Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…

Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…
Model Epidemi Sirs Dengan Time Delay
Ferdinand Sinuhaji1
Abstrak
Epidemi merupakan suatu keadaan berjangkitnya suatu penyakit menular dalam populasi pada suatu
tempat yang melebihi perkiraan yang normal dalam periode yang singkat. Penulisan ini membahas
menurunkan model epidemi SIRS dengan time delay melalui model matematika berdasarkan model
epidemi SIRS (Susceptible, Infective, Recovered, Susceptible). Model epidemi mempunyai dua titik
kesetimbangan, yaitu adalah titik kesetimbangan bebas infeksi penyakit dan titik kesetimbangan
endemi. Syarat dan kestabilan titik kesetimbangan ditentukan oleh bilangan (R0), yaitu nilai yang
menentukan ada atau tidaknya penyebaran infeksi penyakit pada suatu populasi. Hasil penelitian
diketahui bahwa kesetimbangan bebas penyakit stabil global untuk semua  > 0 ketika jumlah
bilangan R0 < 1. Dapat dikatakan, time delay tidak dapat mempengaruhi kestabilan kesetimbangan
bebas penyakit. Dengan kata lain, pengaruh time delay dapat diabaikan untuk R0 < 1. Namun, ketika,
R0 > 1 kestabilan kesetimbangan endemi akan dipengaruhi oleh time delay.
Kata Kunci : Sirs, Model epidemi, Time delay
1
Ferdinand Sinuhaji,
Mahasiswa
[email protected]
ISSN 2086 – 1397
S2 Matematika, FMIPA, Universitas Sumatera Utara, Email:
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 78
Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…
Model
Pendahaluan
Dalam kehidupan makhluk hidup ini
banyak
permasalahan
yang
kompartemen
ini
terdiri
yaitu
S
atas
tiga
(susceptible),
I
muncul
(infective), R (recovered). Sejak (Kermack dan
diantaranya banyak penyakit menular yang
McKendrick, 1927) mengusulkan SIR klasik,
mengancam kehidupan. Sangat diperlukan
pemodelan matematika telah menjadi alat
sistem untuk mengontrol dan mengetahui
penting dalam menganalisis penyebaran dan
penyebaran penyakit menular tersebut salah
pengendalian infeksi penyakit. Upaya telah
satunya adalah model matematika yang dapat
dilakukan untuk mengembangkan realistis
membantu dan mempermudah penyelesaaian
model matematika untuk transmisi infeksi
masalah tersebut.
penyakit. Secara grafik dapat ditunjukan
Menyelesaikan masalah
juga tidak mudah untuk menurunkan model
model teori epidemik
matematisnya terutama untuk masalah yang
1991), sebagai latar belakang dari penelitian
cukup
ini. Model teori epidemi untuk penyakit
kompleks.
Meskipun
model
matematisnya sudah diperoleh namun masalah
diilustrasikan
pada
(Anderson dan May,
gambar
dibawah
ini
waktu dan biaya biasanya juga menjadi
kendala
apabila
menggunakan
model
matematis tersebut.
Model epidemi merupakan sistem
persamaan diferensial dirumuskan sebagai
masalah nilai awal atau Initial Value
Problems
(IVPs).
Sehingga
model
Gambar 1. Model epidemi sirs
diintegrasikan terhadap waktu, yang dimulai
dengan awal yang ditetapkan untuk kelaskelas
populasi
yang
berbeda.
Epidemi
Model SIRS menggambarkan bahwa
individu yang terinfeksi penyakit (Invected),
merupakan suatu keadaan berjangkitnya suatu
kemudian
penyakit menular dalam populasi pada suatu
sembuh,
tempat yang melebihi perkiraan yang normal
sementara terhadap penyakit tersebut. Seiring
dalam periode yang singkat. Bila penyakit
berjalan waktu kekebalan tersebut menghilang
tersebut selalu terdapat dalam suatu tempat
atau berkurang, mengakibatkan individu yang
begitupun dengan faktor penyebabnya maka
rentan terserang penyakit tersebut dapat
dikatakan endemik, kemudian bila penyakit
kembali terinfeksi penyakit yang sama. Sistem
tersebut
persamaan diferensialnya menjadi :
mempunyai
ruang
lingkup
sembuh
individu
penyebaran yang sangat luas maka disebut
dS
pandemik. Model epidemik pertama kali
dt
menjelaskan masalah penyebaran penyakit
dI
adalah model SIR klasik yang dikemukakan
dt
(Recovered),
memperoleh
   SI   R ,
(1)
  SI  VI ,
(2)
setelah
kekebalan
oleh (Kermack dan McKendrick, 1927).
ISSN 2086 – 1397
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 79
Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…
dR
 VI   R
beberapa turunan fungsi yang tidak diketahui
(3)
Jenis-jenis
dt
Penelitian ini membahas bagaimana
menurunkan
model
matematisnya
untuk
persamaan
diferensial
dapat
dibedakan menjadi dua jenis yaitu persamaan
diferensial
biasa
dan diferensial
parsial.
epidemi SIRS dengan time delay sehingga
Sedangkan persamaan diferensial dilihat dari
menghasilkan model epidemi, dari model
bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan
epidemi tersebut akan terbentuk suatu sistem
menjadi dua yaitu persamaan diferensial linear
persamaan
dan persamaan diferensial nonlinear.
diferensial.
Dari
persamaan
diferensial yang sudah terbentuk tadi dapat
Persamaan diferensial linear adalah
dicari titik kesetimbangan bebas penyakit dan
jika memenuhi dua hal yaitu pada variabel-
titik
kemudian
variabel terikat dan turunannya paling tinggi
Kemudian
berpangkat satu dan tidak mengandung bentuk
mengindentifikasi apakah time delay tersebut
perkalian antara sebuah variabel terikat dengan
mempengaruhi
mempengaruhi
variabel terikat lainnya atau turunan yang satu
stabilitas pada kesetimbangan bebas penyakit
dengan turunan lainnya atau variabel terikat
dan pada kesetimbangan endemi penyakit
dengan sebuah turunan. Persamaan diferensial
dengan
nonlinear adalah persamaan diferensial yang
kesetimbangan
menganalisis
epidemi
kestabilannya.
atau
tidak
memodifikasi
pada
dinamika
transmisinya.
bukan
Sistem persamaan diferensial Autonomous
linear. Pada istilah dengan linear berkaitan
suatu
merupakan
persamaan
diferensial
(Boyce dan Diprima ((2001) Misalkan
dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam
persamaan
persamaan diferensial itu, peubah-peubah
diferensial
autonomous
y,y1,...,ym berderajat satu atau nol Bentuk
dinyatakan sebagai berikut
m
= Y (x)
umum dari persamaan diferensial linear orde-n
(4)
adalah
Dengan Y adalah fungsi kontinu
: a n 1 ( x ) y n 1
 a1 ( x ) y  a 0 ( x ) y  f ( x )
1
Pada persamaan diferensial F(x,y1,...,ym) = 0
bernilai real dari x dan mempunyai turunan
adalah
parsial kontinu. Pada persamaan (1) disebut
nonlinear, jika salah satu dari berikut di penuhi
persamaan diferensial autonomous karena
F : F tidak berbentuk polinom, dalam
tidak mendatangkan t di dalam.
y,y1,...,ym dan F tidak berbentuk polinom
Sistem persamaan difrensial
berpangkat lebih dari dua dalam y,y1,...,ym.
(Waluya
diferensial
(2006)).
adalah
persamaan
Persamaan
matematika
fungsi
itu
sendiri
dan
turunannya dalam berbagai orde. Selain itu
persamaan
diferensial
juga
persamaan
diferensial
(Waluya, 2006).
Titik kesetimbangan dan kestabilan
untuk fungsi satu variabel atau lebih yang
menghubungkan
merupakan
(Haberman
(1987))
Dengan
menggunakan titik kesetimbangan maka suatu
sistem
dapat
lebih
memudahkan
untuk
didefinisikan
sebagai persamaan yang memuat satu atau
ISSN 2086 – 1397
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 80
Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…
mengamati perilaku kestabilannya. Berikut ini
m
0
 m
*
 
, solusi  ( t , m 0 ) dari F ( x )
adalah definisi titik kesetimbangan.
Definisi 1 Titik kesetimbangan adalah sebuah
yang melalui m 0
keadaan dari suatu sistem yang tidak berubah
pertidaksamaan
terhadap
setiap t  0 .
waktu.
dituangkan
Jika
dalam
sistem
dinamika
bentuk
persamaan
diferensial maka titik kesetimbangan dapat
di t
= 0 memenuhi
 (t , m )  m
0
*
 
untuk
2. Kestabilan disebut stabil asimtotik, jika m *
stabil dan terdapat b  0 , sedemikian hingga
diperoleh dengan mengambil turunan pertama
 (t , m )  m
0
yang sama dengan nol. Suatu titik m̂  R
disebut
titik
kesetimbangan
dari
n
sistem
persamaan m = F ( x ) ,  R n jika memenuhi
f (m )  0
*
persamaan
dimana
epidemologi
kesetimbangan
bebas
 
t
untuk
semua m 0 yang memenuhi m 0  m *  b .
3. Kestabilan disebut tidak stabil, jika terdapat
  0
suatu
m
Dalam
0
 m
*
sedemikian sehingga untuk
 
 (t 0 , m )  m
0
Pada
dikenal
penyakit
saat
sebarang   0 terdapat sebuah m 0 dengan
 f 1 ( m 1 , m 2 ,..., m n ) 


 f 2 ( m 1 , m 2 ,..., m n ) 


.


f (x) 
.



.




f
(
m
,
m
,...,
m
)
1
2
n 
 n
sistem
,
 0
*
dan
titik
kesimpulanya
titik
disebut
stabil
dan t 0  0 sedemikian hingga
*
 
.
definisi
2,
bahwa
sistem
pada
titik
dapat
ditarik
m  F ( x )
kesetimbangan
kesetimbangan endemik. Titik kesetimbangan
kestabilan jika pada kondisi awal ( m 0 )
bebas penyakit adalah dimana sudah tidak ada
berada di sekitar kestabilan sejauh  , dengan
lagi penyakit yang menyerang dalam populasi
 adalah bilangan positif terkecil maka sifat
sedangkan
titik
kesetimbangan
endemik
solusi sistem  ( t , m 0 ))
berada di sekitar
adalah dimana penyakit selalu menetap dalam
populasi. Berikut ini adalah definisi kestabilan
titik kesetimbangan menurut (Guckenheimer
kesetimbangan kestabilan. Jika kondisi awal
berada sangat dekat dengan kestabilan dan
solusi
dan Holmes (1983)).
sistem cenderung mendekati
kesetimbangan
Definisi 2 Kestabilan titik kesetimbangan dari
sistem m  Fx dan m 0 adalah titik asal.
kestabilan,
maka
titik
sistem
disebut stabil asimtotik. Jika sifat solusi
menjauh dari titik kesetimbangan kestabilan
akibat perubahan kecil pada kondisi awal
maka sistem disebut tidak stabil.
1. Kestabilan disebut stabil, jika untuk setiap
  0
terdapat
 (  )  0 sedemikian
sehingga untuk setiap m 
0
ISSN 2086 – 1397
R
n
dengan
Teorema 1 (Finizio dan Ladas (1982)) Jika
matriks A pada sistem persamaan (1) adalah
matriks
koefisien
dengan
nilai
eigen
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 81
Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…
 1 ,  2 ,...,  n , maka titik kesetimbangan m ,
*
adalah polinom  yang dinamakan polinom
karakteristik dari A.
disebut
Bilangan reproduksi dasar ( R 0 )
1. Stabil, jika (  1 )  0 ,  i  1, 2 , 3 ..., n
(Hethcote (2000)) Untuk mengetahui
2. Stabil asimtotik, (  1 )  0 ,  i  1, 2 , 3 ..., n
tingkat
penyebaran
pada
suatu
penyakit
diperlukan suatu parameter tertentu. Parameter
3. Tidak stabil, (  s )  0 , untuk suatu s
yang
Pada teorema (1) dapat dipergunakan
biasa
penyebaran
digunakan
penyakit
dalam
masalah
adalah
bilangan
untuk menentukan kestabilan lokal suatu titik
reproduksi dasar. Kemungkinan terjadinya
kesetimbangan. Titik kesetimbangan yang
infeksi pada suatu populasi tergantung pada
stabil atau stabil asimtotik hanya pada suatu
bilangan
daerah tertentu dalam lingkup solusi sistem
reproduksi. Bilangan
reproduksi
dasar ( R 0 ) adalah potensi penularan penyakit
dikatakan stabil lokal atau stabil asimtotik.
Titik kesetimbangan dikatakan stabil global
atau
stabil
asimtotik
global
jika
titik
kesetimbangan tersebut atau stabil asimtotik
pada populasi rentan merupakan rata-rata
jumlah
individu
terinfeksi
secara
langsung oleh seseorang penderita selama
masa
pada setiap lingkup solusi sistem.
yang
penularanya
bila
termasuk
dalam
populasi yang seluruhnya masih rentan.
Nilai eigen dan vektor eigen
(Liu (2013))
Dalam hal ini, penulis menganggap
bahwa R 0  1 . Dengan menggunakan time
delay sebagai bifurkasi sebagai parameternya.
(Anton ( 1998)) Jika A adalah matriks n x n,
maka vektor taknol x didalam R n dinamakan
R0
adalah nilai yang
menunjukkan apakah penyebaran penyakit
menjadi epidemi atau tidak epidemi pada suatu
populasi.
R0 
b 1
d (d     )
(7)
vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan
Bilangan reproduksi dasar merupakan
skalar dari x yaitu,
Ax =  x
parameter yang penting dalam matematika
(5)
epidemilogi yang merupakan ambang batas
Supaya  menjadi nilai eigen, maka
harus ada penyelesaian taknol dari persamaan
ini. Sehingga akan mempunyai penyelesaian
tak nol jika dan hanya jika
det( (  I  A )  0
A,
Skalar
maka
ISSN 2086 – 1397
nilai
eigen
matriks
jacobian
pada
titik
keseimbangan bebas penyakit (disease free
(endemi equilibrium).
yang
determinan
Model Epidemi
memenuhi
persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Bila
diperluas,
Bilangan ini diperoleh dengan cara menetukan
equilibrium) dan titik keseimbangan endemik
(6)
Persamaan (5) dinamakan persamaan
karakteristik
(threshold) terjadinya penyebaran penyakit.
det(  I  A )
(Lowe dan Kostrzewski (1973)) Ilmu
yang
membahas
mengenai
penyebaran
penyakit disebut epidemiologi. Epidemiologi
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 82
Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…
adalah studi tentang faktor yang menentukan
dS
frekuensi dan distribusi penyakit pada populasi
dt
manusia.
dI
Epidemi adalah penyakit yang timbul
dt
sebagai kasus baru pada suatu populasi
dR
tertentu,
dt
dengan
laju
yang
melampaui
 a
(S,I,R),
 b
(S,I,R),
 c
(S,I,R).
(8)
perkiraan. Suatu infeksi dikatakan sebagai
tersebut
berlangsung
di
dalam
S   , I   , R   ; r, s, n 
r
endemik pada suatu populasi jika infeksi
Dengan
tersebut tanpa adanya pengaruh dari luar.
Dalam
Suatu infeksi penyakit dikatakan sebagai
misalkan S 0
penyakit tersebut menularkannya kepada tepat
satu orang lain.
n
; h ( X ,0 ,0 )  0 .
populasi
endemik bila setiap orang yang terinfeksi
s
model
 (X
*
,0 ,0 )  
epidemi
r ,s ,n
adalah titik
kesetimbangan bebas penyakit dari sistem
persamaan
(8),
yang
didapatkan
dari
persamaan
(Kermack dan McKendrick 1927))
a ( S , I , R )  0 , b ( I ,0 ,0 )  0 , c ( R ,0 ,0 )  0
*
Model epidemi adalah merupakan suatu model
*
*
matematika yang dapat digunakan untuk
.
melihat laju penyebaran penyakit. Kondisi
persamaan b ( S * , I , R )  0
epidemi terjadi ketika ada salah satu individu
diperoleh solusi Y  n ( S * , I ). Oleh karena itu
rentan pada populasi tersebut, maka populasi
Kemudian
diasumsikan
sehingga
dapat diperoleh sebuah matriks n x n,
tersebut memiliki peluang menjadi populasi
rentan,
dan
kemungkinan
besar
infeksi
tersebut akan mewabah pada populasi tersebut.
Sehingga pada akhirnya seluruh individu
dalam populasi berpeluang terinfeksi. Pada
dasarnya
model
epidemi
pada
 

S
*
*
h ( S , n ( S , 0 ), 0 ).
Misalkan  dapat dituliskan dalam bentuk
  K  L,
penyakit
memiliki tiga kompartemen, yaitu Susceptible,
K  0, ( d i, j  0 )
Dengan
Invected, Recovered, yang didefinisikan :
1. Susceptible, yaitu individu yang sehat dapat
L  0 adalah
terinfeksi.
Memodifikasi dinamika transmisi
matriks diagonal.
(Huitao
2. Invected, yaitu individu yang terinfeksi
dan
et
al
(2013))
dalam
memungkinkan untuk menularkan penyakit.
penelitianya pada dampak media coverage
3. Recovered, yaitu seseorang yang memiliki
memodifikasi dinamika transmisi menjadi
kekebalan karena telah terinfeksi, dan dapat
seperti
sembuh.
Sehingga,
g ( I ( t   ))   1 
model
epidemik
suatu
berikut
 2 I (t   )
m  1( t   )
:
,
(9)
penyakit dapat dituliskan dalam bentuk :
ISSN 2086 – 1397
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 83
Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…
di mana   0
adalah time delay yang
dahulu menentukan titik kesetimbangan bebas
mewakili periode laten media coverage.
penyakit, misalkan titik tersebut dituliskan
Sehingga model dapat dimodifikasi menjadi
E 0  (S 0 , I 0 , R0 )
dS ( t )
dt
 b  dS ( t )  {  1 
 2 I (t   )
m  1( t   )
. Karena populasi bebas
I0  0
dari penyakit maka
} S ( t ) I ( t )   R ( t ),
, yaitu suatu
keadaan dimana tidak terjadi infeksi pada
dI ( t )
dt
 { 1 
dR ( t )
 2 I (t   )
m  1( t   )
populasi. Untuk mencari titik kesetimbangan
} S ( t ) I ( t )  ( d     ) I ( t ),
bebas penyakit dari persamaan (11)-(13)
  I (t )  ( d   ) R (t )
dimana   0 .
(10)
dt
Penulis
memodifikasi
dinamika
transmisi
Kestabilan lokal pada ( E 0 )
Persamaan
menjadi seperti berikut,
g ( I ( t   ))   1 
karakteristik
dari
persamaan (11)-(13) pada ( E 0 ) adalah yang
I (t   )
 2  m 1( t   )
,
setara dengan
di mana penulis mendefinisikan   0 adalah
(   d )(   d   )(   d     
 1b
)0
(15)
d
time delay yang diartikan sebagai waktu
periode kesembuhan dari individu invected
sampai menjadi individu recovered. Sehingga
bahwa, ketika
model dapat dimodifikasi menjadi
dS ( t )
dt
dI ( t )
dt
 b  dS ( t )  {  1 
 { 1 
dR ( t )
I (t   )
 2  m 1( t   )
I (t   )
 2  m 1( t   )
} S ( t ) I ( t )   R ( t ),
(11)
R0  1,
pada persamaan (15)
memiliki tiga nilai eigen negatif  0 , maka
berdasarkan sifat stabilitas titik kesetimbangan
} S ( t ) I ( t )  ( d     ) I ( t ), (12)
  I (t )  ( d   ) R (t )
Sehingga semakin mudah untuk diamati
nilai eigen maka titik kesetimbangan ( E 0 ) =
(b/d,0,0) adalah stabil asimtotik lokal, ketika
R0  1,
(13)
dt
pada persamaan (15) memiliki satu
nilai eigen positif > 0 dan dua nilai eigen
Kemudian untuk mengetahui pengaruh time
delay pada sistem persamaan (11)-(13) penulis
negatif < 0, maka berdasarkan sifat stabilitas
titik kesetimbangan nilai eigen maka titik
mengasumsikan bahwa nilai awal sistem
persamaan (11)-(13) mengambil bentuk seperti
kesetimbangan ( E 0 )
stabil. Penulis menggunakan teorema seperti
berikut :
S   1 , I   2 , R   3  0 ,  [   , 0 ],  1 ( 0 )  0 (14)
berikut
Teorema
Titik kesetimbangan bebas Penyakit ( E 0 )
Titik kesetimbangan bebas penyakit
(disease
= (b/d,0,0) adalah tidak
free
equilibrium)
adalah
suatu
keadaan dimana tidak terjadi penyebaran
1
Untuk
setiap
time
delay
  0 , penulis mempergunakan
1. Titik kesetimbangan bebas penyakit ( E 0 )
adalah stabil asimtotik lokal jika R 0  1 .
penyakit dalam populasi. Pertama terlebih
ISSN 2086 – 1397
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 84
Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…
2. Titik kesetimbangan bebas penyakit ( E 0 )
alami pada Susceptible (dS)(t) dan dipengaruhi
kekuatan penyebaran infeksi pada Susceptible
adalah tidak stabil jika R 0  1 .
1
Titik kesetimbangan epidemi ( E * )
dan akan berkurang akibat adanya
I /
Titik kesetimbangan epidemi (endemic
equilibrium) adalah dimana didalam kondisi
populasi terjadi penyebaran penyakit yang
hasilkan dari nilai R 0 yang didapatkan dari
2
 mI
dengan dipengaruhi time delay,
dan kekuatan penyebaran infeksi dipengaruhi
pada Recovered 
dan berpengaruh laju
antara individu yang terjangkit penyakit
menjadi individu terinfeksi kemudian individu
nilai  1 ,  2 ,  3 . Sebelum menentukan titik
kesetimbangan endemi pada model, diberikan
bilangan reproduksi dasar R 0 menurut (Liu
yang telah sembuh maka dapat ditulis
dS ( t )
dt
 b  dS ( t )  {  1 
I (t   )
 2  m 1( t   )
} S ( t ) I ( t )   R ( t ),
2013)), yang didefinisikan sebagai jumlah
2. Laju perubahan populasi Invected per satuan
individu dalam populasi yang terinfeksi baru
waktu dipengaruhi oleh pertambahan populasi
yang diproduksi dari satu individu terinfeksi
Invected sepanjang waktu (t) akibat kekuatan
pada saat semua individu rentan. Laju satu
penyebaran infeksi pada Susceptible  1 dan
individu terinfeksi menularkan ke individu
akan berkurang akibat dipengaruhi kekuatan
rentan adalah  S .
penyebaran infeksi pada Susceptible  1 dan
Analisis kestabilan titik kesetimbangan
model Sirs
Lemma
3.1
Pada
  0,
Penulis
mempergunakan :
akan berkurang akibat adanya I /  2  mI
dengan dipengaruhi time delay. Bertambahnya
populasi
Invected
per
satuan
waktu
dipengaruhi faktor laju kematian alami, laju
1. Titik kesetimbangan bebas penyakit ( E 0 )
kesembuhan tiap individu yang sakit menjadi
dari sistem persamaan (11)-(13) adalah stabil
individu rentan, laju kematian tiap individu
asimtotik global pada  jika R 0  1 .
yang disebabkan oleh penyakit pada populasi
*
2. Titik kesetimbangan endemik ( E ) dari
sistem persamaan (11)-(13) adalah tidak stabil
Invected ( d     ) I (t) dan laju perubahan
epidemi
SIRS
dI ( t )
dt
 { 1 
dengan time delay adalah sebagai berikut :
1. Laju perubahan populasi Susceptible per
satuan
waktu
pertambahan
dipengaruhi
rekruitmen
pada
oleh
laju
populasi
manusia (b). Populasi Susceptible sepanjang
waktu (t) akan berkurang akibat laju kematian
ISSN 2086 – 1397
penyakit
Invected, maka dapat ditulis
Hasil dan Pembahasan
model
terinfeksi
yang rentan menjadi terinfeksi pada populasi
asimtotik global pada  R 0  1 .
Penurunan
yang
I (t   )
 2  m 1( t   )
} S ( t ) I ( t )  ( d     ) I ( t ),
3. Laju perubahan populasi Recovered per
satuan waktu dipengaruhi oleh pertambahan
populasi
Recovered
per
satuan
waktu
merupakan akibat laju perubahan status dari
terinfeksi penyakit terhadap populasi Invected
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 85
Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…
(  I )( t )
dan berpengaruh antara individu yang
memperbandingkan model SIRS dengan time
terjangkit penyakit menjadi individu terinfeksi
delay dan tanpa time delay.
kemudian individu yang telah sembuh. Selain
Contoh 1 Jika R 0  1
itu, berkurangnya populasi Recovered per
Perilaku sistem persamaan epidemi SIRS
satuan waktu dipengaruhi oleh laju kematian
dengan time delay diperlihatkan dengan
alami tiap individu d pada populasi Recovered
pertama kali menentukan nilai parameternya.
(t) dan laju kehilangan kekebalan tiap individu
Nilai-nilai parameter adalah sebagai berikut
terhadap penyakit dan akan kembali menjadi
dimana
individu rentan penyakit  , maka dapat ditulis
0,03,  1  0 , 0003 ,  2  0 , 00019
dR ( t )
nilai
b
=
20,
d
=
, m = 40,
  0 , 2 ,   0 , 06 ,   0 , 02 .
  I (t )  ( d   ) R (t )
dt
Dengan
Contoh model matematika epidemi Sirs
dengan time delay
Contoh pertama dan contoh kedua
membahas sistem persamaan epidemi SIRS
b
 667 ,
sesuai dengan (7),
d
penulis menghitung R 0  0 , 6896  1 . Selain
itu penulis mendapatkan titik kesetimbangan
dengan time delay dengan memperhatikan
bebas penyakit E 0 = (667,0,0). Dari teorema
kestabilan titik kesetimbanganya. Contoh ini
(1)
bertujuan memberikan gambaran mengenai
kesetimbangan bebas penyakit E 0
sistem persamaan epidemi SIRS dengan time
stabil asimtotik lokal untuk setiap saat time
delay dengan memberikan dan memperhatikan
delay   0 .
nilai-nilai untuk masing-masing parameter
sesuai
dengan
kondisi
nilai
,
diketahui
diketahui
bahwa
titik
adalah
Contoh 2 Jika R 0  1
bilangan
Perilaku sistem persamaan epidemi
reproduksi dasar R 0 dalam teorema-teorema
SIRS dengan time delay diperlihatkan dengan
yang telah diberikan. Dalam penelitian ini
pertama kali menentukan nilai parameternya.
dianalisis kesetimbangan dan kestabilan untuk
Nilai-nilai parameter adalah sebagai berikut
dua kondisi, yaitu ketika R 0  1 pada saat 
dimana
> 0, dimana kesetimbangan bebas penyakit
0,03,  1  0 , 003 ,  2  0 , 0019 ,
stabil
  0 ,2 ,
karena
time
mempengaruhi
delay
kestabilan
tidak
dapat
b
kesetimbangan endemi akan dipengaruhi oleh
delay.
Pada
contoh
ketiga
akan
membahas model SIRS dengan tanpa time
delay.
Contoh
ini
b
=
20,
m
d
=
=
40,
  0 , 06 ,   0 , 02 .
Dengan
sesuai
penulis
kesetimbangan
bebas penyakit dan ketika R 0  1 , kestabilan
time
nilai
bertujuan
untuk
 667 ,
dengan
(7),
d
menghitung R 0  6 ,8965  1 .
selain
itu,
kesetimbangan
penulis
bebas
mendapatkan
penyakit
E0
titik
=
(667,0,0) dan titik kesetimbangan epidemi E *
= (345.7518, 82.9156, 96.9643) dari sistem
ISSN 2086 – 1397
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 86
Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…
persamaan (11)-(13). Dengan demikian dari
demikian, tidak ada orbit periodik di kuadrat
teorema
pertama.
(1),
diketahui
bahwa
kesetimbangan bebas penyakit E 0
titik
Untuk
adalah
tidak stabil asimtotik lokal untuk setiap saat
peneliti
time delay   0 dan titik kesetimbangan
parameter
endemik E *
adalah
stabil
untuk
 
para
peneliti
mengharapkan
dengan
selanjutnya,
memberikan
menambah
nilai
bebarapa
parameter lagi.
[0,61.8649).
Penutup
Berdasarkan hasil dan pembahasan
dalam penelitian ini
menunjukkan bahwa
kesetimbangan bebas penyakit stabil global
untuk semua   0 ketika bilangan reproduksi
dasar R 0  1 . Dapat dikatakan, time delay
tidak
dapat
mempengaruhi
kestabilan
kesetimbangan bebas penyakit. Dengan kata
lain, pengaruh time delay dapat diabaikan
untuk
R0  1.
kestabilan
Namun,
R0  1
ketika,
kesetimbangan
endemi
akan
dipengaruhi oleh time delay.
Berdasarkan Lemma 1 bahwa sistem
persamaan (11)-(13) dengan   0
tidak
memiliki solusi periodik nontrivial.
Catatan bahwa I sumbu dan R sumbu
adalah berjenis tidak bervariasi dan orbit
sistem tidak saling berpotongan. Dengan
demikian, tidak ada solusi yang melintasi
sumbu koordinat. Pada sisi lain, jika sistem
memiliki periodik solusi, maka harus ada
keseimbangan dibagian dalamnya dan E 0
terletak di sumbu koordinat. Kemudian,
penulis menyimpulkan bahwa orbit periodik
sistem harus terletak di kuadrat pertama. Dari
Lemma 1, keseimbangan positif asimtotik
stabil dan global stabil di
ISSN 2086 – 1397
3
R
, dengan
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 87
Ferdinand Sinuhaji, Model Epidemi Sirs…
Daftar Pustaka
Anderson, R. M. and May, R. M. (1991). Infectious Diseases Of Humans : Dynamics and Control.
Oxford University Press, Oxford, UK.
Anton, H. (1998). Aljabar Linier Elementer. Erlangga, Jakarta.
Enatsu, Y. and Messina, E. (2012). Global Dynamics of a Delayed SIRS Epidemic Model with Class
of Non Linear Incidence Rates. Applied Mathematics and Computation, Volume 218, No
9, 5327--5336.
Finizio, N. and Ladas, G. (1982). Introduction to Differential Equations with Difference Equations.
Mathematics Computing.
Guckenheimer, J. and Holmes, P. (1983). Nonlinear oscillation, dynamical systems, and bifurcations
of vektor fields, Spinger, New York. Verlag.
Hethcote, H. W. (2000). Mathematics of Infectious Diseases, SIAM, Vol. 42, 599--653.
Haberman, R. (1997). An Introduction to Applied Mathematics, Mathematical Models, Prentice-Hall,
Inc.
Hale, J. and Lunel, S. (1993). Introduction to Functional Differential Equations. Springer,
New York. USA.
Huitao, Zhou. and Yiping, Lin. (2013). An SIRS Epidemic Model Incorporating Media Coverage with
Time Delay. Discreate Dynamics in Nature and Society, Volume 2013, Hindawi
publishing Corporation.
Karmack, W. O and McKendrick, A. G. (1927). A contribution to the mathematical theory of
epidemics. Proceedings of the Royal Society of London, Volume 115, 700--721.
Liu, W. (2013). A SIRS epidemic model incorporating media coverage with random pertrubation.
Abstract and Applied Analysis, Volume 2013, Article ID.
Lowe, C. R and Kostrzewski, J. (1973). Epidemiology, A Guide to Teaching Method, Churchill
Livings
tone.
Waluya, S. B. (2006). Persamaan Differensial Biasa. Graha Ilmu,Yogyakarta.
ISSN 2086 – 1397
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 88