karena x > c dan f ′(ξ) < 0 karena f ′ negatif di manamana pada interval (c, b).
Jadi f ( x ) − f (c) < 0 atau f ( x ) < f (c ) dan dipenuhi untuk semua x
di dalam interval (c, b).
Karena
f (c ) < f ( x ) untuk setiap
x di dalam interval (a, c). dan
f ( x ) < f (c ) untuk setiap x di dalam interval (c, b), maka f (c ) bukan
merupakan nilai ekstrem relatif.
ii. Jika f ′( x ) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f ′( x ) > 0 untuk semua x
dalam (c, b), maka f (c ) bukan merupakan nilai ekstrem.
•
Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f
kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema
nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian
sehingga
f (c ) − f ( x )
= f ′(ξ) atau f (c ) − f ( x) = (c − x ) f ′(ξ)
c−x
c − x > 0 karena c > x dan f ′(ξ) > 0 karena f ′ positif di manamana pada interval (a, c).
Jadi f (c) − f ( x) > 0 atau f (c ) > f ( x ) dan dipenuhi untuk semua x
di dalam interval (a, c).
• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b) . Karena f
kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka Teorema
Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian
sehingga
f ( x ) − f (c )
= f ′(ξ) atau f ( x) − f (c) = ( x − c ) f ′(ξ)
x−c
x − c > 0 karena x > c dan f ′(ξ) > 0 karena f ′ positif di manamana pada interval (c, b).
Jadi f ( x ) − f (c) > 0 atau f ( x ) > f (c ) dan dipenuhi untuk semua x
di dalam interval (c, b).
Karena
f (c ) > f ( x )
untuk setiap
x di dalam interval (a, c) dan
f ( x ) > f (c ) untuk setiap x di dalam interval (c, b) , maka f (c ) bukan
merupakan nilai ekstrem relatif.
■
Teorema 2.5 Teorema Uji Turunan Kedua
Andaikan f berturunan dua kali pada titik stasioner c, maka :
a. Jika f ′′(c) > 0 , maka f mempunyai minimum relatif pada titik c.
b. Jika f ′′(c) < 0 , maka f mempunyai maksimum relatif pada titik c.
Bukti :
Dengan menggunakan definisi turunan dapat dituliskan :
lim
x →c
a).
f i ( x ) − f i (c )
= f '' (c ), x ≠ c
x−c
(2.1)
Menurut hipotesis f '' (c) > 0 sehingga dapat memilih ε > 0 dalam definisi
limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari (2.1) ada δ > 0 sedemikian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
f ' ( x ) − f ' (c )
− f ' ' (c ) < ε
x−c
hingga
f ' ' (c ) − ε <
f ' ( x ) − f ' (c )
< f ' ' (c ) + ε
x−c
x−c < δ ,
bilamana
,bilamana
x
x≠c
dalam
atau
interval
(c − δ , c + δ ), x ≠ c.
Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan
diperlihatkan / ditunjukkan bahwa :
-
f ' ( x) > 0, untuk semua x dalam (c, c + δ ) .
-
f ' ( x) < 0, untuk semua x dalam (c − δ , c ) .
Ini menyusul dari uji turunan pertama bahwa f memiliki minimum relatif
pada c.
Apabila ε > 0 yang dipilih kurang dari
f '' (c) maka
f ' ( x ) − f ' (c )
x−c
terletak antara dua bilangan positif, yang artinya :
f ' ( x ) − f ' (c )
> 0 bilamana (c − δ , c + δ ), x ≠ c.
x−c
Selanjutnya dapat ditulis :
f ' ( x) − f ' (c) > 0 atau f ' ( x) > f ' (c) untuk semua x dalam (c, c + δ ) dan
f ' ( x) − f ' (c) < 0 atau f ' ( x) < f ' (c) untuk semua x dalam (c − δ , c ) .
Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi f ' (c ) = 0 .
Ini berarti :
-
f ' ( x) > 0 untuk semua x dalam (c, c + δ ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
b).
f ' ( x) < 0 untuk semua x dalam (c − δ , c ) .
Menurut hipotesis f '' (c) < 0 sehingga dapat memilih ε > 0 dalam definisi
limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari (2.1) ada δ > 0 sedemikian
hingga
f ' ( x ) − f ' (c )
+ f ' ' (c ) < ε
x−c
− f ' ' (c ) − ε <
bilamana
f ' ( x ) − f ' (c )
< − f ' ' (c ) + ε
x−c
x−c < δ ,
,bilamana x
x≠c
atau
dalam interval
(c − δ , c + δ ), x ≠ c.
Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan
diperlihatkan / ditunjukkan bahwa :
-
f ' ( x) > 0, untuk semua x dalam (c, c + δ ) .
-
f ' ( x) < 0, untuk semua x dalam (c − δ , c ) .
Karena ε yang dipilih merupakan bilangan positif yang sangat kecil maka
f ' ( x ) − f ' (c )
terletak antara dua bilangan negatif, yang artinya :
x−c
f ' ( x ) − f ' (c )
> 0 bilamana (c − δ , c + δ ), x ≠ c.
x−c
Selanjutnya dapat ditulis :
- f ' ( x) − f ' (c) < 0 atau f ' ( x)\ < f ' (c) untuk semua x dalam (c, c + δ ) .
- f ' ( x) − f ' (c) > 0 atau f ' ( x) > f ' (c) untuk semua x dalam (c − δ , c ) .
Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi f ' (c ) = 0 .
Ini berarti :
- f ' ( x) < 0 untuk semua x dalam (c, c + δ ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
- f ' ( x) > 0 untuk semua x dalam (c − δ , c ) .
■
Contoh 2.4
Periksa nilai ekstrem untuk f ( x) = x 2 − 6 x + 5 untuk setiap x dalam ℜ !
Penyelesaian :
Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan f ' ( x) = 2 x − 6 = 2( x − 3) maka
f ' ( x) = 0 untuk x = 3. Titik kritis fungsi di atas adalah x = 3
f '' ( x) = 2 maka f '' (3) = 2 > 0.
Jadi f mempunyai nilai minimum relatif dengan nilai minimum relatif adalah
f (3) = −4
Contoh 2.5
1
Untuk f ( x) = x 3 − x 2 − 3 x + 4, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali
3
ekstrem relatif fungsi tersebut!
Penyelesaian :
Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan
f ' ( x) = x 2 − 2 x − 3 = ( x + 1)( x − 3) maka f ' ( x) = 0 untuk x = -1 dan x = 3.
f '' ( x) = 2 x − 2 . Karena f '' (−1) = −4 < 0 dan f '' (3) = 4 > 0 maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
f ( -1) adalah nilai maksimum relatif dan f (3) adalah nilai minimum relatif.
B.
Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel
Dalam subbab sebelumnya telah dibahas tentang salah satu penggunaan
turunan fungsi dengan satu variabel dalam menentukan nilai maksimum dan
minimum suatu fungsi. Dalam subbab ini, akan dibahas tentang perluasan untuk
fungsi dengan dua variabel.
Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel
didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada fungsi dengan satu variabel.
Pada fungsi dengan dua variabel peranan interval terbuka digantikan dengan
cakram terbuka dan peranan interval tertutup digantikan dengan cakram tertutup.
Definisi nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel
diberikan sebagai berikut:
Definisi 2. 7
Misalkan z = f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada
suatu daerah di bidang yang memuat titik (a, b) . Jika terdapat suatu cakram
terbuka B (( a, b); r ) sedemikian sehingga f ( a, b) ≥ f ( x, y ) yang terletak pada
cakram terbuka yang berpusat di titik (a, b) dengan jari-jari r, maka fungsi f
dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a, b) dengan nilai maksimum
f ( a, b) .
Jika hubungan f ( a, b) ≥ f ( x, y ) berlaku untuk setiap titik ( x, y ) yang terletak
dalam daerah definisi fungsi z = f ( x, y ) , maka fungsi f dikatakan mencapai
maksimum mutlak di titik (a, b) dengan nilai maksimum f (a, b) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Definisi 2. 8
Misalkan z = f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada
suatu daerah di bidang yang memuat titik (a, b) . Jika terdapat suatu cakram
terbuka B (( a, b); r ) sedemikian sehingga f ( a, b) ≤ f ( x, y ) yang terletak pada
cakram terbuka yang berpusat di titik (a, b) dengan jari-jari r, maka fungsi f
dikatakan mencapai minumum relatif
di titik (a, b) dengan nilai minimum
f ( a, b) .
Jika hubungan f ( a, b) ≤ f ( x, y ) berlaku untuk setiap titik ( x, y ) yang terletak
dalam daerah definisi fungsi z = f ( x, y ) , maka fungsi f dikatakan mencapai
minimum mutlak di titik (a, b) dengan nilai minimum f (a, b) .
Kedua definisi di atas dapat diperlihatkan dalam ilustrasi di bawah ini.
Gambar 2. 9 Nilai-nilai ekstrem dari fungsi dengan duavariabel
z = f ( x, y )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Dari grafik tampak bahwa fungsi z = f ( x, y ) terdefinisi di dalam
domainnya yaitu bidang persegi tertutup pada bidang –xy yang titik-titiknya
memenuhi ketaksamaan
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 . Fungsi z = f ( x, y ) mempunyai
maksimum relatif di titik B dan minimum relatif di titik A dan titik C. Fungsi
z = f ( x, y ) juga mempunyai minimum mutlak di titik A dan maksimum mutlak di
titik D.
Jika f mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik
(a, b) maka dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem relatif di titik (a, b) dan jika
mempunyai nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak di titik (a, b) maka
dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem mutlak di titik (a, b) .
Teorema 2.6
Misal
z = f ( x, y )
terdefinisi pada semua titik pada cakram terbuka
B (( a, b); r ) dan f mencapai mempunyai nilai ekstrem relatif pada titik (a, b) serta
turunan parsial tingkat pertama dari f ada pada titik (a, b) , maka f x (a, b) = 0
dan f y ( a, b) = 0 .
Bukti:
Akan dibuktikan dalam dua kasus, yaitu jika f (a, b) adalah nilai maksimum
relatif dan f (a, b) adalah nilai minimum relatif.
i. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada
(a, b) dan f x (a, b) ada, maka f x (a, b) = 0 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Jika f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel ( x, y ) maka turunan parsial f
terhadap x pada titik (a, b) adalah f x ( a, b) = lim
h →0
f ( a + h, b ) − f ( a , b )
h
Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di (a, b) maka dengan memakai
Definisi 2.7 didapat f (a + h, b) − f (a, b) ≤ 0 .
Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga ( a + h, b) ada di
dalam B (( a, b); δ ) .
Jika h → 0 + , h > 0 maka
f ( a + h, b ) − f ( a , b )
≤0
h
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
f x ( a, b) = lim
h →0
f ( a + h, b) − f (a, b)
≤0
h
Jika h → 0 − , h < 0 maka
f ( a + h, b ) − f ( a , b )
≥0
h
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
f x ( a, b) = lim
h →0
f ( a + h, b) − f (a, b)
≥0
h
Karena f x (a, b) ≥ 0 dan f x (a, b) ≤ 0 maka f x (a, b) = 0 .
Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada
(a, b) dan f y ( a, b) ada, maka f y ( a, b) = 0 .
Jika f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel ( x, y ) maka turunan parsial f
terhadap y pada titik (a, b) adalah f y ( a, b) = lim
k →0
f ( a, b + k ) − f ( a, b)
k
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di (a, b) maka dengan memakai
Definisi 2.7 didapat f (a, b + k ) − f ( a, b) ≤ 0 .
Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga ( a, b + k ) ada di
dalam B (( a, b); δ ) .
Jika k → 0 + , k > 0 maka
f (a , b + k ) − f ( a, b)
≤0
k
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
f y ( a, b) = lim
k →0
f ( a, b + k ) − f ( a, b)
≤0
k
Jika k → 0 − , k < 0 maka
f (a , b + k ) − f ( a, b)
≥0
k
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
f y ( a, b) = lim
k →0
f ( a, b + k ) − f ( a, b)
≥0
k
Karena f y ( a, b) ≥ 0 dan f y ( a, b) ≤ 0 maka f y ( a, b) = 0 .
ii. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada (a, b)
dan f x ( a, b) ada, maka f x (a, b) = 0 .
Jika f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel ( x, y ) maka turunan parsial f
terhadap x pada titik (a, b) adalah f x ( a, b) = lim
h →0
f ( a + h, b ) − f ( a , b )
h
Karena f mempunyai nilai minimum relatif di (a, b) maka dengan memakai
Definisi 2.8 didapat f (a + h, b) − f ( a, b) ≥ 0 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga ( a + h, b) ada di
dalam B (( a, b); δ ) .
Jika h → 0 + , h > 0 maka
f ( a + h, b ) − f ( a , b )
≥0
h
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
f x ( a, b) = lim
h →0
f ( a + h, b) − f (a, b)
≥0
h
Jika h → 0 − , h < 0 maka
f ( a + h, b ) − f ( a , b )
≤0
h
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
f x ( a, b) = lim
h →0
f ( a + h, b) − f (a, b)
≤0
h
Karena f x (a, b) ≥ 0 dan f x (a, b) ≤ 0 maka f x (a, b) = 0 .
Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada (a, b)
dan f y ( a, b) ada, maka f y ( a, b) = 0 .
Jika f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel ( x, y ) maka turunan parsial f
terhadap y pada titik (a, b) adalah f y ( a, b) = lim
k →0
f ( a, b + k ) − f ( a, b)
k
Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di (a, b) maka dengan memakai
Definisi 2.8 didapat f (a, b + k ) − f (a, b) ≥ 0 .
Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga ( a, b + k ) ada di
dalam B (( a, b); δ ) .
Jika k → 0 + , k > 0 maka
f (a , b + k ) − f ( a, b)
≥0
k
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
f y ( a, b) = lim
k →0
f ( a, b + k ) − f ( a, b)
≥0
k
Jika k → 0 − , k < 0 maka
f (a , b + k ) − f ( a, b)
≤0
k
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
f y ( a, b) = lim
k →0
f ( a, b + k ) − f ( a, b)
≤0
k
Karena f y ( a, b) ≥ 0 dan f y ( a, b) ≤ 0 maka f y ( a, b) = 0
.
■
Definisi 2.9.
Titik (a, b) disebut titik kritis dari fungsi f, jika berlaku f x (a, b) = 0 dan
f y ( a, b) = 0 .
Teorema 2.6 mengatakan bahwa syarat perlu agar suatu fungsi dengan dua
variabel mencapai nilai ekstrem relatif di suatu titik, di mana turunan parsialnya
ada di titik tersebut, adalah bahwa titik tersebut merupakan titik kritis dari
z = f ( x, y ) . Namun hal ini belum menjamin terjadinya nilai ekstrem relatif
apabila turunan parsialnya di suatu titik sama dengan nol. Keadaan ini terjadi
pada suatu titik yang disebut dengan titik pelana (saddle point), yaitu titik kritis di
mana fungsi z = f ( x, y ) tidak mempunyai nilai ekstrem. Hal ini ditunjukkan pada
contoh 2.6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Contoh 2.6
Diketahui fungsi f yang didefinisikan oleh persamaan
f ( x, y ) = 6 x − 4 y − x 2 − 2 y 2
Tentukan apakah f mencapai nilai ekstrem!
Penyelesaian:
Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik ( x, y ) , maka
Teorema 2. 6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:
f x ( x, y ) = 6 − 2 x
Dari persamaan-persamaan
dan
f y ( x , y ) = −4 − 4 y
f x ( x, y ) = 6 − 2 x = 0 dan
f y ( x , y ) = −4 − 4 y = 0
didapat x = 3 dan y = -1 sebagai titik kritis fungsi.
Grafik persamaan z = f ( x, y ) = 6 x − 4 y − x 2 − 2 y 2 tampak pada gambar 2.10
yaitu berupa paraboloida dengan titik puncak (3, -1, 11) dan terbuka ke bawah.
Dapat disimpulkan bahwa:
f ( x, y ) < f (3, − 1) untuk semua ( x, y ) ≠ (3, − 1)
Menurut Definisi 2.7, maka f (3, − 1) = 11 merupakan nilai maksimum mutlak f.
Gambar 2.10. Grafik fungsi f ( x, y ) = 6 x − 4 y − x 2 − 2 y 2 dengan (3,−1,11)
sebagai titik puncaknya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Contoh 2.7
Tentukan nilai ekstrem relatif dari fungsi f ( x y ) = 2 x 2 + y 2 − xy − 7 y !
Penyelesaian:
Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik ( x, y ) , maka
Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:
f x ( x, y ) = 4 x − y dan f y ( x, y ) = 2 y − x − 7
Kemudian dengan menyelesaikan
f x ( x, y ) = 4 x − y = 0
f y ( x, y ) = 2 y − x − 7 = 0
didapat x = 1 dan y = 4 sebagai titik stasionernya.
Sekarang akan dibandingkan nilai f pada (1, 4) dengan nilai f pada (1 + h, 4 + k ) .
f (1, 4) = 2 + 16 − 4 − 28 = −14
f (1 + h, 4 + k ) = 2 (1 + h) 2 + (4 + k ) 2 − (1 + h)(4 + k )
= 2 + 4h + 2h 2 + 16 + 8k + k 2 − 4 − 4h − k − hk − 28 − 7 k
= 2h 2 + k 2 − hk − 14
(
)
f (1 + h, 4 + k ) − f (1, 4) = 2h 2 + k 2 − hk = 2 h 2 − 12 hk + k 2
= 2 (h − 14 k ) + 98 k 2 > 0 untuk semua h, k di dalam ℜ .
2
Jadi f mempunyai minimum relatif pada titik (1, 4) dengan nilai minimum
relatifnya -14.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Contoh 2.8
Selidiki apakah fungsi f ( x, y ) = x 2 − y 2 mempunyai nilai ekstrem relatif!
Penyelesaian:
Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik ( x, y ) , maka
Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:
f x ( x, y ) = 2 x
f y ( x , y ) = −2 y
Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x ( x, y ) = 2 x = 0 dan
f y ( x, y ) = −2 y = 0 . Kemudian diperoleh titik (0,0) sebagai titik kritisnya.
Pada bidang y = 0 ,
f ( x, y ) = x 2 bernilai positif, dan pada bidang x = 0 ,
f ( x, y ) = − y 2 bernilai negatif. Jadi titik (0,0) bukan merupakan nilai ekstrem dari
f ( x, y ) = x 2 − y 2 . Hal ini ditunjukkan pada grafik di bawah ini.
Gambar 2.11 Grafik fungsi f ( x, y ) = x 2 − y 2 dengan titik (0,0)
sebagai titik pelananya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Seperti halnya pada fungsi dengan satu variabel bahwa syarat
f ′(c) = 0 belum cukup menjamin bahwa f mempunyai ekstrem pada c. Demikian
pula halnya bahwa syarat f x ( x, y ) = 0 dan f y ( x, y ) = 0 belum cukup menjamin
bahwa fungsi dengan dua variabel mempunyai ekstrem pada titik (a, b) . Untuk itu
diperlukan syarat cukup yang menjamin bahwa fungsi dengan dua variabel
mempunyai ekstrem pada titik (a, b) .
Teorema 2.7
Misalkan f adalah fungsi dengan dua variabel dengan turunan-turunan parsial
tingkat
dua
yang
kontinu
pada
cakram
terbuka
B (( a, b); r )
dan
f x ( a, b) = f y (a, b) = 0 . Misalkan H (a, b) = f xx (a, b). f yy (a, b) − f xy2 (a, b) .
Maka berlaku:
1. f mencapai nilai minimum relatif di titik (a, b) jika H ( a, b) > 0 dan
f xx (a, b) > 0
2. f mencapai nilai maksimum relatif di titik (a, b) jika H ( a, b) > 0 dan
f xx (a, b) < 0
3. f tidak mempunyai nilai ekstrem relatif di titik (a, b) jika H ( a, b) < 0
4. jika H (a, b) = 0 , f belum dapat disimpulkan apakah mempunyai nilai
ekstrem atau tidak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Bukti:
1. Misalkan φ( x, y ) = f xx ( x, y ). f yy ( x, y ) − f xy2 ( x, y) .
Diketahui φ( a, b) > 0 dan f xx (a, b) > 0 , akan dibuktikan bahwa f (a, b)
adalah nilai minimum relatif.
Karena f xx , f yy dan f xy adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada cakram
terbuka B (( a, b); r ) , maka φ( x, y ) juga kontinu di B (( a, b); r ) . Akibatnya
terdapat cakram terbuka
B ′ (( a, b); r ′) , dengan
r ′ ≤ r , sedemikian
sehingga φ( x, y ) > 0 dan f xx ( x, y ) > 0 untuk setiap ( x, y ) di cakram
terbuka B ′ (( a, b); r ′) .
Misalkan h dan k adalah konstanta-konstanta yang tidak keduanya nol,
sedemikian sehingga titik ( a + h, b + k ) di B ′ (( a, b); r ′) . Maka dua
persamaan berikut :
x = a + ht dan y = b + kt , 0 ≤ t ≤ 1
mendefinisikan semua titik pada segmen garis yang menghubungkan titik
(a, b) dan ( a + h, b + k ) . Misal F adalah fungsi dengan satu variabel yang
didefinisikan oleh:
F (t ) = f ( a + ht , b + kt )
(2.2)
Dengan rumus Maclaurin untuk fungsi F dengan satu variabel didapat:
F (t ) = F (0) + F ′(0) t +
F ′′(ξ) 2
t
2!
dengan 0 < ξ < t
untuk t = 1 pada persamaan (2.3) berlaku:
(2.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
F (1) = F (0) + F ′(0) + 12 F ′′(ξ)
(2.4)
dengan 0 < ξ < 1
Karena F (0) = f ( a, b) dan F (1) = f ( a + h, b + k ) maka dengan persamaan
(2.3) didapat:
f (a + h, b + k ) = f (a, b) + F ′(0) + 12 F ′′(ξ)
(2.5)
dengan 0 < ξ < 1
Untuk mendapatkan F ′(t ) dan F ′′(ξ) digunakan aturan rantai pada
persamaan (2.2), maka didapat:
F ′(t ) = hf x ( a + ht , b + kt ) + kf y ( a + ht , b + kt )
(2.6)
Jika fungsi f dengan dua variabel dalam x dan y terdefinisi pada cakram
terbuka B (( a, b); r ) dan f xx , f yy , f xy dan f yx terdefinisi di B serta f xy ,
f yx kontinu B, maka diperoleh:
f xy ( x, y ) = f yx ( x, y ) untuk setiap titik ( x, y ) di B1 .
Jadi berlaku:
F ′′(t ) = h 2 f xx 2hkf xy + k 2 f yy
(2.7)
di mana setiap turunan parsial di ruas kanan persamaan (2.6) dihitung di
titik ( a + ht , b + kt ) . Dengan memasukkan t = 0 pada persamaan (2.5) dan
t = ξ pada persamaan (2.6) didapat:
F ′(0) = hf x (a, b) + kf y ( a, b) = 0
(2.8)
dan
F ′′(ξ) = h 2 f xx + 2hkf xy + k 2 f yy
(2.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
di mana setiap turunan parsial kedua persamaan (2.9) dihitung di titik
( a + ht , b + kt ) dengan 0 < ξ < 1 .
Dengan memasukkan persamaan (2.8) dan (2.9) ke dalam persamaan (2.5)
akan diperoleh:
f (a + h, b + k ) − f (a, b) = 12 (h 2 f xx + 2hkf xy + k 2 f yy )
(2.10)
bentuk-bentuk di dalam tanda kurung pada persamaan (2.9) dapat ditulis
sebagai:
h f xx + 2hkf xy + k f yy
2
2
2
2
⎡
f xy ⎛ f xy ⎞ ⎛ f xy ⎞
f ⎤
2
⎟⎟ − ⎜⎜ k
⎟⎟ + k 2 yy ⎥
= f xx ⎢h + 2hk
+ ⎜⎜ k
f xx ⎝ f xx ⎠ ⎝ f xx ⎠
f xx ⎥
⎢⎣
⎦
sehingga persamaan (2.10) dapat ditulis:
f
f (a + h, b + k ) − f (a, b) = xx
2
2
⎡⎛
f xy ⎞
f xx f yy − f xy2 2 ⎤
⎟ +
⎢⎜⎜ h +
k ⎥
f xx ⎟⎠
f xx2
⎢⎣⎝
⎥⎦
(2.11)
Karena f xx f yy − f xy2 dihitung di titik ( a + ht , b + kt ) , maka nilainya sama
dengan φ( a + hξ, b + kξ) > 0 . Jadi akan diperleh bentuk di dalam kurung
pada persamaan (2.10) akan bertanda positif. Selain itu karena
f xx (a + hξ, b + kξ) > 0 , maka dari persamaan (2.11) didapat bahwa
f ( a + h, b + k ) − f ( a, b) bertanda positif.
Terbukti
bahwa
f ( a + h, b + k ) > f ( a , b )
untuk
setiap
( a + h, b + k ) ≠ ( a, b) pada B1 . Kemudian dengan memakai Definisi 2.8
akan diperoleh bahwa f (a, b) merupakan nilai minimum relatif dari f.
2. Diketahui φ( a, b) > 0 dan f xx (a, b) < 0 , akan dibuktikan bahwa f (a, b)
adalah nilai maksimum relatif. Langkah-langkah pembuktian merupakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
analogi
dari
langkah
pembuktian
pada
kasus
pertama.
Karena
( a + hξ, b + kξ) di dalam B (( a, b); r ) , maka f xx (a + hξ, b + kξ) < 0 dan
dari persamaan (10)
didapat bahwa f ( a + h, b + k ) − f ( a, b) bertanda
negatif.
Jadi
terbukti
f ( a + h, b + k ) < f ( a , b )
bahwa
untuk
setiap
( a + h, b + k ) ≠ ( a, b) pada B1 . Kemudian dengan memakai Definisi 2.7
akan diperoleh bahwa f (a, b) merupakan nilai maksimum relatif dari f.
3. Diketahui H (a, b) = f xx (a, b). f yy (a, b) − f xy2 (a, b) < 0
Dari persamaan (2.9) andaikan bahwa
F = h 2 f xx + 2hkf xy + k 2 f yy
(2.12)
Atau dapat ditulis sebagai
(
)
F=
1 2 2
h f xx + 2hkf xy f xx + k 2 f yy f xx
f xx
F=
1
(hf xx + kf xy ) 2 + k 2 f xx f yy − f xy2
f xx
[
(
, f xx ≠ 0
)]
, f xx ≠ 0
(2.13)
Tanda dari F bergantung pada nilai h dan k.
Misalkan
•
diambil k = 0, maka F = h 2 f xx dan F akan mempunyai tanda yang
sama dengan f xx .
•
− hf xx
k 2H k 2H
diambil k =
= 2 f xx ,
,maka F =
f xx
f xy
f xx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
− hf xx
k 2H
< 0 , untuk nilai k =
dan F mempunyai tanda yang
2
f xy
f xx
berlawanan dengan f xx .
Dari dua contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa titik kritisnya merupakan
titik pelana karena F tidak memberikan tanda yang sama untuk setiap
( h, k ) yang diberikan.
Jadi f (a, b) bukan merupakan nilai ekstrem.
4. Untuk
H (a, b) = f xx (a, b). f yy (a, b) − f xy2 (a, b) = 0
akan
dengan deret Taylor yang akan dibahas pada bab selanjutnya.
diselesaikan
■
Berikut merupakan langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrem
fungsi dengan dua variabel:
1. Menentukan f x ( x, y ) dan f y ( x, y )
2. Menentukan nilai-nilai x dan y di mana f x ( x, y ) = 0 dan f y ( x, y ) = 0
untuk mendapatkan nilai kritisnya.
3. Menentukan f xx ( x, y ) , f xy ( x, y ) , dan f yy ( x, y )
4. Menentukan H (a, b) = f xx (a, b). f yy (a, b) − f xy2 (a, b) dan f xx ( x, y ) pada
titik kritis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Contoh 2.9
Diketahui fungsi f yang didefinisikan oleh:
f ( x, y ) = 2 x 4 + y 2 − x 2 − 2 y
Tentukan nilai ekstrem relatif dari f !
Penyelesaian:
Tururan parsial pertama fungsi f adalah:
f x ( x, y ) = 8 x 3 − 2 x
f y ( x, y ) = 2 y − 2
Dari persamaan f x ( x, y ) = 8 x 3 − 2 x = 0 didapat x = − 12 , x = 0 dan x =
1
2
Dari persamaan f y ( x, y ) = −2 y − 2 = 0 didapat y = 1
Diperoleh titik-titik kritis fungsi f yaitu (− 12 ,1), (0,1) dan ( 12 ,1) .
Kemudian menentukan turunan parsial kedua dari f, yaitu;
f xx ( x, y ) = 24 x 2 − 2
f yy ( x, y ) = 2
f xy ( x, y ) = 0
kemudian dihitung:
f xx (− 12 ,1) = 4 > 0
H (− 12 ,1) = f xx (− 12 ,1) f yy (− 12 ,1) − f xy2 (− 12 ,1) = 4.2 − 0 = 8 > 0 .
Karena H (− 12 ,1) > 0 , maka menurut Teorema 2.7 f mencapai minimum relatif di
titik (− 12 ,1) .
f xx (0,1) = −2 < 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
H (0,1) = f xx (0,1) f yy (0,1) − f xy2 (0,1) = (−2).2 − 0 = −4 < 0
Karena H (0,1) < 0 , maka menurut Teorema 2.7 f tidak mencapai minimum
relatif di titik (0,1) .
f xx ( 12 ,1) = 4 > 0
H ( 12 ,1) = f xx ( 12 ,1) f yy ( 12 ,1) − f xy2 ( 12 ,1) = 4.2 − 0 = 8 > 0
Karena H ( 12 ,1) > 0 , maka menurut Teorema 2.7 f mencapai minimum relatif di
titik ( 12 ,1) .
Jadi dapat disimpulkan bahwa f mencapai nilai minimum relatif di titik (− 12 ,1)
dan titik ( 12 ,1) dengan nilai minimum relatif adalah − 89 .
Contoh 2.10
Tentukan nilai ekstrem relatif untuk fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:
f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2 x + 1
Penyelesaian:
Turunan parsial pertama dari fungsi di atas adalah
f x ( x, y ) = 2 x − 2
f y ( x, y ) = 2 y
dengan menyelesaikan f x ( x, y ) = 0 dan f y ( x, y ) = 0 , maka akan didapat x = 1
dan y = 0.
Kemudian turunan parsial kedua adalah
f xx ( x, y ) = 2 > 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
f yy ( x, y ) = 2
f xy ( x, y ) = 0
pada titik (1,0) dipunyai H = 2.2 − 0 2 = 4 > 0 . Karena f xx ( x, y ) > 0 dan H > 0 ,
maka dengan menggunakan Teorema 2.7 f ( x, y ) mempunyai nilai minimum
relatif dengan nilai minimum relatif sama dengan nol.
Contoh 2.11
Tentukan nilai maksimum dan minimum relatif dari fungsi
f ( x, y ) = x 3 + y 3 − 3x − 12 y + 20
Penyelesaian :
Turunan parsial pertama dari fungsi di atas adalah
f x ( x, y ) = 3 x 3 − 3
f y ( x, y ) = 3 y 2 − 12
f x ( x, y ) = 0 untuk x = ±1
f y ( x, y ) = 0 untuk y = ±2
Selanjutnya didapat empat titik kritis dari f ( x, y ) , yaitu:
(1,2), (-1,2), (1,-2) dan (-1,-2)
Kemudian turunan parsial kedua adalah
f xx ( x, y ) = 6 x
f yy ( x, y ) = 6 y
f xy ( x, y ) = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Kemudian,
Pada titik (1,2)
f xx ( x, y ) = 6 > 0 dan H = 6 (1). 6(2) − 0 2 = 72 > 0 , yang berarti bahwa titik (1,2)
merupakan titik minimum relatif dari f ( x, y ) .
Pada titik (-1,2)
f xx ( x, y ) = −6 < 0 dan
H = 6 (−1). 6(2) − 0 2 = −72 < 0 , yang berarti bahwa
f ( x, y ) tidak mempunyai nilai ekstrem pada titik (-1,2).
Pada titik (1,-2)
f xx ( x, y ) = 6 > 0
dan
H = 6 (1). 6(−2) − 0 2 = −72 < 0
yang
berarti
bahwa
f ( x, y ) tidak mempunyai nilai ekstrem pada titik (1,-2).
Pada titik (-1,-2)
f xx ( x, y ) = −6 < 0 dan H = 6 (−1). 6(−2) − 0 2 = 72 > 0 yang berarti bahwa titik
(-1,-2) merupakan titik maksimum relatif dari f ( x, y ) .
Pada fungsi dengan satu variabel, biasanya fungsi yang ingin dicari nilai
maksimum atau minimum terdefinisi pada interval tertutup [a,b] sehingga fungsi
tersebut terdefinisi pada himpunan terbatas ℜ . Kemudian terdapat suatu teorema
yang menjamin tentang adanya nilai ekstrem mutlak suatu fungsi dengan satu
variabel yang kontinu pada interval tertutup [a,b].
Seperti halnya pada fungsi dengan satu variabel, teorema berikut, yang
sangat sukar dibuktikan namun secara intuisi jelas, akan membantu dalam
menentukan nilai ekstrem mutlak suatu fungsi dengan dua variabel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Teorema 2.8 Teorema Nilai Ekstrem
Jika fungsi f kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas pada ℜ , maka f
mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada titik-titik di dalam
ℜ.
Jika fungsi f ( x, y ) kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas ℜ ,
maka teorema di atas menjamin adanya nilai maksimum dan minimum mutlak
fungsi f ( x, y ) pada ℜ . Ekstrem mutlak ini dapat terjadi pada batas ℜ atau
dalam pedalaman ℜ1 , namun jika ekstrem mutlak yang terjadi pada titik
pedalaman, maka hal itu terjadi pada suatu titik kritis.
Teorema 2.9
Jika fungsi f ( x, y ) mempunyai ekstrem mutlak pada suatu titik di pedalaman
domainnya, maka ekstrem itu terjadi pada suatu titik kritis.
Bukti:
Jika fungsi f ( x, y ) mempunyai ekstrem mutlak pada titik (a, b) dalam pedalaman
domain f, maka f (a, b) merupakan nilai terbesar atau terkecil dalam pedalaman
dmain f. Dengan demikian, ini dapat berarti bahwa nilai terbesar atau terkecil dari
f berada di sekitar titik (a, b) . Atau dengan kata lain terdapat suatu kitaran yang
berpusat di titik (a, b) yang menjadikan f (a, b) adalah suatu nilai terbesar atau
terkecil dalam kitaran tersebut. Jadi f ( x, y ) mempunyai ekstrem relatif. Jika
turunan-turunan parsial f ( x, y ) ada pada titik (a, b) , maka f x ( x, y ) = 0 dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
f y ( x, y ) = 0 . Menurut Teorema 2.8 maka titik (a, b) merupakan titik kritis dari
■
f ( x, y ) .
Berikut merupakan langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrem
mutlak dari fungsi f ( x, y ) yang kontinu pada himpunan terbatas ℜ :
1. Menentukan titik-titik kritis dari f ( x, y ) yang terletak di dalam ℜ .
2. Menentukan semua titik perbatasan.
3. Menghitung nilai f ( x, y ) pada titik-titik perbatasan dan titik-titik kritis,
nilai terbesar akan menjadi nilai maksimum mutlak dan nilai terkcil akan
menjadi nilai minimum mutlak.
Contoh 2.12
Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak fungsi yang didefinisikan oleh
f ( x, y ) = 3 xy − 6 x − 3 y + 7
Pada daerah segitiga tertutup ℜ dengan koordinat-koordinat (0,0), (3,0) dan (0,5)
Penyelesaian:
Daerah ℜ tampak pada gambar di bawah ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
y
(0,5)
(0,0)
(3,0)
x
Gambar 2. 12 Domain fungsi f ( x, y ) = 3 xy − 6 x − 3 y + 7
Turunan parsial pertama f ( x, y ) = 3 xy − 6 x − 3 y + 7
f x ( x, y ) = 3 y − 6
f y ( x, y ) = 3 x − 3
Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x ( x, y ) = 3 y − 6 = 0 dan
f y ( x, y ) = 3 x − 3 = 0 kemudian didapat x = 1 dan y = 2.
Kemudian ditentukan lokasi titik-titik pada batas ℜ di mana ekstrem mutlak
terjadi. Batas-batas ℜ terdari dari tiga buah ruas garis, yaitu:
Ruas garis di antara titik (0,0) dan titik (3,0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Pada ruas garis ini dipunyai y = 0 dan f ( x, y ) dapat diubah menjadi fungsi
dengan satu variabel dalam x, yaitu u ( x) = f ( x, 0) = −6 x + 7 dengan 0 ≤ x ≤ 3 .
Fungsi u ( x ) = −6 x + 7 tidak mempunyai titik kritis karena u ′( x) = −6 ≠ 0 untuk
semua x.
Jadi nilai ekstrem u ( x ) = −6 x + 7 terjadi pada titik-titik ujung ruas garis di antara
titik (0,0) dan titik (3,0).
Ruas garis di antara titik (0,0) dan titik (0,5)
Pada ruas garis ini dipunyai x = 0 dan f ( x, y ) dapat diubah menjadi fungsi
dengan satu variabel dalam y, yaitu v ( y ) = f (0, y ) = −3 y + 7 dengan 0 ≤ y ≤ 5 .
Fungsi v ( y ) = −3 y + 7 tidak mempunyai titik kritis karena v ′( x) = −3 ≠ 0 untuk
semua y.
Jadi nilai ekstrem v ( y ) = −3 y + 7 terjadi pada titik-titik ujung ruas garis di antara
titik (0,0) dan titik (0,5).
Ruas garis di antara titik (3,0) dan titik (0,5)
Persamaan garis yang melalui titik (3,0) dan titik (0,5) adalah y = − 53 x + 5
dengan 0 ≤ x ≤ 3 . Kemudian fungsi f ( x, y ) diubah menjadi fungsi dengan satu
variabel dalam x, yaitu:
w( x) = f (x, − 53 x + 5) = 3x(− 53 x + 5) − 6 x − 3(− 53 x + 5) + 7
= −5 x 2 + 14 x − 8 ,
dengan 0 ≤ x ≤ 3
Kemudian turunan pertama dari w( x ) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
w′( x ) = −10 x + 14
Persamaan w′( x ) = −10 x + 14 = 0 akan menghasilkan sebuah titik kritis yaitu
x = 75 . Nilai ekstrem w( x ) terjadi pada titik kritis x =
7
5
atau titik-titik ujung,
yaitu x = 0 dan x = 3.
Dengan memasukan x =
y = 83 . Titik
7
5
ke dalam persamaan y = − 53 x + 5 , maka akan di dapat
( 75 , 83 ) merupakan titik kritis dari
y = − 53 x + 5 .
Kemudian mendaftar semua nilai f ( x, y ) pada titik kritis dan pada titik-titik batas
di mana ekstrem mutlak terjadi.
( x, y )
f ( x, y )
(0,0)
7
(3,0)
-11
(0.5)
-8
( 75 , 83 )
9
8
(1,2)
1
Dari tabel tampak bahwa nilai maksimum mutlak adalah 7 dan terjadi pada titik
(0,0) dan nilai minimum mtlak adalah -11 dan terjadi pada titik (3,0). Gambar
berikut merupakan daerah domain f ( x, y ) = 3 xy − 6 x − 3 y + 7 dan nilai kritisnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
y
(0,5)
⎛7 8⎞
⎜ , ⎟
⎝ 5 3⎠
(1,2)
(0,0)
(3,0)
Gambar 2. 13 Domain fungsi f ( x, y ) = 3 xy − 6 x − 3 y + 7 beserta
nilai kritisnya
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
TEOREMA TAYLOR
Salah satu awal penerapan kalkulus adalah perhitungan nilai- nilai fungsi
seperti sin x, ln x, dan e x .Ide ini muncul untuk mendekati fungsi yang diketahui
dengan suatu polinomial sedemikian rupa sehingga kesalahan dalam menentukan
hasilnya cukup kecil atau masih dalam suatu batas toleransi tertentu.
A. Deret Pangkat
Di dalam perkuliahan sudah dikenal dan dipelajari deret dengan suku –
suku konstan. Dalam penulisan ini akan diperhatikan sebuah deret yang suku –
sukunya berkaitan dengan variabel. Deret seperti ini merupakan dasar penting
dalam banyak cabang matematika.
Jika a 0 , a1 , a 2 , a3 ,.... merupakan konstanta – konstanta dan x adalah suatu
variabel maka deret :
∞
∑a
n=0
n
x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L + a n x n + L
(3.1)
disebut deret pangkat dalam x.
Andaikan akan bermaksud mendekati fungsi f dengan polinomial
ρ (x ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + L + a n x n
pada suatu interval
(3.2)
yang berpusat di x = 0 . Karena ρ (x ) memiliki ( n + 1)
koefisien, maka ( n + 1) merupakan syarat pada polinom ini. Dianggap bahwa n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
turunan yang pertama dari f ada di x = 0 dan dipilih ( n + 1) syarat sebagai
berikut :
f (0) = ρ(0), f ' (0) = ρ' (0), f " (0) = ρ " (0),L, f ( n ) (0) = ρ n (0)
(3.3)
Persyaratan ini menuntut bahwa nilai ρ (x ) dan n turunan pertamanya
bersesuaian dengan nilai f (x ) serta n turunan pertamanya di x = 0 . Diharapkan
bahwa f (x ) dan ρ (x ) hasilnya akan cukup dekat dalam suatu interval yang
berpusat di x = 0 .
Karena diketahui ρ (x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + L + a n x n
maka
ρ ' ( x) = a 1 +2a 2 x + 3a 3 x 2 + L + na n x n −1 .
Sehingga jika diteruskan diperoleh :
ρ "( x ) = 2a 2 + 3.2a 3 x + L + n( n − 1) a n x n − 2 ,
ρ "' ( x ) = 3.2a 3 + L + n( n − 1)( n − 2) a n x n −3 ,
M
ρ ( n ) ( x ) = n( n − 1)(n − 2) La n = n! a n .
pada x = 0 diperoleh
ρ (0) = a 0 ,
ρ ' (0) = a1 ,
ρ " (0) = 2a 2 ,
ρ "' (0) = 3.2a 3 ,
M
ρ ( n ) (0) = n! a n .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Jadi menurut persamaan (3.3) didapat
f (0) = a 0 , f ' (0) = a1 , f " (0) = 2!a 2 , f ''' (0) = 3! a 3 , L , f
(n)
(0) = n! a n .
Sehingga diperoleh
a 0 = f (0),
a 1 = f ' (0),
a2 =
f " (0)
,
2!
f ''' (0)
a3=
,
3!
M
an=
f
(n)
( 0)
.
n!
Jika nilai – nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan (3.2), maka akan diperoleh
suatu polinom Maclaurin untuk fungsi f.
Definisi 3.1
Jika fungsi f berturunan n kali x = 0 , maka polinomial Maclaurin ke-n untuk f
didefinisikan sebagai
f " (0) 2 f "' (0) 3
f ( n ) (0) n
ρ n (x) = f (0) + f (0) x +
x +
x +L+
x
2!
3!
n!
'
(3.4)
Polinom tersebut bersifat bahwa nilainya dan nilai – nilai n turunan pertamanya
bersesuaian dengan nilai f (x) dan n turunan pertamanya pada x = 0 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Contoh 3.1
Tentukan polinomial Maclaurin untuk e x !
Penyelesaian:
Andaikan
f (x ) = e x , maka
f ' ( x) = f " ( x) = f
"'
( x) = L = f
(n)
( x) = e x dan
f (0) = f ' (0) = f " (0) = f "' (0) = L = f ( n ) (0) = 1.
Jadi didapat polinomial Maclaurin ke-n untuk e x adalah
ρ n ( x) = 1 + x +
1 2 1 3
1
x + x + L+ xn.
2!
3!
n!
Contoh 3.2
Tentukan polinom Maclaurin untuk sin x !
Penyelesaian:
Andaikan f ( x) = sin x maka f ' ( x) = cos x , f " ( x ) = − sin x, f ' ' ' ( x ) = − cos x.
Sehingga f (0) = 0, f ' (0) = 1, f " (0) = 0, f "' (0) = −1 .
Karena f ( 4) ( x) = sin x = f ( x) , maka pola 0,1,0,-1 akan berulang – ulang jika
berturut – turut menurunkan lagi di x = 0 . Oleh karena itu akan diperoleh
polinomial Maclaurin untuk sin x adalah
ρ1 ( x ) = 0 + x = x ,
ρ 2 ( x) = 0 + x + 0 = x,
ρ 3 ( x) = 0 + x + 0 −
x3
x3
= x− ,
3!
3!
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
ρ 4 ( x) = 0 + x + 0 −
x3
x3
+0= x− ,
3!
3!
ρ 5 ( x) = 0 + x + 0 −
x3
x5
x3 x5
+0+
= x−
+ ,
3!
5!
3! 5!
ρ 6 ( x) = 0 + x + 0 −
x3
x5
x3 x5
+0+
+0= x−
+ ,
3!
5!
3! 5!
M
Jadi polinomial Maclaurin ke-n untuk sin x adalah
ρ 2 n+1 ( x) = ρ 2 n + 2 ( x) = x −
x3 x5 x7
x 2 n +1
+
−
+ L + (−1) n
.
3! 5! 7!
(2n + 1)!
Jika berminat pada pendekatan polinom untuk f (x ) pada suatu interval
x = a , maka idenya adalah memilih polinomial ρ (x ) pada
dengan pusat
x = a sehingga nilai – nilai ρ (x ) dan n turunan pertamanya bersesuaian dengan
nilai – nilai f (x ) dan n turunan pertamanya pada x = a . Perhitungan paling
sederhana bila pendekatan polinomial dinyatakan dalam bentuk :
ρ( x ) = c 0 + c1 ( x − a ) + c 2 ( x − a ) 2 + c 3 ( x − a ) 3 + L + c n ( x − a ) n
ρ ' ( x ) = c1 + 2c 2 ( x − a ) + 3c3 ( x − a ) 2 + L + nc n ( x − a ) n −1 ,
ρ " ( x ) = 2c 2 + 3.2c 3 ( x − a ) + L + n(n − 1)c n ( x − a ) n − 2 ,
ρ ''' ( x ) = 3.2c 3 + L + n(n − 1)(n − 2)c n ( x − a ) n −3 ,
M
ρ ( n ) ( x ) = n( n − 1)(n − 2) L c n = n!c n .
untuk x = a diperoleh
(3.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
ρ (a ) = c0 ,
ρ ' (a) = c1 ,
ρ '' (a) = 2c 2 = 2!c 2 ,
ρ ''' ( a ) = 3.2c3 = 3!c3 ,
M
ρ ( n ) ( a ) = n( n − 1)( n − 2)( n − 3) L c n = n!c n .
Jadi, bila diinginkan nilai dari ρ (x ) dan n turunan pertamanya bersesuaian
dengan nilai – nilai f (x ) dan n turunan pertamanya pada x = a , akan diperoleh :
c 0 = f ( a ),
c1 = f ' (a ),
c2 =
f '' (a)
,
2!
c3 =
f ''' (a)
,
3!
M
cn =
f ( n ) (a)
.
n!
Selanjutnya jika nilai – nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan (3.5) akan
diperoleh polinomial yang disebut polinomial Taylor ke – n untuk f di sekitar
x = a.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Definisi 3.2
Jika fungsi f berturunan n kali pada x = a , maka polinomial Taylor ke – n
disekitar x = a didefinisikan sebagai :
ρ n ( x ) = f ( a ) + f ' ( a )( x − a ) +
f " (a )
f "' ( a )
( x − a) 2 +
( x − a)3 + L
2!
3!
f ( n ) (a )
+
( x − a) n
n!
(3.6)
Contoh 3.3
Tentukan Polinom Taylor ρ 4 ( x) untuk e x disekitar x = 1 .
Penyelesaian:
Andaikan f ( x) = e x diperoleh f ' ( x) = f " ( x) = f "' ( x) = f ( 4 ) ( x) = e x
dan f (1) = f ' (1) = f " (1) = f "' (1) = f ( 4) (1) = e .
Jadi polinomial Taylor ke – 4 untuk e x disekitar x = 1 adalah
f " (1)
f "' (1)
f ( 4 ) (1)
( x − 1) 2 +
( x − 1) 3 +
( x − 1) 4
2!
3!
4!
e
e
e
ρ 4 ( x) = e + e( x − 1) + ( x − 1) 2 + ( x − 1) 3 + ( x − 1) 4
2!
3!
4!
ρ 4 ( x) = f (1) + f ' (1)( x − 1) +
⎛
⎝
ρ 4 ( x) = e⎜1 + ( x − 1) +
1
1
1
⎞
( x − 1) 2 + ( x − 1) 3 + ( x − 1) 4 ⎟ .
2!
3!
4!
⎠
Contoh 3.4
Tentukan polinomial Taylor ρ 4 ( x) untuk sin x disekitar x =
π
2
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Penyelesaian:
Andaikan f ( x) = sin x maka diperoleh
f ' ( x) = cos x, f " ( x) = − sin x, f "' ( x) = − cos x, f ( 4) ( x) = sin x. dan
⎛π ⎞
⎛π ⎞
⎛π ⎞
f ' ⎜ ⎟ = 0, f " ⎜ ⎟ = −1, f "' ⎜ ⎟ = 0, f
⎝2⎠
⎝2⎠
⎝2⎠
( 4)
⎛π ⎞
⎜ ⎟ = 1.
⎝2⎠
Jadi polinomial Taylor ke -4 untuk sin x disekitar x =
π
2
adalah
1 ⎛ π ⎞⎛
π ⎞ 1 ⎛ π ⎞⎛
π⎞
π⎞
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎛
ρ 4 ( x) = f ⎜ ⎟ + f ' ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ + f " ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ + f "' ⎜ ⎟⎜ x − ⎟
2 ⎠ 2! ⎝ 2 ⎠⎝
2⎠
3! ⎝ 2 ⎠⎝
2⎠
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠⎝
2
1
π⎞
⎛ π ⎞⎛
+ f ( 4 ) ⎜ ⎟⎜ x − ⎟
4!
2⎠
⎝ 2 ⎠⎝
4
1⎛
1⎛
π⎞
π⎞
⎜x− ⎟ + ⎜x − ⎟ .
2! ⎝
2⎠
4! ⎝
2⎠
2
=1 −
3
4
Kadang – kadang dalam mempermudah penyajian untuk menyatakan
rumus definisi polinomial Taylor dengan menggunakan notasi sigma. Untuk
melakukan hal ini digunakan notasi f ( k ) (a ) untuk menyatakan turunan tingkat k
dari f pada x = a dan membuat penyajian tambahan bahwa f ( 0 ) ( a ) menyatakan
f (a ). Hal ini akan memungkinkan untuk menulis polinomial dalam bentuk :
n
∑
k =0
f ( k ) (a)
f " (a )
f ( n ) (a)
k
'
2
( x − a) = f (a) + f (a)( x − a) +
( x − a) + L +
( x − a) n
k!
2!
n!
Karena nilai dari f
dan n
turunan pertamanya bersesuaian dengan nilai
polinomial Taylor dan n turunan pertama pada x = a akan menjadi lebih baik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
dalam mendekati f (x ) , sekurang – kurangnya dalam suatu interval yang
berpusat di x = a .
B. Deret Taylor
Sebelum memulai pembahasan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu
dan dua variabel terlebih dahulu diberikan definisi tentang deret Taylor.
Definisi 3.3
Jika fungsi f berturunan pada semua tingkat pada x = a , maka didefinisikan
deret Taylor untuk f disekitar x = a adalah
n
∑
k =0
f ( k ) (a)
f " (a)
( x − a) k = f (a) + f ' (a)( x − a) +
( x − a) 2 + L
k!
2!
+
f ( n ) (a)
( x − a) n + L
n!
(3.7)
Definisi 3.4
Jika fungsi f berturunan pada semua tingkat pada x = 0 , maka didefinisikan
deret Taylor untuk f disekitar x = 0 adalah
n
∑
k =0
f ( k ) (0) k
f " (0) 2 f "' (0) 3
f ( n ) (0) n
x = f (0) + f ' (0) x +
x +
x +L+
x +L
k!
2!
3!
n!
(3.8)
Contoh 3.5
Polinom Maclaurin ke – n untuk e x adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
xk
1
1
1
= 1 + x + x2 + x3 + L + xn .
∑
2!
3!
n!
k = 0 k!
n
Jadi deret Maclaurin ke – n untuk e x adalah
xk
1
1
1
= 1 + x + x 2 + x 3 + L + x n + L.
∑
2!
3!
n!
k = 0 k!
n
Contoh 3.6
Tentukan deret Taylor di sekitar x = 1 untuk x =
1
x
Penyelesaian:
Andaikan f ( x) =
1
sehingga
x
1
2
3 .2
f ' ( x) = − , f " ( x) = 3 , f "' ( x) = − 4 , f
x
x
x
( 4)
( x) =
4 .3 .2
,
x5
f ' (1) = −1, f " (1) = 2!, f "' (1) = −3!, f ( 4 ) (1) = 4!
Subtitusikan kedalam (3.7) dengan a = 1 akan diperoleh hasil :
∞
∑ (−1)
k =1
k
( x − 1) k = 1 − ( x − 1) + ( x − 1) 2 − ( x − 1) 3 + L
Selanjutnya akan dianalisa kesalahan hasil bila suatu fungsi f didekati
dengan polinomial Taylor atau Maclaurin. Jika suatu fungsi f didekati oleh
polinomial Taylor ke – n yaitu ρ n , maka kesalahan pada suatu titik x adalah
selisih f ( x) − ρ n ( x). Selisih ini biasanya disebut sisa ke – n dan ditulis dengan
Rn ( x) = f ( x) − ρ n ( x).
C. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Berikut diberikan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel.
Teorema 3.1 Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel
Jika fungsi f (x ) berturunan n + 1 kali pada setiap titik dalam suatu interval
yang memuat titik a dan
ρ n ( x ) = f ( a ) + f ' ( a )( x − a ) +
f " (a )
f (n) (a )
( x − a) 2 + L +
( x − a) n
2!
n!
adalah polinomial Taylor ke – n untuk f disekitar x = a.
Maka untuk setiap x dalam interval, ada sekurang – kurangnya satu titik c antara
a dan x sedemikian hingga
Rn ( x ) = f ( x ) − ρ n ( x ) =
f ( n +1) (c)
( x − a) n +1 .
(n + 1)!
(3.9)
Bukti :
Menurut hipotesis, f berturunan n + 1 kali pada setiap titik dalam interval yang
memuat titik a . Pilih suatu titik b dalam interval ini dan kita anggap b > a.
Andaikan ρ n (x) adalah polinomial Taylor ke – n untuk f di sekitar x = a dan
didefinisikan
H ( x) = f ( x) − ρ n ( x)
(3.10)
G ( x) = ( x − a) n +1
(3.11)
Karena f ( x ) dan ρ n (x) bernilai sama dan n turunan pertama juga sama di x = a ,
maka
H (a ) = H ' (a ) = H " (a ) = L = H ( n ) (a ) = 0
G ( x) = ( x − a) n +1
(3.12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
G ' ( x) = n + 1( x − a ) n
(3.13)
G (a) = G ' (a) = G " (a) = L = G ( n ) (a ) = 0
(3.14)
G (x ) dan n turunan pertamanya tak nol bila x ≠ a .
Secara langsung dapat diperiksa bahwa fungsi H dan G memenuhi hipotesis dari
teorema Perluasan Nilai Tengah pada interval [a, b] , sehingga ada titik c1 dalam
interval (a, b ) sedemikian sehingga
H (b) − H (a) H ' (c1 )
=
G (b) − G (a) G ' (c1 )
(3.15)
atau dari (3.12) dan (3.14) didapat
H (b) H ' (c1 )
=
G (b) G ' (c1 )
(3.16)
Jika digunakan Teorema Perluasan Nilai Tengah untuk H ' dan G ' atas
interval
[a, c1 ] ,
maka dapat diturunkan bahwa ada suatu titik c2 dengan
a < c2 < c1 < b sedemikian hingga
H ′(c1 ) − H ′(a ) H ′′(c 2 )
=
G ′(c1 ) − G ′(a) G ′′(c 2 )
atau dari (3.12) dan (3.14) didapat
H ′(c1 ) H ′′(c 2 )
=
G ′(c1 ) G ′′(c 2 )
yang bila dikombinasikan dengan (3.16) akan menghasilkan
H (b) H ′′(c 2 )
=
G (b) G ′′(c 2 )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Sekarang jelaslah bahwa bila diteruskan dengan cara ini dan dengan
menggunakan Teorema Perluasan Nilai Tengah dengan menurunkan berturut –
turut H dan G, akhirnya diperoleh hubungan dalam bentuk
H (b) H ( n +1) (c n +1 )
=
G (b) G ( n +1) (c n +1 )
(3.17)
di mana a < c n +1 < b .
Akan tetapi ρn (x) adalah polinomial berderajat n
sehingga turunan tingkat
( n + 1) adalah nol .
Jadi dari (3.10) didapat
H (n+1) (cn+1 ) = f (n+1) (cn+1 ) .
Juga dari (3.11) , turunan tingkat
(3.18)
( n + 1) dari
G(x) adalah konstan
( n + 1)! sehingga
G ( n +1) (c n +1 ) = ( n + 1)!
(3.19)
Dengan subtitusi (3.18) dan (3.19) ke dalam (3.17) diperoleh
H (b) f ( n +1) (c n +1 )
=
.
G (b)
(n + 1)!
Dengan memisalkan c = c n +1 dan dengan menggunakan (3.10) dan (3.11)
berlakulah bahwa
f (b) − ρ n (b) =
f ( n +1) (c)
(b − a) n +1
(n + 1)!
Dan ini adalah tepat (3.9) dalam Teorema Taylor dengan pengecualian bahwa
variabel disini bukan x . Jadi untuk menyelesaikannya perlu mengganti b dengan
x.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Rn ( x ) = f ( x ) − ρ n ( x ) =
f ( n +1) (c)
( x − a ) n +1
(n + 1)!
Jika (3.9) ditulis kembali sebagai f ( x) = ρ n ( x) + Rn ( x) maka didapat hasil
berikut yang disebut rumus Taylor dengan sisa :
f ( x ) = f ( a ) + f ' ( a )( x − a ) +
+
f " (a )
f (n) (a)
( x − a) 2 + L +
( x − a) n
2!
n!
f ( n +1) (c)
( x − a ) n +1
(n + 1)!
(3.20)
dimana c diantara a dan x .
D. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel
Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel merupakan perluasan
dari Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel.
Teorema 3.2 Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel
Jika f(x,y) adalah fungsi dengan dua variabel yang mempunyai turunan parsial
hingga pangkat ke- (n + 1) yang kontinu pada suatu kitaran yang berpusat pada
titik ( a,b) dan Polinomial Taylor ke-n untuk f disekitar titik (a,b) adalah :
⎛
ρ n ( x, y ) = f (a, b) + ⎜⎜ ( x − a )
⎝
2( x − a)( y − b)
n
∂
∂
+ ( y − b)
∂x
∂y
⎞
⎟ f (a, b) + 1 ⎛⎜ ( x − a ) 2 ∂ +
⎟
2! ⎝
∂x 2
⎠
1⎛
∂
∂2 ⎞
∂
+ ( y − b) 2 2 ⎟⎟ f (a, b) + ... ⎜ ( x − a) +
n! ⎝
∂x∂y
∂x
∂y ⎠
∂ ⎞
( y − b) ⎟⎟ f (a, b),
∂y ⎠
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
maka untuk setiap (x.y) dalam kitaran, ada sekurang – kurangnya satu titik
( a1, b1 ) sedemikian hingga
n +1
⎛
∂
∂ ⎞
⎜
Rn ( x, y ) = f ( x, y ) − ρ n ( x, y ) = ( x − a) + ( y − b) ⎟⎟ f (a1 , b1 ).
⎜
∂x
∂y ⎠
⎝
Bukti :
Diketahui f(x,y) adalah fungsi dengan dua variabel x dan y yang terdefinisi
Pada himpunan tertutup dan terbatas dan turunan parsial f
( n +1)
kontinu dalam
suatu kitaran yang berpusat pada titik ( a,b).
Jika variabel t dikenalkan dengan bantuan relasi
x = a + ht , y = b + kt
dimana h dan k adalah konstanta, akan dihasilkan fungsi dari variabel tunggal t
yaitu F (t ) = f ( x, y ) = f (a + ht , b + kt )
Dengan bantuan definisi turunan parsial diperoleh
F ' (t ) = f x ( x, y )
dx
dy
+ f y ( x, y )
dt
dt
= hf x ( x, y ) + kf y ( x, y ).
⎡
dx
dy ⎤ dx ⎡
dx
dy ⎤ dy
F ' ' (t ) = ⎢ f xx ( x, y ) + f yy ( x, y ) ⎥ + ⎢ f xy ( x, y ) + f yy ( x, y ) ⎥
dt
dt ⎦ dt
dt
dt ⎦ dt ⎣
⎣
[
[
]
= hf xx ( x, y ) + kf yx ( x, y )]h + hf xy ( x, y ) + kf yy ( x, y ) k
= h 2 f xx ( x, y ) + hkf yx ( x, y ) + hkf xy ( x, y ) + k 2 f yy ( x, y )
= h 2 f xx ( x, y ) + 2hkf yx ( x, y ) + k 2 f yy ( x, y ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
⎡
d 2x
dx dy
d 2 y ⎤ dx
F (t ) = ⎢ f xxx ( x, y ) 2 + 2 f xyx ( x, y )
+ f yyx ( x, y ) 2 ⎥ +
dt dt
dt
dt ⎦ dt
⎣
"'
⎡
d 2x
dx dy
d 2 y ⎤ dy
= ⎢ f xxy ( x, y ) 2 + 2 f xyy ( x, y )
+ f yyy ( x, y ) 2 ⎥
dt dt
dt
dt ⎦ dt
⎣
[
= h 2 f xxx ( x, y ) + 2hkf xyx ( x, y ) + k 2 f yyx ( x, y ) ]h +
[h
2
f xxy ( x, y ) + 2hkf xyy ( x, y ) + k 2 f yyy ( x, y ) ]k
= h 3 f xxx ( x, y ) + 2h 2 kf xyx ( x, y ) + k 2 hf yyx ( x, y ) +
h 2 kf xxy ( x, y ) + 2hk 2 f xyy ( x, y ) + k 3 f yyy ( x, y )
= h 3 f xxx ( x, y ) + 3h 2 kf xxy ( x, y ) + 3hk 2 f xyy ( x, y ) + k 3 f yyy ( x, y ).
.
..
Turunan fungsi di atas dapat ditulis dalam bentuk lain yaitu :
⎛ ∂
∂ ⎞
∂f
∂f
F ' (t ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f ( x, y ) ≡ h + k ,
∂y ⎠
∂x
∂y
⎝ ∂x
2
⎛ ∂
∂ ⎞
∂2 f
∂2 f
∂2 f
+ k2 2 ,
F " (t ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f ( x, y ) ≡ h 2 2 + 2hk
∂y ⎠
∂x∂y
∂x
∂y
⎝ ∂x
3
3
3
3
⎛ ∂
∂ ⎞
∂3 f
3 ∂ f
2
2 ∂ f
3 ∂ f
+ 3h k 2 + 3hk
+k
F (t ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f ( x, y ) ≡ h
,
∂y ⎠
∂x 3
∂x ∂y
∂x∂y 2
∂y 3
⎝ ∂x
"'
..
.
n
F
(n)
⎛ ∂
∂ ⎞
(t ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f ( x, y ),
∂y ⎠
⎝ ∂x
≡ hn
n
∂n f
∂n f
∂n f
n n −1
n
n −1
n ∂ f
+
+
+
+
C
h
k
C
hk
k
L
,
1
n −1
∂x n
∂x n −1∂y
∂x∂y n −1
∂y n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
F
( n +1)
⎛ ∂
∂ ⎞
(t ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟
∂y ⎠
⎝ ∂x
≡ h n +1
n +1
f ( x, y )
n +1
n +1
n +1
∂ n +1 f
f
f
n +1 n ∂
n +1
n ∂
n +1 ∂
+
L
C
h
k
+
+
C
hk
+
k
.
1
1
n +1
n
n
n +1
∂x
∂x ∂y
∂x∂y
∂y
Dapat digunakan rumus Maclaurin untuk fungsi F(t) dan menghasilkan
F " (0) 2 F "' (0) 3
F ( n ) (0) n F ( n +1) (θt ) n +1
F (t ) = F (0) + F (0)t +
t +
t +L+
t +
t
n!
2!
3!
(n + 1)!
'
(3.21)
dimana 0 < θ < 1.
Ambil t = 1, maka diperoleh :
F " (0) F "' (0)
F ( n ) (0) F ( n +1) (θ)
F (1) = F (0) + F (0) +
+
+L+
+
2!
3!
n!
(n + 1)!
'
tetapi F (1) = f (a + h, b + k ).
Jika t = 1 maka x = a dan y = b sehingga diperoleh
F ( 0) = f ( a , b )
⎛ ∂
∂ ⎞
F ' (0) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (a, b)
∂y ⎠
⎝ ∂x
F "' (0) = h 2 f xx (a, b) + 2hkf xy (a, b) + k 2 f yy (a, b)
2
⎛
⎛ ∂
∂2
∂2
∂2 ⎞
∂ ⎞
= ⎜⎜ h 2 2 + 2hk
+ k 2 2 ⎟⎟ f (a, b) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (a, b).
∂x∂y
∂y ⎠
∂y ⎠
⎝ ∂x
⎝ ∂x
F "' (0) = h 3 f xxx (a, b) + 3h 2 kf xxy (a, b) + 3hk 2 f xyy (a, b) + k 3 f yyy (a, b),
(3.22)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
3
⎛ ∂3
⎞
∂3
∂3
3 ∂
⎟ f ( a, b)
= ⎜⎜ h 3 3 + 3h 2 k 2 + 3hk 2
+
k
2
3 ⎟
∂x ∂y
∂x∂y
∂y ⎠
⎝ ∂x
3
⎛ ∂
∂ ⎞
= ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (a, b),
∂y ⎠
⎝ ∂x
M
F
( n +1)
⎛ ∂
∂ ⎞
(θ ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟
∂y ⎠
⎝ ∂x
n +1
f (a + θh, b + θk ).
Dari (3.22) diperoleh
⎛ ∂
1⎛
∂ ⎞
∂2
∂2
∂2
f (a + h, b + k ) = f (a, b) + ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (a, b) + ⎜⎜ h 2 2 + 2hk
+ k2 2
2! ⎝ ∂x
∂y ⎠
∂x∂y
∂y
⎝ ∂x
n
∂ ⎞
∂ ⎞
1⎛ ∂
1 ⎛ ∂
⎜⎜ h + k ⎟⎟
+ L + ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (a, b) +
∂y ⎠
∂y ⎠
n! ⎝ ∂x
(n + 1)! ⎝ ∂x
⎞
⎟⎟
⎠
n +1
f (a + θh, b + θk )
(3.23)
dimana 0 < θ < 1.
Persamaan (3.23) merupakan fungsi f ( x, y ) = ρ n ( x, y ) + Rn ( x, y ) di sekitar titik
(a,b) dengan mengganti x = a + h , y = b + k dan a1 = a + θh , b1 = b + θk di
mana ( a + θh, b + θk ) dalam suatu kitaran yang berpusat pada titik (a,b) dan
0 < θ < 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
PENGGUNAAN TEOREMA TAYLOR
UNTUK MENENTUKAN EKSTREM SUATU FUNGSI
A. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus f ′′(c ) = 0
Misalkan f (x ) adalah fungsi satu variabel yang mempunyai turunan
pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik kritis c, dan
f ( n+1) ( x) kontinu di c dengan f ( n +1) (c) ≠ 0 , maka f (x ) dapat diuraikan menjadi
deret Taylor dengan sisa di sekitar titik x = c , yaitu :
h n +1
f (c + h ) − f (c ) =
f ( n +1 (c + θh)
(n + 1)!
untuk suatu biangan θ dengan 0 < θ < 1 . Berdasarkan sifat kekontinuan, maka
tanda f ( n +1) (c + θh) sama dengan tanda f ( n+1) (c ) .
Apabilai n gasal maka:
a.
f (x ) mencapai maksimum di c jika f
b.
f (x ) mencapai minimum di c jika f
( n +1)
( n +1)
(c ) < 0
(c ) > 0
Apabilai n genap maka tidak terjadi ekstrem di c.
Contoh 4.1
Periksa apakah fungsi f ( x) = 2 x 3 mempunyai nilai ekstrem atau tidak.
Penyelesaian:
Turunan-turunan fungsi f ( x) = 2 x 3 di titik kritis x = 0 adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
f ′( x) = 6 x 2
f ′(0) = 0
f ′′( x) = 12 x
f ′′(0) = 0
Karena f ′′(0) = 0 , maka selanjutnya memeriksa turunan ketiga dari fungsi
f ( x) = 2 x 3 di titik kritis x = 0 , dan didapat
f ′′′( x ) = 12
f ′′′(0) = 12 ≠ 0
Kemudian digunakan rumus Taylor dengan sisa R3 ( x) di sekitar x = 0 , yaitu:
f (0 + h) − f (0) =
h 2+1
h3
f ( 2+1) (0 + θh) atau f (h) − f (0) =
f ′′′(θh) di mana
(2 + 1)!
3!
θh di dalam interval (−δ,δ ) .
Karena n genap dan f
(n)
(c) = 0 maka tanda dari f (h) − f (0) =
h3
f ′′′(θh)
3!
berubah, yaitu:
• Jika h < 0 maka untuk setiap x = h di dalam interval ( −δ,0) berlaku
f ( h ) − f ( 0) < 0 .
• Jika h > 0 maka untuk setiap x = h di dalam interval (0 ,δ ) berlaku
f ( h ) − f ( 0) > 0 .
Karena tanda dari f (h) − f (0) =
h3
f ′′′(θh) berubah-ubah, maka f (0) bukan
3!
merupakan nilai ekstrem. Jadi fungsi f ( x) = 2 x 3 tidak memiliki nilai ekstrem.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Contoh 4.2
Periksa apakah fungsi f ( x) = x 4 mempunyai nilai ekstrem atau tidak.
Penyelesaian:
Turunan-turunan fungsi f ( x) = x 4 di titik kritis x = 0 adalah:
f ′( x) = 4 x 3
f ′(0) = 0
f ′′( x) = 12 x 2
f ′′(0) = 0
f ′′′( x) = 24 x
f ′′′(0) = 0
f ( 4 ) ( x) = 24
f ( 4) (0) = 24 ≠ 0
Karena diperoleh f ′(c) = f ′′(c ) = f ′′′(0) = 0 dan f ( 4 ) (0) ≠ 0 , maka digunakan
rumus Taylor dengan sisa R4 ( x) di sekitar x = 0 , yaitu:
f (0 + h) − f (0) =
f (h) − f (0) =
Tanda dari
h 3+1
f (3+1) (0 + θh)
(3 + 1)!
h 4 ( 4)
f (θh)
4!
di mana θh di dalam interval ( −δ , δ ) .
f ( h) − f (0) akan sama dengan tanda dari
f
( 4)
(θh) . Karena
f ( 4 ) (θh) > 0 , maka untuk setiap x = h di dalam interval ( −δ , δ ) berlaku
f ( h) − f (0) > 0 . Jadi fungsi f ( x) = x 4 memiliki nilai ekstrem minimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
B. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus H ( a, b) = 0
Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang bagaimana menentukan nilai
maksimum atau minimum dari fungsi f ( x, y ) dengan menggunakan uji turunan
kedua. Namun apabila nilai H = f xx (a, b). f yy (a, b) − f xx2 (a, b) = 0 , maka belum
dapat disimpulkan tentang nilai ekstrem fungsi f ( x, y ) .
Untuk fungsi dua variabel f ( x, y ) jika semua turunan parsialnya mulai
order pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka
f (a + h, b + k ) − f (a, b) = Rn +1 (a + θh, b + θk )
untuk suatu bilangan θ dengan 0 < θ < 1 dan
1 ⎡ ∂
∂⎤
Rn +1 ( x, y ) =
h +k ⎥
⎢
(n + 1)! ⎣ ∂x
∂y ⎦
n +1
f ( x, y ) .
Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa
apabila
untuk
nilai-nilai
h
dan
k
cukup
kecil
dan
tanda
dari
Rn +1 (a + θh, b + θk ) tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk
mengadakan penyelidikan pada keadaan Rn +1 (a + θh, b + θk ) untuk n > 1 .
Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan n = 1 , yaitu untuk:
R2 (a + θh, b + θk ) =
[
]
1 2
h f xx + 2hkf xy + k 2 f yy ( a + θh, b + θk )
2!
dengan f xx , f xy dan f yy tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini
tanda dari R2 (a + θh, b + θk ) ditentukan oleh tanda dari R2 (a, b) , karena pada
pembahasan ini diasumsikan bahwa R2 ( x, y) kontinu di titik (a,b).
Jika H (a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) , maka :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
i. Jika H (a, b) > 0 dan f xx (a, b) > 0 terjadi minimum di (a,b)
ii. Jika H (a, b) > 0 dan f xx (a, b) < 0 terjadi maksimum di (a,b)
iii. Jika H (a, b) < 0 tidak terjadi ekstrem di (a,b)
iv. Jika H ( a, b) = 0 belum ada keputusan, mungkin terjadi atau
mungkin tidak terjadi ekstrem di (a,b).
Contoh 4.3
Tunjukkan bahwa fungsi f ( x, y ) = x 4 − x 2 y 2 + y 4 mempunyai nilai minimum pada
titik (0,0) di mana f xx f yy − f xy2 = 0 .
Penyelesaian :
Langkah pertama, mencari titik stasioner dari fungsi f ( x, y ) = x 4 − x 2 y 2 + y 4 .
Titik stasioner fungsi di atas didapat dengan menyelesaikan persamaan-persamaan
f x ( x, y ) = 4 x 3 − 2 xy 2 = 0 dan f y ( x, y ) = −2 x 2 y + 4 y 3 = 0 dan diperoleh titik
(0,0) sebagai titik stasionernya. Kemudian turunan-turunan parsial dari fungsi
f ( x, y ) = x 4 − x 2 y 2 + y 4 di titik stasioner (0,0) adalah :
f x ( x, y ) = 4 x 3 − 2 xy 2 , f x (0,0) = 0
f y ( x, y ) = −2 x 2 y + 4 y 3 , f y (0,0) = 0
f xx ( x, y ) = 12 x 2 − 2 y 2 , f xx (0,0) = 0
f yy ( x, y ) = −2 x 2 + 12 y 2 , f yy (0,0) = 0
f xy ( x, y ) = −4 xy , f xy (0,0) = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Kemudian digunakan turunan ketiga dan rumus Taylor dengan sisa suku ketiga
untuk menentukan jenis ekstrem fungsi f ( x, y ) = x 4 − x 2 y 2 + y 4 , yaitu :
f xxx ( x, y ) = 24 x
f yyy ( x, y ) = 24 y
f xxy ( x, y ) = −4 y
f xyy ( x, y ) = −4 x
⎡ ∂
∂
∂2 ⎤
∂⎤
∂2
1⎡
+ k ⎥ f (0,0) + ⎢h 2 2 + 2hk
+ k 2 2 ⎥ f (0,0) + R3
f (h, k ) − f (0,0) = ⎢h
∂y ⎦
∂x∂y
2! ⎣ ∂x
∂y ⎦
⎣ ∂x
di mana
3
⎞
1 ⎛ ∂3
∂3
∂3
3 ∂
⎟ f (θh, θk ) , 0 < θ < 1
R3 = ⎜⎜ h 3 3 + 3h 2 k 2 + 3hk 2
+
k
2
3 ⎟
6 ⎝ ∂x
∂x ∂y
∂x∂y
∂y ⎠
f (h, k ) − f (0,0) =
3
⎞
1 ⎛ 3 ∂3
∂3
∂3
2
2
3 ∂
⎟ f (θh, θk )
⎜⎜ h
3
h
k
3
hk
k
+
+
+
3
2
2
3 ⎟
6 ⎝ ∂x
∂y ⎠
∂x ∂y
∂x∂y
(
=
1 3
h (24θh) + 3h 2 k ( −4θk ) + 3hk 2 ( −4θh) + k 3 (24θk )
6
=
1
(24θh 4 − 12θh 2 k 2 − 12θh 2 k 2 + 24θk 4 )
6
)
= 4θ (h 4 − h 2 k 2 ) 2 + h 2 k 2
4θ (h 4 − h 2 k 2 ) 2 + h 2 k 2 > 0 , untuk setiap (h, k) di dalam kitaran titik (0,0).
Ini berarti bahwa f ( h, k ) − f (0,0) bernilai positif untuk setiap (h, k) di dalam
kitaran titik (0,0). Jadi f ( x, y ) mempunyai nilai minimum pada titik (0,0) dengan
nilai minimumnya adalah nol.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Contoh 4.4
Tunjukkan bahwa fungsi f ( x, y ) = x 4 − y 4 tidak mempunyai nilai ekstrem pada
(0,0) di mana f xx . f yy − f xy2 = 0 .
Penyelesaian:
Seperti langkah pada contoh sebelumnya, titik stasioner fungsi f ( x, y ) = x 4 − y 4
diperoleh dengan menyelesaikan persamaan-persamaan f x ( x, y ) = 4 x 3 = 0 dan
f y ( x, y ) = −4 y 3 = 0 dan diperoleh titik (0,0) sebagai titik stasionernya. Kemudian
turunan-turunan parsial fungsi f ( x, y ) = x 4 − y 4 pada titik stasioner (0,0) adalah:
f x ( x, y ) = 4 x 3 , f x (0, 0) = 0
f y ( x, y ) = −4 y 3 , f y (0, 0) = 0
f xx ( x, y ) = 12 x 2 , f xx (0, 0) = 0
f yy ( x, y ) = −12 y 2 , f yy (0, 0) = 0
f xy ( x, y ) = 0 , f xy (0, 0) = 0
dan akan diperoleh f xx . f yy − f xy2 = 0 . Kemudian digunakan turunan parsial ketiga
dan rumus Taylor dengan sisa suku ketiga untuk menentukan ada tidaknya nilai
ekstrem dari fungsi f ( x, y ) = x 4 − y 4 , yaitu:
f xxx ( x, y ) = 24 x
f xxy ( x, y ) = 0
f xyy ( x, y ) = 0
f yyy ( x, y) = −24 y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
⎛ ∂
∂ ⎞
1⎛
∂2
∂2
∂2 ⎞
f (h, k ) − f (0,0) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (0,0) + ⎜⎜ h 2 2 + 2hk
+ k 2 2 ⎟⎟ f (0,0) + R3
∂y ⎠
2 ⎝ ∂x
∂x∂y
∂y ⎠
⎝ ∂x
di mana
3
⎞
1 ⎛ ∂3
∂3
∂3
3 ∂
⎟ f (θh, θk ) , 0 < θ < 1
R3 = ⎜⎜ h 3 3 + 3h 2 k 2 + 3hk 2
+
k
2
3 ⎟
6 ⎝ ∂x
∂x ∂y
∂x∂y
∂y ⎠
f (h, k ) − f (0,0) =
3
⎞
1 ⎛ 3 ∂3
∂3
∂3
2
2
3 ∂
⎟ f (θh, θk )
⎜⎜ h
3
h
k
3
hk
k
+
+
+
3
2
2
3 ⎟
6 ⎝ ∂x
∂x ∂y
∂x∂y
∂y ⎠
(
)
=
1 3
h ( 24 θh ) + 3 h 2 k ( 0 ) + 3 hk 2 ( 0 ) + k 3 ( − 24 θk )
6
=
1
(
24θh 4 − 24θk 4 ) = 4θ (h 4 − k 4 ) = 4θ (h 2 − k 2 )(h 2 + k 2 )
6
Nilai f (h, k ) akan lebih besar atau lebih kecil dari f (0,0) tergantung dari h dan k
yang diberikan. Karena memberikan tanda yang berbeda untuk setiap ( h, k ) yang
diberikan, maka f (0,0) bukan merupakan nilai ekstrem dan titik stasioner (0,0)
bukan merupakan titik ekstrem.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
Teorema Taylor dapat digunakan dalam penyelidikan nilai ekstrem untuk
fungsi dari satu dan dua variabel. Jika fungsi satu variabel f (x ) mempunyai turunan
pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik c, dan f ( n+1) ( x)
kontinu di c dengan f ( n +1) (c) ≠ 0 maka f (x ) dapat diuraikan menjadi deret Taylor
dengan sisa di sekitar titik x = c , yaitu:
f (c + h ) − f (c ) =
h n +1
f ( n +1 (c + θh)
(n + 1)!
untuk suatu bilangan θ dengan 0 < θ < 1 .
Berdasarkan sifat kekontinuan, maka tanda f
( n +1
(c + θh) akan sama dengan tanda
f ( n+1 (c) .
Apabilai n gasal maka:
a.
f (x ) mencapai maksimum di c jika f
b.
f (x ) mencapai minimum di c jika f
( n +1)
( n +1)
(c ) < 0
(c ) > 0
Apabilai n genap maka tidak terjadi ekstrem di c.
Untuk fungsi dua variabel f ( x, y ) jika semua turunan parsialnya mulai order
pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
f (a + h, b + k ) − f (a, b) = Rn +1 (a + θh, b + θk )
untuk suatu bilangan θ dengan 0 < θ < 1 dan
∂⎤
1 ⎡ ∂
Rn +1 ( x, y ) =
h +k ⎥
⎢
(n + 1)! ⎣ ∂x
∂y ⎦
n +1
f ( x, y ) .
Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa
apabila untuk nilai-nilai h dan k cukup kecil dan tanda dari Rn +1 (a + θh, b + θk )
tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk mengadakan penyelidikan
pada keadaan Rn +1 (a + θh, b + θk ) untuk n > 1 .
Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan n = 1 , yaitu untuk:
R2 (a + θh, b + θk ) =
[
]
1 2
h f xx + 2hkf xy + k 2 f yy (a + θh, b + θk )
2!
dengan f xx , f xy dan f yy tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini tanda
dari R2 (a + θh, b + θk ) ditentukan oleh tanda dari R2 (a, b) , karena pada pembahasan
ini diasumsikan bahwa R2 ( x, y) kontinu di titik (a,b).
Jika H (a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) , maka :
i. Jika H ( a, b) > 0 dan f xx (a, b) > 0 terjadi minimum di (a,b)
ii. Jika H ( a, b) > 0 dan f xx (a, b) < 0 terjadi maksimum di (a,b)
iii. Jika H ( a, b) < 0 tidak terjadi ekstrem di (a,b)
iv. Jika H ( a, b) = 0 belum ada keputusan, mungkin terjadi atau mungkin
tidak terjadi ekstrem di (a,b).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
DAFTAR PUSTAKA
N. Piskunov. 1969. Differential and Integral Calculus. Moscow : Mir Publishers.
Dale Varberg, Edwin J. Purcell. 1997. Calculus. Mexico : Prentice Hall.
Martono, K. 1987. Kalkulus. Bandung : Alva Gracia.
Louis Lithold. 1986. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta : P.T. Bina Aksara.
Tutoyo, A, M.Sc, Kalkulus I, II dan IV (disadur dari Calculus with Analytic
Geometri, Howard Anton). Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma.