1 MODEL MATEMATIKA SISTEM

MODEL MATEMATIKA SISTEM ELEKTROMEKANIKA
PENGANTAR
Pada bagian ini akan dibahas mengenai pembuatan model matematika dari sistem
elektromekanika baik dalam bentuk persamaan differensial, fungsi alih maupun diagram
blok. Sistem elektromekanika merupakan gabungan dari sistem elektrik dan sistem
mekanika. Sistem elektromekanika yang akan dibahas meliputi elektrik plunger dan motor
DC
MODEL MATEMATIKA SISTEM ELEKTROMEKANIKA
1. Elektrik Plunger
Elektrik plunger merupakan suatu aktuator yang mentransfomasikan sinyal listrik
(tegangan) menjadi energi makanik. Elektrik plunger terdiri dari sebatang inti besi yang
salah satu ujungnya dihubungkan dengan pegas dan diikatkan pada dinding. Inti besi
terletak di dalam tabung yang dililiti kumparan yang dialiri arus listrik. Arus listrik yang
mengalir melalui kumparan akan menimbulkan medan magnetik dalam plunger sehingga
menimbulkan gaya pada massa inti besi yang menyebabkan massa inti besi bergera
Gambar fisik dari elektrik plunger adalah sebagai berikut :
X
K
i
e
Gambar (1). Elektrik Plunger
Tegangan pada kumparan :
e(t ) = L p
d i (t )
+ R p i (t )
dt
(1)
1
Dimana
e(t) : tegangan kumparan
i(t) : arus kumparan
Lp : induktansi kumparan
Rp
: resistansi kumparan
Transformasi Laplace dari persamaan (1) adalah
E (s ) = L p s I (s ) + R p I (s )
1
I (s )
=
E (s ) L p .s + R p
(2)
Diagram blok dari persamaan (2) :
I(s)
1
L ps + R p
E(s)
Medan magnet dalam Plunger :
B=
μ o .N p .i (t )
(3)
2 π.l p
dimana Np adalah jumlah kumparan dan lp adalah panjang kumparan
Gaya pada massa (inti besi) :
F = K p . B.m p
(4)
dimana Kp adalah konstanta gaya plunger terhadap medan dan mp adalah massa plunger
Substitusi persamaan (3) ke persamaan (4) :
F =
K p .m p .μ o .N p .i (t )
2π.l p
= K p . i (t )
Dalam hal ini Kp adalah konstanta gaya plunger terhadap arus.
2
Dalam praktek Kp ditentukan berdasarkan percobaan sebagai berikut :
X
K
pegas yang telah diketahui K nya
A
Tegangan sumber e(t) diatur besarnya, arus i(t) diukur dan gaya diperhitungkan
berdasarkan besarnya simpangan X (F = K. X).
Dari beberapa pengukuran dibuat kurva hubungan F = f(i)
F
F3
Kp = rata-rata
ΔF
Kp ≈
Δi
F2
F1
I1
I2
F
I3
Harga Kp dapat dianalisa dengan metode statistik yaitu dengan Regresi Linier
F = a + b.i
0 Kp
Sehingga
F = Kp . i(t)
(5)
Transformasi Laplacenya : F(s) = Kp . I(s)
Diagram blok dari persamaan (5) adalah
I(s)
Kp
F(s)
3
Gaya yang bekerja pada sistem :
F − Fpegas − Fdamper = m p .
F = mp.
d 2x
dt
2
+ Bp.
d2 x
dt 2
dx
+ Kx
dt
(6)
Dimana,
mp = massa plunger
Bp = konstanta peredam viskos
x = perpindahan punger
Transformasi Laplace dari persamaan (6) adalah
(
)
F(s ) = m p s 2 + B p s + K X (s )
X(s) =
1
F(s)
m p .s + B p .s + K
(7)
2
Diagram blok dari persamaan (7) adalah
F(s)
1
X(s)
2
m p .s + B p .s + K
Blok diagram blok total system diperoleh dengan menggabungkan diagram blok dari
persamaan (2), (5), dan (7) berdasarkan aliran sinyalnya yaitu sebagai berikut :
E(s)
1
Lps + Rp
1
Kp
X(s)
m p .s 2 + B p .s + K
Gambar (2). Diagram blok yang diperoleh dari persamaan (2),(5), dan (7)
4
Disederhanakan menjadi :
Kp
E(s)
(L s + R )(m
p
p
p
.s 2 + B p .s + K )
X(s)
Gambar (3). Penyederhanaan diagram blok gambar (2)
Sehingga fungsi alih dari elektrik plunger adalah :
Kp
X (s)
=
E ( s)
L p .s + R p m p .s 2 + B p .s + K )
)(
(
)
Kp
X (s )
=
E (s )
L p .m p .s 3 + L p .B p .s 2 + L p .K .s + K p .m p .s 2 + R p .B p .s + R p .K
Dalam bentuk persamaan differensial, model matematik Plunger dapat ditulis sebagai
berikut :
{L
p .m p .s
L p .m p
3
d 3 x(t )
dt 3
(
)
(
)
}
+ L p .B p + R p .m p s 2 + L p .K + R p .B p s + R p .K X ( s ) = K p .E ( s )
+ ( L p .B p + R p .m p )
d 2 x(t )
dx(t )
+ ( L p .K + R p .B p )
+ R p .K .x(t ) = K p .e(t )
dt 2
dt
karena :
Lp
mp
mp
di(t )
<< R p i(t )
dt
d 2 x(t )
dt
2
d 2x
dt 2
<< B p
( L p << R p )
dx(t )
dt
<< K x(t )
Dalam bentuk penyederhanaan Plunger dinyatakan pula sebagai :
Kp
X ( s)
=
E ( x) R p ( B p .s + K )
5
2. Motor DC dengan penguatan medan konstan
La
Ra
θ,ω
ea
J
T
if
ia
B
Gambar (4). Diagram skematik motor DC penguat medan konstan
Dimana
La = induktansi kumparan jangkar
Ra = resistansi kumparan jangkar
ia = arus kumparan jangkar
if = arus medan
θ = perpindahan sudut dari poros motor
ω = kecepatan sudut dari poros motor
ea
= tegangan kumparan jangkar
eggl = tegangan gaya gerak listrik balik
J
= momen inersia ekivalen dari motor dan beban pada poros motor
B
= koefisien geseken viskos ekivalen dari motor dan beban pada poros motor
Rangkaian kumparan jangkar :
+
ea_
ia
La
Ra
+
_eggl
Gambar (5). Rangkaian kumparan jangkar
6
Persamaan differensial pada rangkaian kumparan jangkar adalah :
ea (t ) − e ggl (t ) = La .
dia (t )
+ Ra. ia (t )
dt
(8)
Transformasi laplacenya dari persamaan (8) adalah
E a ( s ) − E ggl ( s ) = ( La.s + Ra ) I ( s )
I ( s) =
(
1
E a ( s ) − E ggl ( s )
La.s + Ra
)
(9)
Diagram blok dari persamaan (9) adalah
Ea(s)
+
1
La . s + Ra
-
I(s)
Eggl(s)
Torsi pada motor :
Torsi T yang dihasilkan motor adalah berbanding lurus dengan hasil kali dari arus
kumparan jangkar dan medan magnetik yang dihasilkan oleh penguat medan, yang
berbanding lurus dengan arus medan atau
B=
μ f .n f .i f (t )
2 π.lf
= K B i f (t )
Dimana KB adalah konstanta medan magnetik.
Sehingga torsi T dapat ditulis sabagai berikut :
T = K B i f (t ) ia (t ) l a ra na = K TM i f (t ) ia (t )
KTM adalah konstanta torsi motor.
Karena arus medan if konstan maka
T = K TM ia (t )
(10)
Transformasi Laplace dari persamaan (10) adalah
T (s ) = K TM I a (s )
(11)
Diagram blok dari persamaan (11) adalah
Ia(s)
KTM
T(s)
7
Torsi yang dihasilkan motor bekerja terhadap inersia dan gesekan viskos, sehingga
T =J
d 2 θ(t )
dt
2
+B
dθ(t )
dt
(12)
Atau
T =J
dω(t )
+ B ω(t )
dt
(13)
Transformasi Laplace dari persamaan (12) adalah
T (s ) = Js 2 Θ(s ) + Bs Θ(s )
Θ(s ) =
1
2
Js + Bs
T (s )
(14)
Diagram blok dari persamaan (14) adalah
T(s)
Θ(s )
1
Js 2 + Bs
Transformasi Laplace dari persamaan (13) adalah
T (s ) = Js Ω(s ) + BΩ(s )
Ω(s ) =
1
T (s )
Js + B
(15)
Diagram blok dari persamaan (15) adalah
T(s)
1
Js + B
Ω(s )
Besarnya tegangan gaya gerak listrik adalah berbanding lurus dengan hasil kali dari arus
medan dan kecepatan sudut motor, yaitu
e ggl (t ) = K . i f (t ).
dθ(t )
dt
dimana K adalah kostanta
Karena arus medan konstan maka
8
e ggl (t ) = K g .
dθ(t )
dt
(16)
atau
e ggl (t ) = K g . ω(t )
(17)
dimana Kg adalah konstanta tegangan gaya gerak listrik balik
Transformasi Laplace dari persamaan (16) adalah
E ggl (s ) = K g . s . Θ(s )
(18)
Diagram blok dari persamaan (18) adalah
Θ(s )
E ggl (s )
Kg.s
Transformasi Laplace dari persamaan (17) adalah
E ggl (s ) = K g . Ω(s )
(19)
Diagram blok dari persamaan (19) adalah
Ω(s )
E ggl (s )
Kg
Untuk keperluan pengaturan posisi motor DC maka diagram blok total sistem diperoleh
dengan menggabungkan diagram blok dari persamaan (9), (11), (14) dan (18) berdasarkan
aliran sinyalnya, seperti berikut :
Ea(s)
+
-
1
La . s + Ra
Ia(s)
KTM
T(s)
1
Js + Bs
Θ(s )
2
Kg.s
Eggl(s)
Gambar (7). Diagram blok yang diperoleh dari persamaan (9), (11), (14) dan (18)
Fungsi alih loop tertutup Θ(s) / Ea(s) dapat dihitung sebagai berikut :
9
Θ(s )
=
E a (s )
K TM
(La . s + Ra ) (Js 2 + Bs )
1+
K TM . K g . s
(La . s + Ra ) (Js 2 + Bs )
K TM
=
(La . s + Ra ) (Js 2 + Bs )+ (K TM . K g . s )
=
K TM
s (La . s + Ra )( Js + B ) + K TM . K g
[
]
Sehingga diagram blok pada gambar (7) dapat disederhanakan menjadi
Ea(s)
K TM
s (La . s + Ra )(Js + B ) + K TM . K g
[
Θ(s )
]
Gambar (8). Penyederhanaan diagram blok gambar (7)
Untuk keperluan pengaturan kecepatan putar motor DC maka Diagram blok total sistem
diperoleh dengan menggabungkan diagram blok dari persamaan (9), (11), (14) dan (18)
berdasarkan aliran sinyalnya seperti berikut :
Ea(s)
+
-
1
La . s + Ra
Ia(s)
KTM
T(s)
1
Js + B
Ω(s )
Kg
Eggl(s)
Gambar (9). Diagram blok yang diperoleh dari persamaan (9), (11), (14) dan (18)
Fungsi alih loop tertutup Ω(s) / Ea(s) dapat dihitung sebagai berikut :
K TM
(La . s + Ra )(Js + B )
Ω(s )
=
K TM . K g
E a (s )
1+
(La . s + Ra )(Js + B )
10
=
K TM
(La . s + Ra )(Js + B ) + K TM . K g
(
)
Sehingga diagram blok pada gambar (9) dapat disederhanakan menjadi
Ea(s)
K TM
(La .s + Ra )(Js + B) + (K TM . K g )
Ω(s )
Gambar (10). Penyederhanaan diagram blok gambar (9)
LATIHAN
Dapatkan model matematika dalam bentuk diagram blok dari Motor DC dengan penguatan
medan konstan yang dihubungkan pada beban melalui roda gigi berikut ini :
Dimana,
La
= induktansi kumparan jangkar
Ra
= resistansi kumparan jangkar
ia
= arus kumparan jangkar
if
= arus medan
θm
= perpindahan sudut dari poros motor
θb
= perpindahan sudut dari poros beban
ωm
= kecepatan sudut dari poros motor
ωb
= kecepatan sudut dari poros beban
ea
= tegangan kumparan jangkar
11
eggl
= tegangan gaya gerak listrik balik
J
= momen inersia motor pada poros motor
Jb
= momen inersia beban pada poros beban
Bm
= koefisien geseken viskos motor pada poros motor
Bb
= koefisien geseken viskos beban pada poros beban
N1
= jumlah gigi pada roda gigi 1
N2
= jumlah gigi pada roda gigi 2
12