BAB II Elektron Dalam Struktur Kuantum

5
BAB II
Elektron Dalam Struktur Kuantum
Perilaku pembawa muatan (elektron/hole) pada devais berstruktur kuantum seperti
quantum well, quantum wires, serta quantum dot sangat menarik untuk dikaji
karena efek mekanika kuantum sangat berperan dalam menentukan sifat-sifat
devais tersebut. Devais berstruktur kuantum dibentuk dari dua material yang
memiliki pita energi berbeda sehingga terbentuk band gap discontinuity ΔEc/ΔEv.
Agar mampu mengurung pergerakan pembawa muatan, devais tersebut harus
berukuran 10Ǻ – 1000Ǻ atau ekivalen dengan 10 – 1000 lapis atom (jika
diasumsikan satu lapis atom memiliki tebal 1 Ǻ) sehingga ukuran devais lebih
kecil dibandingkan panjang gelombang elektron.
Gambar 2.1: Semikonduktor paduan AlGaAs dan GaAs yang membentuk sumur
potensial akibat perbedaan pita energi.
Regime devais dengan ukuran hanya beberapa lapis atom dikenal dengan istilah
mesoscopic regime. Pada regime tersebut, sifat kimia, fisika, optik, maupun sifat
elektronik bergantung pada ukuran dan bentuk material. Khusus untuk material
semikonduktor, regime tersebut terkait dengan panjang gelombang de Broglie.
Dimana ukuran semikonduktor pengurungannya harus lebih kecil dibandingkan
panjang gelombang de Broglie.
λ=
h
,
p
(2.1)
dengan p = m ∗ v adalah momentum elektron, m ∗ adalah massa efektif elektron,
dan v adalah kecepatan elektron. Jika diasumsikan v ~ vth
5
6
vth =
3KT
,
m∗
(2.2)
dengan vth adalah kecepatan thermal, K adalah konstanta Boltzmann, dan T
adalah temperatur, diperoleh
λ=
6,22
m∗ T
m0 300
nm ,
(2.3)
sehingga ukuran devais berstruktur kuantum harus lebih kecil dibandingkan
dengan panjang gelombang de Broglie yang diberikan oleh persamaan (2.3).
Pada bab ini akan dibahas secara detail mengenai elektron dalam struktur quantum
well, quantum wires, dan quantum dot (ukuran devais lebih kecil dari panjang
gelombang de Broglie elektron) yang melibatkan aspek pengurungan kuantum
berturut-turut satu-dimensi, dua-dimensi, dan tiga-dimensi.
2.1
Quantum Well
Quantum well difabrikasi dengan menumbuhkan satu lapis material A diantara dua
buah lapisan material B dengan syarat pita energi material A lebih kecil
dibandingkan dengan pita energi material B [12] seperti terlihat pada gambar 2.2a.
Band discontinuity antara material A dan material B menyediakan semacam sumur
potensial pengurungan untuk elektron/hole.
(a)
(b)
Gambar 2.2: (a) struktur dan (b) energi potensial quantum well.
6
7
2.1.1
Fungsi Gelombang dan Sub Energi
Untuk memudahkan analisa, sumur potensial dianggap ideal berupa fungsi tangga
berikut (gambar 2.2b):
⎧0 untuk z ≤ L 2
V (z ) = ⎨
,
⎩Vb untuk z ≥ L 2
(2.4)
dengan Vb, dan L berturut-turut adalah kedalaman, dan ketebalan sumur potensial.
Karena fungsi potensial hanya fungsi dari sumbu-z saja, maka pergerakan elektron
pada sumbu x dan y bersifat bebas dan dapat dinyatakan dengan sebuah fungsi
gelombang bidang (plane wave). Dengan teknik separasi variabel, fungsi
gelombang elektron dapat ditulis menjadi
ψ ( x, y , z ) = e
ik x x + ik y y
χ (z ) ,
Persamaan Schrödinger untuk fungsi gelombang χ ( z ) adalah
r
⎛
h 2 k ||2 ⎞
⎡ h2 ∂2
⎤
⎟χ ,
+ V ( z )⎥ χ = ⎜ E −
⎢−
2
∗
∗ ⎟
⎜
2
m
⎣ 2m ∂z
⎦
⎝
⎠
(
(2.5)
(2.6)
)
r
r
dengan k ||2 = (k x , k y ) dan kuantitas h 2 k ||2 2m ∗ adalah energi kinetik elektron
pada sumbu x dan y. Jika didefinisikan kuantitas ε yang menyatakan energi pada
arah sumbu-z
ε =E−
r
h 2 k ||2
2m ∗
,
(2.7)
Maka persamaan (2.6) dapat direduksi menjadi persamaan satu dimensi berikut
⎡ h2 ∂2
⎤
+ V ( z )⎥ χ = εχ ,
⎢−
∗
2
⎣ 2m ∂z
⎦
(2.8)
Untuk kasus bound state dengan ε < Vb , solusi persamaan Schrödinger di luar
sumur adalah
⎧ Ae − kb ( z − L / 2 ) untuk z ≤ L 2
,
χ ( z ) = ⎨ kb ( z + L / 2 )
untuk z ≤ − L 2
⎩ Be
dengan k b = − 2m ∗ (ε − Vb ) h 2
7
(2.9)
8
Sedangkan solusi persamaan Schrödinger di dalam sumur adalah kombinasi linier
dari fungsi gelombang bidang berikut
χ ( z ) = C sin k w z + D cos k w z ,
(2.10)
dengan k w = − 2m ∗ε h 2 , dan A, B, C, serta D adalah konstanta sembarang.
Pada kasus ini, solusi umum didapat dengan mengkombinasikan solusi genap dan
ganjil dengan syarat A = B untuk solusi genap dan A = − B untuk solusi ganjil.
Untuk solusi genap
⎧⎪ Ae m kb ( z − L / 2 ) untuk z ≥ L 2
χ (z ) = ⎨
,
⎪⎩ D cos k w z untuk z ≤ L 2
(2.11)
⎧⎪± Ae m kb ( z − L / 2 ) untuk z ≥ L 2
χ (z ) = ⎨
,
untuk z ≤ L 2
⎪⎩C sin k w z
(2.12)
Untuk solusi ganjil
Tahapan berikutnya adalah matching function serta turunannya pada titik
z = ± L 2 , untuk solusi genap diperoleh
D cos k w L 2 = A
(2.13)
Dk w sin k w L 2 = Ak b ,
untuk solusi ganjil diperoleh
C cos k w L 2 = A
Ck w sin k w L 2 = − Ak b ,
(2.14)
Dari Persamaan (2.13) dan (2.14) dapat diperoleh ungkapan akhir tingkat energi
pada quantum well berikut
E
r
n , k||
(
)
h2
= εn +
k x2 + k y2 ,
∗
2m
(2.15)
h 2π 2 n 2
dengan ε n =
. Pengurungan elektron pada arah-z yang dinyatakan oleh
2m ∗ L2
ε n , memunculkan sub-sub energi (subbands energy) yang mempengaruhi
spektrum energi sistem seperti terlihat pada gambar 2.3. Keberadaan sub-sub
energi tersebut merubah beberapa karakteristik perilaku elektron dibandingkan
pada bulk material. Sebagai contoh, pada bulk material, adanya impuritas
8
9
(impurity) menciptakan sederetan level energi pada pita elektron, sementara pada
quantum well, setiap sub energi membangkitkan sederet level-level impuritas.
Gambar 2.3: Spektrum energi elektron dua-dimensi.
2.1.2
Rapat keadaan energi quantum well
Pada penjelasan sebelumnya diketahui bahwa spektrum energi quantum well agak
kompleks dan terdiri dari sub-sub energi. Spektrum energi masing-masing
subband tumpang tindih satu sama lain pada k || tertentu. Karena faktor tersebut,
terkadang lebih nyaman melihat faktor pengurungan elektron dinyatakan dalam
rapat keadaan energinya. Rapat keadaan energi g (E ) secara umum didefinisikan
g (E ) = ∑ δ ( E − E v ) ,
(2.16)
v
dengan v dan Ev berturut-turut adalah bilangan kuantum dan energi pada bilangan
kuantum v tertentu. Bilangan kuantum v melibatkan bilangan kuantum n, bilangan
r
r
kuantum spin s, dan vektor dua-dimensi k || . Sehingga v = s, n, k || dan rapat
{
}
keadaan energi quantum well menjadi
⎛
h 2 (k x2 + k y2 ) ⎞
⎟,
⎜
g (E ) = 2 ∑ δ E − ε n −
∗
⎟
⎜
2
m
n ,k x ,k y ⎝
⎠
(2.17)
Faktor 2 menyatakan elektron dapat berada pada keadaan spin up maupun spin
down. Untuk menghitung ungkapan akhir rapat keadaan energi quantum well,
terlebih dahulu didefinisikan luas area quantum well: S = L x × L y , dengan L x dan
9
10
L y berturut-turut adalah ukuran quantum well pada sumbu-x dan sumbu-y dan
dari nilai k x dan k y yang mungkin jika diasumsikan syarat batas sikliknya pada
sumbu-x dan sumbu-y
k x = 2 π l x Lx ,
k y = 2 π l y Ly ,
l x , l y = 0, 1, 2, ... ,
(2.18)
Sehingga bentuk somasi persamaan (2.17) dirubah menjadi bentuk integral berikut
Lx L y
∑ (⋅ ⋅ ⋅) = (2π ) ∫∫ dk
2
k x ,k y
x
dk y (⋅ ⋅ ⋅) ,
(2.19)
Evaluasi persamaan (2.17) menggunakan bentuk integral persamaan (2.19) dapat
diperoleh rapat keadaan quantum well berikut
g (E ) =
Lx L y
π h2
∑ Θ( E − ε ) ,
n
(2.20)
n
dengan Θ( x ) adalah fungsi Heaviside step: Θ(x ) = 1 untuk x > 0 , dan Θ(x ) = 0
untuk x < 0 .
Gambar 2.4: Rapat keadaan energi quantum well dan bulk material (garis putusputus).
Perbedaan antara bulk material dan quantum well terletak pada beberapa sub
energi terendah karena untuk n yang besar rapat keadaan energi quantum well
hampir berhimpitan dengan bulk material.
10
11
2.2
Quantum Wires
Pada pembahasan sebelumnya diketahui bahwa pengurungan elektron pada satu
dimensi saja telah merubah karakteristik spektrum energi serta rapat keadaan
energi sistem elektron jika dibandingkan dengan karakteristik spektrum energi
serta rapat keadaan energi sistem elektron pada bulk material. Pada bagian ini
akan dibahas karakteristik elektron dalam pengurungan dua-dimensi yang dikenal
dengan istilah quantum wires. Salah satu cara fabrikasi quantum wires adalah
dengan teknik etching yakni dengan mereduksi lapisan material B dan A seperti
terlihat pada gambar 2.5.
Gambar 2.5: Struktur quantum wires.
2.2.1
Fungsi Gelombang dan Sub Energi
Fungsi gelombang elektron dalam struktur quantum wires yang melibatkan
pengurungan potensial dua dimensi V ( y, z ) dapat ditulis
ψ (x, y, z ) = e ik x χ ( y, z ) ,
x
(2.21)
Persamaan Schrödinger untuk fungsi gelombang χ ( y, z )
⎡ h2 ⎛ ∂2
∂2
⎜
−
+
⎢
∗ ⎜
2
∂z 2
⎣ 2m ⎝ ∂y
⎤
⎞
⎟⎟ + V ( y, z )⎥ χ ( y, z ) = εχ ( y, z ) ,
⎠
⎦
(2.22)
dengan ε = E − h 2 k x2 2m ∗ adalah energi elektron pada sumbu-y dan sumbu-z. jika
solusi χ i ( y, z ) dapat ditemukan yang berkaitan dengan energi ε i yang bersifat
diskret, maka akan didapat energi total elektron berikut
11
12
E = εi +
h 2 k x2
,
2m ∗
(2.23)
dengan k x adalah vektor satu dimensi. Fungsi gelombang χ i ( y, z ) berkaitan
tingkat energi diskret ε i yang terlokalisasi pada bidang (y, z). Hal
dengan
tersebut mengandung arti bahwa elektron pada keadaan kuantum ke-i terkurung
pada bidang (y, z) di bawah pengaruh potensial pengurung V ( y, z ) . Pada kondisi
tersebut, elektron hanya dapat bergerak dengan bebas pada arah sumbu-x saja.
Ungkapan potensial V ( y, z ) yang sesuai dan dapat diselesaikan dengan mudah
adalah dengan mengambil bentuk potensial berikut
⎧
V ( y, z ) = ⎨
⎩∞
untuk 0 ≤ y ≤ L y , 0 ≤ z ≤ L z
0
untuk y ≤ 0, z ≤ 0, y ≥ L y , z ≥ L z
,
(2.24)
dengan Ly dan Lz berturut-turut adalah dimensi quantum wires pada sumbu-y dan
sumbu-z. Fungsi gelombang elektron χ ( y, z ) dapat dinyatakan sebagai perkalian
antara fungsi gelombang pada arah sumbu-y dan sumbu-z berikut
χ ( y , z ) = χ ( y )n χ ( z )n ,
1
2
(2.25)
Sehingga solusi persamaan Schrödinger untuk masing-masing sumbu menjadi
χ ( y )n =
1
π y n1
2
sin
, χ ( z )n 2 =
Ly
Ly
π z n2
2
, n1 , n 2 = 1, 2, 3, ...
sin
Lz
Lz
(2.26)
Dan energi terkuantisasi ε i
ε n ,n
1
2
h 2π 2
=
2m ∗
⎛ n12 n22 ⎞
⎜
+ ⎟,
⎜ L2 L2 ⎟
z ⎠
⎝ y
(2.27)
Energi total elektron
E=
h 2 k x2 h 2π 2
+
2m ∗
2m ∗
⎛ n12 n22 ⎞
⎜
+ ⎟,
⎜ L2 L2 ⎟
z ⎠
⎝ y
12
(2.28)
13
2.2.2
Rapat Keadaan Energi Quantum Wires
Dengan merujuk kembali persamaan (2.16), rapat keadaan energi quantum wires
ditulis
g (E ) =
∑g
n1 , n2
n1 , n2
(E ) ,
(2.29)
Kontribusi satu subband terhadap rapat keadaan energi quantum wires
⎛
h 2 k x2
g n1 ,n2 (E ) = 2∑ δ ⎜⎜ E − ε n1 ,n2 −
2m ∗
kx
⎝
⎞
⎟,
⎟
⎠
(2.30)
Faktor 2 pada persamaan (2.30) berkaitan dengan spin elektron. Bentuk somasi
persamaan (2.30) tersebut kemudian diubah menjadi bentuk integral terhadap
seluruh nilai kx yang mungkin sehingga diperoleh ungkapan akhir rapat keadaan
energi quantum wires berikut
g (E ) =
=
∞
⎛
h 2 k x2
⎜
−
−
k
δ
E
ε
d
x ⎜
n1 , n2
π ∫0
2m ∗
⎝
2 Lx
Lx
π
2m ∗
h2
1
E − ε n1 ,n2
(
⎞
⎟⎟
⎠
Θ E − ε n1 ,n2
)
,
(2.31)
Gambar 2.6: Rapat keadaan quantum wires.
Secara skematik rapat keadaan energi quantum wires ditunjukkan pada gambar
2.6. Jika dibandingkan dengan rapat keadaan energi quantum well, karakteristik
kedua rapat keadaan tersebut sangat berbeda. Untuk kasus quantum well, rapat
13
14
keadaan energinya berupa fungsi tangga, sedangkan quantum wires memiliki
rapat keadaan energi yang infinite pada titik terendah subband-nya dan perlahan
menurun seiring dengan meningkatnya energi kinetik elektron.
2.3
Quantum dot
Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas perilaku elektron yang terkurung
dalam semikonduktor heterostructure pada satu dan dua dimensi pengurungan
yang menyebabkan terjadi kuantisasi spektrum energi elektron sehingga
menghasilkan sub-sub energi pada satu dan dua dimensi. Pada struktur demikian
masih menyisakan derajat kebebasan elektron untuk bergerak pada dua dan satu
dimensi. Pada bagian ini, akan dibahas perilaku elektron yang terkurung dalam
tiga dimensi atau dengan kata lain seluruh derajat kebebasan elektron menjadi
terkuantisasi. Struktur semacam ini menunjukkan sifat seperti atom yang akan
dibahas secara mendetail di bagian ini.
2.3.1
Fungsi Gelombang dan Tingkat-Tingkat Energi Quantum dot
Ketika meninjau spektrum energi dari sebuah sistem berdimensi nol, perlu dikaji
persamaan Schrödinger bebas waktu:
−
h2 2
∇ Ψ + VΨ = EΨ ,
2m ∗
(2.32)
dengan potensial yang merupakan fungsi dari tiga koordinat dan mengurung
elektron pada tiga arah. Bentuk potensial yang paling sederhana untuk
memodelkan quantum dot adalah potensial kotak:
⎧ 0 di dalam kotak,
V ( x, y , z ) = ⎨
,
⎩+∞ di luar kotak.
(2.32)
Kotak yang dimaksud oleh potensial tersebut dibatasi kondisi 0 ≤ x ≤ Lx ,
0 ≤ y ≤ Ly , 0 ≤ z ≤ Lz .
14
15
Gambar 2.7: Model quantum box.
Solusi persamaan Schrödinger dengan demikian akan berbentuk
ψ n , n , n ( x, y , z ) =
1
2
3
⎛ nπx ⎞ ⎛ n π y ⎞ ⎛ n πz ⎞
8
sin ⎜ 1 ⎟ sin ⎜ 2 ⎟ sin ⎜ 3 ⎟ ,
⎜
⎟
Lx Ly Lz
⎝ Lx ⎠ ⎝ Ly ⎠ ⎝ Lz ⎠
En1 ,n2 , n3 =
h 2π 2 ⎛ n12 n2 2 n32 ⎞
+
+
⎜
⎟,
2m * ⎜⎝ Lx 2 Ly 2 Lz 2 ⎟⎠
(2.32)
(2.32)
dengan n1 , n2 , n3 = 1, 2,3,..., bilangan bulat positif.
Uniknya solusi persamaan Schrödinger untuk kotak kuantum sebagai model
quantum dot ini terletak pada kemunculan tiga bilangan kuantum diskret yang
berasal dari tiga arah kuantisasi. Keadaan ini berarti telah diperoleh tingkattingkat energi yang bercabang tiga dan fungsi gelombang elektron terlokalisasi
pada seluruh tiga dimensi dalam kotak. Secara umum, seluruh energi memiliki
nilai yang berbeda, atau tidak ada degenerasi. Akan tetapi, jika dua atau seluruh
ukuran dimensi kotak ( Lx , Ly , Lz ) memiliki nilai yang sama atau perbandingannya
bilangan bulat, maka akan ada tingkat-tingkat energi yang sama untuk nilai
bilangan kuantum yang berbeda. Dengan kata lain, fungsi gelombang elektron
yang berbeda dapat memiliki nilai energi yang sama. Situasi ini menghasilkan
keadaan degenerasi: satu tingkat energi bercabang dua jika dua dimensi kotak
bernilai sama dan bercabang enam jika kotak benar-benar berbentuk kubus.
Spektrum energi diskret inilah yang membedakan kotak kuantum (sebagai model
quantum dot) terhadap bentuk-bentuk lainnya (quantum well dan quantum wires).
Dengan pemecahan persamaan Schrödinger yang telah diuraikan sebelumnya,
15
16
tampak jelas kemunculan sifat tingkat energi pada quantum dot yang pada
awalnya hanya teramati untuk atom biasa. Jadi sangatlah wajar para ilmuwan
menyebut quantum dot sebagai artificial atom.
Kemiripan sifat antara quantum dot dengan atom juga dapat dengan mudah dilihat
pada kasus spherical dot, dengan bentuk potensial V(r) berikut
⎧⎪
V (r ) = ⎨ 0 r ≤ R ,
⎪⎩Vb r ≥ R
(2.33)
dengan r adalah besar dari suatu vektor berarah radial, dan R adalah jari-jari
quantum dot.
Solusi persamaan Schrödinger untuk kasus potensial di atas yang melibatkan
simetri bola dapat diselesaikan dengan metode separasi variabel, dimana solusi
umum dari kasus di atas merupakan perkalian dari fungsi gelombang arah radial
dan fungsi gelombang arah azimutal berikut
ψ (r , θ , ϕ ) = R (r )Yl ,m (θ , φ ) ,
(2.34)
Besaran l, m berkaitan dengan bilangan kuantum magnetik dan proyeksinya
terhadap sumbu-z. Untuk fungsi berarah radial, persamaan Schrödingernya
menjadi:
h 2 ∂ 2 χ (r )
−
+ Veff (r )χ (r ) = Eχ (r ) ,
2 m ∗ ∂r 2
(2.35)
h 2l (l − 1)
χ (r ) = rR (r ) , Veff (r ) = V (r ) +
,
r2
(2.36)
dengan
Terlihat bahwa persoalan untuk kasus di atas dapat direduksi menjadi persoalan
satu-dimensi, yakni pada arah radial saja. Potensial efektif di atas hanya
bergantung pada variabel l saja, tetapi tidak bergantung pada bilangan kuantum m.
Dengan demikian, tingkat-tingkat energi pada quantum dot terdegenerasi oleh
bilangan kuatum m (dengan m = 2l + 1 ). Tingkat-tingkat energi merupakan fungsi
dari bilangan kuantum utama n dan bilangan kuantum l.
16
17
Dalam quantum dot, elektron terkurung pada suatu sumur potensial yang memiliki
kedalaman sangat besar, sehingga dapat diasumsikan bahwa Vb → ∞ . Sehingga,
fungsi gelombang pada arah radial menjadi
2πk
J l +1/ 2 (kw r ) ,
r
R (r ) =
(2.37)
2m ∗ E
. Fungsi Bessel sferis,
h2
dengan J l (r ) adalah fungsi Bessel speris, dan kw =
yang didefinisikan sebagai
jl ( x) =
π
2x
(2.38)
J l +1/ 2 ( x) ,
dengan menggunakan fungsi duplikasi Legendre
z !( z + 1/ 2 ) ! = 2−2 z −1π 1/ 2 ( 2 z + 1) ! ,
(2.39)
diperoleh
π
(−1) 2 22 s + 2l +1 ( s + n)! ⎛ x ⎞
jl ( x) =
∑
⎜ ⎟
2 x s =0 π 1/ 2 ( 2 s + 2l + 1) ! s ! ⎝ 2 ⎠
∞
(−1) 2 ( s + l )! 2 s
= 2l x l ∑
x
s = 0 s !( 2 s + 2l + 1) !
∞
2 s + 2 l +1/ 2
,
(2.40)
Untuk kasus khusus n = 0 , diperoleh
∞
j0 = ∑
s =0
( −1)
s
( 2s + 1)!
x2s =
sin x
,
x
(2.41)
Selanjutnya, fungsi Bessel sferis untuk orde lebih tinggi dapat diperoleh melalui
rumus rekursi berikut:
jl +1 ( x) =
l
d
jl ( x) −
jl ( x) ,
x
dx
17
(2.42)
18
0.4
j0
0.2
j1
5
10
15
-0.2
20
j2
j3
j4
-0.4
Gambar 2.8: Fungsi Bessel sperik ( l = 0 − 4 ) untuk mencari tingkat-tingkat energi
pada quantum dot.
Pada r = a (jari-jari dot) , haruslah dipenuhi R(a) = 0. Sehingga, akar-akar dari
persamaan j l (k w a ) = 0 akan menyatakan tingkat-tingkat energi pada quantum
dot. Dalam teori spektrum atom, bilangan kuantum l = 0, 1, 2, 3, … menyatakan
orbital s, p, d, ... Dengan mengurutkan nilai akar-akar persamaan, yang
bersesuaian dengan nilai eigen energi, diperoleh deret tingkat-tingkat energi pada
quantum dot
1s(2), 1p(6), 1d(10), 2s(2), 1f(14), 2p(6), …
Angka dalam kurung menunjukkan jumlah elektron yang terdapat pada tiap
tingkat energi.
2.3.2
Rapat Keadaan Quantum dot
Terkurungnya elektron dalam tiga sumbu koordinat pada kasus quantum dot
berbentuk kotak menyebabkan rapat keadaan energinya pun berupa sekumpulan
fungsi delta
g (E ) = ∑ δ ( E − E v ) ,
v
(2.43)
dengan v = (n1 , n2 , n3 ) . Pada kondisi ideal, puncak-puncaknya sangat sempit dan
tak berhingga seperti terlihat pada gambar 2.8.
18
19
Gambar 2.9: Rapat keadaan energi quantum dot.
Untuk keadaan nyata, interaksi antara elektron-elektron dan ketidakmurnian
material akan menyebabkan pelebaran tingkat-tingkat energi diskret. Sebagai
hasilnya, puncak-puncak rapat keadaan memiliki amplitudo yang berhingga dan
lebar tertentu. Akan tetapi, semakin kecilnya ukuran bahan (sekitar orde
nanometer) dan temperatur yang rendah justru dapat menyebabkan rapat keadaan
quantum dot menuju sistem ideal.
Dengan menggunakan beberapa pendekatan, jumlah keadaan pada volume
ΔxΔyΔz dapat diturunkan dari rumusan rapat keadaan. Hasilnya adalah
Δρ =
k 3 ΔxΔyΔz
,
3π 2
(2.44)
dengan
r
r
k ( r ) = 2m * V ( r ) / h 2 ,
(2.45)
Integrasikan pada seluruh koordinat klasik untuk mendapatkan jumlah keadaan
energi dalam sebuah quantum dot, yaitu
Nt =
r 3/ 2
2 2(m*)3/ 2
dxdydx V (r ) ,
2 2
∫
3π h
(2.46)
Sebagai contoh, untuk sebuah kotak dengan kedalaman potensial berhingga Vb,
dapat diperoleh
19
20
Nt =
Andaikan
seseorang
2 2(m*)3/ 2
3/ 2
Vb Lx Ly Lz ,
2 2
3π h
membuat
quantum
(2.47)
dot
dengan
Lx = Ly = Lz = 10 nm, Vb = 0, 2 eV , dan massa efektif elektron pada material
quantum dot adalah m* = 0, 067melektron , maka didapatkan jumlah total keadaan
energi di dalam kotak adalah Nt = 75. Jumlah elektron sebenarnya yang
terperangkap dalam quantum dot seharusnya kurang dari Nt terkait reduksi oleh
ketidakmurnian material. Teknologi saat ini bahkan sudah memungkinkan untuk
mengontrol jumlah pembawa muatan terlokalisasi dengan pemberian tegangan
luar.
2.4
Eksiton Dalam Struktur Kuantum
Eksiton adalah ikatan pasangan elektron-hole yang disebabkan penyerapan photon
pada semikonduktor. Secara khusus dapat dikatakan bahwa terdapat elektron di
pita konduksi dan hole di pita valensi semikonduktor dan keduanya saling
berinteraksi melalui interaksi Coulomb. Eksiton sendiri bermuatan netral.
Terdapat dua jenis eksiton, yakni eksiton Mott-Wannier, dan eksiton Frenkel.
Interaksi elektron-hole pada eksiton Mott-Wannier lemah dengan energi ikatnya
berada pada orde 10meV sehingga pasangan elektron-hole tersebut relatif terpisah
jauh. Berbeda dengan eksiton Frenkel dengan energi ikat berada pada orde
100meV, interaksi Coulomb antara elektron dan hole kuat.
Gambar 2.10: Jenis-jenis eksiton.
20
21
Gambar 2.11: Spektrum optik eksiton.
Eksiton dapat diamati pada spektrum penyerapan semikonduktor bulk. Pada
umumnya eksiton muncul di bawah energi gap semikonduktor. Hal tersebut
karena energi eksiton lebih rendah dibandingkan dengan energi gap akibat
pengurangan oleh energi ikatnya E exc = E g − Ebinding dengan E g adalah energi gap
semikonduktor.
2.4.1
Jari-Jari Bohr Eksiton dan Energi Ikat Eksiton
Jari –jari Bohr pasangan elektron-hole diungkapkan melalui persamaan berikut
⎛ ε m0 ⎞
⎟⎟a 0 ,
a exc = ⎜⎜
⎝ μ ⎠
(2.48)
dengan μ , ε , m0 , dan a 0 berturut-turut adalah massa reduksi eksiton, konstanta
dielektrik material, massa diam elektron, dan jari-jari Bohr ( a 0 = 0,528Α ). Energi
total eksiton relatif terhadap batas ionisasinya adalah perbedaaan antara energi
kinetiknya dan energi potensial Coulomb
Etot =
1 2
q2
mv −
,
2
4πεε 0 r 2
(2.49)
karena
mv 2 =
q2
4πεε 0 r 2
21
,
(2.50)
22
diperoleh
1 ⎛ q2 ⎞
⎟
Etot = − ⎜⎜
2 ⎝ 4πεε 0 r 2 ⎟⎠
1 ⎛⎜ m0 q 4
=− ⎜
2 ⎝ (4πε 0 )2 h 2
⎛ μ ⎞ 1
= − R⎜⎜ 2 ⎟⎟ 2
⎝ ε m0 ⎠ n
⎞⎛ μ
⎟⎜
⎟⎜ ε 2 m
0
⎠⎝
⎞ 1
⎟⎟ 2 ,
⎠n
(2.51)
dengan R adalah konstanta Rydberg. Energi ikat eksiton adalah perbedaan energi
antara pasangan elektron-hole pada orbit n tertentu dan pada n tak berhingga
Ebinding = E ∞ − E n
⎛ μ
= − R⎜⎜ 2
⎝ ε m0
⎛ μ
= R⎜⎜ 2
⎝ ε m0
2.4.2
⎞⎛ 1
1
⎟⎜⎜ 2 − 2
⎟ n
⎠⎝ ∞ n
⎞
⎟⎟ ,
⎠
(2.52)
⎞ 1
⎟ 2
⎟n
⎠
Cakupan Pengurungan
Terdapat tiga cakupan pengurungan yang terkait dengan struktur yang telah
dibahas yakni cakupan pengurungan kuat, pengurungan menengah, dan
pengurungan lemah. Ketiga cakupan tersebut bergantung pada jari-jari Bohr
eksiton.
•
Pengurungan kuat
Jenis pengurungan ini dapat dijumpai pada material nano berukuran kecil. Ukuran
material lebih kecil dibandingkan dengan jari-jari Bohr elektron dan jari-jari Bohr
hole. Pada kondisi ini, sifat optik material sangat didominasi oleh efek
pengurungan kuantum dari elektron dan hole.
•
Pengurungan menengah
Pada kasus ini, ukuran material lebih besar dibandingkan dengan jari-jari Bohr
salah satu pembawa muatan dan lebih kecil dibandingkan dengan jari-jari Bohr
22
23
pembawa muatan lainnya. Karena massa efektif elektron lebih kecil dibandingkan
dengan massa efektif hole, maka ukuran material a B ,h < a < a B ,e .
•
Pengurungan lemah
Pada kasus ini, ukuran material a > a B ,h , a B ,e . Sebagai konsekuensinya, energi ikat
eksiton lebih besar dibandingkan dengan energi pengurungan elektron dan hole.
Energi transisi optiknya adalah selisih antara energi gap dan energi ikat eksiton.
23